DOSSIER - DEBATE

ANALÚCIA D. SCHLIEMANNTufts University

RAZONAMIENTO LOGICO-MATEMÁ TICOEN CONTEXTOS SOCIOCULTURALES*

* Traducido por Mauricio Andrés Parra Vásquez. Traducción revisa-da por Mariela Orozco Hormaza. Department of Education. Lincoln-file-ne Center. Tuffts university. medford, MA 02155, USA. Te!':617-628-5000Ext. 2398 (w) o 508-470-4948 (h). Fax: 617-627-3901. E-mail: as-chliem@tufts.edu. A editar en: Aprendizaje e Instrucción.

Los estudios sobre cognición en la vida cotidiana(Carrahen Carraher & Schliemann, 1985;Lave, 1988;Nu-nes, Schlíemann & Carraher, 1993;Scribner, 1984, 1986;Saxe, 1991) y sobre desarrollo cognitivo (Ceci y Bron-fenbrenner, 1985; Donaldson, 1978; Light, Buckingharn& Robbins, 1979;McGarrigle & Donaldson, 1974)mues-tran que cuando se presentan tareas que se suponen es-tructuralmente similares, en contextos diferenciados, elmismo sujeto las aborda de distintas maneras y obtienetasas diferenciadas de éxito.Para algunos, estos resultadosrefutan la descripción del pensamiento y del desarrollocorno estructuras lógicas de carácter general; para mu-chos, demuestran que los contextos socioculturales sonun componente intrínseco del desempeño cognitivo.Estos desarrollos impulsaron la adopción de los puntosde vista socioculturales sobre el desarrollo y el apren-dizaje (Laboratory of Comparative Human Cognition,1983) y llevaron a concebir las funciones cognitivascorno "cognición situada" (Brown, Collins & Duguid,1989),"cognición compartida" (Resnick, Levine & Teas-ley, 1991), o "cognición distribuida" (Hutchins, 1993)ya describir el desarrollo y el aprendizaje corno la "crea-ciónde comunidades de práctica a través de una legítimaparticipación de tipo periférico" (Lave &Wenger, 1991),corno "aprendizaje a través de participación guiada"(Rogoff,1990)y corno" construcción social de respuestas"(Perret-Clermont, Perret & Bell, 1991).

Estas nuevas perspec-tivas, no solo cuestiona-ron la idea de las estruc-turas cognitivas genera-les, sino que, igualmente

trasladaron el foco del análisis del estudio de losprocesos individuales de construcción de conoci-miento al estudio de la actividad socialmente situada.Aunque tales enfoques de la cognición situada, pro-veen comprensiones extremadamente relevantes paraanalizar el aprendizaje y el desarrollo, tienden a reduciry aún a ignorar, tanto las contribuciones y construccionesindividuales, corno el análisis de las características ló-gico-matemáticas de los procesos de razonamiento queresultan de diferentes niveles de participación en ac-tividades socioculturales.

Efectivamente, si se torna aisladamente cualquie-ra de los enfoques constructivistas, con orígenes enla teoría Piagetiana sobre el desarrollo cognitivo, ocualquier perspectiva extrema socio-interaccionista,con raíces en el trabajo de Vygotsky, las dos pers-pectivas tienden a centrarse en aspectos parcialesdel conocimiento y del aprendizaje, que parecenfundamentar exclusivamente sus respectivas afir-maciones. Desde nuestro punto de vista, para en-tender mejor cómo aprenden y se desarrollan laspersonas mientras participan en actividades socio-culturales específicas, es necesario tener en cuentatanto las contribuciones individuales, corno las so-cioculturales. Hatano & Inagaki (1992), Resnick(1994) y Vergnaud (1987), entre otros, han hecho afir-maciones similares y los últimos desarrollos de la

teoría de Piaget puedenayudar a entender cómolograrlo.

Piaget reconoció laimportancia de los con-

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textos en los cuales la cognición se lleva a cabo, cuan-do admitió que "10 mejor es probar a los jóvenesen un campo relevante a su carrera e intereses" (Pia-get, 1972, p. 1). Planteó que los carpinteros, cerrajerosy mecánicos, con educación formal limitada, podríanmostrar un buen razonamiento formal en tareas re-lacionadas con su campo de experiencia, mientrasfallaban en las tareas de tipo escolar, sobre opera-ciones formales, que analizó en sus estudios. Másrecientemente, Piaget & García (1991) revisaron laconcepción piagetiana de la lógica como reglas derazonamiento, de propósito general y propusieronque el conocimiento lógico-matemático tiene su fun-damentación en una lógica de significados, íntima-mente vinculada con las propiedades específicas delos objetos y situaciones que los niños manejan, poroposición a una lógica extensional que sería generale independiente de las propiedades específicas delcontenido. Esta lógica de significados implica lazosinferenciales y con la actividad creciente, se puedevolver general, sistémica y estructural. Sin embargo,los lazos inferenciales son inicialmente locales y es-pecíficos.

La visión de Piaget y García (1991) sobre el de-sarrollo del razonamiento lógico-matemático de losniños, parece ser, igualmente, una buena descripciónde la manera como el razonamiento lógico-matemá-tico individual surge de experiencias en contextossocioculturales específicos. La investigación sobre lasmatemáticas cotidianas muestra que la construccióndel conocimiento matemático en contextos específicostiene sus fundamentos en el uso de reglas y pro-piedades matemáticas como instrumentos para lo-grar objetivos específicos (Nunes, 1993; Nunes,Schliemann & Carraher, 1993; Resnick, 1987; Schlie-mann, 1995; Sch1iemann & Carraher, 1992). La com-prensión de esas reglas y propiedades se expresaen procedimientos de solución de problemas, queinicialmente están intrínsecamente ligados con losreferentes físicos y con los significados sociocultu-rales de las situaciones en las cuales uno participa.Sin embargo, como trataremos de mostrar, los pro-cedimientos matemáticos contextualizados son lógi-camente consistentes e implican lazos inferencialesque, con el aumento de actividad, a medida que elsujeto busca coherencia, pueden volverse sistemá-ticos y generales.

El propósito de este artículo es extender el puntode vista de Piaget & García al análisis del conoci-miento matemático, que se desarrolla en actividadescotidianas de trabajo. En primer lugar, intentaré vol-ver a analizar datos sobre la comprensión de la pro-porcionalidad, obtenidos en actividades de compra

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y venta. En la segunda parte del artículo, intentaremosmostrar - a través de la discusión de una entrevistacon un sujeto adulto, con escolaridad restringida, mien-tras trata de dar sentido a un gráfico - cómo se lograla comprensión a través de la atribución de significadosal gráfico conbase en deseos, opiniones y conocimientospersonales sobre la situación y de la búsqueda de co-herencia lógica. Con este enfoque espero considerar,tanto el análisis de la construcción individual de lacomprensión lógico-matemática de carácter general,como los aspectos socioculturales y situacionales delaprendizaje.

La proporcionalidad:desde las herramientas para rcsolrcr problcnut«en situaciones especiticos liasn¡ lo.':'estructuraslógico-matemáticas general es

Los vendedores de la calle, con escolaridad res-tringida, rutinariamente resuelven problemas arit-méticos en los cuales usan el precio unitario paracalcular el precio de muchos elementos que vendenal consumidor. A menudo lo hacen, utilizando adi-ciones sucesivas del precio unitario (Carraher, Ca-rraher & Sch1iemann, 1985; Nunes, Sch1iemann &Carraher, 1993). Su procedimiento de adición repe-tida, preserva claramente la referencia a las cantidadesfísicas (número de elementos y precio), involucradasen el problema. Esto les permite monitorear sus pasosde cálculo y, al mismo tiempo, demostrar al clienteque la cantidad que cobran al final, es el precio co-rrecto. ASÍ, las estrategias de cómputo de los ven-dedores de la calle constituyen aproximaciones es-pecíficas, íntimamente vinculadas con el significadoy con los objetivos de la situación actual, con númerosque siempre se utilizan en conexión con sus referentesfísicos.

Parece que las adiciones repetidas encajan en ladescripción de Vergnaud (1982) sobre el enfoque es-calarde los problemas de proporcionalidad, por opo-sición al enfoque funcional. En el enfoque escalar, uti-lizada por los vendedores de la calle, cada variablepermanece independiente de la otra y las transfor-maciones paralelas que mantienen la relación pro-porcional se llevan a cabo en las dos, indicando cla-ramente, si las transformaciones se refieren al preciode los elementos o a los elementos que son vendidos,como en el siguiente ejemplo de un estudio desa-rrollado por Nunes, Schliemann & Carraher (1990,ver también Sch1iemann & Carraher, 1992):

Sujeto: André, un vendedor de la calle, de 12años de edad, que vende Ipalomitas de maíz', desdeque tenía 6 años.

ANALÚCIA o SCHlIEMANN RAZONAMIENTO LOGICO-MATEMÁTICO

E: 10 gomas de mascar cuestan 3 cruzeiros (launidad monetaria Brasileña, en el momento del es-tudio). Con 9 cruzeiros, cuántas gomas de mascar. puedo conseguir?

A: 30. 10 gomas de mascar cuestan 3, 20 hacen6, 30 hacen 9. Con 9 puedes comprar 30 gomas demascar.

(De Schliemann & Carraher, 1992, p. 66).El enfoque funcional, uno de los procedimientos

favorecidos por la instrucción escolar para resolverproblemas de proporcionalidad, se centra en la razónentre el valor inicial de las dos variables, aplicandoesta razón para encontrar el valor desconocido enel par final, como lo ilustra el siguiente protocolodel mismo estudio:

Sujeto: Viviana, una estudiante de sexto grado,de 12 años de edad.

E: 10 gomas de mascar cuestan 3 cruzeiros. Con9 cruzeiros, cuántas gomas de mascar compro?

V: 3.E: Por qué?V:Oh, no, espere un minuto, 10 gomas de mascar

cuestan 3 cruzeiros (pausa), 30.E: Por qué 30?V: 3 veces 10 igual 30.E: Correcto, pero por qué escogiste 3 veces lO?V: Porque 9 es igual a 3 veces 3 cruzeiros.(De Schliemann & Carraher, 1992, p. 66).Las transformaciones sucesivas en la solución es-

calar, de los vendedores de la calle, se basan en larelación ·multiplicativa entre dos variables y en lacomprensión de las relaciones proporcionales pues,por cada incremento de 10 gomas de mascar en lavariable número de elementos, se agregan tres cru-zeiros a la variable precio. Sin embargo, el fuertelazo de los números y de las transformaciones arit-méticas con los referentes físicos, con las transfor-maciones sobre cantidades físicas y con el significadode la situación, parece imponer límites a la habilidadde los vendedores de la calle para resolver problemasy para descubrir los aspectos de las relaciones pro-porcionales que no son relevantes a sus objetivos(Schliemann & Carraher, 1992;Schliemann, 1995).Porejemplo, cuando la relación entre precio y númerode elementos (la relación funcional) es más fácil detrabajar que la relación entre las cantidades inicialesy finales (la relación escalar), los vendedores de lacalle persisten en usar la estrategia escalar, aún cuan-do esto requiera cómputos más engorrosos, comoen el siguiente ejemplo:

Sujeto: Flávio, un vendedor de helados de 13añosque lleva dos años y medio vendiendo.

E: 3 lápices cuestan 9 cruzeiros. Con 21 cruzeiros,cuántos lápices puedo comprar?

F: 3 lápices es 9 cruzeiros, 6 es 18. Un lápiz es3 cruzeiros. 18 a 21 es 3. lí más 1 es 7. 7 lápicescuestan 21 cruzeiros.

(De Schliemann & Carraher, 1992, p. 68).Igualmente, si la cantidad inicial es mayor que

la cantidad final, las estrategias de los vendedoresde la calle están en clara desventaja cuando se lascompara con las de los niños de la escuela. El siguienteejemplo ilustra las dificultades de un vendedor dela calle, cuando se le pide calcular el precio de unacantidad más pequeña a partir del precio de unacantidad mayor:

Sujeto: Carlos, un vendedor de chocolates de 13años de edad.

E: 21 chocolates cuestan 9 cruzeiros. Cuántos cho-colates puedo comprar con 3 cruzeiros?

S: (después de una pausa y de contar sus dedos)9 chocolates.

E: Mientras estabas resolviéndolo, estabas pen-sando. Cuéntame ahora sobre qué estabas pensando.

C: 9 más 3 hacen 12, 21 menos 12 hacen 9.(De Schliemann & Carraher, 1992, p. 67).Otro ejemplo de las limitaciones en los proce-

dimientos de cómputo de los muchachos que vendenen la calle, está relacionado con la comprensión dela multiplicación como una operación conmutativa.La incapacidad de los sujetos no escolarizados parareconocer la ley conmutativa de la multiplicación,fue descrita por Pettito y Ginsburg (1982) en sastresy comerciantes de ropa Dioula. En los problemasde adición y sustracción, los sujetos fácilmente podíanusar la asociatividad y la conmutatividad mientraslos resolvían y sus respuestas casi siempre fueronaproximadamente correctas; sin embargo, en los demultiplicación, por ejemplo, resolvían el problema100 x 6, adicionando 6 veces lOO,pero no aceptabanque el mismo resultado aplicaba al cómputo de 6x 100.

Más recientemente, Schliemann, Araujo, Cassun-dé, Macedo y Nicéas (en prensa) analizaron el usode la propiedad conmutativa para solucionar pro-blemas de multiplicación en niños que aprenden amultiplicar en la escuela y muchachos que vendenen la calle y resuelven los problemas de multipli-cación a través de la adición repetida. Sus sujetosfueron vendedores de la calle brasileños, que no asis-ten regularmente a la escuela, quienes habían recibidoninguna o muy poca instrucción escolar sobre la mul-tiplicación, y niños brasileños, de primero a tercergrado escolar, que reciben instrucción escolar sobrela multiplicación desde segundo grado.

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Se les pidió a los sujetos resolver individualmentey en voz alta, pares de problemas verbales en loscuales tenían que calcular el precio de una ciertacantidad de chocolates basándose en el precio uni-tario. Los siguientes ejemplos permiten ilustrar losproblemas:

Tipo 1:Un chico quiere comprar chocolates. Cadachocolate cuesta 5 cruzeiros. Quiere comprar 3 cho-colates. Cuánto dinero necesita?

Tipo 2: Otro chico quiere comprar un tipo dechocolate y cada uno cuesta 3 cruzeiros. Quiere com-prar 5 chocolates. Cuánto dinero necesita?

Después de resolver un problema tipo 1 (en elcual, el número mayor denotaba el precio de un ele-mento y elmenor, el número de elementos a comprar),se presentó el problema correspondiente al tipo 2(con el número menor referido al precio y el mayor,al número de elementos) y se preguntó a los sujetos,si sabían la respuesta sin hacer cómputo alguno. Siel niño fallaba en hallar la respuesta basándose ensu respuesta al problema previo, se le pedía procedercon el cómputo. En los dos problemas, se pidió alos sujetos que justificaran sus respuestas y explicaransus procedimientos de cómputo. En un segundo es-tudio, con grupos de niños similares, se les dieronpares similares de problemas, pero la diferencia entrelos números que denotaban el precio y el númerode elementos en cada par, fue mayor. Por ejemplo,en uno de los pares, el costo de los chocolates enel problema 1 era de 50 cruzeiros y el número dechocolates, 3. Para el problema correspondiente altipo 2, el precio de un chocolate era de 3 cruzeirosy el número de chocolates, 50.

Se encontró que a los vendedores de la calle,con poca escolaridad, les parece inapropiado agregarel número de elementos tantas veces como el preciode cada uno, para encontrar el precio total. Por lotanto, solamente unos pocos hacen uso de la con-mutatividad. Esto sucedió con mayor probabilidad,cuando el problema presentaba una clara reducciónen el número de pasos de cómputo necesarios paraalcanzar la solución, como fue el caso en el segundoestudio, cuando tenían algún conocimiento escolarsobre la multiplicación, aunque no lo usaran. Tenien-do en cuenta los objetivos socialmente situados desus procedimientos de cómputo, la utilización de laconmutatividad, como un método abreviado, no lessuministra demostración directa de haber obtenidoel precio correcto. Así, parece que, mientras los am-bientes socioculturales, en los cuales los vendedoresde la calle resuelven problemas, les permiten de-sarrollar una comprensión matemática y procedi-mientos de cómputo significativos, los lazos inferen-

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ciales que desarrollan están parcial e intrínsecamenteligados con los objetivos de la situación que tratan.

Sin embargo, las estrategias cotidianas de cóm-puto de los vendedores de mayor edad o más ex-perimentados, pueden llegar a ser más flexibles yse pueden entender como parte de una estructuralógico-matemática general que se adecúa a los pro-blemas en contextos diferenciados. Schliemann y Nu-nes (1990), en un estudio sobre las matemáticas delos pescadores en el noreste de Brasil, mostraron quepescadores, no escolarizados, que calcularon el preciode un cierto número de elementos a través de laadición repetida del precio de uno de los elementosque venden, fueron capaces de invertir sus proce-dimientos y calcular el precio de un elemento, dadoel precio de muchos. Mas aún, fueron igualmentecapaces de transferir sus procedimientos para resol-ver problemas de proporcionalidad que relacionanla cantidad de comida marina procesada y no pro-cesada, una relación a la cual sus actividades estánreferidas, pero en las cuales nunca ocurren cálculos.

Schliemann y Magalháes (1990; ver tambiénSchliemann & Carraher, 1992) proporcionan mayorevidencia sobre la generalidad de las estrategias co-tidianas para resolver problemas de proporcionali-dad. Los participantes de su estudio fueron cocinerasmatriculadas en una clase de alfabetización paraadultos. Se les pidió resolver tres series de problemasde proporcionalidad y de valor faltante, que se pre-sentaron en tres órdenes diferenciados. Los proble-mas involucraban cantidades relativas a dos contex-tos, que eran parte de su experiencia cotidiana (uncontexto de venta y un contexto de cocina) ya uno,que les era desconocido y que estaba relacionadocon una mezcla de ingredientes farmacéuticos. Ensus actividades cotidianas, estas cocineras acostum-braban a calcular con precisión los precios de loselementos que compraban, pero, en la cocina, mien-tras decidían la cantidad de ingredientes a usar enuna receta, preferían usar cantidades aproximadas.Los resultados de las tres series de problemas mos-traron que casi siempre los problemas de precio fue-ron resueltos correctamente, sin tener en cuenta elorden de presentación; en cambio, las respuestas pre-cisas fueron escasas, en los de las recetas y las fór-mulas médicas, cuando uno de los dos era el primerproblema a resolver. En los problemas de recetas,los resultados fueron sorprendentemente diferentes,cuando se presentaron después que los sujetos re-solvieron los problemas de dinero: el porcentaje derespuestas correctas pasó del 18% al 61%. En con-traste, el porcentaje de respuestas correctas a los pro-blemas de medicina permaneció bajo (27%), cuando

ANALÚCIA D SCHLlEMANN RAZONAMIENTO LOGICO-MATEMÁTICO

estos problemas se presentaban después de los pro-blemas de dinero y precedían a los de las recetas.Solamente se obtuvo una diferencia significativa derespuestas correctas (62%), cuando los problemas demedicina se presentaron después de los de dineroy de los de las recetas.

Las respuestas de los pescadores y de las co-cineras a los problemas de proporcionalidad, en con-textos diferenciados, sugiere que el conocimiento so-bre las relaciones proporcionales, que se desarrollaen situaciones cotidianas específicas, puede conduciral desarrollo de modelos generales o, en nuestro caso,a reconocer que las mismas relaciones y procedimien-tos lógico-matemáticos se pueden aplicar en dife-rentes situaciones. Sin embargo, parece que se re-quiere un cierto grado de experiencia con las nuevassituaciones. En nuestro estudio, el pescador tenía ex-periencia con razones entre cantidades de comidamarina procesada y no procesada, y las cocinerastenían experiencia con las cantidades involucradasen las recetas. Esas experiencias les permiten reco-nocer que los problemas que involucran tales rela-ciones se pueden resolver a través de los mismosprocedimientos de cálculo que usan para los pro-blemas de precio. Pero esto no se logra fácilmentecon las relaciones o situaciones desconocidas, en lascuales no tienen experiencia, como aquellas relacio-nadas con fórmulas médicas en el estudio de las co-cineras.

Tomado como un todo, esta serie de resultadossobre solución de problemas de proporcionalidad porindividuos con escolaridad restringida, sugiere quesu comprensión de la proporcionalidad se desarrollaprimero, como estrategias de cómputo destinadas aresolver problemas en contextos específicos y limi-tados. Como tales, sus estrategias están fuertementevinculadas con los significados y objetivos de las si-tuaciones particulares que tratan. Con el incrementode la práctica, pueden desarrollar una comprensiónmás completa de las relaciones proporcionales y de-tectar similitudes entre las diferentes situaciones, lascuales los llevan al reconocimiento de relaciones yprocedimientos lógico-matemáticos como propieda-des generales, que se podrían adecuar a muchos con-textos diferenciados. Esta transición, desde el cono-cimiento cotidiano específico sobre las relacionesproporcionales, hasta el reconocimiento de un mo-delo general, que permite manejar relaciones pro-porcionales a través de contextos diferenciados, seajusta al punto de vista de Piaget y García (1991)según el cual, el conocimiento lógico-matemático tie-ne su fundamentación en una lógica, que inicialmenteesta íntimamente ligada con las propiedades espe-

cíficas de los objetos y de las situaciones tratadas,pero que posteriormente, con el incremento de laactividad y de la práctica, llega a ser general y sis-temática.

En la próxima sección intentaremos describircómo nos movemos de los significados específicoshacia una comprensión general de las relaciones ló-gico-matemáticas.

Significados situados y coherencialógica en la representación gráfica

Los gráficos son utilizados como sistemas sim-bólicos convencionales para representar ciertos as-pectos cuantitativos de cambios en eventos de la vidacotidiana. Las convenciones adoptadas en una rep-resentación gráfica, aunque arbitrarias (por ejemplo,los cambios en los ingresos se pueden representarcomo una línea que va hacia arriba o hacia abajo,como columnas más cortas o más altas, o como áreasmás pequeñas o más cortas), obedecen a un grupode reglas coherentes que se deben seguir; de estamanera, los cambios en el gráfico son lógicamentecoherentes con los cambios que se producen en loseventos (si el ingreso incrementa, la línea del gráficoirá hacia arriba, las columnas serán más altas, o elárea será mayor; si el ingreso disminuye, la líneairá hacia abajo, la columna será más baja, o el áreaserá menor). Así, la representación de un evento enun gráfico o la interpretación de los gráficos requiere,entre otros aspectos, adoptar un cierto grupo de re-glas lógicas y convencionales y consistente mente li-gadas con ellas, de tal manera que los cambios pro-ducidos en los eventos sean lógicamente consistentescon los cambios en la representación simbólica adop-tada para el gráfico.

Investigaciones recientes sobre cómo niños y ado-lescentes llegan a comprender la información gráfica(Carraher, Nemirovsky y Schliemann, 1995;Monk &Nemirovsky, en prensa; Nemirovsky, 1994; Tierney,Nemirovsky, Wright & Ackerman, 1993) muestranque la experiencia previa, el conocimiento y las in-tuiciones de un individuo juegan un gran papel enla tarea de comprender la información de un gráfico,permitiendo que uno atribuya significados a la re-presentación gráfica, sin recibir instrucción específicasobre cómo interceptar puntos en un espacio de dosdimensiones. Pero, cómo es posible que uno se muevadesde la atribución de significados, basados en ex-periencias y creencias previas, hasta la acumulaciónde información destinada a ser representada en elgráfico y a las reglas lógicas y convencionales adop-tadas para su construcción?

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A continuación intentaremos ejemplificar, en unproceso que involucra la búsqueda de coherencia ló-gica tanto individual como a través de la interacciónsocial, cómo uno se mueve de las significaciones queexclusivamente consideran lo socio-cultural, hacia lacomprensión de las propiedades generales lógico-matemáticas en la representación gráfica. Esto se lo-grará volviendo a analizar cómo intenta dar sentidoa un gráfico mientras lo discute con el entrevistador,una mujer, con escolaridad restringida. (para un aná-lisis más próximo que se centra en los diferentesaspectos del mismo dato, ver Carraher, Schliemann& Nemirovsky, 1995).

En Agosto 20 de 1994, el Jornal do Brasil, unode los principales periódicos brasileños, publicó losresultados de varios meses de encuestas de opinión,concernientes a las elecciones presidenciales en elpaís, que se llevarían a cabo en Octubre de ese año.Los resultados se presentaron bajo el formato de grá-ficos de líneas, utilizando una línea de color diferentepara cada candidato. El eje de la x presentaba lasfechas de las encuestas y el de la y, el porcentajede votos que le adjudicaban a los candidatos. Enel lado derecho del gráfico, al final de la línea, aparecíauna foto del rostro de cada candidato y a lo largode cada línea, el porcentaje de los posibles votos porcada uno se presentaba en cada punto de la líneacorrespondiente a las fechas de las encuestas. Losdos candidatos que encabezaban las encuestas, muypor encima de los otros candidatos, eran Lula y Fer-nando Henrique. Los porcentajes de Lula, en las sieteencuestas desde Marzo hasta Agosto (dos de ellasen Julio), eran 28,35,41,36,34,30 Y27. Los porcentajesque correspondían a Fernando Henrique eran 7, 16,17, 17, 20, 29 Y 40. El progreso constante de la ac-tuación de Fernando Henrique a través de los meses,culmina en Agosto, con una inversión completa delas posiciones relativas, que muchos aún desconocían:Lula ya no era el candidato favorito, como lo fueen los últimos cinco meses, y Fernando Henriqueestaba por delante de él (40% vs. 27%).

Con el gráfico a la vista, entrevistamos a Zefinha,un miembro del personal de aseo de una UniversidadBrasileña, quien tiene menos de tres años de esco-laridad y no sabía que Lula, su candidato, no estabaadelante en las encuestas. En primer lugar, el en-trevistador explicó a Zefinha que las líneas en el grá-fico nos estaban diciendo por quien decía la genteque votaría y que cada línea representaba los votosque se asignaban a cada candidato. Así es como Ze-finha reaccionó cuando se le pidió que contara loque ella' pensaba sobre lo que decían las líneas enel gráfico:

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Entrevistador: ...¿Qué piensas de lo que están di-ciendo esas líneas?

Zefinha (sin mirar al gráfico): Están diciendo queLula va a ganar.

1: Lo estamos elogiando, cierto?Z: Si, yo también.1:Ahora cuéntame, por qué piensas que las líneas

dicen que él va a ganar?Z: (de nuevo, no pone atención al gráfico): Porque

no hay duda que él ganará.Como puede verse, su interpretación inicial no

toma en cuenta la información del gráfico, más bien,consiste en imponer su conocimiento y deseo previosobre la situación. De acuerdo con esta primera in-terpretación, cuando el entrevistador le pidió queindicara en el gráfico lo que mostraba que Lula teníamás votos, ella miró a través de las líneas en el gráficoy señaló el final (27 y 28) de la línea de Lula. Alhacerlo, parecía que buscaba ciertas característicasdel gráfico que apoyara coherentemente su puntode vista y se convirtieran en representación de loque ella pensaba que era verdad.

Entonces, el entrevistador le pidió que hicieracomparaciones sistemáticas entre los resultados deLula y los de Fernando Henrique, en cada fecha delas encuestas, así informaba a Zefinha que la com-paración entre los dos candidatos, en cada uno delos puntos, en el tiempo, era relevante a la inter-pretación del gráfico. Zefinha siguió atentamente losnúmeros unidos en cada línea y comparó, en cadafecha, los resultados de los dos candidatos:

1:Cuando Lula tenía 28, dónde estaba FernandoHenrique?

Z: Fernando Henrique tenía 7.1: Lula estaba muy por delante, verdad?Z: Eso es lo que quiero, que él esté por delante.1: Aquí (en la columna de Mayo) Lula cuánto

tiene?Z: Lula tiene 41.1: Y Fernando Henrique?Z: 17.1: (Señalando a la primera fecha del eje de las

x) Esto era en Marzo. ¿Ves? En el mes de MarzoLula estaba por delante y Fernando Henrique, atrás.y después? Por ejemplo, aquí (en Mayo), dónde estáLula?

Z: 41.1:Se fue hacia arriba, ah? Ahora, Fernando Hen-

rique estaba aquí (en Mayo).Z: 17.Cuando se discutieron la mayoría de las encuestas

recientes, Zefinha tuvo que tener en cuenta datosque estaban en contra de su conocimiento previo

ANALÚCIA D SCHLlEMANN RAZONAMIENTO LOGICO-MATEMÁTICO

sobre las encuestas y en contra de sus deseos. Peroaún no estaba lista para hacerlo y continuaba bus-cando las características específicas del gráfico queapoyarían su punto de vista:

1: Qué pasó aquí (señalando el número 34, co-rrespondiente a la primera encuesta de Julio)? Lulatuvo aquí (en Mayo) 41. Qué sucedió con los votosque consiguió aquí (primera votación de Julio)?

Z: Subió a 34.1: Perdió un poco?Z: Si.1: Pero aún está por delante?Z: Pero aún está al frente; aún tiene 28 (la va-

loración -de Lula en la encuesta de Marzo) y ésteun 27 (la encuesta en Agosto).

1: 27.Z: y este 27 (en Agosto) es de Lula ... Y él (Fer-

nando Henrique) tiene 40 (también en Agosto).Consistente mente con su posición previa, según

la cual, la línea total muestra qué tan bien va uncandidato, ella parece insistir en interpretar los pun-tos en las líneas, como pertenecientes a un candidato:Lula tiene 28 desde Marzo, l/y este 27 es de Lula... y él (Fernando Henrique) tiene 40". Esta inter-pretación apoya coherentemente sus deseos y seríacorrecta si, por ejemplo, estuviéramos analizando ungráfico que muestre el número de goles acumuladospor el equipo Brasileño en el último campeonatomundial de football, a través de diferentes partidos.Sin embargo, para las encuestas electorales, los únicosresultados que cuentan son los resultados finales.Veamos cómo Zefinha llegará a darse cuenta de esto,a medida que trata de seguir las orientaciones delentrevistador para centrarse en los resultados deAgosto, cuando Lula no está por delante en las en-cuestas: .

1: (Señalando los resultados finales) Esto es enAgosto.

Z: En Agosto.1: Ahora en Agosto, quién está al frente? Lula

o Fernando Henrique? ..Z: En Agosto? (Zefinha explora el gráfico y vuelve

a la línea superior) Fernando Henrique está aquí!(señalando una línea azul más clara en la parte in-ferior del gráfico).

De las comparaciones a través de los meses, pa-rece que ahora ella acepta que los resultados finalesson los únicos que realmente cuentan. En este caso,la comparación de las dos líneas, en Agosto, cuandola línea de Fernando Henrique aparece arriba de lade Lula, debería llevarla a una conclusión que con-tradice su conocimiento y deseo previo. En este puntode la entrevista, cuando se le pidió considerar los

resultados de Agosto, cambió su punto de vista an-terior y trató de encontrar en el gráfico otras carac-terísticas que resultaran lógicamente coherentes consu punto de vista sobre Lula como ganador. Sabíaque las líneas más bajas indican actuaciones más po-bres y mientras mantenía un análisis coherente delas líneas en el gráfico, buscó los datos de FernandoHenrique, como último recurso para apoyar su deseo.Así, es como reaccionó cuando el entrevistador leexplicó que las líneas inferiores se referían a otroscandidatos y que las dos líneas superiores era lo queimportaba:

1:No vamos a mirar esas ahora. Aquí, en la parteinferior, tenemos a Amim, Quercia, y Brizola (losotros candidatos). No vamos a mirar esas ahora.

Z: (inspecciona cuidadosamente el gráfico): OK.Entonces, dónde está Lula?

1: Lula es la línea roja de arriba, aquí.Z: La línea roja es Lula.1:Y la única azul es de Fernando Henrique. Aquí

(señalando los puntos finales de las líneas) es Agosto.Z: Es el mes de Agosto.1: Quien está a la cabeza?Z: Está Lula. Oh no! (Con exasperación). Es Fer-

nando Henrique?! No, pero no quiero que FernandoHenrique gane!

1:(Empáticamente) Pero cambiará de nuevo comoantes.

Z: (Colocando mucha atención al hecho que lalínea de Fernando Henrique termina más arriba quela de Lula) Porque por esta alineación es que FernandoHenrique está más arriba.

Aunque turbada por la situación, Zefinha decidemantener un punto de vista lógicamente coherentecon lo qué está representado en el gráfico y concluyeque Fernando Henrique está por delante de Lula.Entonces, se le pide explicar qué debía pasarle a Lulaen Septiembre para ganar. Primero se centró en elsignificado de la situación y respondió que cada unodebería ir y trabajar para conseguir más votos paraLula. Entonces, explicó que desearía ver qué pasaríacon el gráfico en el futuro, de tal manera que pudierarepresentar coherentemente los cambios deseados enla campaña electoral:

Z: Esta línea pequeña tiene que dar más votos,tiene que ir hacia arriba más números.

1:Así es. A dónde queremos llevarlo? Muéstrame.Z: Queremos que vaya hacia arriba, así (trazando

el segmento final del gráfico de Fernando Henrique).1:Tiene que ir hacia arriba. Qué quieres que su-

ceda con la línea de Fernando Henrique?Z: Quiero que la línea de Fernando Henrique

esté por debajo de esta (la de Lula).

REVISTACOLOMBIANADE PSICOLOGIA 105

DOSSIER - DEBATE

El proceso que Zefinha llevó a cabo para inter-pretar el gráfico de acuerdo con las convencionesadoptadas en su construcción involucró, entre otros,aspectos socioculturales, interacciones sociales conel entrevistador, el uso de conocimiento previo sobrelas relaciones y posiciones numéricas en el espacioy el conocimiento sobre la campaña electoral. Igual-mente, involucró los procesos de razonamiento in-dividual de Zefinha, en una búsqueda constante decoherencia lógica en cada uno de los pasos que lacondujeron a la comprensión final de la informaciónrepresentada en el gráfico. Esto la llevó a dejar delado sus primeras interpretaciones, profundamenteligadas con su participación en la campaña y al final,aún en contra de su deseo, a adoptar la única in-terpretación que era posible sostener lógicamente.El desarrollo de su comprensión sobre las propie-dades lógico-matemáticas del gráfico parece funda-mentarse en las propiedades específicas de los even-tos que trata, o, en términos de Piaget y García (1991),en una lógica de significados. Pero aún en los pri-meros pasos de este desarrollo, ella manejaba lazosinferenciales y trataba de encontrar en el gráfico lascaracterísticas que coherentemente apoyarían su pun-to de vista. Así, a medida que exploraba las carac-terísticas del gráfico, su comprensión de las conven-ciones se vuelve parte de un todo estructural delcual se podía derivar deductivamente una conclusiónsobre la tendencia reciente y futura de la campaña.

Conclusiones

Los estudios sobre la comprensión de la propor-cionalidad sugieren que en el desarrollo del razo-namiento lógico-matemático, a medida que las per-sonas resuelven problemas en situaciones cotidianas,inicialmente aparecen estrategias de cómputo quepermiten manejar situaciones específicas. Estas es-trategias revelan la comprensión de propiedades yrelaciones lógico-matemáticas, pero se centran prin-cipalmente en el significado de las situaciones enlas cuales la solución de los problemas se lleva cabo,una característica que es consistente con la idea dePiaget y' García (1991) sobre de una lógica de sig-nificados. Como tal, la comprensión inicial de lasestructuras lógico-matemáticas generales de la queellas forman parte, es parcial y específica. Con elincremento de la experiencia, una comprensión máscompleta se desarrolla y las propiedades generalesde las estructuras matemáticas subyacentes a cóm-putos, que involucran relaciones de proporcionalidaden un contexto determinado, se pueden reconocercasi como las mismas, en otros contextos.

106Nos. 5-6 AÑO MCMXCVIIU. NACIONAL DE COLOMBIABOGOTA, D.C.

El estudio de caso sobre la comprensión de larepresentación gráfica muestra cómo, sin instrucciónescolar formal sobre la interpretación de gráficos,uno puede llegar a comprender los eventos descritosen un gráfico. Esto se logra a través de un procesode atribución de significados a las diferentes carac-terísticas de la representación sobre la base de deseos,opiniones y conocimientos personales sobre la situa-ción. Sin embargo, a pesar de la fuerte implicaciónpersonal en la situación, a través del proceso apareceuna búsqueda constante de coherencia lógica. Loslazos inferenciales iniciales, locales y específicos -enpalabras de Piaget y García, la lógica inicial de sig-nificados- más tarde se vuelven generales, permi-tiendo al sujeto tener en cuenta los diferentes aspectosde la representación y de la situación como partede una totalidad lógicamente coherente.

Con este nuevo análisis de los estudios sobrerazonamiento matemático en contextos cotidianos,inspirados en los últimos desarrollos de la teoría dePiaget, espero haber contribuido a una mejor com-prensión de la emergencia del conocimiento lógico-matemático, como una integración de los procesosde razonamiento individual y socio-cultural q¡

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