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Razón de Cambio Promedio
Razón de Cambio instantánea
(la derivada)
Razón de Cambio Promedio
La razón de cambio promedio de “y” respecto a “x”, cuando x cambia de x1 a x2 corresponde a la razón de: el cambio en el valor de salida entre el cambio en el valor de entrada:
1212
12 ; xxxxyy
Ejemplo:
Para f(x) = x2, determine la razón de cambio promedio cuando:
a. x cambia de 1 a 3
b. x cambia de 1 a 2
c. x cambia de 2 a 3
Razones de cambio promedio
x x + h
f (x)
f (x+h)
h
Ls
Razones de cambio promedio
La razón promedio de f con respecto a x está dado por:
0,)()(
hdondeh
xfhxf
Ejercicio:
Para f(x) = x2 determine la razón de cambio promedio en cada caso:
a. x = 5 y h = 3
b. x = 5 y h = 0,1
Note que la razón de cambio promedio no es otra cosa que la pendiente de la recta secante (L s) la gráfica de la función. Es decir :
hxfhxf
mLs)()(
Razones de cambio promedio
x x + h
f (x)
f (x+h)
h
Ls
La Derivada
Si tomamos el límite de la razón de cambio promedio cuando “h” tiende a cero, la pendiente de la recta secante se convierte en la pendiente de la recta tangente, observemos:
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf
hx 0
h
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf
hx 0h
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf
hx 0h
x
y
0x
)( 0xf)( 0 hxf
hx 0h
x
y
0x
)( 0xf )( 0 hxf
hx 0
Tangente!!!
En el límite, cuando h tiende a cero, la recta secante se confunde con la recta tangente en x0 , y podemos decir que :
h
xfhxfLímmh
LT
)()( 00
0
Este último límite es conocido en el Cálculo Diferencial é Integral como la derivada de la función respecto de la variable x, en x = x0 .
En consecuencia, la derivada de una función es numéricamente igual a la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en x = x0 .
El valor de la derivada de una función indica la rapidez con que la función está cambiando en un valor específico de x, en x = x0.
entonces,la derivada de una
función en x = x0 es:
hxfhxf
Límh
)()( 00
0
Pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en x = x0
La razón de cambio instantánea de la función en x = x0
Conceptualización de la derivada de una función
Notación de la derivada de una función :
La derivada de una función y = f(x) respecto de la variable x, se denota de las siguientes maneras :
dxdy )(xf y
Ejemplo:
Usando la definición, determine las expresiones de la derivada de las siguientes funciones :
a) f(x)=x b) f(x)= x2
Ejemplo
Determine la ecuación de la tangente a la curva y = x2 en el punto donde x = 2.
Técnicas de derivación
Regla de la potencia
¿Cuáles eran las derivadas de las siguientes funciones?
1. f(x) = x
2. f(x) = x2
¿Se puede generalizar?
Regla de la potencia
Ejemplos
1 kk xkyxy
:kreal,númerocualquierPara
Derivada de una función constante
La derivada de una función constante es ceroEs decir : 0 ycy
Ejemplos
Derivada de una constante por una función:
La derivada de una constante por una función, corresponde a la constante multiplicada por la derivada de la función.
Esto se puede escribir asi :
fcyfcy ..
Ejemplos
Derivada de una suma o diferencia de funciones
La derivada de una suma o diferencia de funciones, es igual a la suma o diferencia de las derivadas de dichas funciones
gfygfy
Ejemplos
Derivada del producto de funciones
gfgfygfy ...
Ejemplos
Derivada del cociente de funciones
Si : 0, ggf
y
Entonces:
2
..g
gfgfy
Ejemplos
Aplicación de la razón de cambio instantánea
Marginalidad
Razón de cambio instantánea
hxfhxf
límxfh
)()()(
0
ainstantánecambiodeRazón:ffuncióncualquierPara
Análisis Marginal
¿Cómo podríamos determinar en forma aproximada el costo de producción de la novena unidad sin tener que hacer una diferencia de costos?
Análisis Marginal
8 9
C(8)
C(9)Creal Caproximado
C(q)
La pendiente de la recta tangente en q = 8 es la derivada del costo total en q = 8
Análisis Marginal
Esta pendiente es numéricamente igual a cociente Caproximado / 1, es decir, al costo aproximado
De los párrafos anteriores se puede deducir que C´(8) = Caproximado unidad 9
Análisis Marginal
A este costo aproximado se le conoce como el costo marginal de producir la novena unidad
En general podemos decir que :
C marginal unidad “n” = C´(n-1)
Análisis Marginal
La función ingreso marginal es la derivada de la función ingreso
La función utilidad marginal es la derivada de la función utilidad
Análisis Marginal
