Razlomci u nastavi matematike

u osnovnoj školiStručni skup za učitelje matematikeVaraždin, 29. lipnja. 2011.

Sanja Stilinović, prof. učitelj savjetnik

5. razred1. Uvođenje pojmaCilj: osvijestiti potrebu za uvođenjem brojeva koji označavaju dio cjelineAktivnosti za učenike:navesti primjere iz svakodnevnog života:• pola kruha • četvrtina Quattro sladoleda• petina čokolade• pola plaće ide na režije• trećina perlica na ogrlici su biserne• za kolač treba „frtalj kile” malina• baka kaže sad je „trifrtalja šest”• pet dvadesetčetvrtina razreda ide u glazbenu

- učenici nemaju poteškoća u navođenju primjera iz svakodnevnog života

- uočavaju vezu računske operacije dijeljenja i razlomaka- u uvodnim primjerima navode i razlomke kojima je brojnik

različit od 1 svaki dio čini pravokutnika

narančastih dijelova ima 4

narančasto je obojano pravokutnika

- potrebno je iskoristiti taj intuitivni nivo

- međutim, dakle 4 cjeline dijelimo na 10 dijelova

101

104

10:4104

Cilj: Uočiti da razlomak kojemu je brojnik različit od 1 možemo interpretirati na dva načinaAktivnosti za učenike:Usporediti količinu čokolade koje će dobiti jedno dijete u primjeru ravnopravne podjele 3 čokolade na 5 prijatelja i količinu čokolade koje dobije dijete ako čokoladu podijeli na pet jednakih dijelova te uzme 3 takva dijela

53

Učenici povezuju razlomke s računskom operacijom dijeljenja Pitanje:- što je s dijeljenjem bez ostatkaCilj: usvojiti pojam prividni razlomakAktivnosti za učenike:Na praktičnom primjeru uočiti vezu prirodnih brojeva i razlomaka

34:124

124

124:12

U četiri kamiona treba ukrcati 12 tona tereta tako da u svakom kamionu bude jednaka količina tereta. Koliko će se tereta ukrcati u svaki kamion?

34

12

- ovakve zadatke učenici rješavaju bez poteškoća no zadatak: zapiši broj 7 kao razlomak s nazivnikom 3, većina učenika ne zna riješiti

- potrebno je zadati više praktičnih zadataka koje izmjenjujemo sa zadacima tog tipa

- primjer zadatka otvorenog tipa:Napiši zadatak u kojemu koristiš prividni razlomak, a odnosi se na sliku:

2. Dekadski razlomci- učenici imaju poteškoća u razlikovanju decimalnog broja i

decimalnog zapisa razlomka (8. razred)- važno: svaki decimalan broj može se zapisati u obliku

dekadskog razlomka- zapisivanje decimalnih brojeva u obliku dekadskog razlomka- zapisivanje dekadskog razlomka u obliku decimalnog broja- postotak

postotakeng. percent

- česti su problemi s mjernim jedinicama

%1000.0

1

1

1

1 %

mjerne jedinice:99

100

4.139 m

4. 4

4.139 m 4 m

1110

1 0

331d 9 mm 00m 3 cm

6. razred1. Uspoređivanje razlomaka različitih nazivnikaUčeničke aktivnosti:korištenjem različitih modela zaključiti da razlomke treba proširivanjem ili skraćivanjem svesti na zajednički nazivnikZadatak 1:

Tomislavova kuća udaljena je od autobusne stanice km, a od

željezničke stanice km. Je li Tomislavovoj kući bliža autobusna ili

željeznička stanica?

- učenici zaključuju: bliža je autobusna stanica jer je 560 m < 650 m

2514

2013

1 1 km = od 1000 m = 40 m25 2514 km = 560 m25

1 1 km = od 1000 m = 50 m20 2013 km = 650 m20

Zadatak 2:Prikaži crtežom razlomke te ih poredaj po veličini od najmanjeg

32 ,

43 ,

65

56

23

34

1012

912

812

Zadatak 3:

U 6.b razrednom odjelu učenika se bavi sportom, a učenika

ide u školu stranih jezika. Ako je u 6.b 24 učenika što možeš reći o

odnosu broja sportaša i broja učenika koji uče strane jezike?

- dio učenika uočava:

- dio učenika uočava

zaključuju da je manje onih

koji uče strane jezike

65

86

5 20 6 18, 6 24 8 24

5 od 24 = 20 sportaša6

6 od 24 = 18 uči jezike8pa je sportaša više

2. Množenje razlomakaUčeničke aktivnosti:korištenjem različitih modela otkriti pravilo za množenje razlomakaZadatak 1:U svakoj od 3 boce nalazi se l tekućine. Koliko je ukupno litara tekućine u tim bocama?

- ovaj model rješavanja nije prikladan za zadatke u kojima treba izračunati:

43

litara 49

43

43

43

433

53

43 ili 3

43

49

433

Zadatak 2:Izračunaj površinu pravokutnika čije stranice imaju duljine

m. 3 i m 43

2

2 2 2

3 m 75 cm4P 75 300

P 22 500 cm22500 922 500 cm m m10000 4

493

43

34

m

3 m

• Zadatak 3:Prikaži crtežom i odredi umnožak.

53

43

209

53

43

3. Dijeljenje razlomakaUčeničke aktivnosti:Odgovarajućim modelom objasniti smisao dijeljenja s razlomkom

- model površine nije odgovarajući

- interpretiramo:

koliko je potrebno boca od pola litre

da se u njih rastoči 10 litara vode

21:10

10 :10 110 : 5 210 :1 10

110 : 10 202110 : 20 100

15

2

0

-učenici trebaju uočiti činjenicu:

koliko puta smanjimo djeljenik toliko se puta poveća količnik

1 je puta manje d a2

v od 11 1 je puta manje ope0

t d 1 2

10 :10 110 : 5 210 :1 10

110 :2110 :

10

10 10

10

22

101

1: 20

1: 1 100

00

interpretiramo:

- koliko je čaša od četvrtine litre potrebno da se u njih rastoči litra i

pol soka

1 11 :2 4

4. Brojevni izrazi- nakon obrade linearnih jednadžbi s racionalnim koeficijentima učenici često griješe u rješavanju brojevnih izraza- primjenjuju tvrdnju:Iz a = b slijedi a · c = b · c- ukoliko znak jednakosti stavimo na početak, takve pogreške se ne javljaju

7 12 19 113 5 30 6

· 30

7 12 19 11 3 5 30 670 72 19 55

303830

70 – 72 + 19 – 55 =– 38

7. razred1. Koeficijent proporcionalnosti- uvođenjem proporcionalnosti pomoću razmjera i korištenjem

strelica učenici imaju poteškoća u rješavanju zadataka:4.2 kg deterdženta košta 65,10 kn, a 3.6 kg tog istog deterdženta košta 57,60 kn. Što je povoljnije?- postavljaju shemu koja nema smisla i ne vodi rješenju

4.2 65.103.6 57.60

- uvođenjem koeficijenta proporcionalnosti i njegovom interpretacijom (cijena jednog kilograma) zaključuju:

cijena kilograma u prvom slučaju je 15,50 kncijena kilograma u drugom slučaju je 16,00 kn

Povoljnije je kupiti 4.2 kg tog deterdženta.

Cilj:uočiti odnos proporcionalnih veličinaAktivnosti za učenike:rješavanjem zadatka doći do zaključka da su omjeri vrijednosti veličina uvijek jednakiZadatak:Dana je tablica potrošnje vode jedne stambene zgrade za prvih šest mjeseci. Odredi omjer cijene i količine potrošene vode i zapiši svoja zapažanja te interpretiraj vrijednost tog omjera

mjesec siječanj veljača ožujak travanj svibanj lipanjkoličina vode 92 m3 90 m3 98 m3 96 m3 104 m3 108 m3

cijena 1242 kn 1215 kn 1323 kn 1296 kn 1404 kn 1458 knomjer cijene i količine

1242 13.592

1215 13.5

90

1323 13.598

1296 13.5

96 1404 13.5

104

1458 13.5108

Zaključak:- omjer cijene i količine je uvijek isti (ekvivalentni razlomci)

- cijena = 13.5 · količina- 13,50 kn je jedinična cijena tj. cijena 1 m3 vode- ova zgrada više vode troši ljeti nego zimi, što je logično- veljača je najkraći mjesec pa su potrošili najmanje vode

13.5cijenakoličina

mjesec siječanj veljača ožujak travanj svibanj lipanjkoličina vode 92 m3 90 m3 98 m3 96 m3 104 m3 108 m3

cijena 1242 kn 1215 kn 1323 kn 1296 kn 1404 kn 1458 knomjer cijene i količine

1242 13.592

1215 13.5

90

1323 13.598

1296 13.5

96 1404 13.5

104

1458 13.5108

2. Nagib pravca

1

1

x

y

a1

a

b

b1

1

1

a ab b

sličnost trokuta

1 1

a ba b

1

1

x

y1

1

1 12

12

p y x

k

.... 2

2

1 12

12

p y x

k

....

2p 1

p

2 desno

1 gore

2 lijevo

1 gore

1

1

x

y5 13

y x

8. razred1. Decimalni zapis realnog broja- svaki realan broj x ima jedinstven prikaz u obliku

- ako postoji p takav da je an = 0 za svaki n > p, realan broj x je decimalan broj

- razlikovati vrste decimalnih zapisa racionalnih brojeva- racionalni broj zapisati u decimalnom zapisu- oprezno s obratom 1.0000… = 0.9999…, 3.0000… = 2.9999…, 7.3000… = 7.2999…Cilj: uočiti vezu prostih faktori nazivnika racionalnog broja i vrste decimalnog zapisa racionalnog brojaAktivnosti za učenike:razlomke zapisati u decimalnom obliku, faktorizirati njihove nazivnike i zapisati zaključke

1 10n

nn

ax x

Zadatak 1: Razlomke zapiši u decimalnom zapisu i faktoriziraj nazivnik. Zapiši svoja opažanja.

razlomak decimalni zapis nazivnik rastav na proste faktore 1320

0.65 20 20 = 2 · 2 · 5 999625

1.5984 625 625 = 5 · 5 · 5 · 5 827

0.296296... 27 27 = 3 · 3 · 3 196

-3.1666666... 6 6 = 2 · 3 121

0.047619047619... 21 21 = 3 · 7 2

675 0.00296296... 675 675 = 3 · 3 · 3 · 5 · 5

118

-1.375 8 8 = 2 · 2 · 2 1577

0.194805194805... 77 77 = 7 · 11 42455

7.70909 55 55 = 5 · 11 170

0.0142857142857 70 70 = 2 · 5 · 7

KDZ MPDZČPDZ

Literatura:• G. Polya: Matematičko otkriće, HMD,Zagreb, 2003., 436 str.• B. Pavković, D. Veljan: Elementarna matematika 1, Školska

knjiga, Zagreb, 2004., 424. str.• Ž. Orčić, S. Stilinović, N. Sarapa: Matematika 5, Školska knjiga,

Zagreb, 2009.• Ž. Orčić, R. Svedrec, N. Sarapa: Matematika 6, Školska knjiga,

Zagreb, 2009.• Ž. Orčić, R. Svedrec, N. Sarapa: Matematika 7, Školska knjiga,

Zagreb, 2009.• B. Copić, Ž. Orčić, N. Sarapa: Matematika 8, Školska knjiga,

Zagreb, 2009.• www.google.hr - slike

Hvala na pažnji!