i

INSTABILIDADE E SENSIBILIDADE DE CASCAS CIL1NDRICAS

ClRCUNFERENCIALMENTE ENRIJECIDAS

Paulo Bati.sta Gonçalves

TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS DE

PÔS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JA

NEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÃRIOS PARA A OBTENÇÃO DO

GRAU DE MESTRE EM CI~NCIAS (M.Sc.)

Aprovada por:

(Presidente)

RAUL ROSAS E SILVA

~j~~)(ê/4; 5$~GIO FERNANDES VILLAÇA

RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL

MARÇO DE 1983

ii

GONÇALVES, PAULO BATISTA

InstabLlidade e Sensibilidade de Cascas

Cilíndricas Circunferencialrnente Enrijeci­

das (.Rio de Janeiro) 1983.

IX, 129p. 29, 7cm. (.COPPE-UFRJ, M.Sc.,

EngenharLa Civil, 1983)

Tese - Univ. Federal Rio de Janeiro, Fac.

de Engenhari.a.

l.Assunto I.COPPE/UFRJ II.Título (série)

iii

,, A

Manoel e Suzana,

meus pais".

iv

AGJ!ADECJMENTOS

Ao Professor Ronaldo Carvalho Batista, pela solicit~

de e pela maneira amiga com que me orientou neste trabalho.

Aos colegas da COPPE, em especial a Manoel

Filho e aos amigos da RMCI.

Aos Professores da COPPE.

Justino

À .CNEN e ao CNPq pelo apoio financeiro concedido.

A Beth pelos serviços de datilografia e Gilmar pela

confecção gráfica deste trabalho.

V

RESUMO

Uma análise da carga critica e da sensibilidade a im

perfeições de cascas cilíndricas enrijecidas por anéis sob pre~

são externa e aqui apresentada. A sensibilidade a imperfeições é

avaliada em função do comportamento pós-critico inicial da estru

tura, determinado através da Teoria Geral da Estabilidade devida

a Koiter.

O estudo é restrito aos casos onde os enrijecedores

sao de tal modo espaçados que o colapso local da casca é predom{

nante. Os enrijecedores são esbeltos e igualmente espaçados e lf!..

va-se em conta o efeito da rigidez torsional e flexional dos mes

mos sobre o comportamento da estrutura.

f; desenvolvido um estudo paramétrico com a finalidC!:_

de de determinar a influência dos parâmetros geométricos, tanto

da casca quanto dos anéi~, sobre a carga critica e a sensibilida

de a imperfeições.

A boa correlação entre resultados experimentais relC!:_

tados na literatura, recomendações de normas e os resultados teó

ricos aqui obtidos parecem indicar que estes últimos podem ser

usados com segurança no dimensionamento destas estruturas, cons­

tituindo em certos casos paramétricos uma base para futuras reco

mendações de projeto.

• vi

ABSTRACT

An analys-is- of the buckling load and the imperfection­

sensitivity of ring stiffened cylinders under external pressure

is presented. Koiter's general post-buckling theory provides the

basis to estimate the imperfection-sensitivity by relating it to

the initial post-buckling behavior ôf the perfect structure.

Attention is restricted to cases in which the

stiffeners are sufficiently widely spaced for local buckling to

be the predominant mode. The stiffeners are light and equally

spaced and their bending and torsional stiffness are taken into

account.

A parametric study was developed and the effect of

shell and ring geometria parameters on the buckling load and

imperfection-~ensitivity was evaluated.

Theoretical predictions· are compared with available

test resulte and recommended desig~ curves and it is shown that

the resulta here obtained are in good agreement with experimental

results. The presented theoretical approach could serve then as

a guideline for adequated choice of geometria parameters for

design.

vii

ÍNDICE

Pag.

CAPÍTULO I - INTRODUÇÃO •• , ................................. t•• 1

I.l - CONSIDERAÇÕES GERAIS SOBRE ESTABILIDADE DE CASCAS,. 2

I.2 - ANÁLISE DE CASCAS CILÍNDRICAS ESBELTAS COM ENRIJECE-

DORES ANULARES . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

I.3 - OBJETIVOS E PROCEDIMENTOS DO PRESENTE TRABALHO .. ,.. 7

CAPÍTULO II - ESTABILIDADE DE CASCAS CILÍNDRICAS GEOMETRI-

CAMENTE PERFEITAS COM ENRIJECEDORES ANULARES. 10

II.l - HIPÓTESES GERAIS DE ANÁLISE .•. , ... , .. ,............ 11

II.1,1 - Escolha das Funções Deslocamento,............ 15

II.2 - FUNCIONAL DE ENERGIA ••••••••••••,.,.•••••••••••••••e 16

II.2.1 - Relações Deformação-Deslocamento para a Casca, 16

II.2.2.- Relações Deformação-Deslocamento para o Enrij~

ceder Anular ..... ., ....... , ......... , ...... ,. . , 1 7

II.2.3.- Construção do Funcional de Energia ...... ,.,.. 18

II.3 - ENERGIA POTENCIAL TOTAL NA FORMA INCREMENTAL 20

II. 3. l. - Estado Fundamental ...•.•. , •. , , ... , ....... , , . , 20

II.3.2 - Estado de Deformação Incremental ...... , .... ,, 22

II:3:3 - Forma Incremêntal da Energia P6tencial Total·~

V: : <I>

II.4 - ANÁLISE DA BIFURCAÇÃO ........................ , .... ~ II.4.1 - Equações de Equilíbrio Critico e Condições de

22

25

Contorno Associadas ....•..... ~............... 26

II.4,2 - Resolução do Problema de Bifurcação.......... 29

viii

II. 4. 2 .1 - Escolha das. Funções Apro.x:i.madas para o Modo

Crftico U ., ..... , ..... ~··················· 29

II.4.2.2 - Deduçao dos Coefi.cientes do Sistema

.., Í} + <jl B] ~ = O • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • . • . . • • 31

II.5 - ANÃLISE CLÃSSICA DE CASCAS ENRIJECIDAS BIAPOIADAS.. 33

CAPÍTULO III - CARGAS E MODOS DE BIFURCAÇÃO: RESULTADOS NU

M:l':RICOS ..•.....•..... , .................... , 3 8

III.l - IMPLEMENTAÇÃO NUM:l':RICA DO CÃLCULO ............... 39

III.2 - ANÃLISE DOS RESULTADOS NUMtRICOS REFERENTES Â CAS

CA SIMPLESMENTE APOIADA......................... 40

III.3 - ANÃLISE DOS RESULTADOS NUMtRICOS REFERENTES Â CAS

CA ENRIJECIDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

CAPÍTULO IV - ANÃLISE ASSINTÓTICA DO CAMINHO PÔS-CRÍTICO.. 58

IV.l - ANÃLISE DA ESTABILIDADE DE ESTADOS PÔS-CRÍTICOS

INICIAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

IV.2 - CÃLCULO DO CAMPO DE DESLOCAMENTOS U -2

IV.3 - CÃLCULO DA CURVATURA DO CAMINHO PÔS-CRÍTICO EM

61

<P = rp cr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

IV.4 - CÃLCULO DE rj,2

PARA CASCA SIMPLESMENTE APOIADA... 75

CAPÍTULO V - COMPORTAMENTO PÔS-CRÍTICO INICIAL E SENSIBILI-

DADE A IMPERFEIÇÕES: RESULTADOS NUMtRICOS ..... 79

V.l - IMPLEMENTAÇÃO NUM:i::RICA 80

ix

V.2 - RESULTADOS REFE;RENTES AO CA!1JNHO PÔS-CRÍTlCO INl-

CIAL DA CASCA ISOTRÔPJCA ......................... 80

V.3 - RESULTADOS REFERENTES AO CAMJNHO .PÔS-CRÍTICO INI-

CIAL DA CASCA ENRIJECIDA ........................ 90

CAPÍTULO VI - CORRELAÇÃO ENTRE RESULTADOS :TEÔRICOS E EXPER!

MENTAJS . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

VI.! - INTRODUÇÃO ....................................... 95

Vl.2 - ANÃLlSE DA CARGA DE FLAMBAGEM DE CASCAS CILÍNDRI-

CAS SIMPLESMENTE APOlADAS ....................... 97

VI.3 - RESULTADOS TEÔRICOS E EXPERIMENTAIS RELATIVOS Â

CARGA DE FLAMBAGEM DA CASCA ENRIJECIDA .......... 105

CAPÍTULO VII - CONSIDERAÇÕES FINAJS ....................... 111

LISTA DE SÍMBOLOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

REFERf:NCIAS BIBLIOGRÃFICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

CAPÍTULO I

INTRODUÇÃO

2

CAPÍ.TULO I

INTRODUÇÃO

I .1 - CONSIDERAÇÕES GERAIS SOB.RE ESTABILIDADE DE CASCAS

Cascas esbeltas têm sido frequentemente usadas na

construçào de silos, cobertura de grandes espaços, depósitos de

fluidos e também na construçào de painéis enrijecidos os quais

sào largamente empregados na indústria naval, aeroespacial, pe­

troquímica e, mais recentemente, na indústria nuclear para cons­

truçào de componentes de reatores e nas estruturas off-shore.

Urna das propriedades das cascas esbeltas é que a ri

gidez de membrana é superior à rigidez à flexa·o, podendo, sob

cargas apropriadas, absorver grande quantidade de energia de rnern

brana sem sofrer grandes deformações. Se urna casca é carreg'.ada

de tal maneira que a maior parte da energia é de membrana e se

há um caminho em que esta energia de membrana pode se converter

em energia de flexão, a casca pode ruir de maneira catastrófica

em um processo denominado flarnbagern.

Para que se possa dimensionar com eficiência urna cas

ca esbelta, evitando a ruina catastrófica da mesma, o projetista

deve conhecer o seu mecanismo de i.nstabi lidade.

A análise clássica da estabilidade devida a Euler 16

se atem a procura da carga na qual urna configuração de equilí­

brio vizinha à original deixa de ser estável e passa a ser neu­

tra. Entretanto, para várias estruturas tais corno cascas éilín-

3

dri,cas sob pressao. axi,al ou radi-al e caiwas. esférfcas SQb pre~

sà'o. externa,, dentre outras·, s-empre s:e notou uma gra,nde discrepân

eia entre a carga criti.ca teôrfca ohti.da pela teorfa clássica e

os resultados· experimentais. Esta discrepância se manteve inex­

plicável por muitos anos. A teoria de Koiter 4 .foi a primeira a

dar uma explicaçà'o raci.onal para o problema: o colapso se dá pa­

ra uma carga menor que a prevista devi.do a presença de imperfei.-·

çoes geométricas na estrutura real.

Como todas as estruturas sao na realidade imperfei­

tas,.é· necessário, portanto, se saber se o comportamento estrutu­

ral não-linear é sensível a imperfeições iniciais.

Uma forma alternativa para a i.nvesti.gaçào deste fenô

meno é dada pela teoria da estabilidade assintóti.ca de Koiter,

que analisa o comportamento da estrutura após a bifurcação, sen­

do válida na vizinhança do ponto critico, dando informações qua­

litativas e quantitativas sobre a sensi.bili.dade da estrutura a

imperfei.ções iniciai.s.

I.2 - ANÃLISE DE CASCAS CIL!NDRICAS ESBELTAS COM

ANULARES

ENRIJECEDORES

Em comparaçao com o grande .número de pesqui.sas con­

cernentes a ci.lindros sob compressií.'o axial, com ou sem enrijece­

dores, cascas cilíndri.cas sob. pressão externa com en:i:ij ecedores

anulares têm recebido relativamente pouca atençií.o, principalmen­

te em se tratando de cascas com enr:j..jecedores espaçados. lcomo as

encontrada,s. em estruturas off--sh.ore e. vasos de press!Ío). Esta de

fasagem tem sido por vezes- atribuída 2 ao fato da análi.se pós-cr.f

4

tica para cilindro,s; com anéis e$f'·açados :;;ob. pressao externa ser

mai.s complexa que para outros casos de carregamento e enri.jeci­

mento.

Este proolema tem si.do abordado sob diferentes enfo­

ques em função do espaçamento dos enrijecedores e do tipo de ins

tabi.lidade (.local ou global) a ser analisado:

CASO A) Instabilidade Global - Anéi.s pouco Espaçados

A maior parte das investigações estão limitadas a

cascas ci.líndricas esbeltas densamente enrijecidas por elementos

leves, como os usados na i.ndústria aeroespacial. Neste caso os

enrijecedores têm sido considerados torsionalmente rígidos e sao

uniformemente distribuídos por toda a casca, permiti.ndo que a e~

trutura seja tratada como uma casca simples de peso equivalente

com propriedades ortotrópicas. O colapso se dá como se vê na fi­

gura (I.la) de forma global como em cascas simples.

As equações para este tipo de análise foram desenvol

vidas por Flilgge 1 7 e a solução para cascas com enrijecedores anul_<'l_

res sob pressão lateral foi apresentada por Bodner 18 • Após Van

der Neut 19 demonstrar em 1947 a influência da excentricidade dos

enrijecedores sobre a carga críti.ca da casca, vários trabalhos

incluindo o efeito da excentricidade foram publicados; dentre

eles convém destacar os trabalhos de Wilson 2 0, BarUch e Singer 2

. 1

,

Czerwenka.22 e Kendrick 23•

Estas análises apresentaram boa concordância entre

resultados teóri.cos e experimentai.s quando os anéis eram bastan­

te próximos, oferecendo, porém, resultados erroneas a medi.da que

os enrijecedores se tornavam mais espaçados.

p

5

L

(O) INSTABILIDADE GLOBAL

L

( b ) INSTABILIDADE

T R

j --=-=::i tu I

LOCAL

( C l I N STA B I LI D A D E DO

ENRI JECEDOR

FIG. I.1- INSTABILIDADE DE CASCAS CIL(NDRICAS COM

ENRIJECEDORES ANULARES.

6

CASO B) Instabilidade Global - Anéi.s com Grande Espaçamento

A ins·tabilidade global para c:.i.lindros com anéis esp~

çados foi estudada por Yang e Kunoo 24 e MacNea.1 25 que considera­

ram os anéis como elementos di.s·cretos não esbeltos, incluindo na

análise a rigidez à flexão e a excentri.cidade do anel em relação

à superfície médi.a da casca, não se incluindo, contudo, a rigi­

dez à torção. A carga crítica obtida nestes trabalhos foi na mai

oria dos casos bastante superior à carga crítica da casca sim-

plesmente apoiada, o que não concorda com os dados experimentais.

Todos os trabalhos supracitados se atêm ao estudo da

carga crítica e não oferecem nenhuma informação·sobre o comport~

menta pós-crítico inicial das geometrias analisadas.

CASO C) Instabilidade Local - Anéis com Grande Espaçamento

Com o desenvolvimento das pesquisas se verificou que

para o caso de anéis espaçados poderia ocorrer o colapso por ins

tabilidade local de um segmento ci.líndrico entre dois enrijeced~

res, como se vê na fig. CI. lb), antes de ser atingida

crítica da estrutura referente ao colapso global.

a carga

Há poucas informações a respeito da análise do colae

so local, exceção feita ao trabalho clássico de Budiansky 1 que

determinou tanto a carga crítica quanto a sensibilidade a imper­

feições. Neste trabalho a casca é considerada simplesmente apoi~

da sobre enrijecedores indeformávei.s.

Limitações de peso obtidas em processos de otimização

e.strutura:j. 2 6'

3 3 ditam que, assim como a casca, o enrijecedor de­

ve ser esbelto, embora a compres$àO. radial resultante sobre o m~

mo possa fazer com que este entre erri colapso Cfig. I. lc) . Neste

7

tipo de análíse 3 3 a junção casca-anel tem si.do cons:j:derada rotu

lada, desprezando-·se, consequentemente, o e:f;eito do .acoplamento

entre os modos de deformaçao.

t claro, entretanto, que a flambagem local da casca

ou do enrijecedor nã·o pode ocorrer independentemente como se ve

nas figuras CI. lb e I. lc) .

Hâ, na realidade, interação entre as partes, podendo

ocorrer acoplamento de diversos modos locais de casca devido a

presença do enrijecedor .,e . interação dos modos locais com os

globais. Isto tende a provocar um comportamento diverso daquele

esperado com a análise isolada de cada parte.

I.3 - OBJETIVOS E PROCEDIMENTOS DO PRESENTE TRABALHO

O presente trabalho apresenta a análise da bifurca

çao e do comportamento pós-críti.co inicial de um segmento cilín

drico localizado entre dois enrijecedores esbeltos, bastante es

paçados,sob pressão externa (.lateral ou hidrostática).

Faz-se uma análise paramétrica com a finalidade de

se estabelecer a influéncia das características geométricas dos

enrijecedores e da casca sobre a carga crítica, os modos críti

cose o comportamento pós-crítico inicial.

Sendo as propriedades dos enrijecedores intimamente

ligadas ao .colapso local, ao contrário dos trabalhos citados no

item anterior (Item I.2) ., se considerou a deformação do anel,

levando-se em conta as condi.çoes de compatibilidade na junção

casca-enrijecedor.

8

Optou--se l"ºr uma análi.se a,ss.intótica da,

geometricamente perfeita )'.'Or nao haver até eritao na

estrutura

literatura

nenhuma referência sobre o comportamento da casca levando-se em

consi.deraçã.o a rigidez tors·ional dos anéis. Em outras palavras,

inexistiam informações sobre formas e magnitudes de imperfeições

ini.ci.ai.s, informações estas necessárias a uma análise nã.o linear

da estrutura imperfeita.

A formulaçã.o teóri.ca aqui empregada é a versao de

Seide 6 da teoria assintótica. da estabilidade elástica devida a

Koi ter'.

No capítulo II sao apresentadas as hipóteses básicas

sobre a deformaçã.o da estrutura, estabelecidas as relações defor

maçã.o-deslocamento e desenvolvi.do o estudo da bifurcaçào para a

casca ci.líndrica considerando a rigidez torsional do anel. Para

efei.to de comparaçã.o sã.o també.m deduzidas as equações para cas

cas onde os anéis funcionam apenas como apoios simples. Os resul

tados numéricos desta análise são. apresentados no capítulo III.

O estudo do caminho pós-critico inicial é desenvolvi

do no capítulo IV para cascas simplesmente apoiadas com e sem·en

rijecedores, sendo os resultados numéricos relativos a estabili

dade do ponto crítico apresentados no capítulo V.

No capítulo VI faz-se uma estimativa da carga de

flambagem em função de imperfei.ções geométricas iniciais e uma

comparação críti.ca dos resultados aqui obtidos com uma coletànea

de resultados experimentai.s e cargas de projeto recomendadas por

normas. internacionais.

No capítulo VII, finalmente, são apresentadas obser

vaço·es e considerações gerais sobre os resultados obtidos para a

9

carga criti.ca e sens.ibilidade a imperfE!içoes da casca enrijecida.

são também feitas algumas sugestoe~ para o desenvolvimento de fu

turas pesquisas sobre cilindro,;;: com enrijecedores anulares.

CAPÍTULO II

ESTABILIDADE DE CASCAS CILÍNDRICAS GEOMETRICAMENTE

PEFEITAS COM ENRIJECEDORES ANULARES

11

CAP!TULO II

ESTABILIDADE DE CASCAS CIL!NDRICAS GEOMETRICAMENTE

PERFEITAS COM ENRIJECEDORES ANULARES

II.l - HIPÓTESES GERAIS DE ANÃLISE

No presente trabalho, onde se pretende estudar oco­

lapso da estrutura por instabilidade local, tomar-se-á como sis

tema estrutural a ser analisado um segmento cilíndrico contido

entre dois enrijecedores esbeltos anulares. A geometria da casca

e do enrijecedor, bem como o sistema de referência adotado para . '

cada um dos elementos são apresentados nas figuras (II.1) e (II.2).

O estudo da estabilidade elástica do modelo físico

aqui adotado, representado na figura (II.3), é feito seguindo a

teoria de Koiter~. O modelo se constitui de uma casca cilíndrica

esbelta apoiada sobre os enrijecedores tratados como ~lacas anu­

lares delgadas.~ considerada a deformação do enrijecedor provo­

cada pela deformação da casca através das relações de compatibi­

lidade na junção casca-enrijecedor. O enrijecedor funciona, pois,

como um apoio elástico com ação restritiva sobre as rotações. A

posição do enrijecedor é descrita como uma descontinuidade li­

near através da função delta de Dirac.

são usadas na construção do funcional de energia ex

pressoes deformação-deslocamento não lineares tanto para a casca

quanto para a placa. Desta maneira pode-se determinar não só a

carga crítica da casca como também seu comportamento pós-crítico

inicial e a influência do enrijecedor esbelto sobre os mesmos.

12

X

/ z e

(O) ENRIJECEDOR

z L/2 L/2

X

e

(b) SEGMENTO CILINDRICO ENTRE DOIS ENRIJECEDORES

FIG. II-1 -SISTEMA DE COORDENADAS DA CASCA E DO ENRIJECE DOR.

~ = X/R

5 = Z/R

u = U/R

V = V/R

w = W/R

L

À= L/R

Ô= C/R

1

1

1

1 1 '-------,

1 .-----'

~

qc= Hc /R

q0= H

0 IR

13

2R

r0 = R0 /R

rb = Rb/R €=1-(ro+rb)

2

FIG. Il· 2 - NOTAÇÃO E GEOMETRIA DE UM SEGMENTO T(PICO DO CILINDRO ENRIJECIDO.

e

b

e

©

-------

b

---'

14

~: ). /2

~: o

~:-)./2

1 1 1

c. __ J --, 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

c::,-_J --, 1 1

7 1

1

00

CASCA INDEFORMADA

bb

CONTRAÇÃO RADIAL UNIFORME (Wo)

LATERAL

CC

FIG. II- 3 - ESTADO OE OEFORMAÇAO DA CASCA ENRIJECIDA NO MODO CRÍTICO.

15

O conjunto casca-enrijecedores está submetido a uma

pressao externa uniformemente distribuída de valor P.

Assume-se que o material, tanto da casca quanto dos

enrijecedores, é elástico, homogêneo e isótrbpó •. c.

II.1.1 - Escolha das Funções Deslocamento

Tem-se, a partir das hipóteses adotadas, as seguin­

tes funções deslocamento para o cilindro:

A. l - Em relação ' a superfície média d cilindro (ç = 1)

u ( ~, e l = u (C - e l c c

vc(~, e l = -v (~ c , -e l ( II. l)

A.2 - Em relação ao planos= O

(II.2)

Tomando-se como hipótese que ao passar da configura­

çao pré-crítica para a pós-crítica o conjunto casca-enrijecedor

se deforma como se vê na figura (II.3 ), tem-se as seguintes re-

lações de compatibilidade em s = + >./2 e ç = l. -'(+ À/2, e) = u (1, e) uc·- a

V (+ À/2, e) = Va (1, e l c -

w (+ À/2, 8 l = wa(l, 8) (II.3) c -

wc,s(:!: À/2, 8) = -u (1 e l a,ç ,

w e(+ À/2, 8) = -v ç(l, 8 l c, - a,

16

A partir das relações de compatibilidade (II.3) e as

sumindo-se variações lineares em ç, as funções deslocamento para

o enrijecedor são dadas por

ua (ç, 6) = uc 0,/2, 6) - (1 - ç)wc,ç; (À/2, 6)

va(ç, 8) = v 0,/2, 6) - (1 - ç)w (À/2, 6) c c,6

wa(ç, 6) = w (À/2, 6 J • ç c

II.2 - FUNCIONAL DE ENERGIA

(II.4)

No presente desenvolvimento serao seguidas as hipót~

ses usuais no estudo da estabilidade elástica de cascas, isto é,

assume-se que as deformações específicas são sempre pequenas e o

estado de tensão é considerado aproximadamente plano e paralelo

à superfície média, seguindo as hipóteses de Kirchhof-Love.

II.2.1 - Relações Deformações-Deslocamento para a Casca

Para o sistema de eixos apresentado na figura (II.lb)

as deformações específicas de um ponto da superfície média da

casca, já adimensionalizadas em relação ao seu raio, R, são da­

das pelas expressões aproximadas usadas na conhecida Teoria de

Donnell -Mushtari -Vlasov para cascas esbeltas abatidas,

Eç; = u,ç; + 1/2 w;ç;

E 6 = (v,6

+ w) + 1/2 w}6

(II.5)

e as mudanças de curvatura, também adimensionalizadas, dadas pe­

las expressões lineares,

17

kl; =(- 1/R)w,l;I;

(II.6)

Convém aqui ressaltar que as expressoes de Donnell

têm sido usadas na maioria dos estudos de cascas cilíndricas com

pletas sob pressao lateral e, como mostrou Brush e Almroth 9, os

resultados obtidos usando esta teoria não diferem dos resultados

obtidos usando-se as expressões deformação-deslocamento para cas

cas nao _abatidas, a nao ser para cascas cujo parâmetro '-~· •, :de

Batdorf seja--superior a 10•, campo este que está fora do âmbito de a

nálise do presente trabalho.

II.2.2 - Relações Deformação-Deslocamento para o Enrijecedor Anu

lar

O enrijecedor esbelto será tratado como uma placa an~

lar de raio interno RA e raio externo RB. Assumindo-se as hipóteses

simplificadoras de Kirchhof, usar-se-á para as deformações espe­

cíficas e mudança de curvatura expressões aproximadas da Teoria

de Von Karman para placas delgadas'º deduzidas para o sistema de

eixos visto na figura (II.la).

Tem-se, pois, que as deformações específicas

ponto da superfície média de uma placa são dadas por,

1 (v,8

+ w) + u~8 21;; 2

+ 1 u~ EI;; - w, i;; 2

i;;

1 V u, i;; u, e

Yei;; = w, e + V, I;; - + ( i;; i;; i;;

e as mudanças de curvatura dadas por

de um

(II. 7)

18

ke 1

Gl u,ee + 1

u, s] = R 2 ç

kç = 1 (II.8) R u, çç

keç 1 [~ 1

u, e] = u, eç -R ç2

II.2.3 - Construção do Funcional de Energia

O funcional para o sistema estrutural ; conservativo

sob o carregamento "pseudo-estático" considerado é dado pela .e­

nergia potencial total.

Tomando U como vetor dos deslocamentos generalizados

e~ uma variável escalar relacionada ao carregamento (parâmetro

de carga adimensional), a energia potencial total do sistema e

dada por, .E Hc 1~ ~J V = <P ( ~) '

8(1 - \) 2 ) (II.9)

onde

N N+l <P = E <P + n E <P

i=l c i=l a (II.10)

onde <Pc e <Pa são, respectivamente, as contribuições de um segme~

to cilíndrico e de um enrijecedor para o funcional de energia V.

Assumindo relações constitutivas da·:fcírma,

N 11 ·= e ( E i i + \) E22)

N = 2 2

e ( E 2 2 + \) E 1 1) (II.lla)

N = e (1 - \/ ) 2 y 1 2 1 2

19

M = a R2 e (K + \) K ) 1 1 l l 22

M = a R2 e (K + \) K ) (II.llb) 2 2 2 2 1 1

M = a R2 e (1 - V) K l 2 1 2

e utilizando as relações nao lineares deformação-deslocamento da

das por (II.5), (iI.6), (II. 7) e (II.8) ,· tem-se que as contribu.:!:_

ções de energia em (II.10) são, em função dos deslocamentos, es­

critas como

4> 4 j+À/2!2TI u2,. + u w2 + _d_ " + (v + w), + = i:, 'i:,_ 'i; 4 w(i; '8

c -À/2,0

( + ) 2 + _d_ w" + v,e w w,e 4 ,e + 2v . [~, i; (v, 8 + w) + 1 2

2 (u,,i; w,e +

(v, e w) ' 2 ) 1 w; e]

(1 - \) ) Qu, e + v,/;)2 + + w, i; + 4 w; i; + 2 +

-

+ 2 (u, e + v, e> w,i;w'e + 2 2 ] w,i;w'e + a w2 1-_'i;i; + w2 +

'ee

+ 2v w, i;i; w, 88

+ 2 (1 - v) w; i:,e] - 2 (1-v2)q,(w+ú,i;/2l d8'di; (II.12)

e

4> 4 CC 1 (v;e+w)2+ 1 (v, 8 + w) 2 1 4 = u, e + -- u, e + a ç2 ç3 4ç"

a

2 + w., ç + w' ç u' 1

+ 4 ~ç 4 u, ç + 2v [~ w' ç (v, e + w) +

.. 1 Cv, 8 + w) 2 + __!_ u2 + _l_ 2

u; sl (1 -v) l ~ w '8+

+ - u,ç .w, ç u,e + 2Ç 2s ' e 4ç2 2

- ~ + u, ç u, 8 J n 21,i + _d_ u, ç) 2 u; + V, Ç ç ) 2 + a u, ee + + ç ç2 ç çç

2v (_d_ + _d_ u' ç) + 2(1-v) (_d_ - 1 u' e l 2] ç de dç u, u, u, e ç

çç ç2 ee ç ç ç2

(II.13)

20

II.3 - ENERGIA POTENCIAL TOTAL NA FORMA INCREMENTAL

Para uma estrutura, sob carregamento~ fixado, estar

em equilíbrio estável, é necessário e suficiente, de acordo com

o critério de energia de Lagrange, que a energia potencial total

tenha um mínimo relativo e completo em relação às energias pote~

ciais totais associadas a todos os estados vizinhos cinematica­

mente admissíveis, isto é,'

V (U + U) > V (U) -o - -o

onde U representa o vetor deslocamento da estrutura -o

(II.14)

deformada

em um estado fundamental de equilíbrio e U + U uma nova configur~ -o

ção em um estado vizinho arbitrário, sendo U um pequeno desloca­

mento incremental cinematicamente admissível.

Se, ao contrário, for possível encontrar uma config~

raçao vizinha a original em que

V (U + U) < V (U ) -O - -O

(II.15)

temos o caso de instabilidadeª.

Para se investigar a estabilidade de configurações

de equilíbrio e o comportamento crítico, o campo de deslocamen­

tos é assumido na forma incremental

u = u + u - -O -1

(II.16)

onde U e U denotam respectivamente os deslocamentos fundamen­-o -1

tais e incrementais adimensionàlizadas ., .. ,.,.

II.3.1 - Estado Fundamental

Em configurações deformadas fundamentais sao despre­

zadas, em interesse da simplicidade, as rotações pré-críticas da

casca junto aosenrijecedores e apoios, como se mostra na figura

21

(II.4). Esta simplificação é usualmente empregada 9, 3

-, assumindo­

se então um estado fundamental de membrana. Esta suposição tem

grande vantagem em termos analíticos já que teremos coeficientes

constantes nas equações diferenciais de_ equi_l_í_brio. _ __

1

1

1

1

1

1

1 Wo f---.:-1

1

í 1

1

1

1

1

1

W0 1

~ 1

1

1

1 1

1

1 1

1

1

1

(o)

1 L 1 - --· _ _j

FIG. Il-4-CONFIGURAÇAO FUNDAMENTAL DO ENRIJECI DO.

A - Solução Fundamental da Casca

1( .b)

CILINDRO

Para uma casca cilíndrica sob pressao externa, tem­

se a seguinte solução de membrana 6,

u = cj> (v - 8) {,~, - pressao lateral o, i; 8 =

o - pressao hidrostática (II.17) VO =

cj> (1 vSJ cj> PR

w = - - = o EHC

B - Solução Fundamental do Enrijecedor

Levando -se em conta, as··relaçôes de compatibilidade (II.3)

e as funções (.II.4), tem-se para o enrijecedor,

22

u = o º'ç

V = o o (II. la)

w = - <P (1 - 13 \) ) º'ç

II.3.2 - Estados de Deformação Incremental

Assume-se, baseando-se em observações experimén-

tais 12,

3~, que a casca se deforma de maneira antimétrica em rela

ção a cada enrijecedor (veja a figura (II.3). Tendo em vista as

hipóteses iniciais (II. l) e (II. 2) , conclui-se que v e w sao JC 1C

nulos junto ao enrijecedor.

Da hipótese anterior e levando em consideração as

condições de compatibilidade (II.3), tem-se para o enrijecedor,

u ( ç, 8 l = u (À/2, 8) - (1 - ç) w ~(À/2, 8 l 1 1 a JC 1C,

V 1a (Ç, 8) = o (II.19)

w ( ç' 8 l = o 1a

II.3.3 - Forma Incremental da Energia Potencial Total, V::_q,

Observando que U varia linearmente com <P a -o medida

que a carga aumenta a partir de zero e assumindo que _q, é uma fun

çao analítica na vizinhança de um estado de equilíbrio ~0

(cjl), p~

de.-.se escrever a energia potencial total em série de Taylor em

termosdo campo incremental de deslocamentos U. Sendo as rela--1

çoes cinemáticas não lineares quadráticas, o funcional _q, será de

grau quártico em U e a forma expandida é dada por -1

_q, (U + U , cjl) = _q, (U_0

, cjl) + i1

(U , cjl) + _q, (U , cjl) + -O -1 O -1 2 -1

(II. 20)

23

sendo a variação total da energia escrita como

!:, <P = <P (~º + u , </> ) <P (U , </> ) = <P (U , </> ) + <P - 1 o -O 1 -1 2

+ <P (U , </> ) + <P (U , </> ) 3 - 1 4 - 1

onde cada parcela <P. (U , </> ) contém todos os termos ]. - 1

grau em u - 1

As contribuições de energia do funcional

das como,

e

<P oc (U , </>) + 11 <P -o ºª

(U , </> ) + - 1

(II. 21)

de· i-ésimo

sao defini-

(II.22)

<P. (U , </>) = <P. (U , </>) + 11 <P. (U , </>) J -1 JC -1 Ja -1

j = 1, 2, 3, 4 (II. 23)

Substituindo-se (II .. l 7) e (II .18) em- ·{II .16) ,e, ª S!::

guir, substituindo-se (II.16).nos funcionais (II.12) e :'(II.13).,

e levando-se em conta que

V = W = 0 1a 1a

(II.24)

calcula-se a primeira, segunda, terceira e quarta variações de <P

que equivalem, segundo uma definição formal, às derivadas de

Frechet do funcional.

Para o segmento cilíndrico as contribuições de ener­

gia do funcional CII. 21) são,

<P ,c

+ \!

(U , </>) 1

(v

=

81+ À/2 /2rr

, - À}2 O

' , e + w )

1

de di;

(v 1 , e + w ) +

1

- 2 ( 1 - v 2) </> (w +

1

(II. 25a)

24

rv, e ~ (U , <P) = 4 u2 + (v + w ) 2 + 2C 1 1 , /; i ' e 1

- À/2

w.) + (1 - v) (u + V ) 2

+ 2v (u V + u 2 1 , /; l I e 1 , /; i l I e l ,

I;

<j> (1 - v 2) t2 + Bw1,J +at2 +w2 + 2v w w + - 1, 8 1•1;1; lree 1•1;1; 1, 88

+ 2(1 - v) d8 d/; (II. 25b)

~ cu., <P ) . r/2 e 2 + (v + w ) = u w ,e -1 1 , /; 1 , /; i , e 1

-À/2

w2 + V w2 (v + w ) w2 J + , , e u +

1 1 . i ' e i , e 1 1 ,

- /;

+ ( 1 - V) w w (u + V ) d8 dl; (II. 25c) 1 , ~ 1 , e i , e . 1 , I;

(U , <j>) -1

= [À/2 J2'TT

À/2 O

(w~ 1 , I;

+ w? ) i , e

2

d8 dl; (II.25d)

Analogamente para o enrijecedor tem-se,

~ cu , <P) = o 1a -1

(II.26a)

25

<I> (U , cj, ) 4 ec 1 u2 + w u2 + = wo 2a -, (; 3 ' , 8 o,(; 1 , (;

a

2v 1 u2 1 + u~, 8] + CL n 2 ,i u 88 +

1 u ) 2+ 2ç w + -- w - 1 , (; o 1 , (; 2 (; 2 o,(; (; 2 1 , (;

+ 2(1 - V) u -, , 8 t; ;;; d8 d(; (II.26b)

<!> (U , cj,} = O 3a -1

(II. 26c)

2 u 8 + u2 )

1 , 1 , Ç d8 d(; ( II. 26d)

II.4 - ANÃLISE DA BIFURCAÇÃO

O objetivo desta seçao é determinar o ponto crítico

ou de bifurcação, (U, cj,)

de equilíbrio através da

tico.

e:: (U , cj,cr), do. caminho fundamental -o,cr

solução das equações de equilíbrio cri-

A solução pré-crítica para o vetor deslocamento U é -o

tal que faz com que a primeira variaç,ão da energia potencial to-

tal se anule, isto é,

<I> (U , cj,) = O 1 1

(II.27)

Em virtude da equaçao (II.27) a condição de estacio­

narieda:de do ponto crítico (ou de bifurcação) é expressa pela e-

26

quaçao variacional envolvendo a forma quadrática de~ em termos

dos deslocamentos incrementais U , -1

6 ~ (U , cj,) = O (II.28) 2 - 1

onde

(II.29)

sendo~ dado por (II.25b) e~ dado por (II.26b). 2C 2a

Este critério para determinação de pontos críticos

de equilíbrio é devido a Trefftz. O emprego deste critério forne

ce as equações de Euler-Lagrange do sistema.

Sendo a expressão (II.29) um funcional quadrático ho

mogeneo, o problema variacional fornece um sistema homogéneo de

equaçoes diferenciais lineares e a solução do problema de autov~

lor resultante fornece o valor da carga crítica, cj, , e os modos cr

críticos normalizados.

II.4.1 - Equações de Equilíbrio Crítico e Condições de Contorno

Associadas.

Substituindo as funções (II.19) na equaçao (II.29) e

a seguir (II.29) em (.II.28), obtém-se a equação .variacional

(.II. _28) em função apenas dos deslocamentos da casca. A equaçao

operaçoes variacional (II.28) fornece, após a aplicação das

usuais de cálculo variacional, o seguinte sistema de equaçoes di

ferenciais:

27

(1 - \) ) (1 + \) ) - u 2 u 2 1 , i; t 1

'66

+ o {2n cp (1 + v) 1~3 u +' (C

1 '6 6

+2o.n 3 l~l (u -2(1-v) 1 '6688

+ w (C 2

+ 2 (1 - v ) C 1 >]} = O

1 '1;88

(1 + \/) 2 U - V

1,1;8 i,88

+ w 1

(1 - \)) 2

V - \/W + i , i; 6 1 , i;

- e ) w1'i;66]

(1-Svl + 3 4

u ) + w (C - e l + I 'EJ 8 1 '1;8888 2 1

(II.30a)

V (II. 30b) 1,E,E,E,

+ 2 w ' + w ) + o {2 1

'8868 n cp (1 -Bv) (I +v) lu (C LI '86 4

- e ) + 3 1 'i;i;88

+ w 1 '1;66

+ u (C + 2 (1 + v) C ) + w

1~ 1 '6668 (C-C)+

2 l

(C 2C + C) + 1

' 8 8 2 1 1 'E,8888 l 2 3

+ 2 w 1 '1;88

(e - e - (1 - v) e l 3 2 1

+ w e 1} = o 1,i; aJ (II. 30c)

28

onde as constantes Ci sao dadas por,

e =

e = 2

2 (r~ - r~)

r2 r2 a b

r e = l!,n

3 c--12. > r

a

e = r - r • b a

e = r2 - r2

b a 2 5

(II. 31)

Do problema variacional também se obtém as seguintes

condições de contorno em~=+ À/2,

V = o (II.32a)

w = o (II. 32b) l

u + V (v + w ) = o (II.32c) l , ~ ' , e 1

a w + V

w' 'e e] = o l , ~ ~

(II. 32d)

que corresponde a condição de apoio simples para o conjunto cas­

ca-enrijecedor.

As condições de contorno e =0,2rr, encontradas quando

do desenvolvimento do problema variacional, são, pelo Teorema de

Green, automaticamente atendidas, já que o sistema é contínuo na

direção circunferencial.

29

II.4.2 - Resolução do Problema de Bifurcação

o problema de autovalor associado (II.30) é da for~

ma,

(II. 33)

o qual tem solução nao trivial se, e somente se,

det I A + <jJ B = o (II. 34)

sendo a carga crítica, <jJ , o menor dos autovalores e o vetor X cr

o vetor das amplitudes normalizado.

Através de uma inspeção do sistema (II.30) e das con

dições de contorno (II.32), vê-se que é impossível se obter uma

solução na forma fechada para o problema, tendo-se que recorrer

a técnicas numéricas.

Sendo as equações diferenciais provenientes de um

funcional quadrático, podemos usar indistintamente para a .solu­

ção do problema o método de Galerkin ou Rayleigh-Ritz. Neste tra

balho será usado o método de Rayleigh-Ritz.

II.4.2.1 - Escolha das Funções Aproximadas para o Modo Crítico

A - CILINDRO

Expandindo os deslocamentos incrementais em uma se­

rie em função da coordenada circunferencial e é satisfeita a pe­

riodicidade em e e serão separadas as variáveis e e~ Assim tem-se

para a casca,

30

u;, e) 00 to u = l: u cos ne

c n=O n

00

V ( E, , e) = l: V (E,) sen ne (II. 35) c n=O n

(C e l 00

(E,) w = l: w cos ne c n=O n

As funções u (_E,) , v (E,) e w (!;) devem ser escolhidas n n n

de tal modo que atendam as condições de contorno, as ·hipóteses

iniciais (II. 2) e sejam antimétricas em relação ao enrijecedor.

Como não há interação de modos na direção circunfe­

rencial, precisa-se considerar apenas um harmônico n e obtém-se

assim conjunto de funções,

N u (E,, e) = cos ne l:A sen qi E,

C1 li

V C1

(E,, 8) =

tE, , e l =

i=l, 3,.s, ...

N sen ne l:A cos qi e

2i S

i=l,3,5, ...

cos n e l:A cos qi i; 3i

i=l,-3,5, ...

B - ENRIJECEDOR

(II.36)

Substituindo-se (II.36) em (II.4), tem-se para o en-

rijecedor,

= cos n e j-;. _ li

o

w (ç,8)=0 ª'

i=l,3,5 ••.

+ (1 - Ç)

M.+3 J_

(-1)_2_

(II.37)

31

II. 4. 2. 2 - Dedução dos Coeficientes do Sistema I]. + cj, B J ~ = O.

O problema de autovalor (II.33) pode ser reescrita

na forma

[AJ ~ + cj, IJ3] ~ = o (II. 38)

ou ainda

1 - ~ [Al ~ = [B] ~ (II.39)

Substituindo-se (II.36) e (II.37) no funcional (II.29)

e empregando o rrétodo de Rayleigh-Ritz, obtém-se os coeficientes

das matrizes [A] e [B] do sistema de equaçoes lineares dado por

(II. 39).

A - Coeficientes da matriz [A]

A .. =ó .. À q q + (l; v) n 2J + 2 an 3 c i,J iJ m n 1

(II. 40a)

Ai, j+l o .. À ll + \J )

n qn] (II. 40b) = lJ 2

A. = ó .. À \J q + 2 a n. 3 1~4 (C 1 c ) + l,J-ic2 lJ n 2

+ n2 (C + 2(1 - \J ) c 1 i] qn ;,, lII.40c)

2 mn

Ai+l,j = ºij À ll; v) n ~J (II. 40d)

Ai+l,j+l

Ai+l,j+2

= ô .. À n 2 + (l ; lJ

= ó .. À n lJ

32

A. + 2 . = À o .. v a + 2 a n 3 1~ 4 (c - c ) + l ,J lJ "11l _ 1 2

+ n2 (C + 2 (1 - v) c >]a t, 2 1 .a.m mn

Ai+2,j+l =ó .. lo. n lJ

Ai+2,j+2 = ºij ÀI~ + a(qm qn + n2)2J +

2 a n 3 q q j~ 4 (c - 2 c + c ) - 2 n 2

n m 1 . 2. 3

B - COEFICIENTES NÃO NULOS DA MATRIZ [B]

(II. 40e)

(II. 40f)

(II. 40g)

(II. 40h)

(II.40i)

B .. = 2 n (1 + v) n 2 c t, (1 - 13v) (II.4la) 1,J . 3 mn

B. . +2

= 2 n ( 1 + v) n 2 (.C - c ) · q t, tl - 13v l 1,J 3 , n mn · (II.41b)

B. + 2 . = 2 n (1 + v) n 2 ( c

l , J 3 (II.41c)

8 i+2, j+2 = o .. À (n2 + i3Cim ~) (1 - v 2) +2n (1 +v) (1 - 13v) lJ ( II. 41d)

1;, (C - 2 c + c ) + c] q q 6 3 4 5 s m n mn

33

onde

m,n = 1,2,3

i = 3m 2

j = 3m 2

' { o se i e/ j

l.J . 1 se i = j (II.42)

e

llmn = NA(-1) (II .43)

II.5 - ANÁLISE CLÁSSICA DE CASCAS ENRIJECIDAS BIAPOIADAS

A análise clássica de cascas enrijecidas, por anéis

espaçados 1 despreza a rigidez tor.sional do anel, pressupondo que

a casca está simplesmente apoiada sobre anéis conforme mostrado

na figura (II.5). Neste caso o sistema de equações (II.30) se re

duz a,

u 1 '

EJ,

(1 + v) 2

(1 - V) 2

u ' , ,; e

u

V

1 ' 66

1 'e 6

(1 + V) 2

V 1 '

I; 6

- VW = Ü 1 ' I;

(1 - V) 2 V - W = Ü

''1;1; ''6

V U + V 1 1; 1, 6

+ w + q, (1 - v 2) (w

1 + S w )+ ex í7 4 w

1 = O

l . '_66 1,1;1;

(II.44a)

(II. 44b)

(II.44c)

34

tendo como condições de contorno ç = + À/2,

w l

= w = V 1 , ç ç

= u = o l 1 , ç

(II. 45)

que é também, como se pode verificar 6, a solução para a casca ci

líndrica simplesmente apoiada sob pressão lateral.

Pode-se provar que neste caso não há interação entre

os modos longitudinais e a solução das equações (II.44) é dada

por,

u = A

V = A

w = A

2

3

cos ne sen (mn/À) ç

sen ne cos (mn/À) ç

cosne cos (mTT/À)ç

ANÉIS FUNCIONANDO APENAS -·-·-COMO APOIO SIMPLES.

(II.46)

FIG. II-5-CONFIGURÃÇAO CR(TICA DA CASCA ENRIJECIDA­- ANÉIS INDEFORMADOS.

35

Estas funções atendem simultaneamente as equaçoes di

ferenciais de equilíbrio e as condições de contorno e tem-se, as

sim, uma solução fechada para o problema

Substituindo-se as funções (II.46) no sistema (II.44),

obtemos o sistema,

A, 1 o q (1 - V) 2

+ 2 n ( 1 ; V) nq vq

(1 ; V) nq 2(1-V) 2 q 2 + n n = (II.47)

A o 2

2 1 +a(n2 + q 2

) -

A o 3 l

vq n -cj, (l-v2) (n2 + S q2)

que e um problema de autovalor da forma,

(II.48)

o qual terá solução não trivial se

det [A+ cj, B[ = O (II.49)

O determinante nos dá uma equaçao do primeiro grau

em <!> e os autovalores sao dados por,

(q2 + n 2) 2

q' (l

<!> = + (II.50) (n2 Sq2) (1-v2) (q2 n2)

2 (n2 Sq2) + + +

Para cada par de valores mentem-se um autovalor

cj,, sendo que o menor deles, para cada geometria, corresponde a

m = 1, isto é, modo de bifurcação da casca tem meia onda longit~

dinal. Fixando-se, então, um determinado valor de À e R/Hc,º nú­

mero de ondas circunferenciais, n que corresponde ao menor auto­

valor (cj,cr) é obtido por tentativa.

36

Sendo a equaçao (II.50) obtida pela Teoria de Donnel

para cascas abatidas, para não se incorrer em resultados erro-

neos, corno sugere Hutchinson 3, devemos restringir a nossa análi­

se a _cascas para as quais n ~ 5 3•

Introduzindo a notação

p = n~ n = Tr

e

Podemos reescrever a equaçao (II.50) em urna forma mais simples,

p - 2

(1 + n2)

(ii 2 + S) +

12 z2

(II.51) <ri2 + s l ( 1 + n2 >

2 rr"

onde o parâmetro de carga adirnensional p é independente de R/H .. c

Esta equação fornece a curva clássica relacionando p

versus Z deduzida por Batdorf 15• Esta expressao nos dá também a

carga critica para a casca enrijecida por anéis conforme dedu­

ziu Budiansky e Arnazigo 1 •

Normalizando as amplitudes em função de A 3 ,

para os modos críticos.

u = - q(n2 - vq2) (n2 + q2)2

cos ne sen q I;

V = ~q~-(~V_+ __ 2_)_+~n_2 2

(n2 + q2)

w = CDS ne CDS ql;

sen n8 cos q I;

tem-se

(II.52)

Os resultados obtidos da expressao (II.51) nao sao

válidos para pequenos valores de R/Hc nem para grandes valores

de Z como mostra Batdorf 15, já que estamos usando a teoria de

cascas abatidas. Por outro lado para pequenos valores de z

(Z < 10) os efeitos das distorções junto aos apoios e enrijeced~

37

res nao mais podem ser negligenciados como evidencia Hutchinson 3

e a solução de membrana (II.17) já não é mais válida. Os resulta

dos obtidos pelo presente estudo são válidos então para 10< z <10 4,

intervalo este que engloba a quase totalidade das geometrias pr~

ticas.

CAPÍTULO III

CARGAS E MODOS DE BIFURCAÇÃO:

RESULTADOS NUMÉRICOS

39

CAPITULO III

CARGAS E MODOS DE BIFURCAÇÃO:

RESULTADOS NUMERICOS

III.l - IMPLEMENTAÇÃO NUMERICA DO CÃLCULO

O sistema de equaçoes (II.39)_ proveniente do probl~

ma de autovalor, cujos coeficientes são dados pelas expressoes

(II.40) do capítulo anterior, foi resolvido numericamente com o

auxílio do computador Burroughs 6700 do Núcleo de Computação El~

trônica da UFRJ, utilizando a li.nguagem de programação FORTRAN

IV.

A busca de soluções para problemas de estabilidade e

lástica conduz, geralmente, a sis.temas de equações bastante mal

condicionados, devendo ser usada precisão dupla para garantir a

convergência. Para superar problemas de convergência o sistema

(II.39) exigiu, não sô o emprego de precisão dupla, mas tambêm

um rearranjo das equações de tal forma que eliminasse a grande

instabilidade numérica ocasionada por termos associados a modos

mais altos na sequência modal para deslocamentos.

A solução numérica do problema de autovalor ê obtida

através do método de interação inversa, cujo algoritmo é apreseg

tado na referência 14, usando a técnica de Doolittle para fatori­

zaçao e o método de Gauss para resolução do sistema.

40

III.2 - ANÃLISE DOS RESULTADOS NUMtRICOS REFERENTES Â CASCA SIM­

PLESMENTE APOIADA.

Os resultados numéricos apresentados a seguir foram

obtidos a partir das expressões deduzidas no item (II.5) do capf

tulo anterior, expressões estas obtidas do sistema (II.44) qua~

do se considera a casca simplesmente apoiada sem enrijecedores

ou com enrijecedores rígidos funcionando apenas como apoios sim­

ples.

Fixando uma forma modal descrita por um par de valo-

res me n, bem como os parâmetros a e À referentes â geometria

da casca, obtém-se um autovalor~ através da equação (II.50). O

menor autovalor, ~cr' para cada geometria corresponde a m = 1,

isto é, o modo de bifurcação tem meia onda longitudinal e um cer

to número de ondas circunferenciais obtido por tentativa, como

se vê na figura (III.l). Esta figura mostra a variação de~ com

o número de ondas circunferenciais, n, para determinados valores

de L/R e R/H . e

A figura (III. 2) apresenta a variação de ~ , assoei cr

ado ao modo crítico Cm,n) - Cl, ncr) com a razão À =L/R. Convém

relembrar que se assume~ como uma função contínua de n. Comes­

tas curvas verifica-se que, para cascas curtas, ~cr cresce rapi­

damente quando o parâmetro À decresce e que, para um mesmo valor

de À, ~ cresce a medida que R/Hc decresce. cr

Uma melhor representação da variação da carga críti­

ca com a geometria da casca pode ser obtida a partir da equaçao

(II.51) que relaciona o parâmetro de carga admensional p com o

parâmetro de Batdorf, Z. Esta equação fornece uma única curva

qualquer que seja o valor de R/Hc. Esta curva é mostrada na fig~

41

1.50-------~-~

Ã= 0.25

------~-------0·9819 21 n

8 n

>-= 0.5

4.5

,a,. ------~-..... -23 4'113 15

R/Hc = 300

'v = O. 3

n 17

-5 ,-----.......-------.--..----~ f X 10

4.0 >-= 5.0

0,. -------

10 5 n 7

FIG. fil. 1- DETERMINAÇÃO DO NÚMERO DE ONDAS CIRCUNFEREN­CIAIS CRITICO, íl cR-CASCA ISOTRÓPICA SOB PRESSÃO LATERAL.

~CR

_B__ = 500 Hc v = 0.3

42

..B_ = 300 Hc v = 0.3

FIG. ill. 2- CARGA CR(TICA OE CASCA ISOTRÓPICA SOB PRESSÃO LATERAL.

o:: u

-e-...... "' ,., '>

1 :e

- ~ -N -li

o:: la:"

5

_!'ressão Lateral

Pressão Hidrostática

1 ._.. _ __..._........___.___. ............................ __ __. _ _.___.__._._...._. ......... -,--_ __. _ _.____.__.__._ ................ 10 5 102 103 5 104

L2 ~~...., Z=-v1-v 2

RHc

FIG. fil.3-CARGA CRITICA CLÁSSICA DA CASCA CILINDRICA ISOTRÓPICA SOB PRESSÃO EXTERNA.

... w

a:

~ ~...._--------+-----------1-----------~

o e., -·: 251---__::~------l-------------1-----------l e.,

"' o JL: 300 Hc

~ 20 1----------"-~------"!lo,,,~+--L__-------+------------l Q)

L.. CI.) -e: ::::, e., L..

e.,

"' e "O

....R.._: 500 Hc

~ 101------------+-------=="'----_p,....,._ _______ ---l 01 e:

..... __ ---

5 1-,--......L.-....1--L.....I-J...J...J.....L.J....,...---'--'---l..-l......L....l~..._.--.1....-......L.--.1'--'--L-J...J...L.J 101 5 10 2 5 103 5 104

2 z=_!:_.J1-~ 2

R Hc

FIG. Ill. 4 -VARIAÇÃO DO NÚMERO DE ONDAS CIRCUNFERENCIAi$ CRITICO,, ncR, COM O PARÂMETRO GEOMÉTRICO, Z-CASCA ISOTRÓPICA SOB PRES­SÃO LATERAL.

R/Hc= 300

li = o. 3

45

n=2

FIG. fil. 5 -VARIAÇÃO DE ílcR PARA VALORES GRANDES DE Z -- CASCA ISOTRÓPICA SOB PRESSÃO LATERAL.

46

ra (III.3) a qual coincide com a curva deduzida por Batdorf 15

para cascas simplesmente apoiadas e também com os resultados ob­

tidos por Budiansky e Amazigo 1 para cascas com enrijecedores es­

paçados funcionando apenas como apoios simples.

A variação do número crítico de ondas

ciais, ncr' em função do parâmetro Zé apresentada

circunferen-

na figura

(III.4). Verifica-se que n cresce rapidamente a medida Z dimi­cr

nui e que, para um mesmo valor de Z, ncr cresce a rredida que cresce a

razão R/H. Neste gráfico se constata a veracidade da hipótese ado c

tada sobre a continuidade da variável n no intervalo estudado. A

quebra desta hipótese para valores pequenos de n é ilustrada pe­

la figura (III.5). vé-,se nesta figura que, para valores de n <5, er-

a variável n não mais pode ser considerada contínua, não deven-

do, portanto, ser usada a equação, (II.51) para o cálculo de ~cr·

Estes resultados servirão como parâmetro de referên­

cia para posterior comparação com os resultados obtidos a seguir

para cilindros enrijecidos com anéis esbeltos.

III.3 - ANÃLISE DOS RESULTADOS NUMtRICOS REFERENTES À CASCA ENRI

JECIDA

A carga crítica local, ~cr' para uma casca enrijeci­

da com geometria fixada, é obtida através da descrição do campo

de deslocamentos por uma série finita de modos longitudinais can

números ímpares de semi-ondas e um certo número de ondas circun­

ferenciais. Como se pode verificar através da análise do sistema

(II.39), a presença do enrijecedor provoca interação entre os

modos longitudinais, sendo assim necessário descrever o campo de

47

deslocamentos por uma série. O número de termos (modos longitudl

nais) é então tomado de forma a garantir a convergéncia numérica

de~ e o número de ondas circunferenciais crítico, n , é obti ~cr cr

do por tentativa como pode ser ilustrado com o auxílio da figura

(III.6). O processo numérico utilizado garantiu, com o aumento

do número de modos longitudinais, a convergência de <P como mos­

tram as figuras (III.7a) e (III.7b). Nestas figuras se pode veri

ficar a convergência de <P para diferentes valores de Z e R/Hc·

As cargas críticas foram obtidas sempre com um erro menor ou

igual a meio por cento.

Na figura (III.7a) sao apresentadas quatro curvas de

convergênçia para R/Hc =300 e diferentes valores de Z cobrindo a

faixa estudada. Vê-se que o número de modos necessário à conver­

gência aumenta a medida que se aumenta o parâmetro Z até atingir

um máximo na região de Z: 10 3• A figura (III.7b) apresenta a

convergência para cascas com R/H =500; nesta figura se verifica c

um comportamento semelhante ao da figura (III.7a). Pode-se veri-

ficar, através destas curvas, que, para cascas longas (Z grandeh

modos longitudinais com ondas curtas (grande número de ondas) têm

efeito significativo sobre o valor de <P . cr

A variação do parâmetro de carga crítica, <P , em cr

função e L/R e R/Hc' para geometria de enrijecedores fixada (des

crita pelos parâmetros admensionais n, se y), é apresentada na

figura (.III.8), sendo esta variação semelhante àquela para cas­

cas biapoiadas. Verifica-se que, para um mesmo valor de R/Hc' as

curvas para cascas com e sem enrijecedores praticamente coinci­

dem para valores grandes de Z e a diferença cresce a medida que

Z decresce, sendo a carga crítica da casca enrijecida superior a

48

1.9

À= 0.25 2.5 À= 0.50 ••1Õ

4 , x1Õ4

1 ílCR : ílCR 1

1 1

1 1 1 1

1.5 1 1 1 1

b 1 ----fcR -------

1

1.3 2.0 1

21 23 n 25 14 16 n 18

•• 1õ4 À= 1.00

R/Hc: 300

1 ílCR o= 0.10 5.0

1 e = o.o5 1 1 n = 1.00 1

1 'v = 0.30 1

1

.CR ------4.7 g

11 n 13

FIG. ill.6 - DETERMINACÃO DO NÚMERO DE ONDAS CIRCUNFERENCIAIS CRÍTICO, ílcR - CASCA ENRIJECIDA SOB PRESSÃO LATERAL.

( a ) ( b )

~ 'l'} : 1.0 'l1 = 1.00 j_ -rc; t = 0.1 tcR t = 0.10

2.0

1.5

1 1 1 \ 1 1

5

'J = o. 3

R/t\= 300

e = o.o5

'>. = 2.00

'>. = 1.00

'>.: 0.25

10 15

n!! de modos longitudinais, N

'v = 0.30

2.0 R/t\ = 500

e = o.o5

1.5

20 5 10 15 20 n!! de modos longitudinais I N

FIG. ill. 7 - CONVENGÊNCIA DA CARGA CRÍTICA DA CASCA ENRIJECIDA COM O NÚMERO DE MODOS LONGl TUDINAIS , N.

-4

..JL = 500 Hc

50

---- CASCA ENRIJECIDA

------ CASCA ISOTRÓPICA

10 1---~~~~~~~--',~~_.,.__,.,,___~~~~------1

r = 0.10

€ = 0.05

-'Yt: 1. 00

v = o .30

10~'--~---'~--'---'---'--'--'--'-'--'--~---''---......L.--'---'-......... -"-'-' 1 101 102

Â= L/R

FIG. m.a - INFLUÊNCIA DOS PARÂMETROS GEOMÉTRICOS DA CASCAI Â e R/Hc, NA CARGA CRITICA DA CASCA ENRIJECIDA­- PRESSÃO LATERAL.

51

da casca simplesmente apoiada. Esta diferença é praticamente nu­

la para Z = 10.000, atingindo aproximadamente 50% para Z = 10.

Na figura (III.9) se apresenta a variação do parame­

tro de carga critica, Per' em função do parâmetro Z. Neste gráf~

co ve-se com maior clareza o aumento progressivo da carga críti­

ca da casca enrijecida em relação à casca sem enrijecedores, a

medida que o valor dez diminui.

A figura (III.10) mostra a variação do número de on

das circunferenciais relativo a carga crítica, n , em função do cr

parâmetro Z. Verifica-se neste gráfico que o numero de ondas cir

cunferenciais referente à carga critica para a casca com e sem

enrijecedores coincide para valores grandes de Z e cresce rapid~

mente a medida que Z decresce, tornando-se o número de ondas cir

cunferenciais relativo ao modo crítico da casca com enrijecedor

superior ao da casca simplesmente apoiada.

Comparando-se as figuras (III.9) e (.III.10) nota-se

que o aumento da carga crítica da casca enrijecida em relação a

simplesmente apoiada corresponde a um aumento progressivo do nú­

mero de ondas circunferenciais, n . Este comportamento é devido cr

a existência dos enrijecedores os quais conferem à casca condi-

ções de apoio elástico.

Constata-se que cascas relativamente curtas (Z < 10 3)

as condições de contorno são obviamente importantes. Como ateo­

ria empregada considera o anel como uma espécie de apoio elásti­

co, os resultados da casca enrijecida devem estar localizados en

tre os resultados da casca ·simplesmente apoiada e os resultados

da casca com as extremidades engastadas. Para cascas longas, os

apoios praticamente não interferem na carga crítica e, indepen-

N '> e., :r:

1

.:: l= N ~

51----- o= 0.10 e= o.o5 "l: 1.00 'V= 0.30

Pressão Hidrost 'tico 51=---------'._::+----t--~-+---------+-----+---------+------l

Pressão Laferal

----- CASCA ENRIJECIDA

------ CASCA ISOTRÓPICA

1 ,_,_ __ .._____......__,___,__........__._._.__,, __ _._ _ _.___.___.__._~~-=-----J'--~-~~_._~ 101 5 102 5 103 5 104

z.-L./1-~i RHc

FIG. ill.9 - INFLUÊNCIA DO PARÂMETRO DE DA CASCA ENRIJECIDA.

BATDORF, Z , NA CARGA CRÍTICA, Pi;R,

lJ1

"'

------ CASCA ENRIJECIDA ------- CASCA ISOTRÓPICA

"' ~ 301.--'0r--~~~~~~~-+-~~~~~~~~~+--~~~~~~~~--t

o e.,

+-·-... e.,

"' o e., e: Q) ... Q) -e: :::, .... ... .... "' o ""' e: o

OI e:

25

r= 0.10

20 €: 0.05 ""l: 1.00 'i) = 0.3

15

-------

5 L----l-.....l....----L----L..-'-L...L...L..L.. __ .....1.... _ _.__...J.-...J.-J.....J....L..1.. ........ ---'----l-.L--J.....L-'-L..J.1

101 5 10 2 5 103 5 104

L2 Z=-Vl-Y 2

RHc FIG. m.10 -VARIAÇÃO DO NÚMERO DE ONDAS CIRCUNFERENCIAIS CRfTICO I nCRI COM

O PARÂMETRO GEOMÉTRICO, Z - PRESSÃO LATERAL.

Ln w

54

dentemente do tipo de apoio, tem-se urna única solução para o pr~

blema da bifurcação. Este comportamento pode ser constatado na

figura (III.11) onde se comparam os resultados relatados na refe­

rência13 para cascas engastadas e simplesmente apoiadas sob pre~

sao lateral. Os resultados concordam com as conclusões de Sobel.2 7

que mostra que qualquer restrição à rotação nos apoios tem efei­

to significativo apenas para cascas relativamente curtas.

Foi verificado que variando as características geom~

tricas do enrijecedor dentro dos limites práticos as curvas

(III.8) e (III.9) obtidas para y = 0.1, E= O.OS e n = 1 perman~

ciam praticamente inalteradas.

Procurou-se, pois, analisar a influência da profund!

dade e espessura do enrijecedor sobre a carga crítica da casca.

Os resultados obtidos são apresentados nas figuras (III.12) e

(III.13) •

A figura CIII .12) mostra a variação de <P cr

(fixados

os valores de R/Hc, L/R, n e E) em função da profundidade do en­

rijecedor, y. Se constata a existência de um aumento súbito da

carga crítica para valores de y ainda bastante pequenos, atingi~

do rapidamente um limite superior.

A figura CIII .13) mostra a variação de <j). .=ma espes cr -

sura do enrijecedor n, tendo todos os outros parâmetros geométr!

cos fixos. Neste gráfico verifica-se que, de forma análoga à fi­

gura (III.12) , o aumento da espessura do enrijecedor além de um

certo limite não corresponde a um aumento efetivo da carga críti

ca.

Estes últimos resultados indicam que o valor ótimo

para a rigidez â torção e/ou â flexão é bastante pequeno e a uti

a: <..> -e-

N..J

N ~ N<>

:r: 1 N - \= -

N

li a:

ta..<->

10

5

10

5

Casco Engastado ( U : V : W : Wlf, : 0)

Casco Simplesmente Apoiado

( u : , : N1f, = M1f,: O)

55

Casco Enrijecido

1 ....,_ __ .,____.'---'---'--'---'-........... --'-----'---'---'--'--'-........ ,_, 101 5 102 5 103

2 l : _L_ ,J 1 - 1,12

RHc

FIG. ill. 11 - INFLUÊNCIA DAS CONDIÇÕES DE CONTORNO DA CASCA NA CARGA CRfTICA.

56

6.0

.ll0-4 Â: 0.5 R

V= 0.3 e

t=lf

'll=l.O

R/Hc : 300 e

., 5.0

FIG. fil_ 12-INFLUÊNCIA DA PROFUNDIDADE DO ENRIJECEDOR NA CARGA CRITICA DA CASCA.

5.0

Â: 0.5

'J:0.3

"6:0.l

R/Hc: 300

FIG. ill. 13-INFLUÊNCIA DA ESPESSURA DO ENRIJECEDOR NA CARGA CRITICA DA CASCA.

57

lização de enrijecedores com características de rigidez além des

ses limi.tes superiores seria ineficaz quanto ao aumento da carga

crítica. Um comportamento semelhante já havia sido constatado:p:,r

Singer e Haftka 28 e MacNeal 2" que chamaram este limite superior

de "cutoff point", sendo que estes trabalhos analisam, a estabi­

lidade global de cascas com anéis nao esbeltos.

vê-se que o aumento além de um certo limite da pro­

fundidade e espessura dos anéi.s para o caso de enrijecedores es­

paçados não tem praticamente nenhum efeito sobre a carga crítica

local. Estes resultados nos levam a sugerir o emprego de enrije­

cedores bastante esbeltos, sendo suas características geométri­

cas apenas suficientes para resistir à compressão radial provoc~

da pela resistência ao deslocamento nesta direção.

CAPITULO IV

ANALISE ASSINTÔTICA DO CAMI~HO PÔS-CRITICO

59

CAPÍTULO IV

ANÂLISE ASSINTÔTICA DO CAMINHO PÔS-CRITICO

A versao de Seide 6 para a formulação da teoria geral

da estabilidade elástica de Koiter 4 é utilizada na presente aná­

lise e somente os resultados essenciais da teoria pertinentes ao

problema tratado serão aqui utilizados.

IV.l - ANÂLISE DA ESTABILIDADE DE ESTADOS PÔS-CRÍTICOS INICIAIS

A estabilidade de um estado crítico de equilíbrio,

~ ], ocorrendo ao longo do caminho fundamental, cr

pode

ser estudada através do comportamento pós-crítico inicial, isto

é, na vizinhança desse estado crítico. Para isto o caminho pos­

crítico pode ser descrito por expansoes para o campo de desloca-

rnento, y, e o parárnetro de carga,~. em termos de um parárnetro

de perturbação Ê, onde E e tornado corno urna variável independente.

A expansao assintótica completa para os deslocamen­

tos e dada na forma

U = U + U E + U -o -1 -2

-2 E + • • • ( IV .1)

onde y0

e associado ao estado fundamental, y, e o vetor dos mo­

dos críticos (u1

, v 1

, w 1

) normalizados e y 2

é um campo de deslo­

camentos incremental ortogonal a y 1 •

O parâmetro de carga~ e descrito pela expansao,

~ = ~cr + ~1 E+~ Ê2 + 2

(IV. 2)

60

O coeficiente <j,1

na expansao {IV.2) e dado por

3 <j,l=--2- {IV. 3)

No caso de estruturas axissimétricas, devido à peri~

dicidade do modo crítico na direção circunferencial, tem-se que

resultado este que na expressao {IV.3) acarreta

<j, = o 1

se concluindo daí que o problema estudado apresenta

simétrica.

{IV. 4)

{IV. 5)

bifurcação

No caso aqui tratado a bifurcação é simétrica

terceiro termo da expansão (IV.2) e dado por

e o

<j, 2 = (IV. 6 )

Para o cálculo do <j, necessita-se de U o qual e ob-2 -2

tido (quando <j, = O) da equação 1

1> (U , <j, ) + 1> (U , U , <j, ) = O 2 -2 cr 21 -1 -2 cr

{IV. 7)

Os sub-Índices em 1> i.ndi.cam que este funcional é 21

do segundo grau em U e do primeiro grau em U. -1 -2

Como o problema apresenta bifurcação simétrica e a

tangente ao caminho pós-crítico em <j, =<j, é normal ao cr caminho

fundamental, a estabilidade do estado crítico é definida pelo si

nal de <j, , o qual está relacionado (veja a expressão 2

(IV. 2) ) a

61

curvatura do caminho pós-crítico em~=~ . cr

Se~ >O, a carga cresce quando E cresce e o equilí-2

brio é estável. Se, entretanto,~ < O, a curva ~(Ê) decresce na 2

região pós-crítica inicial, sendo o equilíbrio instável.

Somente no caso em que ~ < O e, a estrutura, 2

-sensi-

vel a imperfeições, isto é, imperfeições geométricas iniciais PTI?.

vocam uma redução no valor da carga máxima que a estrutura pode

suportar.

IV.2 - CÁLCULO DO CAMPO DE DESLOCAMENTOS U. -2

O campo de deslocamentos U é obtido através da equ~ -2

çao variacional

M> (U , ~ ) + o<!> (U , U , ~ ) = O 2 -2 cr 21 -1 -2 cr

(IV. 8)

sendo<!> dado pelas expressoes (II.25b) e (II.26b) obtidas no ca 2

pítulo II, substituindo U por U e<!> dado por -1 -2 21

q, (U ' u • ~cr) = 2 1 - l -2

r;,r u w w + (v + w ) w w + 1 • l 2 • l • 1 1 • 2

-À/2 O i; I i; i; 8 8 • 8

+ --1..1~2 u + w2 2 1, 2, 1,

- i; i; 8 (v2, 8 + w2)] +

+ vi-;; w 1 , 1 ,

- i; 8 2 •

8

+ (v 1 •

8

+ w )w 1 1 ,

i;

w 2 ,

i;

+ w

+ -1:._ w2 2 1 '

u

e

+ (1 - V) 2 w

+ (w w 1 ' 2 '

i;

2 ' i;

1 ' i;

+

e

+

w 1 '

w 2 '

1 2

e

i;

62

w2 (v 1 ' 2 '

i; e

(u + V ) + 2 ' 2 '

e i;

w (u + V )] de dl; (IV. 9) 1 ' 1 ' 1 '

e e i;

Dando prosseguimento à técnica variacional, obtém-se

o seguinte sistema de equaçoes diferenciais lineares

(1 - \) ) (1 + \) ) + - u 2 u 2 V - \) w

2 ' 2 ' 2 ' 2 ' i; i; ee i; e i;

+ o {2 n q,(l+v) e u - (C e )w J (1 - Bv l + 3 2 ' 3 4 2 ,

ee i; e

+ 2 a n 3 e (u - 2 ( 1 - v > u + (C - C) w +

= w w 1 ' 1 '

i;

(1 + \) ) 2

= w w 1 ' 1 '

e

1 2 1 2 , 2 1 2 , eeee ee

+ (1 + V) 2 w w +

(1 - V) 2

w w 1 ' 1 ' 1 ' 1 '

i; i; e i; e i; ee

(1 - \) ) u - V V - w = 2 ' 2 ' 2 2 ' 2 '

i; e ee i; i; e

(1 + \) ) (1 - \)) w + w w + w 2

1 ' 1 ' 2

1 ' 1 ' ee i; i; e e i; i;

1;eeee

(IV.lüa)

(IV. lOb)

vu + V + 2 , 2 ,

!; 6

w 2

+ <j, Cl -v 2)

63

(w 2 ,

66

-- e )_u + te - 2 e + e l 5

w + 3 2 , 3 4 2 ,

66 1;66

+ e w l (1 - Sv l + 2 a n 3

5 2 t

!;--

(C 2

- e lu 4 2 t

ee66

+ (C + 2 (1 -v)C )u + 2 1 2 1

66

(C - 2 e + e l w + 2(C - e -(1-v)C )w + 1 2 3 2 , 3 2 l 2 ,

/;6666 1; 6 e

e w2 , J} =

3

= w u 1 , l ,

!;!; - !;

+ v (v 1 ,

6

w l ,

ee

(v l ,

e +w)+vu l+

l l ,

/;-

+ (1 - v )w (u + V + w u + (1 -

+

+

(1

1 2

l , 1 ,

i; 6 6

+ \) ) 2 V 1 , J + w

e i;

1

~2 + v w2 J 1 , 1 ,

- e E;

1 , l , l ,

!; !; !; !;

(1 - \)) V l , 1 , + 2 V

e 66 1 ,

!; !;

onde as constantes C. sao dados por (II.31). l

2 \) )

u + l ,

66

(1 \) ) + + 2 u J + l ,

e i;

(IV.lOc)

Do problema variacional obtém-se, também, as seguin-

tes condições de contorno em !; = + 1./2 -u + v (v + ) + 1 ( 2 + \) w2 w -w 2 , 2 , 2 2 - 1 , l ,

= o !; 6 !; 6

v 2 = O (IV .11)

w 2 = O

w2, ee] = o

64

Analisando o sistema (IV.10) observa-se que os mem­

bros esquerdos sã·o derivadas parciais de ~2

e os membros direi­

tos sã·o derivadas parciais de g1

o qual já foi calculado durante

a resolução do sistema (II.40).

Multiplicando u por h , a fim de tornar sua dimensão -1 a

compatível com a de U, e substituindo-o no sistema (IV.10), tem­-2

se para os membros direitos das equações (.IV.lOa), (.IV.lOb) e

(IV.lOc) respectivamente.

1 a) 4 cos 2n8 I I K3 1.. J'

i j sen (q. - q. ) !'; + sen (q. + qJ. l ,;J +

l. J l.

+ ! I I K .. i j 41.J

sen (q. + q.) ci l. J J (IV.12a)

1 c) - 4 cos 2n8 II (K .. + K .. + K .. - K91.·J· - K .. )cos(q. - q.)t; + i j 51.J 61.J 81.J 71.J 1. J

+ (K .. + K .. + K . . - K .. - K .. ) cos (q. + q.) /'; + 51.J 61.J 71.J 81.J 91..J 1. J

+ _!_ I I (K5 .•

4 i j l.J

(IV.12c)

65

Os coeficientes Khij sao dados por

n 3A A + Cl + \) l A A + K = 2 n

3j qi qj 1ij 3i 3j ,i

+ (1 - Vl n A A q2. 2 3i 3j ].

n 3A . A (1 + v) A3i A + K2ij = - n 3j qi qj 3 ]. 3j 2

(1 - v) 2 + 2 n A 3i A 3 j qi

K .. =A. A . q1. q: + n 2A. A . q

1.

3l.J 3l. 3] J 3l. 3]

K .. =A.A. q. q: - n 2v A. A . q1.

4l.J 3]. 3] l. J 3l. 3]

K .. = -n 2 A. A . Sl.J 3]. 3] n 3 A. A . 3 l. 2 J

vn2 A . A . qJ. 3 l. 1 J

K .. 7 l.J

K aij

+ (1

K sij

+ (.1

=-A.A. q: q. - v(A. A . q7 + n A. A . q~) 3]. 1] l. J 3]. 3] l. 3]. 2] l.

= (V - 1) (n2A. A . q1. + n A. A. q

1. qJ.)

3l. 1] 3l. 2]

q2. (1 - v) n2A . = A A qi + A . q, + 3i l j J 2 3 ]. l J ].

+ v) A3i A 2 n 2j qi q.

J

= n 3A A + (_l - v) n A. A q: + 3i 2j 2 3 ]. 2j J

+ v) n 2A. A . 2

q. 3 ]. l J J (IV .13)

66

vê-se que é impossível encontrar uma solução modal

que atenda simultaneamente o s.istema de equaçoes

parciais (.IV.101 e as condições de contorno (IV.11).

diferenciais

Atentando-se para a forma de !:!2

sugerida pelos mem­

bros direi tos de (.IV .10 l dados em CIV .12 l, deve-se buscar uma s~

lução aproximada que atenda às condições de contorno e que mini­

mize o sistema de equaçõ·es.

Uma solução do sistema (IV.10) que atenda as condi­

çoes de contorno (IV.11), que seja ortogonal a !:!1

e que atenda

às condições de compatibilidade e continuidade impostas pelo pr~

blema, pode ser escrita na forma

u 2

+

V 2

w 2

+

= cos 2ne i: i=l, 3, 5,

I B 2i sen i=l, 3, 5,

= sen 2ne l: i=l,3,5,

= cos 2n8 i: i=l, 3, 5,

i: 8 si cos i=l, 3, 5,

B -sen r. i; + li ]_

r. i; (IV.14a) ]_

B . cos r. i; 3 ]_ ]_

(IV.14b)

B4i cos r. ]_

i; +

r. i; (IV.14c) ]_

67

Substituindo (IV .14) nos membros esquerdos de (IV .10)

e empregando o método de Galerkin, que tem sido frequentemente

usado em problemas semelhantes~' 3, obtém--se o sistema de

ções não homogêneo

[s] ~ = ~

equa-

(IV.15)

de dimensão 5M x 5M, onde M é o número de termos necessários a

convergência de~. 2

A solução do sistema (.IV.15) nos dará o valor das am

plitudes Bhi das funções (.IV.14).

Os elementos não nulos da matriz [SJ sao dados por,

S .. = À ó .. Ir r + 2 (1 - v)n 2] +

i,J 1Jl-m n

+ n n 8 a.n 3 NA e (4n 4 + 2(1 - v)n 2 ) -mn 1

S. . +l = À ó .. ( 1 + v) n rn 1,J 1J

s. ·+2 = À o .. \J r + n !:, ~ a. n2

NA 1~ n" (C - e ) + 1,J 1J n mn 1 2

+ n2 (C + 2 (1 - \! ) e i l] -2

- BNA~ (l+v) n 2 (C -· e ) (l - Bv i] r cr 3 4 n

s ··+1 . = À o:iJº (.1 l.. , J + v)n r 1 nJ

68

8i+i,j+l = À <S. , 1·4n 2

l.J + (.1 - v)/2

8i+l,j+2

+ n 2 (C 2

= 2 À 6 .. n l. J

+ 2 Cl - v)c )J-8NAcf> (l-v)n2

1 cr

si+2 ,j+l = 2 >. óij n

(C - C ) 3 4

8 i+2,j+2 ;:; À ó ..

l. J l - cf> (1 - v 2

) ( 4n 2 + S rm r ) + cr n

-2C+C)-2 3

-2n2 (c -e -(l-v)C)+C3

/41-3 2 1 __l

- 8 Nl'I. cf> . {_l + . V) cr - 2C + C)

4 5 + e

5 / ~ (1 - Svl r r m n

5i+3,j+4

5i+4,j+3

=2VÀÔ .. r J.J n

69

+ n Í', 14 a n 2 NA e - 4 q, NA (1 + V ) e mn 3 cr s

onde

m,n=l,2,3, ...

i = Sm - 4

j = Sm - 4

ºij ={ o 1

ÜM + M + 6) /2] = (-l) m n

mn

M=l,3,5,7, ...

se i =!= j

se i = j

+ ex r2

r2] + m n

(IV.16)

Os elementos do vetor {R} no sistema (IV.15) sao da-

dos por

Ri+l N A A3k 1~3 +

(1 + v) q~ n] = -2i ,j 2 J

- N .,. A A3k (1 + V)

3j 2 q. qk n 3 J.. J

70

= N . 3 J_

IA . A k L 1 J ,

2 + 3 (1 - V) qj qk · 2

N.,.{A.Akq. q2 + Cl + 3vl n

2] +

2:L lJ 3 J k 2

+ A A3k n l~n2 + vq~ + (1 - V) q~ +A . A k [ ~ n2

+ V q~J} 2j 2 J 3) 3

R - N {A A q 2 qJ~ - (.1 - v) n 2] + i+4 - ,I ij ,k k

- N .,. {A. Akq. q2 - (1 - v) n2] + 2 :L 1 J 3 J k

+ A . A3k n [ q~ - (1 - v) qu + A . A k E' + 2 v q~J} 2J J 3J 3 ( IV .17)

onde

i = Sm - 4 j = 1, N

k = 1, N

m=l,2,3, .•• i = 1, M

e as constantes N .,., N.,. e N.,. sao dadas pelas seguintes 1:L 2:i.. 3:L inte-

grais definidas,

71

r;, N = (sen qkl; cos q. i; sen r.,.i;) d/; 1i J ].

; -À/2

r/2 N = (cos .qk I; cos qj I; cos r?i;) d/; (IV .18) 2i l..

-À/2

r/2 N = ( sen qk I; sen q. I; cos rr i;) d/; 3i J

-Ã/2

Tomando para u, v, w o número de termos que foram l l 2

necessários, no problema (II.40), para a convergência de ~cr' o

campo incremental de deslocamentos u , v, w pode ser obtido com 2 2 2

a solução do sistema (IV.15) tomando para isto um número de ter-

mos em (IV.14) suficiente para garantir a convergência de~ 2

IV.3 - CÁLCULO DA CURVATURA DO CAMINHO PÔS-CRÍTICO EM~=~ cr

Sendo U e U dados respectivamente por (II.37) e - 1 - 2

(IV .14) e com (II. 25d), (II. 26b) e (II. 26c), o coeficiente ~ da 2

expansão (IV.2) pode ser obtldo usando a expressão (IV.6) cujas

parcelas, após se efetuar as integrações, são dadas por

<!> cu , ~cr) = 2 -2

4 II À { ~,i

B . r. r. /2 + B . B . r. rj !J l. J 21. 2J l..

- n (B . B , + B . B . ) + B . B . / 2 + B . 3l. 4] 3] 4l. 4l. 4J sl.

+ 2 n2 B . B . -

B .l + SJJ

3]. 3]

72

+vinCB.B.+B.B .. ) L 1J.. 3J 1J 3;L

l - -2 (B . B . r. + B . B . r.) +

1l. 4J J. 1J 4J. J

+ (B . B . r. + B . B . r.)J 2l. SJ J. 2J Sl. J

+ (1 - V) 2 ·- 12 n2 B . B . +

L 1J. 1J

+ a 1B . B . r~ r~ + B . B . r~ r~ + 4 n2 B . B . r. r. + [4J. 4J J. J SJ. SJ J. J 4l. 4J J. J

+ 8 n 4 B . B .l 4J. 4Jj

- <j, (1 - .v2) 1B . B . (2 n 2 + S/2 ri.. r.) +

cr L4J. 4J J.

+ S B . B . r. rl} º.·. - 4 n n <j, (1 + v) {4 n2

sJ. sJ J. Jj J.J cr ic(B.-B.rl..). L 3 1]. 41

. (B . - B . r.) + e 1J 4J J 4

IIB . - B . r. ) B . 1 · !l. 4l. J. 4J

r . + (B . - B . r . ) B . r .l + J !J 4J J 4J. J.J

+e 5

B . B . r. r.l 4J. 4J J. JI

+e 5

(B . B . 4J. 4J

+ 2 B . B .) r. r.} sJ. sJ J. J

(1 - S V) !:, .. J.J

+

(B . B . r. ) (B . - B . r . ) + 1J. 4J. l. !J 4J J

+e [B,-B.r.) B . r. + (B . - B . r.) B . r.J + 2 11 r+l 1 4J J !J 4] J 4J. l.

+ e B . B . r. rJ + C (B . B . +2B.B.) r. r. 3 4J. 4] l. J 5 4 l. •J sJ. sJ J. J

- 4 n2 [2 [B,-B.r.)B. r. + (B . - B . r.) B .

ri] +

Jl. 4J. J. 4] J !J 4] J 4l.

+ 2 e B.B.r.rJ + 8 (1 - v) t, (B . - B . r.) 3 4J. 4] J. J 1 J. 4J. J.

. (B . -B.r,iJ}t, ij 1J 4] J (IV.19)

onde

i = 1, M

j = 1, M

l'lij /cm.

= (_-1) - 1

m=l,3,5, ...

li . . 1.J = {:

+ m. + 6) / 2] J

73

se i =/= j

s·e i. = j

-2 ÀII ( 1 - v 2 ) A . A . (n 2 + Sq. q . ) o . . -

31 3] 1 J 1J

-4nIICl + v) {

n 2 ~ (A . - q. A . ) (A . - q . A . ) + 3 11 1 31 !J J 3]

+ C l(A . -• 1 1

q 1. A . ) q . A . + (A . - q . A . ) q. A ·J + 31 J 3J !] J 3J 1 31

+ C A . A . 5 31 3J q1. qJ.] + e A . A . q. q.} (1 - Sv)l'I .. 5 31 3] 1 J 1J

onde

i = 1, N

{: se i - j

li . . = 1J j = 1, N se i = j

/cm. + m. + 6) 12] li .. = (-1) - 1 J 1]

m=l,3,5, ...

(IV. 20)

74

<l>(!J,cj,)= <+ -1 cr

3II r - 4 A . A . A k A , q. q. 31 3] 3 3x, :). J

qk qJ I + 3Il4

n" A . A . A k A , I + 'J l 3l. 3J 3 3x, 2

+ n2

211

A. A. A k A, q. q. I + n Ó ... k!l J3411 c A. A . A k A !l q. q. qkq,+

31 3] 3 · 3x, l J 3 lJ l 5 31 3] 3 3 l J x,

(A . A . q. q.) (A k - qk A k) (}\ , - q, A ,) + 31 3] l J 1 3 lh ,c 3,c

+ e A . A . A ,q. q. q, (A k - a, A k) + '+ 31 3] 3,c l J ,c 1 'K 3

+ C A. A. A k q. q. qk (A1

, - q, A30

)· + <+ 31 3] 3 l J ,c ,c x,

3n"II ~ + - 4 - C1

(A. - q. A.) (A. - q. A.) (A k - qk A k) (A, - q,.A ,) 11 l 31 1) ) 3J 1 3 l/C IC 3,c

+ 4 e 2

+ 6 e

+ 4 e <+

(A. - q. A.) (A. - q. A.) (A k - qk A k)q, A,+ 11 l 31 !] J 3] 1 3 ,c 3,c

(}\ . - q. A . ) (A . - q. A . ) A3k A

3, qk q, +

11 l 31 1J J 3J ,c ,_

(}\ . - q. A . ) A . A k A , q. qk q, + 11 l 31 3] 3 3x, J x,

+

+ C A . A . A k A, q. q. qk q,} 5 31 3] 3 3/C l J x,

(IV. 21)

onde

i, j, k, !l = 1, N

75

e as constantes Ii são dadas pelas integrais

r+À12

I = J (sen qi E; sen q.E; sen qki; sen q9,sl df; J

-À/2

r/2 I = (cos qif; cos qjf; cos qkf; cos q .Q, E;) df; (IV. 21)

2

-À/2

r/2 I ( sen qi E; sen qjf; cos qkf; cos q.Q,E;) df;

3

-À/2

Obtido <jJ , o comportamento pós-crítico inicial da 2

casca enrijecida sob pressão externa passa a ser descrito de for

ma aproximada, com o truncamento das expansões CIV.l} e (IV.2},

por

u = uo + u e: + u Ê2 1 2

V = V e: + V Ê2 1 2

w = w + w e: + w Ê2 o 1 2

q, = <j,cr + q, Ê2 2

IV.4 - CÁLCULO DE <jJ PARA CASCA SIMPLESMENTE APOIADA 2

(IV. 2 3}

Para o caso de casca cilíndrica simplesmente apoiada,

o sistema (IV. 10} se reduz a

76

(l - V) (.l + V) u u V VW =

2 , 2 2 , 2 2 , 2 ,

ss ee se s

+ (1 + v)

+ (1 - V) (IV.24a) w w 2

w w 2 w w l i l , l ' 1 ' l ' 1 ' s ss e se s ee

(1 + v) (1 - v) u - V V - w = 2 2 , 2 ' 2 2 , 2 ' s8 88 ss 8

+ (1 + v)

+ (l - v) (IV.24b) w w

2 w w 2 w w

1 , 1 , 1 , l , 1' 1 ' 8 88 s s8 8 ss

VU + V + ,-_W 2 2 , 2 1

s 8

(w 2 ' 88

+ Bw 2 ' ss

= w 1 ,

ss u

l ,

s + v(v

1 ' 8

(v 1 ,

8

+w)+vu ]+ l l ,

F;

+ (1 -

+ (1

+ _!_ 2

+ 2

V)w

v)

w2 l ,

8

Cu + V l , 1 ,

se e

v 1 , sJ + w

1 ,

e

+ V w2 J 1 ,

s

) + w 1~ + (1 - V) l , l , l , 2

s s - ss

+ (1 - v) (1 V

2 V + 1 , l ,

88 ss

sendo as condições de contorno dados por (IV.11).

u + l ,

88

+ V)

u 1 , sJ + 2

(IV.24c)

Tendo o sistema (IV.24) as mesmas condições de con-

torno e os mesmos membros direitos do sistema (IV.9) a solução

para U tem a forma dada em CIV.14). O vetor U para a casca sim -2 -1

plesmente apoiada é dado por (II.46).

77

Substituindo ~1

e ~2

em CIV.24) as amplitudes Bhi de

U , já que não há interação de modos longitudinais, são calcula­-2

dos por Galerkin que nos fornece os seguintes sistemas

=

=

2N . (q 3 - v q n 2

) _________________ 1l _______________________________ _

N .1;. (2q 3 - (1 -v)n 2 q) + A (3 v- l)q 2 n + v q 2

] 31 1 2

- N2ii;,

1 (q 3

- (1 - v)n2q) + A, (2v - l)q2 n + n 2 + 2 v q 2]

r'.' + 2(1 -v)n 2: n r. (1 + v) v r.

1 • 1 • 1 --------- ----.------ - -------.------------n r . (i +v) : 4n 2 +(1 - v)r'.'/2:

1 • 1 • 2 n

--------------.----------------.--------: 1 - q, (1- v) (4 n 2 + Sr'.')+ . cr 1 2 n

(IV.25)

B. 41

=

N . (q' + q n 2)

_11~~~--~-------~---~---~~------~~-~---~-------~--= N . n 3 + ( l + v ) q2 n (N . - N . ) /2

21 21 31 --~---~--~------~---~---~-~---~-~----~--~-----~~-N •. IA (q 3 + 3 (1-v)n2q/2) + A q 2n(2-v) + vq2121 -

31[1 2 J - N . IA (q 3 +

21 L 1 (1+3v)n2q/2) + A

2 (2 n 3 + (l+v)q2n/2) + 3n2/2 + v q 2] (IV.26)

As constantes N .. nos sistemas (IV.25) e (IV.26) sao ]1

dadas pelas expressoes (.IV.17) para o caso em que qk = qj = (II/À).

Obtidos u e U e com o auxílio de (II.25b) e (II.25d), ...... J - 2

o coeficiente q, ; relacionado à curvatura do caminho pós-crítico 2

78

em cj, = cj, , é dado pela expressao (IV.6) cujas parcelas sao da­cr

das por

<I> CU , cj,cr) = 2 -2

411;. { ~2. r':/2 jl l

+ V l~n

B 1i

B ai

+

-

B2 .. r': + 2 n2 2l l

B B r. + 1i ,i l

B2 .. - 2n B 3 i

B ,i + B2 ./2 + B2] + 3l ,i sl

2 B B . r] + (1 -v) 2n 2 B2. + 2i sl l. 2 1l

+ 2n B . B . rl. + B2 . rl./2] + a B2 . r~ + B2 . r~ + 4n 2 B~ r: + 1l 3l 3l ,i l 5 i l l l

+ Bn' B2 ·J - cj, (1 - v2) IB2. (2n2 + f3 r':/2)

,i cr [ ,i i

i 1, M

<I> CU ' cj,cr) '-1

- 2JIÀ Cl - v 2 )A2 (n 2 + /3 q 2) 3

= A' IIÀ 3

2.9..".. 32 + ~ 9n'J 16 + 32

(IV.27a)

(IV. 27b)

(IV. 2 7 c)

Os resultados relativos ao cálculo do coeficiente cj, 2

para a casca cilíndrica sob pressão externa sem enrijecedores

(equações (IV.27)) e comenrijecedores (equações (IV.19), (IV.20)

e (IV.21)) são apresentados e discutidos no próximo capitulo.

CAP1TULO V

COMPORTAMENTO PÔS-CRITICO INICIAL E SENSIBILIDADE

A IMPERFEIÇÕES: RESULTADOS NUMfRICOS

80

CAPITULO V

COMPORTAMENTO PÔS-CRITICO INICIAL E SENSIBILIDADE

A IMPERFEIÇÕES: RESULTADOS NUMJ;;RICOS

V .1 - IMPLEMENTAÇÃO NUMf:RICA

A solução do sístema (IV.15) cujos elementos sao da­

dos pelas expressões (IV.16) e (IV.17) fornece as amplítudes do

modo secundárío U . Esta solução foí obtída pelo método de Gauss, -2

sendo usada precísão dupla e a tríangularízação da matríz obtída

após rearranjo do sístema numa forma análoga àquela utílízada p~

ra cálculo de ~cr' a qual é descríta na seção III.l.

Agora, com as amplítudes de U e U e com o valor de -1 - 2

~cr' ~2

pode ser calculado através da expressão (IV. 6)

parcelas sao dadas por (IV .19) , (IV. 2 O) e (IV. 21) .

cujas

Para o caso partícular da casca ísotrópíca, os resul

tados sao obtídos através da sequêncía de cálculo descríta ante­

ríormente mas fazendo-se o número de anéís ígual a zero.

V. 2 - RESULTADOS REFERENTES AO CAMINHO PÔS-CRITICO INICIAL DA

CASCA ISOTRÔPICA

O valor do coefícíentes ~ que se relacíona 2 '

como

foí vísto no item IV.l, ao grau de sensíbílídade a ímperfeíções

da estrutura, foí obtído, para a casca ísotrópíca, usando

U as expansões [IV.14) apresentadas no capítulo anteríor. -2

para

81

Dividindo-se a expansao (IV.23) por q,cr e chamando a

razao q, /q, de b (notação largamente usada na literatura especi~ 2 cr

lizada), a expansão (IV.23) pode ser reescrita na forma,

q,/q, = 1 + b Ê2 (V.l) cr

No estudo que se segue será usada a variável b como

parâmetro de sensibilidade a imperfeições.

Usou-se na expansão de U o número de termos necessá -2

rios à convergência de q,, de tal maneira que o 2

erro relativo

fosse sempre menor ou igual a meio por cento. A figura (V.l) mos

tra várias curvas de convergência de b = q,2/q,cr em função do nú­

mero de modos longitudinais, M. Verifica-se que a convergência e

bastante rápida e, com quatro modos, a convergência é obtida.

0.1..--------------,

b= -1. ~CR

o

· 0.1

-0.2

-0.3

·0.4

-0.5

o

G) 11: 2.00

® '>..: 100

G) 11: 0.30

©11=0.15

4

nº de modos longitudinois - M e

FIG. V. !-CONVERGÊNCIA NUMÉRICA DO PARÂMETRO b.

82

A figura (Y, 2) .mostra a in:f'luênc:(.a dos modos secundá

rios assirnétri.cos e axü,s:imétricos das expansões (J:V, 14) sobre o

parâmetro b, quando este varia com o parâmetro geométrico z. Ne~

ta figura a curva 1 foi obti.da com modos assimétricos e a curva

2, com os modos axissirnétricos. Constata-se que em ambos os ca­

sos a estrutura se mostra insensível a imperfeições já que ova­

lor de b é sempre positivo. Estes resultados contradizem os re­

sultados experimentais e mostram ser indispensável o uso sirnultâ

neo de modos assimétricos e axissirnétricos nas expansões (IV .14 ).

O resultado de b vs. z usando as expansões completas

(modos assimétricos e axissirnétricos) é apresentado na figura

(V. 3) . Neste caso, ao contrário do observado na figura (V. 2) , a

estrutura se mostra sensível a imperfeições iniciais (b <O) para

urna faixa significativa do parâmetro geométrico z, decrescendo a

medida que z cresce (cascas mais longas), sendo a sensibilidade

praticamente nula para valores dez> 10 3•

Este comportamento é explicado pelo fenômeno de aco­

plamento rnodal 13 e é ilustrado pela figura (V.4); o comportamen­

to pós-crítico da casca para urna única forma modal, isto é, ass~

métrica ou axissirnétrica, é sempre estável, enquanto a resposta

devida ao acoplamento entre essas formas modais é definitivamen­

te instável, com perda de rigidez associada a um aumento de de­

formação.

O grau de sensibilidade à imperfeição e governado p~

la magnitude do parâmetro b de urna maneira que pode ser julgada

quantitativamente pelas curvas apresentadas na figura (V.6) que

mostra a variação de cj,s/cj,cr com (6/Hc). Estas curvas são obtidas

usando a expressao

2.0

0 . b .• 2

RESPOSTA NOS MODOS ASSIMETRICOS . rc;

© MODOS AXISSIMÉTRICOS RESPOSTA NOS

1.5

o '-------'---'--_._......__.__._..J...J....C....,...-----1-_._--L--L....L...JC-'-L...J....,,.--.i.._---'-----1----I-L.J......L....LJ

10 5 102 5 103 2 5 104

L ., 1 , Z=- v1-11 RHc

FIG. V. 2 - VARIAÇÃO DA SENSIBILIDADE A IMPERFEIÇÕES EM FUNCÃO DO PARÂMETRO GEOMÉTRICO z - CASCA ISOTRÓPICA soe PRESSÃO LATERAL.

00 w

b, ..k 0,----1----=:===F==::===="""'1

.CR

-0.21--------~~---------+-

-0.41----~,E.----------11---~~--------+---

---- PRESSÃO HIDROSTÁTICA

----- PRESSAO LATERAL -0.61--7"'-----------1------------+--------~

-0.8 '-----L--'---'--L-1-'-.L..LJl----'--....._-'--.L...L...J....JL..L..J.. __ ......__L-.L.-J'--I.....L...l....J..J

10 101 10 2 2 10 3

z,_L_ ..J,-v2' RHc

FIG. V.3-VARIAÇÃO DA SENSIBILIDADE A IMPERFEICOES EM FUNÇAO DO PARÂMETRO Z - MODOS ACOPLADOS.

85

(1 - (V. 2)

deduzida por Koiter 29, onde 8 é a amplitude da imperfeição ini-

cial e ~s' a carga de flambagem da casca imperfeita, conforme

ilustrado nas figuras CV.Sal e (.V.Sb) para o caso presente de bi

furcação simétrica instável.

Repostas nos Modos Ax1ssime'tricos

\ \ 1

\ 1 ,, ----,, ...,_..,,,

Reposta nos Modos Assimêtricos

Resposta para Modos Acoplados com Perda de Rigidez

l/2 ( 1 )

FIG. V.4 -EFEITO DO ACOPLAMENTO ENTRE MODOS SOBRE A ESTA­BILIDADE DO PONTO CRfTICO DE EQUIL(BRIO.

As figuras (.V. 7) e (.V. 8) mostram a variação da sensi

bilidade a imperfeições, b, em função do número de ondas circun­

ferenciais, n, para várias geometrias. Verifica-se que, a medida

que o número de ondas circunferenci.ais decresce, o valor de b

86

·& (o) e (b) €

FIG. V.5 -SENSIBILIDADE A IMPERFEIÇÕES INICIAIS DE SISTEMAS CARACTERIZADOS POR BIFURCAÇÃO SIMÉTRICA INSTÁVEL.

1.0,r----------,---------,

b = - 0.01

b = -0.1

~2.....__ _______ _._ _______ ~

o 0.5

Ê = (-!-;) 1.0

FIG. V.6-INFLUÊNCIA 00 PARÂMETRO b E DA AMPLITUDE DA IMPERFEIÇÃO € NA CARGA OE FLAMBAGEM, .s.

1.50---------,

• X 10- 4

Â: 0.25

19 -n3i----+---1----+-----i

21 23 n

b= l!. •e•

-0.5

87

'). = 0.5

n 1 e• 1 1

.CI -----·~-4.1 13

-0.Jl----+--+----15 11 n

b- .2 -"fc;

-0.3 1 1 1 1 1 1

-0.7'-------~ -o.s.__ _____ ___, ,~R-/ H-c =-3-0 O__,,

9.5

• X 10- 5

').: 2.0

b- .! -rc;

•e• -----9.lt----+--+---+---,

6 a 10 n 01----+--+---+----I

-0.2.__ _____ _____,

4.0

• X 10- 5

'). : 5.0

.CI -----

íl CI 1

1 1 1

3.5 1

3 5 1 n b - •z ºi---+---:-=::=:i;;:::;:a-, -~

-0.1 ,,." /

-0.2'--------.-J

FIG. V. 7 -VARIAÇÃO 00 PARÂMETRO OE CARGA , • , E DA SENSI­BILIDADE A IMPERFEIÇÕES, b, COM O NÚMERO OE ONDAS CIRCUNFERENCIAIS , n .

88

6.2r-------------, 2.6 r-------------,

• X 10-4 ')..: 0.20 ~ x 10-4 >.: 0.45

5.9 2.3 1 ílCR

1 ílCR 1 1 1 1 .CI

5.625 2.0 27 29 n 17 19 21 n

-0.3 o

b-1!. - .,. b-~ -.ti -0.2

-0.7 -0.4

1 R/Hc = 500 1

6.7 2.4

• x 10-5 >.: 1.4 • X J0-5 À: 4.5

6.4 2.1

6.19 n 1.8 a n 11 1 4 6

o o . --- 1

b= ..!!. b: .!! ..... - 1 1 1 .CI ~e• ,-

-0.2 ....._ _____ ___.

FIG. V. 8 - VARIAÇÃO DO PARÂMETRO OE CARGA, ~ , E DA SENSI­BILIDADE A IMPERFEIÇÕES, b I COM O NÚMEROS OE ONDAS CIRCUNFERENCIAIS 1 íl •

89

cresce significativamente. vê-se que este comportamento, indepe~

dente de R/H ,é bastante acentuado para cascas curtas (À< 1.0), c

sendo ainda bastante significativo para cascas de comprimento mé

dio ( 1. O < À < 5. O) •

Para a discussão que se segue é importante se enfati_

zar aqui que o parâmetro b é sempre obtido através de um procedi_

mento no qual os modos críticos, com (m, n) = (1, n ), são da-cr

dos básicos. Assim as figuras (V.2) à (V.6) são relacionadas a

valores de ~cr e ncr mostrados, para certas geometrias, nas fig~

ras (V.7) e (.V.8).

A partir do exposto pode-se então argumentar que se

as imperfeições existentes na estrutura induzirem um colapso em

um modo com um número de ondas circunferenciais n > n , a casca cr

será menos sensível a estas imperfeições do que a imperfeições

na forma do modo crítico (.n = ncr). Se, ao contrário, as imper­

feições induzirem um colapso em um modo com n < n , a sensibili cr -

dade a estas imperfeições cresce significativamente com o decrés

cimo de n, conforme se observou anteriormente nas figuras (V. 7)

e (V. 8) •

Este comportamento pode ser explicado através doses

tudos desenvolvidos por Batista 13 sobre a variação da energia de

membrana e de flexão em cascas cilíndricas em função do numero

de ondas circunferenciais, n. Os resultados deste estudo mostram

que para n < n a contribuição da energia de membrana é cr supe-

rior a da energia de flexão. Esta diferença decai a medida que n

cresce, tornando-se a energia de flexão superior a de membrana 1 3 , 3 3

para n > n Sabe-se que o mecanismo da perda de estabili-cr

dade se dá, justamente, quando, através de algum caminho, a ener

90

gia de membrana da casca se transforma em energia de flexão; lo-

go, quanto menor o valor de n, maior a contribuição da energia

de membrana em relação à energi.a total da casca e, portanto, maior

a sensibilidade a imperfeições e potencialmente maiores as possf

veis reduções da carga de flambagem.

V.3 - RESULTADOS REFERENTES AO CAMINHO PÔS CRITICO INICIAL DA

CASCA ENRIJECIDA

Para se obter o valor de b para a casca com enrijec~

dores espaçados, toma-se primeiramente o vetor U com um numero - 1

de termos que garanta a convergência de~ e em seguida o vetor cr

u com um número de termos (sempre maior que o tomado -2

necessário à convergência de~ . 2

para

A figura (V. 9) mostra a convergência de b com o nume

rode modos longitudinais, M, de U e demonstra a eficiência do -2

processo numérico utilizado.

Os resultados relativos à sensibilidade a imperfei­

çoes para a casca cilíndrica enrijecida são apresentadas na fig~

ra (.V.10) a qual mostra a variação b com o parâmetro de Batdorf

z. vê-se que a casca enrijecida, assim como a isotrópica, é sen­

sível a imperfeições, isto é, b <O. Para valores de Z >100, os

resultados da casca enrijecida e isotrópica coincidem. Na re-

gião de 10: Z S 100 a casca enrijecida apresenta menor sensibi­

lidade a imperfeições, com o parâmetro b chegando a ser quase me

tade do valor correspondente à casca isotrópica.

Este decréscimo de sensibilidade a imperfeições e

uma decorrência do acréscimo do número crítico de ondas circunfe

renciais da casca enrijecida em relação ao número crítico de on-

91

das associado à casca isotrópica; isto pode ser observado com o

auxílio das figuras (V .10) e (III .10) (Cap. III) .

Verifica-se que o enrijecimento, embora diminua a

sensibilidade a imperfeições de cascas curtas, não é capaz de

conferir um comportamento estável a estas estruturas, isto é, de

tornar b positivo.

A variação da sensibilidade a imperfeições, b, em

função do número de ondas circunferenciais, n, é mostrado na fi­

gura (V.11) para certas geometrias de casca. Aqui, como para o

caso isotrópico, também se nota um aumento da sensibilidade a im

perfeições a medida que n decresce, embora este aumento não seja

tão acentuado como no caso da casca isotrópica.

nº de modos longitudinais '

M

7 15 23 o

b=_h ~CR

-0.5 R/Hc: 300

(: o. 10

€ : 0.05 -1.0 CD,, 0.25 11: 1.00

CD, ,o.5o 'J : 0.30

-1.5 G)'>.=0.75

FIG. V. 9- CONVERGÊNCIA DO PARÂMETRO b COM O NÚMERO DE MODOS LONGITUDINAIS, M - CASCA ENRIJECIDA SOB PRESSÃO LATERAL

b = .1t. 0,----,--======t:======1

fcR

Pressão Laleral

Pressão Hidrostática

----CASCA ENRIJECIOA

------ CASCA ISOTRÓPICA

-0.61,--L--------+----------,----------1

FIG. V. 10 - VARIAÇÃO DA SENSIBILIDADE A IMPERFE ICÕES EM FUNCÃO DO ~ ' '

PARAMETRO Z - RESPOSTA VALIDA PARA GEOMETRIAS PRATICAS DE ENRIJECEDORES.

93

1.9 5.3

'x 10·4 - '}.:0.25 • X 10·4 À= 0.50

-1.6 - íl CR

íl CR 1

1 1 - 1 - j 1

>- ' 1.3 1 ! 1 4.7 ' ' '

21 23 25 n 14 16 1s n -0.l o . . .

' ' ' b b 1

1

1

-0.2 -0.1 - j

' 1 1

1

-0.3 -0.2 -

2.6

• X 10·4 À: 1.0

R/Hc = 300

2.3 t = 0.10

€ = 0.05

2.0 n = 1.00 9 11 13 n

o ' ' v = 0.30 ' ' 1

b 1 1 -'

-0.l ~ 1

1

1

-0.2 >-

-0.3~~~~~~~

FIG. V. 11-VARIAÇÃO DO PARÂMETRO DE CARGA,., E DA SENSI BILIDADE A IMPERFEIÇÕES, b, COM O NÚMERO DE ONDAS CIRCUNFERENCIAIS, íl - CASCA ENRIJECIDA SOB PRESSÃO LATERAL.

CAPITULO vr

CORRELAÇÃO ENTRE RESULTADOS TEÔRICOS E EXPERIMENTAIS

95

CAP!TULO VI

CORRELAÇÃO ENTRE RESULTADOS TEÓRICOS E EXPERIMENTAIS

VI.l - INTRODUÇÃO

Estruturas reais sào inevitavelmente imperfeitas, me~

mo quando fabricadas por processos altamente sofisticados. Estas

imperfeições têm origem em imprecisões geométricas, defeitos de

material ou processos de montagem e transporte e podem ter influ

ência significativa sobre o comportamento e capacidade de carga

das estruturas. Se a estrutura é sensível a imperfeições, como

no caso das estruturas aqui analisadas, existe a possibilidade de

reduções substanciais da carga máxima que a estrutura pode supo~

tar. Tem-se, pois, uma carga de flambagem, ~ , que pode ser sig-s

nificativamente menor que~ , mesmo sendo as imperfeições de pe cr

quena magnitude. A redução da carga, como se viu no capítulo an-

terior (figura V.6), é função do grau de sensibilidade a imper­

feições e das amplitudes destas imperfeições.

Devido a este comportamento, a amplitude 8 da imper­

feição deve ser limitada. Para o caso aqui estudado as normas in

ternacionais 38'

4 º recomendam medir os desvios locais tanto em re

lação à geratriz do cilindro (fig. VI.la) bem como em relação a

forma circular (fig. VI.lb) e estabelecem os valores máximos to­

leráveis. As im~erfeições devem ser de pequena magnitude, sendo

que para a maioria das geometrias usadas na prática não devem ex

ceder o valor da espessura da casca.

96

R

b

a

FIG, VI.1-DESVIOS LOCAIS TOLERÁVEIS PARA CASCAS CILÍNDRICAS.

A partir de estudos de sensibilidade a imperfeições

e em virtude dos resultados experimentais, fatores de redução de

carga têm sido estabelecidos por norma 38 como também curvas empi

ricas têm sido estabelecidas 3'•

39 na forma de limites inferiores

para uma certa coleção de resultados experimentais.

Neste capitulo serão apresentados os resultados da

carga de flambagem local da estrutura imperfeita, considerando

imperfeições iniciais de caráter geométrico na forma de um modo

critico para a casca isotrÓpica e a casca enrijecida. Far-se-á,

também, uma comparação critica entre os resultados teóricos aqui

obtidos, uma variada gama de resultados experimentais e

máximas recomendadas por normas internacionais.

cargas

97

VI.2 - ANÃLISE DA CA.RGA DE FLAMBAGEM DE CASCAS CIL!NDRICAS SIM­

PLESMENTE APOIADAS

A partir dos resultados de f obtidos no cr capítulo

III e de sensibilidade a imperfeições, b, obtidos no capítulo V

e usando a expressão (V. 2) deduzida por Koi ter 2 9, foram obtidos os

resultados apresentados na figura (VI.2) onde se relaciona opa­

râmetro teórico, Ps, que representa urna estimativa da carga de

flambagem, com z. Cada curva na figura (VI.2) se refere a urna da

da amplitude de imperfeição, 6/Hc.

Verifica-se, para ambos os casos apresentados na fi­

gura (VI.2), que à medida que a imperfeição cresce há uma diminu

ição sensível da carga de flambagem, sendo esta redução mais drás

tica para pequenos valores dez.

A figura (VI.3) apresenta uma comparaçao entre resul

tados experimentais 13'

35'

36'

37 e teóricos para cascas simplesme~

te apoiadas sob pressão hidrostática.

Deve-se observar que a curva 5 relativa a urna imper­

feição de mesma magnitude que a espessura da casca já é suficien

te para representar urna estimativa de limite inferior dos resul­

tados experimentais, o que vem ao encontro de toleráncias a im­

perfeições prescritas por normas 38•

Apesar da comparaçao favorável entre resultados teó­

ricos e experi.mentais, observa-se, entretanto, que a distribui­

çao de pontos experimentais não segue exatamente o comportamento

das curvas. Seria esperado com base nos dados teóricos que car­

gas experimentais de flambagem mais baixas fossem encontradas p~

ra valores de Z pequenos, entretanto se observa que as cargas

mais baixas se concentram na região com Z em torno de 10 3•

------ Pressão Lateral

----- Pressão Hidrostático

" IO.."'

10 G) $ /Hc: O

© S/Hc = 0.1

0 &/Hc: 0.3

© ~/Hc=0.5

© S/Hc = 1.0

1.__ _________ .......,:-------------'-:-------------' 10 102 103 104

2 : _L2_ /,-1---v-=-2-, RHc

FIG, VI.2 - ESTIMATIVA DA CARGA DE FLAMBAGEM EM FUNÇÃO DO NIVE L DE IMPERFEIÇÃO - CASCA ISOTRÓPICA.

"' -e-

N U '> ::e

1

.:: ~ N ~

" IQ. cr,

RESULTADOS EXPERIMENTAIS o Tenayson ( rei. 35) 11 Weingorten e Seide ( rei. 36 l x Gollelly e Bort ( rei. 37) o Batista ( rei. 13)

10 (D .SI Hc = O

0 t/Hc: 0.1

0 $/Hc: 0.3

© ~/Hc=0.5

0 6/Hc: 1.0

1~--------~--=---------~--=----------10 102 103 104

2 2 ,_L_ V1->J 2

RHc

FIG. VI.3- COMPARAÇÃO ENTRE RESULTADOS TEÓRICOS E EXPERIMENTAIS PARA , - '

CARGAS DE FLAMBAGEM - CASCA ISOTROPICA SOB PRESSAO HIDROSTATICA.

100

Deve-se porem ressaltar a dificuldade de se estabele

cer em laboratório condições de apoio simples, principalmente p~

ra cascas curtas (Z 2 100), região em que não existe~ dados exp~

rimentais. Na realidade as condições de apoio existentes nos en

saios se aproximam de uma situação de certo engastamento elásti­

co. Esta incerteza de condições de apoio explica porque os re

sultados obtidos por Tennyson 35, que são para cascas fabricadas

com geometria "quase-perfeita", fornecem valores de cargas de

flambagem superiores inclusive a curva 1 relativa à solução clãs

sica para cascas perfeitas.

Na figura (VI. 4), que relaciona o parâmetro P oom Z, s

sao reapresentados os resultados experimentais da figura (VI.3),

bem como à curva relativa à solução clássica devida a Batdorf 15,

a curva 5 da figura (VI.3), a curva tipo "lower-bound" obtida da

referência13 e a curva obtida usando os valores de ~cr e os fato

res de redução indicado pela DNV 38•

A curva de cargas de flambagem prescrita pela DNVtem

o mesmo comportamento que aquelas apresentadas na figura (VI.3);

mas, ao contrário da curva 5, verifica-se que na região de Z em

torno de 10 3 ela fornece resultados para projeto que poderiam ser

interpretados como sendo contra a segurança já que existem car­

gas experimentais de flambagem inferiores a estes valores pres­

critos. Convém ressaltar aqui as possíveis causas de discrepân­

cia entre os resultados teóricos do presente trabalho (curva 5)

e aqueles prescritos pela DNV: os fatores de redução K p

(pres-

são lateral) e K' (pressão hidrostática) adotados pela DNV sao p

relacionados na figura (VI.5) ao parâmetro Z. Estas curvas K (Z) p

e K~ (_Z 1 parecem ser baseadas nos resulta dos de sensibilidade a

cn -e-

N U ,,. :e

' ::. 'F N -

" •a.."'

10

/ DNV ( rei. 38)

Curvo 5 (FIG. Vl.2)

Limite Inferior Teórico (rel.13)

RUSULTADOS EXPERIMENTAIS o Tennyson (rel.35)

ll Weingorten e Sei de (rei. 36)

o Batista (rei. 13)

X Gollelly e Borl (rel.37)

]1..--_________ ....__ _________ ___._ _________ ___,

10 10 2 103 104 Lz ~-~

Z =- ,J 1-vz RHc

FIG. Vl.4 - COMPARAÇÃO ENTRE RESULTADOS TEÓRICOS, EXPERIMENTAIS E RECOMENDAÇÕES DE PROJETO - CASCA ISOTRÓPICA

1-' o 1-'

102

imperfeições obtidos por Budiansky1 para a casca simplesmente

apoiada sob pressão externa e dependeriam assim da magnitude de

imperfeições· aplicadas. Nota-se na figura (VI. 6) que em cada ca­

so de carga a variação do parâmetro b aqui obtido, que expressa

o grau de sensibilidade a imperfeições, tem um comportamento se­

melhante ao relatado por Budiànsky· .. Entretanto, como se ve nessa

figura, existe uma acentuada diferença para pequenos valores de

Z que é devida à exclusão, no trabalho de Budiansky, de termos

contendo derivadas segundas de U e V nos membros direitos do sis

tema (IV .10).

A Figura (VI.7) mostra uma comparaçao análoga a da

figura (VI.6) para o caso da casca enrijecida.

lO

K

0.8

0.6

0.4

0.2

o

-(l) . (~]R . 1 .

; L :

Lz ~ z,- 1-\1 RHc

\ Kp 1'

1

" r,..._

,...,_K p

1

1

1

5 10

FATOR DE REDUÇÃO Kp - Pressão Lateral

Kp - Pressão Hidrostática

,_ ~~ , __ , ... ~

'! 1

'

5 5 5

FIG. Vl.5 - FATORES DE REDUÇÃO DE CARGA CRITICA TEÓRICA RECOMENDADOS PELA DNV.

" ' , ....... _ -?"_..

Pressão Lolerol ---:::,, //

// _ .......... /

/

-- /

/ /

/

/

Pressão Hidrosta'tica

-

~~~~~ PRESENTE TRABALHO

------ BUDIANSKY (Ref. l)

FIG. VI. 6 - COMPARAÇÃO ENTRE OS RESULTADOS DO PRESENTE TRABALHO E DE BUDIANSKY (Ref.1) PARA SENSIBILIDADE A IMPERFEIÇÕES-CASCA ISOTRÓPICA SOB PRESSÃO EXTERNA.

1-' o w

o.o.---------------------------,

- 0.1

b: J..L ~CR

-0.3

/ ____ .--

--------.,...,.. ,,_..--

Pressão Loterol ---~ .....- ---/ -- / ---- / --- /

/ /

/ /_

Pressão Hidrostático

~~~ PRESENTE TRABALHO

----- BUOIANSKY ( Ref. l)

- 0.5 '--------'------'---'-----'----1...---'----'-..L...J'---------'---.L__-'--_J 10 50 100 z , ...f... v 1 - v2 '

RHc

500

FIG. VI. 7- COMPARAÇÃO ENTRE OS RESULTADOS DO PRESENTE TRABALHO E DE BUDIANSKY (Ref. ll PARA SENSIBILIDADE A IMPERFEI­ÇÕES - CASCA ENRIJECI DA.

105

A curva obtida da referência 13, ao contrário, concoE

da com a distribuição dos dados experimentais, apresentando redE_

ção máxima de carga para cascas de comprimento médio tz = 10 3 ) • A

discussão sobre esta correlação te6rico-experimental pode ser e!!_

centrada na referência13 estando fora do escopo do presente tra­

balho que enfatiza o caso de cascas enrijecidas.

VI.3 - RESULTADOS TEÕRICOS E EXPERIMENTAIS RELATIVOS Ã CARGA DE

FLAMBAGEM DA CASCA ENRIJECIDA

Para o caso de cilindros enrijecidos por anéis, dois

aspectos sao de particular significação: o efeito deletério das

imperfeições geométricas é menos severo que para o caso isotróp~

coe a carga crítica é igual ou superior a deste caso. Entretan­

to, mesmo para o cilindro enrijecido, existem disc~epâncias en­

tre resultados experimentais e a teoria clássica e fatores der~

dução apropriados devem ser ainda aplicados à carga crítica teó­

rica para fins de projeto.

A partir de valores de~ e b calculados anterior­cr

mente e usando a equação (V.2), obtém-se as curvas apresentadas

na figura (VI.8) onde se relaciona a carga de flambagem local,

P, com Z para vários níveis de imperfeições. Tem-se para a cas-s

ca enrijecida um comportamento semelhante ao da casca isotrópica:

a redução da carga cresce a medida que Z diminui e a medida que

a amplitude da imperfeição, 6/Hc' aumenta.

Na figura (VI.9) sao mostradas as curvas l (casca

perfeita), 3 (6/Hc =0.3) e 5 (o, Hc =l.O) da figura (VI. 7) junt~

mente com resultados experimentais obtidos para cascas enrijeci-

106

das com anéis esbeltos e espaçados sob pressao hidrostáti-

ca 3 0'

3 .1'

3 2'

3 •. Constata-s;e nesta fi.gura que há uma boa concor­

dância entre os resultados teóricos e experimentais. Observa-se

que as cargas experimentais de flambagem mais baixas e a máxima

redução teórica de carga acontecem para a mesma região que cor­

responde a pequenos valores dez. Para grandes valores dez, fai

xa de baixa sensibilidade a imperfeições, a redução teórica de

carga decresce, acontecendo o mesmo com os resultados experimen­

tais que se aproximam dos resultados obtidos para a casca perfe!

ta (curva 1).

Ve-se que a curva 1 para a casca perfeita fornece um

limite superior da carga de colapso da estrutura, enquanto a cur

va 5 correspondente a uma amplitude de imperfeições de mesma ma~

nitude que a espessura da casca (desvio máximo recomendado por

normas para a maioria das cascas usadas na prática) fornece um

limite inferior para os dados experimentais conhecidos.

As curvas apresentadas nas figuras (VI.8) e (VI. 9)

sao válidas para geometrias práticas de enrijecedores já que, c2_

mo mostrado anteriormente, não há variação de ~cr e b para esses

níveis de enrijecimento.

Na figura (VI..10) , que relaciona P com Z, sao apre-s

sentadas as curvas 1, 3 e 5 da figura (VI.8), os resultados exp~

rimentais e as curvas recomendadas pela DNV 38, pela NASA 39 e por

Kinra 34 para cascas enrijecidas com anéis. Observa-se que essas

curvas de projeto têm o comportamento semelhante as curvas apre­

sentadas na figura (VI.8). A curva recomendada pela DNV, já apr~

sentada na fig. VI.4 coincide com a curva 3 para Z ~100, tornan­

do-se inferior a esta no intervalo 10 <Z <100. Esta curva ofere-

"' ---- Pressão Hidrostático .... "'..., ------ Pressão Lateral

-N U '> :e ' ='F

P:! .. IQ. cn

10 G) $/Hc: O

0 $/Hc: 0.1

0 6/Hc: 0.3

© f,/ Hc : 0.5

® 6/Hc: 1.0

]...._ ________ __._::-----------'-::----------10 102 103 104

L2 ,-----, Z :- Vl-9 2

RHc

FIG. VI.8 - ESTIMATIVA DA CARGA OE FLAMBAGEM EM FUNÇÃO DA AMPLITUDE DA IMPERFEIÇÃO INICIAL ê: S/Hc - CASCA ENRIJECIDA.

f-' o -.J

N NU ... %

'"' =F ~

" 10..U"l

10

-----Curvas 1,3 e 5 (FIG. Vl.8)

o

RESULTADOS EXPERIMENTAIS

o Dow ( rei. 30)

A Sturm (rei. 31)

e Windenburg I Trilling (rei. 32 l • K i n r o ( r e 1. 34 1

,,__ _________ .......,,--________ __..-=-----------' 10 10 2 103 104

z=L../1-q2 RHc

FIG, VI.9 - COMPARAÇÃO ENTRE RESULTADOS TEÓRICOS E EXPERIMENTAIS -

- CASCA ENRIJECIDA soe PRESSÃO HIDROSTÁTICA.

..... o a,

"' -e- ----- Presente Trabalho ( Curvos 1, 3 e 5 da FIG. IV. 7 l

------- Dei Norske Veritas - ONV ( Rtf. 38) N._l

N '-' 5 > :e

-·-·-·-· Kinra (Off-Shor1) (Rei. 34)

------------- Baker (NASA) (Ref. 39) ' - =

" '~ CURVA G) FIG. VI. 7

5

CURVA @ FIG. VI. 7

1

CURVA G) FIG. VI. 7 ONV NASA

Resultados Experiinentais

o Oow (Rei. 30)

O Slurm ( Rei. 31)

o Windenburg e Trilling (Rei. 32)

• Kinra (Ref. 34)

1 L----'--.....L..........J.--l.......J.......L...L...J.~----L-.......J.--'---'--'--L...J.. ........ -=----'----'---"---'---'-................

10 5 10 2 5 10 3 2 5 104 z,l:...../1-vz'

RHc

FIG. VI. 10-COMPARACÃO ENTRE RESULTADOS TEÓRICOS, EXPERIMENTAIS E CARGAS DE PROJETO PARA CASCAS ENRIJECIDAS SOB PRESSÃO HIDROSTÁTICA.

110

ce um limite inferi.ar para a maioria dos dados experimentais, cx:xn

exceção feita a um dos resultados associados ao colapso de um

dos tanques de flutuação da plataforma Frigg descrito por Kinra 3 4.

A curva recomendada pela NASA para estruturas aeroespaciais pra­

ticamente coincide com a curva da DNV e a curva 3 para Z > 100.

A curva recomendada por Kinra para estruturas off-shore é urna

curva empírica construída a partir da distribuição de resultados

experimentais. A curva 5 (és/Hc =1.0) é inferior às outras curvas

para z ~20, constituindo um limite inferior para todos os resul­

tados experimentais e pode ser usada com segurança para o dimen­

sionamento de cascas cilíndricas enrijecidas com anéis esbeltos

sob pressão externa.

Além disso as curvas aqui obtidas apresentam a vant~

gem de poder incorporar qualquer nível de imperfeição dentro das

tolerâncias máximas de fabricação prescritas por norma.

CAP1TULO VII

CONSIDERAÇÕES FINAIS

112

CAPÍTULO VII

CONSIDERAÇÕES FINAIS

A estabilidade elástica de cascas cilíndricas enrij~

cidas por anéis esbeltos sob. pressão externa foi investigada no

presente trabalho, enfatizando-se a análise de pontos de bifurca

ção e do comportamento pós-crí ti.co inici.al.

A partir desta análi.se foi possível determinar a in­

fluência dos parâmetros geométricos, tanto da casca quanto do

anel, sobre a carga crítica, modos críticos e sensibilidade a im

perfeições. A partir destes resultados fez-se uma estimativa das

cargas de flambagem em função de amplitudes de imperfeições ini­

ciais na forma do modo crítico.

Fez-se, também, uma correlação entre os

obtidos e os resultados experimentais e de projeto.

resultados

A partir dos resultados obtidos e da análise destes

resultados, algumas observações importantes podem ser feitas:

A - A carga crítica da casca enrijecida é sensivelmente superior

a da casca isotrópica para pequenos valores de Z (cascas cur

tas), decrescendo esta diferença a medida que Z cresce (cas­

cas longas}.

B - Os enrijecedores tornam a casca ci.líndrica menos sensível a

imperfeições geométri.cas ini.ci.ai.s que a casca isotrópica, não

chegando contudo a estabi.lizá--la. A sensibilidade a imperfe.!_

ções deste tipo de estrutura explica a discrepância entre os

113

resultados obtidos pela teoria clássica e os res.ul tados exp.§_

rimentais. Esta discrepância é mais proeminente para peque­

nos valores de Z, onde, justamente, a sensibilidade a imper­

fei.ções é mais acentuada.

C - Tanto o aumento da carga críti.ca quanto a diminuição da sen­

sibilidade a imperfeições da casca enrijecida em relação ao

caso isotrdpico se deve â presença do enrijecedor que ao fun

cionar como um apoio elástico restringindo as rotações, pro­

voca a interação entre os modos críticos longitudinais e o

consequente aumento do número de ondas circunferenciais crí­

tico. Este efeito benéfico cessa além de um certo limite ge9.

métrico, função da profundidade e espessura dos anéis.

D - Variando-se a geometria do enrijecedor dentro dos limites

práticos não há variação de <per e b, devendo este ter, por­

tanto, apenas as dimensões necessárias para que possa supor­

tar a pressão radial sem que entre em colapso.

E - A diferença entre os resultados de <f, e b para a casca com cr

e sem enrijecedores sugere que nas proposições de projeto d.§_

ve-se fazer uma inclusão racional dos efeitos das condições

de contorno introduzidas pelos anéis, principalmente para

cascas médias e curtas. Para as cascas curtas este efeito p~

rece ser tão grande quanto o efeito de imperfeições geométr~

cas iniciais.

F - Há boa concordância entre os resultados obtidos no presente

trabalho e os resultados experimentais para o caso de casca

enrijecida por anéi.s esbeltos. Nota-se, também, de uma manei

ra geral boa concordância entre os res.ultados obtidos e as

curvas propostas· por normas, dando, inclusive, respaldo teó

114

rico às mesmas para certos casos paramétricos. Veri.fica-se,

entretanto, que as curvas apresentadas. por normas (.vide fig.

VI.10) sao superiores a alguns resultados experimentais em

certas regiões, sendo porém conservadoras em outras. As cur­

vas aqui obtidas tém a vantagem de incorporar qualquer nível

de imperfeição dentro das tolerâncias máximas prescritas por

norma, podendo-se então empregar os resultados aqui obtidos

de uma maneira segura sem ser contudo conservadora.

G - Em resumo, o estudo paramétrico aqui. apresentado fornece in­

formações valiosas que podem ajudar o projetista nao s6 na

escolha das dimensões dos enrijecedores, como também na esco

lha do espaçamento dos mesmos para uma dada casca sob

de pressão externa pré-fixada.

açao

Como sugestões e observações para pesquisas futuras

sobre o assunto pode-se citar:

1 - A análise da estabi.li.dade assint6tica de estruturas segundo

a teoria de Koiter leva a cálculos laboriosos, principalmen­

te no desenvolvimento da análise do caminho p6s-crítico, or~

ginando equações cujo tamanho as torna de difícil manipula­

ção e impede uma análise direta da influéncia dos parâmetros

geométricos nas mesmas. Deve-se, portanto, procurar resolver

os si.stemas de equações diferenciais parciais e as integrais

envolvidas no cálculo de~ e b através dP um procedimento cr

numérico.

2 - O estudo da influência da deformação dos anéis em estágios

iniciais de pressão externa sobre a casca, por exemplo, a

ovalização dos mesmos. Este estudo pode ser fei.to através de

uma análise não linear da estrutura o que permite levar tam-

115

bém em consideração imperfei_çoes geométricas tanto da casca

quanto dos enrijecedores.

116

LJSTA DE S1!1.BOLOS

117

LISTA DE S!MBOLOS

- matriz do problema de autovalor (exp. II.40)

A .. lJ

- amplitudes de modos de deformação (exp. II.36)

[B] - matriz do problema de autovalor (exp. II.40)

b = cj,2/cj, - parâmetro de sensibilidade a imperfeições cr

e = EH/ (l-v 2) - constante de rigidez extensional c .

ci - constantes definidos no texto (exps. II. 31)

e - profundidade do enrijecedor

D= a R2 C - constante de rigidez à flexão

E - módulo de Young

Hc - espessura do cilindro

HA - espessura do enrijecedor

= H /R c

espessura do cilindro adimensionalizada

h a

I. l

K -c

Ki;'

K -a

Ke'

-

-

Ke,

-

KÇ,

- espessura do enrijecedor adimensionalizada

integrais definidos no texto (exp. IV. 21)

tensor de curvaturas do cilindro

Ki; 6 - componentes de curvatura do tensor K -c

tensor de curvaturas do enrijecedor

Kçe - componentes de curvatura do tensor K -a

Khij - expressões definidas no texto (exp. IV .13)

K K' p' p - fatores de redução de carga recomendadas pela DNV

(Ref. 38)

118

L - comprimento da casca isotrópica ou distância entre dois

enrijecedores

M. . - momentos generalizados 1.J

M - número de modos longitudinais necessário ã

de cjl 2

M,,mi - número de semi-ondas longitudinais 1.

NA - número de anéis

N .. - esforços de membrana generalizados 1.J

Nij - integrais definidos no texto (exp. IV.18)

n - número de ondas circunferenciais

n - número de ondas circunferenciais crítico cr

convergência

n = nrr/À - parâmetro relacionado ao modo circunferencial

p

p

p cr

R

R

- pressao

= 12(1 -v 2 )L 2 cji/rr 2 H2 - parâmetro de carga adimensional - c

- parâmetro de carga crítica

- parâmetro de carga de flambagem

- (mi rr/À) - parâmetro relacionado ao modo longitudinal

- raio do cilindro

- raio interno do enrijecedor

- raio externo do enrijecedor

- vetor definido no texto (exp. IV.17)

raio interno do enrijecedor adirnensionalizado

- raio externo do enrijecedor adirnensionalizado

119

r. = (m. 11/À) - parâmetro relaci.onado ao modo longitudinal ]. ].

[s] - matriz definida no texto (exp. IV.16)

U - campo de deslocamentos di.vidido por R, Cu, v, w)

u = (uo' V o' wo) - campo de des·locamentos referente ao estado -o

fundamental

:! l = Cu1

, w1

l campo de deslocamentos referente ao modo ~

V 1 , - cri

tico

:!.2

= (u2

, v 2

, w 2

l - campo de deslocamentos referente ao modo se­

cundário

u deslocamento adimensional na direção do eixo x

V - energia potencial total

v deslocamento adimensional na direção do eixo y

w deslocamento adimensional na direção do eixo z

X vetor das amplitudes dos modos críticos

x - coordenada axial

y - coordenada circunferencial

Z = L 2 /1 -v 2/RH - parâmetro geométrico de Batdorf c

z - coordenada radial

* * *

a= H2 /12 R2 - constante adimensional

c

f o B =<

- pressao lateral

ll/2 - pressao hidrostática

y = C/R - profundidade adimensional do enrijecedor

- funções definidas no texto

120

o ( ) - operador variacional

6 - amplitude de imperfeição inicial

o - função delta de Dirac

8 - função delta de Kronecker ij

E - excentricidade do enrijecedor

E - 6/H - parâmetro de perturbação c

E - tensor de deformações expecíficas do cilindro -c

Ei;' E8 , Y1;e - componentes de deformação específica do tensor ~c

E - tensor de deformação específica do enrijecedor a

Ee, Eç' Yçe - componentes de deformação específica do tensor ~a

e= y/R - coordenada circunferencial adimensional

s = Z/R - coordenada radial adimensional

n = HA/Hc - razao entre a espessura do enrijecedor e do cilindro

À= L/R - comprimento adimensional

v - coeficiente de Poisson

i; = X/R - coordenada axial adimensional

<!> = B ( 1 - v 2) V /E H - funcional de energia

c

6<1> - variação da energia potencial total (~1

+ ~2

+ ~3

+ ~.)

<1>0

, <1>1

, <1>2

, <1>3

, <1> 4 - componentes fundamental, linear, quadrát!

ca, cúbica e quártica da energia potencial

total, respectivamente

<!> - funcional do segundo grau em U e do primeiro grau em U 21 -1 -2

obtido da variação de<!>

121

cj, = PR/E H - parâmetro de carga c

"' - parâmetro de carga críti.ca "'cr

cj,s - parâmetro de carga de flambagem

cj, - parâmetro referente â inclinação da tangente do caminho pos-1

crítico em cj, = cj, cr

cj, - parâmetro relacionado à curvatura do caminho pós-crítico em 2

"' - "' · parâmetro de sensibilidade a imperfeições "' - "'cr'

V4 - operador bi-harmônico

Símbolos

(.-) - vetor ou tensor

1-_ '_1 - matriz

equivalente ou proporcional

operaçao de derivação em ç, = a/ a 1;, ' ç,

operaçao de derivação em e = a;a6 'e

operaçao de derivação em ç = a;,1ç ' ç

índices

A, a - referente ao enrijecedor (anel)

CR - quantidade crítica

C,c - referente ao cilindro

ç, - relativo a direção axial

ç - relativo a direção radial

e - relativo à direção circunferencial

122

S - relativo à carga de flambagem

O - estado fundamental

1 - estado incremental referente ao modo U -1

2 - estado incremental referente ao modo U ou à curvatura do -2

caminho pós-crítico

h, i, j, k, t, m, n -· relati vos a séries ou sequências de valores

123

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