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Matematikcentrum
Matematik NF
Rata linjen
1. Ange riktningskoefficient och skarningspunkter med axlarna for foljande linjer.
a) y = 3x − 5 b) x = 2y + 5 c) y = −x5 + 1 d) 2x + 3y + 1 = 0
e) 3x− 2y − 4 = 0 f) x2 + y
3 = 1 g) x3 − y
5 = 1 h) y−3 = 4(x−1)
i) y = 17 j) x = 5
2. Ange utan att rakna en punkt pa foljande linjer.
a) y − 2 = −2(x − 3) b) x5 − y
2 = 1
3. Ange en ekvation for linjen genom punkten (2, 3) med riktningskoefficient 4.
4. Ange pa formen xa + y
b = 1 en ekvation for linjen genom
a) (6, 0) och (0,−5) b) (9, 0) och (0, 5)
5. Ange pa formen y − y1 = k(x − x1) en ekvation for linjen genom
a) (1, 2) och (3, 4) b) (2, 5) och (−1, 2)
c) (3, 4) och (5, 4) d) (4, 3) och (4, 5)
6. Ange en ekvation for linjen genom origo, vinkelrat mot linjen x + y = 1.
7. Ange en ekvation for linjen genom (4,−1), vinkelrat mot linjen 3x − y = 10.
8. Ange skarningspunkterna mellan foljande par av linjer.
a) y = 2x + 3 och y + 3x + 1 = 0
b) 11x − 5y = 2 och 3x − 5y + 14 = 0
c) 2x + y = 3 och 4x + 2y = 5
d) x + 2y = 4 och 3x + 6y = 12
9. Skissera omradet i planet dar
a) y = 3x + 2 b) y < 3x + 2 c) y > 3x + 2
1
Svar till ovningarna
1. a) 3 resp. (5/3, 0) och (0,−5)
b) 1/2 resp. (5, 0) och (0,−5/2)
c) −1/5 resp. (5, 0) och (0, 1)
d) −2/3 resp. (−1/2, 0) och (0,−1/3)
e) 3/2 resp. (4/3, 0) och (0,−2)
f) −3/2 resp. (2, 0) och (0, 3)
g) 5/3 resp. (3, 0) och (0,−5)
h) 4 resp. (1/4, 0) och (0,−1)
i) 0 resp. saknas och (0, 17)
j) Saknas resp. (5, 0) och saknas
2. a) T ex (3,2)
b) T ex (5,0)
3. y − 3 = 4(x − 2)
4. a)x
6− y
5= 1
b)x
9+
y
5
5. a) y − 2 = x − 1
b) y − 5 = x − 2
c) y − 4 = 0
d) Gar inte.
6. y = x
7. y + 1 = (−1/3)(x − 4)
8. a) (−4/5, 7/5)
b) (2, 4)
c) Saknas.
d) x + 2y = 4
2
Andragradskurvor
1. Ange det storsta eller minsta vardet av f(x) samt for vilket x det antas. Angenollstallena till f(x). Rita slutligen kurvan y = f(x), dar f(x) =
a) x2 b) 2x2 c) −x2 d) x2 − 2
e) (x − 1)2 f) 3 − (x + 2)2 g) 2(x + 2)2 − 1 h) 3(x + 4)2 + 2
i) (x − 1)(x − 2) j) (x + 2)(x − 4)
Hur fas de senare kurvorna ur den forsta?
2. Betrakta kurvan y = x2. Vilken ekvation far den om den
a) parallellforflyttas sa att det minsta vardet av y ar 2 da x = 3?
b) forst speglas i x-axeln och sedan parallellforflyttas sa att det storsta vardet av yar 3 da x = −2?
c) trycks ihop mot y-axeln till en ny parabel som gar genom (0, 0) och (2, 8)?
d) dras ut fran y-axeln till en ny parabel som gar genom (0, 0) och (3, 3)?
3. Los foljande ekvationer.
a) x2 = 3 b) x2 = −3 c) (x − 5)(x + 6) = 0
d) (x − 2)2 + 9 = 0 e) (x − 3)2 = 0 f) 2(x + 3)2 = 32
4. Kvadratkomplettera f(x), los ekvationen f(x) = 0 och faktorisera om mojligt f(x)samt rita kurvan y = f(x) om f(x) =
a) x2 + 5x + 6 b) x2 − x − 30 c) 2x2 − 4x − 4 d) 4x2 − 12x + 9
e) 4x2 − 12x + 13
5. Anvand konjugatregeln till att faktorisera
a) x2 − 4 b) x2 − 3x + 2 c) x2 + x − 6 d) x2 + 10x + 25
6. Los, genom att forst faktorisera och sedan studera tecknet av faktorerna, foljandeolikheter
a) x2 + 2x − 8 < 0 b) 2x2 − 16x + 24 ≥ 0 c) 25x2 − 10x + 1 ≤ 0
7. Ange skarningspunkterna mellan kurvan y = 2x2 + 2x + 1 och linjerna
a) y = 12x − 7 b) y = 14x − 17 c) y = −2x − 3
3
Svar till ovningarna
1. a) Minsta varde 0 da x = 0. 0.
b) Minsta varde 0 da x = 0. 0.
c) Storsta varde 0 da x = 0. 0.
d) Minsta varde −2 da x = 0. ±√
2.
e) Minsta varde 0 da x = 1. 1.
f) Storsta varde 3 da x = −2. −2 ±√
3.
g) Minsta varde −1 da x = −2. −2 ± 1√2.
h) Minsta varde 2 da x = −4. Saknas.
i) Minsta varde −14 da x =
3
2. 1 och 2.
j) Minsta varde −9 da x = 1. −2 och 4.
2. a) y = 2 + (x − 3)2 b) y = 3 − (x + 2)2
c) y = 2x2 d) y =1
3x2
3. a) x = ±√
3 b) Reella losningar saknas.
c) x = 5 eller x = −6 d) Reella losningar saknas.
e) x = 3 f) x = −3 ± 4
4. a)
(
x +5
2
)2
− 1
4, x = −5
2± 1
2, (x + 3) (x + 2)
b)
(
x − 1
2
)2
− 121
4, x =
1
2± 11
2, (x + 5) (x − 6)
c) 2(
(x − 1)2 − 3)
, x = 1 ±√
3, 2(
x − 1 −√
3)(
x − 1 +√
3)
d) 4
(
x − 3
2
)2
, x =3
2, (2x − 3)2
e) 4
(
(
x − 3
2
)2
+ 1
)
, reella losningar saknas, reell faktorisering omojlig.
5. a) (x − 2)(x + 2) b) (x − 1)(x − 2)
c) (x + 3)(x − 2) d) (x + 5)2
6. a) −4 < x < 2 b) x ≤ 2 eller x ≥ 6
c) x =1
5
7. a) (1, 5) och (4, 41) b) (3, 25)
c) Saknas.
4
Bokstavsrakning
1. Forenkla foljande uttryck.
a) x2 + (3x − 1) −(
x2 − x + 3)
b) x + y − (x − 2y) + (2x − y)
c) 7 + (5a + 2b − 3) − (3a + 4b − 2)
d)(
5x2 + 3x − 8)
−(
2x2 + x − 4)
−(
x2 − 2x + 3)
e) 5x − (3x − (x − 1)) f) a (b − c) − b (c − a)
g) (a + b + c) d − (b − a + d) c h) (1 + x)2
i) (2 − 3x)2 j) (1 + x) (1 − x)
k) (3x + 2) (3x − 2) l) (ax + by)2
m) (ax + by) (cx + dy) n) (ax + by + cz) (dx + cy)
o) (a + b + c)2 p) (a + b − c)2
q) x2 + ax + b − a (x − c) r) x4 + 4x + 1 − x2 (3x + 2)
s) (2x − 1) (3x + 1) − (x − 2) (x − 3) t) (x + 2)(
x2 − 2x + 4)
u)(
2x3 − 3x) (
x4 + 2x2 + 3)
v)(
x3 + x2 + x + 1)
(x − 1)
w)(
a2 + 4a + 8) (
a2 − 4a + 8)
x)(
2x3 − x2 + 1) (
2x3 − x2 − 1)
y)(
2x3 − x2 + 1) (
2x3 − x2 + 1)
z) (1 − a) (1 + a)(
1 + a2) (
1 + a4) (
1 + a8) (
1 + a16)
2. Skriv foljande uttryck med ett brakstreck.
a)a/b
b/cb)
1
1 + 1x
c)1
(
1a + 1
b
)
/2d) 1 +
4a
(a − 1)2
e)x
x − 1− 1
1 − xf)
a
x − a+
x − a
x + a− x + a
a
g)x2
x2 + 2x + 1+
x
x2 − 2x + 1+
x − 2
x2 − 1h)
1
x + 5+
1
x + 2+
1
x − 2+
1
x − 5
i)1
1 + x− (1 + x)2 −
(
x + x2/2)
(1 + x)2j)
a − 1a
1 − 1a
k)1 − 1
u+11
u−1 + 1l)
ab − b
aa2
b2− b2
a2
m)
x2
y + y2
x1y + 1
x
n)(x − a) (x − b)
(c − a) (c − b)+
(x − a) (x − c)
(b − a) (b − c)+
(x − b) (x − c)
(a − b) (a − c)
3. Visa att om x + y + z = 0 sa ar
x3 + y3 + z3 = 3xyz.
5
Svar till ovningarna
1. a) 4x − 4 b) 2x + 2y c) 6 + 2a − 2b
d) 2x2 + 4x − 7 e) 3x − 1 f) 2ab − ac − bc
g) ad + ac + bd − bc h) 1 + 2x + x2 i) 9x2 − 12x + 4
j) 1 − x2 k) 9x2 − 4
l) a2x2 + 2abxy + b2y2 m) acx2 + (ad + bc)xy + bdy2
n) adx2 + bcy2 + (ac + bd)xy + cdxz + c2yz
o) a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc p) a2 + b2 + c2 + 2ab − 2ac − 2bc
q) x2 + b + ac r) x4 − 3x3 − 2x2 + 4x + 1
s) 5x2 + 4x − 7 t) x3 + 8
u) 2x7 + x5 − 9x v) x4 − 1
w) a4 + 64 x) 4x6 − 4x5 + x4 − 1
y) 4x6 − 4x5 + x4 + 4x3 − 2x2 + 1 z) 1 − a32
2. a) acb2
b) xx+1 c) 2ab
a+b
d) (a+1)2
(a−1)2e) x+1
x−1 f) x3−3a3
a(a2−x2)
g) x4+x2+2(x2−1)2
h) 4x3−58xx4−29x2+100
i) − x2
2(x+1)2
j) a + 1 k) u−1u+1 l) ab
a2+b2
m) x2 − xy + y2 n) 1
6
Olikheter
Los foljande olikheter.
1. a) 3x − 1 ≤ 5 b) 5 − 3x > 2
c) 1 − 6(x − 2) ≥ 3(x + 1) d) 2x +1
2(x + 1) <
15
2+ 6x
2. a) x − 1 < 2 − x < 2x b) 2 − x − 1
3< x < 5 +
1 − 2x
4
3. a) (x − 1)(x − 2) ≤ 0 b)x − 1
x − 2≤ 0
c) (1 − 2x)(x + 2) > 0 d)1 − 2x
1 + 3x≤ 0
e) (x − 1)(x − 2)(x − 3) > 0 f) (x − 1)(x − 2)2(x − 3) < 0
g)(x + 1)(x + 2)
(x − 1)(x − 2)≥ 0 h)
(x + 1)2(x2 + 2)
(x − 1)2(x − 2)3≤ 0
i) (2x − 2 +√
3)(x − 2 −√
3)3 > 0
4. a) (2x + 1)(3x − 1) < 0 b) 6x2 + x − 1 < 0
c) x2 + 1 > 2x d) 2 > 7x − 3x2
e) x2 + 2x < 18x f) x3 + 2x > 3x2
g) 25x4 < x2 h) 25x5 < x3
5. a)x − 5
(x − 3)(x + 1)≤ 0 b)
3
x + 1≤ 1
x − 3
c)1
x< 1 d)
x − 2
x + 4≤ 1
e)x − 3
x + 2≥ 2 f) x + 3 ≤ 2x
x − 2
g) 1 <2x2
x − 1h) x − 2 ≤ 3
x≤ 1
7
Svar till ovningarna
1. a) x ≤ 2 b) x < 1
c) x ≤ 10
9d) x > −2
2. a)2
3< x <
3
2b)
7
4< x <
7
2
3. a) 1 ≤ x ≤ 2 b) 1 ≤ x < 2
c) −2 < x <1
2d) x < −1
3eller x ≥ 1
2e) 1 < x < 2 eller x > 3 f) 1 < x < 2 eller 2 < x < 3
g) x ≤ −2 eller −1 ≤ x < 1 eller x > 2 h) x < 1 eller 1 < x < 2
i) x <2 −
√3
2eller x > 2 +
√3
4. a) −1
2< x <
1
3b) −1
2< x <
1
3
c) x 6= 1 d) x <1
3eller x > 2
e) 0 < x < 16 f) 0 < x < 1 eller x > 2
g) −1
5< x < 0 eller 0 < x <
1
5h) x < −1
5eller 0 < x <
1
5
5. a) x < −1 eller 3 < x ≤ 5 b) x < −1 eller 3 < x ≤ 5
c) x < 0 eller x > 1 d) x > −4
e) −7 ≤ x < −2 f) x ≤ −2 eller 2 < x ≤ 3
g) x > 1 h) x ≤ −1 eller x = 3
8
Potenser och logaritmer
1. Skriv som en potens av a > 0:
a) a1
4 · a 1
2 b)(
a1
2
)1
3
c)3
√
a√
a d)
√
a√
a
2. Forenkla
a)(a
b
)2(
b
c
)3
b)(
ab−1)c
ac c)
(
a3)2
a32d)
(ab)3
(cb)−3
3. Forenkla
a)√
3√
27 b)
√3 + 1√3 − 1
c) 21
3 · 54− 1
3
4. Visa att x = 94 ar en rot till ekvationen
xx√
x =(
x√
x)x
.
5. Vilket ar storst av talen 21/3 och 31/5? (Ledning: Bilda en lamplig potens av talen.)
6. Los foljande ekvationer (utan att anvanda logaritmer):
a) 2x =1
4b) 4x =
1√2
c)(√
5)x
=1
25d) 3 (8x − 1) = 5 · 8x − 11
e) 3x (3x − 1) = 9x − 1
9f)
8x
4x − 1=
4x − 1
2x
g) 2x + 2x+1 =3
2h) 6x+1 + 63−x = 222
7. Bestam x da
a) 10x = 2 b) 2x = 10 c) ex = 2 d) xe = 2
8. Berakna exakt:
a) log2 16 b) log31
9c) ln
√e
d) eln 4 e) e2 ln 2 f) e−2 ln 2
9. Forenkla sa langt mojligt med hjalp av logaritmlagarna:
a) lg a + lg b + lg c b) ln1
e+ 2 ln
√e
c) log5 1000 − log5 40 d) ln a3b − 2 lna
b
10. Los foljande ekvationer exakt:
a) log2 x + log2 5 = 6 b) log2 (x + 1) + log2 (x − 1) = 3
c) (ln x)2 = ln x2 d)√
ln x = ln√
x
11. Los foljande ekvationer exakt:
a) 53x · 2x = 10 b) xlg x = 10 c) 25 · 152x = 3x+1 · 54x
9
Svar till ovningarna
1. a) a3
4 b) a1
6 c) a1
2 d) a3
4
2. a)a2b
c3b) abc c) a−3 d) a3b6c3
3. a) 9 b) 2 +√
3 c)1
3
5. 21
3
6. a) x = −2 b) x = −1
4
c) x = −4 d) x =2
3
e) x = −2 f) x = −1
2g) x = −1 h) x = 0 eller x = 2
7. a) x = lg 2 b) x = log2 10 =1
lg 2
c) x = ln 2 d) x = 21
e
8. a) 4 b) −2 c)1
2d) 4 e) 4 f)
1
4
9. a) lg abc b) 0 c) 2 d) ln ab3
10. a) x =64
5b) x = 3
c) x = 1 eller x = e2 d) x = 1 eller x = e4
11. a) x =1
lg 250b) x = 10 eller x =
1
10c) x = 1
10
Komplexa tal
1. Skriv foljande komplexa tal pa formen a + bi dar a, b ∈ R. (x, y ∈ R.)
a) (1 + i)2 b) (2 − i) (3 + i) c) (2 + 3i) (2 − 3i)
d) (x + iy) (x − iy) e) (x + iy)3 f) (2 − i)4
g) i17
2. Skriv foljande komplexa tal pa formen a + bi.
a)1
(2 + 3i) (2 − 3i)b)
(1 − i) (2 − 3i)
(2 + 3i) (2 − 3i)c)
1 − i
2 + 3i
d)1
ie)
1
1 − if)
5i
6 + i
g)1
2 + i+
3 + i
i − 1h) (2 − i)2 (2 + i)−2
3. Skriv foljande komplexa tal pa formen a + bi.
a) 2 + i b) i c) (1 + 2i) (1 − 2i)
d) (1 − i)−2
e) (2 + i) (3 − 2i)
4. Ange absolutbeloppet av foljande komplexa tal.
a) 1 − i b) i c) cos9π
11+ i sin
9π
11d) cos 1 − i sin 1 e) 2 + 5i f) −58i
g) −5 + 12i h) (3 + 4i)4 i) (1 − i)7
j) (1 + i)−7 k)(1 + 3i)5
(i − 2)7l)
(1 − 2i) (2 + 3i)
(2 − i) (3 − 2i)
m)(3 − i)5 (2 + i)3
(1 + i)3 (3 − 4i)2n) 2i + 2 +
1
2i − 3
5. Skriv foljande komplexa tal pa polar form och markera dem i det komplexa talpla-net.
a) i b) 2 c) −5 d) −3i e) 2 − 2i
f) i +√
3 g) i − 1 h) −√
2+ i√
6 i)1
2+ i
√3
2j) i
√3 − 1
6. Skriv foljande komplexa tal pa polar form.
a)(1 + i)11
16b)
(
−1 + i√
3)5
2√
2c) (1 + i)
(
1 − i√
3)
d)i
2
(√3 + i
)2e)
√3 + i
1 + i
7. Skriv foljande komplexa tal pa formen a + bi.
a) eiπ b) eiπ/2 c) e−iπ d) eiπ/3
e) eiπ/6 f) eiπ/4 g)√
2e−iπ/4 h) 2ei5π/6
i)2
ei5π/4j) eiπ/3 · e−iπ/4 k) eiπ/3 − eiπ/4
8. Ange foljande komplexa tal pa formen a + bi.
a) (−1 + i)11 b)(√
3 − i)7
c)4eiπ/3
(1 + i)5
11
9. Rita foljande mangder i det komplexa talplanet.
a) Re z = 0 b) Im z = 0
c) Re z = 1 och Im z = −3 d) Re z = 1 eller Im z = −3
e) 1 < Re z ≤ 3 f) Re z + Im z = 1
g) Re z < Im z
10. Rita foljande mangder i det komplexa talplanet.
a) |z| = 2 b) |z| < 1
c) |z| > 2 d) 1 < |z| ≤ 3
e) 1 < |z − 2| ≤ 2 f) |z − 1| ≤ 1 och |z − i| ≤ 1
g) |z − (1 + i)| <√
2 h) |z − 1 + i| ≤ 1
i)∣
∣
∣z +
√3 + i
∣
∣
∣> 2 j) |3z − i| = 1
k) |(1 − i)z − 1| ≤ 2
11. Rita foljande mangder i det komplexa talplanet.
a) |z| < 1 och 0 < arg z <π
4b) |z| = 2 och |arg z| <
π
3c) |z − 1 − i| <
√2 och Re z + Im z > 1
d)π
2< arg z <
3π
4e) |z − 1| = |z + 1|
f) |z − 1 − i| = |z + 3 + 3i| g)
∣
∣
∣
∣
z − a
z − b
∣
∣
∣
∣
= 1
h) |z − a| < |z − b|
12
Svar till ovningarna
1. a) 2i b) 7 − i
c) 13 d) x2 + y2
e) x3 − 3xy2 + i(
3x2y − y3)
f) −7 − 24i
g) i
2. a)1
13b) − 1
13− 5
13i c) − 1
13− 5
13i d) −i
e)1
2+
1
2i f)
5
37+
30
37i g) −3
5− 11
5i h) − 7
25− 24
25i
3. a) 2 − i b) −i c) 5 d) −1
2i e) 4 − 7i
4. a)√
2 b) 1 c) 1 d) 1 e)√
29 f) 58 g) 13
h) 625 i) 8√
2 j) 2−7/2 k)4√
2
5l) 1 m) 50 n)
√85√13
5. a) eiπ/2 b) 2 c) 5eiπ d) 3e−iπ/2 e) 2√
2e−iπ/4
f) 2eiπ/6 g)√
2ei3π/4 h) 2√
2ei2π/3 i) eiπ/3 j) 2ei2π/3
6. a) 2√
2ei3π/4 b) 8√
2ei4π/3 c) 2√
2e−iπ/12
d) 2ei5π/6 e)√
2e−iπ/12
7. a) −1 b) i c) −1 d)1
2+ i
√3
2
e)
√3
2+
i
2f)
1√2
+i√2
g) 1 − i h) −√
3 + i
i) −√
2 +√
2 i j)
√2
4
(
1 +√
3 + i(√
3 − 1))
k)1 −
√2
2+
i(√
3 −√
2)
2
8. a) 32 + 32i b) −64√
3 + 64i
c)1
4
(
−1 −√
3 + i(
−√
3 + 1))
13
14
Trigonometri
1. Uttryck foljande vinklar i radianer.
a) 30◦ b) 45◦ c) 60◦ d) 150◦
2. Uttryck foljande vinklar i grader.
a)2π
3b) −π
8c) 4π d)
π
15
3. Bestam exakt med hjalp av enhetscirkeln
a) sin5π
6b) cos
5π
6c) sin
4π
3d) tan
5π
4
e) cos5π
3f) tan
11π
4g) sin
71π
2h) cos
(
−15π
4
)
4. Rita foljande par av kurvor i samma koordinatsystem.
a) y = sin x och y = sin 2x b) y = sin x och y = sin(
2x +π
3
)
c) y = tan x och y = tan(
x +π
6
)
5. Los foljande ekvationer.
a) sin x =1
2b) cos 3x = − 1√
2c) tan
x
2= −1 d) cos 3x = sin
π
5
6. Los foljande ekvationer.
a) sin 2x = sin 3x b) cos 3x = cos x c) sin 2x = sin(
3x +π
6
)
d) sin 2x = cos 3x e) tan x = tan 4x f) tan x = tan(
2x − π
3
)
7. Bevisa foljande formler.
a) cos4 α − sin4 α = 1 − 2 sin2 α b)(
sinα
2+ cos
α
2
)2= 1 + sin α
c) tan α =sin3 α
cos α − cos3 α
8. Forenkla foljande uttryck sa langt mojligt.
a)2 tan α
1 + tan2 αb)
1 − tan2 α
1 + tan2 αc)
2 cos3 α − sinα sin 2α
sin 4α
d) sin(π
3+ x)
− sin(π
3− x)
e) cos(π
4− x)
− sin(π
4− x)
9. Bevisa foljande formler. (Ledning: 3α = 2α + α.)
a) sin 3α = 3 sin α − 4 sin3 α b) cos 3α = 4cos3 α − 3 cos α
c) tan 3α =3 tan α − tan3 α
1 − 3 tan2 α
10. Visa att om α + β + γ = π sa ar
tan β + tan γ
tan α + tan γ=
sin 2α
sin 2β.
(Ledning: γ = π − (α + β).)
15
Svar till ovningarna
1. a)π
6b)
π
4c)
π
3d)
5π
6
2. a) 120◦ b) −22, 5◦ c) 720◦ d) 12◦
3. a)1
2b) −
√3
2c) −
√3
2d) 1
e)1
2f) −1 g) −1 h)
1√2
5. a) x =π
6+ n · 2π eller x =
5π
6+ n · 2π b) x = ±π
4+ n · 2π
3
c) x = −π
2+ n · 2π d) x = ± π
10+ n · 2π
3dar n ar ett godtyckligt heltal.
6. a) x = n · 2π eller x =π
5+ n · 2π
5b) x = n · π
2
c) x = −π
6+ n · 2π eller x =
π
6+ n · 2π
5d) x =
π
10+n · 2π
5eller x = −π
2+n · 2π
e) x = n · π
3f) x =
π
3+ n · π
dar n ar ett godtyckligt heltal.
8. a) sin 2α b) cos 2α c)1
2 sin αd) sin x e)
√2 sin x
16
Faktorisering och division av polynom
1. Faktorisera foljande polynom sa langt som mojligt i reella faktorer.
a) (x − 3)(
x2 + 3x − 4)
b) x2 (x − 3) + 3x (x − 3) − 4 (x − 3)
c) x3 + 5x2 + 2x d) x3 − 8 − 3(
x2 − 4)
− 4 (x − 2)
2. Bestam kvoten och resten vid foljande polynomdivisioner.
a)(
x2 − 3x + 7)
/ (x − 2)
b)(
x4 − 3x2 + 7)
/(
x2 − 2)
c)(
x5 + 3x4 − 2x3 + 2x − 1)
/(
x3 + x + 1)
d) x4/(
x2 − 1)
e)(
x6 − 1)
/(
x2 − 1)
3. Undersok om x + 2 delar
a) x4 + 2x3 + x2 + 3x + 2 b) x5 − x + 31
4. Faktorisera foljande polynom sa langt som mojligt i reella faktorer.
a) 2x2 + 3x + 1 b) 2x3 + x2 + 3x
c) x3 − x2 + x − 1 d) x3 − 3x2 + 4
e) x4 − 4x3 + 6x2 − 5x + 2 f) x5 − 10x2 + 15x − 6
5. Los olikheterna
a) x5 > 5x3 − 4x b) x3 + 4 > 3x2
17
Svar till ovningarna
1. a) (x − 3) (x − 1) (x + 4) b) (x − 3) (x − 1) (x + 4)
c) x
(
x +5 +
√17
2
)(
x +5 −
√17
2
)
d) (x − 3) (x − 2) (x + 2)
2. a) x − 1 resp. 5
b) x2 − 1 resp. 5
c) x2 + 3x − 3 resp. −4x2 + 2x + 2
d) x2 + 1 resp 1
e) x4 + x2 + 1 resp. 0
3. a) Ja b) Nej
4. a) (2x + 1) (x + 1) b) x(
2x2 + x + 3)
c) (x − 1)(
x2 + 1)
d) (x + 1) (x − 2)2
e) (x − 1) (x − 2)(
x2 − x + 1)
f) (x − 1)3(
x2 + 3x + 6)
5. a) −2 < x < −1 eller 0 < x < 1 eller x > 2
b) x > −1 och x 6= 2
18
Absolutbelopp
1. Bestam
a) |4 − 7| b) |π − 3| c) |7π − 22| d)√
a2, a ∈ R
2. Los foljande olikheter med hjalp av tallinjeresonemang.
a) |x| < 2 b) |x| ≥ 2 c) |x − 3| < 1 d) |x + 2| < 5
e) |x + 3| ≥ 1
3. Los foljande olikheter.
a) |2x + 5| < 1 b) |3x − 2| > 3
4. Beskriv foljande intervall med en olikhet av typen |x − a| < b eller |x − a| ≤ b.
a) −3 < x < 3 b) 2 < x < 8
c) −3 ≤ x ≤ 5 d) −20 < x < −10
5. For vilka positiva tal δ ar foljande pastaenden sanna?.
a) |x − 3| < δ ⇒ |x − 4| < 2 b) |x + 2| < δ ⇒ |x + 4| < 2
c) |x − 5| ≤ 2 ⇒ |x − 4| < δ
6. Ange ett positivt tal δ sadant att |x − 2| < δ ⇒∣
∣x2 − 4∣
∣ < 10−3.
7. Los foljande ekvationer.
a) |x − 1| + |x − 4| = 7 b) |x − 1| + |x − 4| = 3 c) |x − 1| + |x − 4| = 2
8. Los foljande olikheter.
a) |x + 1| + |x + 4| < 5 b) |x − 2| − |x − 3| < 1
9. Los foljande olikheter.
a) |x − 4| + 2x < 7 b) |x − 2| < |x − 1|
c)
∣
∣
∣
∣
x + 1
x + 2
∣
∣
∣
∣
> 3 d) x + |2x − 5| ≤ |x − 2| + 3
19
Svar till ovningarna
1. a) 3 b) π − 3 c) 22 − 7π d) |a|
2. a) −2 < x < 2 b) x ≥ 2 eller x ≤ −2
c) 2 < x < 4 d) −7 < x < 3
e) x ≤ −4 eller x ≥ −2
3. a) −3 < x < −2 b) x >5
3eller x < −1
3
4. a) |x| < 3 b) |x − 5| < 3
c) |x − 1| ≤ 4 d) |x + 15| < 5
5. a) 0 < δ ≤ 1 b) Inga c) δ > 3
6. T ex δ =1
5· 10−3
7. a) x = 6 eller x = −1 b) 1 ≤ x ≤ 4 c) Losning saknas.
8. a) −5 < x < 0 b) x < 3
9. a) x < 3 b) x >3
2
c) −5
2< x < −7
4och x 6= −2 d) x ≤ 3
20
Gransvarden
1. Undersok, da x → ∞, gransvardet av
a)2x2 + 4x − 3
x2 + 2x − 1b)
2x2 − sinx
x2 + x cos x
c)2x2 cos x − sin x
x2 + x sinxd)
2x (x + 1) (2x + 1) + sinx
x2 (x + 3) + x sin x
2. Bestam foljande gransvarden.
a) limx→∞
(
√
x2 + 4 − x)
b) limx→∞
(
√
x2 + 5x −√
x2 + 3x)
c) limx→∞
(√x + 2 −
√x + 1
)√x d) lim
x→∞
(
√
x4 + x3 + 1 − x2)
3. Undersok, da x → ∞, gransvardet av
a)x23x + x4x
5x − x32xb)
x22x + x3x + 5x
x cos x + 5x
c)x2 sin x + 1
x3 arctan xd)
x3 + ln x
x3 arctan x
e) 1, 0001x − x10000 f)lnx + 2−x
ln x2 + 2−x
g)ln(
x3 − 2x)
x3h) arctan
(
x2 + x)
4. Berakna, da x → ∞, gransvardet av
a)
(
3 − 2
x
)x
b) (3 + cos x)x c) (2 + cos x)x d)
(
ln (x + 1)
x
)x
5. Undersok, da x → 0, gransvardet av
a)sin 2x
3xb)
sin 5x − sin 2x
sin 4x + sin 3xc)
arcsin 2x
x
d)arctan x
xe) x2 sin
2
x2f)
√1 + x −
√1 − x
x
6. Undersok foljande gransvarden.
a) limx→0+
√x ln x b) lim
x→0+e−1/x ln x c) lim
x→0+x ln sinx
d) limx→1
sin(
x2 − 1)
x − 1e) lim
x→1
sin(
x3 − 1)
x − 1f) lim
x→1
sin(
x2 − 1)
√x − 1
7. Undersok, da x → ∞, gransvardet av
a)
(
1 +2
x
)3x
b)
(
1 − 2
x
)3x
c)
(
x + 5
x + 2
)x
d) x ln
(
1 +1
x
)
e) x ln
(
1 +1
x+
1
x2
)
f)
(
1 +1
x+
1
x2
)x
g)
(
1 +1
x
)
√x
h)
(
1 +1√x
)x
21
Svar till ovningarna
1. a) 2 b) 2 c) Saknas d) 4
2. a) 0 b) 1 c)1
2d) ∞
3. a) 0 b) 1 c) 0 d)2
πe) ∞ f)
1
2g) 0 h)
π
2
4. a) ∞ b) ∞ c) Saknas d) 0
5. a)2
3b)
3
7c) 2 d) 1 e) 0 f) 1
6. a) 0 b) 0 c) 0 d) 2 e) 3 f) 4
7. a) e6 b) e−6 c) e3 d) 1 e) 1 f) e g) 1 h) ∞
22
Derivator
Visa att
1.d
dx
(
ax + b
cx + d
)
=ad − bc
(cx + d)2
2.d
dx(xnex) = (x + n)xn−1ex
3.d
dx(ln x)n =
n (ln x)n−1
x
4.d
dxln ln x =
1
x ln x
5.d
dx(x ln x) = 1 + ln x
6.d
dxax3+1 = ax3+13x2 ln a
7.d
dxln cos x = − tan x
8.d
dxln tan
x
2=
1
sinx
9.d
dxarctan
a + bx
b − ax=
1
1 + x2
10.d
dx
(
√
1 − x2 + x arcsin x)
= arcsin x
11.d
dxln(
x +√
1 + x2)
=1√
1 + x2
12.d
dxln
x√1 + x2
=1
x (1 + x2)
13.d
dxln
√
1 + sinx
1 − sinx=
1
cos x
14.d
dx
(
1 +1
x
)x
=
(
1 +1
x
)x(
ln
(
1 +1
x
)
− 1
1 + x
)
15.d
dx
(
ax
xa
)
=ax (x ln a − a)
xa+1
16.d
dxarctan
tan x√2
=
√2
1 + cos2 x
23
24
