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Siège social et bureaux : 111, Faubourg Saint Honoré, 75008 Paris. Tel : 01 42 89 10 89. Fax : 01 42 89 10 69. www.scmsa.com
Société Anonyme au capital de 56 200 Euros. RCS : Paris B 399 991 041. SIRET : 399 991 041 00035. APE : 7219Z
Sûreté des réacteurs et information incomplète
Rapport n°1
adressé à
l’IRSN
(à l’attention de M. Giovanni Bruna)
par la
Société de Calcul Mathématique SA
Décembre 2010
Rédaction : Hélène Bickert, Olga Zeydina
è
Société de Calcul Mathématique, S. A.
Algorithmes et Optimisation
SCM IRSN "Sûreté des réacteurs et information incomplète" 2
Rapport 1 - Décembre 2010
Résumé
La sûreté d’un EPR repose sur un système de surveillance, composé d’un certain nombre de
capteurs, placés à l’intérieur du réacteur.
Dans le cadre de ses missions de surveillance, l’IRSN s’intéresse aux conséquences d’une dé-
faillance de capteurs. Pour y répondre, il est nécessaire de mettre en place des méthodes ma-
thématiques. Elles permettront de mieux garantir la sûreté, que sont la conception et la main-
tenance d’un réacteur.
Nous nous intéressons aux collectrons. Il s’agit de dispositifs de mesure comptant les neutrons
qu’ils reçoivent. Ils sont répartis selon douze cannes verticales au sein de l’EPR ; chaque canne
contient six instruments : il y a donc en tout 72 capteurs. Chaque collectron donne en sortie un
courant, mesuré à partir du comptage de rayons gamma issus de la capture neutronique.
Ces collectrons permettent de surveiller la propagation des neutrons au sein du cœur, et sont
sensés détecter la présence d’un « point chaud » dans le réacteur, c’est-à-dire un endroit où les
neutrons sont émis en quantité significativement supérieure à la moyenne.
La question posée par l’IRSN est la suivante : que se passe-t-il si certains collectrons sont dé-
faillants ? L’incertitude sur la reconstruction de l’intensité du point chaud est-elle acceptable ?
Pour répondre à cette question, la SCM a modélisé la propagation des neutrons au sein du
réacteur, et mis en place deux méthodes de reconstruction de l’intensité du point chaud, en 2D
et 3D.
Hypothèses de travail
Cette approche utilise un certain nombre d’hypothèses sur la configuration du cœur et la pro-
pagation des neutrons :
- Les cannes sont assimilées à des parallélépipèdes de de haut et de côté,
discrétisées en 7 mailles verticales de de haut. Les collectrons ne sont pas exac-
tement contenus dans les mailles ; on admet que ce décalage n’a pas d’importance. On
admet de plus que la présence d’un collectron dans une canne ne modifie pas le compor-
tement du matériau ;
- Les coefficients multiplicateurs des matériaux ont été normalisés. Nous utilisons les
valeurs pour un épuisement nul (début de vie du réacteur), et pour un épuisement de
;
- L’émission de neutrons est isotrope : lorsqu’une cellule émet des neutrons, ils se répar-
tissent à égalité entre les proches voisins (quatre cellules dans le cas à deux dimen-
sions, six cellules dans le cas à trois dimensions). De même, la réception des neutrons
par les collectrons est supposée isotrope ;
- Le point chaud émet des neutrons de manière continue ;
SCM IRSN "Sûreté des réacteurs et information incomplète" 3
Rapport 1 - Décembre 2010
- On admet l’existence d’une couche supplémentaire absorbante en frontière du cœur :
ces cannes absorbent l’intégralité des neutrons reçus sans en émettre (le coefficient
multiplicateur du matériau vaut ) ;
- Les neutrons sont supposés monochromatiques : il existe une seule famille de neutrons
au sein du cœur.
Problème direct
La première étape du travail consiste à modéliser le problème direct : connaissant la position
et l’intensité d’un point chaud dans l’une des cannes du réacteur, que reçoit chacun des collec-
trons ?
La méthode mise en place utilise un « calque » que l’on déplace dans le réacteur, et qui calcule
la propagation des neutrons à chaque étape.
La difficulté tient au fait que ce ne sont pas les neutrons émis par le point chaud qui sont re-
çus par le collectron, mais les descendants des descendants… des descendants de ces neutrons,
en raison des propriétés des matériaux composant le réacteur.
Cette modélisation a été enrichie par la prise en compte des incertitudes liées à la composition
des matériaux, ainsi qu’à l’isotropie de l’émission des neutrons depuis une cellule ; ceci permet
de représenter plus finement la réalité de la propagation : on dispose non pas d’une valeur
déterministe de la quantité de neutrons reçue par les collectrons, mais de lois de probabilité.
Problème inverse
La résolution du problème inverse est basée sur ce que l’on nommera des fonctions de trans-
fert. La méthode permet de répondre à la question suivante : connaissant les quantités de
neutrons reçues par les collectrons à un instant donné, quelle la loi de probabilité de l’intensité
du point chaud ? Plus précisément, elle permet de quantifier l’incertitude de la reconstruction
de l’intensité.
La fonction de transfert du point chaud vers le collectron est définie par le rapport entre
l’intensité du point chaud et la quantité de neutrons reçue par le collectron. Par exemple, dans
le cas déterministe, nous savons que lorsque le point chaud émet neutrons, le collectron
reçoit neutrons. La fonction de transfert du point chaud vers le collectron 1 vaut donc
. Nous pouvons donc en déduire que, si par exemple le collectron mesure une intensité
de neutrons, cela signifie que l’intensité du point chaud est de neutrons.
Lorsqu’on prend en compte les incertitudes liées à l’émission des neutrons, cette fonction de
transfert est une variable aléatoire, représentée par sa loi de probabilité. On pourra dire (par
exemple) : sachant que le collectron 1 mesure une intensité de neutrons, l’intensité du point
chaud vaut avec une probabilité , avec une probabilité .
On dispose ainsi des lois de probabilité de l’intensité du point chaud, sachant la valeur relevée
en chacun des collectrons. Ces lois sont combinées de manière à construire la loi de probabilité
de l’intensité du point chaud.
SCM IRSN "Sûreté des réacteurs et information incomplète" 4
Rapport 1 - Décembre 2010
L’objectif de l’étude est, non seulement, de disposer d’une méthode de reconstruction de
l’intensité du point chaud, mais aussi de pouvoir caractériser la qualité de la reconstruction,
notamment en cas de panne d’un (ou plusieurs) collectron(s) : l’incertitude sur la valeur
moyenne reconstituée est-elle suffisamment faible pour pouvoir assurer la sureté du réacteur ?
On s’intéresse alors à l’intervalle de confiance à , ayant pour bornes les quantiles à et
: il quantifie l’incertitude autour de la valeur moyenne reconstituée. Nous comparons la
valeur des quantiles à celle de l’espérance : si l’écart relatif est supérieur à , la reconstruc-
tion est considérée comme mauvaise par l’IRSN, en ce sens que la connaissance de l’intensité
du point chaud n’est pas suffisante pour garantir la sureté.
Résultats obtenus
En 2D et 3D, l’absence d’un collectron augmente l’incertitude sur la valeur reconstruite. toute-
fois, on remarque que par cette méthode, l’incertitude sur la valeur reconstruite dépend forte-
ment des quantités mesurées par les collectrons.
En 2D, pour contourner cette limite, nous appliquons la reconstruction pour un grand nombre
de relevés ( ). Nous construisons ensuite l’histogramme des incertitudes obtenues pour les
pannes successives des 12 collectrons ; ceci nous permet de déterminer quel collectron a le plus
d’influence sur la qualité de la reconstruction de l’intensité du point chaud.
Le tableau suivant contient les moyennes de l’incertitude de la reconstruction, ainsi que la
probabilité que l’incertitude soit supérieure ou égale à . Ces deux indicateurs permettent de
juger la fiabilité du système.
Moyenne de
l’incertitude de la
reconstruction de
l’intensité du point
chaud
Probabilité que
l’incertitude de
la reconstruc-
tion soit supé-
rieure ou égale à
5%
12 collectrons présents 4,03% 5,72E-04
Panne du collectron 1 4,15% 1,14E-03
Panne du collectron 2 4,21% 1,72E-03
Panne du collectron 3 4,13% 1,72E-03
Panne du collectron 4 4,21% 3,43E-03
Panne du collectron 5 4,18% 1,14E-03
Panne du collectron 6 4,23% 1,14E-03
Panne du collectron 7 4,26% 2,86E-03
Panne du collectron 8 4,16% 1,14E-03
Panne du collectron 9 4,21% 2,86E-03
Panne du collectron 10 4,13% 5,72E-04
Panne du collectron 11 4,21% 2,29E-03
Panne du collectron 12 4,15% 5,72E-04
Tableau 1 : Qualité de la reconstruction en fonction de la panne des collectrons
Quel que soit le collectron en panne, la panne « décale » la loi vers la droite. Cela signifie que
l’incertitude de la reconstruction est plus élevée lorsqu’un collectron est en panne que lorsque
les mesures des 12 capteurs sont disponibles.
SCM IRSN "Sûreté des réacteurs et information incomplète" 5
Rapport 1 - Décembre 2010
Les résultats sont cohérents avec la géographie du réacteur : en moyenne, la reconstruction
est plus incertaine lorsqu’un des capteurs les plus proches du point chaud est en panne. De
même, la probabilité pour que l’incertitude de la reconstruction dépasse le seuil fixé par
l’IRSN ( ) est grande lorsque les collectrons proches sont défaillants (collectrons 4, 7, 9 et
11). L’information apportée par ces capteurs est donc importante.
On peut noter que la probabilité que la connaissance du point chaud soit jugée insuffisante
(incertitude supérieure à ), est importante, et ce même lorsque tous les collectrons fonc-
tionnent ( ).
En 3D, nous appliquons la reconstruction pour un petit nombre de relevés (étant donnés les
temps de calcul, une vingtaine de cas ont été étudiés). Nous construisons ensuite
l’histogramme des incertitudes obtenues pour les pannes successives des 72 capteurs.
Les résultats sont similaires à ceux obtenus en 2D : lorsque le capteur en panne est situé à
proximité du point chaud, la reconstruction de l’intensité est de meilleure qualité. Toutefois,
quel que soit le capteur en panne, la reconstruction est meilleure qu’en 2D : l’incertitude ne
dépasse jamais les ; la probabilité qu’elle soit supérieure au seuil fixé par l’IRSN est donc
nulle.
EPH
La seconde méthode de reconstruction mise en place utilise un outil théorique développé par la
SCM, l'EPH (Experimental Probabilistic Hypersurface), qui a été adapté au milieu hétérogène
multiplicateur du réacteur.
Grossièrement, chaque mesure faite envoie une information dans tout l'espace, sous forme
d'une loi de probabilité (que l'on pense à un champ gravitationnel : chaque masse de l'espace
envoie un champ partout dans l'espace). En un point donné, les diverses lois se recombinent en
une loi unique (de même que le champ gravitationnel en un point est la combinaison des di-
vers champs provenant des diverses masses). L'intérêt de la construction est qu'elle ne fait
aucune hypothèse factice : elle repose entièrement sur un principe d'entropie maximale.
La méthode ne repose pas sur un relevé de mesures des collectrons ; elle permet de quantifier
de manière globale l’incertitude d’une reconstruction de l’intensité du point chaud, en utilisant
l’information apportée par chaque collectron, et en prenant en compte les incertitudes de cha-
cun. Le résultat de cette méthode n’est pas plusieurs reconstructions liées à des relevés, mais
une loi unique. Comme dans la méthode précédente, nous quantifions l’incertitude par l’écart
des quantiles et à l’espérance de la loi obtenue.
SCM IRSN "Sûreté des réacteurs et information incomplète" 6
Rapport 1 - Décembre 2010
Les résultats en 2D sont les suivants :
Espérance
Ecart
quantile
5%
Ecart
quantile
95%
all 12 collectrons 9927 3,8% 3,8%
11coll (without 1st one) 9926 3,8% 3,8%
without 2nd 9932 3,8% 4,0%
without 3rd 9930 3,8% 3,7%
without 4th 9933 3,9% 3,9%
without 5 9922 3,8% 3,8%
without 6 9930 3,8% 4,0%
without 7 9932 3,8% 4,0%
without 8 9925 3,8% 3,8%
without 9 9930 3,8% 4,0%
without 10 9927 3,8% 3,8%
without 11 9927 3,8% 3,8%
without 12 9930 3,8% 3,7%
without 7 and 4 9938 4,2% 4,1%
without 7 and 6 9934 4,1% 4,2%
without 7 and 9 9934 4,1% 4,2%
Tableau 2 : Qualité de la reconstruction en fonction de la panne des collectrons par la méthode de l’EPH
Comme dans la première méthode, les résultats sont cohérents avec la position des capteurs
dans le réacteur: plus le capteur est proche du point chaud, plus son impact sur la qualité de
la reconstruction est important.
On remarque toutefois que le seuil des fixé par l’IRSN n’est pas atteint : quel que soit le
capteur en panne, la connaissance de l’intensité du point chaud sera jugée suffisante.
Lorsqu’on augmente l’incertitude de la propagation des neutrons (déviation de , ce seuil
est atteint, et ce même lorsque tous les collectrons fonctionnent :
SCM IRSN "Sûreté des réacteurs et information incomplète" 7
Rapport 1 - Décembre 2010
Espérance
Ecart
quantile
5%
Ecart
quantile
95%
all 12 collectrons 9857 5,4% 5,5%
without 1 9858 5,7% 5,5%
without 2 9858 5,7% 5,7%
without 3 9863 5,5% 5,4%
without 4 9868 5,8% 5,6%
without 5 9847 5,6% 5,6%
without 6 9861 5,9% 5,7%
without 7 9860 5,7% 5,7%
without 8 9858 5,7% 5,5%
without 9 9855 5,9% 5,8%
without 10 9860 5,7% 5,5%
without 11 9855 5,6% 5,5%
without 12 9856 5,6% 5,8%
without 7 and 4 9872 6,3% 5,9%
without 7 and 6 9863 6,2% 6,0%
without 7 and 9 9857 6,2% 6,0%
Tableau 3 : Qualité de la reconstruction en fonction de la panne des collectrons par la méthode de l’EPH lorsque
l’incertitude sur la propagation augmente
De même, lorsqu’on considère un point chaud situé en bordure du réacteur, l’incertitude de la
reconstruction de l’intensité du point chaud est importante.
Espérance
Ecart
quantile
5%
Ecart
quantile
95%
all 12 collectrons 9954 5,1% 4,7%
without 1 9953 5,3% 5,0%
without 2 9955 5,8% 5,7%
without 3 9951 5,0% 5,0%
without 4 9953 5,1% 5,0%
without 5 9959 5,4% 5,2%
without 6 9955 5,3% 5,2%
without 7 9953 5,1% 4,7%
without 8 9953 5,1% 4,7%
without 9 9953 5,1% 5,0%
without 10 9961 5,1% 4,9%
without 11 9953 5,1% 4,7%
without 12 9954 5,1% 5,0%
without 2 and 1 9955 6,3% 6,0%
without 2 and 4 9954 6,1% 6,0%
Tableau 4 : Qualité de la reconstruction en fonction de la panne des collectrons par la méthode de l’EPH pour une
autre position du point chaud
Ceci montre l’importance de la surveillance du cœur.
SCM IRSN "Sûreté des réacteurs et information incomplète" 8
Rapport 1 - Décembre 2010
Cette méthode a été appliquée en 3D ; les résultats sont du même ordre de grandeur que ceux
obtenus par la première méthode :
Espérance
Ecart
quantile
5%
Ecart
quantile
95%
72 collectrons 9986 1,11% 0,89%
Without Collectron7_3 9987 1,12% 0,88%
Without 7_3; 7_2; 4_3 and 9_3 9984 1,19% 0,92%
Without 7th array 9983 1,34% 1,01%
Tableau 5 : Exemples de reconstruction en 3D par l’EPH
Les conclusions sont identiques : en 3D, la panne d’un collectron a peu d’effet sur la qualité de
la reconstruction et le seuil d’acceptabilité n’est pas atteint.
Outils développés
Un certain nombre d’outils ont été programmés en VBA sous Excel, pour les cas 2D et 3D :
- Calcul direct de la propagation : l’outil prend en entrée les données générales du réac-
teur (position des mailles, des collectrons, valeurs des coefficients multiplicateurs des
matériaux, position et intensité du point chaud), et fournit les lois de probabilité des
quantités de neutrons reçues par les collectrons ;
- Méthode de reconstruction par les fonctions de transfert : l’outil prend en entrée les lois
de probabilité des quantités reçues par les collectrons, et permet de simuler l’impact
d’une panne d’un ou plusieurs collectrons sur la reconstruction de l’intensité du point
chaud ;
- Méthode de reconstruction par l’EPH : les entrées et sorties de l’outil sont similaires au
précédent.
Ces outils seront remis à l’IRSN.
Améliorations prévues
Dans le cadre d’un avenant au contrat, nous affinerons la modélisation, en prenant en compte
l’existence de deux familles de neutrons :
- Les neutrons rapides : ils sont émis par une cellule vers les cellules voisines, sans subir
l'effet du coefficient multiplicateur des matériaux. A leur arrivée dans la cellule voi-
sine, ils se transforment en neutrons thermiques.
- Les neutrons thermiques : ces neutrons subissent l’effet du coefficient multiplicateur
des cellules. A leur arrivée dans une cellule, ils génèrent des fissions, donnant nais-
sance à des neutrons rapides se propageant dans les cellules voisines.
SCM IRSN "Sûreté des réacteurs et information incomplète" 9
Rapport 1 - Décembre 2010
Sommaire
I. Données du problème et hypothèses de travail ................................................................... 11
A. Configuration du cœur de l’EPR ................................................................................... 11
B. Disposition verticale des collectrons ............................................................................. 11
C. Comportement des matériaux ....................................................................................... 13
D. Propagation des neutrons ............................................................................................. 13
E. Valeur des coefficients multiplicateurs ........................................................................ 13
F. Position et intensité du point chaud ................................................................................. 17
G. Conditions aux limites .................................................................................................. 17
II. Propagation des neutrons : calcul direct .......................................................................... 18
A. Description du modèle 2D ............................................................................................. 18
B. Exemple simple ............................................................................................................. 20
C. Etude asymptotique ...................................................................................................... 22
D. Extension de la méthode au problème 3D .................................................................... 23
E. Implémentation de la méthode ..................................................................................... 24
1. Principe ............................................................................................................................................ 24
2. Outil développé ............................................................................................................................... 24
3. Exemple ........................................................................................................................................... 26
4. Analyses de sensibilité ..................................................................................................................... 27
F. Prise en compte des incertitudes ...................................................................................... 29
III. Résolution du problème inverse : reconstruction de l’intensité du point chaud à l’aide de
fonctions transfert ....................................................................................................................... 31
A. Méthode de reconstruction ............................................................................................ 31
1. Notations et méthode ..................................................................................................................... 31
2. Implémentation ............................................................................................................................... 33
B. Exemple 2D et indicateurs de la qualité de la reconstruction ..................................... 34
1. Cas sans panne ................................................................................................................................ 34
2. Simulations de pannes ..................................................................................................................... 35
C. Résultats de la reconstruction en 2D pour un grand nombre de relevés ..................... 37
D. Exemples 3D .................................................................................................................. 39
1. Exemple de reconstruction pour un relevé de mesures ................................................................. 39
2. Résultats de la reconstruction 3D pour un petit nombre de relevés .............................................. 41
IV. Reconstruction de l’intensité du point chaud par l’EPH .................................................. 42
SCM IRSN "Sûreté des réacteurs et information incomplète" 10
Rapport 1 - Décembre 2010
A. Computation in two-dimensional space ........................................................................ 42
1. General construction of the EPH ..................................................................................................... 42
2. Before the measurements ............................................................................................................... 43
3. The propagation of the uncertainty considering only one collectron. ............................................ 44
4. The propagation of the information considering 12 collectrons. ................................................... 47
5. Incorporation of the uncertainties in the construction. .................................................................. 49
6. Analysis of the uncertainties ........................................................................................................... 55
7. Considering other hot spots ............................................................................................................ 57
8. Coefficients of multiplication .......................................................................................................... 60
B. Computation in three-dimensional space ..................................................................... 61
1. Analysis of the uncertainties ........................................................................................................... 64
Coefficients of multiplication, 10%dev ....................................................................... 64
Références .................................................................................................................................... 65
SCM IRSN "Sûreté des réacteurs et information incomplète" 11
Rapport 1 - Décembre 2010
I. Données du problème et hypothèses de travail
A. Configuration du cœur de l’EPR
Le réacteur est assimilé à un cylindre discrétisé, dont la section horizontale est découpée en
carrés de taille identique, comme présenté sur la figure suivante. 12 cannes comportant des
collectrons sont réparties sur cette grille.
C5
C10
C2
C6
C9 C12
C1 C4
C7
C11
C3
C8
Figure 1 : Section de l’EPR et position des collectrons
On suppose que la réception des neutrons par les collectrons est isotrope (pas de direction pri-
vilégiée).
On peut remarquer que la position des collectrons choisie par Areva n’est pas optimale : toutes
les zones ne sont pas surveillées de la même façon. De plus, en les disposant autrement, on
aurait pu mieux surveiller, avec moins de capteurs.
B. Disposition verticale des collectrons
Chaque canne de collectrons contient 6 collectrons disposés verticalement, comme indiqué
page suivante :
SCM IRSN "Sûreté des réacteurs et information incomplète" 12
Rapport 1 - Décembre 2010
Figure 2 : Position des collectrons dans une canne verticale
Chaque collectron mesure 21 cm de haut. La distance entre collectrons n’étant pas régulière,
la discrétisation n’est pas aisée. Nous choisissons dans une première approche de discrétiser
verticalement en 7 mailles de 60 cm de haut. On remarque dans le schéma suivant que cette
discrétisation ne « colle » pas exactement avec le positionnement des collectrons.
Figure 3 : Discrétisation verticale des cannes
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
0 2 4
Haut du réacteurcollectron 1
collectron 2
collectron 3
milieu réacteur
collectron 4
collectron 5
collectron 6
base du réacteurMaillage
SCM IRSN "Sûreté des réacteurs et information incomplète" 13
Rapport 1 - Décembre 2010
On considère pour le moment que ce décalage n’a pas d’importance. On fait l’hypothèse que
chaque maille contient exactement un collectron, hormis la maille centrale.
On suppose que la présence des collectrons dans une canne ne modifie pas le comportement du
matériau.
C. Comportement des matériaux
Les mailles de la section horizontale représentent des cannes verticales de différents maté-
riaux. Selon le type de matériau, l’arrivée d’un neutron au centre d’une maille peut donner
lieu à trois comportements : absorption, neutre ou multiplication. A chaque matériau est asso-
cié un coefficient multiplicateur, noté :
- Pour un matériau absorbant, la quantité de neutrons émis est inférieure à la quan-
tité de neutrons reçue. Le coefficient est inférieur à 1 ;
- Dans le cas d’un matériau dit neutre, l’arrivée d’un neutron provoque l’émission
d’un neutron. Le coefficient est égal à 1 ;
- Le matériau est multiplicateur si l’arrivée d’un neutron donne naissance à plusieurs
neutrons. Dans ce cas, est supérieur à 1.
D. Propagation des neutrons
On suppose l’émission des neutrons isotrope : les neutrons émis par une cellule se répartissent
dans toutes les directions avec égale probabilité.
En 2D, les mailles étant des carrés, les neutrons se répartissent entre les quatre cases voisines
(nord, sud, est, ouest) avec une probabilité dans chacune des directions. En 3D, les mailles
sont des parallélépipèdes ; la probabilité qu’un neutron se dirige vers l’une des six cellules voi-
sines est proportionnelle à la surface de contact avec la cellule émettrice. Etant donné les di-
mensions des mailles, les probabilités sont les suivantes :
- La probabilité qu’un neutron se dirige vers l’une des cellules situées sur le même
plan horizontal que la cellule émettrice (nord, sud, est, ouest) est de ;
- La probabilité qu’un neutron se dirige vers la cellule supérieure ou inférieure est de
.
E. Valeur des coefficients multiplicateurs
Le cœur est composé de cinq types d’assemblage :
- 85 cannes enrichies à 1.4% d’Uranium235, sans Gadolinium (C_140_0gd) ;
- 32 cannes enrichies à 2.3%, avec 8 crayons de Gadolinium (C_230_8gd) ;
- 52 cannes enrichies à 2.3%, avec 12 crayons de Gadolinium (C_230_12gd) ;
- 16 cannes enrichies à 3.2%, sans Gadolinium (C_320_0gd) ;
SCM IRSN "Sûreté des réacteurs et information incomplète" 14
Rapport 1 - Décembre 2010
- 56 cannes enrichies à 3.2%, avec 12 crayons de Gadolinium (C_320_12gd).
Le coefficient multiplicateur de ces assemblages dépend de l’épuisement du combustible.
L’IRSN nous a fourni le tableau suivant. Il s’agit de l’évolution du coefficient multiplicateur en
fonction de l’épuisement, pour les cinq types d’assemblage.
Epuisement
assemblage
(MWJ/t)
1,4% 0GD 2,3% 8GD 2,3% 12GD 3,2% 0GD 3,2% 12GD
0 0,99726 1,04705 0,99004 1,25001 1,09625
150 0,97113 1,01737 0,96439 1,21021 1,06613
500 0,97297 1,01602 0,96533 1,20342 1,06354
1000 0,97581 1,01712 0,96921 1,19798 1,06333
2000 0,9747 1,01744 0,97484 1,188 1,0627
4000 0,96045 1,01426 0,98212 1,16566 1,05927
6000 0,9452 1,01125 0,98952 1,14293 1,05589
8000 0,93022 1,0111 1,0005 1,12126 1,05386
10000 0,91583 1,01255 1,01045 1,10068 1,05419
12000 0,90241 0,99973 0,99817 1,08153 1,058
14000 0,88984 0,98274 0,98117 1,06344 1,05359
16000 0,87801 0,96656 0,96499 1,04623 1,03833
18000 0,86689 0,95118 0,94963 1,02974 1,02199
20000 0,85644 0,93652 0,935 1,01389 1,00622
22000 0,84663 0,9225 0,92102 0,99858 0,99102
24000 0,8374 0,90905 0,9076 0,98368 0,97625
26000 0,82884 0,89632 0,89491 0,96943 0,96215
28000 0,82081 0,88433 0,88295 0,95578 0,94864
30000 0,8133 0,87282 0,87148 0,94249 0,9355
32000 0,80627 0,86183 0,86052 0,92956 0,92272
34000 0,7997 0,85136 0,85008 0,917 0,91032
36000 0,79357 0,8414 0,84015 0,90481 0,8983
38000 0,78784 0,83196 0,83074 0,89302 0,88667
40000 0,7825 0,82304 0,82184 0,88163 0,87544
42000 0,77752 0,81462 0,81344 0,87064 0,86461
44000 0,77285 0,80668 0,80553 0,86006 0,85421
46000 0,76848 0,79923 0,7981 0,84992 0,84423
48000 0,76438 0,79224 0,79113 0,84022 0,83469
50000 0,76054 0,78569 0,7846 0,83095 0,82558
Tableau 6 : Evolution des coefficients multiplicateurs des matériaux en fonction de l’épuisement du combustible
Il faudra donc simuler la présence d’un point chaud pour les différentes périodes de vie du
réacteur. Nous avons sélectionné les deux exemples marqués en bleu : en début de fonction-
nement (épuisement nul) et en fin de vie du réacteur (épuisement égal à ).
Toutefois, ces coefficients ne peuvent être exploités directement. Pour des raisons de conserva-
tion, il faut les normaliser en fonction du nombre de mailles de chaque assemblage. Les coeffi-
cients utilisés après normalisation sont les suivants :
SCM IRSN "Sûreté des réacteurs et information incomplète" 15
Rapport 1 - Décembre 2010
1,4% 0GD 2,3% 8GD 2,3% 12GD 3,2% 0GD 3,2% 12GD
Coefficients multiplicateurs
pour un épuisement nul 0,956975 1,00475 0,95004 1,19951 1,05196
Coefficients multiplicateurs
pour un épuisement de
0,95521 0,99702 0,99560 1,06299 1,05576
Tableau 7 : Coefficients multiplicateurs des matériaux après normalisation
Les deux figures suivantes présentent la section horizontale du réacteur, en indiquant la va-
leur du coefficient multiplicateur de chaque canne. Les matériaux absorbants sont en rouge,
les multiplicateurs en vert.
Epuisement = 0 MWJ/t
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
1 1,20 1,05 1,05 1,05 1,05 1,05 1,20
2 1,20 1,05 1,05 0,95 1,05 0,95 1,05 0,95 1,05 1,05 1,20
3 1,05 1,05 0,95 0,96 0,96 0,96 0,96 0,96 0,96 0,96 0,95 1,05 1,05
4 1,20 1,05 1,00 0,96 0,95 0,96 0,95 0,96 0,95 0,96 0,95 0,96 1,00 1,05 1,20
5 1,05 0,95 0,96 0,95 0,96 1,00 0,96 1,00 0,96 1,00 0,96 0,95 0,96 0,95 1,05
6 1,20 1,05 0,96 0,95 0,96 1,00 0,96 1,00 0,95 1,00 0,96 1,00 0,96 0,95 0,96 1,05 1,20
7 1,05 0,95 0,96 0,96 1,00 0,96 0,96 0,96 1,00 0,96 0,96 0,96 1,00 0,96 0,96 0,95 1,05
8 1,05 1,05 0,96 0,95 0,96 1,00 0,96 0,95 0,95 0,95 0,96 1,00 0,96 0,95 0,96 1,05 1,05
9 1,05 0,95 0,96 0,96 1,00 0,95 1,00 0,95 0,96 0,95 1,00 0,95 1,00 0,96 0,96 0,95 1,05
10 1,05 1,05 0,96 0,95 0,96 1,00 0,96 0,95 0,95 0,95 0,96 1,00 0,96 0,95 0,96 1,05 1,05
11 1,05 0,95 0,96 0,96 1,00 0,96 0,96 0,96 1,00 0,96 0,96 0,96 1,00 0,96 0,96 0,95 1,05
12 1,20 1,05 0,96 0,95 0,96 1,00 0,96 1,00 0,95 1,00 0,96 1,00 0,96 0,95 0,96 1,05 1,20
13 1,05 0,95 0,96 0,95 0,96 1,00 0,96 1,00 0,96 1,00 0,96 0,95 0,96 0,95 1,05
14 1,20 1,05 1,00 0,96 0,95 0,96 0,95 0,96 0,95 0,96 0,95 0,96 1,00 1,05 1,20
15 1,05 1,05 0,95 0,96 0,96 0,96 0,96 0,96 0,96 0,96 0,95 1,05 1,05
16 1,20 1,05 1,05 0,95 1,05 0,95 1,05 0,95 1,05 1,05 1,20
17 1,20 1,05 1,05 1,05 1,05 1,05 1,20
Figure 4 : Coefficients multiplicateurs représentés dans la section de l’EPR (épuisement )
SCM IRSN "Sûreté des réacteurs et information incomplète" 16
Rapport 1 - Décembre 2010
Epuisement = 44000 MWJ/t
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
1 1,06 1,06 1,06 1,06 1,06 1,06 1,06
2 1,06 1,06 1,06 1,00 1,06 1,00 1,06 1,00 1,06 1,06 1,06
3 1,06 1,06 1,00 0,96 0,96 0,96 0,96 0,96 0,96 0,96 1,00 1,06 1,06
4 1,06 1,06 1,00 0,96 1,00 0,96 1,00 0,96 1,00 0,96 1,00 0,96 1,00 1,06 1,06
5 1,06 1,00 0,96 1,00 0,96 1,00 0,96 1,00 0,96 1,00 0,96 1,00 0,96 1,00 1,06
6 1,06 1,06 0,96 1,00 0,96 1,00 0,96 1,00 1,00 1,00 0,96 1,00 0,96 1,00 0,96 1,06 1,06
7 1,06 1,00 0,96 0,96 1,00 0,96 0,96 0,96 1,00 0,96 0,96 0,96 1,00 0,96 0,96 1,00 1,06
8 1,06 1,06 0,96 1,00 0,96 1,00 0,96 1,00 1,00 1,00 0,96 1,00 0,96 1,00 0,96 1,06 1,06
9 1,06 1,00 0,96 0,96 1,00 1,00 1,00 1,00 0,96 1,00 1,00 1,00 1,00 0,96 0,96 1,00 1,06
10 1,06 1,06 0,96 1,00 0,96 1,00 0,96 1,00 1,00 1,00 0,96 1,00 0,96 1,00 0,96 1,06 1,06
11 1,06 1,00 0,96 0,96 1,00 0,96 0,96 0,96 1,00 0,96 0,96 0,96 1,00 0,96 0,96 1,00 1,06
12 1,06 1,06 0,96 1,00 0,96 1,00 0,96 1,00 1,00 1,00 0,96 1,00 0,96 1,00 0,96 1,06 1,06
13 1,06 1,00 0,96 1,00 0,96 1,00 0,96 1,00 0,96 1,00 0,96 1,00 0,96 1,00 1,06
14 1,06 1,06 1,00 0,96 1,00 0,96 1,00 0,96 1,00 0,96 1,00 0,96 1,00 1,06 1,06
15 1,06 1,06 1,00 0,96 0,96 0,96 0,96 0,96 0,96 0,96 1,00 1,06 1,06
16 1,06 1,06 1,06 1,00 1,06 1,00 1,06 1,00 1,06 1,06 1,06
17 1,06 1,06 1,06 1,06 1,06 1,06 1,06
Figure 5 : Coefficients multiplicateurs représentés dans la section de l’EPR (épuisement )
Dans les deux cas, on remarque que les matériaux sont faiblement multiplicateurs ou absor-
bants : les coefficients sont proches de . De plus, les matériaux multiplicateurs sont situés en
frontière du réacteur, alors que les assemblages absorbants se concentrent au cœur.
SCM IRSN "Sûreté des réacteurs et information incomplète" 17
Rapport 1 - Décembre 2010
F. Position et intensité du point chaud
Un point chaud ne peut se créer que dans certaines cannes, représentées en orange sur la
carte suivante :
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
1
2 C
3 C
4
5 C
6 C
7 C C
8
9
10
11 C C
12 C
13 C
14
15 C
16 C
17
Figure 6 : Positionnements possibles d’un point chaud
L’intensité du point chaud peut varier entre et
.
On considère que le point chaud émet continuellement toujours la même intensité de neu-
trons.
G. Conditions aux limites
On suppose l’existence d’une couche supplémentaire absorbante autour du cylindre : ces
cannes absorbent l’intégralité des neutrons qu’elle reçoit, sans en émettre (le coefficient multi-
plicateur de ces mailles vaut ).
SCM IRSN "Sûreté des réacteurs et information incomplète" 18
Rapport 1 - Décembre 2010
II. Propagation des neutrons : calcul direct
L’objectif est de déterminer la quantité de neutrons reçue par chaque collectron, due à la pré-
sence d’un point chaud dans l’une des mailles, en fonction de la position du point chaud et de
l’intensité de l’émission neutronique. La méthode mise en place consiste à déterminer com-
ment l’émission du point chaud se propage dans les différentes mailles du cœur de l’EPR.
A. Description du modèle 2D
Dans un premier temps, on considère le problème en 2D : les collectrons et le point chaud sont
situés dans un même plan horizontal.
Chaque maille est représentée par ses coordonnées . Nous notons le coefficient multi-
plicateur de la maille . Un neutron frappant le centre d’une maille donne donc nais-
sance à neutrons, émis de manière isotrope vers les 4 mailles voisines.
Le point chaud émet un certain nombre de neutrons ; cette quantité est notée .
L'approche que nous utilisons ici s'inspire de celle que nous avions développée pour le Minis-
tère de la Défense, en 2001, pour le traitement de l'image (opérateurs de rétine, voir [1]).
On dispose d'un "croisillon" : c'est un ensemble de cinq cellules en forme de croix :
Figure 7 : Représentation du "croisillon"
Ce croisillon va être déplacé sur toute la surface représentant le réacteur ; les coordonnées
sont celles de la cellule centrale. La forme du croisillon est invariable, ainsi que sa dimension.
On utilisera la notion de "calque", commune en traitement de l'image : deux calques sont deux
copies indépendantes de la même image, considérées comme superposées (l'une est au dessus
de l'autre) ; on peut écrire sur l'une ou sur l'autre et les fusionner ensuite.
Nous partons d'un point chaud , dont les coordonnées sont (l'origine des axes est fixée
au coin en bas à gauche d'un carré englobant le disque).
SCM IRSN "Sûreté des réacteurs et information incomplète" 19
Rapport 1 - Décembre 2010
Figure 8 : Représentation du point chaud
Nous travaillons, non sur les nombres de neutrons, mais sur les fractions émises. Nous consi-
dérons des pas de temps successifs.
Au temps , le point chaud émet un neutron ; l’émission étant isotrope, il parvient une
fraction à chacun de ses quatre voisins.
Au temps , émet encore un neutron, et ses voisins réémettent une fraction de ce qu'ils
ont reçu, chacun dans quatre directions.
Voici les valeurs obtenues pour les trois premiers pas de temps, en supposant que les coeffi-
cients multiplicateurs des mailles valent :
1
Figure 9 : Propagation de l’émission du point chaud, t=1
1/4
1/4 1 1/4
1/4
Figure 10 : Propagation de l’émission du point chaud, t=2
SCM IRSN "Sûreté des réacteurs et information incomplète" 20
Rapport 1 - Décembre 2010
2/16 1/4 2/16
1/16 1/4 1+4/16 1/4 1/16
2/16 1/4 2/16
1/16
Figure 11 : Propagation de l’émission du point chaud, t=3
Nous formalisons ceci par récurrence :
A l'instant , seul le point chaud émet des neutrons. L'image est constituée de la valeur 1
dans la case ; toutes les autres cases sont à .
Supposons définie l'image à l'instant , notée : c'est un ensemble de cases, avec des
valeurs. Alors l'image à l'instant , notée , est définie de la manière suivante :
1) on promène le croisillon, dans l'ordre lexicographique (ou dans un ordre quelconque), sur un
nouveau calque vierge au-dessus de . Pour chaque position du croisillon, on met au centre,
sur le nouveau calque, les valeurs issues des quatre voisins, à savoir :
où désigne le coefficient d'atténuation de la cellule située au nord du croisillon, et de même
pour les autres.
L'ordre des opérations n'a pas d'importance : il suffit que toutes les positions possibles soient
explorées. La valeur inscrite dans une case ne dépend que des valeurs du calque précédent,
. Ceci représente, pour le centre du croisillon, ce qu'il reçoit de ses quatre voisins.
2) Lorsque ceci est fait, on rajoute 1 au point chaud et on substitue le nouveau calque à l'an-
cien ; on obtient ainsi .
B. Exemple simple
Voici un exemple (en supposant que les coefficients multiplicateurs sont égaux à 1).
On travaille sur un carré 4x4 ; le point chaud est situé en :
SCM IRSN "Sûreté des réacteurs et information incomplète" 21
Rapport 1 - Décembre 2010
1
Figure 12 : Exemple 2D, t=1
0 0,25 0
0,25 0 0,25
0 0,25 0
Figure 13 : Exemple 2D, t=2, calque supplémentaire
0 0,25 0
0,25 1 0,25
0 0,25 0
Figure 14 : Exemple 2D, t=2, calque final
0 0,0625 0 0
0,125 0,25 0,125 0
0,25 0,25 0,25 0,0625
0,125 0,25 0,125 0
Figure 15 : Exemple 2D, t=3, calque intermédiaire
0 0,0625 0 0
0,125 0,25 0,125 0
0,25 1,25 0,25 0,0625
0,125 0,25 0,125 0
Figure 16 : Exemple 2D, t=3, calque final
Dans ce modèle, seul le point chaud fabrique des neutrons : un à chaque pas de temps. Les
autres cases se contentent de s'échanger des neutrons ; elles n'en fabriquent pas.
SCM IRSN "Sûreté des réacteurs et information incomplète" 22
Rapport 1 - Décembre 2010
Remarque importante
Le déplacement du croisillon doit se faire sur un nouveau calque et non sur l'ancien. Prenons
le cas où le point chaud est en haut à gauche, et nous déplaçons le croisillon à partir de ce
point, sur le même calque, à l'horizontale. Nous aurions :
1 1/4 1/16 1/64 etc
alors qu'il s'agit du même pas de temps.
C. Etude asymptotique
Lorsque tous les coefficients d'atténuation sont égaux à 1, il est facile de calculer l'état asymp-
totique (lorsque ) du réacteur.
Notons le nombre de neutrons (en pourcentage) de la case de coordonnées à
l'instant . Il est évident que, pour fixés, ne peut qu'augmenter avec Montrons-
le par récurrence. Supposons que pour tous , . Alors :
Chaque est donc une suite croissante en ; il y a deux possibilités : ou bien elle est
convergente, ou bien elle tend vers l'infini.
Admettons que l'une d'entre elles tend vers l'infini. Alors c'est le cas de toutes, car elles sont
reliées par une relation de proche en proche : chaque cellule est au moins le quart de chacun
de ses voisins.
Mais alors on peut trouver assez grand pour que toutes les cellules du bord soient stricte-
ment supérieures à . Mais ceci mène à une contradiction, puisque pour chaque cellule du
bord, un quart disparaît à chaque étape, et que l'alimentation n'est que de , au point chaud, à
chaque étape. La somme des cellules ne pourrait être croissante.
Cette contradiction montre que toutes les suites sont convergentes lorsque tend
vers l'infini.
La limite, notée , vérifie la relation :
sauf pour le point chaud :
SCM IRSN "Sûreté des réacteurs et information incomplète" 23
Rapport 1 - Décembre 2010
Nous obtenons ainsi un système linéaire qui permet de calculer toutes les valeurs limites
.
D. Extension de la méthode au problème 3D
En 3 dimensions, le principe est le même.
Les collectrons et le point chaud ne sont pas situés dans le même plan horizontal. Le "calque"
utilisé est cette fois-ci composé de 7 parallélépipèdes, déplacé sur l’ensemble du cylindre com-
posant le réacteur.
Figure 17 : Représentation du croisillon 3D
Ce calque est déplacé dans le réacteur, en partant du point chaud, un certain nombre d’étapes,
jusqu’à stabilisation des quantités de l’émission de neutrons par les matériaux.
SCM IRSN "Sûreté des réacteurs et information incomplète" 24
Rapport 1 - Décembre 2010
E. Implémentation de la méthode
1. Principe
L'intérêt de cet algorithme est qu'il est d'une complexité constante avec le temps : le
pas de temps est identique au précédent, et consiste en un balayage de l'ensemble des cases du
carré englobant.
Initialement, toutes les cases sont à 0, sauf le point chaud qui est à 1. Toutes les cases du car-
ré, hors du disque, doivent rester à 0 : un neutron qui sort du disque est perdu.
Les coefficients figurent sur un calque à part, qui est interrogé à chaque étape.
Comme le croisillon ne comporte que trois cases dans chaque sens, il est inutile de parcourir le
carré tout entier : il suffit de commencer au voisinage du point chaud. Si les coordonnées de
celui-ci sont (nombres entiers), la première étape de déplacement du croisillon sera :
For to , for to (il y a donc positions seulement)
La seconde sera :
For to , for to (il y a donc positions seulement)
et la :
For to , for to (il y a donc positions seule-
ment)
Les valeurs de début et de fin doivent être remplacées par les bords du carré, lorsque celui-ci
est atteint ; par exemple sera remplacé par si .
2. Outil développé
Nous avons implémenté cette méthode en VBA pour Excel, en 2D et 3D. Un onglet permet de
renseigner les données d’entrée : position des collectrons, valeur des coefficients multiplica-
teurs des mailles, position et intensité du point chaud.
SCM IRSN "Sûreté des réacteurs et information incomplète" 25
Rapport 1 - Décembre 2010
Figure 18 : Données d’entrée de l’outil (2D)
L’outil créé permet ainsi de simuler la présence d’un point chaud de position et d’intensité
quelconques.
L’implémentation reprend l’algorithme décrit dans la partie précédente. Pour chaque étape ,
(le nombre maximal d’étapes étant à déterminer), on calcule la quantité de neutrons reçus
dans chaque maille, en fonction des quantités de neutrons présents dans les mailles voisines à
l’étape , et de leurs coefficients multiplicateurs. On suppose que le point chaud émet la
même quantité de neutrons de manière continue, et que les autres mailles se "vident" à
chaque étape.
A l’issue des calculs, on connaît la quantité de neutrons présente dans chaque maille. Nous en
extrayons l’information qui nous intéresse, c’est-à-dire la quantité de neutrons reçue par les
collectrons à l’étape .
SCM IRSN "Sûreté des réacteurs et information incomplète" 26
Rapport 1 - Décembre 2010
Figure 19 : Résultats donnés par l’outil (2D)
Les calculs sont immédiats.
3. Exemple
Nous simulons la présence d’un point chaud d’intensité neutrons, situé au point de
coordonnées . Les résultats sont les suivants :
Collectron1 209,1
Collectron2 232,8
Collectron3 206,2
Collectron4 1360,0
Collectron5 215,0
Collectron6 1356,1
Collectron7 3559,2
Collectron8 523,1
Collectron9 1731,6
Collectron10 186,2
Collectron11 833,6
Collectron12 377,4
Tableau 8 : Quantités de neutrons reçus par les collectrons
On remarque que la quantité de neutrons reçue par chaque collectron dépend fortement de la
distance au point chaud : les collectrons les plus proches sont ceux recevant le plus de neu-
trons, et inversement. Ceci est dû au caractère peu absorbant ou multiplicateur des maté-
riaux. Si les coefficients multiplicateurs étaient plus importants et/ou les coefficients absor-
bants plus faibles, les résultats seraient différents.
Cette première étape permettra ensuite de déterminer la quantité d’information perdue, selon
les différentes pannes de collectrons envisageables.
SCM IRSN "Sûreté des réacteurs et information incomplète" 27
Rapport 1 - Décembre 2010
4. Analyses de sensibilité
Sensibilité au nombre de runs
L’analyse de sensibilité permet de déterminer le nombre d’étapes de calcul nécessaires. On a
vu dans la partie précédente que la quantité de neutrons présente dans une maille converge
lorsque le nombre d’étapes tend vers l’infini. Il nous faut donc déterminer à partir de combien
d’étapes la limite est atteinte.
Nous avons lancé l’algorithme pour différentes valeurs du nombre d’étapes , et étudié
l’impact sur les résultats de sortie (quantités de neutrons reçues par les 12 collectrons de la
tranche). La limite est atteinte dès étapes.
Sensibilité à la position du point chaud
Le point chaud utilisé dans notre étude est le point de coordonnées en 2D, le point de
coordonnées en 3D.
Nous avons fait varier la position de ce point chaud autour de la position « de référence » -
sans modifier son intensité - et étudié l’impact sur la quantité de neutrons reçue par chaque
collectron. En 2D, les résultats sont donnés dans le tableau suivant :
Position du
point chaud (10;10) (11;10) (9;10) (10;11) (10;9) (9;9) (11;11) (9;11) (11;9)
Collectron1 209 224
(-7%)
191
(9%)
140
(33%)
325
(-55%)
292
(-40%)
145
(31%)
135
(35%)
357
(-71%)
Collectron2 233 181
(22%)
304
(-31%)
173
(26%)
322
(-38%)
434
(-87%)
133
(43%)
226
(3%)
250
(-8%)
Collectron3 206 279
(-35%)
152
(26%)
149
(28%)
288
(-40%)
205
(1%)
189
(9%)
119
(42%)
413
(-100%)
Collectron4 1360 1538
(-13%)
1121
(18%)
889
(35%)
2178
(-60%)
1697
(-25%)
954
(30%)
794
(42%)
2601
(-91%)
Collectron5 215 145
(33%)
334
(-55%)
206
(4%)
220
(-2%)
344
(-60%)
136
(37%)
323
(-50%)
154
(29%)
Collectron6 1356 888
(34%)
2182
(-61%)
1191
(12%)
1449
(-7%)
2422
(-79%)
783
(42%)
1850
(-36%)
965
(29%)
Collectron7 3559 5865
(-65%)
2182
(39%)
2629
(26%)
4310
(-21%)
2422
(32%)
3675
(-3%)
1850
(48%)
8605
(-142%)
Collectron8 523 847
(-62%)
334
(36%)
472
(10%)
550
(-5%)
344
(34%)
717
(-37%)
323
(38%)
926
(-77%)
Collectron9 1732 1185
(32%)
2548
(-47%)
2312
(-34%)
1245
(28%)
1697
(2%)
1443
(17%)
3791
(-119%)
945
(45%)
Collectron10 186 130
(30%)
272
(-46%)
237
(-27%)
145
(22%)
205
(-10%)
156
(16%)
364
(-95%)
109
(41%)
Collectron11 834 1103
(-32%)
617
(26%)
1218
(-46%)
573
(31%)
434
(48%)
1647
(-98%)
890
(-7%)
757
(9%)
Collectron12 377 305
(19%)
455
(-21%)
578
(-53%)
251
(34%)
292
(23%)
434
(-15%)
740
(-96%)
219
(42%)
Tableau 9 : Sensibilité des résultats à la position du point chaud (2D)
SCM IRSN "Sûreté des réacteurs et information incomplète" 28
Rapport 1 - Décembre 2010
On constate qu’en 2D, les quantités de neutrons mesurées par les collectrons sont très sen-
sibles à la position du point chaud : en moyenne, l’écart par rapport à la position initiale est de
, et peut aller jusqu’à .
En 3D, cette sensibilité est plus importante : l’écart moyen à la position initiale est de , et
varie de à .
SCM IRSN "Sûreté des réacteurs et information incomplète" 29
Rapport 1 - Décembre 2010
F. Prise en compte des incertitudes
Cette première approche est déterministe : pour une configuration donnée du point chaud (po-
sition et intensité), nous obtenons une valeur unique de la quantité de neutrons reçue par
chaque collectron.
Cette approche est complétée afin de prendre en compte les aléas de l’activité réelle du réac-
teur :
- L’hypothèse d’isotropie de l’émission de neutrons est une simplification de la réali-
té : même s’il existe une isotropie globale, la répartition des neutrons émis vers les
cellules voisines ne vaut exactement (dans le cas 2D), pour chaque émission,
dans chaque cellule. Cet aléa est représenté par une incertitude : dans le cas du 2D
par exemple, cela signifie que la probabilité qu’un neutron se dirige vers l’un des
quatre voisins n’est pas
mais
. Nous faisons l’hypothèse que cette incertitude
est comprise entre et , et qu’elles sont indépendantes d’une cellule à
l’autre.
- Les valeurs considérées pour les coefficients multiplicateurs des matériaux relèvent
de différentes hypothèses faites sur l’évolution du cœur. Suite aux recommanda-
tions de l’IRSN, nous introduisons une incertitude de l’ordre de sur la valeur
des coefficients multiplicateurs des cellules.
Nous simulons différentes configurations possibles de l’incertitude ; nous disposons alors d’un
certain nombre de « runs » des quantités de neutrons reçues par les collectrons. Ceci nous
permet de construire les lois de probabilité pour chaque collectron ; le nombre de runs néces-
saire (environ ) est atteint lorsque les lois se stabilisent.
Figure 20 : Lois de probabilité de la quantité de neutrons mesurée par les 12 collectrons (2D)
La dispersion relative est la même pour les 12 lois.
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
50
25
0
45
0
65
0
85
0
10
50
12
50
14
50
16
50
18
50
20
50
22
50
24
50
26
50
28
50
30
50
32
50
34
50
36
50
38
50
40
50
42
50
44
50
46
50
48
50
Pro
bab
ilité
Quantité de neutrons
Lois de probabilité des quantités de neutrons reçues par les collectrons
Collectron 1
Collectron 2
Collectron 3
Collectron 4
Collectron 5
Collectron 6
Collectron 7
Collectron 8
Collectron 9
Collectron 10
Collectron 11
Collectron 12
SCM IRSN "Sûreté des réacteurs et information incomplète" 30
Rapport 1 - Décembre 2010
En 3D, les résulats sont les suivants :
Figure 21 : Loi de probabilité de la quantité de neutrons reçue par les 72 collectrons (3D)
La majorité des collectrons mesurent une quantité très faible de neutrons : étant données les
dimensions du réacteur, l’atténuation du flux de neutrons au sein du cœur est importante.
Comme en 2D, les dispersions relatives sont du même ordre de grandeur : la distance des cap-
teurs au point chaud n’a donc pas d’influence sur la variabilité de la mesure lorsqu’on intro-
duit des incertitudes.
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
Pro
bab
ilité
Loi de probabilité de la quantité de neutrons mesurée par les collectrons
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12 C13 C14 C15 C16 C17 C18
C19 C20 C21 C22 C23 C24 C25 C26 C27 C28 C29 C30 C31 C32 C33 C34 C35 C36
C37 C38 C39 C40 C41 C42 C43 C44 C45 C46 C47 C48 C49 C50 C51 C52 C53 C54
C55 C56 C57 C58 C59 C60 C61 C62 C63 C64 C65 C66 C67 C68 C69 C70 C71 C72
SCM IRSN "Sûreté des réacteurs et information incomplète" 31
Rapport 1 - Décembre 2010
III. Résolution du problème inverse : reconstruction de l’intensité
du point chaud à l’aide de fonctions transfert
La résolution du problème inverse est basée sur ce que l’on nomme des fonctions de transfert.
La méthode permet de répondre à la question suivante : connaissant les quantités de neutrons
reçues par les collectrons à un instant donné, quelle la loi de probabilité de l’intensité du point
chaud ?
A. Méthode de reconstruction
La fonction de transfert du point chaud vers le collectron est définie par le rapport entre
l’intensité du point chaud et la quantité de neutrons reçue par le collectron.
Dans le cas déterministe, il s’agit d’une valeur unique. Par exemple, nous savons que lorsque
le point chaud émet neutrons, le collectron reçoit neutrons. La fonction de trans-
fert du point chaud vers le collectron 1 vaut donc
. Nous pouvons donc en déduire que, si
par exemple le collectron mesure une intensité de neutrons, cela signifie que l’intensité
du point chaud est de neutrons.
Lorsqu’on prend en compte les incertitudes liées à l’émission des neutrons, cette fonction de
transfert est une variable aléatoire, représentée par sa loi de probabilité. On pourra dire (par
exemple) : sachant que le collectron 1 mesure une intensité de neutrons, l’intensité du point
chaud vaut avec une probabilité , avec une probabilité .
En connaissant le relevé de mesures indiquées par les capteurs, on peut reconstituer ainsi
l’intensité du point chaud de manière indépendante pour chaque collectron. Ces informations
sont ensuite combinées de manière à obtenir la loi de probabilité de l’intensité du point chaud,
sachant la valeur indiquée par l’ensemble des collectrons.
1. Notations et méthode
Notons la fonction transfert du point chaud vers le collectron ; il s’agit d’une variable
aléatoire, représentée par une loi de probabilité. Cette loi se construit facilement à l’aide des
relevés de capteurs simulés lors de la prise en compte de l’incertitude, pour une même valeur
connue de l’intensité du point chaud.
SCM IRSN "Sûreté des réacteurs et information incomplète" 32
Rapport 1 - Décembre 2010
Voici un exemple de quelques runs en 2D, pour un point chaud d’intensité :
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12
Run 1 18,6 22,7 20,7 123,7 21,5 128,5 343,5 51,3 169,3 17,8 93,6 42,5
Run 2 21,6 24,1 23,5 143,6 19,8 123,0 338,8 54,9 171,4 20,5 79,1 37,6
Run 3 20,3 21,5 18,2 122,2 21,0 141,6 347,8 48,1 177,0 22,7 78,9 40,2
Run 4 22,9 22,9 22,6 150,9 19,5 120,5 371,2 56,2 185,2 18,8 94,3 34,1
Run 5 20,0 24,2 18,5 134,1 22,9 126,7 339,5 45,3 190,3 21,0 81,9 41,4
Run 6 20,6 24,2 20,2 135,8 22,5 144,6 367,6 52,0 179,0 16,7 79,4 39,6
Run 7 20,9 21,8 20,2 149,4 23,0 149,5 364,1 51,6 182,6 20,6 73,9 39,0
Run 8 20,2 24,2 19,6 131,4 21,3 141,0 360,3 44,9 190,4 19,5 82,9 37,6
Run 9 21,3 24,0 22,0 146,6 21,0 139,1 348,7 54,8 175,9 19,3 72,2 35,0
Run 10 20,0 23,4 20,2 118,5 20,6 129,0 347,5 51,4 178,5 21,1 80,3 41,2
Tableau 10 : Exemples d’échantillons de mesures possibles sur les 12 collectrons (modèle 2D)
La loi de probabilité pour un collectron est obtenue en divisant les relevés du collectron par la
valeur de l’intensité du point chaud, et en construisant l’histogramme des valeurs obtenues.
Nous disposons de runs dans le cas 2D, dans le cas 3D.
On peut alors en déduire la loi de probabilité de la fonction transfert du collectron vers le
point chaud, notée : il s’agit de l’inverse la loi de probabilité de .
Si l’on connaît la quantité de neutrons mesurée par le collectron , alors on peut déterminer
l’intensité du point chaud sachant le collectron :
L’intensité est représentée par une loi de probabilité, de densité .
Chaque collectron nous donne une reconstruction de l’intensité du point chaud. La combinai-
son de ces informations permet une meilleure connaissance de la loi de probabilité de
l’intensité. En faisant l’hypothèse que les capteurs sont indépendants, la densité de probabilité
de l’intensité du point chaud se calcule à partir du produit des densités de probabilité de
l’intensité, sachant les valeurs de l’ensemble des collectrons.
Où est un coefficient de normalisation et le nombre de collectrons considéré (12
dans le modèle 2D, 72 dans le modèle 3D). Ce produit de lois est plus concentré que chaque loi
prise indépendamment : la quantité d’information est plus importante.
L’hypothèse d’indépendance des capteurs signifie que les erreurs faites par un collectron
n’influence pas celles des autres capteurs. Dans notre modèle, ce n’est pas tout à fait le cas,
dans la mesure où plusieurs chemins de neutrons sont communs à différents collectrons. Mais
dans la réalité, les collectrons sont indépendants ; cette hypothèse est donc justifiée.
SCM IRSN "Sûreté des réacteurs et information incomplète" 33
Rapport 1 - Décembre 2010
2. Implémentation
Pour limiter les erreurs liées aux discrétisations de lois et assurer un temps de calcul limité,
nous limitons la construction de lois de probabilité à la dernière étape de calcul.
L’implémentation de la méthode se fait comme suit.
Nous disposons :
- D’une liste de mesures, pour une valeur connue de l’intensité du point chaud. Ces
relevés permettent de calculer les fonctions transfert ;
- D’un relevé de mesures indiquées par les collectrons, pour une valeur inconnue de
l’intensité du point chaud (c’est justement ce qu’on cherche à déterminer).
Pour chaque collectron , chaque mesure est inversée, multipliée par la valeur de l’intensité du
point chaud pour laquelle elles ont été réalisées, puis multipliées par la valeur du relevé pour
lequel on cherche à reconstituer l’intensité. On peut alors construire l’histogramme des va-
leurs obtenues : il s’agit de la loi de probabilité de l’intensité du point chaud, sachant le collec-
tron . Les densités sont calculées en supposant les lois uniformes sur chaque intervalle de
discrétisation : pour obtenir la valeur de la densité de probabilité en un point , il suffit de
diviser la valeur de la probabilité de l’intervalle auquel appartient par la largeur de cette
intervalle.
Les histogrammes sont construits avec les mêmes intervalles de discrétisation : la multiplica-
tion des densités est alors très simple. Le produit des densités aura lui-même les mêmes in-
tervalles de discrétisation.
On dispose alors de la densité de probabilité de l’intensité du point chaud, prenant en compte
l’information provenant de l’ensemble des capteurs. Il s’agit d’une loi discrète, dont nous calcu-
lons l’espérance, ainsi que les quantiles à et .
SCM IRSN "Sûreté des réacteurs et information incomplète" 34
Rapport 1 - Décembre 2010
B. Exemple 2D et indicateurs de la qualité de la reconstruction
1. Cas sans panne
Considérons par exemple que les relevés des collectrons sont les suivants, pour un point chaud
de coordonnées :
Quantités de neutrons
mesurées par les collectrons
Collectron1 186,3
Collectron2 227,4
Collectron3 207,1
Collectron4 1236,6
Collectron5 215,5
Collectron6 1285,3
Collectron7 3435,3
Collectron8 512,7
Collectron9 1692,9
Collectron10 178,3
Collectron11 936,4
Collectron12 424,9
Tableau 11 : Exemple de relevés des collectrons (2D)
La méthode de reconstruction fournit la loi de probabilité de l’intensité du point chaud sui-
vante :
Figure 22 : Exemple de reconstruction de la loi de probabilité de l’intensité du point chaud (2D)
La moyenne de la loi de probabilité est de neutrons (proche de ) ; il n’y a pas de
déséquilibre vers les valeurs inférieures ou supérieures.
0,000
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0,030
0,035
0,040
90
07
90
57
91
07
91
57
92
07
92
57
93
07
93
57
94
07
94
57
95
07
95
57
96
07
96
57
97
07
97
57
98
07
98
57
99
07
99
57
10
00
71
00
57
10
10
71
01
57
10
20
71
02
57
10
30
71
03
57
10
40
71
04
57
10
50
71
05
57
10
60
71
06
57
10
70
71
07
57
10
80
71
08
57
10
90
71
09
57
Pro
bab
ilité
Intensité du point chaud (nombre de neutrons)
90%
SCM IRSN "Sûreté des réacteurs et information incomplète" 35
Rapport 1 - Décembre 2010
L’objectif de l’étude est, non seulement, de disposer d’une méthode de reconstruction de
l’intensité du point chaud, mais aussi de pouvoir caractériser la qualité de la reconstruction,
notamment en cas de panne d’un (ou plusieurs) collectron(s) : l’incertitude sur la valeur
moyenne reconstituée est-elle suffisamment faible pour pouvoir assurer la sureté du réacteur ?
On s’intéresse alors à l’intervalle de confiance à , ayant pour bornes les quantiles à et
: il quantifie l’incertitude autour de la valeur moyenne reconstituée. Nous comparons la
valeur des quantiles à celle de l’espérance : si l’écart relatif est supérieur à , alors la recons-
truction est considérée comme mauvaise par l’IRSN, en ce sens que la connaissance de
l’intensité du point chaud n’est pas suffisante.
Dans l’exemple ci-dessus, les écarts relatifs des quantiles à et valent respectivement
et . La sureté du réacteur n’est pas en danger.
2. Simulations de pannes
On peut ensuite simuler la panne d’un ou plusieurs collectrons, et étudier l’impact sur la loi de
probabilité, et notamment sur la dispersion. Sur le graphique suivant, nous superposons la loi
de probabilité précédente à celle obtenue lorsque le collectron 11 est en panne.
Figure 23 : Comparaison des lois de probabilité de l’intensité du point chaud en cas de panne de collectron (2D)
On remarque que l’absence du collectron 11 décale la loi de probabilité vers la gauche. La va-
leur moyenne reconstruite est plus faible ( neutrons), et la loi de probabilité plus étendue.
Les écarts relatifs des quantiles à l’espérance valent et : l’incertitude sur la recons-
truction est plus importante, tout en restant inférieure au seuil toléré par l’IRSN.
En simulant la panne de chacun des collectrons, nous obtenons les résultats suivants :
0,000
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0,030
0,035
0,040
0,045
90
07
90
67
91
27
91
87
92
47
93
07
93
67
94
27
94
87
95
47
96
07
96
67
97
27
97
87
98
47
99
07
99
67
10
02
7
10
08
7
10
14
7
10
20
7
10
26
7
10
32
7
10
38
7
10
44
7
10
50
7
10
56
7
10
62
7
10
68
7
10
74
7
10
80
7
10
86
7
10
92
7
10
98
7
Pro
bab
ilité
Intensité du point chaud (nombre de neutrons)
12 collectrons collectron 11 manquant
SCM IRSN "Sûreté des réacteurs et information incomplète" 36
Rapport 1 - Décembre 2010
Espérance
Ecart
relatif
quantile
5%
Ecart
relatif
quantile
95%
12 collectrons présents 9854 2.6% 3.5%
Panne du collectron 1 9900 2.7% 3.8%
Panne du collectron 2 9866 2.8% 3.6%
Panne du collectron 3 9847 2.7% 3.6%
Panne du collectron 4 9927 2.7% 3.8%
Panne du collectron 5 9851 2.7% 3.7%
Panne du collectron 6 9887 2.8% 3.8%
Panne du collectron 7 9871 2.7% 3.7%
Panne du collectron 8 9859 2.7% 3.6%
Panne du collectron 9 9862 2.7% 3.7%
Panne du collectron 10 9871 2.7% 3.6%
Panne du collectron 11 9724 3.1% 4.0%
Panne du collectron 12 9774 2.7% 3.7%
Tableau 12 : Impact d’une panne de collectron sur la reconstruction du point chaud (2D)
Dans tous les cas, l’absence d’un collectron augmente l’incertitude sur la valeur reconstruite.
Toutefois, les résultats ne sont pas ceux auxquels nous nous attendions : en confrontant ces
résultats à la carte des collectrons, on se rend compte que l’impact d’une panne sur
l’incertitude de la reconstruction ne dépend pas forcément de la distance du collectron au point
chaud. Les capteurs les plus proches du point chaud sont les collectrons 4 et 7 ; c’est pourtant
la panne du collectron 11 qui a le plus d’impact sur la reconstruction de l’intensité du point
chaud.
C5
C10
C2
C6
C9 C12
HS
C1 C4
C7
C11
C3
C8
Figure 24 : Position du point chaud et des collectrons
SCM IRSN "Sûreté des réacteurs et information incomplète" 37
Rapport 1 - Décembre 2010
Ceci est lié au relevé de mesures des collectrons : dans l’exemple considéré, la majorité des
collectrons donnent une reconstruction de l’intensité centrée autour de . Seul le collectron
fournit une reconstruction du point chaud supérieur à ; c’est pour cette raison que le
fait de supprimer l’information apportée par ce collectron décale fortement la loi de probabilité
de l’intensité du point chaud vers la gauche, et augmente l’incertitude du résultat.
On constate donc que par cette méthode, l’incertitude sur la valeur reconstruite dépend forte-
ment des quantités mesurées par les collectrons.
C. Résultats de la reconstruction en 2D pour un grand nombre de relevés
Pour contourner cette limite de la méthode, nous appliquons la reconstruction pour un grand
nombre de relevés ( ). Nous construisons ensuite l’histogramme des incertitudes obtenues
pour les pannes successives des 12 collectrons ; ceci nous permet de déterminer quel collectron
a le plus d’influence sur la qualité de la reconstruction de l’intensité du point chaud.
Les trois graphiques suivants présentent les histogrammes obtenus pour les reconstructions
réalisées :
- Lorsque tous les collectrons fonctionnent ;
- Lorsque le collectron 1 est en panne (situé loin du point chaud) ;
- Lorsque le collectron 7 est en panne (situé à proximité du point chaud).
Figure 25 : Histogramme de l’incertitude de la reconstruction lorsque tous les collectrons fonctionnent
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
2-2,5% 2,5-3% 3-3,5% 3,5-4% 4-4,5% 4,5-5% 5-5,5% 5,5-6% 6-6,5% 6,5-7%
Pro
bab
ilité
Incertitude de la reconstruction
Tous collectrons
SCM IRSN "Sûreté des réacteurs et information incomplète" 38
Rapport 1 - Décembre 2010
Figure 26 : Histogramme de l’incertitude de la reconstruction lorsque le collectron 1 est en panne
Figure 27 : Histogramme de l’incertitude de la reconstruction lorsque le collectron 7 est en panne
Quel que soit le collectron en panne, la panne « décale » la loi vers la droite. Cela signifie que
l’incertitude de la reconstruction est plus élevée lorsqu’un collectron est en panne que lorsque
les mesures des 12 capteurs sont disponibles.
De plus, les résultats sont cohérents avec la position des capteurs : sur les graphiques ci-
dessus, le décalage vers la droite de la loi est plus fort dans le cas d’une panne du collectron 7
que dans celui d’une panne du collectron 1.
Le tableau suivant contient les moyennes de l’incertitude de la reconstruction, ainsi que la
probabilité que l’incertitude soit supérieure ou égale à . Ces deux indicateurs permettent de
juger la fiabilité du système.
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
2-2,5% 2,5-3% 3-3,5% 3,5-4% 4-4,5% 4,5-5% 5-5,5% 5,5-6% 6-6,5% 6,5-7%
Pro
bab
ilité
Incertitude de la reconstruction
Collectron 1 manquant
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
2-2,5% 2,5-3% 3-3,5% 3,5-4% 4-4,5% 4,5-5% 5-5,5% 5,5-6% 6-6,5% 6,5-7%
Pro
bab
ilité
Incertitude de la reconstruction
Collectron 7 manquant
SCM IRSN "Sûreté des réacteurs et information incomplète" 39
Rapport 1 - Décembre 2010
Moyenne de
l’incertitude de la
reconstruction de
l’intensité du point
chaud
Probabilité que
l’incertitude de
la reconstruc-
tion soit supé-
rieure ou égale à
5%
12 collectrons présents 4,03% 5,72E-04
Panne du collectron 1 4,15% 1,14E-03
Panne du collectron 2 4,21% 1,72E-03
Panne du collectron 3 4,13% 1,72E-03
Panne du collectron 4 4,21% 3,43E-03
Panne du collectron 5 4,18% 1,14E-03
Panne du collectron 6 4,23% 1,14E-03
Panne du collectron 7 4,26% 2,86E-03
Panne du collectron 8 4,16% 1,14E-03
Panne du collectron 9 4,21% 2,86E-03
Panne du collectron 10 4,13% 5,72E-04
Panne du collectron 11 4,21% 2,29E-03
Panne du collectron 12 4,15% 5,72E-04
Tableau 13 : Qualité de la reconstruction en fonction de la panne des collectrons
Les résultats sont cohérents avec la géographie du cœur : en moyenne, la reconstruction est
plus incertaine lorsqu’un des capteurs les plus proches du point chaud est en panne. De même,
la probabilité pour que l’incertitude de la reconstruction dépasse le seuil fixé par l’IRSN ( )
est grande lorsque les collectrons proches sont défaillants (collectrons 4, 7, 9 et 11).
L’information apportée par ces capteurs est donc importante.
On peut noter que la probabilité que la connaissance du point chaud soit jugée insuffisante
(incertitude supérieure à ), est importante, et ce même lorsque tous les collectrons fonc-
tionnent ( ).
D. Exemples 3D
1. Exemple de reconstruction pour un relevé de mesures
En 3D, le principe est identique : on cherche à déterminer l’impact de la panne d’un capteur
sur la qualité de la connaissance de l’intensité du point chaud. On utilise cette fois les relevés
des 72 collectrons présents dans le cœur du réacteur.
Nous donnons ici un exemple de reconstruction de l’intensité du point chaud en trois dimen-
sions, utilisant l’information provenant des 72 collectrons.
SCM IRSN "Sûreté des réacteurs et information incomplète" 40
Rapport 1 - Décembre 2010
Figure 28 : Loi de probabilité de l’intensité du point chaud (3D)
La reconstruction est de bonne qualité : la loi de probabilité est centrée en neutrons, et la
dispersion est faible : l’écart relatif des quantiles à et à l’espérance ne dépasse pas
. Dans cet exemple, la reconstruction est moins incertaine que celle présentée dans le
premier exemple 2D.
Nous supprimons à présent le collectron le plus proche du point chaud, et étudions l’impact de
cette panne sur la qualité de la reconstruction :
Figure 29 : Comparaison des lois de probabilité de l’intensité du point chaud en cas de panne de collectron (3D)
On constate que la panne de ce collectron a peu d’impact sur la reconstruction du point chaud :
la moyenne et la dispersion sont du même ordre de grandeur.
0,0000
0,0200
0,0400
0,0600
0,0800
0,1000
0,1200
0,1400
0,1600
95
09
95
39
95
69
95
99
96
29
96
59
96
89
97
19
97
49
97
79
98
09
98
39
98
69
98
99
99
29
99
59
99
89
10
01
9
10
04
9
10
07
9
10
10
9
10
13
9
10
16
9
10
19
9
10
22
9
10
25
9
10
28
9
10
31
9
10
34
9
10
37
9
10
40
9
10
43
9
10
46
9
10
49
9
Pro
bab
ilité
Intensité du point chaud (nombre de neutrons)
0,0000
0,0200
0,0400
0,0600
0,0800
0,1000
0,1200
0,1400
0,1600
95
09
95
39
95
69
95
99
96
29
96
59
96
89
97
19
97
49
97
79
98
09
98
39
98
69
98
99
99
29
99
59
99
89
10
01
9
10
04
9
10
07
9
10
10
9
10
13
9
10
16
9
10
19
9
10
22
9
10
25
9
10
28
9
10
31
9
10
34
9
10
37
9
10
40
9
10
43
9
10
46
9
10
49
9
Pro
bab
ilité
Intensité du point chaud (nombre de neutrons)
72 collectrons collectron 7_3 manquant
SCM IRSN "Sûreté des réacteurs et information incomplète" 41
Rapport 1 - Décembre 2010
Espérance
Ecart
relatif
quantile
5%
Ecart
relatif
quantile
95%
72 collectrons présents 9947 0.8% 1.2%
Panne du collectron le plus
proche du point chaud 9954 0.9% 1.2%
Tableau 14 : Exemple de l’impact d’une panne de collectron sur la reconstruction du point chaud (3D)
2. Résultats de la reconstruction 3D pour un petit nombre de relevés
Comme en 2D, nous avons appliqué la reconstruction pour un petit nombre de relevés (étant
donnés les temps de calcul, une vingtaine de cas ont été étudiés). Nous construisons ensuite
l’histogramme des incertitudes obtenues pour les pannes successives des 72 capteurs.
Les résultats sont similaires à ceux obtenus en 2D : lorsque le capteur en panne est situé à
proximité du point chaud, la reconstruction de l’intensité est de meilleure qualité. Toutefois,
quel que soit le capteur en panne, la reconstruction est meilleure qu’en 2D : l’incertitude ne
dépasse jamais les ; la probabilité qu’elle soit supérieure au seuil fixé par l’IRSN est donc
nulle.
SCM IRSN "Sûreté des réacteurs et information incomplète" 42
Rapport 1 - Décembre 2010
IV. Reconstruction de l’intensité du point chaud par l’EPH
A. Computation in two-dimensional space
In the previous chapters, we give a description of the deterministic method which permits us
to solve two kinds of problem : the direct one, that is, to calculate the quantity of neutrons re-
ceived by each collectrons knowing the exact position and the intensity of the hot spot; and the
inversed one, that is, to reconstruct the emission of neutrons using information from each col-
lectrons.
The deterministic method is rather clear. Using physics, we can link the emission of neutrons
at the hot spot to the quantity received by each collectron. If there were no uncertainties, this
link would be biunivocal : a quantity q which is emitted gives a quantity q which is received
( 1 depends from the position of the captor with respect to hot spot, from the multiplica-
tion or attenuation property of the cells, and so on). So, if a quantity 1q is received at a first
collectron, then the quantity emitted in the hot spot is simply 1q
. Considering as well the un-
certainties, we do not reconstruct exactly 1q
, but a probability law around it. This way, rely-
ing on some random sample1 12, ,q q , we reconstruct the intensity of emission in the hot spot.
But, will be our reconstruction robust at these conditions? Will it be stable considering anoth-
er sample?
Below we are going to present the probabilistic method called “Experimental Probabilistic
Hypersurface” (EPH), which could handle the reconstruction of the emission considering not a
sample but the “distances” (other words “importance”) between the hot spot and each collec-
tron. Thereby, the second chapter will be devoted: first, to the general description of the EPH
and then, to the practical application for the current target setting.
1. General construction of the EPH
EPH is mathematical model which introduces the way of “propagation” of information with
distances. The key point of the construction is its relying upon a general principle of maximal
entropy: at the furthest distance in the configuration space the uncertainty takes a form of an
uniform law (we have the worst information), and it becomes more and more precise when we
move towards the observed information. Initially, it was built in order to reconstruct or predict
some data resting upon the values already given or calculated.
So, in order to explain the fundamental ideas of the construction, we will start with the sim-
plest case: when we do not have any information.
SCM IRSN "Sûreté des réacteurs et information incomplète" 43
Rapport 1 - Décembre 2010
2. Before the measurements
Let us imagine the situation when we do not have any captors, what we can conclude for the
hot spot?
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
1 1,20 1,05 1,05 1,05 1,05 1,05 1,20
2 1,20 1,05 1,05 0,95 1,05 0,95 1,05 0,95 1,05 1,05 1,20
3 1,05 1,05 0,95 0,96 0,96 0,96 0,96 0,96 0,96 0,96 0,95 1,05 1,05
4 1,20 1,05 1,00 0,96 0,95 0,96 0,95 0,96 0,95 0,96 0,95 0,96 1,00 1,05 1,20
5 1,05 0,95 0,96 0,95 0,96 1,00 0,96 1,00 0,96 1,00 0,96 0,95 0,96 0,95 1,05
6 1,20 1,05 0,96 0,95 0,96 1,00 0,96 1,00 0,95 1,00 0,96 1,00 0,96 0,95 0,96 1,05 1,20
7 1,05 0,95 0,96 0,96 1,00 0,96 0,96 0,96 1,00 0,96 0,96 0,96 1,00 0,96 0,96 0,95 1,05
8 1,05 1,05 0,96 0,95 0,96 1,00 0,96 0,95 0,95 0,95 0,96 1,00 0,96 0,95 0,96 1,05 1,05
9 1,05 0,95 0,96 0,96 1,00 0,95 1,00 0,95 0,96 0,95 1,00 0,95 1,00 0,96 0,96 0,95 1,05
10 1,05 1,05 0,96 0,95 0,96 1,00 0,96 0,95 0,95 0,95 0,96 1,00 0,96 0,95 0,96 1,05 1,05
11 1,05 0,95 0,96 0,96 1,00 0,96 0,96 0,96 1,00 0,96 0,96 0,96 1,00 0,96 0,96 0,95 1,05
12 1,20 1,05 0,96 0,95 0,96 1,00 0,96 1,00 0,95 1,00 0,96 1,00 0,96 0,95 0,96 1,05 1,20
13 1,05 0,95 0,96 0,95 0,96 1,00 0,96 1,00 0,96 1,00 0,96 0,95 0,96 0,95 1,05
14 1,20 1,05 1,00 0,96 0,95 0,96 0,95 0,96 0,95 0,96 0,95 0,96 1,00 1,05 1,20
15 1,05 1,05 0,95 0,96 0,96 0,96 0,96 0,96 0,96 0,96 0,95 1,05 1,05
16 1,20 1,05 1,05 0,95 1,05 0,95 1,05 0,95 1,05 1,05 1,20
17 1,20 1,05 1,05 1,05 1,05 1,05 1,20
Figure 1: The section of the EPR without the captors
All we know in this case is that the result will be in the interval min max,QN QN , where
minQN
and max
QN are the extreme meanings of the quantity of neutrons which could be emitted (it
comes from the expert knowledge), and it represents a discrete uniform law on this interval:
1
1jp QE ,
where the coefficients j and came from the following discretization:
min max min,
j
jQN QN QN QN 0,...,j
QN – Quantity of Neutrons, the width of subdivision we choose as 25 , then the number
of points in subdivision is:
max minQN QN
.
SCM IRSN "Sûreté des réacteurs et information incomplète" 44
Rapport 1 - Décembre 2010
3. The propagation of the uncertainty considering only one collectron.
Assume, we have 1 collectron (11, 2) which has received 1
QR neutrons.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
1 1,20 1,05 1,05 1,05 1,05 1,05 1,20
2 1,20 1,05 1,05 0,95 1,05 0,95 1,05 0,95 1,05 1,05 1,20
3 1,05 1,05 0,95 0,96 0,96 0,96 0,96 0,96 0,96 0,96 0,95 1,05 1,05
4 1,20 1,05 1,00 0,96 0,95 0,96 0,95 0,96 0,95 0,96 0,95 0,96 1,00 1,05 1,20
5 1,05 0,95 0,96 0,95 0,96 1,00 0,96 1,00 0,96 1,00 0,96 0,95 0,96 0,95 1,05
6 1,20 1,05 0,96 0,95 0,96 1,00 0,96 1,00 0,95 1,00 0,96 1,00 0,96 0,95 0,96 1,05 1,20
7 1,05 0,95 0,96 0,96 1,00 0,96 0,96 0,96 1,00 0,96 0,96 0,96 1,00 0,96 0,96 0,95 1,05
8 1,05 1,05 0,96 0,95 0,96 1,00 0,96 0,95 0,95 0,95 0,96 1,00 0,96 0,95 0,96 1,05 1,05
9 1,05 0,95 0,96 0,96 1,00 0,95 1,00 0,95 0,96 0,95 1,00 0,95 1,00 0,96 0,96 0,95 1,05
10 1,05 1,05 0,96 0,95 0,96 1,00 0,96 0,95 0,95 0,95 0,96 1,00 0,96 0,95 0,96 1,05 1,05
11 1,05 0,95 0,96 0,96 1,00 0,96 0,96 0,96 1,00 0,96 0,96 0,96 1,00 0,96 0,96 0,95 1,05
12 1,20 1,05 0,96 0,95 0,96 1,00 0,96 1,00 0,95 1,00 0,96 1,00 0,96 0,95 0,96 1,05 1,20
13 1,05 0,95 0,96 0,95 0,96 1,00 0,96 1,00 0,96 1,00 0,96 0,95 0,96 0,95 1,05
14 1,20 1,05 1,00 0,96 0,95 0,96 0,95 0,96 0,95 0,96 0,95 0,96 1,00 1,05 1,20
15 1,05 1,05 0,95 0,96 0,96 0,96 0,96 0,96 0,96 0,96 0,95 1,05 1,05
16 1,20 1,05 1,05 0,95 1,05 0,95 1,05 0,95 1,05 1,05 1,20
17 1,20 1,05 1,05 1,05 1,05 1,05 1,20
Figure 2: The section of the EPR with only one captor
Since we obtain some data, the total available information has increased. We established that
the for any intermediate point (in our case, hot spot) the distribution of probability has a form
of a discrete Gaussian, where the “size” of its bump depends from the distance between the hot
spot and the collectron, this way, the quantity of neutrons emitted in the hot spot (10, 10) will
have the following distribution ([1], p 17, formula (1.25)) :
10,10
21
1, 2
( )exp
22
jj
QN QEcp QE ,
with a dispersion:
1
2
de
e,
and (10,10)
1j
jp QE
Here, tau is the step of subdivision as we already mentioned 25 . 1
QE is the quantity of
neutrons emitted in the hot spot deducted from the value 1
QR using a transfer function (just to
start with, we suppose that 1
10 000QE ), c is a normalization coefficient connected with
the truncation effect, 1d is the distance between the first collectron and the hot spot (see be-
low), is the propagation coefficient connected with the entropy.
SCM IRSN "Sûreté des réacteurs et information incomplète" 45
Rapport 1 - Décembre 2010
As we said, the propagation of information is governed by a general principle of the maximal
entropy. The entropy itself is defined by the formula :
1j
j j
I p Logp
.
We will explain this principle giving the following statements:
If the hot spot was situated at the same loop as a collectron, then the entropy would be equal
0I (the information is certain here), thus the density is a Dirac mass.
Now, moving away from the collectron, the entropy increases linearly (minimal information
lemma ([1], lemma 1, p 8), and we proved that it could be represented by the relation :
1I d .
(Note, that it concerns only the homogeneous space, the case which takes into account the co-
efficient of multiplication will be considered below).
Finally, we arrive to a uniform law at the furthest point from the collectron, we note this point
as max,1 max,1,x y , where the entropy reaches the maximum value, we computed it explicitly ([1],
lemma 2, p11) :
(1 )I Log
Using these statements we defined the formula for the coefficient ([1], p 18, formula (1.26)) :
max
1,
Log
d
where maxd is the distance between the collectron and
max,1 max,1,x y :
max 1 max,1 max,1, ,d d Collectron x y
In the homogeneous space the distances between the points are the usual Euclidean ones. But
as it often happens in practice, sometimes we are conditioned by physical processes which
should be well understood and then properly included in the formulas. In our case, it concerns
the nature of motion of the neutrons: before reaching the collectron, they can choose any tra-
jectory. In order to take this into account, we must consider all possible paths, evaluating also
their probability. Since the neutrons may move only in four directions, then the probability of
each path depends directly from its length. We denote this probability as wp for each w th
path, then the distance between the collectron and the hot spot will be computed as :
SCM IRSN "Sûreté des réacteurs et information incomplète" 46
Rapport 1 - Décembre 2010
1 1 1 1, ... ,
w wd Collectron HotSpot path p path p
with 1... 1
wp p
and each
wpath consists of number of steps needed to be passed from
the hot spot to the collectron. For example:
1
1 1(10,10) (10,9) ... (11,3) (11,2)
k
path k with 1
1 1
1
4kp
2
2 2(10,10) (9,10) ... (12,2) (11,2)
k
path k with 2
2 1
1
4kp
and so on.
Now we come back to the way of propagation of information in the space of nuclear reactor
which is not homogeneous. Instead of linear uniform propagation everywhere, we deal with
the non linear one, which depends from the coefficients of multiplication of each loop. There-
fore the entropy will have the following form :
1
1
1
1,1 ,1 1, ,
1 1 1 1... ... ... ,
n
w
wk w k w
path path
I p p
where ,k w
is a coefficient of multiplication of the corresponding loop.
Using the obtained formulas and having determined the point which is farthest from the col-
lectron max,1 max,1, 3,15x y , we can proceed to the numerical computation of the probability
distribution of the neutrons in the hot spot.
We present the shape of the function 10,101,jp QE on the graph:
SCM IRSN "Sûreté des réacteurs et information incomplète" 47
Rapport 1 - Décembre 2010
Probability distribution of the emitted neutrons in the hot spot considering only one captor, with above value
Interpretation of the obtained calculations:
So, knowing a quantity collected by the first collectron 1
QR , and knowing the expected inten-
sity of emission 1
10 000QE , we could get a probability law for reconstruction. Note, here
we do not take into account the uncertainty attributed to value 1
QE itself, for a time being we
just consider a “distance” between the hot spot and the first captor.
Using obtained law, for example, we can conclude the following:
(10,10)9 975, 10 025 0,10P QE
We could increase the interval of investigation :
(10,10)9 925, 10 075 0,31P QE
and so on.
4. The propagation of the information considering 12 collectrons.
Assume now we have 12 collectrons which record 1 12,...,QR QR (for the preliminary step, we
suppose that all 1 12,...,QE QE are equal 10 000 as before).
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
87
50
88
50
89
50
90
50
91
50
92
50
93
50
94
50
95
50
96
50
97
50
98
50
99
50
10
05
0
10
15
0
10
25
0
10
35
0
10
45
0
10
55
0
10
65
0
10
75
0
10
85
0
10
95
0
11
05
0
11
15
0
11
25
0
Pro
bab
ility
Quantity of neutrons (QNj)
Probability distribution of the neutrons
SCM IRSN "Sûreté des réacteurs et information incomplète" 48
Rapport 1 - Décembre 2010
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
1 1,20 1,05 1,05 1,05 1,05 1,05 1,20
2 1,20 1,05 1,05 0,95 1,05 0,95 1,05 0,95 1,05 1,05 1,20
3 1,05 1,05 0,95 0,96 0,96 0,96 0,96 0,96 0,96 0,96 0,95 1,05 1,05
4 1,20 1,05 1,00 0,96 0,95 0,96 0,95 0,96 0,95 0,96 0,95 0,96 1,00 1,05 1,20
5 1,05 0,95 0,96 0,95 0,96 1,00 0,96 1,00 0,96 1,00 0,96 0,95 0,96 0,95 1,05
6 1,20 1,05 0,96 0,95 0,96 1,00 0,96 1,00 0,95 1,00 0,96 1,00 0,96 0,95 0,96 1,05 1,20
7 1,05 0,95 0,96 0,96 1,00 0,96 0,96 0,96 1,00 0,96 0,96 0,96 1,00 0,96 0,96 0,95 1,05
8 1,05 1,05 0,96 0,95 0,96 1,00 0,96 0,95 0,95 0,95 0,96 1,00 0,96 0,95 0,96 1,05 1,05
9 1,05 0,95 0,96 0,96 1,00 0,95 1,00 0,95 0,96 0,95 1,00 0,95 1,00 0,96 0,96 0,95 1,05
10 1,05 1,05 0,96 0,95 0,96 1,00 0,96 0,95 0,95 0,95 0,96 1,00 0,96 0,95 0,96 1,05 1,05
11 1,05 0,95 0,96 0,96 1,00 0,96 0,96 0,96 1,00 0,96 0,96 0,96 1,00 0,96 0,96 0,95 1,05
12 1,20 1,05 0,96 0,95 0,96 1,00 0,96 1,00 0,95 1,00 0,96 1,00 0,96 0,95 0,96 1,05 1,20
13 1,05 0,95 0,96 0,95 0,96 1,00 0,96 1,00 0,96 1,00 0,96 0,95 0,96 0,95 1,05
14 1,20 1,05 1,00 0,96 0,95 0,96 0,95 0,96 0,95 0,96 0,95 0,96 1,00 1,05 1,20
15 1,05 1,05 0,95 0,96 0,96 0,96 0,96 0,96 0,96 0,96 0,95 1,05 1,05
16 1,20 1,05 1,05 0,95 1,05 0,95 1,05 0,95 1,05 1,05 1,20
17 1,20 1,05 1,05 1,05 1,05 1,05 1,20
Figure 3: The section of the EPR with 12 captors
Each captor is supposed to contribute in the resulting probability subject to its proximity to
the hot spot. The general form of probability was presented as :
1 1210,10 10,10 10,101, 12,j j jp QE p QE p QE ,
where , 10,10n jp QE represents a contribution from n th captor :
10,10
2
, 2,
( )exp
22n j n
n j
QN QEcp QE
1, ,12n
and the 'ns here take the following form:
1
K
n
n N K
ii
d
d
, 1, ,12n
where K is a dimension of the space, so 2K in our case.
The farthest distance is determined by the formula:
max max, max,max , ,
n n nd d Collectron x y ,
1, ,12n
in our case: max 10 max,10 max,10
, , 3,14 , 15,3d d Collectron x y d
SCM IRSN "Sûreté des réacteurs et information incomplète" 49
Rapport 1 - Décembre 2010
Adaptation of the model for the current problem:
As we mentioned, EPH initially was constructed in order to predict or reconstruct the infor-
mation relying on some existing data. For instance, it can be used to predict the value which
will be measured in 2015, from the values observed in 1995 and 2000. So, the information we
would like to predict and the incoming data are of the same “nature”. Quite clearly, the value
predicted for 2015 needs to depend from each existing measures, with weights according to the
distances. This way, more observations usually lead to a probability law which is less and less
sharp due to summation of the individual laws. But this statement contradicts with our physi-
cal phenomenon here, where the more captors are enable, the more precise probability law for
the hot spot is. As well, we must point out, that the captors and the hot spot do not represent
the same physical meaning : captors collect neutrons and the hot spot emits them.
Generally, EHP is useful in the case when we know nothing about the process itself, namely,
it is hard to establish some correlation between the data which were obtained. As a conse-
quence, the prediction or reconstruction is not oblivious. The dependence between emitted
quantity and quantity received appears quite clear here. So, the question is, could we apply
the EPH in order to reconstruct the hot spot? The answer is yes, but we have to modify it.
When we have just one single captor for the reconstruction, then the general rules of EPH are
respected: situating further from the hot spot, collectron receives less precise information from
it and its ability to reconstruct the hot spot weakens as well; so, all , 10,10n jp QE
keep the
same form (a gaussian). We do this computation separately for all captors 1, ,12n . Then
we multiply together the individual laws (instead of sum them as in classical EPH), that is,
our final probability will be of the following type:
10,10 10,10 10,101, 12,j j jp QE p QE p QE
5. Incorporation of the uncertainties in the construction.
As we have showed in the previous chapter, the deterministic method was enriched by the
consideration of a non isotropic emission of neutrons within certain limits. The next step is to
analyse them and to include correctly into construction.
Initially, the emission was assumed isotropic, namely it gives a fraction 1 4 to each of four
neighbours. We established that, if the hot spot has coordinates (10, 10) and it emits 10 000
neutrons, then each collectron receives precise quantity of neutrons :
SCM IRSN "Sûreté des réacteurs et information incomplète" 50
Rapport 1 - Décembre 2010
Collectron Coordinates Quantity received Percentage from 10 000
Collectron1 (11,2) 209,1 2,1%
Collectron2 (5,4) 232,8 2,3%
Collectron3 (15,4) 206,2 2,1%
Collectron4 (11,6) 1360,0 13,6%
Collectron5 (2,9) 215,0 2,2%
Collectron6 (6,9) 1356,1 13,6%
Collectron7 (12,9) 3559,2 35,6%
Collectron8 (16,9) 523,1 5,2%
Collectron9 (7,12) 1731,6 17,3%
Collectron10 (3,14) 186,2 1,9%
Collectron11 (13,14) 833,6 8,3%
Collectron12 (7,16) 377,4 3,8%
Table 1
We note that the percentage does not change with the amount of emitted neutrons. This way,
we used this ratio as a basis for resolving the inverse problem, that is, to reconstruct the in-
tensity of the hot spot using the data from the captors. For example, if the first collectron rece-
ives 1
QR neutrons (QR
- Quantity Received), it means that the hot spot has emitted
11
1
QRQE
percentage neutrons (QE
- Quantity Emitted and
1percentage concerns the first col-
lectron) and so on. It is clear, that the conclusive meaning of the emitted amount of neutrons
in the hot spot will be the composition of 1 12,...,QE QE .
In order to estimate the uncertainties, we performed a kind of simulation, supposing a random
deviation from 1 4 in the range of 10% (we note it 10%dev ):
1/4+
1
1/4+4
1
1/4+2
1/4+
3
where 1 2 3 4, , , 1 40, 1 40 and
1 2 3 40 .
The 20 000 runs of simulation were accomplished (this threshold was defined by the sensibil-
ity test). It is clear that the randomness of deviation brings some dispersion in the construc-
tion: the resulting probability will become less concentrated and more irregular.
Considering each of this sample, we “convert” them into “emitted quantity” using a corre-
sponding percentage of the captor Cn :
SCM IRSN "Sûreté des réacteurs et information incomplète" 51
Rapport 1 - Décembre 2010
C1 C2 C3 C4 …
C1 C2 C3 C4
1 234 238 217 1453
1 11214 10208 10510 10686
2 200 207 215 1346
2 9575 8878 10423 9900
3 210 241 207 1276
3 10061 10333 10016 9384
4 222 248 234 1446
4 10606 10636 11357 10635
5 206 231 173 1286
→ 5 9854 9930 8388 9455
6 203 219 237 1400
6 9720 9407 11508 10294
7 176 222 201 1132
7 8398 9550 9737 8322
8 201 225 204 1402
8 9604 9648 9915 10307
… … … … …
… … … … …
20000 196 232 181 1251
20000 9383 9960 8799 9199
Analysing obtained data (second table), we see that all values belong to the interval
675 ; 13625 neutrons neutrons . In order to omit the complication in calculations, we fix the
same discretization for both methods. For EPH we took the width of subdivision as 25 ,
so, we discretize the range of emitted amount of neutrons in the same way and we computed
the probability to fall into each interval. Below we give a fragment of this table, where j
QE
represents the “media” of each interval and corresponding cell shows a probability of each j
QE
:
QEj\Collect. 1st 2nd 3rd 4th 5th 6th 7th 8th 9th 10th 11th 12th
… … … … … … … … … … … … …
9600 0,02015 0,0286 0,02105 0,02435 0,022 0,02615 0,0303 0,0208 0,0257 0,02015 0,0268 0,02185
9650 0,0223 0,02725 0,0203 0,02875 0,02105 0,03015 0,0297 0,02285 0,0261 0,0223 0,02635 0,02135
9700 0,021 0,02715 0,02375 0,0267 0,02415 0,02955 0,0305 0,02395 0,0276 0,0206 0,02535 0,024
9750 0,02345 0,02785 0,01915 0,02855 0,0244 0,0309 0,0308 0,0228 0,02785 0,02315 0,0266 0,02375
9800 0,0228 0,02915 0,02105 0,02745 0,02655 0,0303 0,03235 0,02335 0,02855 0,0217 0,02675 0,02545
9850 0,0247 0,031 0,0219 0,02825 0,02455 0,0303 0,03145 0,024 0,02915 0,02165 0,02685 0,0218
9900 0,0244 0,0287 0,0235 0,02965 0,02695 0,0293 0,03155 0,0221 0,0269 0,0241 0,0275 0,0227
9950 0,0239 0,02845 0,02205 0,0305 0,0248 0,0315 0,03355 0,0247 0,0305 0,0213 0,029 0,0227
10000 0,02435 0,0309 0,0228 0,0284 0,0286 0,03095 0,0291 0,02605 0,02845 0,0212 0,02855 0,02375
10050 0,0232 0,02975 0,0219 0,0286 0,02455 0,02935 0,0309 0,02235 0,02705 0,0184 0,02725 0,0233
10100 0,02115 0,02835 0,02125 0,02685 0,02475 0,0304 0,0294 0,02515 0,0264 0,02185 0,02685 0,0229
10150 0,0213 0,0289 0,02215 0,02595 0,02485 0,02995 0,02955 0,0224 0,02645 0,02285 0,02545 0,02245
10200 0,0229 0,02745 0,02175 0,0237 0,0268 0,02855 0,0287 0,0231 0,02775 0,02345 0,02625 0,02205
10250 0,0229 0,02475 0,0207 0,02425 0,0247 0,0282 0,02645 0,0223 0,02475 0,0195 0,02685 0,0208
10300 0,0221 0,0235 0,0199 0,0245 0,0246 0,0269 0,02965 0,0241 0,02435 0,0214 0,0257 0,0207
10350 0,02115 0,02365 0,019 0,0239 0,02575 0,0226 0,02905 0,02205 0,0241 0,02215 0,0239 0,02095
10400 0,02025 0,0229 0,01905 0,0214 0,0221 0,02225 0,0238 0,0193 0,0236 0,02015 0,0213 0,0205
… … … … … … … … … … … … …
Table 3
Below, as an example, we illustrate the graphs of obtained uncertainties for the 1st and 7th
captors :
SCM IRSN "Sûreté des réacteurs et information incomplète" 52
Rapport 1 - Décembre 2010
Probability distribution of the emitted neutrons for 1st and 7th captors.
The uncertainty for the 7th collectron is more concentrated comparing with the 1st one. It links
with the fact that the 7th captor seats closer to the hot spot (10, 10).
Pondering over the meaning of the obtained laws, we could say, that this table represents the
“capacity” of each individual captor to reconstruct the intensity in the hot spot, (it was build
taking into account the “physics” of the process). We will call them “probability laws for recon-
struction”.
In order to estimate these probability laws we are going to use the following characteristics:
5%
1
E X QCh
E X ,
95%
2
Q E XCh
E X and
95% 5%Delta Q Q
where E X is the corresponding mathematical expectation and 95%Q where
95%P QE
So, for the 7th collectron : 19,1%Ch
211,3%Ch
2025Delta
neutrons.
For the 1st collectron : 112,6%Ch
214,3%Ch
2675Delta
neutrons
Our concern is to combine obtained “probability laws for reconstruction” considering their
“importance” relative to the hot spot. We will follow the rules of the EPH presented above.
0
0,005
0,01
0,015
0,02
0,025
0,03
0,035
0,04
70
50
72
50
74
50
76
50
78
50
80
50
82
50
84
50
86
50
88
50
90
50
92
50
94
50
96
50
98
50
10
05
0
10
25
0
10
45
0
10
65
0
10
85
0
11
05
0
11
25
0
11
45
0
11
65
0
11
85
0
12
05
0
12
25
0
12
45
0
12
65
0
12
85
0
13
05
0
Pro
bab
ility
Probability laws for reconstruction
Collectron 1
Collectron 7
SCM IRSN "Sûreté des réacteurs et information incomplète" 53
Rapport 1 - Décembre 2010
Let us come back again to the situation when we have only one captor (the first one). Before to
have an information regarding to its uncertainty, the write the form of probability as :
110,10
21
1, 2
( )exp
22
jj
QN QEcp QE ,
with 11
1
QRQE
percentage
where 1
QR is the quantity of neutrons collected by the first collec-
tron.
Now, considering the uncertainties, instead of precise value 1
QE , we have a probability distri-
bution (see the table 3), for example, the first collectron could “predict” that :
...
19 950nQE neutrons would be emitted with probability
10,0239
110 000nQE neutrons with probability
20,02435
110 050nQE neutrons with probability
30,0232
... and so on.
This way, 1,jp will be transformed into following composition :
1 2 3
1 1, 2 1, 3 1,10,101, ...j j jjp QE p p p
where 1
1, 10,10
2
2exp
22
njn n
j
QN QEcp QE
1,2,3...n
The implementation of uncertainties of other captors occurs in the same way: using the table
3, we convert all , 'n j sp into corresponding composition
,,n
n n jn
n jp p .
Resulting probability for the hot spot (10, 10)
Finally, having all needed components we could proceed to the computation of the resulting
probability considering all 12 collectrons.
Below we present a graph of the obtained probability law :
SCM IRSN "Sûreté des réacteurs et information incomplète" 54
Rapport 1 - Décembre 2010
Probability distribution of the emitted neutrons in the hot spot considering 12 collectrons
Interpretation of the obtained calculations:
The graph below represents the probability distribution of the emitted neutrons in the hot
spot (10, 10) having all 12 collectrons. It was obtained combining two methods: on the one
hand, we use the EPH in order to propagate the uncertainties with the distances (we deter-
mined a special formula for the “distance”); on the other hand, we use the result coming from
the deterministic method together with the uncertainties it provides. In other words, what we
have obtained is our “capacity” to reconstruct the emission in hot spot using given captors,
considering their own “capacities” and considering their proximity to the hot spot.
The characteristics are following :
13,8%Ch
23,8%Ch
750Delta
neutrons.
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
90
00
90
75
91
50
92
25
93
00
93
75
94
50
95
25
96
00
96
75
97
50
98
25
99
00
99
75
10
05
0
10
12
5
10
20
0
10
27
5
10
35
0
10
42
5
10
50
0
10
57
5
10
65
0
10
72
5
10
80
0
10
87
5
10
95
0
Pro
bab
ility
Quantity of neutrons
Probability distribution of the neutrons
SCM IRSN "Sûreté des réacteurs et information incomplète" 55
Rapport 1 - Décembre 2010
6. Analysis of the uncertainties
In this paragraph we are going to estimate the increase in the uncertainty when one or more
collectrons are considered as “unreliable”. Excluding some captors, we recompute the probabil-
ity law for the hot spot. We present the obtained characteristics :
What we use E[X] Ch1 Ch2 Delta
all 12 collectrons 9927 3,8% 3,8% 750
11coll (without 1st one) 9926 3,8% 3,8% 750
without 2nd 9932 3,8% 4,0% 775
without 3rd 9930 3,8% 3,7% 750
without 4th 9933 3,9% 3,9% 775
without 5 9922 3,8% 3,8% 750
without 6 9930 3,8% 4,0% 775
without 7 9932 3,8% 4,0% 775
without 8 9925 3,8% 3,8% 750
without 9 9930 3,8% 4,0% 775
without 10 9927 3,8% 3,8% 750
without 11 9927 3,8% 3,8% 750
without 12 9930 3,8% 3,7% 750
without 7 and 4 9938 4,2% 4,1% 825
without 7 and 6 9934 4,1% 4,2% 825
without 7 and 9 9934 4,1% 4,2% 825
The strongest impact on the probability was brought by the removing one of the four captors:
4th, 6th 7th or 9th, since they are the closest ones to the hot spot. Thereby, our capacity to recon-
struct the emission (Ch2) reduces by 0,2% if one of these captors are broken.
Random deviation from 1 4 in the range of 15%:
As well, we investigate the case of random deviation from 1 4 in the range of 15%dev that
is :1 2 3 4, , , 1 60, 1 60 with
1 2 3 40 . The characteristics of the result-
ing probabilities for the hot spot (10, 10) are the following:
SCM IRSN "Sûreté des réacteurs et information incomplète" 56
Rapport 1 - Décembre 2010
E[X] Ch1 Ch2 Delta
all 12 collectrons 9857 5,4% 5,5% 1075
without 1 9858 5,7% 5,5% 1100
without 2 9858 5,7% 5,7% 1125
without 3 9863 5,5% 5,4% 1075
without 4 9868 5,8% 5,6% 1125
without 5 9847 5,6% 5,6% 1100
without 6 9861 5,9% 5,7% 1150
without 7 9860 5,7% 5,7% 1125
without 8 9858 5,7% 5,5% 1100
without 9 9855 5,9% 5,8% 1150
without 10 9860 5,7% 5,5% 1100
without 11 9855 5,6% 5,5% 1100
without 12 9856 5,6% 5,8% 1125
without 7 and 4 9872 6,3% 5,9% 1200
without 7 and 6 9863 6,2% 6,0% 1200
without 7 and 9 9857 6,2% 6,0% 1200
The characteristics 1
Ch and
2Ch have overstepped the threshold 5%.
Random deviation from 1 4 in the range of 20%:
E[X] Ch1 Ch2 Delta
all 12 collectrons 9728 7,0% 7,4% 1400
without 1 9738 7,3% 7,6% 1450
without 2 9734 7,3% 7,9% 1475
without 3 9741 7,3% 7,8% 1475
without 4 9739 7,3% 7,8% 1475
without 5 9724 7,2% 7,7% 1450
without 6 9721 7,4% 8,0% 1500
without 7 9733 7,5% 7,6% 1475
without 8 9729 7,2% 7,7% 1450
without 9 9727 7,2% 7,7% 1450
without 10 9739 7,3% 7,6% 1450
without 11 9722 7,4% 7,7% 1475
without 12 9735 7,0% 7,6% 1425
without 7 and 4 9744 8,2% 8,3% 1600
without 7 and 6 9724 8,2% 8,5% 1625
without 7 and 9 9731 8,0% 8,2% 1575
Conclusion: with the increase of deviation by 5%, the dispersion (in our case 2
Ch ) is augment-
ing on the average by 1,8%. Together with this phenomenon, we observe that the higher devia-
SCM IRSN "Sûreté des réacteurs et information incomplète" 57
Rapport 1 - Décembre 2010
tion “shifts” the mathematical expectation to the left of 10 000. Example: probability law for
reconstruction for the 7th captor in the case of several deviations:
7. Considering other hot spots
As we mentioned above, hot spot could appear only at certain canes. We have four candidates
at the centre of core: (8; 8), (8; 10), (10; 8), (10; 10), and eight ones at the border: (4; 3), (3; 4),
(3; 14), (4; 15), (14; 3), (15; 4), (15; 14), (14; 15).
The central hot spots are symmetric relative to the disposition of collectrons, that is (10, 10) is
identical to (8, 8), and (10, 8) is the same as (8, 10). Performing the similar computations for
(10, 8) ( 10%dev ) we established that the result is similar to (10,10):
0
0,002
0,004
0,006
0,008
0,01
0,012
0,014
0,016
0,018
0,02
50
00
53
25
56
50
59
75
63
00
66
25
69
50
72
75
76
00
79
25
82
50
85
75
89
00
92
25
95
50
98
75
10
20
0
10
52
5
10
85
0
11
17
5
11
50
0
11
82
5
12
15
0
12
47
5
12
80
0
13
12
5
13
45
0
13
77
5
14
10
0
14
42
5
14
75
0
Pro
bab
ility
Quantity of neutrons
Probability laws for reconstruction
10%
15%
20%
SCM IRSN "Sûreté des réacteurs et information incomplète" 58
Rapport 1 - Décembre 2010
E[X] Ch1 Ch2 Delta
all 12 collectrons 9944 3,5% 3,3% 675
without 1 9950 3,8% 3,5% 725
without 2 9946 3,7% 3,6% 725
without 3 9948 3,8% 3,5% 725
without 4 9948 3,8% 3,5% 725
without 5 9937 3,6% 3,7% 725
without 6 9938 3,6% 3,6% 725
without 7 9947 3,7% 3,8% 750
without 8 9943 3,7% 3,6% 725
without 9 9941 3,7% 3,6% 725
without 10 9945 3,7% 3,6% 725
without 11 9939 3,7% 3,6% 725
without 12 9948 3,8% 3,5% 725
without 7 and 4 9952 4,3% 4,0% 825
without 7 and 6 9941 4,2% 4,1% 825
without 7 and 9 9945 4,0% 4,1% 800
The hot spots situated at a border achieve a diverse position with respect to the captors. We
are going to investigate the points (4; 3), (3; 4), (14; 3) and (15; 4), the rest is just symmetric to
them.
Boundary hot spot (4, 3) ( 10%dev ):
E[X] Ch1 Ch2 Delta
all 12 collectrons 9954 5,1% 4,7% 975
without 1 9953 5,3% 5,0% 1025
without 2 9955 5,8% 5,7% 1150
without 3 9951 5,0% 5,0% 1000
without 4 9953 5,1% 5,0% 1000
without 5 9959 5,4% 5,2% 1050
without 6 9955 5,3% 5,2% 1050
without 7 9953 5,1% 4,7% 975
without 8 9953 5,1% 4,7% 975
without 9 9953 5,1% 5,0% 1000
without 10 9961 5,1% 4,9% 1000
without 11 9953 5,1% 4,7% 975
without 12 9954 5,1% 5,0% 1000
without 2 and 1 9955 6,3% 6,0% 1225
without 2 and 4 9954 6,1% 6,0% 1200
SCM IRSN "Sûreté des réacteurs et information incomplète" 59
Rapport 1 - Décembre 2010
Boundary hot spot (3, 4):
E[X] Ch1 Ch2 Delta
all 12 collectrons 9949 5,0% 5,0% 1000
without 1 9954 5,3% 5,2% 1050
without 2 9952 5,5% 5,5% 1100
without 3 9947 5,3% 5,3% 1050
without 4 9951 5,3% 5,3% 1050
without 5 9957 5,6% 5,4% 1100
without 6 9948 5,5% 5,5% 1100
without 7 9948 5,0% 5,0% 1000
without 8 9948 5,0% 5,0% 1000
without 9 9945 5,2% 5,3% 1050
without 10 9955 5,3% 5,2% 1050
without 11 9948 5,0% 5,0% 1000
without 12 9948 5,3% 5,0% 1025
without 2 and 1 9957 6,1% 6,0% 1200
without 2 and 4 9954 5,8% 5,7% 1150
Boundary hot spot (14, 3):
E[X] Ch1 Ch2 Delta
all 12 collectrons 9940 5,2% 5,1% 1025
without 1 9943 5,5% 5,6% 1100
without 2 9939 5,4% 5,4% 1075
without 3 9947 6,0% 5,8% 1175
without 4 9944 5,5% 5,6% 1100
without 5 9940 5,2% 5,1% 1025
without 6 9940 5,2% 5,1% 1025
without 7 9944 5,5% 5,3% 1075
without 8 9946 5,5% 5,6% 1100
without 9 9940 5,2% 5,1% 1025
without 10 9940 5,2% 5,1% 1025
without 11 9942 5,5% 5,4% 1075
without 12 9940 5,2% 5,1% 1025
without 3 and 1 9951 6,5% 6,8% 1325
without 3 and 4 9951 6,5% 6,5% 1300
Conclusion:
The border hot spots hold less favorable position in comparison with the central ones. Thus, if
the closest to them captors fail, then the dispersion increases considerably.
The evaluation of the variance for the hot spot (15, 4) cannot be analysed by means of EHP. Its
position coincides with the location of the collectron. So, by rule of EHP, there is only one cap-
SCM IRSN "Sûreté des réacteurs et information incomplète" 60
Rapport 1 - Décembre 2010
tor which figures in the construction, in our case it is the 3rd one with the following characte-
ristics:
13,1%Ch
22,9%Ch
600Delta
neutrons.
8. Coefficients of multiplication
The coefficients of multiplication of the material ( , )i j
could also admit some uncertainties. We
fix it as 2,5% from already calculated coefficients and we explore how this will affect the
result.
At this point, we choose randomly some value in the interval ( , ) ( , )
0,975; 1,025i j i j
for each
coefficient and we recompute the resulting probability for the hot spot, following all procedure
from the very beginning. Repeating this operation a certain number of times (we could per-
formed just 20 times because of long duration of the computations), we compare the obtained
resulting probabilities with the initial one (having the original coefficients).
Thus, considering all 12 collectrons, we build the probability laws for the hot spot (10,10) with
10%dev , changing every time all coefficients of multiplication in mentioned limits. We ob-
serve how the characteristics 1
Ch and
2Ch are varying with these 20 experiments :
Ch1 Ch2
12 collectrons (with the original coefficients) 3,8% 3,8%
experimmax iCh Ch 1,...,20i 0,24% 0,30%
20
experim1
20
i
i
Ch Chaverage
0,08% 0,13%
SCM IRSN "Sûreté des réacteurs et information incomplète" 61
Rapport 1 - Décembre 2010
B. Computation in three-dimensional space
Above we presented the structure of the discritazed nuclear core in the 3 dimensional space:
each loop has the width and the length equal 21,5 cm each with the 12 captors in a horizontal
plane, and with the height equal 60 cm with 6 captors in a vertical plane. In total we dispose
of 72 collectrons.
21,5 cm
21,5 cm 121,5 21,5 462,25S 2cm
221,5 60 1290S 2cm
60cm
The repartition of neutrons in a case 2D was uniform since the width and the length coincide.
In 3D we are going to study two cases:
- Cube-repartition: namely it gives a fraction 1 6 to each of six neighbours.
- Parallelepiped-repartition in proportion to the areas of the sides of parallelepiped,
namely it gives a fraction 1290
0,2126084,5
to the south, north, east and west directions;
and it gives 462,25
0,0766084,5
to the upper and lower neighbours.
The procedure is the same as in 2D. First, we count the quantity of neutrons which will be
received by each collectron in a case of isotropic emission. We start with the hot spot (10, 10, 3)
which emits 10 000 neutrons. In the graph below we present obtained quantities:
SCM IRSN "Sûreté des réacteurs et information incomplète" 62
Rapport 1 - Décembre 2010
X-axis represents the collectrons in the following order: 1st array (which contains the 1st collec-
tron in 2D), 2nd array and so on.
We can notice that in a case of parallelepiped-repartition, the captors which are situated on
the same “plane” with the hot spot collect much more neutrons than in a cube-repartition case,
whereas the other captors keep the same quantity. We will see the impact on the resulting
probability considering these two situations.
We start an investigation of the uncertainties admitting the deviation from 1/4 by 10%:
10%dev . Relying on 20 000 samples we build the table of condition probability for each
collectron. Below we present the “probability laws for reconstructions” for the collectron7_3
with coordinate (12, 9, 3) and collectron1_3 with coordinate (11, 2, 3):
So, for the collectron7_3 : 18,2%,Ch
28,3%,Ch
1650Delta
neutrons.
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
Coll
ect
ron
1_1
Coll
ect
ron
1_3
Coll
ect
ron
1_5
Coll
ect
ron
2_1
Coll
ect
ron
2_3
Coll
ect
ron
2_5
Coll
ect
ron
3_1
Coll
ect
ron
3_3
Coll
ect
ron
3_5
Coll
ect
ron
4_1
Coll
ect
ron
4_3
Coll
ect
ron
4_5
Coll
ect
ron
5_1
Coll
ect
ron
5_3
Coll
ect
ron
5_5
Coll
ect
ron
6_1
Coll
ect
ron
6_3
Coll
ect
ron
6_5
Coll
ect
ron
7_1
Coll
ect
ron
7_3
Coll
ect
ron
7_5
Coll
ect
ron
8_1
Coll
ect
ron
8_3
Coll
ect
ron
8_5
Coll
ect
ron
9_1
Coll
ect
ron
9_3
Coll
ect
ron
9_5
Coll
ect
ron
10
_1
Coll
ect
ron
10
_3
Coll
ect
ron
10
_5
Coll
ect
ron
11
_1
Coll
ect
ron
11
_3
Coll
ect
ron
11
_5
Coll
ect
ron
12
_1
Coll
ect
ron
12
_3
Coll
ect
ron
12
_5
Qu
an
tity
of
the
ne
uto
ns
Collectrons
Isotropic emission of the neutrons, hot spot (10, 10, 3)
Cube-repartition
Parallelepiped-repartition
0,000
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
78
00
79
50
81
00
82
50
84
00
85
50
87
00
88
50
90
00
91
50
93
00
94
50
96
00
97
50
99
00
10
05
0
10
20
0
10
35
0
10
50
0
10
65
0
10
80
0
10
95
0
11
10
0
11
25
0
11
40
0
11
55
0
11
70
0
11
85
0
12
00
0
12
15
0
12
30
0
Pro
bab
ility
Quantity of neutrons
Probability laws for reconstuction
Collectron7_3
Collectron1_3
SCM IRSN "Sûreté des réacteurs et information incomplète" 63
Rapport 1 - Décembre 2010
For the collectron1_3 : 110,9%,Ch
210,8%,Ch
2175Delta
neutrons.
We laid on this example purposely. It is interesting to see how the “capacity” of each separate
collectron is changing passing from 2D to 3D. Recall that:
For the 7th collectron in 2D : 19,1%Ch
211,3%Ch
2025Delta
neutrons.
For the 1st collectron in 2D : 112,6%Ch
214,3%Ch
2675Delta
neutrons
So, comparing the results, we found out that the reconstruction of the hot spot value from the
same captors gets better in 3D.
Sensibility test
In order to study the sensibility of the obtained reconstruction depending from a number of
samples we generate, we rely by turns on 1 000, 5 000, 10 000 and 20 000 samples. We com-
pare obtained probabilities (Ch2) calculating a difference :
Number of the samples Difference in probability
2 2Ch Ch
1 000 0,3%
5 000 0,1%
10 000 0,07%
20 000 0,01%
Thus, considering 20 000 samples the error will be less than 0,01%
Computing a resulting probability law for the hot spot (10, 10, 3), 10%dev :
Blue color represents the probability which was obtained supposing a cube-repartition; red
color – parallelepiped-repartition.
0,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
0,16
0,18
97
00
97
25
97
50
97
75
98
00
98
25
98
50
98
75
99
00
99
25
99
50
99
75
10
00
0
10
02
5
10
05
0
10
07
5
10
10
0
10
12
5
10
15
0
10
17
5
10
20
0
10
22
5
10
25
0
10
27
5
Pro
ba
bil
ity
Quantity of neutrons
Probability distribution of the neutrons
SCM IRSN "Sûreté des réacteurs et information incomplète" 64
Rapport 1 - Décembre 2010
The characteristics are the following :
E[X] Ch1 Ch2 Delta
Cube-repartition 9973 1,2% 1,0% 225
Parallelepiped-repartition 9986 1,1% 0,9% 200
We note that a probability law “parallelepiped-repartition” shows less uncertainty and it re-
constructs more accurate the hot spot value, namely, its mathematical expectation is closer to
10 000).
So, hereinafter we will consider the “parallelepiped-repartition”.
1. Analysis of the uncertainties
Next, we eliminate the closest captors to the hot spot and we will see how this breakdown will
affect the quality of the reconstruction.
E[X] Ch1 Ch2 Delta
72 collectrons 9986 1,11% 0,89% 200
Without Collectron7_3 9987 1,12% 0,88% 200
Without 7_3; 7_2; 4_3 and 9_3 9984 1,19% 0,92% 225
Without 7th array 9983 1,34% 1,01% 250
Conclusion:
The breakdown of one captor (even the closest one) does not affect so much the reconstruction
of the hot spot value. Removing whole array (it could happen) we obtain the same increase of
uncertainty when we delete the 7th collectron in a 2D case.
Random deviation from 1 4 in the range of 15%:
E[X] Ch1 Ch2 Delta
72 collectrons 9953 1,63% 1,54% 325
Coefficients of multiplication, 10%dev
Changing the coefficients of multiplication in a range of 2,5% from their original values and
recomputing the probability law of reconstruction, we see that the difference between the
characteristics (Ch2) makes only 0,05%.
SCM IRSN "Sûreté des réacteurs et information incomplète" 65
Rapport 1 - Décembre 2010
Références
[1] MR1897456 (2003e:68126) Beauzamy, Bernard The complexity of retina operators. J. Appl.
Math. 2 (2002), no. 1, 23--50. 68T45