ÉLIEInst

itu

t

CARTANNancy

Rapport 2013 : Projet High-BRID

1

Titre : HIgh-BRID : hybridisation de méthodes numériques standards et de l’analyse micro-locale pour la diffraction acoustique et électromagnétique à haute fréquence. Applications à laconstruction de formulations variationnelles adaptées etde préconditionneurs analytiques.

Doctorant :Ibrahim ZANGREPhD student (http://www.iecn.u-nancy.fr/~zangre/)Institut Elie Cartan de Lorraine1 UMR 7502,Université de LorraineEquipe INRIA CORIDA, Bureau 126, BP 239,F-54506 Cedex F-54506 Cedex, France

Directeurs de Thèse :

Laboratoire 1Prof. Xavier ANTOINE (http://www.iecn.u-nancy.fr/~antoine/)Institut Elie Cartan Nancy, UMR 7502 Université Henri Poincaré, Nancy 1/ CNRSEquipe INRIA ALICE, Bureau 301, BP 239,F-54506 Cedex F-54506 Cedex, France&Ecole Nationale Supérieure des Mines de NancyDépartement de Génie Industriel et Mathématiques AppliquéesBureau R 429, Campus ARTEM, CS 14 234,54042 Nancy cedex

Laboratoire 2Prof. Christophe GEUZAINE (http://www.montefiore.ulg.ac.be/~geuzaine/)University of Liège, Department of Electrical Engineeringand Computer ScienceMontefiore InstituteSart-Tilman, Blg. B28, Parking P32B-4000 Liège, Belgium

Collaborateur extérieur :Prof. Yousef SAAD (http://www-users.cs.umn.edu/~saad/)Department of Computer Science and EngineeringUniversity of MinnesotaMinneapolis, MN 55455, USA

Financement de la thèse :Fondation d’Entreprise EADS (www.fondation.eads.net)Contrat de bourse de Thèse Réf : 089-1009-1006 du 02/11/2010entre− la Fondation d’Entreprise EADS,

1. http://iecl.univ-lorraine.fr/

2

− le CNRS,− l’Université Henri Poincaré (UHP) Nancy 1 et− l’Université de Liège (ULg).

3

Sommaire

1 Inscriptions 5

2 Séjours à l’étranger - Collaborations 5

3 Résumé des travaux 53.1 Méthode de réduction de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 53.2 Techniques d’approximation de la phase . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 73.3 Fast Marching Method (FMM) pour l’équation eikonale . . .. . . . . . . . . . . 9

3.3.1 FMM : discrétisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .103.3.2 Exemples numériques de calcul de phase . . . . . . . . . . . . .. . . . 123.3.3 Exemples numériques de calcul de la solution . . . . . . . .. . . . . . . 12

4 Plan détaillé du mémoire de thèse 17

5 Financement du post-doctorat 17

4

1 Inscriptions

• Université de Lorraine : inscription en4ième année en cours pour 2013-2014• Université de Liège :3ième inscription pour 2013-2014 à la formation doctoraleSciences

de l’Ingénieur(Electricité & Electronique) dans le cadre de la cotutelle.

2 Séjours à l’étranger - Collaborations

• 17 - 27 Avril 2013 : séjour à Minneapolis (Department of Computer Science & Enginee-ring, University of Minnesota). Collaborateur : Prof. Yousef SAAD.

• 03 - 08 Juin 2013 : séjour à Liège (ACE, Institut Montéfiore, Université de Liège)Superviseur : Prof. Christophe GEUZAINE.

3 Résumé des travaux

Nous considérons ici le problème de diffraction acoustiqueen régime harmonique gouvernépar l’équation de Helmholtz. Désignons parΩ− ⊂ R

d, d = 2 ou 3, de frontièreΓ, le domaine del’objet diffractant et on considère une onde acoustique incidenteuinc donnée. Nous approchonsle problème de diffraction en domaine extérieur (infini) partroncature. Il en résulte un problèmeaux limites posé dans un domaine bornéΩ dont la frontière intérieure estΓ et celle extérieureestΣ sur laquelle on impose une Condition aux Limites Artificielle (CLA). Le problème tronqués’écrit :

Trouveru ∈ H1(Ω) tel que−∆u − k2u = 0 dans Ω

u = f := uinc ou∂nΓ

u = g := −∂nΓuinc sur Γ

∂nΣu + Bu = 0 sur Σ

(1)

La résolution numérique du problème précédent, par exemplepar une méthode d’éléments finis(FEM) rencontre deux difficultés majeures :

1. La pollution numériquedue à la discrétisation FEM en haute fréquence : ce qui requiert unnombre important de noeuds de discrétisation (densité) parlongueur d’onde pour obtenirune certaine précision ; cela augmente considérablement lataille des systèmes linéaires àrésoudre.

2. Le caractère indéfinide l’opérateur de Helmholtz : en haute fréquence, l’opérateur deHelmholtz discret est non défini positif, ce qui pénalise la convergence des solveurs itéra-tifs.

3.1 Méthode de réduction de phase

La difficulté 1 est due au fait que l’on approche une solution très fortementoscillante pardes polynômes dans la FEM. Pour surmonter cette difficulté, certains travaux ont proposé de

5

remplacer la base polynômiale de la FEM par une base d’ondes planes.Ce qui va nous intéresser ici, c’est la méthode consistant à calculer la solution en deux temps :– Un pré-calcul pour approcher la phaseφ deu par φ : "la partie fortement oscillante" de

la solution– Reformuler ensuite le problème pour calculerl’enveloppe d’onde de la solution qui,

puisquefaiblement oscillante, peut être approchée de manière plus précise par une FEMstandard.

Cette procédure est appeléeréduction de phase (PR-FEM)et a été utilisée avec succès dans[?] pour surmonter ladifficulté 1. Elle est ainsi basée sur la représentation de la solution sous laforme suivante

u(x) = ar(x)eikφ(x) (2)

Avec la représentation précédente, dite de Rytov, il suffit d’obtenir une assez bonne approxima-tion φ de la phase pour ensuite approcher l’enveloppe d’onde de manière précise avec une faibledensité de discrétisation. Ainsi, on a :u = are

ikφ = areik(φ−φ)eikφ = aeikφ, aveca = are

ik(φ−φ),l’approximation de l’enveloppe d’onde qui vérifie l’équation suivante :

− ∆a − 2ik∇φ · ∇a − ika∆φ − k2(1 − |∇φ|2)a = 0 (3)

Dans la suite, la phase approchéeφ sera notéeφ pour simplifier la notation. Nous utiliserons lacondition absorbante d’ordre 2 de Bayliss-Gunzburger-Turkel (BGT2) donnée par

∂nΣu + Bu = 0 sur Σ (4)

où l’opérateur de frontièreB est donné par

Bu = divΣ(A∇Σu) − βu sur Σ (5)

où A est un tenseur etβ une constante. La formulation variationnelle du problème (1) avec unecondition de Neumann surΓ consiste à trouveru ∈ H1(Ω) telle que

A(u, v) = L(v), ∀v ∈ H1(Ω)A(u, v) = (∇u, ∇v)0,Ω − k2(u, v)0,Ω + (A∇Σu, ∇Σv)0,Σ + (βu, v)0,Σ

L(v) = (g, v)0,Γ

(6)

La discrétisation du problème variationnel précédent par une FEM conduit au système linéairesuivant

Huh := (S − k2M + B)uh = bh (7)

En remplaçantu paraeikφ dans (6),v est remplaçée parbeikφ et on a

Trouver a ∈ H1(Ω) telle que :A (a, b) = L (b), ∀b ∈ H1(Ω)

(8)

avec

A (a, b) = (∇a, ∇b)0,Ω + ik [(a∇φ, ∇b)0,Ω − (∇a, b∇φ)0,Ω] − k2((1 − |∇φ|2)a, b)0,Ω

+ik [((A∇Σφ)a, ∇Σb)0,Σ − (A∇Σa, b∇Σφ)0,Σ]+k2((A∇Σφ, ∇Σφ)a, b)0,Σ + (βa, b)0,Σ

L (b) = (ge−ikφ, b)0,Γ

(9)

6

La résolution du problème variationnel (8) est à peine plus compliquée que celle du problèmeinitial. Sa discrétisation numérique par une méthode d’éléments finis ainsi que son implémen-tation découlent simplement de celles du problème initial.On peut d’ailleurs aller encore plusloin en montrant que ces deux problèmes, (8) et (6) sont spectralement équivalents dans le sensde la résolution itérative des systèmes linéaires qui en résultent. Cela a fait l’objet de travauxprécédents. Ainsi, pour que le coût global (en termes de temps de calculs et de ressources enmémoire) de la méthode de réduction de phase ne soit pas excessif, nous allons être intéresséspar des méthodes robustes, rapides et précises pour l’approximation de la phase.

3.2 Techniques d’approximation de la phase

Notre point de départ est l’article de Antoine et Geuzaine [?], qui sera aussi notre principaleréférence sur la technique de réduction de phase. Deux principales stratégies ont été proposéespour l’approximation numérique de la phase.

• Méthode OSRC (On-Surface Radiation Condition). Cette approche est basée sur destechniques d’approximations d’opérateurs pseudodifférentiels, en l’occurrence l’opérateurDirichlet-to-Neumann (DtN). Elle consiste à chercher une approximation du champ dif-fractéu dansΩ sous la forme

u = a(x)eikφ(x), (10)

et ensuite à extraire sa phaseφ pour l’injecter dans la nouvelle formulation variationnelle(8). L’étape d’approximation considère queu est solution d’un problème d’évolution (pro-pagateur) avec une condition initiale poséeu0 surΓ (starter). Cette procédure se résumeen deux points essentiels :

(1) Construction du starter: dans le cas d’une condition de Dirichlet, la donnée initiale(ou starter) est directement donnée sans calculs supplémentaires paru0 = f sur Γ. Ce-pendant, dans le cas d’une condition de Neumann, l’obtention du starter passe par uneapproximation de la donnée de Dirichlet par l’intermédiaire de l’opérateur DtN. Commecelui-ci est un opérateur non local (en dimension 2 ou 3), on utilise une technique de loca-lisation à l’aide, par exemple, d’une méthode d’approximation de Padé. Nous renvoyons à[?] pour plus de détails sur cette procédure.

(2) Construction du propagateur: le principe ici est d’appliquer lapartie radiativedel’opérateur de Helmholtz sur la donnée initiale pour lapropagerdans le domaine extérieur.Pour ce faire, une factorisation de l’opérateur de Helmholtz est nécessaire. En dimension2 ou 3, cette procédure est fastidieuse car la factorisationnécessite de re-exprimer l’opé-rateur de Helmholtz sur une frontière courbe en faisant appel à des outils de géométriedifférentielle et d’analyse microlocale (en l’occurrencele calcul symbolique dans le cadredes opérateurs pseudodifférentiels). De plus, lepropagateurest le plus souvent un opéra-teur non local, qu’il faut localiser.

7

On est limité en pratique par deux points importants. Le premier étant que la frontièreΓ doit être convexe. Ce qui exclut déjà un nombre important de situations intéressantescomme le cas des objets avec cavités. La seconde limite concerne l’ordre d’approximation(avec Padé par exemple) des opérateurs dans la procédure de localisation, non seulementpour lestartermais aussi pour lepropagateur. La localisation de l’opérateur DtN (dans lecas d’une condition de Neumann) pour lestarterpeut se faire aisément avec une approxi-mation d’ordre élevé car, dans ce cas, l’opérateur est approché en surface, ce qui n’est ensomme, pas excessivement coûteux. Cependant, dans la construction dupropagateur, cettelocalisation a lieu en volume, ce qui est très couteux. Le plus souvent, on se contente d’uneapproximation avec l’ordre le plus bas (ordre 1 par exemple). Dans ce cas, on limite aussila construction dustarter au même ordre car, même s’il est possible de monter en ordrepour celui-ci, on n’est pas sans savoir que l’ordre global duschémastarter+ propagateurest réduit à l’ordre le plus bas de toute la procédure. Ce qui réduit considérablement laprécision de cette méthode, surtout en haute fréquence.Néanmoins, les précédents travaux de Antoine et Geuzaine [?, ?, ?, ?] en matière de tech-niques d’approximations et de localisation des opérateurspar l’analyse microlocale ainsiqu’en matière de codes de simulations en acoustique et électromagnétisme, à travers les lo-giciels Gmsh et GetDP [?, ?] permettent la mise en oeuvre rapide de cette technique. Celaa d’ailleurs permis d’illustrer avec succès dans [?] l’efficacité de la méthode de réductionde phase.

• Résolution de l’équation eikonale.Une alternative à la technique précédente pour obtenirla phase de l’onde diffractée, est de résoudre l’équation eikonale

|∇φ(x)|2 = 1, x ∈ Ω. (11)

Un avantage considérable de cette méthode est qu’elle ne requiert plus la convexité de lafrontièreΓ. En plus, il est prouvé numériquement dans [?] que cette manière de calculerla phase est plus précise et améliore significativement la performance de la méthode de ré-duction de phase. En effet, étant donné que la phase est bien approchée, l’enveloppe d’onderésultante est très faiblement oscillante et donc très bienapprochée par la FEM. Ainsi laPR-FEM devient faiblement sensible à la pollution numérique même en haute fréquence.La conséquence d’un tel résultat est qu’on peut résoudre le problème de Helmholtz en trèshaute fréquence avec une faible densité de discrétisation géométrique du domaine. Dèslors, on peut commencer à envisager la résolution de certains problèmes réalistes.

Cependant, la non linéarité de l’équation eikonale (11) estune difficulté qu’il va falloird’abord surmonter. De plus, il s’agit d’une équation en volume, et sa résolution directe pardes schémas non linéaires standards peut être aussi difficile et couteuse que celle du pro-blème initiale. Par exemple, les méthodes itératives de type Newton, utilisées dans [?] pourrésoudre cette équation ne sont pas robustes et ne convergent pas dans toutes les configu-rations.

8

Nous proposons dans cette étude une stratégie de résolutionde cette équation avec unschéma rapide de typeFast Marching Method(FMM) [?]. L’avantage d’un tel schémaest qu’il est très peu couteux, d’une complexité enO(N log N) (si N est le nombre d’in-connues) du problème (on peut même réduire cette complexitéen O(N) en optimisantl’implémentation). De plus, ce schéma est très robuste car toujours convergeant. Ainsi, savitesse de convergence et sa robustesse font que la FMM est une méthode attractive quenous adoptons pour l’étape de calcul de la phase dans la PR-FEM.

Dans le cas des objets avec cavité, nous utilisons une stratégie deraffinement local dumaillagecar, dans ce cas, les phénomène de résonance perturbent la bonne approximationde la phase. Tout se passe comme si on résolvait le problème initial en raffinement loca-lement le maillage dans la concavité. La réduction de phase intervient seulement dans lesrégions assez hors des zones de perturbation.

Plusieurs autres stratégies sont envisageables pour exploiter le potentiel que présente laPR-FEM dès lors que l’on dispose d’une méthode pour approcher assez efficacement laphase. Il s’agit entre autres des méthodes de décompositionde domaines et des méthodesde préconditionnement pour la PR-FEM (sujet du rapport EADSprécédent) dont le cou-plage avec la PR-FEM serait une avancée considérable dans laperspective de proposer unsolveur général très robuste pour les problèmes de diffraction. Cela fera l’objet de déve-loppement en cours.

3.3 Fast Marching Method (FMM) pour l’équation eikonale

Cette méthode a été introduite par Sethian [?] pour résoudre des EDPs non linéaires station-naires, de type Hamilton-Jacobi

H(x, ∇φ) = F (x) dans Ω

φ(x) = φ0(x) sur Γ0(12)

Dans le cas de l’équation eikonale, on a :H = |∇φ|2. La fonctionF est supposée strictementpositive. L’équation eikonale s’écrit donc

|∇φ(x)|2 = F (x) dans Ω

φ(x) = φ0(x) sur Γ0(13)

Elle modélise en général la propagation d’un front d’onde avec une vitesse1/F (x) dansΩ, àpartir d’un front initial sur frontièreΓ0. Ainsi, φ0 représente la condition initiale.Tout comme la technique d’OSRC, la FMM approche la valeur deφ en suivant le sens de lapropagation du front d’onde.Nous présenterons par la suite la méthode de discrétisationde l’équation eikonale dans le casd’un problème en dimension 2 (en l’occurrence un domaine rectangulaire) avec un maillage car-tésien, ainsi que le schéma itératif général de la FMM.

9

3.3.1 FMM : discrétisation

Nous exposons ici la discrétisation de l’équation eikonaledans le cas d’un problème 2D avecun maillage cartésien uniforme dont le pas est notéh. La FMM est un schéma de type upwind, cequi assure sa stabilité. Nous noteronsx = (x, y), la coordonnée d’espace. Le terme non linéairedu gradient est discrétisé avec le schéma upwind d’ordre 1 suivant

|∇φ(xij)|2 ≃

[max(D−x

ij φ, −D+xij φ)2 + max(D−y

ij φ, −D+yij φ)2

]= F 2

ij (14)

où D±xij et D±y

ij sont les opérateurs de différences finies d’ordre 1 définis par

D−xij φ =

φi−1,j − φij

h, D+x

ij φ =φi+1,j − φij

h,

D−yij φ =

φi,j−1 − φij

h, D+y

ij φ =φi,j+1 − φij

h.

(15)

Les valeursφi−1j sont calculées en suivant l’évolution du front d’onde selonl’algorithme suivant

Algorithm 1: Algorithme du Fast Marching Method [?]

1 Initializations ;2 Initial front Γ0 nodes are tagged as Accepted3 Setφij = +∞ for the other nodes4 Tag neighbor nodes ofAcceptednodes asNarrow-Band5 The other nodes are tagged asFar-Away6 Compute the values for allNarrow-Band nodes using the relation in (14);7 Forward Marching ;8 repeat9 Let φiminjmin

be the smallest value of allNarrow-Band nodes ;10 Tag this node asAccepted;11 Remove it from theNarrow-Band set ;12 Tag all its non-Acceptedneighbors asNarrow-Band ;13 for tout noeudxij voisin deximinjmin

do14 if xij is Far-Away then15 Remove it fromFar-Away ;16 Tag it asNarrow-Band ;17 Compute the value ofφij, using (14) ;

18 if xij is Narrow-Band then19 Updateφij by re-computing its value ;

20 until all nodes areAccepted;

10

Narrow Band

Initial Front Γ0 Values

Accepted Values

Narrow Band Trial Values

Far Away Values

FIGURE 1 – Construction upwind des valeurs acceptées.

Remarque 1.

1. La discrétisation en dimension 3 pour un maillage cartésien découle directement de cellede la dimension 2.

2. La FMM a été adaptée pour le cas de maillages non structurés, comme par exemple desmaillages triangulaires en dimension 2 et des maillages tétraédriques en dimension 3. Cesdifférents schémas ont été implémentés (dimension 2 et 3, maillages structurés et non struc-turés) en C++ durant la thèse et le code est couplé avec GetDP pour calculer rapidementla phase et l’injecter dans la formulation réduite.

3. A la ligne 9de l’algorithme précédent, on a besoin du minimum sur l’ensemble des noeudsNarrow-Band. Cette étape de recherche du minimum est la plus cruciale dans le schéma dela FMM. Des techniques detri en tassont utilisées pour optimiser cette étape. La recherchede minimum dans un ensemble borné de cardinalN avec un algorithme de typeMin-Heapest en général d’une complexité enO(log N). D’où la complexité enO(N log N), car lesnoeuds sont acceptés les uns après les autres. Une fois qu’unnoeud a été accepté, onn’y "touche" plus. Il servira seulement à mettre à jour ses voisins. Il existe des variantesde recherche du minimum à coût constant, c’est à dire enO(1). Ce qui peut réduire lacomplexité globale du schéma àO(N). On montre que les valeurs calculées en suivant cetalgorithme constituent une solution qui converge vers la solution exacte.

11

3.3.2 Exemples numériques de calcul de phase

Nous présentons ici quelques exemples de calcul de phase avec des objects diffractants endimension 2 et 3. On considère que l’onde incidente est une onde plane donnée par

uinc(x) = eikd·x,

où d est la direction d’incidence donnée en dimension 2 par exemple par

d = (cos(θ), sin(θ)),

où θ est l’angle d’incidence.

3.3.3 Exemples numériques de calcul de la solution

Exemple 1 : domaine non convexe 2D.On considère un obstacle diffractant non convexe (cf. figure3) éclairée par une onde incidenteà une fréquencek = 5π. Le problème de diffraction est alors résolu sur une grille très fine(nλ = 60) pour servir de solution de référence, cf. figure 4(a), avec un nombre d’inconnuesnh = 729, 580.

Dans un premier temps, on calcule la solution avec les méthodes FEM et PR-FEM en utili-sant un raffinement très grossier du domaine (nλ = 5 et nh = 5, 603). Comme on pouvait s’yattendre, le champ calculé par la FEM sur le maillage grossier, cf. figure 4(b), est déphasé parrapport à la solution de référence à l’extérieur de la "zone de diffraction multiple", délimitée parl’objet non convexe et l’arc de cercle en pointillés sur la figure 3(a). La PR-FEM, quant à elle,permet d’éviter ce problème de déphasage à l’extérieur avecun maillage grossier, cf. figure 4(c).Cependant, le phénomène de la diffraction multiple dans la zone délimitée ci-dessus rend cesdeux méthodes inefficaces sur un maillage grossier.

Ainsi, pour surmonter le problème de la diffraction multiple, on propose d’utiliser un maillagetrès fin dans la zone délimitée avecnλ = 60 et de garder le maillage grossier à l’extérieur. Lenombre d’inconnues du problème est alors porté ành = 52, 502. Ce raffinement a pour consé-quence, une bonne approximation de la solution pour la FEM etla PRFEM, cf. figures 4(d) et4(e) respectivement. Toutefois la FEM induit toujours un déphasage du champ approché par rap-port à la solution de référence ; ce qui n’est pas le cas de la PRFEM qui permet d’approcher assez"correctement" la solution à moindre coût. On obtient ainsiun gain d’un facteur au moins égal à13 (sur ce cas) en termes du nombre d’inconnues nécessaires pour atteindre quasiment la mêmeprécision qu’avec la solution de référence.

Exemple 2 : cavité 2D de type guide d’ondeNous présentons ici un exemple en dimension 2 où l’obstacle diffraction est la cavité 2D, avecune onde incidente comme sur la figure 2(d). Le nombre d’onde utilisé estk = 10π. Nouspouvons appliquer la réduction de phase grâce à la FMM qui nous permet de calculer la phase

12

uinc

(a) 2D - Cavité

uinc

(b) 2D - Cavité

uinc

(c) 2D - Cavité

uinc

(d) 2D - Cavité

uinc

(e) 2D - 2 Disques (f) 3D - Sphère

FIGURE 2 – Phase calculée avec la FMM en dimension 2 et 3 ; En (a)-(d) l’obstacle diffractant estune cavité 2D. En (e), on une diffration multiple par deux disques unitaires. La figure (e) montrela phase de la solution dans le cas de la diffraction par une sphère unitaire. Dans les cas (a) et (e),l’angle d’incidence estθ = 0, en (b)θ = −π/4, en (c)θ = π, en (d)θ = 3π/4. Dans le cas de lasphère, l’angle d’incidence n’a aucune influence car le problème est à symétrie sphérique ; nousavons pratiqué une coupe suivant le plan(x, y).

très rapidement même pour un nombre d’inconnues très élevé.Nous considérons la solutioncalculée avec la FEM sur un maillage très fin (nλ = 60) comme une solution de référence. Nouscomparons à cette solution de référence (avec un nombre d’inconnuesnh = 2, 972, 296)

– les solution FEM et PRFEM calculées sur un maillage grossier (nλ = 5) avec un nombre

13

uinc

(a) Géométrie du domaine

(b) Maillage grossier (nλ = 5) (c) Maillage fin (nλ = 60)

(d) Maillage hybride (nλ = 5 et60) (e) Phaseφ sur le maillage hybride

FIGURE 3 – Géométrie et maillage du domaine non convexe.

d’inconnuesnh = 28, 235– les solution FEM et PRFEM calculées sur un maillage hybride, c’est à dire grossier à

l’extérieur de la cavité avecnλ = 5 et raffiné localement à l’intérieurnλ = 60 ; le nombre

14

(a) Solution de référence (FEM avec maillage fin)

(b) Solution FEM (maillage grossier) (c) Solution PR-FEM (maillage grossier)

(d) Solution FEM (maillage hybride) (e) Solution PR-FEM (maillage hybride)

FIGURE 4 – Solution du problème de diffraction calculée avec et sansréduction de phase sur unmaillage grossier et un maillage hybride. Ses deux cas sont comparés à la FEM effectuée sur unmaillage très fin servant de solution de référence.

15

total d’inconnues pour ce maillage estnh = 217, 693 ;La méthode Fast Marching est utilisée pour calculer la phasedans le cas de la PRFEM. Nousreprésentons dans les figures suivantes (5), la partie réelle du champ diffracté calculé dans chacundes cas.

Avec un nombre d’ondek = 10π, la solution de référence est obtenue avec un nombred’inconnues très élevénh = 2, 972, 296. Cependant en dé-raffinant le maillage à l’extérieur dela cavité pour la FEM, on a toujours une bonne approximation de la solution à l’intérieur de lacavité. Par contre, un déphasage important avec la solutionde référence se crée à l’extérieur.

Ce problème est inexistant avec la PRFEM sur le maillage hybride. Cependant il y a unelimite de la réduction de phase pour cette géométrie particulière. En effet l’enveloppe est aussioscillante que le champ initial à l’intérieur de la cavité. Ce qui nous oblige à utiliser un maillagetrès fin dans cette zone. C’est ce qui explique que la solutioncalculée sur un maillage grossier àl’intérieur de la cavité est très mauvaise, même avec la PRFEM (figures 5(d),5(h)).

Toutefois nous obtenons un gain très important sur le nombred’inconnues à utiliser pouratteindre une précision donnée avec la PRFEM (la taille du problème en termes de nombre d’in-connues est réduite d’un facteur de plus de 13). Le seul inconvénient pour l’instant réside dansle fait que ce raffinement local est effectué manuellement, en fonction de la géométrie. On ef-fectue un calcul préliminaire de la solution (ou de l’enveloppe d’onde) pour localiser les zonesà fortes variations (résonance). Un travail minutieux devra donc être consacré à ce point crucialafin de rendre le solveur complètement automatique, dans la mesure du possible.

16

4 Plan détaillé du mémoire de thèse

La thèse est actuellement en cours de la rédaction. La soutenance de l’ensemble des travauxdevrait avoir lieu en été 2014.

Introduction Générale

Partie 1 : Introduction et Synthèse

1 - Les équations de la diffraction acoustique

2 - Les méthodes de résolution numériques

Partie 2 : Modèle de Réduction de Phase

3 - Principe de la réduction de phase

4 - Les méthodes d’approximation de la phase

5 - Un modèle de réduction de phase adaptatif

Partie 3 : Méthodes de Préconditionnement des problèmes de diffraction acoustique

6 - Etat de l’art

7 - Nouvelle Classe de Préconditionneurs Hybrides

8 - Préconditionneurs pour les modèles de réduction de phase

Partie 4 : Méthodes de décomposition de Domaines

9- DDM pour la diffraction acoustique

10- PRFEM + DDM pour la diffraction acoustique

Partie 5 : Réduction de Phase et Préconditionneurs pour les Equations de Maxwell

11 - Les équations de Maxwell

12- Préconditionnement des équations de Maxwell

13- Réduction de Phase pour les équations de Maxwell

Conclusion Générale.

5 Financement du post-doctorat

Le financement du post-doctorat sur poste d’ATER n’a pas été obtenu. Néanmoins, la fin dethèse sera financée pendant la dernière année sur budget propre, non comme un salaire mais sousla forme de dédommagements de frais. La dernière année de thèse sera quasi intégralement faiteà Liège. Durant le projet EADS, Simon Tournier a été post-doctorant sur budget propre (InstitutMontefiore) (pendant un an, 2012-2013) et a travaillé sur 1) les techniques de préconditionneurs

17

de type Laplace shift généralisés et 2) les techniques de décomposition de domaines. Ces contri-butions ont fait avancer le projet de façon importante puisque nous avons pu, dans le point 1),mettre en défaut beaucoup de méthodes envisagées durant la thèse d’Ibrahim Zangré et, pourle point 2), nous avons pu mettre en place les outils nécessaires à la préparation de l’hybridisa-tion (Partie 4 de la thèse) PR-FEM et DDM. Enfin, Mohamed El Bouajaji a été post-doctorantsur financement Inria puis ANR Microwave (pendant 19 mois, janvier 2012-août 2013) et a tra-vaillé sur le projet High-BRID (co-encadrement X. Antoine et C. Geuzaine). Il a développé denombreux outils de calculs pour la DDM pour l’électromagnétisme (équations de Maxwell). Cesoutils seront également utiles pour la partie 5 de la thèse. Un article est en fin de rédaction et serasoumis d’ici peu, citant les financements obtenus pour le projet High-BRID.

Remarquons par ailleurs que nous avons donné de nombreux séminaires sur les techniquesdéveloppées dans le projet. Nous faisons référence systématiquement au soutien de la FondationEADS.

18

(a) Maillage fin :nh = 2, 972, 296 (b) Solution FEM sur le maillage fin

(c) Maillage grossier :nh = 28, 235 (d) Solution FEM sur le maillage grossier

(e) Maillage hybride :nh = 217, 693 (f) Solution FEM sur le maillage hybride

FIGURE 5 – Solution numérique de la diffraction acoustique par une cavité 2D d’une onde inci-denteuinc avec un angle d’incidence deπ/4 dirigée vers l’intérieur de la cavité et de fréquencek = 10π. Les solutions FEM 5(a)–5(f) et PRFEM 5(g)–5(j) sont calculées sur un maillage gros-sier, hybride et fin, la solution FEM sur le maillage fin étant considérée comme la référence.

19

(g) Maillage grossier :nh = 28, 235 (h) Solution PRFEM sur le maillage grossier

(i) Maillage hybride :nh = 217, 693 (j) Solution PRFEM sur le maillage hybride

FIGURE 5 – Solution numérique de la diffraction acoustique par une cavité 2D d’une onde inci-denteuinc avec un angle d’incidence deπ/4 dirigée vers l’intérieur de la cavité et de fréquencek = 10π. Les solutions FEM 5(a)–5(f) et PRFEM 5(g)–5(j) sont calculées sur un maillage gros-sier, hybride et fin, la solution FEM sur le maillage fin étant considérée comme la référence.

20