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Raizes Clássicas
da
Mecânica Quântica
Prof. Dr. Arnaldo Dal Pino Jr.
2010
Parte 1
A Física no Final do Século XIX
Parte 2
A Mecânica Clássica ou Analítica
Parte 3
A Física dos Anos 1920 e Schrödinger
Física do Século XIX
• Mecânica Analítica
• Termodinâmica
• Equações de Maxwell
Determinismo
O Demônio de Laplace
(1749 -1827)
Inteligência superior de posse de
todas as variáveis que determinam
o estado do universo em um
instante t, ele pode prever seu
estado no instante t´>t. (1814)
Pierre Simon, Marquês de Laplace (1817)
(23/3/1749 – 5/3/1827)
Filho de trabalhador rural
•Mecânica Celeste (1799-1825) 5 vol.
•Equação de Laplace/Harmônicos
Esféricos
•Transformada de Laplace
•Mencionou a possível existência de
buracos negros e colapso gravitacional!!
•Teoria das Probabilidades
Pierre Simon, Marquês de Laplace (1817)
(23/3/1749 – 5/3/1827)
•Laplace implorou que Napoleão lhe desse o posto de
ministro do interior. A carreira política de Laplace durou
pouco menos de seis semanas.
•Embora Laplace tenha sido removido do cargo, ele foi
elevado ao senado e, no terceiro volume do Mécanique
céleste, ele prefixou uma nota dizendo que de todas as
verdades ali contidas, a mais preciosa para o autor era a
declaração que ele então fez de sua devoção ao pacificador
da Europa. Em cópias vendidas após a restauração
Bourbon, ela foi retirada.
•Em 1814, ficou evidente que o império estava caindo;
Laplace se apressou a oferecer seus serviços aos Bourbons
e, quando a restauração ocorreu, foi recompensado com o
título de marquis (marquês).
Imperador Napoleão I
De 18/05/1804 a 06/04/1814
Física do Século XIX
•1ª fase da Revolução Industrial – máquina a vapor
•2ª fase da Revolução Industrial – eletricidade
J. Watt
1736 -1819 Thomas Edison (1847-1931)
Pelé das patentes!!
"Glasgow Guilg
Hammermen"
"O gênio consiste em
um por cento de
inspiração e noventa
e nove por cento de
transpiração."
William Thomson (Lord Kelvin)
1824-1907
• ―Heavier than air
machines are impossible”.
(1895).
―On the Absolute Thermometric Scale‖
(1848)
... need for a scale where by “infinite
cold” was the scale null´s point.
William Thomson (Lord Kelvin)
1824-1907
• ―There is nothing new to
be discovered in Physics
now. All that remains is
more and more precise
measurement”.
(British Association for the
Development of Science-
1900).
Alguns meses depois...
• The beauty and clearness of the dynamical theory, which asserts heat and light to be modes of motion, is at present obscured by two clouds.
I. The first came into existence with the ondulatory theory of light, and was dealt with by Fresnel and Dr. Thomas Young; it involved the question, how could the earth move through an elastic solid, such as essentially is the luminiferous ether?
II. The second is the Maxwell–Boltzmann doctrine regarding the partition of energy.
• Lord Kelvin, Nineteenth Century Clouds over the Dynamical Theory of Heat and Light, Philosophical Magazine, Sixth Series, 2, 1–40
Soluções
1. Teoria da Relatividade.
2. Mecânica Quântica: a mais revolucionária
das teorias.
Einstein (1879-1955)
Teoria Quântica
P_B_D_
H_S
Radiação de Corpo Negro
black body is an idealized object that absorbs
all electromagnetic radiation that falls on it. No
electromagnetic radiation passes through it and
none is reflected. Because no light (visible
electromagnetic radiation) is reflected or
transmitted, the object appears black when it is
cold.
A black body emits a temperature-dependent
spectrum of light. This thermal radiation from a
black body is termed black-body radiation
Radiação de Corpo Negro
Planck assinou the ―manifesto of the 93
intellectuals‖ –polêmico panfleto de
propaganda de guerra.
Rape of Belgium - 1ª Guerra Mundial
Planck discordava do sufrágio universal. Ele
achava que a ascensão da democracia é
que permitiu a ditadura nazista.
Max Planck (1858 –1947)
Fundador da teoria quântica e Prêmio Nobel de 1918.
Radiation de Corpo Negro
Durante a 2ª Guerra Mundial, Planck tentou
convencer Hitler a libertar cientistas judeus.
Seu filho, Erwin, foi executado por ser
acusado de traição por planejar o assassinato
de Hitler.
Planck´s derivation of the energy density
of black body radiation
• To calculate de # of modes of oscillation of E.M.
radiation in a cavity, consider a 1-D box of side
L. In equilibrium, only standing waves are
possible and these will have nodes at the ends
x=0 and x=L. Thus,
, 1,2,3... .2 2.x
x x
nL cn or n
L
Since c= speed of the propagation of waves.
There will be 2 modes for each triade of integers (nx,ny,nz)
because there are 2 independent polarizations possible.
To find the # of modes with frequency between and +d,
look at the figure
Each box has side = c/2L
In 3D, there is one point per cube of volume (c/2L)3, and only
positive integers (nx,ny,nz) are acceptable. Thus, the # of triplets
of positive triplets is equivalent to the volume of one octant of the
space divided by (c/2L)3.
2
3
2. 1/8 .4. .( ).
2.
g d dc
L
4
8. .( ).
Vg d d
2
3
8. .( ). . .
Vg d d
c
Density of states g()
Classical Physics: each mode of oscillation represents a
harmonic oscillator with ½.k.T each potential and kinetic
energy on average (equipartition of energy), we get
Rayleigh – Jeans law.
Energy/Volume=2
3
8.. . . . .u d kT d
c
or
Divergence of this relation at high frequency or low wavelength
was known as the ―ultraviolet catastrophe‖.
Ultraviolet Catastrophe
A nova idéia de Planck foi:
• Assumir que as energias permitidas eram quantizadas, i.e., as
frequências dos osciladores só podiam ter energia: en = n h ,
n=0,1,2,3...onde h era uma nova constante, hoje conhecida como
constante de Planck.
• A energia média por oscilador era calculada a partir da
distribuição de Boltzmann.
Catástrofe do Ultravioleta
. .
. .
. .
..
. . . .n
n
n h
k T k Tn
n nn h
k Tk T
nn
e nh e
ee
e
e
e e
. .
..
.
1
1
n h
k Th
n k T
Z e
e
.
. . ,.
Z hh x
x kT
Lembremos que o denominador é
chamado de função de partição
O numerador é
.
.
.
1h
k T
h
e
e
Assim, a energia média do oscilador vale:
A energia por unidade de volume da radiação na cavidade é:
3
3 .
.
8. .( ). .
1h
k T
hu T d d
ce
5 .
. .
8. . 1( ). .
1h c
k T
hcu T d d
e
ou
A energia total por unidade de volume da radiação é a integral
sobre todas as freqüências ´s:
434
33 .0 0.
8. . .8. .( ). .
15. .1
h
k T
kThu T d d aT
c hce
Esta é a Lei de Stefan-Boltzmann
Josef Stefan (experiment-1879) : o fluxo emitido a partir
de uma cavidade em equilíbrio térmico é proporcional à
quarta potência da temperatura.
L.Boltzmann (teoria -1884) deduziu
esta relação de 4ª potência a partir da
teoria termodinâmica.
Até o trabalho de Planck, não havia
procedimento teórico para
determinar a constante de
proporcionalidade.
Ludwig Eduard Boltzmann (1844-1906)
Boltzmann enforcou-se durante um ataque de depressão (1906)
Desordem Bipolar.
Ele fazia piada de suas crises de
humor: Ele nasceu durante a noite entre
Mardi Gras and Ash Wednesday.
Max Karl Ernst Ludwig Planck (1858-1947) Germany. On
the Law of Distribution of Energy in the Normal Spectrum.
Max Planck. Annalen der Physik 4 (1901): 553.
Hierzu ist es notwendig, UN nicht als eine stetige,
unbeschränkt teilbare, sondern als eine discrete, aus
einer ganzen Zahl von endlichen gleichen Teilen
zusammengesetzte Grösse aufzufassen.
É necessário interpretar UN (a energia total do corpo
negro) não como uma quantidade contínua, infinitamente
divisível, mas como discreta e composta de um número
inteiro de quantidades indivisíveis e iguais.
Enquanto estava em Berlim, Planck desenvolveu seus trabalhos
mais brilhantes. Em 1900, ele desenvolveu sua fórmula da
radiação de corpo negro. Um ano depois, ele escreveu:
The whole procedure was an act of despair because a
theoretical interpretation had to be found at any price, no
matter how high that might be.
Nobel Prize in Physics 1918 Presentation
Speech by Dr. A. G. Ekstrand, President
of the Royal Swedish Academy of
Sciences
―... the so-called Planck constant, proved, as it turned out, to be
of still greater significance, perhaps, than the first. The product
hu, where u is the frequency of vibration of a radiation, is actually
the smallest amount of heat which can be radiated at the
vibration frequency u. This theoretical conclusion stands in very
sharp opposition to our earlier concept of the radiation
phenomenon. Experience had to provide powerful confirmation,
therefore, before Planck's radiation theory could be accepted. In
the meantime this theory has had unheard-of success….‖
Planck descartou a física clássica e introduziu os ―quanta‖ de
energia.
Planck explica como, apesar de ter inventado a teoria, ele
próprio não a entendia:
I tried immediately to weld the elementary quantum of action
somehow in the framework of classical theory, but in the face
of all such attempts this constant showed itself to be
obdurate … My futile attempts to put the elementary quantum
of action into the classical theory continued for a number of
years and they cost me a great deal of effort.
Nobel - 1921
Efeito Fotoelétrico
1905 – 26 y.o.
Experimentos de Heinrich Hertz em 1887.
Cientista alemão, Hertz nasceu em1857, é
mais conhecido por ter sido o primeiro a
produzir e captar ondas de rádio previstas
por Maxwell.
Ele fez observações notáveis enquanto
trabalhava com spark-gap generator, que era
um dispositivo primitivo para geração de
ondas de rádio.
Efeito Fotoelétrico
1857 – 1894
Hertz também percebeu que as ondas de rádio
poderiam ser transmitidas e refletidas através
de diversos meios -> Radar.
Sem entender a importância de suas
descobertas, ele disse:
"It's of no use whatsoever[...] this is just an
experiment that proves Maestro Maxwell
was right - we just have these mysterious
electromagnetic waves that we cannot see
with the naked eye. But they are there."
Perguntado sobre as ramificações de suas
descobertas, ele insistiu:
"Nothing, I guess."
Efeito Fotoelétrico
1857 – 1894
Descrição MatemáticaA energia cinética máxima, Kmax, de um elétron ejetado é:
•onde h é a constante de Planck, f é a freqüência do fóton
incidente, and φ é a função trabalho.
• j é a energia mínima necessária para remover um
elétron dasuperfície de um determinado metal.
•A função trabalho pode ser escrita na forma:
onde f0 é chamado limiar. Logo, a máxima energia
cinética de um elétron ejetado é:
Em 1915, Robert Andrews Millikan mostrou que a predição de
Einstein estava correta.
Efeito sobre a questão onda-partícula
•O efeito fotoelétrico reforçou a idéia da natureza dual da luz.
•Luz possui simultaneamente características de ambos; onda
e partícula. Ela manifesta as características de cada uma de
acordo com as circunstâncias.
•Isto é impossível de se entender em termos da física
clássica.
Applications of the photoelectric effect
Photodiodes and phototransistors: solar cells
Image sensors: digital video cameras
Major Problem in spaceships:
Spacecraft exposed to sunlight develop a positive charge.
This can get up to the tens of volts. As other parts of the
spacecraft in shadow develop a negative charge (up to
several kilovolts) from nearby plasma, and the imbalance can
discharge through delicate electrical components.
The more success the quantum theory has, the sillier it looks.
(Albert Einstein to Heinrich Zangger on Quantum Theory,
May 20, 1912)
About fifteen years ago [1899] nobody had yet doubted that a
correct account of the electrical, optical, and thermal
properties of matter was possible on the basis of Galileo-
Newtonian mechanics applied to molecular motion and of
Maxwell's theory of the electromagnetic field. (Albert
Einstein, 1915).
During the years following, it was shown that light was
everywhere produced and absorbed in such energy quanta.
(Albert Einstein, 1954)
Louis-Victor-Pierre-Raymond, 7th duc de Broglie
História -> Matemática e Física.
Na 1ª Guerra Mundial (1914), prestou serviços ao exército em
rádio comunicações.
Sua tese (1924), Recherches sur la théorie des quanta, incluia a
dualidade partícula-onda baseada nos trabalhos de Einstein e
Planck.
Ondas de Matéria: De Broglie - 1923
1892 –1987
A banca, insatisfeita com o material, passou
a tese para Einstein avaliar. Ele endossou a
teoria da dualidade.
No final de sua carreira, de Broglie trabalhou no
desenvolvimento de uma interpretação alternativa (em
oposição à probablística) para a mecânica quântica.
Esta interpretação é conhecida
atualmente teoria de Broglie–Bohm,
pois foi refinada por David Bohm
nos anos1950.
1917 -1992
Ondas de Matéria: De Broglie -1923
Idéia: para a matéria, bem como radiação, nós devemos
introduzir simultaneamente os conceitos de corpúsculo e de
onda.
Deve ser possível estabelecer um certo paralelismo entre o
movimento de um corpúsculo e a propagação das ondas
associadas. (Louis de Broglie)
Experiments on interference
made with particle rays have
given brilliant proof that the
wave character of the
phenomena of motion as
assumed by the theory does,
really, correspond to the facts.
(Albert Einstein, 1954)
In 1954 Einstein wrote to a friend
―All these fifty years of conscious brooding have brought me
no nearer to the answer to the question, 'What are light
quanta?' Nowadays every Tom, Dick and Harry thinks he
knows it, but he is mistaken.” (Albert Einstein, 1954)
“Determination of the stable motion of electrons in the atom
introduces integers, and up to this point the only phenomena
involving integers in physics were those of interference and
of normal modes of vibration. This fact suggested to me the
idea that electrons too could not be considered simply as
particles, but that frequency (wave properties) must be
assigned to them also.”
(Louis de Broglie, 1929, Nobel Prize Speech)
A Velha Mecânica Quântica
Modelo atômico (átomo de hidrogênio) de Bohr (1913).
Grande quantidade de dados espectrais dos átomos.
A Velha Mecânica Quântica
O modelo de Bohr estabelece que um átomo tem níveis de
energia discretos. Quando o átomo emite um fóton, ele perde
energia, saltando do nível Ei para o Ej , e emite radiação de
frequência f= (Ei-Ej )/h
Princípios Básicos
O sistema obedece a mecânica clássica exceto
que nem todo movimento é permitido. Somente
aqueles que obedecem a regra de quantização:
pi e qi são os momentos e coordenadas do sistema.
ni ´s, os números quânticos, são inteiros e a intergral é
tomada sobre um período.
h= Constante de Planck (the quantum of action) .
Nobel em 1922
•Bohr foi mentor de Heisenberg que aprendeu
dinamarques para se comunicar melhor com Bohr.
•Bohr fugiu para a Suécia durante a ocupação
nazista na Dinamarca.
•Ele passou os 2 últimos anos da guerra nos USA
associado com o Projeto Atômico.
•He defendia a completa abertura do conhecimento
entre as nações. (segredos atômicos-United
Nations-1950).
1885-1962
•Bohr visitou o Presidente Roosevelt para
convencê-lo que o Projeto Manhattan deveria
ser compartilhado com os Russos.
•Roosevelt sugeriu que Bohr fosse à Grã-
Bretanha e tentasse coseguir o apoio inglês.
•Winston Churchill : respondeu em carta: “It
seems to me Bohr ought to be confined or
at any rate made to see that he is very near
the edge of mortal crimes”
1885-1962
Princípio da Correspondência (1920)
• Sistemas macroscópicos (molas, capacitores, etc) são
descritos adequadamente pelas teorias clássicas.
• A ―nova teoria‖ (teoria quântica) deve descrever com
sucesso objetos microscópicos (átomos, elétrons, etc.).
• Deve existir um limite no qual a mecânica quântica se
reduz à mecânica clássica.
• O princípio da correspondência de Bohr exige que a
física clássica e a quântica dêem a mesma resposta
quando o sistema se torna ―suficientemente grande‖.
Parte 2
A Mecânica Clássica ou Analítica
Mecânica Clássica ou Analítica
Sir Isaac Newton
1642 -1727
Jean le Rond
D´Alembert
1717 - 1783
Joseph-Louis
Lagrange
(1736 –1813),
born Giuseppe
Lodovico
(Luigi)
Lagrangia
Willian Rowan
Hamilton
1805-1865
Mecânica Lagrangiana Simplificada
Mecânica Lagrangiana == Mecânica Newtoniana.
Seu método simplifica muitos problemas complicados, por
exemplo, ondas em meios contínuos e mecânica orbital.
•Nascido Giuseppe Lodovico Lagrangia em
Turim de pais italianos.
•Tinha ancestrais franceses por parte de
mãe.
three-body
problem
Toda noite ele definia uma tarefa para o dia seguinte. Quando
completava uma parte do trabalho, ele imediatamente escrevia
uma breve análise. Ele sempre escrevia seus trabalhos em uma
única seqüência sem qualquer erro ou correção.
Neuro-linguistic programming
"a system of alternative therapy based on
this which seeks to educate people in
self-awareness and effective
communication, and to change their
patterns of mental and emotional
behaviour". (1970´s)
Lagrange
Richard Bandler
John Grinder
Equação de Lagrange
Energia Cinética
Energia Potential
= coordenada generalizada
= velocidade generalizada
= momento generalizado
( , , )T q q t
( )U q ( , , ) ( , , ) ( )L q q t T q q t U q
( , , ) ( , , )0
d L q q t L q q t
dt q q
q
q
( , , )L q q tp
q
FORMULAÇÃO DE LAGRANGE PASSO A PASSO
• Equações de transformação:
• Energia cinética:
• Energia potential:
• Lagrangeana:
• Equação de Lagrange :
( , , )r r q q t
( , , )T q q t
( )U q
( , , ) ( , , ) ( )L q q t T q q t U q
( , , )r r q q t
( , , ) ( , , )0
d L q q t L q q t
dt q q
Conjunto de equações diferenciais de 2ª ordem.
Uma equação para cada grau de liberdade.
Escreva:
Example: free fall
2ª Lei de Newton
Generalized
momentum
( , , ) ( , , )0
d L q q t L q q t
dt q q
•Euler-Lagrange Equation:
Joseph Kittinger starting his
record-breaking skydive
23,290 m in November, 1959
Mecânica Hamiltoniana Simplificada
Reformulação da mecânica clássica (1833) -> Irlandês W.R.
Hamilton.
Newton ->Lagrange -> Hamilton
1805-1865
Prodígio: persa, árabe, sanscrito, ...
Aos 18 anos -> melhor matemático do
mundo.
Formulação Hamiltoniana
Passo a Passo
As equações de Hamilton são prodigiosas em vista de sua
simplicidade e simetria.
A procura por grandezas que se conservam (constantes de
movimento) desempenha um papel crucial na compreensão
da natureza das soluções.
Hamiltoniana para o problema de força central
Princípio de Hamilton
Podemos usar este princípio (ao invés da leis de Newton) como
Princípio Fundamental da Mecânica!
•Formulação de Lagrange = liberdade para escolher coordenadas.
•Formulação de Hamilton = liberdade para escolher coordenadas e momentos.
•Critério para as mudanças de variáveis = Princípio de Hamilton
0t
1t
Transformação Canônica
Uma Transformação Canônica é uma mudança de coordinadas
(q,p,t) → (Q,P,t) que preserva a forma do Princípio de Hamilton
(equações).
Transformação Canonica do Tipo 2:
Exemplo
Seja:2 ( , ).G g q t P
2 ( ( , ). )( , )
G g q t Pg q t Q
P P
•Esta função geratriz, ou geradora, cria um novo conjunto de
coordenadas generalizadas, Q, que é uma função das
coordenadas velhas (q) e do tempo.
•Transformações permitidas pela formulação de Lagrange são
casos particulares de transformação canônica.
•Aprendemos que dada a função geradora G, podemos calcular
a transformação canônica (q,p) -> (Q,P).
•Ainda não sabemos, escolher entre as infinitas transformações
canônicas, qual é mais útil.
• Situação ideal momentos = constantes de movimento!!
KP
Q
KQ
P
Situação Ideal
Sei que as equações de
Hamilton devem ser válidas nas
novas coordenadas
KP
Q
KQ
P
•Se a Hamiltoniana não depende de uma certa coordenada, Q1,
seu momento conjugado P1 será constante do movimento.
•Q1 é chamada de variável cíclica ou ignorável.
Equação de Hamilton–Jacobi
Equação de Hamilton–Jacobi é uma reformulação da mecânica
clássica e, é equivalente as outras reformulações.
Newton, Lagrange and Hamilton.
Nasceu de família judia, estudou na universidade de
Berlim onde obteve o título de doutor em filosofia em
1825.
0K
1804 —1851
KP
Q
KQ
P
Hamilton–Jacobi Equation
A EHJ é particularmente importante para identificar grandezas
que se conservam, sendo útil mesmo quando não é possível
resolver completamente o problema.
HJE é a única formulação da mecânica na qual o movimento de
uma partícula pode ser representado como uma onda. Neste
sentido, EHJ satisfaz a procura por uma analogia entre a
propagação da luz e o movimento de uma partícula.
The wave equation followed by mechanical systems is similar to, but not identical with,
Schrödinger's equation,
Jacobi escolheu uma geratriz S= que torna a nova Hamiltoniana
K identicamente nula.
2( , , )G q P t
2
0
( , , ) ( , , )
K
G q P t S q P t
Jacobi : Se a transf. Canônica fornecesse:
A possibilidade de separação das variáveis em S depende tanto
da Hamiltoniana quanto da escolha das generalized coordinates.
Parte 1:
A Física do final do século XIX.
Parte 2:
A Mecânica Clássica ou Analítica
Parte 3:
A Física dos Anos 1920 e Schrödinger
Estamos quase lá!!
The Old Quantum Theory
Bohr's model states that an atom has a discrete set of energy
levels. When the atom emits a photon, it loses energy, changing
from energy level Ei to level Ej , so the photon has energy Ei-Ej
and hence frequency f= (Ei-Ej )/h
Basic Principles
Motion in an atomic system is quantized.
System obeys classical mechanics except that
not every motion is allowed, only those
motions which obey the old quantum condition:
pi and qi are the momenta and coordinates of
the system. The quantum numbers ni are
integers and the integral is taken over one
period of the motion.
h= Planck's constant (the quantum of action) .
Correspondence Principle.
Applications
Example: One dimensional potential
At any energy E, the value of the momentum p is found
from the conservation equation:
which is integrated over all values of q between the
classical turning points, the places where the momentum
vanishes. The integral is easiest for a particle in a box of
length L, where the quantum condition is:
which gives the allowed momenta:
and the energy levels:
In this case, the old quantum theory delivers the correct
energy levels.
It also gives the correct energies for the hydrogen atom,
although it does not explain the intensity of the lines.
Unfortunately, it fails badly to predict the spectra of
diatomic molecules.
Failure of the Old Quantum Theory
• Heisenberg (1925): ―On the quantum-theoretical
reinterpretation of kinematical and mechanical relations‖
• Heisenberg traduziu os movimentos clássicos em quânticos
aplicando o princípio da correspondência.
• Grandezas familiares comportavam-se de modo estranho;
multiplicação dependia da ordem dos termos!! (comutadores!!
desvios expressos em termos de h!)
Nobel 1932
Bohr,
Heisenberg
and Pauli
Heisenberg
Schrödinger
sofria de tuberculose e foi internado diversas vezes durante
os anos 1920. Foi numa destas estadas que descobriu a
equãção de onda.
Schrödinger decidiu em1933 que não poderia
vier em um país onde a perseguição a judeus
se tornara política nacional.
O reitor da Universidade de Oxford visitou a Alemanha em 1933
para oferecer emprego na Inglaterra para jovens cientistas
judeus.
•Ele procurou Schrödinger para oferecer emprego
a um de seus assistentes e foi surpreendido pelo
interesse dele em sair da Alemanha.
•Schrödinger exigia a contratação de Arthur
March, como seu assistante. The request for
March stemmed from Schrödinger's
unconventional relationships with women.
• Embora vivesse bem com a esposa (Anny), ele tinha muitas
amantes. Todas elas com o conhecimento de sua esposa, que
também mantinha seu próprio amante Hermann Weyl.
• Hilde = esposa de March.
• Os cientistas que abandonaram a Alemanha
passaram uma temporada na Itália. (meados de
1933)
•Lá, Hilde engravidou de Schrödinger.
•Em 4 de Novembro de 1933, Schrödinger, sua
esposa e Hilde March chegaram em Oxford.
Invitation for Princeton: the fact that he wished to live at
Princeton with Anny and Hilde both sharing the upbringing of his
child was not found acceptable. The fact that Schrödinger openly
had two wives, even if one of them was married to another man,
was not well received in Oxford
As questões filosóficas geradas pelo gato de Schrödinger
são debatidas até hoje e permanecem como seu legado
mais conhecido na ―ciência popular‖. Enquanto a Equação
de Schrödinger é seu legado mais relevante do ponto de
vista científico.
Túmulo de Erwin Schrödinger's
Equação de Schrödinger descreve como
um estado quântico de um sistema físico
evolui com o tempo.
É tão central para a Mecânica Quântica
quanto as Leis de Newton são para a
mecânica clássica.
Schrödinger's equation can be mathematically transformed into
Heisenberg's matrix mechanics, and into Feynman's path
integral formulation.
The Schrödinger equation describes time in a way that is
inconvenient for relativistic theories, a problem which is not as
severe in Heisenberg's formulation and completely absent in the
path integral.For a general quantum system:
where
•i is the imaginary unit
• is the wave function, which is the
probability amplitude for different configurations of the
system
• is the reduced Planck constant (often normalized to
1 in natural units)
• is the Hamiltonian operator.
Como Schrodinger chegou em sua Equação?
A partir da formulação Hamiltoniana da Mecânica Clássica.
Schrödinger reconheceu e enfatizou a importância do
seguinte par de relações:
Eq. de Hamilton-Jacobi
mecânica clássica
Princípio de HamiltonPrincípio de Fermat na
Ótica geométrica
Princípio de Huygen’s
propagação de ondas
―Quantization as a Problem of Proper
Values (Part II)‖ (Schrodinger 1926)
Idéias Relevantes
Mecânica HamiltonianaÓtica Geométrica←→
Ótica FísicaMecânica ondulatória ←→
(Schrödinger) (classical wave theory)↓ ↓
Analogia entre a formulação Hamiltoniana da Mecânica
Clássica com a ótica.
2
.2.
pE V
m
Interpretação de Copenhagen
• Um sistema é completamente descrito por uma função de
onda ψ, que representa o conhecimento do observador sobre
o sistema. (Heisenberg)
• A descrição da natureza é probabilística. A probabilidade de
um evento é relacionado ao quadrado da amplitude da função
de onda. (Born rule, due to Max Born)
• O Princípio da Incerteza de Heisenberg determina que não é
possível conhecer os valores de todas as propriedades do
sistema ao mesmo tempo. Aquelas propriedades que não são
conhecidas com precisão devem ser descritas por
probabilidades.
Interpretação de Copenhagen
• Princípio da Complementaridade : matéria exibe uma
dualidade onda-partícula. Um experimento pode mostrar
propriedades de partículas ou de ondas, mas não ambas
simultaneamente.(Niels Bohr)
• Instrumentos de medida são essencialmente clássicos e
medem propriedades clássicas. (posição e momentum)
• The Princípio da Correspondência de Bohr e Heisenberg: A
descrição quântica de sistemas macroscópicos deve tender
para a descrição clássica.
Interpretação de Copenhagen: Consequências
1. Schrödinger's CatA cat is put in a box with a radioactive substance and a radiation detector.
The half-life of the substance is the period of time in which there is a 50%
chance that a particle will be emitted (and detected). The detector is
activated for that period of time. If a particle is detected, a poisonous gas
will be released and the cat killed.
Schrödinger set this up as what he called a "ridiculous case" in which "The
psi-function of the entire system would express this by having in it the living
and dead cat mixed or smeared out in equal parts."
The Copenhagen Interpretation: The wave function reflects our knowledge
of the system. The wave function
simply means that there is a 50-50 chance that the cat is alive or dead.
Interpretação de Copenhagen: Conseqüências
2. Wigner's Friend
Wigner puts his friend in with the cat. The external observer believes the
system is in the state .
His friend however is convinced that cat is alive, i.e. for him, the cat is in
the state .
How can Wigner and his friend see different wave functions?
The Copenhagen Interpretation: Wigner's friend highlights the subjective
nature of probability. Each observer (Wigner and his friend) has different
information and therefore different wave functions. The distinction
between the "objective" nature of reality and the subjective nature of
probability has led to a great deal of controversy.
Interpretação de Copenhagen: Consequências
3. Double Slit Diffraction
Light passes through double slits and onto a screen resulting in a diffraction
pattern. Is light a particle or a wave?
The Copenhagen Interpretation: Light is neither. A particular experiment
can demonstrate particle (photon) or wave properties, but not both at the
same time (Bohr's Complementary Principle).
The same experiment can in theory be performed with any physical system:
electrons, protons, atoms, molecules, viruses, bacteria, cats, humans,
elephants, planets, etc. quantum mechanics considers all matter as
possessing both particle and wave behaviors. The greater systems (like
viruses, bacteria, cats, etc.) are considered as "classical" ones but only as
an approximation.
4. EPR (Einstein–Podolsky–Rosen) paradox: intended to show
that quantum physics could not be a complete theory.
Entangled "particles" are emitted in a single event.
Conservation laws ensure that the measured spin of one particle must be
the opposite of the measured spin of the other, so that if the spin of one
particle is measured, the spin of the other particle is now instantaneously
known.
The most discomforting aspect of this paradox is that the effect is
instantaneous so that something that happens in one galaxy could cause
an instantaneous change in another galaxy. But, according to Einstein's
theory of special relativity, no information-bearing signal or entity can
travel at or faster than the speed of light, which is finite.
Thus, it seems as if the Copenhagen interpretation is inconsistent with
special relativity.
4. EPR (Einstein–Podolsky–Rosen) paradox
The Copenhagen Interpretation: Assuming wave functions are not real,
wave function collapse is interpreted subjectively. The moment one
observer measures the spin of one particle, he knows the spin of the
other. However another observer cannot benefit until the results of that
measurement have been relayed to him, at less than or equal to the
speed of light.
Copenhagenists claim that interpretations of quantum mechanics where
the wave function is regarded as real have problems with EPR-type
effects, since they imply that the laws of physics allow for influences to
propagate at speeds greater than the speed of light. However, proponents
of Many worlds and the Transactional interpretationmaintain that their
theories are fatally non-local.
The claim that EPR effects violate the principle that information cannot
travel faster than the speed of light can be avoided by noting that they
cannot be used for signaling because neither observer can control, or
predetermine, what he observes, and therefore cannot manipulate what
the other observer measures. Relativistic difficulties about establishing
which measurement occurred first also undermine the idea that one
observer is causing what the other is measuring.
Criticisms
Many physicists and philosophers have objected to the Copenhagen
interpretation, both on the grounds that it is non-deterministic and that it
includes an undefined measurement process that converts probability
functions into non-probabilistic measurements.
Einstein's comments "I, at any rate, am convinced that He (God) does not
throw dice." and "Do you really think the moon isn't there if you aren't looking
at it?" exemplify this.
Bohr, in response, said "Einstein, don't tell God what to do".
The Copenhagen rules clearly work, so they have to be accepted
Interpretation of quantum mechanics
is a statement which attempts to explain how quantum
mechanics informs our understanding of nature. Although
quantum mechanics has received thorough experimental
testing, many of these experiments are open to different
interpretations. There exist a number of contending schools of
thought, differing over whether quantum mechanics can be
understood to be deterministic, which elements of quantum
mechanics can be considered "real", and other matters.
This question is of special interest to philosophers of physics,
as physicists continue to show a strong interest in the subject.
They usually consider an interpretation of quantum mechanics
as an interpretation of the mathematical formalism of quantum
mechanics, specifying the physical meaning of the
mathematical entities of the theory.
Interpretation of quantum mechanics
The Copenhagen interpretation
Many worlds
Consistent histories
Ensemble interpretation, or statistical interpretation
de Broglie–Bohm theory
Relational quantum mechanics
Transactional interpretation
Stochastic mechanics
Objective collapse theories
The decoherence approach
von Neumann Interpretation: consciousness causes the collapse
Variations
Subjective reduction research
Participatory anthropic principle
Many minds
Quantum logic
Modal interpretations of quantum theory
Incomplete measurements
“Pensar é o esporte mais radical que
existe: pratique-o.”
Arnaldo Dal Pino Jr.
Obrigado
