Raíz cuadrada

Se llama raíz cuadrada de un número a cualquier otronúmero, si existe, tal que al multiplicarlo por sí mismoresulta el valor del primero. En los números reales posi-tivos es posible definir la función raíz cuadrada de unnúmero positivo como el único número positivo tal queal multiplicarlo por sí mismo resulta el valor del prime-ro, es decir, que es un segundo número que al elevarlo alcuadrado es igual al primero. Abreviado como la funciónraíz tiene el símbolo:√ . Es la radicación de índice 2 o,equivalentemente, la potenciación con exponente 1/2.Raíz cuadrada es la expresión radical de índice 2. Todonúmero real positivo tiene dos raíces opuestas, la primerallamada raíz cuadrada aritmética. Un número real negati-vo tiene dos raíces cuadradas imaginarias.[1] Un númerocomplejo tiene dos raíces complejas[2]

El concepto de raíz cuadrada puede extenderse a cual-quier anillo algebraico, así es posible definir la raíz cua-drada de un número real negativo o la raíz cuadrada de al-gunas matrices. En los números cuaterniónicos los realesnegativos admiten un número infinito de raíces cuadra-das, sin embargo el resto de cuaterniones diferentes decero admiten solo dos raíces cuadradas. En el anillo noconmutativo de las funciones reales de variable real conla adición y la composición de funciones si fºf = g, sepuede plantear que f es la “raíz cuadrada” de g.[3]

1 Historia

Las raíces cuadradas son expresiones matemáticas quesurgieron al plantear diversos problemas geométricos co-mo la longitud de la diagonal de un cuadrado. El Papirode Ahmes datado hacia 1650 a. C., que copia textosmás antiguos, muestra cómo los egipcios extraían raícescuadradas.[4] En la antigua India, el conocimiento de as-pectos teóricos y aplicados del cuadrado y la raíz cuadra-da fue al menos tan antiguo como los Sulba Sutras, fecha-dos entre el 500 y el 300 a. C. Un método para encontrarmuy buenas aproximaciones a las raíces cuadradas de 2y 3 es dado en el Baudhayana Sulba Sutra.[5] Ariabhatta(476-550) en su tratadoAryabhatiya (sección 2.4), dio unmétodo para encontrar la raíz cuadrada de números convarios dígitos.Los babilonios aproximaban raíces cuadradas haciendocálculos mediante la media aritmética reiteradamente. Entérminos modernos, se trata de construir una sucesióna0, a1, a2, a3, . . . dada por:

an+1 = 12

(an + a

an

). [6]

Puede demostrarse que esta sucesión matemática con-verge an →

√a (como valor inical a0 puede tomarse

con buena aproximación el entero más cercano al valorde la raíz cuadrada). Las raíces cuadradas fueron uno delos primeros desarrollos de las matemáticas, siendo par-ticularmente investigadas durante el periodo pitagórico,cuando el descubrimiento de que la raíz cuadrada de 2era irracional (inconmensurable) o no expresable comocociente alguno, lo que supuso un hito en la matemáticade la época.Posteriormente se fue ampliando la definición de raízcuadrada. Para los números reales negativos, la genera-lización de la función raíz cuadrada de éstos da lugar alconcepto de los números imaginarios y al cuerpo de losnúmeros complejos, algo necesario para que cualquierpolinomio tenga todas sus raíces (teorema fundamentaldel álgebra). La diagonalización de matrices también per-mite el cálculo rápido de la raíz de una matriz.Inicialmente mostraron su utilidad para la resolución deproblemas trigonométricos y geométricos, como la diago-nal de un cuadrado o el teorema de Pitágoras. Posterior-mente fueron ganando utilidad para operar con polino-mios y resolver ecuaciones de segundo grado o superior,siendo una de las herramientas matemáticas más elemen-tales hoy en día.David Eugene Smith, en History of Mathematics, diceacerca de la situación existente:

“En Europa esos métodos (para encontrarel cuadrado y la raíz cuadrada) no aparecieronantes de Cataneo (1546). Él dio el método deAriabhata para determinar la raíz cuadrada”.[7]

Según Julio Rey Pastor y José Babini, en 1613, Cataldcalcula la raíz cuadrada aproximando por fracciones con-tinuas, como aparece en la obra comúnHistoria de la ma-temática.El símbolo de la raíz cuadrada (√ ) fue introducido en1525 por el matemático Christoph Rudolff para represen-tar esta operación[8][9] que aparece en su libro Coss, sien-do el primer tratado de álgebra escrito en alemán vulgar.El signo no es más que una forma estilizada de la letrar minúscula para hacerla más elegante, alargándola conun trazo horizontal, hasta adoptar el aspecto actual, querepresenta la palabra latina radix, que significa raíz. Tam-bién se conjetura que pudiese haber surgido de la evolu-

1

2 2 FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA

ción del punto que en ocasiones se usaba anteriormen-te para representarlo, donde posteriormente se le habríaañadido un trazo oblicuo en la dirección del radicando.Tiempo atrás, varios matemáticos vieron la necesidadde idear números que representasen la raíz cuadrada denúmeros negativos para poder resolver todas las ecuacio-nes de segundo grado, pero no será hasta 1777 cuandoEuler simbolice la raíz cuadrada de –1 con la letra i, dan-do así cabida al desarrollo de los números complejos.

1.1 Extensiones de sistemas numéricos

Algebraicamente, la raíz cuadrada es un resultado que re-suelve la ecuación

x2 = a

donde a es un elemento, generalmente, de un sistema nu-mérico. Se planteó resolver para a número natural, pa-ra racionales positivos; los casos que tiene solución en elpropio conjunto, es cuando a es un natural cuadrado per-fecto o lo son también los elementos de la fracción. Paracualquier número natural, su raíz cuadrada se consiguióal estructurar el sistema de los números reales. Por otrolado, el gran dilema de los griegos para

√2, x2 = 2

se resolvió con la adopción de números irracionales; a ple-nitud en el siglo XIX con los aportes de Dedekind, Peano,Cantor y otros. En el caso de de los enteros negativos, laecuación

x2 = −1

se resolvió con la adjunción de los números imaginarios.Pero al tratar de resolver la ecuación

ax2 + bx+ c = 0, para a ̸= 0

en el caso de que el discriminante D < 0 siendo D =b2−4ac , para hallar la solución, necesariamente, se acu-de a los números complejos, que es una extensión de losnúmeros reales.[10]

2 Función raíz cuadrada

La raíz cuadrada permite definir una función real sobrelos números no negativos, para cada número real x es-ta función se define como el único número no negativoy que elevado al cuadrado es igual a x. Consiste en ha-llar el número del que se conoce su cuadrado. La funciónraíz cuadrada de x se expresa equivalente de las siguientesmaneras:

0

1

2

3

4

5

0 5 10 15 20 25

La gráfica de la función f(x) = +√x es una semiparábola con

directriz vertical.

y =√x, y = x

12

Usualmente la raíz cuadrada de un número entero no esun número racional a menos que el número entero sea uncuadrado perfecto, como por ejemplo:

√16 = 4,

√64 = 8,

√144 = 12

ya que:

16 = 4 × 4 = 42, 64 = 8 × 8 =82, 144 = 12× 12 = 122

El descubrimiento de que la raíz cuadrada de muchosnúmeros era un número irracional se atribuye a lospitagóricos. Los babilonios y egipcios ya disponían demedios de estimar numéricamente la raíz cuadrada, pe-ro su interés parece haber sido eminentemente prácticopor lo que no parecen existir referencias sobre la natura-leza de la raíz cuadrada y el problema de si esta podía serexpresada como cociente de dos números enteros.

2.1 Propiedades generales

x

y

Gráfica de la ecuación: y2 = x

La función raíz cuadrada f(x) =√x es una función

cuyo dominio e imagen es el conjunto [0,∞) (el conjunto

2.2 Irracionalidad de las raíces cuadradas 3

de todos los números reales no negativos). Esta funciónregresa un valor que es único. Las siguientes propiedadesde la raíz cuadrada son válidas para todos los númerosreales no negativos x, y:

•√

xy =

√x√y

•√x = x

12

• La función raíz cuadrada, en general, transformanúmeros racionales en números algebraicos; √x esracional si y sólo si x es un número racional quepuede escribirse como fracción de dos cuadradosperfectos. Si el denominador es 12 = 1 , entoncesse trata de un número natural. Sin embargo,

√2 es

irracional.

• La interpretación geométrica es que la función raízcuadrada transforma la superficie de un cuadrado enla longitud de su lado.

• Contrariamente a la creencia popular,√x2 no ne-

cesariamente es igual a x . La igualdad se mantienesólo para los números no negativos x , pero cuan-do x < 0 ,

√x2 es un número positivo, y entonces√

x2 = −x . Por lo tanto,√x2 = |x| para todos los

números reales x (véase valor absoluto).

• Suponga que x y a son números reales, y que x2 = a, y se desea encontrar x . Un errormuy común es “to-mar la raíz cuadrada” y deducir que x =

√a . Esto

es incorrecto, porque la raíz cuadrada de x2 no es x ,sino el valor absoluto |x| , una de las reglas descritasanteriormente. Luego entonces, todo lo que se pue-de concluir es que |x| = √

a , o equivalentementex = ±

√a .

• En cálculo, cuando se prueba que la función raízcuadrada es continua o derivable, o cuando se calcu-lan ciertos límites, la siguiente igualdad es muy útil(consiste en multiplicar y dividir por el conjugado,véase Binomio conjugado):√x−√

y = x−y√x+

√y

y es válida para todos los números no negativosx e y que no sean ambos cero.

• La función √x es continua para todos los númerosno negativos x, y derivable para todos los númerospositivos x (no es derivable para x = 0 ya que lapendiente de la tangente ahí es ∞). Su derivada estádada por

f ′(x) =1

2√x

• Las Series de Taylor de√x+ 1 en torno a x = 0 se

pueden encontrar usando el Teorema del binomio:

2.2 Irracionalidad de las raíces cuadradas

Una propiedad importante de la raíz cuadrada de losnúmeros enteros es que, si estos no son cuadrados per-fectos, sus raíces son siempre números irracionales, queson números no expresables como el cociente de dos nú-meros enteros. Es decir, la raíz cuadrada de un númeroentero siempre será entero o irracional, nunca un númeroracional.Cualquier número entero puede ser expresado como elproducto de una serie de factores primos elevados a di-versos exponentes. De ser todos pares, las propiedades dela potenciación permiten reducir la raíz a un número na-tural. Sólo si uno o más de los factores tiene un exponenteimpar la raíz no es natural.Si √n fuera racional se debería poder expresar como p

qcon p, q enteros y primos entre sí. Elevando al cuadradoambas partes se obtiene que n = p2

q2 , lo que es absurdo,pues a un lado queda al menos un factor primo con ex-ponente impar mientras que, al otro lado de la igualdad,tanto p2 como q2 se expresan en función de producto deprimos elevados a exponentes necesariamente pares.Por una reducción al absurdo llegaron los pitagóricos ala demostración de la irracionalidad de la raíz cuadradade 2, atribuida a Hipaso de Metaponto, un discípulo dePitágoras. La idea, contraria a lo esperado en la mate-mática de entonces, supuso la denominada crisis de losinconmensurables de la filosofía pitagórica.No obstante, es exactamente la longitud de la diagonal deun cuadrado cuyo lado mide 1, siendo fácil la construc-ción gráfica de la raíz. Por ello buena parte de la matemá-tica helénica se centró en la geometría aplicada como for-ma de calcular gráficamente valores como ése. Teodorode Cirene llegó a la espiral que lleva su nombre, que per-mite representar gráficamente cualquier raíz, y posterior-mente Euclides llegó a un método más general.

2.3 Radicales jerarquizados cuadrados

En diferentes contextos se utilizan radicales de la forma

√A+

√B

que en algunos casos puede ser escritos en la forma

√A+ 2

√B =

√x+

√y

lo que es factible si sólo si x + y = A, xy = B .[11][12] Lasexpresiones anteriores se denominan radicales jerarqui-zados.La identidad 2 =

√2 + 2 implica que 2 =√

2 +√2 + 2 , y por repeticiones sucesivas:

4 3 EXTENSIÓN DE LA FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA

2 =

√2 +

√2 +

√2 +

√2 + · · ·

Por razones análogas se obtiene:

3 =

√6 +

√6 +

√6 +

√6 + · · · ;

o que

4 =

√12 +

√12 +

√12 +

√12 + · · · ;

Si r es una entidad estrictamente superior a uno,

r =

√r(r − 1) +

√r(r − 1) +

√r(r − 1) +

√r(r − 1) + · · ·

Esta forma de expresar números mediante la repeticiónsucesiva de números contenidos dentro de raíces cuadra-das puede tener diversas aplicaciones como la resoluciónde algunos tipos de ecuación o la expresión de algunos nú-meros famosos como el número áureo o el número pi.[13]

2.4 Fracciones continuas

Uno de los resultados más intrigantes del estudio de nú-meros irracionales como fracciones continuas fue obteni-do por Joseph-Louis Lagrange cerca de 1780. Lagrangedescubrió que la raíz cuadrada de cualquier número en-tero positivo no cuadrado se puede representar por unafracción continua periódica, es decir, donde ocurre cier-to patrón de dígitos repetidamente en los denominadores.En un sentido estas raíces cuadradas son números irracio-nales mucho más simples, porque pueden ser representa-das con un patrón de dígitos de repetición simple.

√11 = 3 +

1

3 +1

6 +1

3 +1

6 +1

. . .

2.5 Aproximaciones enteras

Las primeras dadas por:Una observación de los primeros términos ponen de ma-nifiesto que la construcción para de enteros en enteros, yse salta sucesivamente un incremento de manera regular.Más precisamente:

• El cero es repetido una vez.

• El 1 tres veces.

• El 2 cinco veces

• El 3 siete veces.

• El 4 nueve veces.

El número de veces que el entero n es repetido es el n-ésimo entero impar. La prueba reside sobre la identidadsiguiente:

(a+ 1)2 − a2 = 2a+ 1

3 Extensión de la función raíz cua-drada

3.1 La raíz cuadrada en los números com-plejos

Raíz cuadrada compleja.

El cuadrado de cualquier número real positivo o negativoes positivo, y el cuadrado de 0 es 0. Por lo tanto, nin-gún número negativo puede tener una raíz cuadrada enlos números reales. Sin embargo, es posible trabajar conun sistemamás grande de números, llamados los númeroscomplejos, que contienen soluciones a la raíz cuadradade cualquier número real negativo (e incluso de cualquiernúmero complejo). Los números complejos pueden cons-truirse definiendo un nuevo número abstracto, denota-do por i (a veces j, especialmente en el contexto de laelectricidad) y llamado unidad imaginaria, que satisfaceque i2 = −1 . Utilizando esta notación podemos pen-sar en i como la raíz cuadrada de −1, pero notamos quetambién tenemos (−i)2 = i2 = −1 , así que (−i) es tam-bién una raíz cuadrada de −1. En general, si x es cualquier

3.1 La raíz cuadrada en los números complejos 5

Segunda hoja de la raíz cuadrada compleja.

Usando la superficie de Riemann de la raíz cuadrada, se puedever como encajan las dos hojas.

número real positivo, entonces en la raíz cuadrada prin-cipal de −x se cumple la siguiente igualdad:

√−x =

√−1

√x = ±i

√x

es decir, la raíz cuadrada de un número negativo es ne-cesariamente imaginario. Si se desea encontrar la raíz deun número imaginario es posible demostrar la igualdaden donde uno quiera

ñix =

√x2 ± i

√x2

Por los argumentos dados, i no puede ser ni positivo ninegativo. Esto crea un problema: para el número com-

plejo z , no podemos definir√z para ser la raíz cuadrada“positiva” de Z .Para cada número complejo diferente a cero z existenexacto dos números W tales que w2 = Z . Por ejemplo,las raíces cuadradas de i son:

√i =

√2

2(1 + i).

y

−√i = −

√2

2(1 + i).

La definición general de√z está introduciendo el siguien-te punto de rama: si z = r���eiφes representado encoordenadas polares con −π < φ ≤ π, después fijamosel valor principal a:

√z =

√r e

iϕ2

Así definido, la función de la raíz es holomorfa en todaspartes excepto en los números reales no positivos, dondeno es incluso continua. La antedicha serie de Taylor para√1 + x sigue siendo válida para el resto de los números

complejos x con |x| < 1.Ahora bien, sea un número complejo;

z =√

x+ iy

de este modo podemos expresar lo siguiente;

z = zre + izim

elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación;

x+ iy = z2re − z2im + i2zimzre

de manera que obtenemos un sistema de ecuaciones, quepuede ser resuelto;

1. z2re − z2im = x

2. 2zimzre = y

en este sentido, y en general, para un número complejoexpresado en forma rectangular, por medio de estas fór-mulas se obtiene:

√x+ iy = ±

(√|x+ iy|+ x

2+ i sgn(y)

√|x+ iy| − x

2

).

6 3 EXTENSIÓN DE LA FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA

donde |x+ iy| =√x2 + y2 (el valor absoluto o módulo

del número complejo), y el signo de la parte imaginariade la raíz coincide con el signo de la parte imaginaria delradicando (ver función signo (sgn)). Observe que debido ala naturaleza discontinua de la función de la raíz cuadradaen el plano complejo, la ley√zw =

√z·√w es en general

falsa, y tiene toda potencia en un conjunto determinado.Es incorrecto si se asume que esta ley es la base de variasdemostraciones inválidas, por ejemplo el demostrar que−1 = 1 :

−1 = i · i =√−1 ·

√−1 =

√−1 · (−1) =

√1 = ±1

Donde la tercera igualdad tiene que ser vista como:

√1 = 1 −→ 1 · 1 = 12 = 1

√1 = −1 −→ (−1) · (−1) = (−1)2 = 1

Al no considerarse, normalmente las dos ramas de la fun-ción raíz cuadrada, puede inducir a errores en la conside-ración de esta operación.Cada número complejo se puede escribir en su forma po-lar como:

reiθ

ya que

aeiα × beiβ = (ab) .ei(α+β).

entonces es fácil ver que:

√reiθ =

√r ei

θ2

3.1.1 Caso forma polar

Sea el complejo z = r(cosα+i sinα) entonces hay exac-tamente dos raíces cuadradas; la primera es:

√z =

√r(cos α

2 + i sin α2 )

Para la otra raíz se usa el argumento α/2+π, el módulo esel mismo[14]

3.1.2 Caso entero gaussiano

Las raíces cuadradas de un entero gaussiano no siempreson enteros gaussianos, por lo general son números com-plejos.

• Para el entero gaussiano i sus raíces son

√22 + i

√22

−√2

2 + i−√2

2

[15]

• Para el entero gaussiano−5+12i sus raíces cuadra-das, en este caso enteros gaussianos, son:

2 + 3i

−2− 3i

• En ciertos casos la raíz cuadrada de un entero gaus-siano pitagórico puede ser entero gaussiano.[16] Porejemplo:

Una raíz cuadrada de

7 + 24i

es

4 + 3i

3.2 Raíces cuadradas en los cuaterniones

Con los números complejos está asegurado que sólo exis-te un número finito de raíces n-ésimas de la unidad. Asípor ejemplo−1 tiene sólo dos raíces complejas i e −i. Sinembargo, en los números cuaterniónicos H hay un númeroinfinito de raíces cuadradas de −1: de hecho el conjuntode soluciones forma una esfera en el espacio tridimensio-nal. Para ver esto, sea q = a + bi + cj + dk un cuaternión,y supóngase que su cuadrado es −1. En términos de a, b,c y d esa asunción implica que

a2 − (b2 + c2 + d2) = −1,

2ab = 0,

2ac = 0,

2ad = 0.

Este conjunto de ecuaciones reales tiene infinitas solucio-nes. Para satisfacer las últimas tres ecuaciones debe tener-se que a = 0 o bien b = c = d = 0, sin embargo, esta últimaposibilidad no puede darse ya que al ser a un número realla primera ecuación implicaría que a2 = −1, pero eso esimposible para un número real. Por tanto a = 0 y b2 + c2+ d2 = 1. En otras palabras. Nótese que sólo un cuater-nión que sea igual a un número real negativo puede tenerun número infinito de raíces cuadradas. Todos los demástienen sólo dos raíces (o en el caso del 0 una única raíz).Dado un número cuaterniónico a0+a1i+a2j+a3k (queno sea un real negativo) sus dos raíces cuaterniónicas son:

4.2 Utilizando logaritmos 7

±b0 + a1i+a2j+a3k2b0

, b0 =√22

√a0 +

√a20 + a21 + a22 + a23

Lo anterior implica que la ecuación:

z2nq = 1, zq ∈ H, n ∈ N.

tiene infinitas soluciones, situadas sobre la esfera unidad.

3.3 Raíz cuadrada de matrices

La existencia de un producto de matrices permite definirla raíz cuadrada de una matriz como aquella matriz B quemultiplicada por sí misma da la originalA, es decir, B2=Aluego B=√A.

3.4 Raíz cuadrada en cuerpo finito

• Primero definamos los cuadrados, por ejemplo enF[7] el conjunto de los restos enteros módulo 7, {0,1, 2, 3, 4, 5, 6}. El signo = significa congruencia.[17]No todos todos los números de F[7] tienen.

• 12 = 1; 22 = 4; 32 = 2; 42 = 2; 52 = 4; 62= 1; 02 = 0.

• Diremos que a es la raíz cuadrada de b si a2 = b; sedenota a =

√b .

• de la lista anterior se ve que

1.√1 = 1 ;

2.√1 = 6

3.√2 = 3 ;

4.√2 = 4 ;

5.√4 = 2 ;

6.√4 = 5 ;

4 Cálculo de raíces cuadradas

Hoy en día existen muchos métodos para calcular la raízcuadrada, habiendo algunos aptos para el cálculo manualy otros mejor adaptados al cálculo automático.

4.1 Algoritmo

Cuando vamos a realizar la raíz cuadrada con su métodode resolución usual podemos ver las partes en las que sedivide, aunque las esenciales de ésta no tienen por quéaparecer o ser usadas solamente en la operación para sercalculada la raíz cuadrada. Según esta imagen, podemosver que las partes de las que se compone; son:

1. Radical: es el símbolo que indica que es una raíz cua-drada.

2. Radicando o cantidad subradical: es el número delque se obtiene la raíz cuadrada.

3. Raíz: es propiamente la raíz cuadrada del radicando.

4. Renglones auxiliares: nos ayudarán a resolver la raízcuadrada.

5. Resto: es el número final del proceso para resolverla raíz cuadrada.

4.2 Utilizando logaritmos

Se simplifica el cálculo utilizando logaritmos y suspropiedades empleando la tablas de logaritmos o reglasde cálculo.

2√x = antilog log(x)

2

4.3 Algoritmos para máquinas

Calculadoras, hojas de cálculo y otros softwares tambiénse usan con frecuencia para calcular raíces cuadradas. Losprogramas de software ponen típicamente buenas rutinasen su ejecución para computar la función exponencial yel logaritmo natural o logaritmo, computándose despuésla raíz cuadrada de x usando la identidad:

√x = e

12 ln x o√x = 10

12 log x

8 5 CONSTRUCCIÓN GEOMÉTRICA DE LA RAÍZ CUADRADA

5 Construcción geométrica de laraíz cuadrada

La raíz cuadrada de un número real se puede construir conregla y compás. En sus Elementos, Euclides (300 AC) diola construcción de la media geométrica de dos cantidadesen sus proposiciones II.14 y VI.13. Dado que la mediageométrica de a y b es

√ab , uno puede construir √a

simplemente tomando b = 1 .La construcción también fue dada por Descartes en sulibro La Géométrie, vea la figura 2 en la segunda página.Otro método de construcción geométrica (para las raí-ces de números naturales) usa triángulos rectángulos einducción:

√1 = 1 puede, desde luego, ser construido,

y una vez que √x ha sido construido, el triángulo con 1y√x como catetos, tiene una hipotenusa de

√x+ 1 .

5.1 Pasos a seguir para la construccióngeométrica

AO = 1, OB = a, OH = x

Para “calcular” geométricamente la raíz cuadrada de unnúmero real dado, lo que se hace es una construcción,mediante regla y compás, de un segmento que mida laraíz cuadrada de la longitud de un segmento original quetenga por longitud ese valor real dado.Los pasos a seguir son los siguientes:

1. Trazamos un segmento OB de longitud a , es de-cir, de longitud igual al número del cual queremoscalcular su raíz cuadrada.

2. Extendemos el segmento OB en una unidad (segúnla longitud que hayamos tomado como unidad) demodo que tengamos el segmentoAB de longitud a+1 .

3. Trazamos un círculo que tenga como diámetro elsegmento AB .

4. En el puntoO (que es donde empieza la extensión delongitud 1) trazamos una línea perpendicular a AB. Esta línea corta a la circunferencia en dos puntos.Sea H cualquiera de esos puntos. Entonces, resultaque el segmentoOH tiene una longitud:OH =

√a

.

Esta construcción tiene su importancia en el estudio delos números constructibles.

5.2 Demostración de que OH es igual a laraíz cuadrada de OB

Para demostrar esta igualdad, demostraremos que lostriángulos AOH y HOB son triángulos semejantes:

1. El ánguloH es un ángulo recto (de 90º) ya que ABes la diagonal de un arco capaz.

2. El segmento OH es perpendicular, por construc-ción, al segmento AB . O sea que los dos ánguloscon vértice en O , BOH (el derecho en el diagra-ma) como HOA (el izquierdo en el diagrama) sonángulos rectos.

3. La suma de todos los ángulos de un triángulo es iguala 180º.

Ahora teniendo en cuenta todo esto construimos el si-guiente sistema de ecuaciones:

1. 180 = 90 +B + (90−Hi)

2. 180 = 90 +A+Hi

DondeHi es el ángulo superior del triángulo izquierdo delcual desconocemos su abertura, las otras letras represen-tan los otros ángulos que desconocemos y el ángulo Hd

se puede representar como la resta de 90−Hi ya que 90ºes el valor de H entero. Al resolver la primera ecuaciónvemos que:

180 = 90 +B + 90−Hi

Hi = B

Con lo que ya demostramos que estos ángulos miden lomismo y al resolver el segundo:

90 = A+Hi

6.1 Raíz cuadrada de 2 9

A = 90−Hi

Con lo que al ser 90 −Hi = Hd se saca que A = Hd ycon esto queda demostrado que al medir todos los ánguloslo mismo son triángulos semejantes de manera AHiOi ~HdBOd . Al poseer esta semejante los lados de los trián-gulos tienen una proporcionalidad igual para los tres ladostal que:

OH

1=

OB

OH=

HB

AH

Recordando que al construir geométricamente la raízAOsiempre valía 1, con lo que cogiendo lo que nos interesadesarrollamos:

OH

1=

OB

OH

OB = OH2

OH =√OB

Quedando demostrada.

6 Raíces cuadradas útiles

Raíz cuadrada de 2.

6.1 Raíz cuadrada de 2

12 + 12 = x2

x =√2

Probablemente, la raíz cuadrada de 2 fue el primer nú-mero irracional descubierto, cuyo descubrimiento le cos-tó la vida a un correligionario de Pitágoras. El valor deeste número con 10 cifras decimales por truncamiento es1,4142135623. Aparece como seno y coseno de un án-gulo de 45 grados sexagesimales. Hay varias fórmulas derecurrencia para hallar su valor aproximado. Una de ellases el conocido método de la tangente de Newton. Su irra-cionalidad ya lo habían demostrado los griegos. Sin em-bargo, su fundamentación le debemos a Dedekind, Can-tor en el siglo XX. Ciertamente, no viene a ser sino unlímite igual que e, pi, tan útiles y esquivos porque nadiepuede escribir sus infinitas cifras; pero basta con menosde 10 dígitos decimales para lo que hace la ciencia y tec-nología.

6.2 Raíz cuadrada de 3

√3

√2

11

1

Mide raíz cuadrada de 3, la diagonal de un cubo cuyas aristasmiden 1.

La raíz cuadrada de 3:√3 , también conocida como cons-

tante de Teodoro (por Teodoro de Cirene), es geométri-camente el valor de la diagonal de un cubo cuyas aristasmiden la unidad, pudiéndose demostrar con el teorema dePitágoras. También es la hipotenusa de un triángulo rec-tángulo construible cuyos catetos miden raíz cuadrada de2 y la unidad respectivamente.El valor de este número con 10 cifras decimales por trun-camiento es 1,7320508075

10 9 REFERENCIAS

6.3 Raíz cuadrada de 5

La raíz cuadrada de 5:√5 , aparece en la fórmula del

número áureo, y es geométricamente la hipotenusa deun triángulo cuyos catetos miden 1 y 2 respectivamen-te, comprobándose mediante el teorema de Pitágoras.Su valor con 10 cifras decimales por truncamiento es2,2360679774.

7 Usos y casos

• La raíz cuadrada se usa para calcular la hipotenusade un triángulo rectángulo, conociendo los catetos.O uno de estos conociendo la hipotenusa y el otrocateto.

• Para hallar el radio de un círculo conociendo su área.

• En la detección de si un número entero positivoes primo; basta considerar como divisores primos,aquellos números primos que son menores que suraíz cuadrada, aproximada a unidades.

• Para hallar el tiempo en el movimiento uniformeacelerado sin velocidad inicial.

• Para conocer cuántos números impares iniciales,empezando desde el 1, se han sumado; usando comodato un cuadrado perfecto.

• En una función cuadrática canónica, conociendo laordenada, hallar las correspondientes abscisas.

• Para calcular la diagonal de un cuadrado conociendosu área.

• Para calcular la media cuadrática de datos positivos.[18]

• Al calcular él área de un triángulo equilátero, dondeinterviene

√3

• Al obtener el volumen de un tetraedro regular, enfunción de su arista, se emplea

√3 [19]

8 Véase también

• Cálculo de la raíz cuadrada

• Cuadrado (álgebra)

• Cuadrado perfecto

• Fórmula de De Moivre

• Función exponencial

• Radicación

• Raíz cuadrada de 2

• Raíz cuadrada de 3

• Raíz cuadrada de 5

• Raíz cúbica

• Raíz enésima de un número

• Raíz de la unidad

• Radical jerarquizado

• Residuo cuadrático

• Racionalización de radicales

9 Referencias

9.1 Notas[1] Espinoza. Diccionario de matemáticas. ISBN 84-8055-

355-3.

[2] Alfhors. Complex Analysis

[3] Plausible generalización al caso de un anillo no conmuta-tivo

[4] Anglin, W.S. (1994).Mathematics: A Concise History andPhilosophy. Nueva York: Springer-Verlag, 1994.

[5] Joseph, G. G., cap. 8.

[6] Boyer: Historia de la matemática

[7] Smith, David Eugene, pag. 148.

[8] Boyer, Carl Benjamin (1992): Historia de la matemáti-ca (pág. 360), traducido por Mariano Martínez Pérez.Madrid: Alianza Editorial, 1992. ISBN 84-206-8094-Xe ISBN 84-206-8186-5.

[9] Ifrah, Georges (1997):Historia universal de las cifras (pág.1452). Madrid: Espasa-Calpe, 1997. ISBN 978-84-239-9730-5 e ISBN 84-239-9730-8.

[10] Milton Donaire Peña. Formas y números. Editorial SanMarcos, Lima. ISBN 978-612-45279-9-9

[11] Alencar Filho, Edgard de: Exercicios de Geometria Pla-na[1986]

[12] Bruño G. M.: Elementos de Geometría [1980]

[13] Elementos de Geometría de Bruño, pp. 148, 149 y 150

[14] Aplicación del Teorema de De Moivre. En Variable com-pleja con aplicaciones de William R. Derrick ISBN 968-7270-35-7

[15] Se ha usado la forma polar de i

[16] El entero gaussiano (a,b) es pitagórico si existe un c enterotal que a2 + b2 = c2 , Cf. Formas y figuras de MiltonDonaire ISBN 978-612-45279-9-9

[17] Fraleigh: Algebra abstracta

[18] Galdós. Aritmética

[19] Formulario de Matemáticas «Cerebrito», Lima.

9.3 Enlaces externos 11

9.2 Bibliografía

• Stewart, James (2006). Cálculo: Conceptos y contex-tos. México D.F.: Thomson. ISBN 970-686-543-8 eISBN 978-970-686-543-4.

• Joseph, George Gheverghese (2000). The crest ofthe peacock: the non-European roots of mathema-tics (La cresta del pavo real: Raíces no europeas dela matemática). Londres. ISBN 0-691-00659-8 e ISBN978-0-691-00659-8.

• Smith, David Eugene (1925). History of Mathema-tics (vol 2) special topics of elementary Mathematics(Historia de la matemática, vol 2, asuntos especia-les de la matemática elemental). Boston. ISBN 0-486-20430-8 e ISBN 978-0-486-20430-7.

• Anglin, W.S. (Diciembre de 1994).Mathematics: AConcise History and Philosophy (Matemática: Unahistoria y una filosofía concisas). New York. ISBN0-387-94280-7 e ISBN 978-0-387-94280-3.

9.3 Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga contenido multi-media sobre Raíz cuadrada. Commons

• Wikcionario tiene definiciones y otra informa-ción sobre raíz.Wikcionario

• Programa java para hallar la raíz cuadrada de núme-ros enteros con muchísimas cifras decimales:

12 10 TEXTO E IMÁGENES DE ORIGEN, COLABORADORES Y LICENCIAS

10 Texto e imágenes de origen, colaboradores y licencias

10.1 Texto• Raíz cuadrada Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Ra%C3%ADz_cuadrada?oldid=85555736 Colaboradores: Joseaperez, Sabbut, Mo-riel, Julie, Vivero, Rosarino, Sms, Elwikipedista, Tano4595, Aracne, PeiT, Loco085, FAR, Boticario, Petronas, Paracelsiux, Airunp, Taichi,Rembiapo pohyiete (bot), LP, Magister Mathematicae, Alpertron, RobotQuistnix, Unf, Chobot, Alejandro24, Yrbot, Amadís, Oscar ., Vi-tamine, GermanX, Beto29, Heliocrono, Hatrum, Banfield, Götz, Er Komandante, Camima, Tuncket, Axxgreazz, Jorgechp, Llosa, Kn,BOTpolicia, CEM-bot, JMCC1, -jem-, Ignacio Icke, Marianov, Coldplayer, Davius, Antur, Hichokei, Gafotas, Ggenellina, Ingenioso Hi-dalgo, Thijs!bot, RoyFocker, WikiCholi, Isha, Egaida, Mpeinadopa, JAnDbot, Kved, Muro de Aguas, TXiKiBoT, Humberto, Netito777,Pabloallo, Mazuelo, Nioger, Pólux, Sailorsun, VolkovBot, Technopat, Galandil, Queninosta, Raystorm, Sergio Alvaré, Belgrano, Matdro-des, Fernando Estel, DJ Nietzsche, AlleborgoBot, Carmel2007, Muro Bot, J.M.Domingo, Alexandrosas, Racso, Darwino, SieBot, Ctrl Z,PaintBot, Cap265, Drinibot, Bigsus-bot, Macy, BOTarate, Mel 23, Manwë, MacaBot, Greek, Mafores, Djacnov, Tirithel, Jarisleif, Dnu72,Newganda, HUB, Huldhini, Nicop, Dr0gNan, DragonBot, Alvaro SG, Eduardosalg, Leonpolanco, Ttbya, Botito777, Petruss, Rαge, Ai-kasse, -antonio-, Raulshc, Palcianeda, UA31, Ucevista, AVBOT, David0811, LucienBOT, Angel GN, Politiconomicon, Diegusjaimes,Joelcuervo, Saloca, Andreasmperu, Luckas-bot, Amirobot, WikiDreamer Bot, Nallimbot, Jotterbot, Woden, LyingB, Barteik, Cazadorg-xalex, Nixón, Diogeneselcinico42, SuperBraulio13, Xqbot, Jkbw, Rubinbot, Ricardogpn, Bot0811, Kismalac, Igna, D'ohBot, TiriBOT,TobeBot, Halfdrag, Jerowiki, Jembot, PatruBOT, Raitorick, Corrector1, Ripchip Bot, Tarawa1943, EugenioCaprioglio, Foundling, Amo-lapsareh, Axvolution, Edslov, EmausBot, Regrese2405, Savh, AVIADOR, Alfredomen, Iwèr, Grillitus, Rubpe19, Sirgolfante, Mecamático,Emiduronte, Jcaraballo, ChuispastonBot, Daigo100, Khiari, Arnold herrera, MadriCR, Waka Waka, D-Melx, Antonorsi, SaeedVilla, Mer-lIwBot, JABO, Julio grillo, Aljavi8, Allan1097, Sebrev, Ginés90, Invadibot, Dasouk, Erestordk, Jackhaven, Mariana09245, DerKrieger,Azulitostich, Acratta, Xjijijhh, ChelySac, Karliiiyta, Adrian Pinos, Helmy oved, Charmandel, Jllompi, Arrayan3, CaJa UV, Lautaro 97,Jean70000, Addbot, Balles2601, JacobRodrigues, Manuel Balarezo, Encleado95, Babythax, Jarould, Chema vervo, Matiia, Comedor deescrotos gordos, LittleConfucius, K3v1n2015, X2y3, Bombi80, Un tal Edwin Pizza Aguilar, Calisto Francisco y Anónimos: 457

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