Raíces de Ecuaciones - Raíces de Polinomios - · por el método de Birge-Vieta se usa el estimado . ... de la interacción Newton- Raphson, ... 6) Calcular los valores improvisados

Raíces de Ecuaciones- Raíces de Polinomios -

Contenido

• Raíces de Polinomios• Método de Birge-Vieta• Método de Lin-Bairstow

Raíces de Polinomios

• Obtención de todas las raíces (reales y complejas) de un polinomio• Método de Birge-Vieta (raíces reales) • Método de Lin-Bairstow (raíces complejas)

• Un polinomio de grado "𝒏𝒏" es de la forma𝑷𝑷𝒏𝒏 𝒙𝒙 = 𝒂𝒂𝟎𝟎𝒙𝒙𝒏𝒏 + 𝒂𝒂𝟏𝟏𝒙𝒙𝒏𝒏−𝟏𝟏 + 𝒂𝒂𝟐𝟐𝒙𝒙𝒏𝒏−𝟐𝟐 + ⋯+ 𝒂𝒂𝒏𝒏−𝟏𝟏𝒙𝒙 + 𝒂𝒂𝒏𝒏 = 𝟎𝟎

• Teorema Fundamental del Álgebra• Cada ecuación algebraica (polinomial) con coeficientes complejos tiene al

menos una raíz real o compleja.


Algoritmos de división de polinomios• Si 𝑷𝑷(𝒙𝒙) y 𝑭𝑭(𝒙𝒙) son dos polinomios de 𝒙𝒙 y 𝑭𝑭(𝒙𝒙) ≠ 𝟎𝟎, entonces es posible

obtener dos polinomios 𝑸𝑸(𝒙𝒙) y 𝑹𝑹(𝒙𝒙) tales que 𝑷𝑷 𝒙𝒙 = 𝑸𝑸 𝒙𝒙 𝑭𝑭 𝒙𝒙 + 𝑹𝑹(𝒙𝒙)

𝑷𝑷(𝒙𝒙) es el dividendo 𝑸𝑸(𝒙𝒙) es el cociente 𝑭𝑭(𝒙𝒙) es el divisor 𝑹𝑹(𝒙𝒙) es el residuo donde ya sea 𝑹𝑹(𝒙𝒙) = 𝟎𝟎, o el grado de 𝑹𝑹(𝒙𝒙) es menor al grado de 𝑭𝑭(𝒙𝒙).

• Ejemplo:𝑥𝑥3 + 𝑥𝑥2 − 10𝑥𝑥 + 8 dividido entre (𝑥𝑥 − 3)

𝑥𝑥3 + 𝑥𝑥2 − 10𝑥𝑥 + 8 = 𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥 + 2 𝑥𝑥 − 3 + 14


Teorema del Residuo• El residuo que se obtiene al dividir 𝑷𝑷(𝒙𝒙) entre (𝒙𝒙 − 𝜶𝜶), es igual al

valor de 𝑷𝑷(𝜶𝜶). • Demostración. Dividir 𝑷𝑷(𝒙𝒙) entre (𝒙𝒙 − 𝜶𝜶) usando el algoritmo de

división:𝑷𝑷 𝒙𝒙 = 𝑸𝑸 𝒙𝒙 𝒙𝒙 − 𝜶𝜶 + 𝑹𝑹

evaluar 𝑷𝑷 en 𝜶𝜶𝑷𝑷 𝜶𝜶 = 𝑸𝑸 𝜶𝜶 𝜶𝜶 − 𝜶𝜶 + 𝑹𝑹

𝑷𝑷 𝜶𝜶 = 𝑹𝑹


Teorema del FactorTodo polinomio de la forma:

𝑷𝑷𝒏𝒏 𝒙𝒙 = 𝒂𝒂𝟎𝟎𝒙𝒙𝒏𝒏 + 𝒂𝒂𝟏𝟏𝒙𝒙𝒏𝒏−𝟏𝟏 + 𝒂𝒂𝟐𝟐𝒙𝒙𝒏𝒏−𝟐𝟐 + ⋯+ 𝒂𝒂𝒏𝒏−𝟏𝟏𝒙𝒙 + 𝒂𝒂𝒏𝒏 = 𝟎𝟎tiene a lo mucho 𝒏𝒏 raíces distintas 𝜶𝜶𝒊𝒊 (𝒊𝒊 = 𝟏𝟏,𝒏𝒏).Si 𝜶𝜶𝟏𝟏 es una raíz, es decir, si 𝑷𝑷𝒏𝒏 𝜶𝜶𝟏𝟏 = 𝟎𝟎, entonces por el teorema de residuo:

𝑷𝑷𝒏𝒏 𝒙𝒙 = 𝑷𝑷𝒏𝒏−𝟏𝟏 𝒙𝒙 𝒙𝒙 − 𝜶𝜶𝟏𝟏 + 𝑷𝑷𝒏𝒏 𝜶𝜶𝟏𝟏 = 𝑷𝑷𝒏𝒏−𝟏𝟏 𝒙𝒙 𝒙𝒙 − 𝜶𝜶𝟏𝟏simultáneamente, si 𝜶𝜶𝟐𝟐 es una raíz de 𝑷𝑷𝒏𝒏−𝟏𝟏 𝒙𝒙 = 𝟎𝟎 (también será la raíz de 𝑷𝑷𝒏𝒏−𝟏𝟏(𝒙𝒙)), tal que

𝑷𝑷𝒏𝒏−𝟏𝟏 𝒙𝒙 = 𝑷𝑷𝒏𝒏−𝟐𝟐 𝒙𝒙 𝒙𝒙 − 𝜶𝜶𝟐𝟐 = 𝟎𝟎si continuamos con este proceso hasta llegar a:

𝑷𝑷𝟏𝟏 𝒙𝒙 = 𝒙𝒙 − 𝜶𝜶𝒏𝒏 + 𝟎𝟎y sustituimos (hacia atrás) los valores 𝑷𝑷𝒏𝒏−𝟏𝟏(𝒙𝒙) obtenemos:

𝑷𝑷𝒏𝒏 𝒙𝒙 = 𝒙𝒙 − 𝜶𝜶𝟏𝟏 𝒙𝒙 − 𝜶𝜶𝟐𝟐 ⋯ 𝒙𝒙 − 𝜶𝜶𝒏𝒏−𝟏𝟏 𝒙𝒙 − 𝜶𝜶𝒏𝒏 = 𝟎𝟎

Método de Birge-Vieta

Para calcular las raíces de𝑷𝑷𝒏𝒏 𝒙𝒙 = 𝒂𝒂𝟎𝟎𝒙𝒙𝒏𝒏 + 𝒂𝒂𝟏𝟏𝒙𝒙𝒏𝒏−𝟏𝟏 + 𝒂𝒂𝟐𝟐𝒙𝒙𝒏𝒏−𝟐𝟐 + ⋯+ 𝒂𝒂𝒏𝒏−𝟏𝟏𝒙𝒙 + 𝒂𝒂𝒏𝒏 = 𝟎𝟎

por el método de Birge-Vieta se usa el estimado 𝒙𝒙𝒊𝒊 =

−𝒂𝒂𝒏𝒏𝒂𝒂𝒏𝒏−𝟏𝟏

usando la división sintética


después calcule el siguiente estimado 𝒙𝒙𝒊𝒊+𝟏𝟏 de la raíz por la fórmula interactiva de Newton-Raphson.

𝒙𝒙𝒊𝒊+𝟏𝟏 = 𝒙𝒙𝒊𝒊 −𝑷𝑷𝒏𝒏(𝒙𝒙𝒊𝒊)𝑷𝑷′𝒏𝒏(𝒙𝒙𝒊𝒊)


Resumen Computacional por el Método de Birge-Vieta0) Entrada de datos e inicialización. Leer los parámetros 𝐍𝐍 (grado), 𝐌𝐌 (máximo

número de iteraciones),𝜺𝜺 (término de convergencia), 𝒙𝒙𝟎𝟎 (estimación inicial de la raíz), 𝒉𝒉 (si 𝑷𝑷′𝒏𝒏(𝒙𝒙𝟎𝟎) ≤ 𝜺𝜺, obtener 𝒙𝒙𝟎𝟎 por incrementos de 𝒉𝒉), y coeficientes 𝒂𝒂𝒌𝒌 (𝒌𝒌 = 𝟏𝟏,𝑵𝑵) de 𝑷𝑷𝒏𝒏(𝒙𝒙). Poner el contador 𝒋𝒋 = 𝟏𝟏.

1) Calcular el grado 𝒏𝒏 del actual polinomio 𝑷𝑷𝒏𝒏(𝒙𝒙),donde 𝒏𝒏 = 𝐍𝐍 + 𝟏𝟏 − 𝒋𝒋. Poner el estimado inicial 𝒙𝒙𝟎𝟎 de la raíz 𝜶𝜶𝒋𝒋. Iniciar el contador de N-R en 𝒎𝒎 =𝟏𝟏.

2) a) Calcular los términos 𝒑𝒑𝒌𝒌(𝒙𝒙𝟎𝟎)

b) Calcular las derivadas de �𝒑𝒑𝒌𝒌(𝒙𝒙𝟎𝟎)


3) Calcular la siguiente estimación �𝒙𝒙 de la raíz 𝜶𝜶𝒋𝒋, por N-R.

�𝒙𝒙 = 𝒙𝒙𝟎𝟎 −𝑷𝑷𝒏𝒏(𝒙𝒙𝟎𝟎)𝑷𝑷′𝒏𝒏(𝒙𝒙𝟎𝟎)

donde 𝑷𝑷𝒏𝒏 𝒙𝒙𝟎𝟎 = 𝒑𝒑𝒏𝒏(𝒙𝒙𝟎𝟎) y 𝑷𝑷′𝒏𝒏 𝒙𝒙𝟎𝟎 = �𝒑𝒑𝒏𝒏(𝒙𝒙𝟎𝟎)Checar convergencia de la raíz 𝜶𝜶𝒋𝒋 (también checar si 𝑷𝑷′𝒏𝒏(𝒙𝒙𝟎𝟎) ≤ 𝜺𝜺)

Si �𝒙𝒙 − 𝒙𝒙𝟎𝟎 > 𝜺𝜺, checar el contador 𝒎𝒎.Si 𝒎𝒎 ≤ 𝑴𝑴, set 𝒎𝒎 = 𝒎𝒎 + 𝟏𝟏, poner 𝒙𝒙𝟎𝟎 = �𝒙𝒙, regresar al paso 3Si 𝒎𝒎 > 𝑴𝑴, ir a “falla por convergencia” (salida).

4) Reemplazar 𝑷𝑷𝒏𝒏(𝒙𝒙) por𝑷𝑷𝒏𝒏−𝟏𝟏 𝒙𝒙 = 𝒙𝒙𝒏𝒏−𝟏𝟏 + 𝒑𝒑𝟏𝟏 𝜶𝜶𝒋𝒋 𝒙𝒙𝒏𝒏−𝟐𝟐 + ⋯+ 𝒑𝒑𝒏𝒏−𝟐𝟐 𝜶𝜶𝒋𝒋 𝒙𝒙 + 𝒑𝒑𝒏𝒏−𝟏𝟏(𝜶𝜶𝒋𝒋)

esto es, reemplace 𝒂𝒂𝒌𝒌 por 𝒑𝒑𝒌𝒌 𝜶𝜶𝒋𝒋 𝒌𝒌 = 𝟏𝟏,𝒏𝒏 − 𝟏𝟏


5) Si 𝒋𝒋 < 𝑵𝑵− 𝟏𝟏, poner 𝒋𝒋 = 𝒋𝒋 + 𝟏𝟏 y regresar al paso 1Si 𝒋𝒋 = 𝑵𝑵− 𝟏𝟏, poner 𝒋𝒋 = 𝒋𝒋 + 𝟏𝟏 e ir al paso 6

6) Calcular la 𝒏𝒏-ésima (última) raíz de la ecuación original resolviendo la ecuación lineal 𝒙𝒙 + 𝒂𝒂𝟏𝟏 = 𝟎𝟎, entonces 𝜶𝜶𝑵𝑵 = −𝒂𝒂𝟏𝟏.

7) Salida. Escribir las raíces 𝜶𝜶𝒋𝒋 (𝒋𝒋 = 𝟏𝟏,𝑵𝑵) de 𝑷𝑷𝑵𝑵 𝒙𝒙 = 𝟎𝟎.


Ejemplo: • Encontrar las raíces del siguiente polinomio:


Solución:




Dividiendo 𝑷𝑷(𝒙𝒙) entre (𝒙𝒙 − 𝟏𝟏) obtenemos el polinomio cuadrático:


Las raíces de éste polinomio la obtenemos de la fórmula general:

Resultado:

(𝒙𝒙 − 𝟏𝟏)

Método de Lin-Bairstow

• El método de Lin-Bairstow es un procedimiento interactivo para calcular las raíces (reales o complejas) de una ecuación polinomialcon coeficientes reales requiriendo sólo manipulación de números reales en sus cálculos.

• El método se basa en las extracciones sucesivas de factores cuadráticos 𝑭𝑭𝒎𝒎(𝒙𝒙) (𝒎𝒎 = 𝟏𝟏,𝟐𝟐, … ) del polinomio original de grado 𝐍𝐍 y de los factores polinomiales sucesivos de grado 𝐍𝐍 − 𝟐𝟐𝒎𝒎.

• Cada factor cuadrático es determinado por un procedimiento interactivo de corrección diferencial.


Si 𝑷𝑷𝒏𝒏(𝒙𝒙) es dividido por un factor cuadrático 𝑭𝑭(𝒙𝒙) = 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒓𝒓𝒙𝒙 + 𝒔𝒔, donde 𝒓𝒓 y𝒔𝒔 son constantes reales arbitrarias, obtenemos:

𝑷𝑷𝒏𝒏 𝒙𝒙 = 𝑭𝑭 𝒙𝒙 𝑷𝑷𝒏𝒏−𝟐𝟐 𝒙𝒙 + 𝑹𝑹𝒙𝒙 + 𝑺𝑺y en su forma expandida𝒙𝒙𝒏𝒏 + 𝒂𝒂𝟏𝟏𝒙𝒙𝒏𝒏−𝟏𝟏 + 𝒂𝒂𝟐𝟐𝒙𝒙𝒏𝒏−𝟐𝟐 + ⋯+ 𝒂𝒂𝒏𝒏−𝟏𝟏𝒙𝒙 + 𝒂𝒂𝒏𝒏= 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒓𝒓𝒙𝒙 + 𝒔𝒔 𝒙𝒙𝒏𝒏−𝟐𝟐 + 𝒃𝒃𝟏𝟏𝒙𝒙𝒏𝒏−𝟑𝟑 + 𝒃𝒃𝟐𝟐𝒙𝒙𝒏𝒏−𝟒𝟒 + ⋯+ 𝒃𝒃𝒏𝒏−𝟑𝟑𝒙𝒙 + 𝒃𝒃𝒏𝒏−𝟐𝟐 + 𝑹𝑹𝒙𝒙 +𝑺𝑺donde 𝑹𝑹𝒙𝒙 + 𝑺𝑺 son residuos.Igualando coeficientes obtenemos que:𝑹𝑹 = 𝒃𝒃𝒏𝒏−𝟏𝟏𝑺𝑺 = 𝒃𝒃𝒏𝒏 + 𝒓𝒓𝒃𝒃𝒏𝒏−𝟏𝟏


Si los valores iniciales estimados 𝒓𝒓𝟎𝟎, 𝒔𝒔𝟎𝟎 de las raíces del sistema de ecuaciones son conocidos, y si estos valores son incrementados por pequeños cambios de 𝜹𝜹𝒓𝒓 y 𝜹𝜹𝒔𝒔, entonces las aproximaciones del primer orden de los cambios resultantes en las funciones𝑹𝑹(𝒓𝒓, 𝒔𝒔) y 𝑺𝑺(𝒓𝒓, 𝒔𝒔) respectivamente, están dados por las ecuaciones diferenciales totales

𝜹𝜹𝑹𝑹 = 𝑹𝑹𝒓𝒓𝜹𝜹𝒓𝒓 + 𝑹𝑹𝒔𝒔𝜹𝜹𝒔𝒔 = −𝑹𝑹 𝒓𝒓𝟎𝟎, 𝒔𝒔𝟎𝟎 = −𝑹𝑹𝜹𝜹𝑺𝑺 = 𝑺𝑺𝒓𝒓𝜹𝜹𝒓𝒓 + 𝑺𝑺𝒔𝒔𝜹𝜹𝒔𝒔 = −𝑺𝑺 𝒓𝒓𝟎𝟎, 𝒔𝒔𝟎𝟎 = −𝑺𝑺

Si definimos

𝒑𝒑𝒌𝒌 =𝝏𝝏𝒃𝒃𝒌𝒌𝝏𝝏𝒓𝒓

and 𝒒𝒒𝒌𝒌 =𝝏𝝏𝒃𝒃𝒌𝒌𝝏𝝏𝒔𝒔

y diferenciamos 𝒃𝒃𝒌𝒌(𝒌𝒌 = 𝟏𝟏,𝟐𝟐, … ,𝒏𝒏) con respecto a 𝒓𝒓 y 𝒔𝒔, podemos obtener:𝑹𝑹𝒓𝒓 = 𝒑𝒑𝒏𝒏−𝟏𝟏, 𝑹𝑹𝒔𝒔 = 𝒒𝒒𝒏𝒏−𝟏𝟏

𝑺𝑺𝒓𝒓 = 𝒑𝒑𝒏𝒏 + 𝒓𝒓𝒑𝒑𝒏𝒏−𝟏𝟏 + 𝒃𝒃𝒏𝒏−𝟏𝟏, 𝑺𝑺𝒔𝒔 = 𝒒𝒒𝒏𝒏 + 𝒓𝒓𝒒𝒒𝒏𝒏−𝟏𝟏donde 𝒒𝒒𝒌𝒌+𝟏𝟏 = 𝒑𝒑𝒌𝒌


El número de cálculos requeridos en cada iteración del método de Bairstowpuede ser reducido usando la relación 𝒒𝒒𝒌𝒌+𝟏𝟏 = 𝒑𝒑𝒌𝒌 y las ecuaciones diferenciales de 𝜹𝜹𝒓𝒓 y 𝜹𝜹𝒔𝒔 se pueden simplificar a la siguiente forma:

Los términos se pueden calcular usando división sintética cuadrática como sigue:


Resumen computacional para el método Lin-Bairstow0) Entrada datos e inicialización. Leer los parámetros: grado = 𝐍𝐍, valores

iniciales (𝒓𝒓𝟎𝟎, 𝒔𝒔𝟎𝟎), criterio de convergencia = 𝜺𝜺. Leer los coeficientes𝜶𝜶𝒌𝒌 (𝒌𝒌 = 𝟏𝟏,𝑵𝑵) de 𝑷𝑷𝑵𝑵(𝒙𝒙). Poner el índice 𝒎𝒎 = 𝟎𝟎 (𝒎𝒎 = número de factores cuadráticos extraídos), poner el índice 𝒋𝒋 = 𝟏𝟏 (𝒋𝒋 = contador de raíces pares).

1) Calcule el grado 𝒏𝒏 = 𝐍𝐍 − 𝟐𝟐𝒎𝒎 del polinomio actual. Inicialice el contador de la interacción Newton-Raphson, 𝑳𝑳 = 𝟎𝟎. Ponga los valores de (𝒓𝒓, 𝒔𝒔) a sus valores iniciales (𝒓𝒓𝟎𝟎, 𝒔𝒔𝟎𝟎).

2) Cheque el grado 𝒏𝒏. Si 𝒏𝒏 > 𝟐𝟐, ir al paso 3. Si 𝒏𝒏 = 𝟐𝟐, ir al paso 2b. Si 𝒏𝒏 <𝟐𝟐, ir al paso 2a.a) Calcular la raíz 𝜶𝜶𝒋𝒋 de la ecuación lineal 𝒙𝒙 + 𝒂𝒂𝟏𝟏 = 𝟎𝟎; ir al paso 9.b) Calcular la raíz 𝜶𝜶𝒋𝒋, 𝜶𝜶𝒋𝒋+𝟏𝟏 de 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒂𝒂𝟏𝟏𝒙𝒙 + 𝒂𝒂𝟐𝟐; ir al paso 9.


3) Dividir 𝑷𝑷𝒏𝒏(𝒙𝒙) por 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒓𝒓𝒙𝒙 + 𝒔𝒔, y calcular 𝑹𝑹, 𝑺𝑺.

entonces

4) Calcular las derivadas parciales 𝑅𝑅𝑟𝑟 ,𝑅𝑅𝑠𝑠, 𝑆𝑆𝑟𝑟 , 𝑆𝑆𝑠𝑠.

entonces


5) Resolver la ecuación corregida diferencial para 𝜹𝜹𝒓𝒓,𝜹𝜹𝒔𝒔.

6) Calcular los valores improvisados de las raíces de 𝑹𝑹(𝒓𝒓, 𝒔𝒔) = 𝟎𝟎 =𝑺𝑺(𝒓𝒓, 𝒔𝒔).


7) Cheque la convergencia del diferencial corregido.a) Si ambas 𝜹𝜹𝒓𝒓 ≤ 𝜺𝜺 y 𝜹𝜹𝒔𝒔 ≤ 𝜺𝜺, calcule 𝜶𝜶𝒋𝒋,𝜶𝜶𝒋𝒋+𝟏𝟏 de la cuadrática 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒓𝒓𝒙𝒙 +

𝒔𝒔 = 𝟎𝟎, ir al paso 8.b) Si ya sea 𝜹𝜹𝒓𝒓 > 𝜺𝜺 o 𝜹𝜹𝒔𝒔 > 𝜺𝜺, cheque el índice 𝑳𝑳. Si 𝑳𝑳 ≤ 𝑳𝑳𝒎𝒎𝒂𝒂𝒙𝒙, incremente

𝑳𝑳 por 1 e ir al paso 3. Si 𝑳𝑳 > 𝑳𝑳𝒎𝒎𝒂𝒂𝒙𝒙, ir a la salida "fallo por convergencia".

8) Reemplace 𝑷𝑷𝒏𝒏(𝒙𝒙) por 𝑷𝑷𝒏𝒏−𝟐𝟐(𝒙𝒙), por ejemplo 𝒂𝒂𝒌𝒌 por 𝒃𝒃𝒌𝒌 (𝒌𝒌 = 𝟏𝟏,𝒏𝒏 −𝟐𝟐). Incremente el contador del factor cuadrático 𝒎𝒎 por 1. Incremente el contador de las raíces pares 𝒋𝒋 por 2. Regrese al paso 1.

9) Salida. Escribir los coeficientes 𝒂𝒂𝒌𝒌 y las raíces 𝜶𝜶𝒋𝒋.


Ejemplo:Calcular las raíces de:


Solución:Por división sintética cuadrática:





Problemas

1. Calcule las raíces de la siguiente función polinomial por el método de Birge-Vieta:

2. Calcule las raíces de la siguiente función polinomial por el método de Lin-Bairstow:

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