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1 Clasificación de funciones

Grado 10 Tema

Matematicas - Unidad 1Reconozcamosotras característicasde la función

Clasificación de funciones

Nombre: Curso:

La taxonomía es conocida como la ciencia de la clasificación que permite ordenar la diversidad biológica en taxones anidados unos dentro de otros, ordenados de forma jerárquica, formando un sistema de clasificación. En matemáticas, podemos clasificar las funciones dependiendo de sus características. En el desarrollo de las actividades se espera deducir y formalizar algunas de ellas.

Con base en la representación analítica de la Ley de Dolbear, calcula las imágenes T(n) correspondientes a los valores de “n” dados en la tabla, luego escríbelos en la columna correspondiente y dibújalos en el plano presentado al costado derecho. Finalmente, analiza las relaciones que establecen en el diagrama de dispersión creado.

Ley de DolbearRelación entre el número de chirridos por minuto que emite el grillo de campo y la temperatura del ambiente en el cual se encuentra el grillo.

La función que modela la situación es:

Actividad Introductoria: Reconocimiento de una función biyectiva.

T(n)= ( + 6 ) 5 n9 4

Número de chirridos por minutoque emite el grillo

Temperatura del ambienteen el cual se encuentra el grillo


n

0

30

60

90

120

150

180

210

240

270

300

50,00

45,00

40,00

35,00

30,00

25,00

20,00

15,00

10,00

5,00

0,00

300250200150100500 350

T (n)

La ley de Dolbear establece una relación entre el número de chirridos por minuto que emite el grillo de campo y la temperatura del ambiente en el cual se encuentra el grillo.

» Reconocer las características de las funciones a partir de una clasificación.

• Determinar qué tipo de funciones son inyectivas.

• Determinar qué tipo de funciones son sobreyectivas.

• Determinar qué tipo de funciones son biyectivas

Describe cada una de las situaciones que se plantean en el video “parejas de baile”, y discute, frente a la clase y en conjunto con el profesor, las características que presenta cada una de ellas. Luego, identifica las diferencias y similitudes. Finalmente, en la situación planteada en el video ¿qué otras situaciones pueden generarse?

Características


Actividad 1: Deduciendo inyectividad, sobreyectividad y biyectividad.

Observa los siguientes gráficos, y con base en análisis realizado en la actividad 1, completa cada enunciado de tal forma que sea coherente su significado.

Con base en la correspondencia definida para la función dada, realice un diagrama sagital, una tabla de valores y un conjunto de parejas ordenadas; y utilícelos para determinar si ƒ es inyectiva o no inyectiva.

Dados T = {3, 4, 5, 6, 7} y S = {9, 7, 5, 6, 8, 4}. Sea ƒ una función, tal que ƒ: T —› S, definida por ƒ(x) = x+2, para todo x ϵ T.

Ejercicio 1

x y = ƒ (x) = x + 2 ƒ ST

Una función ƒ: X —› Y es inyectiva (uno a uno), si se cumple siempre que para todo x1 ≠ x2 pertenecientes al conjunto X, sus son diferentes ƒ (x1) ≠ ƒ (x2) pertenecientes al conjunto Y, y cumple también que y1 y y2 son imágen de un elemento del cada una.

Una función ƒ: X —› Y es sobreyectiva si está aplicada sobre todo el , es decir,cuando elemento de Y es la de como un elemento de X.

Una función es biyectiva si al mismo tiempo es y es decir, si los elementos del conjunto dominio tienen una distintaen el conjunto codominio, y a elemento del conjunto codominio le correspondeuna distinta en el conjunto dominio.

Función Inyectiva

Función Biyectiva

Función Sobreyectiva

Tabla de valores Diagrama sagital


Actividad 2: Deduciendo y reconociendo inyectividad, sobreyectividad y biyectividad.

Actividad3: Reconociendo inyectividad.

sea g una función tal que g: A —› B , definida por g(x) = x² - 1, para todo x ϵ A.

Ejercicio 2

x y = g(x) = x² - 1 g BA


Dados A= -2, - , -1, - , 0, , 1, , 2 y B= 3, , 0, - , -1, 0, - , 0, , 33

2

3

2 3

4

3

4

1

2

1

25

4

5

4 { { { {


Conjunto de parejas ordenadas


Respuesta:

ƒ = { ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) }

g = { ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ),

( , ) , ( , ) }

ƒ es inyectiva No inyectiva , ¿por qué?

Ejercicio 3

Dados C= { -4, -3 ,-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4) y D= .

sea h una función, tal que h: C —› D , definida por h(x) = 10 , para todo x ϵ C. ₓ

1 1 1 1

10⁴ 10³ 10² 10¹, , , , 1, 10¹, 10², 10³, 10⁴

x h DC


y = h(x) = 10ₓ


h = { ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ),

( , ) , ( , ) }

{ {


Respuesta: g es inyectiva No inyectiva , ¿por qué?

Respuesta: h es inyectiva No inyectiva , ¿por qué?

Con base en la correspondencia definida para la función dada, realice un diagrama sagital, una tabla de valores y un conjunto de parejas ordenadas; y utilícelos para determinar si f es sobreyectiva o no sobreyectiva.

Actividad 4: Reconociendo sobreyectividad.

Dados U = {0, 1, 2, 3,} y V = {0, 1, 4,}. Sea ƒ una función, tal que ƒ: U —› V, definida por ƒ(x) = (x-1)², para todo x ϵ U.

Ejercicio 1

x y = ƒ (x) = (x - 1) ² ƒ VU




Respuesta:

ƒ = { ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) }

ƒ es Sobreyectiva No Sobreyectiva , ¿por qué?

Dados M = {3, 4, 5, 6, 7} y N = {9, 7, 5, 6, 8, 4}. Sea g una función, tal que g: M —› N, definida por g(x) = x+2, para todo x ϵ M.

Ejercicio 2

x y = g (x) = x + 2 g NM



Respuesta:

g = { ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ), ( , ) }

g es Sobreyectiva No Sobreyectiva , ¿por qué?

Ejercicio 3

Dados A= y B= { -4, -3 ,-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}

sea h una función, tal que h: A —› B, definida por h(x) = log10 (x), para todo x ϵ A.

−−−= 3,

45,0,

43,0,1,

43,0,

45,3B1 1 1 1

10⁴ 10³ 10² 10¹, , , , 1, 10¹, 10², 10³, 10⁴ { {


10⁴

x h BA


h(x) = log10 (x)


h = { ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ),

( , ) , ( , ) }

Respuesta: h es Sobreyectiva No sobreyectiva , ¿por qué?

Con base en la correspondencia definida para la función dada, realice un diagrama sagital, una tabla de valores y un conjunto de parejas ordenadas; y utilícelos para determinar si f es biyectiva o no biyectiva.

Actividad 5: Reconociendo biyectividad.

Dados E = {3, 4, 5, 6, 7} y F = {9, 7, 5, 6, 8}. Sea h una función, tal que h: E —› F, definida por h(x) = x+2, para todo x ϵ E.

Ejercicio 1


x

x

y = h(x) = x + 2

y = g(x)= x² - 2x + 1

h

g

F

V

E

U

Tabla de valores

Tabla de valores

Diagrama sagital

Diagrama sagital


Respuesta:

h = { ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ), ( , ) }

h es Biyectiva No biyectiva , ¿por qué?

Dados U = {0, 1, 2, 3} y V = {0, 1, 4}. Sea g una función, tal que g: U —› V, definida por g(x) = x² - 2x + 1, para todo x ϵ U.

Ejercicio 2



Respuesta:

g = { ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , )}

g es Biyectiva No biyectiva , ¿por qué?

Ejercicio 3

Dados A= y B= { -4, -3 ,-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 }

sea f una función, tal que f: A —› B, definida por f(x) = ld(x), para todo x ϵ A.

1 1 1 1

2⁴ 2³ 2² 2¹, , , , 1, 2¹, 2², 2³, 2⁴ { {

x f BA


y= f(x) = ld(x)


Donde: ld(x) = log2(x)

f = { ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ),

( , ) , ( , ) }


A continuación se encuentra un grupo de funciones representadas a través de un diagrama sagital, una tabla de valores, un conjunto de parejas ordenadas o una expresión algebraica. Indica al frente de cada representación si corresponde a una función Inyectiva, Sobreyectiva o Biyectiva.

1.

Actividad 6: Clasificando.

Estudiantes

Ana Abel AguilarBeto Alexander Mejía

Camila Carlos CarboneroDaniel Carlos SánchezElena Fredy GuarínFelipe James RodríguezGina Juan Cuadrado

Juan QuinteroVictor Ibarbo

Hugo

Jugadores

Jugador favorito (mediocampista)de la selección Colombia de fútbol 2014

Respuesta: f es Biyectiva No biyectiva , ¿por qué?

Inyectiva Sobreyectiva Biyectiva


2.

4.

5.

3.





x

x

-3

-5

-1

-1

1

1

-2

-3

0

0

2

3

5

y = f(x)

y = f(x)

8

-512

0

-64

0

-8

3

-256

-1

-27

3

0

8

g(x)= -6, -4, -2, 1 1 1

64 32 16 , , , (0, 1), (2,4), (4,16), (6,64) { ( ( ( ( ( ( {

Dados N = {1, 2, 3, 4, 5 } y M = {0, 1, 3, 6, 10, 15}. Sea g una función, tal que g: N —› M, definida por k(x) = , para todo x ϵ N. x (x + 1)

2


6.

7.

Obra literaria

País exportador de café

62 Modelo para armar

Brasil Adis Abeba

Cien años de soledad

Vietnam Bogotá

Crónica de una muerte anunciada

Colombia Brasilia

Don Quijote de la mancha

India Ciudad de Guatemala

El coronel no tiene quien le escriba

Indonesia Hanói

El héroe discreto

Honduras Kampala

La ciudad y los perros

Guatemala Lima

Los cachorros

Etiopía Nueva Delhi

El libro de arena

Perú Tegucigalpa

Rayuela

Uganda Yakarta

Gabriel García Márquez

Jorge Luis Borges

Julio Cortázar

Mario Vargas Llosa

Miguel de Cervantes Saavedra

Autor

Ciudad

Escrita por

Capital




12.

Potencias de e

e0

e-1

e-3

e-2

e-4

1

0

-1

-3

-2

-4

Números

f (x) = ln(x)


8.

11.



f(x)= - ,1 -3, -, ,0 -2, - , - ,0 , -1, , - ,17 1 5 3 1 1 3

2 2 2 2 2 2 2 , , , { ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( {

9.

10.



Dados C = {-2, -1, 0, 1, 2 } y D = {2, 1, 0, -1, -2, -3, -4}. Sea g una función, tal que g: C —› D, definida por f(x) = -x-1, para todo x ϵ C.

Dados A = {-2, -1, 0, 1, 2 } y B = {-2, 0, 2, -1, 16, 54}. Sea f una función, tal que h: A —› B, definida por f(x) = 2( x+1 )³, para todo x ϵ A.

Dados U= - , - , 0, , y V= , ,1

1

1 7 1 1 1 1

2

2

2 16 2 4 4 4 { { { { Sea g una función, tal que g: U —› V, definida por g(x) = -x² + , para todo x ϵ U.


1. Completa la definición formal de la función inyectiva con base en las palabras o frases presentadas en la parte inferior.

2. Completa la definición formal de la función sobreyectiva con base en las palabras o frases presentadas en la parte inferior.

3. Completa la definición formal de la función biyectiva con base en las palabras o frases presentadas en la parte inferior.

Una función f: X —› Y es cuando se cumple alguna

de las dos afirmaciones :

Una f: X —› Y es si está aplicada sobre todo el

, es decir, cuando cada de Y es la

de como mínimo un de X.

• Si x1, x2 son de X tales que ,

necesariamente se cumple .

• Si x1, x2 son de X tales que ,

necesariamente se cumple .

Una es si al mismo tiempo es

y ;es decir, si todos los del conjunto

tienen una imagen distinta en el conjunto , y a cada elemento del conjunto

le corresponde una distinta en el conjunto .

Función

Elementos

x1 = x2

x1 ≠ x2

f(x1)= (x2)

Inyectiva

Recíproca

Equivalentes

f(x1) ≠ (x2)

Preimagen

y ϵ Y x ϵ X : f(x) = yA E

Sobreyectiva CodominioElemento

Imagen Dominio Inyectiva Función


Sobreyectiva

Biyectiva

Creciente Distintos Iguales

PreimagenElementos Codominio

Imagen Inyectiva

Dominio

Función

1. Los estudiantes proponen tres situaciones-problema diferentes de la vida cotidiana en las cuales, cada una cumpla que:

2. Debes realizar una presentación, ya sea por medios físicos (cartelera, afiche, etc.) o medios digitales a los cuales tengan acceso (PowerPoint, Prezi, etc.), en la que presentes la situación, las variables y su relación.

a. La función que modela matemáticamente la situación, sea una función inyectiva pero no sobreyectiva.

b. La función que modela matemáticamente la situación, sea una función sobreyectiva pero no inyectiva.

c. La función que modela matemáticamente la situación, sea una función biyectiva, es decir, una función inyectiva y sobreyectiva.


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