Upload
hadien
View
226
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Radionavigation og relativitetsteori Møde i NOVA – Kosmologi
25. oktober 2012
Dette dokument indeholder selve den Power Point præsentation, der blev anvendt, dog er der foretaget rettelser af fejl og foretaget enkelte detaljeringer. Efter selve præsentationen er indført et afsnit, hvor visse emner, der blev taget op i løbet af mødet er søgt beskrevet og dele af selve præsentationen er uddybet. Selve dokumentet udtrykker undertegnedes holdning og forståelse af problemstillingerne og kan ikke i detaljen anvendes som autoritative udsagn.
Ole Nymann Allerød, den 29. oktober 2012
Ole Nymann
1
NOVA – KosmologiStedbestemmelse ved hjælp af radiobølger
Radionavigation
Torsdag den 25. oktober 19:30 i AstrocentretBorsholm Forsamlingshus
Ole Nymann
ONy-121025Radionavigation
NOVA – KosmologiStedbestemmelse ved hjælp af radiobølger
Radionavigation
Disposition:
Stedbestemmelse på jorden og over jorden
DECCA
Relativitetsteori
GPS
Andre ”GPS” systemer
ONy-121025Radionavigation
2
Stedbestemmelse ved hjælp af radiobølger
RadiofyrTransitOMEGATACANDECCALORANGPS Ambition
Der er og har eksisteret et utal af radionavigationssystemer.
De fleste (alle?) har militær oprindelse.
Anvendelse: positionsbestemmelse af skibe og fly og styring af ICBM.
ONy-121025
Stedbestemmelse ved hjælp af radiobølger
RadiofyrOMEGATRANSITTACANDECCALORANGPS
BegrænsningONy-121025
3
Radionavigation
DECCA og GPS
2 forskellige principper:
HyperbelnavigationPosition af ”fyr” og afstand dertil
DECCA repræsenterer en lang udvikling, der ogsåviser overgangen fra analog til digital signalbehandling.
GPS repræsenterer et globalt, centralt styret system, der skylder Einstein sin nøjagtighed.
ONy-121025
Radionavigation
Pejling
**
*
Afstand til punkter med kendt position
Retning til punkter med kendt position
**
ONy-121025
NVi er på jorden
4
ONy-121025
Pejling
Vinkel mellem Zenith og stjerne.
Vi ved:- at vi befinder os på jorden, og- at stjernen er lodret over et bestemt sted på jorden
Radionavigation
Radionavigation
Pejling
**
*
Vinkel mellem Zenith og stjerne.
og viden om, at vi er på jordens overflade(den 4. kugle) ONy-121025
5
Radionavigation ONy-121025
Radionavigation
DECCA Historie
1936: William J. O’Brien (USA) får tuberkulose og bruger 2 år til at tænke.
1938: Demonstration i Californien. US-Navy og USAF finder systemet for kompliceret.
1939: Hans ven Harvey F. Schwarz, DECCA Record, præsenterer ideen for UK-Military, hvor Robert Watson-Watt afviser den.
1941: UK-Admirality bliver interesseret og klassificerer projektet under Admirality Outfit QM. – O’Brien ankommer til UK.
1942: 16. september system demonstration mellem Anglesey og Isleof Man. (305/610 kHz)
1943: April: Storskala demonstration i Irish Sea. (70/130 kHz)
1944: Februar-marts: Demonstration i forbindelse med invationsøvelse i Moray Firth.
ONy-121025
6
Radionavigation
1944: Admiralitetet bestilte 27 modtagere, som blev anvendt påminestrygere forud for invasionen i Normandiet. – Der var etableret Master i Chichester og Slaver i Swanage og BeachyHead. – En ekstra slave blev etableret i Thames Estuary for at narre fjenden til at tro, at invasionen ville komme via Pas de Calais.
1945: DECCA Navigator Co. Ltd. etableres og havde alle rettigheder til systemet. Finansieringen er sket ved, at modtagere lejes af DECCA.
AP Radio A/S er det første firma, der mod royalty udviklede, producerede og solgte DECCA modtagere. – AP Radio A/S betalte licens til DECCA
Nogle påstår, at DECCA betyder:
Dedicated Englishmen Causing Chaos Abroad
DECCA Historie
ONy-121025
Radionavigation
Hyperbelnavigation
X F1X – F2X = Konstant
122
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
by
ax
ONy-121025
7
Radionavigation
Hyperbelnavigation
ONy-121025
Radionavigation
Hyperbelnavigation
Afstanden mellem hvert hyperbelbensvarer til en halv bølgelængde. (λ/2)
Forudsat der sendes på samme frekvens fra alle stationer, og at signalerne udsendes synkront.
Men de sender påforskellige frekvenser.
ONy-121025
8
Radionavigation
DECCA Signaler
DECCA kæderne anvender frekvenser i området 70 – 129 kHz
Inden for dette område sender Master og Slaver på frekvenser, der er hele multipla af samme frekvens ( f = ca. 14,167 kHz).
127.5009fGreen Slave
113.3338fRed Slave
70.8335fPurple Slave
85.0006fMaster
Frequency (kHz)HarmonicStation Til beregning anvender man ”mindste fælles mangefold”F = 425 kHz (λ = 706 m)
18f×36f×29fGreen
24f×46f×38fRed
30f×56f×65fPurple
Common FrequencyMaster MultiplierMaster HarmonicSlave MultiplierSlave HarmonicPattern
I den analoge modtager dannes signalerne ved hjælp af faselåste sløjfer (?)
ONy-121025
Radionavigation
DECCA i DanmarkTil dækning af indre danske farvande, dele af Vesterhavet og dele af Østersøen var etableret en DECCA kæde med:
Master på: SamsøSlaver ved: Klintholm, Tønder og Hjørring
Ikke hele sandheden om DECCA’s virkemåde!
Periodisk udsendte alle sendere en frekvens afvigende fra den ”normale”. Dette muliggjorde dannelse af grundtonefrekvensen ( 14,167 kHz), som gjorde det muligt at bestemme mellem hvilke
hyperbelben, man befandt sig.
Rækkevidde:400 SM (740 km) om dagen, 200 – 250 SM (460 km) om natten.
Nøjagtighed: Få meter under gode forhold.ONy-121025
10
Radionavigation
DECCA i Danmark lukkede 31-12-1999
ONy-121025
Radionavigation
DECCA Signaler
En faselåst sløjfe indeholder en oscillator, der af-og-til får et lille ”skub”, der bringer den eller dens harmoniske i fase med det modtagne signal. – Tænk på en gynge, man skubber. – Man behøver ikke skubbe ved hver svingning.
ONy-121025
11
Radionavigation
TRANSIT – NAVSAT- første satellitbaserede navigationssystem -
1960
5 satellitter i polarbane 1.100 km over jorden.
Gav mulighed for ca. én positionsbestemmelse pr. time.
1967 – 97 også anvendt til civilt formål – inkl. USSR’s flåde.
I slutningen af 1980’erne anvendt til korrektion af højden af Mount Everest.
Satellitterne blev bl. a. benævnt:
NOVA - Satellitter
ONy-121025
Radionavigation
GPS - Global Positioning System
24 operative satellitter og et antal i reserve.
Højde: ca. 20.000 km over jordoverfladen.
Omløbstid: ca. 12 timer
Sender position og tidspunkt, som anvendes til at bestemme egen position på eller tæt ved jorden.
Tiden fra afsendelse til modtagelse af positionsinformationen anvendes til beregning af afstanden til satellitten.
Stedbestemmelse foretages ved afstanden til 4 satellitter.
ONy-121025
12
Radionavigation
GPS - Global Positioning System
Satellitfrekvenser:
1.575,42MHz, 1.227,60 MHz, 1.381,05 MHz, 1.841,40 MHz og 1.176,45 MHz
C/A: coarse/acquisition
Information fra satellitten sendes i et CDMA system (som i WI-FI og DAB ?) – 1,023 Mcps (information, identifikation og ”spreadspectrum).
Satellit reference frekvens: 10,22999999543 MHz (relativistisk kompensation).
ONy-121025
Radionavigation
GPS - Global Positioning System
Hver satellit har et navn:
C/A Gold Code.
Nøjagtighed:
Tid: 14 ns
Position: 3 m (efter år 2000)
Position: 300 m (før år 2000)
Synkronisering: 18 – 30 sekunder
ONy-121025
Hvordan får man større nøjagtighed?Ved at modtage korrektioner via GSM eller Internet.
13
Radionavigation
GPS - Global Positioning SystemRelativistiske fænomener
Den springer vi over!
ONy-121025
Relativitetsteori for GPS
Tiden i det hurtigste tog går langsommere!
Tiden i det tungeste tog går langsommere!
Satellitten har større hastighed end jordoverfladen. –Satellittens tid er langsommere! - 7 μs/døgn.
1 kg på jorden er tungere end 1 kg i satellitten. –Satellittens tid er hurtigere! - 45 μs/døgn.
Uret i satellitten skal tabe 38 μs/døgn.
Radionavigation ONy-121025
14
Radionavigation
GPS - Global Positioning SystemRelativistiske fænomener
Den specielle relativitetsreoriTidsforsinkelse som følge af forskel i hastighed:
timerstskmv
RkmRcvttt
cvtt
j
s
js
sssj
ssj
24/3,7/9,3
*2,4880.2621
1
2
2
μδ
δδδ
δδ
==
==
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
ONy-121025
- Tilnærmet -
GPS - Global Positioning SystemRelativistiske fænomener
ForudsætningerDen generelle relativitetsteori
Stor forskel i tyngdekraften på jordoverfladen og i satellittenÆkvivalensprincippet
Intet eksperiment kan skelne mellem en jævn acceleration og et jævnt tyngdefelt.
Frit fald ”ophæver” tyngdekraften i et begrænset område, -inertialsystem.
Lyshastigheden er den samme i alle inertialsystemer (også set fra det ene til det andet).
Radionavigation ONy-121025
Ref.: James B. Hartle: Gravity
15
zA
B
h g
GPS - Global Positioning SystemRelativistiske fænomener
cht
gthtz
gttz
A
B
=
+=
=
1
2
2
21)(
21)(
1t er løbetiden for første puls
)()(21
21)(
21
)()()(
21
)()0(
12
121
2
11
121
11
ABBBA
ABBBAA
B
A
BA
tttctgtgtgttgh
tttcttztztt
ctgth
cttzz
Δ−Δ+=Δ−Δ−−Δ+
Δ−Δ+=Δ+−ΔΔΔ
=−
=−
: pulsafstand ved A: pulsafstand ved B
Heraf ses let:
)1( 2cghtt AB −Δ=Δ
Den generelle relativitetsteoriRadionavigation ONy-121025Radionavigation ONy-121025
GPS - Global Positioning SystemRelativistiske fænomener
Gravitations potentiale ?Svarer til elektrisk / spændings potentiale (volt)
Radionavigation ONy-121025
Det er praktisk at regne med ”tyngdepotentialer”!
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ Φ−Φ−= 21
ctt jssj δδ ( )sj
ssj c
ttt Φ−Φ=− 2δδδ
16
Radionavigation
GPS - Global Positioning SystemRelativistiske fænomener
Tidsforøgelse som følge af forskel i gravitationspotentialet:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ Φ−Φ−= 21
ctt jssj δδ
Hvad er et gravitationspotentiale? – Den forholder sig til gravitation på samme måde, som elektrisk feltstyrke (volt/m) forholder sig til spænding (volt).
Massen m på jordoverfladen:
- Fortsættelse følger ikke -s
s
js
jj
jj
j
jm
RR
GM
RR
GM
mR
mGMF
*8,9
*8,9
8,92
−=−=Φ
−=−=Φ
−=−=
Den generelle relativitetsteori ONy-121025
)1( 2cghtt AB −Δ=Δ
GPS - Global Positioning SystemRelativistiske fænomener
Men vi prøver alligevel at sætte tallene ind.
sc
ttt
RtRttt
mR
stimert
RRRGM
RGM
RR
GMc
tt
sjsjs
jsjsjs
j
s
jj
jj
s
js
jj
jj
jssj
μδδδ
δδδδ
μδ
δδ
45
*5,7)2,4
11(8,9*
10*4,6
10*60*60*2424
2,48,9
2,4
8,9
1
2
6
6
2
2
=Φ−Φ
=−
=−=−
=
==
===Φ
==Φ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ Φ−Φ−=
Uret på jorden taber 45 μs pr. døgn i forhold til uret i satellitten på grund af forskellen i tyngdekraft.
Hastigheden medfører, at uret på jorden vinder ca. 7 μs i forhold til uret i satellitten.
Resultat: Uret i satellitten skal ”tabe” 38 μs i døgnet.
GLEM FORTEGNENE.Radionavigation ONy-121025
17
Radionavigation
GPS - Global Positioning SystemRelativistiske fænomenerMen hvad gør man ved det?
Man lader urene i satellitterne gå lidt langsommere.
USAF har rundt på jorden en række kontrol- og overvågningsstationer, som overvåger og korrigerer urene, satellitternes baner og ind- og udkobler satellitter af nettet.
ONy-121025
Radionavigation
GPS - Global Positioning SystemNøjagtighed?
Under normale forhold vil man have en nøjagtighed på +/- 3 m.
Nøjagtigheden forbedres ved adgang til de militære frekvenser.
Korrektionssignaler udsendt via GSM forbedrer nøjagtigheden så meget, at systemet anvendes af landinspektører.
Fejlkilder:
atmosfæriske forstyrrelser.ionosfærevariationerhøje bygninger og bjergeafskærmning (huse, biler m.m.)
ONy-121025
18
Hvilken tidsforskydning er der mellemgeostationære satellitter og Jorden?
timerssttimerst
skmvRR
st
st
st
js
24/5275,0/85,0*4524/18/2,6
7,6
μμδμδ
====
=
Radionavigation ONy-121025
Det krumme univers
Det ”homogene” universet er som helhed plant, men omkring ”inhomogeniteter” krummer lyset som følge af lokal gravitation.
L L
g- acceleration -
s
22
21
21
)(
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛==
=
cLggts
cLtFlyvetid
Radionavigation ONy-121025
19
Det krumme univers – lysets afbøjning
Radionavigation ONy-121025
2
221
cgL
Lt
ts
Ls
cLg
Ls
===
==
δδ
δδ
δδϕ
ϕ
For L = solens diameter, og for små værdier af s
22
21
21
)(
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛==
=
cLggts
cLtFlyvetid eller
ϕI 1919 under solformørkelse målte Arthur Eddington φ til 1,75 buesekund, som er i overensstemmelse med Einstein.
Et forsøg
Det krumme univers – lysets afbøjning
2
221
cgL
Lt
ts
Ls
cLg
Ls
===
==
δδ
δδ
δδϕ
ϕ
For L = solens diameter, og for små værdier af s
22
21
21
)(
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛==
=
cLggts
cLtFlyvetid eller
Et forsøg
sol
sol
sol
sol
sol
RcGM
cLg
RGMg
mc
GM
22
2
32
21
10*48,1
==
=
=
ϕ
PrivatFusk!
Radionavigation ONy-121025
L
φ
20
Lysets bøjning - forhistorie
Bøjning om solen1704: Newton antog (på forkert grundlag) at lys påvirkedes af tyngdekraft.1784: Henry Cavendish (upubliceret) beregner lysets bøjning om solen.1801: Johann von Soldner beregner bøjningen til 0,87 buesekund.
rcGM
rcGM
2
2
4
2
=
=
ϕ
ϕ Johan von Soldners formel (newtonsk)
Einsteins formel (relativistisk)
Radionavigation ONy-121025
Lysets bøjning – Gravitations linse
Radionavigation ONy-121025
21
NASA's Hubble Space Telescope captured thefirst-ever picture of a group of five star-likeimages of a single distant quasar.
The multiple-image effect is produced by a process called gravitational lensing, in which thegravitational field of a massive object -- in thiscase, a cluster of galaxies -- bends and amplifieslight from an object -- in this case, a quasar –farther behind it.
Although many examples of gravitational lensinghave been observed, this "quintuple quasar" is the only case so far in which multiple quasar images are produced by an entire galaxy cluster acting as a gravitational lens.
The background quasar is the brilliant core of a galaxy. It is powered by a black hole, which is devouring gas and dust and creating a gusher of light in the process. When the quasar's light passes through the gravity field of the galaxy cluster that lies between us and the quasar, the light is bent by the space-warping gravity field in such a way that five separate images of the object are produced surrounding the cluster's center. The fifth quasar image is embedded to the right of the core of the central galaxy in the cluster. The cluster also creates a cobweb of images of other distant galaxies gravitationally lensed into arcs.
http://www.nasa.gov/multimedia/imagegallery/image_feature_575.html
Alternativer til GPSGalileo
Mål: 27 operationelle satellitter + 3 reserveHøjde over jorden: 23.616 kmInklination: 56°Fuldt operativt: 2019Funktioner: Position og SAR funktionStatus: Satellit- og system test siden 2005Nøjagtighed: +/- 1m (?)
Formål: Uafhængighed af GPS, GLONASS og COMPASSSærkende: God dækning fra 76º S til 76ºNPrispolitik: Gratis (høj pression skal der betales for).Finansiering: EU (€20 billion project ???)
Satellite Name Date Galileo-IOV PFM Thijs ( ) 21.10.2011 Galileo-IOV FM2 Natalia ( ) 21.10.2011 Galileo-IOV FM3 David ( ) 10.10.2012 Galileo-IOV FM4 Sif ( ) 10.10.2012
Radionavigation ONy-121025
22
ГЛОНАСС
GLONASS
Alternativer til GPSGLONASS
Radionavigation ONy-121025
Udvikling påbegyndt: 1976.Fuldt operativt med GPS nøjagtighed: 1995.Fuld global dækning genskabt: oktober 201124 satellitter.Højde over jorden: 19.100 km.Inklination: 64,8º.Omløbstid: 11 timer 15 minutter.Transmitterer samme signal, men på forskellige frekvenser omkring 1,6 GHz.GPS og GLONASS bruger ikke samme kortdefinition.
Putins reklamebil
.
Ref.: http://en.wikipedia.org/wiki/GLONASS
Běi-dǒu dǎo-háng xì-tǒng (pin-yin)
������
BeiDou er navnet på Karlsvognen
(eller Nordstjernen)
Alternativer til GPSBeiDou
Eksperimentel drift i Kina og omliggende områder siden 200010 satellitter operative siden december 2011.Fuld dækning i Asien og Stillehavet fra 2012.Global dækning i 2020.Geostationære satellitter dækkende 70º E til 140º E og 5º N til 55ºN.Frekvens 2,49175 GHz (???).Navigation og kommunikation.Oktober 2004 tilslutter sig GALILEO og bidrager finansielt.China Galileo Industries (CGI) stiftes december 2004.BeiDou forventes at blive et rent militært projekt.
Radionavigation ONy-121025Ref.: http://en.wikipedia.org/wiki/Beidou_navigation_system
23
Alternativer til GPSBeiDou – næste generation
Kompatibelt med GPS-Next-Generation og Galileo.5 geostationære og 30 medium-orbit
Frekvens plan
Radionavigation ONy-121025
Hvor er satellitterne?
Radionavigation ONy-121025
24
The coordinate origin of WGS 84 is meant to be located at the Earth's center of mass; the error is believed to be less than 2 cm.
The WGS 84 meridian of zero longitude is the IERS Reference Meridian, 5.31 arc seconds or 102.5 m (336.3 ft) east of the Greenwich meridian at the latitude of the Royal Observatory.
The WGS 84 datum surface is an oblate spheroid (ellipsoid) with major (transverse) radius a = 6378137 m at the equator and flattening f = 1/298.257223563. The polar semi-minor (conjugate) radius b then equals a times (1 - f), or 6356752.3142 m.
Ref: http://en.wikipedia.org/wiki/WGS_84
WGS 84World Geodetic System
Radionavigation ONy-121025
NOVA – KosmologiStedbestemmelse ved hjælp af radiobølger
- Referencer -
James B. Hartle: Gravity, Addison Wesley, 2003
H. Relster og M. Clausen: Navigation – Kyst og sætteskippereDirektoratet for Søfartsuddannelser, 1972
Global Positioning Systemhttp://en.wikipedia.org/wiki/Global_Positioning_System
Celestial Navigation in a Teacup (findes på nettet)http://mysite.verizon.net/milkyway99/id1.html
DECCA Navigator Systemhttp://en.wikipedia.org/wiki/Decca_Navigator_System
DECCA Scandinaviahttp://www.jproc.ca/hyperbolic/decca_scandinavia.html
- og mange andre.
Radionavigation ONy-121025
Ole Nymann
Kommentarer til
Radionavigation og relativitetsteori Møde i NOVA – Kosmologi
25. oktober 2012 Indhold:
1. Korrektioner og kommentarer til Power Point præsentationen
2. Satellitter og omløbstid
3. Tyngdekraft og tyndepotentialer
1. Korrektioner og kommentarer til Power Point præsentationen. GPS modulation: GPS satellitterne sender alle med samme frekvens. De anvender et særligt modulationssystem, der dels gør det muligt for modtagerne på jorden at adskille de enkelte satellitter fra hinanden, dels gør det systemet mindre følsomt over for forstyrrelser, hvad enten disse måtte være menneskeskabte eller naturlige. Systemet kaldes CDMA som betyder Code-Division-Multiple-Access. Modsvarende systemer er FDMA (Frequency-Division-Multiple-Access), hvor signaladskillelsen sker ved, at de forskellige sendere anvender forskellige frekvenser, og TDMA (Time-Division-Multiple-Access), hvor signal adskillelsen sker ved, at hver enkelt sender efter et system anvender hele sendekanalen. CDMA systemet fungerer ved, at hvert enkelt informationselement (en enkelt bit) sendes som en hel pakke af bits kaldet ”chip”. Skal man sende en enkelt informationsbit, kan man for eksempel sende 8 bits i et fast mønster, der er unikt for den konkrete satellit. Skal man sende informationen ”1”, kan den for eksempel sendes som ”00011011”, og skal man sende ”0” sender man ”11100100”. Hver enkelt satellit har sin egen ”chip” sekvens, hvorved modtageren både kan identificere den enkelte satellit og dekode informationen. GPS modtageren: Her er intet om, hvordan den enkelte modtager synkroniseres med satellitsignalerne, og hvordan afstanden til satellitten aktuelt beregnes. Dette må komme ved en senere lejlighed.
Ole Nymann
2. Satellitter og omløbstid Ved udregning anvendes en række naturkonstanter og fysiske størrelser. Fysiske størrelser og konstanter: Gravitationskonstanten: G = 7,7*10-11 Nm/kg2 Lyshastigheden i vakuum: c = 3,0*108 m/s Jordens masse: MJ = 6,0 * 1024 kg Jordens radius: RJ = 6,5*106 m Tyngdeaccelerationen ved jordoverfladen = 9,8 m/s2 Regnestørrelsen: GM/c2 For solen: 1,48*103 m For jorden: 4,5*10-3m Tiltrækningskraft og centrifugalkraften Hvis en satellit skal holde sig i en cirkelformet bane omkring jorden, skal den have en hastighed, hvor centrifugalkraften er lig med jordens tiltrækningskraft. Dens hastighed i sin bane skrives almindeligvis som:
rv *ω= Hvor ω er satellittens vinkelhastighed angivet i radianer pr. sekund og r er radius af satellittens bane målt fra jordens centrum. Centrifugalkraften, som hastigheden påvirker satellitten med, er:
rmF 2ω= Hvor m er satellittens masse, som skal balanceres mod jordens tiltrækningskraft:
2rmMGF J=
Ved at sætte de to ligninger lig hinanden fås:
3
2
3
2
23 8,9rR
rR
RMG
rMG JJ
J
JJ ===ω (s-1)
Ole Nymann
Sammenhæng mellem ω og omløbstid T målt i timer er:
TT
310*7,160*60*
2 −
==πω
Kombineres de to formler, fås sammenhængen mellem radius og omløbstid for en jordbunden satellit:
3 226 **10*4,3 jRTr = Hvor T indsættes i timer, og RJ (Jordens radius) og r (satellittens afstand fra Jordens centrum) er i m. Indsættes T = 12 timer og RJ = 6.500 km fås r = 27.422 km = 4,2*RJ, svarende til GPS systemets satellitter. – Tallet er på grund af afrundingsfejl ikke helt nøjagtigt. For to satellitter omkring et kugleformet objekt gælder følgende sammenhæng mellem respektive omløbstid og baneradier:
2
2
1
3
2
1⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛TT
rr
Denne formel er uafhængig af det objekt, de to satellitter kredser om. Anvendes denne formel til at finde de geostationære satellitters baneradius med en omløbstid på 24 timer ud fra GPS satellitternes baneradius og omløbstid, fås:
530.4359,1*422.2743
2
3 ===⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= GPS
GPS
stGPSst r
TTrr km
Ole Nymann
3. Tyngdekraft og tyngdepotentialer Ref.: James B. Hartle: Gravity, kapitel 6.3
I det følgende gennemregnes hele forløbet. Startantagelsen er, at A og B befinder sig i samme inertial referenceramme (en raket, en elevator o. lign.), der er uden for ydre påvirkning af tyngdekræfter. Den eneste kraft, der bestemmer forholdene i rummet, er den acceleration (g), rummet er udsat for. – En acceleration, der ifølge ækvivalensprincippet svarer til et tyngdefelt med en statisk tyngdeacceleration, g. I dette rum sender A lysglimt mod B med en tidsafstand ΛtA, mens B modtager samme lysglimt med en tidsafstand ΛtB. Den fysiske afstand mellem A og B er h, og lyset bruger tiden t1 til at komme fra A til B. Lyshastigheden benævnes c. Både A og B accelererer i opadgående retning med accelerationen g. – Bevægelsesbetingelserne er derfor som følger:
cht
gthtz
gttz
A
B
=
+=
=
1
2
2
21)(
21)(
A sender det første lysglimt til t=0, og idet B under indflydelse af accelerationen g har bevæget sig opad, kan afstanden mellem A og B bestemmes som:
121
11
21
)()0(
ctgth
cttzz BA
=−
=−
Når A sender det næste lysglimt, har A bevæget sig opad svarende til A’s tid mellem lysglimtene, mens B på tilsvarende måde har bevæget sig opad svarende til løbetiden t1 plus det tidsinterval, der er mellem de lysglimt, som B modtager. Afstanden mellem A og B kan herefter beskrives ved:
Ole Nymann
)()()( 11 ABBBAA tttcttztz Δ−Δ+=Δ+−Δ Indsættes bevægelsesudtrykkene for A og B i dette udtryk, får man:
)(21
21)(
21)(
21)(
21
12
121
221
2ABBBABA tttctgtgtgttghttgtgh Δ−Δ+=Δ−Δ−−Δ+=Δ+−Δ+
Led med ΛtA2 og ΛtB
2 er små og udgår. Ligeledes udgår 212
1 gt . Herefter har man følgende:
idet:
)1(
)1(
)(
2
2
1
cghtt
cghtt
ttctchg
cth
AB
BA
ABB
−Δ=Δ
+Δ=Δ
Δ−Δ=Δ−
=
idet 12 <<cgh
Gravitationspotentiale. Udtrykket
)(1
)1(
2
2
ABA
B
BA
Signalratec
Signalrate
cghtt
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Φ−Φ+=
+Δ=Δ
Her udtrykkes ændringen ved forskellen mellem tyngdekraft potentialerne i henholdsvis A og B. Tyngdepotentialerne er scalære størrelser. Det vil sige værdier uden retningsangivelse i modsætning til selve tyngdeaccelerationen, der både angives ved en størrelse og en retning (vektor). De to repræsentationer svarer helt til spænding (volt) og feltstyrke (volt/m) i elektricitetslæren. At anvende potentialer er en fordel i situationer, hvor der er flere masser, der har indflydelse på tidsforsinkelser og tyngdekraftstyrede bevægelser (satellittens vane afhænger ikke alene af jordens tyngdefelt, men også af tyngdefeltet fra sol og måne). I disse tilfælde vil tyngdepotentialet i et enkelt punkt bestemmes ved at beregne det for hver enkelt masse for sig og derefter addere værdierne. Selve tyngdekraften i det enkelte punkt vil så kunne findes ved den maksimale ændring pr. m i det pågældende punkt.