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589/
Plantão de dúvidas com o Rafael
• Quando?
▪4ª feiras – 18 às 19 hs
Onde?
▪IF11
2
Plantão de dúvidas com o Rafael
Próximas aulas
3
Dia Aula Tópico
05 Agosto 1 2a Introdução ao curso e motivação da disciplina
07 Agosto 2 4a Cinemática Relativística e Transformações de
Lorentz
12 Agosto 3 2a Dinâmica relativística: Força, energia cinética e
energia total
14 Agosto 4 4a Exercícios
19 Agosto 5 2a Corpo Negro e Radiação Térmica Clássica
21 Agosto 4a Radiação Térmica Quântica
26 Agosto 2a Efeito fotoelétrico
28 Agosto 4a Efeito Compton – Exercícios
02 Setembro 2a Teste 1 – Exercícios
04 Setembro 4a 1ª Prova
RADIAÇÃO DE
CORPO NEGRO I
4
Radiação térmica
•A temperaturas ordinárias, vemos um corpo pela luz que
ele reflete. Mas se a sua temperatura aumentar o
suficiente, poderemos passar a enxergar a luz radiada
por ele.
•Mesmo a temperaturas da ordem de alguns milhares de
graus Kelvin, mais de 90% da energia radiada ainda não
está na faixa do visível, estando na faixa do IV. Para
emitir no visível, o corpo tem que estar muito quente!
5
Radiação térmica
•Um corpo quente emite energia sob forma de radiação
eletromagnética.
•A intensidade da radiação emitida, bem como sua
distribuição em frequência (ou em comprimento de onda)
dependem da temperatura do corpo. Ex.: filamento de
lâmpada incandescente, carvão incandescente, o Sol são
exemplos emitindo na faixa do visível.
•O espectro da luz radiada (emitida) por um corpo sólido ou
líquido opaco é contínuo. Os detalhes do espectro emitido
é quase que independente do material de que é composto
o corpo, mas depende fortemente da sua temperatura.
6
Corpos negros
•Quando radiação incide sobre um corpo, parte é
absorvida e parte é refletida. Um corpo a uma dada
temperatura absorve ao menos parcialmente a radiação
que incide sobre ele. A qualquer temperatura, os corpos
estão continuamente emitindo e absorvendo radiação
térmica.
•Empiricamente sabe-se que existe um tipo especial de
corpo cujo espectro térmico tem um caráter universal:
são os corpos negros, que absorvem toda a radiação que
incide sobre eles. Um corpo negro é um absorvedor ideal.
7
Hipótese básica
•Se o corpo não aquece, nem esfria, ele está em
EQUILÍBRIO TÉRMICO,
significando que ele está emitindo a mesma quantidade de
energia que ele está absorvendo: E1=A1.
•Um corpo negro, além de ser o melhor absorvedor, é
também o melhor emissor de radiação térmica.
8
Radiância espectral
•Em 1898-1899, Lummer e Pringsheim fizeram medidas precisas da potência radiada em função do comprimento de onda da radiação.
•Eles mediram a radiância espectral:
RT()d
•Esta quantidade é a energia emitida por unidade de tempo, por unidade de área da superfície de um corpo negro à temperatura T, no intervalo de comprimento de onda entre e + d .
9
As medidas de Otto Lummer & Ferdinand Prinsgheim
10
Em
itância
espectr
al
RT(
)kW
/m2
m
/m
Temperaturas em K
1371 K
1087 K
836,5 K
Densid
ade d
e e
nerg
ia (
u. a)
Radiância espectral RT()d
11
RT(
) u
. a
Radiância espectral RT()d
12
O que é uma função distribuição?
•RT()d
•RT()d
•Radiância total:
13
( ) ( ) dRdRR TTT
==
00
O que notamos ?
•A radiância total cresce muito significativamente com a temperatura.
•A frequência em que a radiância espectral é máxima vai aumentando conforme a temperatura aumenta.
•De maneira equivalente, o comprimento de onda em que a radiância espectral é máxima diminui com a temperatura.
14
RT(
) u
. a
Primeiras leis da radiação
•Stefan (1879) encontrou empiricamente que a potência total emitida por um corpo negro por unidade de área é:
onde R é a radiância total (ou emitância total) do CN = potência
radiada por unidade de área, é a constante de Stefan = 5,67 10-8
W/m2 K4, e T é a temperatura absoluta do corpo negro.
•Cinco anos depois, Boltzmann deduziu esta relação a partir de considerações baseadas em Termodinâmica*, e por isso a relação ficou conhecida como
Lei de Stefan-Boltzmann.
*Boltzmann fez considerações em um êmbolo, fazendo-o expandir e contrair pela ação da pressão da radiação dentro do êmbolo.
4TR =
15
Lei do deslocamento de Wien
•Em 1893, Wien mostrou que o máximo do espectro sofre
deslocamento para frequências maiores de maneira
linear:
•A lei de Wien pode ser também escrita na forma:
16
Tmax
.Km,Tmax 3108982
−=
(Note que max c/ max. Você sabe por quê?)
Medindo temperaturas de estrelas...
17
https://docs.kde.org/trunk5/en/kdeedu/kstars/ai-colorandtemp.html
As cores estão exageradas !!
Comprimento de onda (Å) →Comprimento de onda (Å) → Comprimento de onda (Å) →In
ten
sid
ade
→
Inte
nsid
ade
→
Inte
nsid
ade
→
Nosso Sol como um corpo negro
18
https://www.researchgate.net/publication/319109551_A_IMPORTANCIA_DA_
DETERMINACAO_DO_ESPECTRO_DA_RADIACAO_LOCAL_PARA_UM_CORRETO_
DIMENSIONAMENTO_DAS_TECNOLOGIAS_DE_CONVERSAO
Frequências e comprimentos de onda
19
Um modelo para um corpo negro ideal
•Uma cavidade com um pequeno orifício é um modelo de
um corpo negro ideal: toda a radiação que incide sobre o
orifício é absorvida. Por outro lado, toda a radiação que
consegue escapar do orifício, terá o espectro de um
corpo negro.
20
Teoria clássica da radiação em uma
cavidade : Rayleigh e Jeans
21
• Consideremos uma cavidade com paredes
metálicas aquecidas uniformemente até a
temperatura T.
• As paredes continuamente emitem e
absorvem radiação eletromagnética
térmica.
• Sabemos que isso acontece porque as
cargas elétricas nas paredes estão em
movimento oscilatório devido à agitação
térmica e por absorverem radiação
eletromagnética que chega nas paredes.
• Não vamos olhar para os elétrons, mas ao
contrário, olharemos para as ondas
eletromagnéticas no interior da cavidade.
O raciocínio:
•Vamos argumentar que a radiação dentro da cavidade existe na forma de ondas estacionárias.
•Em seguida, contaremos o número de ondas estacionárias que podem existir no interior da cavidade, tais que tenham sua frequência no intervalo entre e + d.
•Depois usaremos um resultado da teoria cinética clássica para calcular a energia total dessas ondas quando o sistema está em equilíbrio térmico.
•Por simplicidade e sem perda de generalidade, suporemos que a nossa cavidade é na forma de um
cubo de lado a.
22
Ondas estacionárias
• Em uma dimensão....
23
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )t/xsenEtkxsenEt,xE
t/xsenEtkxsenEt,xE
22
22
00
00
+=+=
−=−=
( ) ( ) ( )0, 2 2 / cos 2 E x t E sen x t =
• Para termos uma onda estacionária, é preciso
que tenhamos um nó em x=0 e também em
x = a.
• Dito de outro modo, temos que ter um número
inteiro de meios comprimentos de onda no
comprimento nx/2 = a .
a
x
Somando essas duas ondas, teremos uma onda estacionária:
24
Para ajudar a visualizar:
https://en.wikipedia.org/wiki/Standing_wave#/media/File:Standing_wave.gif
25
Para ajudar a visualizar:
https://en.wikipedia.org/wiki/Standing_wave#/media/File:Standing_waves_on_a_string.gif
26
Para ajudar a visualizar:
https://en.wikipedia.org/wiki/Standing_wave#/media/File:Waventerference.gif
A soma de duas ondas de mesma amplitude se propagando em
sentidos opostos resulta numa onda estacionária.
Quantos modos de vibração?
•Nas paredes o campo elétrico (como se fosse a amplitude de
oscilação de uma onda em uma corda) tem que ser nulo:
•Portanto as ondas terão nós em x = 0 e x = a.
•Qual é a condição para que haja um nó em x = a?
•Esta condição determina um conjunto
•de valores de comprimentos de onda
•permitidos no interior da cavidade 1D (ou na corda).
•Equivalentemente, como =c/,
27
( ).....,,na/n xx 3212 ==
( )....,,,na/cn xx 43212 ==
Quantos modos com frequência entre e + d?
28
( ) dc
adN
2=
( 2) (porque são 2 polarizações)( ) d
c
adN
4=
Se quisermos saber quantos modos de oscilação temos até a frequência basta
contar os possíveis nx até (2a/c) . E quantos modos há com frequência menor do
que + d ? Contamos os nx até (2a/c) ( + d ) . Ao final, basta subtrair os dois
números anteriores para obter o número de modos entre e + d :
Em duas dimensões: p.ex., num quadrado de lado a
29
1
22=+ coscos
Após as múltiplas reflexões,
as ondas têm que se
sobrepor de modo a dar uma
onda resultante estacionária:
as reflexões precisam resultar
num percurso fechado sobre
si mesmo.
Também queremos ter ondas
estacionárias dentro do
quadrado, de maneira que
nos pontos nas quatro
laterais a amplitude da
oscilação seja nula..
•Consideremos radiação de comprimento de onda e
frequência = c/ se propagando na direção definida
pelos dois ângulos e .
•Pelos nós fixos da onda estacionária passemos uma
família de planos que sejam perpendiculares à direção de
propagação (já que estamos considerando ondas planas).
•A distância entre esses planos nodais é simplesmente /2.
30
x
y
y/2
x/2
cos/
cos/
y
x
=
=
/2
Condição de contorno em 2D:
•As distâncias entre os nós sobre cada direção serão:
•Só para saber: o campo elétrico pode ser escrito como
31
cos/
cos/
y
x
=
=
( ) ( )
( ) ( )tsena
ynsen
a
xnsenEt,y,xE
tseny
senx
senEt,y,xE
yxz
yxz
=
=
0
0
22
yy
xx
na
na
=
=
2
2
Modos de vibração em 2D: exemplos
32
Nenhuma vibração
eixo x
eixo y
33
Para ajudar a visualizar:
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Two_dim_standing_wave.gif
Condições de contorno nas laterais:
•Substituindo, encontramos a condição para termos uma
onda estacionária:
com nx = 1, 2, 3, .... ; ny = 1, 2, 3, ....
•Se quadrarmos e somarmos as duas expressões e ainda
lembrarmos que e são ângulos complementares,
teremos:
34
yx ncosa
ncosa
=
=
2 ;
2
( )22
222
22 222
=
=+
=+
c
aacoscos
ann yx
Isso é a equação de uma circunferência!
Contando número de modos...
• Cada ponto (nx , ny) corresponde a um modo de oscilação.
• Portanto, basta contar o número de pontos....
35
nx
ny
2a/c
2a/c(+d)
Área do anel completo = 2 r dr=2 (2 a /c)2 v dv
Área que nos interessa = ¼ área do anel completo
Número de modos entre v e v + d = 4 (a /c)2 v dv (lembre das 2 polarizações)
Analogamente, em três dimensões:
•As ondas eletromagnéticas estacionárias no interior da cavidade e em equilíbrio térmico no ambiente não podemseguir uma direção qualquer. Suponha que a onda tenhadireção dada pelos seus cossenos diretores cos, cos , cos .
•A onda dentro da cavidade cúbica será estacionária se todas as suas três componentes forem também ondas estacionárias.
•A onda tem que satisfazer a condição de ter amplitude zero em x=0, x=a, y=0, y=a, z=0 e z=a.
•Se a amplitude da onda não fosse nula nas paredes metálicasda cavidade, haveria corrente, logo haveria dissipação de energia, e portanto não seria uma situação de equilíbriotérmico como estamos supondo.
36
Para uma cavidade cúbica...• Estendemos o procedimento em 2D para 3D e obtemos:
• Agora obtivemos uma equação de uma esfera de raio (2a/c)!
• Queremos contar o número de modos dessas ondas que têm a frequência entre e + d:
• Vamos para um espaço de pontos nx, ny e nz:
• Cada ponto (nx , ny , nz ) neste espaço corresponde a uma onda estacionária (um modo de oscilação). Um volume unitário neste espaço corresponde a uma onda estacionária!
• Logo, para contar números de modos, basta calcular volumes!
37
( )22
2222
222 222
=
=++
=++
c
aacoscoscos
annn zyx
Contando os modos...
•Precisamos agora contar
o número de pontos na
casca esférica.
•Basta encontrar o
volume da casca esférica
entre os raios que
correspondem às
frequências e + d
•O volume é 4 r2dr /8.
38
Logo...
39
( ) dvc
adN 2
32
2
= ( 2)
(Por causa da
polarização
transversal da onda
eletromagnética)
( ) dvc
adN 2
32
=
E o resultado final é:
Energia média de cada onda...
•Pelo Teorema da Equipartição da Energia...
40
kTE =
A distribuição da densidade de energia
dentro da cavidade....
41
( ) ( )2
3
3
8. /T
kTd kT N d a d
c
= =
Já conhecemos portanto, se
quisermos a densidade de energia no interior da cavidade,
multiplicamos N()d pela energia média que a Termodinâmica
prediz para cada modo de vibração, que é kT, e dividimos pelo
volume, ou seja, por a3:
( )3
28 ,a
N d dc
=
Resulta a catástrofe do ultravioleta:
42
Teoria clássica de Rayleigh e Jeans
Resultados experimentais
Relação entre () e RT()
43
( ) ( )4
T
cR =
onde
() d é a densidade de energia no interior da cavidade entre e + d,
RT() d é a radiância que sai da cavidade entre e + d, e c é a
velocidade da luz no vácuo.
Na próxima aula,
• Veremos como, em 1900,
Planck contornou a
“catástrofe do ultravioleta”.
• O que causou a “catástrofe”?
44
Max Planck
Prêmio Nobel 1918
Na próxima aula,
• Veremos como, em 1900,
Planck contornou a
“catástrofe do ultravioleta”.
• O que causou a “catástrofe”?
45
Max Planck
Prêmio Nobel 1918
Para finalizar, uma aplicação:
•Estime do número de ondas estacionárias no interior de
uma cavidade cúbica de lado 10 cm, com frequência no
intervalo entre 1014 Hz e 1,011014 Hz. Note que este
número independe da temperatura.
•Dado: constante de Boltzmann k = 1,38 ×10−23 joule/K.
•Por curiosidade e para efeito de comparação tão
somente, estime o número de ondas estacionárias no
mesmo intervalo de frequência para os casos de uma
“caixa” também de lado 10 cm em 1D e em 2D.
46
IMPORTANTE E DIDÁTICO!!
Adendo:
47
Adendo 2: Medindo a temperatura através
da radiação de corpo negro:
•Vimos que todos os objetos a uma temperatura absoluta acima de zero emitem radiação de corpo negro cujo espectro apresenta uma radiância espectral máxima numa frequência proporcional à sua temperatura.
•Esta propriedade é a base para o funcionamento de um pirômetro ou termômetro de infravermelho e para a termografia. Ela permite a vantagem de uma medida de temperatura remota por não requerer contato ou mesmo proximidade com o objeto a ser medido, como ocorre com termômetros usuais. A altas temperaturas, a radiação de corpo negro entra na faixa do visível e é descrita em uma escala de cor. Como exemplo, temos um corpo incandescente ou uma aproximação para a temperatura na superfície de uma estrela.
48