RAD I ENERGIJA - phy.pmf.unizg.hrgniksic/nastava/of1/dat/knjiga/poglavlja/... · 5.1. RAD SILE I PROMJENA KINETICKE ENERGIJE SLOBODNOG TIJELA 175 Budu ci da se radi o usporavanju

Poglavlje 5

RAD I ENERGIJA

Proucavajuci drugi Newtonov zakon upoznalismo ucinak sile koja u nekom vremenskom intervaludjeluje na slobodno tijelo. Produkt sile i intervalavremena uzrokuje promjenu kolicine gibanja tijela,a tu velicinu koristimo kod opisa gibanja tijela. Uovome cemo poglavlju pokazati da je korisno raz-motriti jos jedan, neovisni ucinak sile. Radi se oproduktu sile i puta koji tijelo prevali dok na njegadjeluje sila, a nazivamo ga radom sile.

Pokazat cemo da izvrsen rad sile na slobodno ti-jelo mijenja njegovu kineticku energiju. Ako u raz-matranje ukljucimo sustav tijela s unutarnjim si-lama, mozemo u nekim slucajevima (npr. elasticnasila, gravitacijska sila) utvrditi postojanje potenci-jalne energije, koja se moze pretvarati u kineticku,i obrnuto. Razmatranje o vrstama energije prosiritcemo na opci pojam energije kao velicine koju nijemoguce unistiti, niti stvarati ni iz cega. Stoga po-jam energije ima istaknutu ulogu u fizici.

5.1 Rad sile i promjena

kineticke energije

slobodnog tijela

U razmatranju djelovanja neke sile na tijelo, po-lazimo od najjednostavnijeg zamisljenog slucaja ukojemu je to jedina sila koja djeluje na tijelo. Uslucaju kada na tijelo djeluje vise sila, mozemo naj-prije utvrditi ucinak svake od sila zasebno i za-tim odrediti zbirni ucinak, ili pak najprije vektorskizbrojiti sve sile koje djeluju na tijelo i zatim utvrditiucinak ukupne sile, kao da se radi o jednoj jedinojsili. Tako cemo postupati i u uvodenju pojma rada,te njegovu daljnjem razmatranju u ovome odjeljku.

5.1.1 Definicija rada i kineticke energije

Kada sila djeluje na slobodno tijelo tijekom nekogintervala vremena, dolazi do promjene kolicine gi-banja tijela sukladno drugome Newtonovu zakonu.O tome smo opsezno govorili u drugome poglavljuove knjige. No, tijekom tog intervala vremena, ti-jelo prevali i neki put, pa mozemo razmotriti ucinaksile vezujuci ga upravo uz prevaljeni put.

Na slici 5.1a prikazano je tijelo koje u nekom tre-nutku t1 ima neku brzinu ~v1. Neka na to tijelodjeluje sila ~F u smjeru brzine tako da putanja bivapravac sve do trenutka t2 kada tijelo ima brzinu ~v2.Sila ne mora biti stalna po iznosu, tako da na sva-kom infinitezimalnom djelicu puta d~s moramo uzetiodgovarajucu vrijednost sile. Skalarni produkt tesile i puta definiramo kao rad sile na tome putu

dW = ~F · d~s (5.1)

U ovome slucaju, sila ~F i put d~s imaju isti smjer,tj. kut medu njima je nula, pa mozemo pisati~F · d~s = F ds. Ovaj rad je pozitivna velicina jer Fi ds predstavljaju apsolutne iznose odgovarajucihvektora. Koristeci se poznatim izrazima, mozemopreinaciti izraz za rad

dW = F ds = mavdt = mvdv =1

2md

(v2)

(5.2)

Dobili smo zanimljiv rezultat. Ucinak sile na putuiskazuje se u promjeni kvadrata brzine tijela. Od-mah mozemo napisati da je ukupan rad jednakzbroju svih infinitezimalnih radova od pocetnog dokonacnog stanja

W =

∫ 2

1dW =

1

2m

∫ 2

1d(v2)

=1

2m v22 −

1

2m v21

(5.3)

173

174 POGLAVLJE 5. RAD I ENERGIJA

Ukupan rad je ovdje takoder pozitivna velicinajer je nastao zbrajanjem pozitivnih infinitezimal-nih velicina dW . Na kraju smo dobili da jeukupno izvrseni rad jednak razlici dvaju izraza kojiimaju istu formu, ali jedan ukljucuje brzinu tijelau konacnome stanju, a drugi u pocetnome.

Prethodni rezultat iz jednadzbe (5.3) daje nampovoda da definiramo pojam kineticke energije ti-jela

EK =1

2m v2 (5.4)

Uz ovu definiciju, ukupno izvrseni rad postaje jed-nak promjeni kineticke energije tijela od pocetnogdo konacnog stanja

W = EK2 − EK1 = ∆ EK (5.5)

U slucaju koji je prikazan na slici 5.1a, sila dje-luje u smjeru trenutne brzine i stoga povecava njeniznos. Radi se, dakle, o ubrzavanju tijela. Konacnakineticka energija EK2 veca je od pocetne EK1, paje i razlika u jednadzbi (5.5) pozitivna. Mozemozakljuciti da pozitivan rad sile (W > 0) dovodi dopovecanja kineticke energije tijela (∆ EK > 0).

Znacenje negativnog rada sile

Razmotrimo sada slucaj u kojemu tijelo ima u tre-nutku t1 brzinu ~v1, ali sila ~F djeluje u suprotnomsmjeru (slika 5.1b), tako da dolazi do usporavanjagibanja tijela i ono u kasnijem trenutku t2 ima ma-nju brzinu ~v2.

Rad sile ~F na putu d~s ima sada vrijednost

dW = ~F · d~s = F ds cos 180o = −F ds < 0 (5.6)

Infinitezimalni rad sile je u ovome slucaju negativnavelicina. Isto ocekujemo i za ukupni rad (W < 0)jer ga dobivamo zbrajanjem negativnih infinitezi-malnih doprinosa.

Napomena: Ako bismo izraz iz jednadzbe (5.6)htjeli upotrijebiti na nacin koji je primijenjen ujednadzbi (5.2), bilo bi potrebno voditi racunao razlicitim smjerovima, tj. uvesti algebarskevelicine. Ako smjer gibanja tijela uzmemo kaopozitivan, onda za silu moramo uzeti nega-tivnu algebarsku velicinu −F (ovdje je F =|~F |). Promjena brzine uvijek ima smjer sile,

pa je i ona u ovome slucaju negativna alge-barska velicina dv = −a dt (ovdje je a = |~a|).Konacni rezultat je isti kao i u jednadzbi (5.2).Jednadzbe (5.3) - (5.5) se ne mijenjaju.

Slika 5.1: (a) Tijelo ima pocetnu brzinu ~v1. Siladjeluje u smjeru pomaka tijela i povecava njegovubrzinu. Rad sile je pozitivan te se kineticka ener-gija tijela povecava. (b) Sila djeluje u smjeru su-protno od pomaka tijela. Rad sile je negativan tese kneticka energija tijela smanjuje. (c) Smjer dje-lovanja sile tvori neki kut prema pomaku tijela. (d)Promjena brzine d~v, koja ima smjer djelovanja sile,moze se rastaviti na paralelnu i okomitu kompo-nentu u odnosu na trentnu brzinu tijela.

5.1. RAD SILE I PROMJENA KINETICKE ENERGIJE SLOBODNOG TIJELA 175

Buduci da se radi o usporavanju tijela (v2 < v1),kineticka energija konacnog stanja je manja odpocetnog (EK2 < EK1), pa mozemo zakljuciti danegativnim radom (W < 0) sila oduzima kinetickuenergiju tijelu (∆ EK < 0).

Rad sile na zakrivljenoj putanji

Mozemo sada razmotriti opcenit slucaj u kojemusila djeluje kod kutom u odnosu prema trenutnojbrzini tako da nastaje zakrivljena putanja. Slika5.1c prikazuje pocetnu brzinu tijela ~v1 i djelovanjesile ~F koja moze mijenjati iznos i smjer, te formi-rati putanju do tocke u kojoj tijelo ima brzinu ~v2.Na svakom infinitezimalnom djelicu puta, sila izvrsirad

dW = ~F ·d~s = m~a·~vdt = m~v·d~v =1

2md(v2)

(5.7)

Posljednja jednakost proizlazi iz cinjenice da je kva-drat vektora jednak kvadratu apsolutnih vrijed-nosti, pa je

d(v2)

= d (~v · ~v) = d~v · ~v + ~v · d~v = 2~v · d~v (5.8)

Ova relacija zahtijeva dodatni komentar. Na slici5.1d prikazana su dva slucaja u kojima vektor sile ~Ftvori kut u odnosu prema vektoru trenutne brzine~v. Vektor promjene brzine d~v ima uvijek smjer sile,te je tako prikazan na slici 5.1d. Njega mozemorastaviti na komponente, paralelnu i okomitu nabrzinu, pa se gornji skalarni produkt svodi na

~v · d~v = ~v ·(d~v‖ + d~v⊥

)= ~v · d~v‖ (5.9)

gdje smo uvazili da skalarni produkt okomitih vek-tora iscezava. Dakle, vazna je samo projekcija vek-tora d~v na smjer vektora brzine. Drugim rijecima,problem se svodi na prethodne slucajeve kada siladjeluje na istome pravcu na kojemu se nalazi tre-nutna brzina. Ako sila tvori ostar kut s vektoromtrenutne brzine, komponenta d~v‖ ima isti smjer kaoi ~v, pa iznos brzine raste kao i u slucaju prikazanomna slici 5.1a. Ako pak sila tvori tupi kut s vekto-rom trenutne brzine, komponenta d~v‖ ima suprotansmjer od ~v, pa dolazi do usporavanja kao i u slucajukoji prikazuje slika 5.1b.

Napomena: Mozemo jos primijetiti da dodava-njem beskonacno malenog vektora d~v na vek-tor konacnog iznosa ~v, promjenu njegova iz-nosa stvara samo komponenta d~v‖. Stoga samota komponenta mijenja kvadrat brzine, kao stose vidi i prema jednadzbama (5.8) i (5.9).

Zakljucujemo, konacno, da i u opcenitom slucajuodnosa sile i trenutne brzine, rad sile ~F na putud~s dovodi do promjene kvadrata brzine prema jed-nadzbi (5.7), koja je identicna s prethodnom jed-nadzbom (5.2). Stoga i u opcenitom slucaju vrijedejednadzbe (5.3) - (5.5). Ukupan rad sile na slo-bodno tijelo dovodi do promjene njegove kinetickeenergije.

Jedinica za rad i kineticku energiju. Jedinicaza rad nosi posebno ime dzul (1 J) u cast engleskogfizicara J. Joulea (19. st.). Iz definicijske jednadzbe(5.1) slijedi da je 1 J = 1 N m. Rad od jednogdzula izvrsi sila od jednog njutna kada djeluje naputu od jednog metra. Prema jednadzbama (5.2) -(5.5), ista jedinica vrijedi i za kineticku energiju.

Izrazavanje rada i kineticke energije kodkruznog gibanja pomocu kutnih velicina

Kao poseban slucaj razmotrimo rad sile kod giba-nje tijela (cestice) po kruznoj putanji. Ako na tijelodjeluje samo centripetalna sila ~Fc, gibanje je jedno-liko, tj. ne mijenja se iznos brzine, nego samo njensmjer. U takvome gibanju, kvadrat brzine (ska-larna velicina) se ne mijenja, pa nema ni promjenekineticke energije tijela. Sukladno jednadzbi (5.5)ocekujemo da i rad centripetalne sile iscezava. Uis-tinu, za rad centripetalne sile na bilo kojem infini-tezimalnom putu imamo

dW = ~Fc · d~s = 0 (5.10)

zato sto je centripetalna sila radijalna, a infinite-zimalni put je tangencijalan, pa su ta dva vektorauzajamno okomita (slika 5.2a). Razumije se, inte-griranjem nultih doprinosa dobili bismo da je uku-pan rad takoder nula, sto je konzistentno s kons-tantnom kinetickom energijom.

Napomena: Podrazumijeva se da je tijelo na nekinacin prethodno steklo obodnu brzinu v, a cen-tripetalna sila se po iznosu prilagodi toj brzini(Fc = m v2/r).


Razmotrimo sada slucaj prikazan na slici 5.2b.Tijelo (cestica) mase m povezano je putem napeteniti (sila ~T ) na uporiste u sredistu kruznice. Natijelo djeluje i vanjska sila ~F , koja dolazi od nekogcimbenika (nije naznacen na slici 5.2b). Radi ana-lize problema, prikladno je vanjsku silu ~F rastavitina radijalnu i tangencijalnu komponentu

~F = ~Fr + ~Ft (5.11)

U pomocnom crtezu na slici 5.2b zamijenjena je sila~F dvjema komponentama, dok je sila napetosti niti~T prenesena s glavnog crteza. Mozemo zakljuciti dasile ~T i ~Fr vektorski zbrojene moraju odigrati ulogucentripetalne sile

~Fc = ~T + ~Fr (5.12)

Napomena: Ako pretpostavljamo da je vanjskasila zadana od vanjskog cimbenika, onda je iradijalna komponenta ~Fr time zadana, pa se upraksi sila napetosti niti ~T prilagodi tako darezultantna centripetalna sila ~Fc po svom iz-nosu odgovara trenutnoj obodnoj brzini tijela(Fc = m v2/r). Slika 5.2: (a) Tijelo u jednolikom gibanju po

kruznici. Napetost niti igra ulogu centripetalnesile koja je okomita na vektor pomaka tijela. (b)Pored napetosti niti, na tijelo djeluje vanjska sila~F . Na pomocnom je crtezu sila ~F zamijenjenasvojim komponentama u radijalnom i tangencijal-nom smjeru. (c) Djelovanje tangencijalne sile ek-vivalentno je djelovanju momenta sile ~M okomitona ravninu kruzenja. Pomak tijela d~s na obodukruznice moze se ekvivalentno izraziti vektorom in-finitezimalnog zakreta d~ϕ. Izvrseni rad je pozitivante se rotacija tijela ubrzava. (d) Tangencijalna siladjeluje u suprotnom smjeru od trenutne brzine ti-jela. Moment sile ima suprotan smjer od vektorainfinitezimalne rotacije, pa se rotacija tijela uspo-rava.

Kao sto smo gore ustanovili, centripetalna sila ~Fc

ne vrsi rad jer je uvijek okomita na infinitezimalniput d~s na kruznici. Medutim, tangencijalna kom-ponenta vanjske sile ~Ft lezi na istome pravcu kao id~s, pa vrsi rad

dW = ~Ft · d~s (5.13)

Ovaj rad je pozitivan ako sila ~Ft ima isti smjer kaoi infinitezimalni put d~s. Imajuci u vidu poznatu

5.1. RAD SILE I PROMJENA KINETICKE ENERGIJE SLOBODNOG TIJELA 177

relaciju d~s = ~v dt, zakljucujemo da pozitivan radnastaje kada tangencijalna komponenta vanjske sile~Ft djeluje u smjeru trenutne obodne brzine ~v. Tadase povecava iznos brzine, pa time i kineticka ener-gija. To je slucaj ubrzavanja kruznog gibanja tijela.Ako je pak tangencijalna komponenta vanjske sile~Ft usmjerena suprotno trenutnoj obodnoj brzini ~v,rad je negativan i dovodi do smanjivanja kinetickeenergije tijela. Radi se o usporavanju kruznog gi-banja.

Do sada smo rad vanjske sile kod kruznog giba-nja opisivali na isti nacin kao sto smo to prethodnonapravili u opcenitom slucaju djelovanja sile na ne-koj putanji. Mozemo sada pokusati iskazati radpomocu kutnih kinematickih i dinamickih velicinakoje smo uveli u prvome i drugome poglavlju za opiskruznog gibanja. Na slici 5.2c prikazan je slucajkada sila ~Ft ima smjer kao i infinitezimalni putd~s. Iz slike je vidljivo da infinitezimalni iznos dsmozemo smatrati lukom kruznog isjecka kojemu jevrsni kut dϕ. Stoga za rad mozemo pisati

dW = Ft ds = Ft r dϕ (5.14)

Razmotrimo sada moment sile ~Ft oko sredistakruznice

~M = ~r × ~Ft (5.15)

Buduci da su vektori ~r i ~Ft uzajamno okomiti, do-bivamo za iznos momenta sile M = r Ft. Lakomozemo uociti da jednadzba (5.14) ima na desnojstrani upravo iznos momenta sile M pomnozen s in-finitezimalnim kutom dϕ. No, moment sile je vek-tor, pa zelimo da se u tome svojstvu pojavljuje ukonacnoj jednadzbi za rad. S druge strane, raddW je skalarna velicina, koju mozemo dobiti akodva vektora mnozimo skalarno. Kao drugi vektoruzimamo kut infinitezimalne rotacije d~ϕ, koji je poiznosu jednak dϕ, a smjer mu je okomit na ravninurotacije i odreden pravilom desne ruke. Infinitezi-malni rad mozemo konacno napisati u obliku

dW = ~M · d~ϕ (5.16)

Kod kruznog gibanja, djelovanjem momenta sile priostvarenom kutu zakreta nastaje rad.

U slucaju prikazanom na slici 5.2c, vektori ~Mi d~ϕ su paralelni, pa je i rad iskazan jednadzbom(5.16) pozitivan. Ako pak zamislimo situaciju u

kojoj tangencijalna komponenta vanjske sile ~Ft dje-luje u suprotnom smjeru od vektora infinitezimal-nog puta d~s, kao sto prikazuje slika 5.2d, vektor~M ima suprotan smjer od d~ϕ, te je rad izracunat

prema jednadzbi (5.16) negativan. Radi se o uspo-ravanju kruznog gibanja.

Napomena: Kod izracunavanja momenta sile ~Mu jednadzbi (5.16) mozemo uvrstiti ukupnuvanjsku silu ~F jer vrijedi ~M = ~r× ~F = ~r× ~Ft,zato sto radijalna komponenta vanjske sile nepridonosi momentu sile oko sredista kruznice(~r × ~Fr = 0).

Buduci da smo kod kruznog gibanja rad izrazilipomocu kutnih velicina, bilo bi zgodno na taj nacinizraziti i kineticku energiju. U tu svrhu iskoris-timo poznatu relaciju za kruzno gibanje v = ω r, tenapisimo

EK =1

2m v2 =

1

2mω2 r2 =

1

2I ω2 (5.17)

gdje je I = m r2 moment inercije tijela (cestice)mase m na udaljenosti r od osi rotacije.

Ukupan rad kojim se kod kruznog gibanja pro-mijeni kutna brzina iznosi

W =

∫ 2

1

~M · d~ϕ =1

2I ω2

2 −1

2I ω2

1 = ∆EK (5.18)

Integriranje se provodi od nekog kuta ϕ1 kada jetrenutna kutna brzina bila ω1 pa do kuta ϕ2 kadaje postignuta trenutna kutna brzina ω2. Rotacijaod ϕ1 do ϕ2 moze biti tek maleni zakret, no mozese odnositi i na okretanje vece od punoga kuta, od-nosno vise njih. U konacnici, izvrseni rad dovodido promjene kineticke energije tijela.

5.1.2 Izmjene kineticke energije kodrada vise sila

Cest je slucaj u praksi da mozemo identificirati visesila koje djeluju na neko tijelo, te se postavlja pita-nje izracunavanja rada tih sila i promjene kinetickeenergije tijela. Na slici 5.3a prikazan je primjer ti-jela T na koje djeluju tri sile oznacene kao ~FAT ,~FBT i ~FCT , cime zelimo istaknuti da one dolazeod djelovanja razlicitih tijela A, B i C na pro-matrano tijelo T . Ako zelimo samo odrediti pro-mjenu kineticke energije promatranog tijela od ne-kog pocetnog do nekog konacnog stanja, mozemonajprije utvrditi ukupnu silu (slika 5.3b)


~Fuk = ~FAT + ~FBT + ~FCT (5.19)

a zatim integriranjem odrediti rad ukupne sile odpocetnog do konacnog stanja

W =

∫ 2

1

~Fuk · d~s = ∆ EK (5.20)

U alternativnom postupku, mozemo najprijeizracunati zasebno rad svake sile od pocetnog dokonacnog stanja (slika 5.3a)

WA =

∫ 2

1

~FAT · d~s (5.21)

WB =

∫ 2

1

~FBT · d~s (5.22)

WC =

∫ 2

1

~FCT · d~s (5.23)

Slika 5.3: (a) Na promatrano tijelo T djeluju tritijela A, B i C (nisu prikazana na slici). Pod djelo-vanjem triju sila, promatrano tijelo se giba od pr-vog do drugog polozaja. Ukupni put se sastoji oddjelica puta d~s. (b) Prikaz ukupne sile ~Fuk na pro-matrano tijelo i djelica puta d~s.

a zatim zbrojiti sve izvrsene radove i dobiti ukupnoizvrseni rad svih sila

W = WA +WB +WC = ∆ EK (5.24)

Oba postupka daju isti konacan rezultat za pro-mjenu kineticke energije tijela. Medutim, drugipostupak nam otkriva da pojedina tijela A, B i Cimaju svoje razlicite udjele u ukupnome rezultatu.Ako neka od tih sila izvrsi pozitivan rad, ona zataj iznos uvecava kineticku energiju tijela. S drugestrane, neka od sila moze izvrsiti negativan rad, teza taj iznos umanjuje kineticku energiju tijela.

Svaka sila koja djeluje na promatrano tijelo do-lazi od djelovanja nekog drugog tijela (cimbenika),pa mozemo reci da pojedini cimbenici mogu davatiili oduzimati energiju promatranome tijelu. Ovace nam rasclamba biti korisna u sljedecem razma-tranju u kojemu cemo uvesti pojam potencijalneenergije.

5.2 Potencijalna energija

U prethodnom smo odjeljku usmjeravali paznju natijelo kojemu se, zbog djelovanja vanjske sile, mozepovecati ili smanjiti kineticka energija. Sada bismoukljucili i pitanje sto se zbiva s onim drugim tijelom(cimbenikom) koje je uzrokovalo djelovanje sile naprvo tijelo. Zanimljivo bi bilo znati moze li drugotijelo najprije oduzeti prvome neki iznos kinetickeenergije, a zatim mu vratiti taj isti iznos kinetickeenergije. Drugim rijecima, moze li se oduzeta ki-neticka energija nekako pohraniti da bi kasnije mo-gla biti predana opet istome tijelu od kojega je bilaoduzeta, ili pak predana bilo kojem drugom tijelu.

Razmotrimo najprije jedan primjer u kojemunema mogucnosti povratka oduzete kineticke ener-gije. Slika 5.4 prikazuje promatrano tijelo koje unekoj tocki P1 ima pocetnu brzinu ~v1. Kao drugotijelo, prikazana je podloga koja djeluje silom tre-nja ~Ftr na prvo (promatrano) tijelo i zaustavlja gau nekoj tocki P2. Dakle, sa stajalista promatranogtijela, sila trenja igra ulogu vanjske sile koja vrsirad

W =

∫ 2

1

~Ftr·d~s =1

2mv22−

1

2mv21 = −1

2mv21 (5.25)

gdje je uzeto u obzir da se tijelo zaustavilo (v2 = 0).Rad sile trenja je negativan (~Ftr · d~s < 0), pa se ki-

5.2. POTENCIJALNA ENERGIJA 179

neticka energija tijela smanjuje i konacno potpunoiscezne.

Slika 5.4: Tijelo zadobije na neki nacin pocetnubrzinu ~v1 i zatim je prepusteno klizanju na podlozis trenjem. Brzina tijela se smanjuje dok se tijelo nezaustavi u tocki P2. Rad sile trenja oduzeo je tijelucjelokupnu pocetnu kineticku energiju.

Postavlja se pitanje kamo je otisla ta energija, temoze li biti vracena. U ovome je slucaju podlogapredstavljala drugo tijelo, koje je djelovalo silomtrenja na promatrano prvo tijelo. Medutim, kadase tijelo zaustavi, iscezne sila trenja, a podloga nestvori nikakvu drugu silu kojom bi mogla proma-tranome tijelu vratiti kineticku energiju. Kasnijecemo vidjeti da je energija otisla nepovratno u to-plinu.

5.2.1 Potencijalna energija u elasticnomsustavu

Umjesto podloge s trenjem, zamislimo sada idealnupodlogu bez trenja, tako da podloga vise ne dje-luje na promatrano tijelo na njoj. Kao drugo tijelo,postavimo oprugu koja je jednim krajem spojena spromatranim tijelom, a drugim je krajem ucvrscenana nepomican zid. Na slici 5.5a prikazana je oprugau prirodnom nerastegnutom stanju, a tijelo u tockiP1 s pocetnom brzinom ~v1, stecenom npr. nekimudarcem. Kod pomaka tijela za ~u od tocke P1, ras-tegne se i opruga za isti iznos (slika 5.5b), te sejavlja elasticna sila ~Fel = −K~u, koja nastoji vratitioprugu u nerastegnuto stanje. Sa stajalista proma-tranog tijela, ~Fel predstavlja vanjsku silu koja vrsirad i mijenja kineticku energiju tijela

W =

∫ 2

1

~Fel·d~u =1

2mv22−

1

2mv21 = −1

2mv21 (5.26)

gdje smo integrirali do tocke P2 u kojoj se tijelozaustavilo (v2 = 0). Mozemo uociti da kod ovog

integriranja sila ~Fel ima ulogu koju je imala silatrenja ~Ftr u jednadzbi (5.25). Rad je negativan, patijelo gubi kineticku energiju i zaustavlja se u tockiP2 (slika 5.5c).

Slika 5.5: (a) U pocetnom trenutku opruga je u ne-rastegnutom stanju, a tijelu je nekim udarcem iz-vana (nije prikazano na slici) dana brzina ~v1. Tijelose nalazi na idealnoj podlozi bez trenja. (b) Ras-tezanjem opruge javlja se elasticna sila koja imasmjer suprotan pomaku tijela d~u, te se gibanje ti-jela usporava. (c) Rad elasticne sile oduzeo je ti-jelu u potpunosti pocetnu kineticku energiju i onose trenutno zaustavilo u tocki P2. (d) Elasticna silanastavlja djelovati na tijelo koje se sada pomice usmjeru elasticne sile tako da je rad elasticne silepozitivan i tijelu raste kineticka energija.


Mozemo reci da je u ovome slucaju opruga svojimdjelovanjem oduzela promatranome tijelu kinetickuenergiju, slicno kao sto je to napravila podloga s tre-njem u slici 5.4. Medutim, za razliku od sile trenja,koja nestaje kada se tijelo zaustavi, elasticna silapostoji dokle god je opruga rastegnuta. Stoga ras-tegnuta opruga ima sposobnost vracanja kinetickeenergije promatranome tijelu, pa kazemo da imapohranjenu potencijalnu energiju (lat. potentia -moc). Ako pustimo da elasticna sila opruge djelujena isto tijelo u povratku od tocke P2 prema tockiP1 (slika 5.5d), ona ce izvrsiti rad

W′

=

∫ 1

2

~Fel · d~u =1

2m v21 (5.27)

Rad elasticne sile u povratku je pozitivan i u pot-punosti vraca tijelu kineticku energiju.

Napomena: Integral u jednadzbi (5.27) ima gra-nice od tocke P2 prema tocki P1. Stoga se d~uuzima u tome smjeru i paralelan je s ~Fel. Kodintegrala u jednadzbi (5.26), bilo je obrnuto.

Gornje razmatranje mozemo sazeti tako dakazemo da je prilikom rastezanja opruga oduzelatijelu kineticku energiju i stekla vlastitu potenci-jalnu energiju

EP2 − EP1 = −∫ 2

1

~Fel · d~u (5.28)

Napomena: Granice integriranja u jednadzbi(5.28) postavljene su tako da odgovaraju pro-cesu rastezanja opruge, tj. kao u jednadzbi(5.26), te je sam integral negativan. Uz nega-tivan predznak ispred integrala dobiva se pozi-tivna promjena potencijalne energije prilikomrastezanja opruge.

Izrazu za stvaranje potencijalne energije mozemodati jos jednu fizikalnu interpretaciju. Dok se tijelopocetno kretalo od tocke P1 prema P2, opruga je nanjega djelovala silom ~Fel. Medutim, prema trecemuNewtonovu zakonu, tijelo je istodobno djelovalo naoprugu silom reakcije −~Fel. Sa stajalista opruge,silu kojom tijelo djeluje na oprugu mozemo sma-trati vanjskom silom. Ona pak ne moze dati ak-celeraciju opruzi jer je drugi kraj opruge ucvrscen.Stoga radom vanjske sile −~Fel opruga ne stjece ki-neticku energiju, ali se deformira (rasteze). Akoizracunamo rad vanjske sile −~Fel na putu od tocke

P1 prema P2 dobivamo tocno izraz u jednadzbi(5.28)), tj. povecanje potencijalne energije opruge.

Poznavajuci izraz za elasticnu silu, mozemo odre-diti iznos potencijalne energije opruge koja je ras-tegnuta za proizvoljni iznos u

EP = −∫ u

0(−K ~u) · d~u = K

∫ u

0u du =

1

2K u2

(5.29)gdje je za nultu razinu potencijalne energije uzetonerastegnuto stanje (u1 = 0, EP1 = 0). Potenci-jalna energija opruge raste s kvadratom iznosa zakoji se produljila.

Sto se zbiva s potencijalnom energijomu procesu povratka opruge u nerastegnutostanje?

U povratnom procesu, opruga djeluje na tijelotako da elasticna sila izvrsi pozitivan rad W

′(jed-

nadzba (5.27)) na tijelo povecavajuci njegovu ki-neticku energiju. Pritom se smanjuje potencijalnaenergija opruge

EP1 − EP2 = −∫ 1

2

~Fel · d~u < 0 (5.30)

Napomena: Predznak minus moramo zadrzati dabi promjena potencijalne energije kod steza-nja opruge bila negativna. Naime, u integralusmo postavili granice od tocke P2 prema P1,kao u jednadzbi (5.27), jer se tako odvija pro-ces stezanja opruge. Tada pomak d~u ima istismjer kao sila ~Fel, te je sam integral pozitivnavelicina W

′.

Opcenit izraz za promjenu elasticnepotencijalne energije

Izraz za promjenu potencijalne energije opruge ujednadzbi (5.28) dobili smo razmatrajuci primjer ukojemu do rastezanja opruge dolazi zbog tijela ko-jemu je dana pocetna kineticka energija, a ono jevezano uz oprugu. Medutim, do rastezanja oprugemoze opcenito doci uslijed djelovanja bilo koje vanj-ske sile na kraj opruge. Slika 5.6 prikazuje oprugui vanjsku silu ~F koja vrsi njeno rastezanje. Sigurnoje da sila ~F dolazi od nekog drugog tijela u oko-lini, ali ono nije na slici prikazano. Na samomekraju opruge su hvatista sile ~F i ~Fel. Buduci da


u toj tocki nema tijela, dakle ni mase, za njenoproizvoljno gibanje (jednoliko ili ubrzano) nije po-trebna ukupna sila. Stoga uvijek imamo ~F = −~Fel.Rad vanjske sile, koji se pretvara u potencijalnuenergiju opruge, mozemo izracunati kao rad sile−~Fel, ili ekvivalentno kao rad sile ~Fel uzet sa su-protnim predznakom.

Napomena: U gornjem primjeru pretpostavljenaje idealizacija u kojoj dijelovi opruge imajuzanemarivu masu. Ako se zeli voditi racunao masama segmenata opruge, dio vanjske sile~F sluzi za njihovu akceleraciju, odnosno diorada sile ~F pretvara se u kineticku energiju tihsegmenata. Nasuprot tome, rad sile ~Fel uzetsa suprotnim predznakom odrazava iskljucivopromjenu potencijalne energije opruge.

Slika 5.6: Na kraju opruge nije postavljeno nekotijelo, ali na tome mjestu djeluje vanjska sila ~F .Rastegnuta opruga djeluje u povratnom smjeruelasticnom silom ~Fel. Rad elasticne sile kod po-maka d~u uzet s negativnim predznakom jednak jeradu vanjske sile.

Mozemo zakljuciti da se prilikom promjene du-ljine opruge, bilo da se duljina povecava ili sma-njuje, uvijek odvija rad unutarnje sile ~Fel na putukoji prevali krajnja tocka opruge. Pritom dolazido promjene elasticne potencijalne energije oprugekoju mozemo napisati opcenito

∆ EP = EP2 − EP1 = −∫ 2

1

~Fel · d~u (5.31)

Promjena potencijalne energije opruge jednaka jepo iznosu, ali suprotnog je predznaka, od rada stoga unutarnja elasticna sila izvrsi od pocetnog dokonacnog stanja opruge.

Napomena: Prilikom rastezanja opruge svejednoje koji se od dva kraja pomice, a koji jeucvrscen. Moramo imati na umu da na svakikraj opruge djeluju elasticne sile jednakih iz-nosa, ali suprotnih smjerova. Za promjenu po-tencijalne energije racuna se rad one sile cije sehvatiste pomice. U slucaju da se pomicu obakraja, radovi se zbrajaju i dobiva se ukupnapromjena potencijalne energije.

Lako je shvatiti da pojava elasticne potenci-jalne energije nije svojstvena samo opruzi. Svakoelasticno tijelo povecava svoju potencijalnu ener-giju kada se pod utjecajem vanjskih sila deformira.Tada se, naime, javljaju unutarnje elasticne silekoje vrse odgovarajuci (negativan) rad sukladno iz-nosu deformacije. Kod povratka elasticnog tijela unedeformirano stanje, unutarnje elasticne sile vrsepozitivan rad, te se potencijalna energija tijela sma-njuje.

5.2.2 Gravitacijska potencijalnaenergija

Razmotrimo dva (ogromna) tijela A i B koja se uza-jamno privlace silama ~FAB i ~FBA sukladno opcemzakonu gravitacije. Za sada ne navodimo ovisnostsila o masama i udaljenosti medu tijelima. To cemouciniti kasnije, a sada provedimo samo opca raz-matranja. Ako zelimo da ta tijela miruju jedno uodnosu prema drugome, morale bi na njih djelovatii neke vanjske sile kako bi se uspostavila ravnoteza(slika 5.7a). Razumije se, radi se o zamisljenoj si-tuaciji, ali ona je nacelno sasvim ispravna.

Napomena: Kod ovih razmatranja podrazumi-jeva se da tijela A i B promatramo u nekominercijalnom sustavu.

Pretpostavimo sada da je tijelo A nepomicno (iz-ostavljamo crtanje sila na to tijelo) i usredotocimopaznju na tijelo B koje se, uslijed djelovanja sila,pomice od pocetnog do konacnog polozaja, kakoprikazuje slika 5.7b. Ukupni rad sila ~F i ~FAB, kojedjeluju na tijelo B, daje promjenu njegove kinetickeenergije

∫ 2

1

~F · d~s+

∫ 2

1

~FAB · d~s = ∆ EK (5.32)

Rad vanjske sile ~F je pozitivan. Kada bi na tijelo Bdjelovala samo ta sila, ono bi steklo vecu kineticku


Slika 5.7: (a) Tijela A i B privlace se gravitacijskimsilama ~FAB i ~FBA. Zamisljen je staticki slucaj zakoji bi bile potrebne vanjske sile ~F

′i ~F

′′. (b) Ti-

jelo A je nepomicno u nekom inercijalnom sustavu(nisu prikazane sile na to tijelo), a tijelo B se mozepomicati od jednog do drugog odabranog polozaja.

energiju. Medutim, negativnim radom unutarnjesile ~FAB oduzima se tijelu B dio kineticke energije.Postavlja se pitanje kamo je otisla ta oduzeta ener-gija, te moze li se ona vratiti tijelu B.

U ovome slucaju, nema opruge koja bi bila raza-peta izmedu dva tijela i u kojoj bi se, uslijed raste-zanja, pohranila potencijalna energija. Tijela A i Bnisu ni u kakvu dodiru, te nema nikakve (elasticne)deformacije na njima. Ipak, postoji unutarnja sila~FAB koja djeluje na putu udaljavanja tijela. Tasila postoji samo ako postoje oba tijela kao sustav.Pokazat cemo da je ovdje doslo do povecanja po-tencijalne energije koju pripisujemo sustavu dvajutijela, a ne pojedinome tijelu. Postavljamo defini-ciju

∆ EP = EP2 − EP1 = −∫ 2

1

~FAB · d~s (5.33)

Analogno slucaju elasticne opruge (jednadzba(5.31)), promjena potencijalne energije jednaka jepo iznosu, ali suprotnog je predznaka, od rada sto

ga unutarnja sila izvrsi od pocetnog do konacnogpolozaja. Uz takvu definiciju, jednadzbu (5.32)mozemo napisati u obliku∫ 2

1

~F · d~s = ∆ EP + ∆ EK (5.34)

Kazemo da je rad vanjske sile ~F jednim dijelomutrosen na povecanje potencijalne energije sustavadvaju tijela, a jednim dijelom na kineticku energijutijela na koje je vanjska sila izravno djelovala.

Da bismo se uvjerili kako je ovdje uistinu doslo dostvaranja energije koju mozemo s pravom nazvatipotencijalnom, moramo pokazati da je na racun teenergije moguce izvrsiti rad. Ta mogucnost zacijelopostoji stoga sto gravitacijska sila ne moze nestati.Zamislimo da tijelo B miruje u tocki P2, a zatimga pustimo tako da ga unutarnja (gravitacijska) sila~FAB tjera prema tocki P1. Rad koji izvrsi unutarnjasila na tom putu

W′

=

∫ 1

2

~FAB · d~s (5.35)

proizvest ce kineticku energiju tijela. Prema tome,rad koji je prethodno bio ulozen u procesu udalja-vanja tijela, uistinu je stvorio potencijalnu energiju,a ona se moze kasnije pretvoriti u kineticku energijupri slobodnom priblizavanju tijela.

Dok kineticku energiju pripisujemo jednom ti-jelu, kada ono stekne neku brzinu, potencijalnuenergiju ne mozemo pripisati samo jednom tijelu,nego sustavu dvaju tijela A i B. Naime, za nas-tanak potencijalne energije bitno je da dode dorazmicanja dvaju tijela, a pritom je svejedno kojeod dvaju tijela pomicemo dok ono drugo drzimonepomicnim. Rad utrosen za odredeno povecanjeudaljenosti tih tijela isti je u svakom slucaju, jersu unutarnje sile ~FAB i ~FBA jednake po iznosu alisuprotnog smjera. Razumije se, mozemo pomicatii oba tijela, pa se radovi zbrajaju i daju ukupnupromjenu potencijalne energije sustava.

Vazno je takoder uociti da, bez obzira na nacinkako je nastala, potencijalna energija sustava tijelaA i B moze biti predana bilo tijelu B na nacin opi-san u jednadzbi (5.35), ili tijelu A ukoliko pustimoda se ono giba pod utjecajem sile ~FBA i prevalijednaki put u priblizavanju tijelu B, koje zadrzimonepomicnim. Razumije se, pustimo li slobodno obatijela, svako od njih ce stjecati neku kineticku ener-giju, koje ce zbrojene odgovarati smanjenju poten-cijalne energije sustava.


Zemlja i tijelo

Nakon provedenih opcih razmatranja, okrenimo seanalitickom izrazu za gravitacijsku silu pomocu ko-jega mozemo izracunavati potrebne integrale. Kaokonkretan primjer uzmimo Zemlju na kojoj zivimoi neko tijelo kao sto prikazuje slika 5.8a. Zemljusmatrajmo nepomicnom, te zamislimo da se poddjelovanjem neke vanjske sile, koja nije prikazanana slici 5.8a, tijelo pomaklo iz pocetnog polozaja uneki udaljeniji polozaj od Zemlje.

Zbog djelovanja vanjske sile, tijelo moze dobitii neku kineticku energiju, no ovdje nas interesirapromjena potencijalne energije, a nju izracunavamoputem rada unutarnje sile sustava Zemlje i tijela. Uovome slucaju radi se o gravitacijskoj sili ~Fg kojomZemlja privlaci tijelo mase m na udaljenosti r odsredista Zemlje (r > rZ)

~Fg = −G mZ m

r 2r (5.36)

Jedinicni vektor r ima smjer od sredista Zemljeprema tijelu, a predznak minus oznacava da je sila~Fg suprotnoga smjera. Promjena potencijalne ener-gije iznosi

EP2 − EP1 = −∫ 2

1

~Fg · d~r = GmZ m

∫ 2

1

dr

r 2

= GmZ m

(− 1

r2+

1

r1

)(5.37)

Razmotrimo poseban slucaj u kojemu je tijeloodvedeno beskonacno daleko od Zemlje. Za r2 →∞ uocavamo da razlomak 1/r2 u jednadzbi (5.37)iscezava. Ako dogovorno odredimo da potencijalnaenergija u takvome stanju bude nula (EP∞ = 0),postizemo matematicki jednostavan izraz za poten-cijalnu energiju

EP = −G mZ m

r(5.38)

gdje je umjesto odredene vrijednosti r1 upotrijeb-ljena varijabla r koja moze poprimiti bilo kojuvrijednost. Dobivena negativna vrijednost za po-tencijalnu energiju ne treba nas iznenaditi. Pri-blizavanjem tijela gravitacijska potencijalna ener-gija se smanjuje. Ako smo dogovorno postavilida za beskonacnu udaljenost potencijalna energijabude nula, onda na konacnim udaljenostima onamora biti negativna.

Napomena: Fizikalno su vazne samo promjenepotencijalne energije, a one ne ovise o odabirupolozaja za koji cemo smatrati da mu je poten-cijalna energija jednaka nuli. Ako ipak odabe-remo takav polozaj, onda potencijalne energijeu svim ostalim polozajima odredujemo u od-nosu prema odabranom polozaju.

Ovisnost potencijalne energije o udaljenosti odZemlje prikazana je graficki na slici 5.8b. Na samojpovrsini Zemlje, ona ima negativnu vrijednost−G (mZ m)/rZ , a na vecim udaljenostima rasteprema nuli. Ovaj nam graf moze posluziti za ana-

Slika 5.8: (a) Zemlja i tijelo mase m na nekoj uda-ljenosti r od sredista Zemlje. Pretpostavlja se da jeZemlja prakticki nepokretna. Pomicanjem tijela odprvog do drugog polozaja promijeni se potencijalnaenergija sustava Zemlje i tijela. (b) Ovisnost po-tencijalne energije o udaljenosti tijela od Zemlje uzodabir nulte energije u granici beskonacne udalje-nosti. Naznacena je potencijalna energija u slucajukada se tijelo nalazi na povrsini Zemlje (r = rZ).Takoder je naznacena ukupna energija (potenci-jalna i kineticka) kada tijelo na povrsini Zemlje do-bije neku pocetnu brzinu (vertikalni hitac), te nacinodredivanja maksimalne udaljenosti rmax do kojetijelo moze doci.


lizu problema vertikalnog hica. Ako tijelu dademopocetnu brzinu v0 uvis, ono ce imati ukupnu ener-giju

E = EP + EK = −G mZ m

rZ+

1

2m v20 (5.39)

Mozemo imati tri razlicita slucaja. Ako je drugiclan po iznosu manji od prvoga, ukupna energijaje negativna. Takav je primjer oznacen crtkanomlinijom na slici 5.8b. Gibanjem tijela uvis, gra-vitacijska sila vrsi negativan rad i umanjuje ki-neticku energiju tijela. No, taj isti rad uzet sasuprotnim predznakom predstavlja povecanje po-tencijalne energije, tako da se ukupna energija nemijenja. Ocito je da se tijelo moze udaljiti od Zem-lje samo toliko da njegova kineticka energija padnena nulu, a onda je u ukupnoj energiji opstala samopotencijalna

E = −G mZ m

rmax(5.40)

gdje rmax predstavlja maksimalnu udaljenost dokoje je tijelo moglo doci u danome vertikalnom hicu.Ovu vrijednost lako mozemo ocitati na grafu iz slike5.8b.

Sto je pocetna kineticka energija veca, ukupnaenergija u jednadzbi (5.39) je bliza nuli, a timei maksimalna udaljenost rmax u jednadzbi (5.40)postaje veca. Granicni slucaj se postize kada jepocetna kineticka energija toliko velika da ukupnaenergija u jednadzbi (5.39) iscezava. Lako mozemoizracunati da je za to potrebna pocetna brzina

v0 =

√2G

mZ

rZ≈ 104 ms−1 (5.41)

S tom pocetnom brzinom tijelo odlazi nepovratnosa Zemlje u beskonacnost, s time da mu kinetickaenergija tezi prema nuli. Navedena pocetna brzinacesto se naziva drugom svemirskom (kozmickom)brzinom.

Ako tijelo u pocetku dobije jos vecu kinetickuenergiju, njegova ce ukupna energija biti pozitivna.Takav je primjer takoder prikazan crtkanom lini-jom na slici 5.8b. Tijelo odlazi nepovratno u Sve-mir, ali cak i beskonacno daleko od Zemlje zadrzavaodredenu kineticku energiju.

Napomena: Opisani primjeri s drugom svemir-skom brzinom i vecim brzinama imaju za svrhu

samo razviti teorijsko razumijevanje problema.U praksi nije moguce postici takve pocetne br-zine ispaljivanjem projektila. Sve rakete zah-tijevaju dodatni pogon nakon lansiranja.

Potencijalna energija blizu povrsine Zemlje

Cesto nam je potrebno razmatrati promjene poten-cijalne energije na visinama koje su mnogo manjeod radijusa Zemlje. U tu svrhu izrazimo udaljenosttijela od sredista Zemlje kao r = rZ + h, pa raz-lika potencijalnih energija na visini h i na povrsiniZemlje (h = 0) iznosi

EPh − EP0 = −G mZ m

rZ + h+G

mZ m

rZ(5.42)

Za h << rZ vrijedi aproksimacija

1

rZ + h=

1

rZ

(1 + h

rZ

) ≈ 1

rZ

(1− h

rZ

)(5.43)

Stoga razliku energija iz jednadzbe (5.42) mozemoizraziti

EPh − EP0 = GmZ m

r 2Z

h (5.44)

Razlika potencijalnih energija ovisi linearno o visinih. Ova linearizacija je posljedica malene promjenefunkcije 1/r kod uvjeta h << rZ , kao sto je izrazenou jednadzbi (5.43).

Iz prakticnih razloga, zgodno nam je u ovim pri-likama odabrati cvrsto tlo kao nultu tocku u kojojpostavljamo EP0 = 0, pa potencijalnu energiju naraznim visinama odredujemo u odnosu na tlo. Ujednadzbi (5.44) mozemo prepoznati gravitacijskusilu Fg = GmZ m/r

2Z , pa potencijalna energija na

visini h glasi

EP = Fg h = m g h (5.45)

gdje je g akceleracija slobodnog pada blizu povrsineZemlje.

Izvedenu relaciju mogli smo dobiti i primjenomopce definicije za promjenu potencijalne energije

EPh − EP0 = −∫ h

0

~Fg · d~s = Fg h (5.46)

5.3. KONZERVATIVNE I NEKONZERVATIVNE SILE 185

Sila ~Fg je unutarnja sila sustava Zemlje i tijela, au malenom visinskom rasponu h ona je praktickikonstantna, pa je integral jednostavno izracunati.

Kod prakticno ostvarivog vertikalnog hicapostize se relativno malena visina h. Stoga vrijedijednakost

1

2m v20 = m g h (5.47)

gdje je v0 pocetna brzina. Tijelo dosegne visinu hkoju mozemo izracunati po gornjoj formuli, a zatimpadne na tlo brzinom koja takoder ima iznos v0, tj.vrati mu se cjelokupna prvobitna kineticka energija.

Napomena: Kineticku energiju pripisujemo tijelukoje ima odgovarajucu brzinu. Medutim, po-tencijalnu energiju moramo pripisati sustavuZemlje i tijela, a ne samo tijelu. Razlog zbogkojega se potencijalna energija mg h praktickiu cijelosti pretvori u kineticku energiju tijelalezi u ogromnoj masi Zemlje, koja se praktickine pokrene.

5.3 Konzervativne i

nekonzervativne sile

U prethodnom smo odjeljku vidjeli da u sustavimagdje djeluju unutarnje sile, poput elasticne i gravi-tacijske, mozemo pohraniti energiju koju je kasnijemoguce iskoristiti za vrsenje rada i pretvaranje ukineticku energiju. U drugim pak slucajevima, kaokod sile trenja, takve mogucnosti nema. U ovomecemo odjeljku pokazati da se razlike medu dvjemavrstama sila mogu iskazati pomocu matematickihformi.

5.3.1 Rad gravitacijske sile na razlicitimputovima

Razmotrimo opcenitije kretanje nekog tijela u gra-vitacijskom polju Zemlje. Slika 5.9 prikazuje tijelokojemu je zadan neki pocetni polozaj u tocki P1 ineki konacni polozaj u tocki P2. Na tijelo uvijekdjeluje gravitacijska sila ~Fg, no pored nje djelujei neka vanjska sila, koja se moze mijenjati po iz-nosu i smjeru (nije prikazana na slici 5.9). Ukupnasila na tijelo odreduje oblik putanje od pocetnog dokonacnog polozaja. Na slici 5.9 prikazane su kaoprimjer dvije putanje, nastale u slucajevima kadasu djelovale razlicite vanjske sile.

Slika 5.9: Primjer dviju putanja a i b kojima setijelo (cestica) moze gibati od tocke P1 do tockeP2. Odredena putanja se ostvaruje zbog djelova-nja vanjske sile koja nije prikazana na slici. Radgravitacijske sile ~Fg ne ovisi o putanji nego samo okrajnjim tockama.

Ovdje nas interesira samo djelovanje gravitacij-ske sile na putu od pocetnog do konacnog polozajatijela. Gravitacijska sila ima isti iznos u svimtockama na kruznici radijusa r koja je prikazanacrtkanom linijom na slici 5.9. Uocimo tocke na pu-tanjama a i b koje leze na toj kruznici i razmo-trimo infinitezimalne putove d~sa i d~sb koji vode dosjecista s kruznicom radijusa r+dr, koja je takodernaznacena na slici 5.9. Rad gravitacijske sile na po-jedinim infinitezimalnim putovima iznosi

dWa = ~Fg · d~sa = Fg dsa cos θa = −Fg dr (5.48)

dWb = ~Fg · d~sb = Fg dsb cos θb = −Fg dr (5.49)

gdje su θa i θb kutovi sto ih infinitezimalni putovicine s gravitacijskom silom na tome mjestu (slika5.9). U oba slucaja dobije se ista vrijednost zaizvrseni rad jer projekcije infinitezimalnih putovana radijalan smjer daju isti iznos dr.

Cijeli put od pocetnog do konacnog polozajamozemo podijeliti na infinitezimalne segmente izbrojiti izvrsene radove, te dobiti


∫ 2

1

~Fg · d~s︸︷︷︸po putu (a)

=

∫ 2

1

~Fg · d~s︸︷︷︸po putu (b)

(5.50)

Dobili smo vazan rezultat koji kaze da rad gra-vitacijske sile na putu od pocetnog do konacnogpolozaja ne ovisi o odabiru putanje.

Napomena: Kada bismo uvrstili analiticki izrazza gravitacijsku silu, dobili bismo da rezultatintegracije ovisi o velicinama r1 i r2 koje seodnose na pocetni i konacni polozaj.

Zamislimo sada da se tijelo giba od pocetnogpolozaja putanjom a do konacnog polozaja, a za-tim se vrati u pocetni polozaj po putanji b. Pro-mjena smjera gibanja na putanji bmijenja predznakizvrsenog rada gravitacijske sile (promijena smjerad~s), tako da je ukupni rad∫ 2

1

~Fg · d~s︸︷︷︸po putu (a)

+

∫ 1

2

~Fg · d~s︸︷︷︸po putu (b)

= 0 (5.51)

Ovaj rezultat pisemo sazeto∮C

~Fg · d~s = 0 (5.52)

Rad gravitacijske sile po zatvorenoj krivulji Ciscezava. To je temeljno matematicko svojstvo kon-zervativne sile.

Konzervativne sile i mogucnost definiranjapotencijalne energije

U prethodnim razmatranjima utvrdili smo da pro-mjenu potencijalne energije mozemo izraziti putemrada gravitacijske sile od pocetnog do konacnogpolozaja. Zatim smo utvrdili da rad ne ovisi oputanji kojom tijelo ide od pocetnog do konacnogpolozaja. Prema tome, ni promjena potencijalneenergije ne moze ovisiti o odabiru putanje, negosamo o pocetnom i konacnom polozaju.

Ako tijelo napravi put po zatvorenoj krivulji ivrati se u pocetni polozaj, rad gravitacijske sile jed-nak je nuli, pa nema ni promjene potencijalne ener-gije. Ovaj zakljucak je vazan jer daje smisao po-tencijalnoj energiji. Ona je uvijek ista ako se tijelonalazi na danome polozaju, bez obzira na to kakoje doslo u taj polozaj, odnosno je li prethodno na-pravilo bilo kakve putove i vratilo se u dani polozaj.

Kazemo da je potencijalna energija funkcija stanjasustava.

Temeljem matematicke analogije, mozemo za-kljuciti da za svaku konzervativnu silu u fizicimozemo uvesti odgovarajucu potencijalnu energijukao funkciju stanja.

Nekonzervativne sile

Primjer nekonzervativne sile je sila trenja jer njenrad na zatvorenoj krivulji ne iscezava∮

C

~Ftr · d~s 6= 0 (5.53)

Tocnije, taj rad uvijek ima neku negativnu vrijed-nost jer sila trenja ~Ftr uvijek ima smjer suprotaninfinitezimalnom putu d~s koji tijelo prevaljuje.

Rad sile trenja ne mozemo povezati izravno s ne-kom potencijalnom energijom. U razmatranju pri-rode sila u poglavlju 3, vidjeli smo da trenje nijejedna od osnovnih sila, nego se izvodi iz elektro-magnetske koja ureduje odnose na razini atomai molekula. Sila trenja je makroskopska velicinakoja izrazava ucinak mnostva mikroskopskih pro-cesa. Stoga se njen rad sastoji u prijenosu energijena mnostvo atoma i molekula, pa kazemo da je silatrenja disipativna (lat. dissipatio - rasipanje).

5.3.2 Gravitacijski potencijal

Gravitacijsku potencijalnu energiju pripisali smosustavu dvaju tijela. Kao primjer smo uzimali Zem-lju i neko tijelo, te smo izveli izraz u jednadzbi(5.38). Ekvivalentan izraz mogli bismo napisati zabilo koja dva tijela. Potencijalna energija ukljucujemase obaju tijela, a moze se mijenjati bilo pomica-njem jednoga ili drugoga tijela.

U poglavlju 3 razmatrali smo prirodu gravita-cijske sile koja takoder ovisi o masama obaju ti-jela i uzajamnoj udaljenosti. Kao alternativninacin izrazavanja gravitacijskog medudjelovanja,uveli smo pojam gravitacijskog polja ~g(~r) koje nas-taje u svim tockama prostora oko tijela mase m, aono zatim djeluje na neko probno tijelo mase m0 si-lom ~Fg = m0 ~g(~r) (jednadzba (3.7)). Gravitacijskopolje ~g(~r) ovisi samo o masi tijela koje ga stvara io udaljenosti od njega, a ne ovisi o tome jesmo li uneku okolnu tocku postavili drugo probno tijelo.

Na slican nacin mozemo uvesti pojam gravita-cijskog potencijala U , koji nastaje u svim tockamaprostora oko nekog tijela, te ovisi samo o masi m

5.3. KONZERVATIVNE I NEKONZERVATIVNE SILE 187

toga tijela i udaljenosti od njega. Ako u njegovuokolinu dovedemo drugo (probno) tijelo mase m0,sustav dvaju tijela imat ce potencijalnu energiju

EP = −G mm0

r= m0 U (5.54)

Iz ovog odnosa slijedi da je gravitacijski potencijalkoji nastaje oko tijela mase m dan izrazom

U = −G m

r(5.55)

Valja imati na umu da ovaj izraz vrijedi za tijelo sasfernom raspodjelom mase, a udaljenost r racunase od sredista tijela do tocke u kojoj se odredujepotencijal.

Ekvipotencijalne plohe

Korisno je uvesti pojam ekvipotencijalne plohe ukojoj je potencijal jednak u svim njenim tockama.U slucaju koji opisuje jednadzba (5.55) ekvipoten-cijalne plohe su sfernog oblika.

Ako zelimo slikovno prikazati promjene potenci-jala u prostoru, mozemo nacrtati niz ekvipotenci-jalnih ploha koje se uzastopno razlikuju za isti (pro-izvoljno odabran) iznos ∆U (slika 5.10). Gustocatako odabranih ekvipotencijalnih ploha odrazavanam slikovito naglost promjene potencijala s uda-ljenoscu od tijela.

Slika 5.10: Niz ekvipotencijalnih ploha oko homoge-nog sfernog tijela. Odabrana je neka stalna razlikapotencijala ∆U izmedu susjednih ploha.

Gradijent potencijala

Vidjeli smo da u prostoru oko nekog tijela nastajegravitacijsko polje (vektorsko) i potencijal (ska-larno polje). Postavlja se pitanje jesu li ta dva poljanekako povezana.

Da bismo odgovorili na postavljeno pitanje, uve-dimo probno tijelo mase m0 i prisjetimo se da nje-govim infinitezimalnim pomicanjem mijenjamo po-tencijalnu energiju

dEP = −~Fg · d~s (5.56)

Ako uvazimo jednadzbu (5.54), mozemo reci da sepotencijalna energija promijenila za dEP zato stose probno tijelo mase m0 pomaklo iz jedne tocke udrugu, a razlika potencijala izmedu tih tocaka je dU(dEP = m0 dU). S druge strane imamo ~Fg = m0 ~g,tako da jednadzbu (5.56) mozemo svesti na

dU = −~g · d~s (5.57)

Dobili smo vaznu jednadzbu koja povezuje gravita-cijsko polje i promjenu potencijala. Mozemo je in-terpretirati na sljedeci nacin. Ako nam je poznatogravitacijsko polje u nekoj tocki prostora, mozemoputem jednadzbe (5.57) odrediti za koliko se pro-mijeni potencijal ako se iz te tocke pomaknemo zad~s u susjednu tocku.

Odnos izmedu gravitacijskog polja i potencijalamozemo izraziti i na alternativni nacin. U tu svrhuposluzimo se poznatim matematickim postupkomodredivanja totalnog diferencijala fukcije U(x, y, z)

dU =∂U

∂xdx+

∂U

∂ydy +

∂U

∂zdz (5.58)

Takoder napisimo vektore ~g i d~s u kartezijevimkomponentama, pa za njihov skalarni produkt do-bivamo

~g · d~s = gx dx+ gy dy + gz dz (5.59)

Uvrstavanjem izraza (5.58) i (5.59) u jednadzbu(5.57) nalazimo odnose

gx = −∂U∂x

, gy = −∂U∂y

, gz = −∂U∂z

(5.60)

Svaka od ovih jednadzbi nam kaze da je kompo-nenta gravitacijskog polja duz neke osi jednaka po


iznosu parcijalnoj derivaciji (naglosti promjene) po-tencijala duz te osi. Negativan predznak znaci dakomponenta gravitacijskog polja ima smjer supro-tan od onoga duz kojega potencijal raste. Akonpr. potencijal raste duz pozitivnog smjera osi x(pozitivna parcijalna derivacija), gravitacijsko po-lje ce imati komponentu duz negativnog smjera osix. Isto vrijedi i za ostale osi.

Dakle, ako poznamo skalarnu funkciju potenci-jala U(x, y, z), mogli bismo odrediti njene parci-jalne derivacije u bilo kojoj tocki prostora i time do-biti komponente vektora gravitacijskog polja u tojtocki. Dobiveni rezutat mozemo napisati u kom-paktnoj formi ako uvedemo matematicki operatorgradijenta, koji oznacavamo kratko ”grad” ili sim-bolom ~∇ (cita se ”nabla”), a definira se izrazom

grad = ~∇ = i∂

∂x+ j

∂

∂y+ k

∂

∂z(5.61)

Ako operator gradijenta djeluje na skalarnu funk-ciju U(x, y, z), dobivamo jednostavno

grad U = ~∇U = i∂U

∂x+ j

∂U

∂y+ k

∂U

∂z(5.62)

Stoga umjesto tri jednadzbe (5.60), mozemo napi-sati sazeto jednu vektorsku jednadzbu

~g = −grad U = −~∇U (5.63)

Ova jednadzba kaze da vektor gravitacijskog polja unekoj tocki ima smjer duz kojega potencijal najbrzepada (predznak minus). Iznos vektora gravitacij-skog polja ovisi o naglosti promjene potencijala uokolini tocke promatranja.

Korisno je razmotriti odnos izmedu gravitacij-skog polja i ekvipotencijalnih ploha. Ako odneke tocke promatranja napravimo pomak u bliskutocku na istoj ekvipotencijalnoj plohi, ostali smo naistome potencijalu. Najbrzu promjenu potencijalaocekujemo kod pomaka od tocke promatranja oko-mito na ekvipotencijalnu plohu, pa bi u tom smjerumoralo biti i gravitacijsko polje. Drugim rijecima,gravitacijsko polje u nekoj tocki uvijek je okomitona potencijalnu plohu koja prolazi tom tockom.

Da bismo dodatno ilustrirali odnos gravitacijskogpolja i potencijala, uzmimo tijelo mase m i pos-tavimo ishodiste koordinatnog sustava u njegovosrediste kako prikazuje slika 5.11. Odaberimo jednu

ekvipotencijalnu plohu radijusa r, a na njoj tockupromatranja P (0, 0, z), gdje je z = r. U tocki Pparcijalne derivacije funkcije U(x, y, z) duz osi x iy iscezavaju jer su to smjerovi tangencijalni na ek-vipotencijalnu plohu

[∂U

∂x

]x=0

= 0 ,

[∂U

∂y

]y=0

= 0 (5.64)

Stoga gravitacijsko polje u tocki P nema kompo-nente duz osi x i y, tj. gx = 0 i gy = 0. Jedinakomponenta koju ima gravitacijsko polje u tocki Pje ona duz osi z. Naime, duz osi z gravitacijskipotencijal se mijenja sukladno jednadzbi (5.55)

U(0, 0, z) = −G m

z(5.65)

tako da parcijalna derivacija duz osi z, uzeta u tockiz = r, iznosi [

∂U

∂z

]z=r

= Gm

r2(5.66)

Konacno, prema jednadzbama (5.57) i (5.63), gra-vitacijsko polje u tocki P iznosi

~g = −G m

r2k (5.67)

Dobili smo izraz za gravitacijsko polje koji poka-zuje da je ono okomito na ekvipotencijalnu plohu

Slika 5.11: Ishodiste koordinatnog sustava postav-ljeno je u srediste tijela mase m. Crtkana linijaopisuje ekvipotencijalnu plohu. Odabrana je tockaP za izracunavanje gravitacijskih velicina.

5.4. OPCI POJAM ENERGIJE 189

u tocki P , te da pokazuje smjer najbrzeg padanjagravitacijskog potencijala.

U zakljucku mozemo reci da su jednadzbe (5.57)i (5.63) komplementarne i podjednako vazne. Onepokazuju da su vektorsko gravitacijsko polje ~g(~r)i skalarni gravitacijski potencijal U(~r) uzajamnopovezani. Ako su nam poznate vrijednosti jedneod tih velicina u svim tockama nekog prostora,mozemo odgovarajucom jednadzbom utvrditi vri-jednosti druge velicine u tim istim tockama pros-tora.

Princip superpozicije za gravitacijskipotencijal

Princip superpozicije za gravitacijski potencijal sro-dan je principu superpozicije za gravitacijsko po-lje koji smo upoznali u poglavlju 3. Svako tijelostvara u okolnom prostoru gravitacijsko polje i gra-vitacijski potencijal. Ako ima vise tijela u nekomprostoru, svako od njih stvara gravitacijsko polje ipotencijal kao da onih drugih tijela i nema. Stogau bilo kojoj tocki promatranja moramo vektorskizbrojiti gravitacijska polja koja stvaraju pojedinatijela i tako dobiti ukupno gravitacijsko polje u tojtocki. Isto tako, moramo zbrojiti gravitacijske po-tencijale koje stvaraju pojedina tijela u nekoj tockipromatranja i dobiti ukupni gravitacijski potencijalu toj tocki.

Rekapitulacija integrala gravitacijskog polja

Ovdje je prilika da se rekapitliraju dva temeljnaintegrala gravitacijskog polja. Prvi integral smoupoznali u poglavlju 3 pod nazivom Gaussova za-kona ∮

S~g · d~a = −4πGm (5.68)

gdje je masa m sadrzana unutar zatvorene plohe Spo kojoj se obavlja integracija. Ovaj integral kazujeda je masa m uzrok postojanja gravitacijskog polja,te da gravitacijske silnice imaju smjer prema masikao da poniru u njoj.

Drugi integral slijedi iz svojstva konzervativnesile izrazenog jednadzbom (5.52) uz uvazavanje od-nosa ~Fg = m0 ~g ∮

C~g · d~s = 0 (5.69)

Ova jednadzba kaze da linijski integral gravitacij-skog polja po zatvorenoj krivulji C iscezava.

Napomena: Skalarni produkt ~g · d~s ne predstav-lja rad, pa se koristi matematicki izraz linijskiintegral.

U fizici se definiraju i druga vektorska polja, npr.elektricno i magnetsko polje. Osnovna svojstva sva-kog od tih vektorskih polja mogu se izraziti putemdvaju temeljnih integrala. Jedan od njih je inte-gral po zatvorenoj plohi, a drugi je linijski integralpo zatvorenoj krivulji. O svojstvima elektricnog imagnetskog polja ne cemo se baviti u ovoj knjizi.

5.4 Opci pojam energije

Pojam kineticke energije uveli smo razmatrajucirad neke sile koja djeluje na slobodno tijelo duznekog puta. U daljnjem smo razmatranju ustano-vili da u nekim sustavima mozemo pohraniti ener-giju, koja se kasnije moze vratiti u kineticku. Timeje pojam energije prosiren na potencijalnu ener-giju. Uvjet za pojavljivanje potencijalne energijeje postojanje unutarnjih sila u sustavu koje imajusvojstvo konzervativnosti. Kineticku i potencijalnuenergiju, koju smo ovdje obradivali, cesto obu-hvacamo zajednickim nazivom mehanicka energija.

Sile trenja izmedu tijela i podloge po kojoj se onogiba mozemo takoder smatrati unutarnjim silamaako tijelo i podlogu promatramo kao jedan sustav.Medutim, sila trenja nije konzervativna, pa ne nas-taje potencijalna energija koja bi se mogla nanovopretvoriti u kineticku energiju tijela. Kod trenjase radi o procesima u koje su ukljuceni individu-alni atomi i molekule u dodirnim plohama tijela ipodloge, a oni se razmatraju u termodinamici te segovori o toplinskoj energiji. Proucavanje toplinskihprocesa ne spada u okvire ove knjige, pa cemo ov-dje samo ustvrditi da se rad sile trenja pretvara utoplinsku energiju.

U mnogim mehanickim sustavima rad dobivamoiz strojeva. Potrebno je poznavati druga podrucjafizike da bi se uvidjelo kako mehanicki rad strojadobivamo na racun nekog drugog oblika energije.Kod elektricnih strojeva, rad dobivamo iz elektricneenergije, koja je pak prethodno stvorena nekim me-hanickim radom u elektranama.

I toplinska energija moze uz odredene uvjete bitiiskoristena za dobivanje mehanickog rada. Toplin-


sku energiju najcesce dobivamo izgaranjem nekihspojeva (ugljen, nafta, benzin, plin, itd.). Radi seo kemijskoj energiji koja svoje temelje vuce iz silamedu elektricnim nabojima u atomima i moleku-lama.

U nuklearnim se elektranama najprije iz nukle-arne energije dobiva toplinska, a zatim se ova koristiza mehanicki rad, kojim se onda stvara elektricnaenergija.

Konacno, ne smijemo zaboraviti ni rad covjekakoji se izvodi djelovanjem misica. I za taj je radpotrebna neka energija, koja pak nastaje slozenimprocesom metabolizma u ljudskom tijelu.

Ove kratke napomene mogu nam posluziti da za-kljucimo kako je pojam energije rasiren u svim po-drucjima fizike. Energija je zacijelo jedna od te-meljnih velicina u fizici.

5.5 Snaga

Kada je neki stroj namijenjen za vrsenje rada vaznonam je znati u kojem vremenu je stroj u stanjuizvrsiti odredenu kolicinu rada. Zato je korisnouvesti pojam snage kao omjera izvrsenog rada ivremenskog intarvala u kojemu je taj rad izvrsen.Trenutna snaga se definira omjerom

P =dW

dt(5.70)

Razumije se, snaga stroja moze se mijenjati tije-kom vremena, pa se prema potrebi moze uvesti iprosjecna snaga u nekom intervalu vremena.

Buduci da je rad definiran kao djelovanje sile naputu dW = ~F · d~s, mozemo jednadbu (5.70) pre-inaciti u oblik

P =dW

dt= ~F · d~s

dt= ~F · ~v (5.71)

Dobili smo da je trenutna snaga jednaka produktusile i trenutne brzine tijela na koje ta sila djeluje.

Napomena: U prvi mah moze nas iznenaditi dasnaga ovisi o brzini tijela. No, moramo shvatitida o trenutnoj brzini ovisi koliki ce put tijeloprevaliti u intervalu vremena dt, a sila djelujeupravo na tom putu, pa o tome ovisi i izvrsenirad.

Jedinica za snagu. Jedinica za snagu nosi po-sebno ime vat (1 W) u cast engleskog izumiteljaJamesa Watta koji je unaprijedio rad parnih stro-jeva (19. st.). Iz definicijske jednadzbe (5.70) slijedida je 1 W = 1 J s−1. Stroj koji moze izvrsiti radod jednog dzula u jednoj sekundi ima snagu jednogvata.

Kod kruznog se gibanja rad moze izraziti ipomocu kutnih velicina kao dW = ~M · d~ϕ (jed-nadzba (5.16)), tako da je trentna snaga

P =dW

dt= ~M · d~ϕ

dt= ~M · ~ω (5.72)

Trenutna snaga jednaka je produktu momenta silei kutne brzine tijela koje se giba po kruznici, a nakojega djeluje navedeni moment sile.

Snaga i zakretni moment automobila uvoznji

Za voznju stalnom brzinom po horizontalnoj rav-noj cesti, automobil mora svladavati odredenu siluotpora zraka i trenja kotrljanja kotaca po cesti(v. odjeljak 3.4). Time se obavlja neki rad ujedinici vremena, pa se trosi odgovarajuca snaga,koju mozemo izraziti produktom momenta sile ~M(u automobilskoj literaturi se cesto naziva zakretnimoment) kojim pogonska osovina djeluje na kotacei kutne brzine kotaca ~ω. Potrebna se snaga dobivaiz kolicine goriva koje motor uzima i trosi u jedi-nici vremena, a to regulira vozac automobila putemnozne papucice za gorivo.

Ako zelimo povecati brzinu automobila, potrebnoje povecati moment sile (zakretni moment) kakobi kotaci dobili kutnu akceleraciju ~α. Stiskanjemnozne papucice za gorivo poveca se dotok gorivau motor, pa se poveca snaga P koja uz neku tre-nutnu kutnu brzinu ~ω ostvaruje veci ~M , sukladnojednadzbi (5.72).

Maksimalan moment sile (zakretni moment) kojiautomobilski motor moze dati ovisi o brzini okre-tanja (broj okretaja u minuti) radilice. Ta funkci-onalna ovisnost predstavlja jednu od bitnih karak-teristika nekog modela automobila.


Documents

RAD I ENERGIJA - phy.pmf.unizg.hrgniksic/nastava/of1/dat/knjiga/poglavlja/... · 5.1. RAD SILE I PROMJENA KINETICKE ENERGIJE SLOBODNOG TIJELA 175 Budu ci da se radi o usporavanju