Raccolta di esercizi di fisica moderna - iapht.unito.it · Raccolta di esercizi di ﬁsica moderna M. Quaglia IIS Avogadro Torino M. Quaglia (IIS Avogadro Torino) Raccolta di esercizi

Raccolta di esercizi di fisica moderna

M. Quaglia

IIS AvogadroTorino

M. Quaglia (IIS Avogadro Torino) Raccolta di esercizi di fisica moderna Torino, 20/11/2014 1 / 30

Prova AIF e Sillabohttp://www.aif.it/ArchivioA/AIF_seconda_prova_di_fisica.pdf

Testi e soluzioni seconde prove Scientifico Tecnologicohttp://online.scuola.zanichelli.it/provafisica/


Esercizio (Sessione ordinaria 2012)

Sopra una lastra di metallo fotosensibile incide un’onda elettromagnetica conlunghezza d’onda λ = 200nm e sugli elettroni estratti per effetto fotoelettricoagisce un campo magnetico caratterizzato da un vettore induzione magneticadi modulo B = 26 · 10−6T , perpendicolare alla loro direzione di propagazione.Risentendo l’effetto del campo magnetico, gli elettroni si muovono su unatraiettoria circolare con raggio massimo di 20cm.Il candidato calcoli in eV il lavoro di estrazione di questo metallo ed esprimapoi la sua opinione sulla possibilitá di ottenere l’effetto fotoelettricoutilizzando con lo stesso metallo un’onda elettromagnetica con lunghezzad’onda λ = 400nm. Si trascurino gli effetti relativistici.


SoluzioneData la proporzionalitá diretta tra raggio r e velocitá v

vmax =rmaxqB

m= 9.1 · 105m/s

Dalla legge dell’effetto fotoelettrico

hcλ

= We +12

mv2max

si ricava il lavoro di estrazione We

We =hcλ−

12

mv2max = 6.1 · 10−19J = 3.8eV

Se λ = 400nm,hcλ

= 5.0 · 10−19J < We

non puó avvenire effetto fotoelettrico.



Una cella fotoelettrica emette elettroni, essendo illuminata con una luce dilunghezza d’onda λ = 500nm. Sapendo che il lavoro di estrazione dellaplacca fotosensibile é di 2.1eV , calcolare la minima lunghezza d’onda di DeBroglie associata agli elettroni emessi.

SoluzioneDalla legge dell’effetto fotoelettrico,

hcλ

= We +12

mv2max (2.1eV = 3.4 · 10−19J)

vmax =

√2m

(hcλ−We) = 3.5 · 105m/s .

La lunghezza d’onda di De Broglie é inversamente proporzionale alla velocitá

λmin =h

mvmax= 2.1nm



Calcolare la lunghezza d’onda corrispondente alla frequenza di soglia perl’estrazione di fotoelettroni dal potassio, sapendo che il suo lavoro diestrazione é 2.21eV .Calcolare, in J e in eV , la massima energia cinetica e la corrispondentequantitá di moto degli elettroni estratti da una superficie ricoperta dipotassio irradiata con raggi ultravioletti di lunghezza d’onda λ = 248.2nm ecalcolare la corrispondente lunghezza d’onda di de Broglie.


SoluzioneDato il lavoro di estrazione

We = 2.21eV = 3.54 · 10−19J,

la lunghezza d’onda di soglia

λ0 =hcWe

= 5.59 · 10−7m = 559nm.

Dalla legge dell’effetto fotoelettrico,

hcλ

= We + Kmax ,

Kmax = 4.44 · 10−19J = 2.78eV

pmax =√

2mKmax = 8.99 · 10−25kgm/s

λ =hp

= 7.34 · 10−10m = 734pm.



Un fotone urta un elettrone libero che ha una velocitá iniziale che puó essereconsiderata trascurabile. Dopo l’urto si rileva un fotone diffuso che haun’energia pari a 101 KeV e che presenta un angolo di deviazione dovutoall’effetto Compton di 30◦00′. Ricavare l’energia del fotone incidente el’energia cinetica dell’elettrone di rimbalzo, sempre espresse in eV.


SoluzioneEnergia E′ e lunghezza d’onda λ′ del fotone diffuso

E′ = 101 · 103eV = 1.62 · 10−14J

λ′ =hcE′

= 1.22 · 10−11m = 12.2pm.

Dalla legge dell’effetto Compton

λ′ − λ =h

mec(1 − cosθ) ,

lunghezza d’onda λ ed energia E del fotone incidente

λ = λ′ −h

mec(1 − cosθ) = 1.19 · 10−11m = 11.9pm

E =hcλ

= 1.66 · 10−14J = 104keV .

Per conservazione dell’energia Ke = E − E′ = 3keV .



Un fotone, con energia 0.1MeV , interagisce con un elettrone la cui velocitápuó essere considerata trascurabile. Calcolare, sempre in MeV , l’energiafinale del fotone sapendo che il suo angolo di deviazione dovuto all’effettoCompton é di 30◦. Commentare il risultato ottenuto.


SoluzioneEnergia E e lunghezza d’onda λ del fotone incidente

E = 0.1 · 106eV = 1.6 · 10−14J

λ =hcE

= 1.24 · 10−11m = 12.4pm.


λ′ − λ =h

mec(1 − cosθ) ,

lunghezza d’onda λ′ ed energia E′ del fotone diffuso

λ′ = λ+h

mec(1 − cosθ) = 1.27 · 10−11m = 12.7pm

E′ =hcλ′

= 1.56 · 10−14J = 0.097MeV .

E′ < E....ma attenzione alle cifre significative!



Il candidato calcoli l’angolo di diffusione di un fotone che, avendo un’energiainiziale di 0.8MeV , ne perde un terzo per effetto Compton.

Calcoli inoltre l’energia cinetica dell’elettrone diffuso e la sua velocitáfinale. Discuta se nella determinazione della velocitá finale sia possibileusare la formula non relativistica dell’energia cinetica.


SoluzioneEnergia E e lunghezza d’onda λ del fotone incidente

E = 0.8 · 106eV = 1.28 · 10−13J

λ =hcE

= 1.55 · 10−12m = 1.55pm.

Energia E′ e lunghezza d’onda λ′ del fotone diffuso

E′ =23

0.8MeV = 053MeV = 8.48 · 10−14J

λ′ =hcE′

= 2.33 · 10−12m = 2.33pm.


λ′ − λ =h

mec(1 − cosθ) ,

θ = 47◦.


SoluzioneEnergia cinetica Ke dell’elettrone nello stato finale

Ke = E − E′ = 0.27MeV = 4.32 · 10−14J.

Usando la formula non relativistica dell’energia cinetica

v =

√2Ke

m= 3.08 · 108m/s...risultato inaccettabile!

Usando la formula relativistica dell’energia cinetica,

Ke = mγc2−mc2

γ = (Ke

mc2+ 1) = 1.53

γ =1√

1 − v2

c2

,

la velocitá dell’elettrone v = c√

1 − 1γ2 = 2.3 · 108m/s.



Calcolare, in eV e in J, l’energia trasportata da un fotone proveniente dauna lampada che emette luce gialla di lunghezza d’onda λ = 600nm.Una piccola lastra di rame, di massa m = 20g e calore specificoc = 0.092kcal/(kg◦C), aumenta la sua temperatura di 2◦C perché investitadalla radiazione infrarossa proveniente da una stufa. Sapendo che lafrequenza di radiazione é ν = 3 · 1013Hz, calcolare il numero di fotoni chehanno interagito con il rame provocandone il riscaldamento.


SoluzioneEnergia del fotone

E =hcλ

= 3.30 · 10−19J = 2.06eV .

Quantitá di calore assorbita dalla lastra di rame

Q = mcs∆T = 15J (1kcal = 4186J)

Energia del fotoneEν = hν = 2.0 · 10−20J ,

numero di fotoni che hanno interagito con la lastra

n =QEν

= 7.5 · 1020



Il candidato calcoli quanti fotoni emette in un minuto una stazione radio chetrasmette musica alla frequenza di 99MHz, con una potenza di uscita di20kW .Calcoli la lunghezza d’onda associata ad un elettrone che, con velocitáiniziale trascurabile, é stato accelerato tra due elettrodi da una differenza dipotenziale di 200V .Calcoli, in eV, la minima energia cinetica che puó avere un elettronecostretto a muoversi in uno spazio unidimensionale lungo 0.1nm.


SoluzioneEnergia del singolo fotone

E = hf = 6.5 · 10−26J ,

energia totale emessa in un minuto

Etot = P ·∆t = 1200kJ = 1.2 · 106J ,

numero di fotoni emessi in un minuto

n =Etot

E= 1.8 · 1031 .

Dalla conservazione dell’energia meccanica

v =

√2q∆V

m= 8.4 · 106m/s ,

λ =h

mv= 86pm lunghezza d’onda di de Broglie dell’elettrone .


SoluzioneDalla relazione di indeterminazione di Heisenberg

∆x∆px > ~ ,

l’indeterminazione sulla quantitá di moto ∆px

∆px =~

∆x= 1 · 10−24kgm/s

l’indeterminazione sull’energia cinetica ∆K

∆K =∆p2

2m= 5 · 10−19J = 3eV .


Esercizio (Simulazione seconda prova)

Una luce di lunghezza d’onda 546nm, emessa da una sorgente di 10W dipotenza, illumina una superficie di Cesio, che ha lavoro di estrazione di1.91eV . Si trovi

L’energia cinetica massima e la massima quantitá di moto delfotoelettroneIl numero di fotoni emessi in 10.0s dalla sorgentela corrente che circola nel circuito utilizzato per studiare l’effettofotoelettricoSe la potenza della sorgente raddoppiasse, quali delle grandezzeprecedentemente esaminate cambierebbero e quali no?Se si utilizzasse radiazione UV (λ = 350nm), quali delle grandezzeprecedentemente esaminate cambierebbero e quali no? E se siutilizzasse radiazione IR (λ = 800nm)?


SoluzioneDalla legge dell’effetto fotoelettrico

hcλ

= We + Kmax ,

We = 1.91eV = 3.06 · 10−19J ,

Kmax =hcλ−We = 5.77 · 10−20J

pmax =√

2mKmax = 3.24 · 10−25kgm/s .

n =P∆thf

=P∆tλ

hc= 2.8 · 1020 .

Ad ogni fotone incidente corrisponde un fotoelettrone emesso:in 10s circolano nel circuito 2.8 · 1020 elettroni, che corrispondono a unacarica Q = nqe = 44C.Intensitá di corrente I = Q

∆t = 4.4A


SoluzioneSe la potenza della sorgente raddoppiasse:raddoppierebbero il numero di fotoni e l’intensitá di corrente,rimarrebbero invariate la massima energia cinetica e la massima quantitádi moto.Se si utilizzasse radiazione UV:aumenterebbero l’energia cinetica massima e la quantitá di motomassima del fotoelettrone,diminuirebbero il numero di fotoni emessi dalla sorgente e la corrente.Se si utilizzasse radiazione IR:non avrebbe luogo il fenomenoE = hf = 1.55eV < We



Se si utilizza una radiazione di frequenza 3.08 · 109MHz che incide su unelettrone libero, é possibile rilevare effetto Compton? Motiva la risposta.Determina quale deve essere la lunghezza d’onda della radiazioneincidente, in modo che si ottenga per effetto Compton una massimavariazione percentuale della lunghezza d’onda del 10%.


SoluzioneLa massima lunghezza d’onda della radiazione diffusa λ′max (se θ = π)

λ′max = λ+ 2λC ;

lunghezza d’onda Compton dell’elettrone

λC = 2.43 · 10−12m

λ =cf

= 9.7 · 10−8m

la lunghezza d’onda della radiazione diffusa λ′ é indistinguibile da quella dellaradiazione incidente λ: non si rileva effetto ComptonMassima variazione percentuale della lunghezza d’onda

λ′max − λ

λ= 2

λC

λ= 0.10

λ =2λC

0.10= 20λC = 48.6pm

Per evidenziare l’effetto Compton é necessario utilizzare raggi X.M. Quaglia (IIS Avogadro Torino) Raccolta di esercizi di fisica moderna Torino, 20/11/2014 24 / 30


Un raggio X diffuso da un elettrone libero cambia la sua lunghezza d’onda di3.13pm. Calcola la direzione di propagazione dell’elettrone urtato dalfotone, sapendo che il fotone X incidente ha una lunghezza d’onda di0.525nm e che si propaga nella direzione positiva dell’asse x.


SoluzioneDalla legge dell’effetto Compton

λ′ − λ = λC(1 − cosθ) ,

cosθ = 1 −λ′ − λλC

,→ θ = 107◦ .

Dalla conservazione dell’energia

Ke = E − E′ =hcλ−

hcλ′

= 2.25 · 10−18J

v = 2.2 · 106m/s

Dalla conservazione della componente y del vettore quantitá di moto

0 =hλ′

sinθ+ mv sinϕ ,

ϕ = −37◦

ϕ é angolo tra la direzione di propagazione dell’elettrone e l’asse x positivo



Nello spettro di emissione dell’atomo di idrogeno c’é una riga di frequenza3.08 · 109MHz. Sapendo che l’energia dell’elettrone nello stato fondamentaleé −13.6eV , si determini l’energia e il raggio dell’orbita dell’elettrone nellostato iniziale.


SoluzioneEnergia dell’n-esimo livello dell’atomo di idrogeno

En =E1

n2=−13.6eV

n2,

Energia del fotone emesso nella transizione dell’elettrone da ni a nf

hf = ∆E = Eni − Enf

La riga in esame é nell’ultravioletto (λ = 97nm), appartiene alla serie diLymann→ una transizione da un livello eccitato al livello fondamentale(nf = 1).

−E1(−1n2

i

+ 1) = hf

1n2

i

= 1 +hfE1

ni =

√E1

E1 + hf= 4


SoluzioneEnergia dello stato iniziale sará

E4 =E1

42= −0.85eV ,

raggio dell’orbita (r1 é il raggio di Bohr)

r4 = 42r1 = 0.85nm .


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M. Quaglia

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Grazie della vostra attenzione!


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