R. than Fast Economic Dispatch Based on the 3

8/3/2019 R. than Fast Economic Dispatch Based on the 3

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I E E E T r a n s a c t i o n s on P o w e r A p p a r a t u s a n d S y s t e m s , V o l . P A S - 1 0 4 , N o . 7 , J u l y 1 9 8 5

F A S T E C O N O M I C DISPATCH BASED O N THE PENALTY FACTORS FROM NEWTON'S METHODR . R a m a n a t h a nE n e r g y C o n t r o l S y s t e m sT h e B o e i n g C o m p a n yS e a t t l e , W A

A B S T R A C T

An e x t r e m l y f a s t , s i m p l e , e f f i c i e n t a n d r e l i a b l ee c o n o m i c d i s p a t c h a l g o r i t h m i s p r e s e n t e d . T h e a l g o r i t h mu t i l i z e s a c l o s e d f o r m e x p r e s s i o n f o r t h e c a l c u l a t i o no f t h e L a m b d a , a s w e l l ' a s t a k i n g care o f t o t a lt r a n s m i s s i o n l o s s c h a n g e s d u e t o g e n e r a t i o n c h a n g e ,t h e r e b y - a v o i d i n g , a n y i t e r a t i v e p r o c e s s e s i n t h ec a l c u l a t i o n s . T h e c l o s e d f or m e x p r e s s i o n p r e s en t e d f o rL a m b d a can b e u s e d w i t h ' a n y t y p e o f i n c r e m e n t a lt r a n s m i s s i o n l o s s c a l c u l a t i o n . F o r t h i s a l g o r i t h m ,p e n a l t y f a c t o r s a r e d e r i v e d b a s e d u p o n t h e N e w t o n ' sm e t h o d . An e f f i c i e n t m e t h o d t o i m p l e m e n t t h e a l g o r i t h mi n p o w e r c o n t r o l c e n t e r s i s d i s c u s s e d ' . T h e a l g o r i t h mp r e s e n t e d h a s e x c e l l e n t - c o n v e r g e n c e p r o p e r t i e s .

I N T R O D U C T I O N

R e c e n t l y t h e r e h a s b e e n a w i d e s p r e a d a n di n c r e a s i n g t r e n d t o w a r d s i n s t a l l a t i o n o f ne w energym a n a g e m e n t s y s t e m s f o r r e a l t i m e m o n i t o r i n g a n d c o n t r o lo f p o w e r s y s t e m s . T h i s t r e n d h a s e n c o u r a g e d s i g n i f i c a n tr e s e a r c h e f f o r t t o w a r d s d e v e l o p m e n t o f mores o p h i s t i c a t e d , f a s t , r e l i a b l e a n d e f f i c i e n t a l g o r i t h m s .

T h e p u r p o s e o f t h i s p a p e r i s t o p r e s e n t a f a s t ,s i m p l e , r e l i a b l e e c o n o m i c d i s p a t c h a l g o r i t h m . E c o n o m i cd i s p a t c h i s t h e d e t e r m i n a t i o n o f t h e a m o u n t o f p o w e rt h a t e a c h g e n e r a t o r i n a s y s t e m s h o u l d p r o d u c e so t h a tt h g t o t a l c o s t o f g e n e r a t i o n i s ' m i n i m i z e d a n d t h ec u s t o m e r - d e m a n d s a re m e t w h i l e s a t i s f y i n g s y s t e mc o n s t r a i n t s . T h e i m p o r t a n t f a c t o r s f o r e c o n o m i co p e r a t i o n o f t h e s y s t e m are o p e r a t i n g e f f i c i e n c i e s o fg e n e r a t i n g p l a n t s , f u e l a n d o p e r a t i n g ' c o s t , a n dt r a n s m i s s i o n l i n e l o s s e s . I t i s a l s o o b v i o u s t h a t t h emost e f f i c i e n t g e n e r a t o r i n t h e s y s t e m d o e s n o tn e c e s s a r i l y y i e l d t h e l e a s t cost b e c a u s e i t ma y be toof a r f r o m t h e l o a d or t h e f u e l cost ma y b e h i g h i n t h a tr e g i o n . E v e n a s m a l l s i z e u t i l i t y o f 1 0 0 0 mw l o a d c a ne a s i l y save 0 . 4 m i l l i o n d o l l a r s p e r y e a r j u s t b yr e d u c i n g t h e s y s t e m l o s s e s b y 1 % . S i n c e t h e t a r i f f sare r e g u l a t e d , t h e r e d u c t i o n i n o p e r a t i n g e x p e n s e s i sone o f t h e i m p o r t a n t means o f i n c r e a s i n g p r o f i t s .

8 4 SM 596-3 A paper recommended and approvedb y the IEEE Power System Engineering C o m m i t t e e o ft h e IEEE Power Engineering S o c i e t y f o r presentationat th e I E E E / P E S ' 1 9 8 4 Summer Meeting, S e a t t l e ,Washington, July 1 5 - 2 0 , 1 9 8 4 . Manuscript sub-mi tt ed J an ua r y 3 0 , 1 9 8 4 ; made available f or print-i n g M a y 3 , 1 9 8 4 .

S e v e r a l t y p e s o f c o m p u t e r a l g o r i t h m s a r e a v a i l a b l et o s o l v e t h e a b o v e e c o n o m i c d i s p a t c hp r o b l e m s [ 1 , 3 - 7 , 9 , 1 2 ] . I n t h e energy m a n a g e m e n t s y s t e m se c o n o m i c d i s p a t c h i s p e r i o d i c a l l y d o n e a t 2 - 5 m i n u t ei n t e r v a l s a n d o n r e q u e s t . S o m e A u t o m a t i c G e n e r a t i o nC o n t r o l p a c k a g e s i m p l e m e n t e d i n t h e ' c o n t r o l c e n t e r s u s et h e d o u b l e d i s p a t c h a p p r o a c h a n d t h e c o n t r o l e c o n o m i cd i s p a t c h - i s p e r f o r m e d e v e n a s ' o f t e n a s 2 s e c o n d s .H e n c e , i t i s e s s e n t i a l t o r o d u c e t h e t o t a l ' c o m p u t e r r u nt i m e . T h e a l g o r i t h m ma y t a k e a p p r e c i a b l e ' t i m ed e p e n d i n g upon t h e ' s i z e a n d c o m p l e x i t y .T h e e c o n o m i c d i s p a t c h p r o g r a m s w h i c h are i n s t a l l e dt o d a y i n t h e m o s t m o d e r n c o n t r o l c e n t e r s u s e a w e l l

k n o w n c l a s s i c a l s e t o f c o o r d i n a t i o n e q u a t i o n s [ l ] . T h ec o o r d i n a t i o n e q u a t i o n s r e q u i r e t h a t t h e i n c r e m e n t a lcost o f g e n e r a t o r p o w e r m u l t i p l i e d by a p e n a l t y f a c t o rf o r e a c h g e n e r a t i n g u n i t s h o u l d b e s a m e . T h eemaind i f f e r e n c e b e t w e e n d i f f e r e n t c l a s s i c a l t e c h n i q u e s i st h e m e t h o d u s e d t o s o l v e t h e c o o r d i n a t i o n e q u a t i o n s .T h e c o o r d i n a t i o n e q u a t i o n s a r e g e n e r a l l y s o l v e d b yi t e r a t i v e l y a d j u s t i n g t h e - v a l u e o f L a m bd a u n t i l t h e sumo f t h e g e n e r a t o r o u t p u t s m a t c h e s t h e s y s t e m l o a d p l u sl o s s t o s a t i s f y t h e p o w e r b a l a n c e e q u a t i o n . T h et r a n s m i s s i o n l o s s p e n a l t y f a c t o r s h a v e been i m p l e m e n t e du s i n g o n e o f t h e s e v e r a l l o s s f o r m u l a s w h i c h a r ec a l c u l a t e d o f f - l i n e o r o n - l i n e a t p e r i o d i c i n t e r v a l sa n d o n r e q u e s t . - 'T o h e l p t o s a v e c o m p u t e r t i m e a n d i m p r o v ec o n v e r g e n c e ' t h i s p a p e r p r e s e n t s a m e t h o d t o f i n d t h e

v a l u e o f L a m bd a i n c l o s e d f o r m t a k i n g i n t o a c c o u n tt o t a l t r a n s m i s s i o n l o s s c h a n g e d u e t o t h e g e n e r a t i o nc h a n g e s . As n o i t e r a t i v e p r o c e s s i s e m p l o y e d t o f i n dt h e L a m b d a , t h e a l g o r i t h m i s f a s t a n d has n oc o n v e r g e n c e p r o b l e m s . T h e m e t h o d c a n b e u s e d w i t h anyt y p e o f t r a n s m i s s i o n l o s s p e n a l t y f a c t o r c a l c u l a t i o n .I n t h i s p a p e r p e n a l t y f a ct or s a r e i m p l e m e n t e d basedupon t h e N e w t o n ' s m e t h o d . ' T h e a b o v e a l g o r i t h m i si m p l e m e n t e d a n d t e s t e d o n t h e s t a n d a r d t e s t s y s t e m s .

L A M B D A C A L C U L A T I O NT h e o v e r a l l p r o d u c t i o n c o s t , C T , t o g e n e r a t e t h er e q u i r e d l o a d d e m a n d c a n b e e x p r e s s e d a s f ol l o w s :

mCT = ECi = l ( 1 )w h e r e

C i = t h e cost e x p r e s s e d i n d o l l a r s / h o u ra t i t h g e n e r a t o rm = n u m b e r o f g e n e r a t o r s i n t h e s y s t e m

' T h e cost f u n c t i o n s i n t h i s a n a l y s i s are a s s u m e d t o0 0 1 8 - 9 5 1 0 / 8 5 / 0 0 0 7 - 1 6 2 4 $ 0 1 . 0 0 1 9 8 5 I E E E

1 6 2 4


2/6

1 6 2 5b e m o n o t o n i c a l l y i n c r e a s i n g . f u n c t i o n s o f g e n e r a t i o n .O p t i m u n d i s p a t c h w i t h i n e q u a l i t y c o n s t r a i n t s can b es o l v e d u s i n g t h e r el a x a t i on p r i n c i p l e. i n t h i st e c h n i q u e , f i r s t t h e p r o b l e m i s s o l v e d w i t h o u t t h ei n e q u a l i t y c o n s t r a i n t s a n d o p t i m a l s o l u t i o n i so b t a i n e d . I f t h e o p t i m u n s o l u t i o n i s w i t h i n t h ep e r m i s s i b l e l i m i t s t h e o p t i m u n f e a s i b l e s o l u t i o n i so b t a i n e d . W h e n t h e c o n s t r a i n t s a r e v i o l a t e d t h e y a r es e t t o t h e l i m i t i n g v a l u e s a n d t h e p r o b l e m i s s o l v e do n c e a g a i n . U s u a l l y g e n e r a t o r s c a p a c i t i e s a r e l i m i t e d .T h e r e f o r e , i t i s n e c e s s a r y t o c a r r y o u t t h i s p r o c e d u r ew h e n t h e l i m i t s a r e e x c e e d e d a n d t h e s o l u t i o n i ss u b o p t i m a l .

I n a s y s t e m , t h e t ot a l g e n e r a t i o n must b e e q u a l t ot ot a l l oa d p l u s l o s s e s . T h e a u g m e n t e d p r o d u c t i o n c o s to f e l e c t r i c a l e n e r g y i s

T h e c o e f f i c i e n t s v i k ' s a r e g e n e r a l l y o bt a i n e d b y c u r v ef i t t i n g . 1 e n u n b e r o f t e r m s , L , r e q u i r e d f o rP G j d e p e n d s u p o n t h e r e q u i r e d a c c u r a c y .F r o m t h e a b o v e e q u a t i o n s , t h e l o a d i n g o f e a c hg e n e ra t o r c a n b e o b t a i n e d b y i t e r a t i v e m e t h o d ( 1 ] . I nt h i s , m e t h o d , t h e c o n v e r g e n c e r e s u l t s a r e a f m c t i o n o f

t h e s y s t e m a n d t h e g e n e r a t o r c os t c h a r a c t e r i s t i c s . F o ro n l i n e i m p l e m e n t a t i o n , t h e L a m b d a c o m p u t a t i o n l o o p [ 5 ]ma y b e a b i g b u r d e n . T o e l i m i n a t e t h e a b o v e b u r d e n , am e t h o d i s p r o p o s e d t o f i n d L a m b d a i n a c l o s e d f o r m .T h e c o s t f u n c t i o n i s m i n i m u n w h e n

I C ; , [ 1 - - I T L ] 7 )f o r i = 1 , 2 , . . . m

mC * = E c j - s Ii = l mE - P G ; - P D - P L ] ( 2 )i = lw h e r e

P G i = p o we r g e n e r a t e d a t i t h u n i tP D = t o t a l d e n a n dP L = t o t a l l o s s e sX = L a g r a n g e m u l t i p l i e r ( L a n b d a )

F r o m e q u a t i o n ( 6 ) a n d ( 7 )L k K

P G . a I a ) ' ( 1 - I T L . )i k 0m mE PG. ai l.- i = l

L k kE a X ( 1 - I T L )i kk = OF r o m t h e e q u a t i o n ( 2 ) , t h e m i n i m u n t o t a l c o s t i so b t a i n e d w h e n t h e p a r t i a l d e r i v a t i v e s o f C k w i t hr e s p e c t t o P G - i a r e z e r o . T h a t i sI

T h e t o t a l t r a n a n i s s i o n l o s s e sc o n f i g u r a t i o n i s a f u n c t i o n o fg e n e r a t i o n s . F r o m t h e p o w e r b a l a n c et r a n a n i s s i o n l o s s i si n f o r a n e t w o r kb u s l o a d s a n de q u a t i o n t h e t o t a l

6 C * = 6 C 1 - B . + d 6 P L =6 P G j 6 P G i 6 P Gf o r i =1,2,.m, a n dmI P G i - PD - PL = 0i = l

0 ( 3 )

( 4 )or

nPL = E ( P G - P D )i = l i in= -pi = l i -

wherep = b u s p o w e r a t b u s i

1

PD = b u s power d e m a n d a t b u s iI

n = n u n b e r o f b u s e s6 . C 1 = I C 16 P G :

w h e r e6 P L6 P G .

, [ 1 - 6 P L 1 ( 5 )

= i n c r e m e n t a l t r a n s n i s s i o n l o s s d u e t o t h ei t h u n i t= I T L j

The t o t a l transmission loss c a nf u n c t i o n o f b u s p o w e r s

P L = P L ( p )w h e r e

b e e x p r e s s e d a s a

( 1 1 )

Assune t h a t t h e power g e n e r a t i o n a t a n y unit c a n bee x p r e s s e d a s a f u n c t i o n o f i nc r e m en t a l cost a sf o l l o w s 1 2 ] :L KP G .= E a I C . ( 6 )k = O i k

I P 1 = 1 ( p 'p ' a . . -12 p n ]nThe bus power c a n b e r e p r e s e n t e d a s a f u n c t i o n o f( n - 1 ) b u s v o l t a g e s a n d ( n - l ) b u s a n g l e s 9. The f i r s tb u s i s a s l a c k b u s . T h e f i r s t m b u s e s a r e t a k e n t o b e

( 8 )

( 9 )

( 1 0 )


3/6

1 6 2 6

t h e g e n e r a t o r b u s e s . F r c m t h e N e w t o n - R a p h s o n p o w e r f l o wa l g o r i t h m t h e r e a l a n d r e a c t i v e b u s p o w e r m i s n a t c h e sc a n b e w r i t e n a s

dpi dO= I J ] _dQ d l V i i ( 1 2 )

w h e r e t h e m i s m a t c h e st~ d p 1 d Q [ d p , d p d d , .. d Q ]n d Q 2 3 n n + l n

a n d

t

dp = d p ]L d Q

where6 0

4 D = [ d 1 Tand L 6l v h

4T[ Y 2 . * Y n' 0 m + 1 ' * ' f l n IThe e q u a t i o n ( 1 1 ) i s e x 2 2 n d e d i n aa r o u n d t h e i n i t i a l bus powers p .

t- d J)__ = [ d ( , . . . . d E , d l I V I , . . 1 . , d I V 1 ]d l V I 2 n m + lP L ( p ) = P L ( p O + d p ) = P L ( p ) + P L ' ( p ) d p

= P L ( p 0 ) + d P LT h e J a c o b i a n ' J ' d oe s n o t c o n t a i n r o w s a n d c o l m z n sf o r t h e r e f e r e n c e b u s a n d g e n e r a t o r r e a c t i v e p o w e r s

6 P 2. . . 6 ; )

6 P n

6 0 n6 9 m + l6 0 ~ n

6 P 2 6 P 26 i 1 V m + l 6 1 V n

6 Pn6 j 1 1 Q - M + l6 & I V m + l f

6 P n

6rVn

6Qm+16 \ 1 l

6 Q n6 I V m + 1 l 6 1 V n

F r o m e q u a t i o n ( 1 0 )nd P L = d p 1 + n d p ji = 2

Fran e q u a t i o n s ( 1 4 ) a n dt r a n s m i s s i o n l o s s i s

nd P L = E ( 1 + Y i ) d p ii = 2 +

( 1 6 )

( 1 6 ) t h e c h a n g e in t o t a l

n

a i d Q 11 = M 4 - 1 ( 1 7 )Th e i n c r e m e n t a l t r a n s m i s s i o n l o s s I T L i i s d e f i n e das c h a n g e i n t r a n s m i s s i o n l o s s due to change i ng e n e r a t i o n i k e e p i n g a l l o t h e r g e n e r a t o r s const ant.

d P L d P LI T L . =-- 1 + Y -d 1 P G d p if o r i= 2 .... m ( 1 8 )

The d i m e n s i o n o f t h e J a c o b i a n i s ( 2 n - m - 1 ) . T h er e f e r e n c e b u s r e a l p o w e r m i s m a t c h i s

d p l 6 I 1 6I lo n l y m b u s e s contain controllable g e n e r a t o r s of th et o t a l n b u s e s , a n d f o r s l a c k b u s :

( 1 3 )ITL = 0, 1 ( 1 9 )

w h e r er ^ p l - 6_ r p , 66 r io V L

F r m l e q u a t i o n ( 1 2 ) a n d ( 1 3 )6P1 , 1 6 P 1

*. , . . .0 n V M + l l V n l asTh e p e n a l t y f a c t o r o f t h e i t h generator i s d e f i n e d

1 11 - I T L 1

( 1 4 )

T a y l o r s e r i e s

( 1 5 )

6 P a

O P n6 c 3 n

6 Q m ! l6 0 2

6 Q n6 0 2

-I

( 2 0 )


4/6

For a e c o n o m i c d i s p a t c h o p e r a t i o n , r e a l a n dr e a c t i v e l o a d s a r e a s s u n e d t o b e constant. F r c me q u a t i o n s ( 1 5 ) a n d ( 1 7 ) t h e t o t a l t r a n s n i s s i o n l o s s ato p t i m u n d i s p a t c h i s

-m~ ~mP L ( P G ) = P L ( P G ) + E ( 1 + Y . ) ( P G - P G . )i=2

whereP G ? = i n i t i a l g e n e r a t i o n at i t h u n i t

From e q u a t i o n ( 4 ) , ( 8 ) a n d ( 2 1 )A + B A+ C A + .490960064 =0

w h e r e m O mA = 0 - PD- P L O + m , ( 1 + Y - ) P G ' F j Y a .i = ; l + i=

m21 1 i = 2 i 2

mC = 12- . 3

( 2 1 )

I f t h e t o t a l t r a n s m i s s i o n l o s s c h a n g e s d u e t og e n e r a t i o n c h a n g e i s n o t c o n s i d e r e d [ 1 0 , 1 1 ] t h e n f r o me q u a t i o n s ( 4 ) , ( 8 ) a n d ( 1 8 )mA = Ea0-PD - PL

i = lmB= al l E t 1 ii=2m 2

C= a l 2 + E i 2 ii = 2( 2 2 )

F o r t h e l o s s l e s s c a s e

mA = l a 0 o -PDi = l

mB= E a . ii = lmC= I L i 2i = 1

PL = P L ( P G O ) = i n i t i a l t o t a l t r a n s m i s s i o n l o s s

I n g e n e r a l k t h order c o e f f i c i e n t i n e q u a t i o n ( 2 2 ) i s

i = 2F o r k = l , 2 r .... L

When t h e o r d e r o f t h e e q u a t i o n ( 2 2 ) i s l e s s t h a n o re q u a l t o f o u r , roots c a n b e o b t a i n e d u s i n g a v a i l a b l ef o r m u l a e . When t h e o r d e r i s g r e a t e r t h a n f o u r , r o o t sc a n b e o b t a i n e d b y root f i n d i n g t e c h n i q u e . Generallyf o r m o s t a p p l i c a t i o n s , e q u a t i o n ( 6 ) i s a s s u n e d t o b es e c o n d o r d e r . T h e r e f o r e , t h e o r d e r o f e q u a t i o n ( 2 2 )a l s o w i l l be t w o . S o t h e s o l u t i o n f o r t h e a b o v ee q u a t i o n b e c o m e s

A = ( - B + - 4AC)/'2C ( 2 3 )

Now L a m b d a i s kn own , hence g e n e r a t i o n can b e c a l c u l a t e dfrom e q u a t i o n ( 6 ) . I n t h e a b o v e m e t h o d t h e r e i s noi t e r a t i o n p r o c e s s f o r L a m b d a e x c l u s i v e l y . Th e a b o v ea l g o r i t h m i s f a s t a n d easy to i m p l e m e n t f o r o n l i n ea p p l i c a t i o n a n d t h e r e i s n o n e e d f o r i n i t i a l guess f o rL a m b d a .

N ow f o r a g i v e n s y s t e m t i k ' s a r e constant. W h en t h el o a d c h a n g e s , only t h e p a r a m e t e r , A i n e q u a t i o n ( 2 2 ) ,w i l l c h a n g e . T h e r e f o r e , L a m b d a f o r o p t i m u n o p e r a t i n gp o i n t c a n b e o b t a i n e d .S O L U T I O N T E C H N I Q U E A N D R E S U L T S

A c o n c i s e r e v i e w o f t h e a l g o r i t h m i s p r e s e n t e d .The i n i t i a l conditions o f a s y s t e m can be obtained f r o mthe r e a l t i m e data o r from load flow solution. Th ei n i t i a l conditions needed a r e th e total demand PD andt h e t o t a l t r a n a n i s s i o n l o s s P L O f o r some s e t o f i n i t i a lg e n e r a t i o n . T o t a l transmission loss i s e q u a l to t h et o t a l g e n e r a t i o n minus t h e t o t a l l o a d . D u r i n g aeconomic d i s p a t c h calculation the load i s assuned to b ef i x e d . I n t h e E n e r g y M a n a g e m e n t S y s t e m s th e p e n a l t yf a c t o r s c a n e v e n b e a s s u n e d constant u n t i l t h e r e i s an e t w o r k c o n f i g u r a t i o n c h a n g e or a m a j o r l o a d c h a n g e .G e n e r a l l y d u r i n g n o r m a l o p e r a t i o n s p e n a l t y factors a r er e c o m p u t e d o n c e in e v e r y 10 minutesT h e m a j o r s t e p s i n E c o n o m i c d i s p a t c h

1 . S o l v e J2 . C a l c u l a t e A , B , C . . . . f r o m e q u a t i o n ( 2 2 )3 . S o l v e f o r L a m b d a f r o m A + B -4 . F i n d P G - i f o r i = l , 2 , ....m from e q u a t i o n ( 6 )5 . I f P G 1 i s g r e a t e r than maximmn limit orl e s s e r t h a n minimun l imi t t he n se t t o th el i m i t i n g v a l u e a n d g o t o s t e p 2

1 6 2 7


5/6

1 6 2 86 . S t o pI n t h i s a l g o r i t h m a m a j o r p o r t i o n o f t h e e x e c u t i o nt i m e i s s p e n t p e r f o r m i n g p e n a l t y f a c t o r c a l c u l a t i o n sa n d i s t h e s a m e i r r e s p e c t i v e o f t h e L a m b d a c a l c u l a t i o nt e c h n i q u e . I n o r d e r t o m i n i m i z e e x e c u t i on t i m e i n t h ep e n a l t y f a c t o r s t e p t h e f o l l o w i n g m o d i f i c a t i o n s w i l l b e

h e l p f u l . R e n u m b e r a l l t h e b u s e s c o n n e c t e d t o t h e s l a c kb u s t o w a r d s t h e bottom o f t h e J a c o b i a n a n d a l s o t h eg e n e r a t o r b u s e s more o r l e s s t o w a r d s t h e b o t t o m o f t h eJ a c o b i a n t o e l i m i n a t e t h e f o r w a rd a n d b a c k w a r ds u b s t i t u t i o n s t e p s o f t h e t r a n s p o s e d r e p e a t e d s o l u t i o nt o a r e l a t i v e l y s m a l l n u m b e r o f o p e r a t i o n s [ 8 ] .I t i s v e r y c l e a r f r o n t h e a l g o r i t h m t h e r e i s n oi t e r a t i o n p r o c e s s i n c a l c u l a t i o n o f L a m b d a a n dg e n e r a t i o n a n d t h e r e w i l l n o t b e a n y o s c i l l a t i o n o rc o n v e r g e n c e p r o b l e m d u r i n g t h i s s t e p . T h e m a j o ra d v a n t a g e i s L a m b d a c a n b e e v a l u a t e d i n c l o s e d f o r m .A l s o t h e m e t h o d t a k e s c a r e o f t r a n s m i s s i o n l o s s c h a n g ed u e t o g e n e r a t i o n c h a n g e .T h e e c o n o m i c d i s p a t c h t e c h n i q u e p r e s e n t e d i sa p p l i e d t o v a r i o u s t e s t s y s t e m s [ 2 ] s u c h as I E E E 1 4 b u s ,3 0 b u s , a n d 5 7 b u s s y s t e m s . I f Y ' s a r e k n o w n b ys o l v i n g J t h e n t h e t ot a l n u m b e r o f o p e r a t i o n s n e e d e d t oc a l c u l a t e L a m b d a i s i n a d d i t i o n s / s u b t r a c t i o n s , 8 m - lm u l t i p l i c a t i o n s / d i v i s i o n s a n d one s q u a r e r o o to p e r a t i o n , w h e r e m i s t h e t o t a l n u m b e r o f g e n e r a t o r s i nt h e s y s t e m . G e n e r a l y i n e n e r g y m a n a g e m e n t s y s t e m sp e n a l t y f a c t o r s a r e not r e c o m p u t e d f o r e v e r y c y c l e o fe c o n o m i c d i s p a t c h . D u r i n g t h e c y c l e s w h e n p e n a l t yf a c t o r s a r e a s s u m e d c o n s t a n t i t i s u n n e c e s s a r y t oc o m p u t e ( 1 + - Y i ) , Y i o i O r Y i 2 a i l a n d Y i a i 2 . T h e n t h et o t a l n u m b e r o f o p e r a t i o n s n e e d e d are o n l y 4 m + 1a d d i t i o n s / s u b t r a c t i o n s , m + 4 m u l t i p l i c a t i o n s / d i v i s i o n sa n d o n e s q u a r e r o o t o p e r a t i o n s . H e n c e one c a n c o n c l u d eon e i t e r a t i o n o f c l a s s i c a l m e t h o d w i l l b e r o u g h l y e q u a lto t h e p r o p o s e d c l o s e f o r m s o l u t i o n f o r L a m b d a .T h e c l a s s i c a l e c o n o m i c d i s p a t c h u s i n g t h ec o o r d i n a t i o n e q u a t i o n s r o u g h l y t a k e s 3 t o 5 i t e r a t i o n st o c a l c u l a t e t h e L a m b d a i n t h e e n e r g y m a n a g e m e n ts y s t e m s , d u r i n g n o r m a l o p e r a t i o n s . T h e n u m b e r o fi t e r a t i o n s a l s o i n c r e a s e s r e l a t i v e l y h i g h d u r i n gi n i t i a l i z a t i o n , n e t w o r k c o n f i g u r a t i o n c h a n g e a n d d u r i n gm a j o r l o a d c h a n g e . T h e m a i n d i s a d v a n t a g e s o f t h ec l a s s i c a l m e t h o d a r e , i f t h e c o e f f i c i e n t t o u p d a t e t h eL a m b d a d u r i n g i t e r a t i o n s i s r e l a t i v e l y l a r g e t h e n t h e r ema y a l s o b e n o t i c a b l e o s c i l l a t i o n s n e a r t h e o p t i m a ls o l u t i o n . T h e o s c i l l a t i o n s ma y b e v e r y p r o f o u n d [ 1 3 ]i f t h e i n c r e m e n t a l cost c urves a r e n e a r l y f l a t or t h ef u e l c o s t c urves h a v e c l o s e r e s e m b l a n c e s t o e a c h o t h e ro r t h e t r a n s m i s s i o n l o s s i s r e l a t i v e l y l a r g e . O n t h eo t h e r h a n d i f t h e c o e f f i c i e n t t o u p d a t e t h e L a m b d ad u r i n g i t e r a t i o n s i s s m a l l t h e n t h e c o n v e r g e n c e i s v e r ys l o w . A l s o i n t h e c l a s s i c a l m e t h o d i n i t i a l g u e s s f o r

t h e L a m b d a i s e s s e n t i a l .G e n e r a l y t h e t o t a l n u m b e r o f g e n e r a t o r s i sr e l a t i v e l y s m a l l i n a s y s t e m . H e n c e , t h e c o m p u t a t i o nt i m e f o r L a m b d a i s s m a l l c o m p a r e d t o o t h e r i t e r a t i v et e c h n i q u e s [ 1 1 ] .

CONCLUSION

T h e d i r e c t m e t h o d o f c a l c u l a t i o n o f t h e L a m b d a i sp r e s e n t e d . S o m e o f t h e a d v a n t a g e s o f t h e m e t h o d a r e :1 . T h e m e t h o d u t i l i z e s a c l o s e d f o r m e x p r e s s i o nf o r t h e c a l c u l a t i o n o f t h e L a m b d a .

2 . T h e L a m b d a c a l c u l a t i o n t e c h n i q u e p r e s e n t e dc an b e u s e d w i t h a n y t y p e o f i n c r e m e n t a lt r a n s m i s s i o n l o s s c a l c u l a t i o n .3 . N o i n i t i a l g u e s s f o r L a m b d a i s n e c e s s a r y .4 . T h e a l g or i t h m a l s o t a k e s i n t o a c c o u n t t o t a lt r a n s m i s s i o n l o s s c h a n g e d u e t o g e n e r a t i o n

c h a n g e .5 . T h e s a m e t ec h n i q u e c a n a l s o b e a p p l i e d f o rl o s s l e s s c a s e .6 . T h e a l g o r i t h m p r e s e n t e d i s f a s t , s i m p l e ,t a k e s l e s s c o r e a n d h a s n o c o n v e r g e n c ep r o b l e m s .

F r a m t h e a b o v e reasons i t seems t h a t t h e a l g o r i t h mp r e s e n t e d i n t h e p a p e r h a s p o t e n t i a l f o r o n - l i n ei m p l e n e n t a t i o n i n t h e e n e r g y m a n a g e m e n t s y s t e m s .R E F E R E N C E S

1 . L . K . K i r c h m a y e r , " E c o n a n i c o p e r a t i o n o fp o w e r s y s t e m " , J o h n W i l e y & S o n s , N e w Y o r k ,1 9 5 8 .2 . " I E E E s t a n d a r d t e s t d a t a " , c o u r t e s y o fA m e r i c a n E l e c t r i c P o w e r , N e w Y o r k , N . Y . ,1 9 6 2 .3 . H . W . D o m n e l a n d W . F . T i n n e y , " O p t i m a lp o w e r f l o w s o l u t i o n s " , I EE E T ra n s . P A S , V o l .8 7 , p p . 1 8 6 6 - 1 8 7 6 , O c t o b e r 1 9 6 8 .4 . G . F . R e i d a n d L . H a s d o r f f , " E c o n o m i cd i s p a t c h u s i n g q u a d r a t i c p r o g r a m n i n g " , I E E ET r a n s . P A S , V o l . 9 2 , p p . 2 0 1 5 - 2 0 2 3 , N o v e m b e r1 9 7 3 .5 . H . H . H a p p , " O p t i m a l - p o w e r d i s p a t c h " , I E E ET r a n s . P A S , V o l . 9 3 , p p . 8 2 0 - 8 3 0 , M a y / J u n e1 9 7 4 .6 . A . M . S a s s o n , " S a n e a p p l i c a t i o n s o fo p t i m i z a t i o n t e c h n i q u e s t o p o w e r s y s t e mp r o b l e m s " , I E E E P r o c e e d i n g s , V o l . 6 2 , N o . 7 ,p p . 9 5 9 - 9 7 2 , J u l y 1 9 7 4 .7 . H . H . H a p p , " O p t i m a l p o w e r d i s p a t c h - ac a n p r e h e n s i v e s u r v e y " , I E E E T r a n s . P A S , V o l .9 6 , N o . 3 , M a y / J u n e 1 9 7 7 .8 . F . L . A l v a r a d o , " P e n a l t y f a c t o r f r a nN e w t o n ' s m e h t o d " , I E E E P E S W i n t e r M e e t i n g ,N e w Y o r k , J a n . / F e b . 1 9 7 8 .9 . M . E . E l - H a w a r y a n d G . S . C h r i s t e n s e n ," O p t i m a l e c o n a n i c o p e r a t i o n o f e l e c t r i cp o w e r s y s t e m " , A c a d e m i c P r e s s , N e w Y o r k ,1 9 7 9 .

1 0 . R . R a m a n a t h a n a n d L . L . G r i g s b y , " N o v e la p p r o a c h t o e c o n o m i c d i s p a t c h " , I E E EI n t e r n a l C o n f e r e n c e o n E l e c t r i c E n e r g y ,1 9 8 1 .1 1 . R . R a m a n a t h a n a n d L . L . G r i g s b y , " Ac o m p a r i s o n o f a n i m p r o v e d e c o n c m i c d i s p a t c ha l g o r i t h m t o n o n l i n e a r p r o g r a m n i n gt e c h n i q u e s " , 1 3 t h S o u t h e a s t e r n S y m p o s i u n o ns y s t e m t h e o r y , 1 9 8 1 .


6/6

1 6 2 9

1 2 . O l l e I . E l g e r d , " E l e c t r i c energy s y s t e m st h e o r y a n i n t r o d u c t i o n " , M c G r a w - H i l l B o o kC o m p a n y , New Y o r k , 1 9 8 2 .1 3 . K . A o k i a n d T . S a t e h , " N e w a l g o r i t h m s f o rc l a s s i c e c o n a m i c l o a d d i s p a t c h " , I E E E P E SW i n t e r M e e t i n g , D a l l a s , 1 9 8 4 .

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R. than Fast Economic Dispatch Based on the 3