ELTE II. Fizikus 2007/2008 I. félév

KISÉRLETI FIZIKA Optika 7.

(X. 10)

Interferencia I.

(r,t) = (r,t)e-it = A(r) eikL(r) e-it

hullámfüggvény (E, B, E, B,...)

- 1/v2 ∂2/∂t2 = 0

2/v2 = k2; 2/c2 = ko2; v = c/n; k = n ko = n 2/o; n =

Síkhullámra: E (t- k x), ... (ahol = (t- k x))

rot E= -∂/∂t (B) -k x E = - B B = (1/v) e x E rot H= ∂/∂t (D) -k x H = D H = v e x D

S= E x H = w (v e ) = w (c/n) e w = ½ E D + ½ H B wel = ½E D = ½H B = wmágn.

I intenzitás I= S = (Ecos) (Hcos) = (EH) (1/T) ∫cos2(t)dt = ½ Smax

idő átlag

Speciális síkhullámra (x polarizált és előre (+z) terjedő): E =.(Ex, 0, 0).. ; H =.(0, Hy , 0)..

Ex = f(x – vt) ; Hy = + / f(x – vt) ; Sz = + / f 2(x – vt)

S f2 ; (négyzetes világ) (a megfigyelt világ) ! f = f1 + f2 (szuperpozició elve) (a mezők világa)!

S = f 2 = f12 + f2

2 + 2 f1 f2

1.intenzitás 2.intenzitás INTERFERENCIA

Ie = I1 + I2+ 2I1 I2 cos(1-2 ) (Ii = Ai

2/2)

Im i Ae A2 . 2 e

A1 1 Re

Ae eie = A1 ei1 + A2 ei2

Ae2 = Ae Ae

*= =(A1 ei1 + A2 ei2) (A1 e-i1 + A2 e-i2) =

= A12 + A2

2 + A1 A2(ei(1-2) + e-i(1-2))=

= A12 + A2

2 + 2A1 A2 cos(1 - 2 )

fáziskülönbség = k L = ko nL = = (2/o) ns

Ie = I1 + I2+ 2I1 I2 cos(2/o) ns

1. 1 = 2 + 2k ( = 2k ) – azonos fázis Ie = I1

+ I2 + 2I1 I2 2

212122

21 2

1221 AAAAAA

2. 1 = 2 + (2k+1) ( = (2k+1) ) – ellentétes fázis Ie = I1

+ I2 - 2I1 I2 2

212122

21 2

1221 AAAAAA

3. = teszőleges – véletlen fázis . (A fázisok időátlaga és annak cosinusa = 0) 0cos

Ie = I1 + I2 2

2212

1 AA (Az intenzitások ilyenkor szuperponálódnak!)

Interferencia kisérletek:

1.) Kettős rés (Young 1802) Két pontszerű fényforrás interferenciája

Ernyő

Nap, prizma

Valójában: három "rés", lyuk /tű/, nem síkhullám, hanem gömbhullám )

2.) Kettős tükör (Fresnel 1816) . pici szög tükör 1 . tükör 2 . kettős in ter ferá ló fén yforrás (vir tuális)

3.) Kettős prizma (Fresnel) . p rizm a 1. pr izm a 2. kettős in terferá ló fén yforrás

(vir tuá lis)

4.) Selényi Pál nagyszögű interferencia kisérlete

(kis fényforrás) fluoreszcin UV vékony zselatin (/10)

. nagy szög . planparalell lemez (/4)

A gerjesztő (UV) fény az apró fluoreszcin molekulát zöld fény sugárzására kényszeríti, így van egy nagyon kisméretű (< /10) zöld fényforrás, amelyből nagy szögben kilépő fénysugarak interferálnak (Fabry -Perot féle zöld szűrő).

Fényelmélet (foton), nem tűsugár. Részecske-hullám dualizmus.

E l h a j l á s e g y r é s e nZ ó n a e l m é l e t :

A t e l j e s r é s a / 2 s z é l e s s é g ű z ó n á kj á r u l é k a i n a k a z i n t e r f e r e n c i á j a .

1 z ó n a ( e r ő s í t é s ) 2 z ó n a ( k i o l t á s ) 3 z ó n a ( e r ő s í t é s ) a s i n = / 2 a s i n = a s i n = 3 / 2

4 z ó n a ( k i o l t á s )a s i n = 2

a s i n

a

/ 2

/ 2

/ 2 / 2 / 2

/ 2 / 2 / 2 / 2

Elhajlás egy résen (A Fraunhoffer tárgyalás)

70 80 90 100 110 120 130

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x(mm)

I/Io

A rés egy közbenső pontjában a

fáziseltolódás arányosan számítandó: = (2/o) x sin max = (2/o) a sin

(A folytonos geometria helyett n db /diszkrét/ tartományokra osztjuk a rést.)

Io sin2 ( a sin/o) ( a sin/o)2

a sin

a x x sin

A r é s t e h á t n d a r a b ( n a g y o n s o k ) k i sf é n y f o r r á s k é n t s u g á r o z .

x j = j a / n j = ( 2 / o ) ( j a / n ) s i n

A e = A j s i n j

a = A j = A j n ( = A o )

( A j = a / n )t e h á t

A e = ( a / n ) s i n j

A e = 2 r s i n ( m a x / 2 )a h o l

2 r s i n ( j / 2 ) = A j = a / n

A e = )2/(sin

)2/sin()2/(sin)2/sin(

maxmaxmax

nna

na

j

n e s e t é n : A e nn

sina

22

/)/(

max

max

sin

)sinsin(

a

aA

o

oo

I e 2

2

sin

)sin(sin

a

aI

o

oo

a s i n

a

1 .2 .

3 .

n .

j = n

j = 1

j = m a x / n m a x r r A e A j m a x

j = n

j = 1

j = 1

j = n

K e ttő s ré s (F ra u n h o ffe r tá r g y a lá s )

A e = A j s in j

A e = A 1 + A 1 sin = (2 / o ) n s( n s = d s in )

(A z e re d ő : k é t r é s fá z ish e ly e sö ss ze g e ), a h o l :

I 1 = I 1r é s = Io* s in 2( a s in / ) ( a s in / )2

8 0 1 0 0 1 2 0

0 .0

0 .2

0 .4

0 .6

0 .8

1 .0

... ...

I/Io

x(m m )

2

2

4

4sin

sinsin

x

x

xNxII o

d /a = 4

N = 2

k é t r é s

d s ina

d

j= 1

I e = I 1 4 c o s 2( d s in / o )

j= 2

S o k r é s ( N ) , a z a z r á c s . ( F r a u n h o f f e r t á r g y a l á s )

A e = A j s i n j

A e = A 1 ( 1 + s i n m )

= ( 2 / o ) n s( n s = d s i n )

= 2 d s i n / o

2 r s i n ( / 2 ) = A j = A 1

A e = 2 r s i n ( N / 2 )

A e

sin

)sinsin(

2/)2/sin(

11d

dNANA

o

o

I e = I 1 s i n 2 ( N / 2 ) ( / 2 ) 2

I e = I 1 s i n 2 N ( d s i n / o ) ( d s i n / o ) 2

d s i n

a

d

j = 1

m = 1

m = N - 1

( - N f ü g g e t l e n ) r r A e A j

j = N

Ö s s z e te t t e s e tb e n(r á c s á l l a n d ó / r é s tá v o ls á g / : d , r é s e k s z á m a : N , r é s m é r e t : a )

I e = I o s in 2 ( a s in / ) s in 2 N ( d s in / o ) ( a s in / ) 2 ( d s in / o ) 2

0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

0 .0

0 .2

0 .4

0 .6

0 .8

1 .0

I/Io

x

d /a = 5

N = 8n y o lc r é s ( r á c s )

x = d s in /

2

2

5

5sin

sinsin

x

x

xNxII o

N = 8

- 1/v2 ∂2/∂t2 =0

megoldások szuperpoziciója ∑i is megoldás!

pl. ei(t-kx) + ei(t+kx)= eit 2cos(kx) állóhullám

Wiener kisérlet(1890)

Terjedő hullám Ey

Hx kz

Állóhullám E H

S= 0

film

tükör

Gömbhullámok Fresnel problémák

Nem korrekt a síkhullám közelítés, ha a tárgy vagy a kép nem végtelen távol van. Ekkor gömbhullámokkal kell leírni a jelenségeket, az irányok mellett a távolságok is lényegesek.

+ k2 = 0

(r, , )

=1/r2 d/dr (r2 d/dr ) = 1/r d/dr2 (r ) = - k2

d/dr2 (r ) = - k2 (r )

(r) = (1/r) e +ikr

I ~ *~1/r2 I(r)4r2= konst. (energiamegmaradás)

Sugárzási energia Síkhullám gömbhullám

R2

dFr2

E 1/r ; w E2

w 1/r2

W= W- megmarad

2

2

Fizikai optika Fresnel(1818)Huygens elv javítása (nem burkoló), hanem interferáló gömb-hullámok összege az eredő.

rn = Ro + n /2 jelöljük yn -nel a Fresnel zóna sugarát.E zóna O ponttól mért távolsága n. (kétszer felírva a Pitagorasz tételt)ro

2 = (ro -n)2 + yn2

(Ro + n /2)2 = (Ro + n)2+ yn2

yn2 = 2 (ro n) = 2 Ro (n /2 - n)

/2

/2 F O P

1.

2. 3.

4.

ro

ro Ro

Ro+ n/2 yn

n

Az egyes zónák területe (járuléka) ugyanaz:Tn = ( yn2 - yn-1

2 )

oo Rr11

/2

O F O

1.

2. 3.

4.

ro

ro

y2

n

y3

oo Rr

n11

Valójában az egyes zónák járuléka csak elsőrendben azonos, /mert pl. a zóna normálisa elfordul/, másodrendig pontosan számolva is egy picit csökken a járulék. (Tn < Tn-1 ) . Legyen a csökkenés mértani sorozat szerinti (kvóciense q): Tn = q Tn-1 (ahol q 1, q 1) a Tn helyett an amplitudó jelöléssel: (Az eredő A amplitudó, az egyes zónák an amplitúdóinak fázishelyes összege (interferenciája)):

) A =a - aq+aq2-aq3+aq4-aq5+… + aqn = a (1-q+q2-q3+…) a /(1+q) A = a/2 (q 1 miatt) ; I = A2 = a2 /4

) Ha letakarjuk az első zónát:A = - aq + aq2 - aq3 + aq4 - aq5+… + aqn = -aq (1-q+q2 -q3+…) -aq /(1+q)A = -a/2 ; I = A2 = a2 /4

) Ha csak néhány (központi) zónát engedünk át, a többit kitakarjuk (rés /korong alakú/)

a) n = 5 (páratlan) A= a-aq+aq2-aq3+aq4 = a (1-q+q2-q3+q4) = a (1 + q5 )/(1+q) A a ; I a2 b) n = 4 (páros) A=a -aq+aq2-aq3= a (1- q + q2 -q3 ) = = a (1 - q4 )/(1+q)A << a ; I << a2 (0)Az fényintenzitás a rés méretétől függően oszcillál a P pontban.

) Ha letakarjuk az első néhány zónát, a többit átengedjük (pl.: n >4):A = aq4 - aq5+ aq6 - aq7 + aq8 - aq9+… + aqn = aq4 (1-q+q2 -q3+…) aq4 /(1+q)A a/2 ; I a2/4 Poisson folt

(Világos folt egy /kis/ korong mögötti árnyék közepén).

Poisson folt

Fresnel zónák ro R y1 F Ro P (megfigyelési pont)

/2

zónasugár (yn): 1/ro + 1/Ro = n /yn2

n=2 y2= f (1/ro + 1/Ro = 2/f jelöléssel)

egy zónajáruléka (finoman osztva)

a1

A (= a1/2) I a2/4 Poisson folt

1 2 3 4 6 5

Több zónajáruléka a1 a2 a3

1 2 3 4 6 5

Evaneszcens hullámok

Exponenciálisan lecsengő hullámok (elnyelődéskor, pl. fémekben)

(r) ~ eikr= eiKx-z ; + k2 = 0 ; (-K2 +2) + k2 = 0

k= K-i = nkompl.ko = n' ko - i n" ko

fémtükör

alagutazás

Telegráf egyenlet (0)

E - ∂2E/∂t2 - ∂E/∂t=0

(-k2 + 2- i ) E = 0

kompl. = - i /=

nkompl.2 = (n'2- n"2 )- i 2n'n"= - i /

n'2= ½ 2+2/2 + ; n"2= ½ 2+2/2 -

reflexió, törés elnyelődés, abszorbció diszperzió n()