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1. Oui.
2. Oui, dès lors que est indépendant du temps.
3. Non.
Graphe des votes
est-elle toujours vraie ?
On considère le ket associé à un état physiquement acceptable
pour un système décrit par l’hamiltonien . La relation
Quiz de bienvenue
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Table ronde animée par Philippe Grangier
sur 30 ans de cryptographie quantique
mardi 02/09 de 18h à 20h.
ENSAM, 151 Bd de l’Hôpital, Paris
voir site web du département de physique
pour les modalités d’inscription
www.orolia.com
Emilian Dudas, Jérôme Faure, Karyn Le Hur, Luca Perfetti,
Pascale Senellart, Jean-Eric Wegrowe, Manuel Joffre
Poursuite de l’apprentissage des principes fondamentaux (Pauli)
Nouvelles méthodes pour traiter des problèmes plus complexes (3D)
Exploitation des symétries du système (translation, rotation, …)
Méthodes d’approximation (perturbations, variations, …)
Structure de la matière : atomes, molécules, solides
Quelques exemples de technologies quantiques (horloges atomiques,
spectroscopie infrarouge, détecteurs à puits quantiques, etc.)
Physique quantique avancée
- Diapos et simulations présentées en amphi
- Guide de lecture du livre (correspondance amphis – chapitres)
- Questionnaires en ligne (chaque semaine avant lundi 9h00)
- Boîtiers de vote électronique
http://www.enseignement.polytechnique.fr/profs/physique/Manuel.Joffre/phy430
Jean-Louis Basdevant
&
Jean Dalibard
Ressources pédagogiques
Participation au QCM contribue à la note de PC
(avec Devoirs à la Maison et participation en PC)
Chapitres 1 à 17
(sauf 15.1-15.3)
Etat quantique d’un système
Mesure
Evolution temporelle
Commutation des observables
Amphi 1 :
Les principes de la physique quantique
Relire le chapitre 5
Refaire le contrôle PHY311 du 2 juillet 2014
1.
Etat quantique d’un système
Principe 1 : espace de Hilbert et vecteur d’état
A chaque système physique est associé un espace de Hilbert approprié
L’état du système est défini par un vecteur normé appelé ket
Base hilbertienne
Cas du mouvement d’une
particule ponctuelle
TF
Rappels sur la notation de Dirac
Vecteur
colonne
Matrice
carrée
Vecteur
ligne
Bra Ket
Bracket
Soit un opérateur linéaire agissant dans
Elément de matrice
est un opérateur.
est un projecteur.
est le projecteur sur l’état
Projecteur sur le ket
Point de vue matriciel
La relation de fermeture
Système Espace de Hilbert Etat quantique
Particule ponctuelle
Ensemble de deux
particules (ex : H)
Vibration d’une
molécule diatomique
Etat de polarisation
d’un photon
Espace de
dimension 2
Spin 1/2 Espace de
dimension 2
Exemples d’espaces de Hilbert
Produit tensoriel de deux espaces de Hilbert
Soit un système quantique (a) décrit par l’espace de Hilbert de base
Soit un système quantique (b) décrit par l’espace de Hilbert de base
Si (a) est dans l’état et (b) est dans l’état , alors l’état du système
quantique global est noté
produit tensoriel
L’espace de Hilbert associé au système quantique global est appelé
espace produit tensoriel et est noté
La forme générale d’un état est : Etats factorisés
Etats intriqués
Plusieurs degrés de liberté d’une même particule
Particule sans spin
Particule de spin ½
Superposition linéaire entre :
- un paquet d’ondes associé à un état magnétique
- un paquet d’ondes associé à un état magnétique
base de
base de
Système constitué de plusieurs particules
Deux particules de spin ½
Deux spins ½ (sans prise en compte des degrés de liberté externes)
(a)
(b)
2.
Mesure
Principe 2 : Mesure d’une grandeur physique
Une grandeur physique A est représentée par un opérateur auto-adjoint
(ou hermitien) appelé observable.
Les valeurs propres de sont réelles.
Le résultat d’une mesure de est l’une des valeurs propres de .
Si le système est dans l’état , la probabilité de mesurer est
Après la mesure de , le système est projeté dans l’état
Théorème spectral :
Les vecteurs propres de constituent une base de
Exemple de mesure : l’expérience de Stern et Gerlach
Schrödinger
MESURE
OU
Evolution
Réversible Evolution
irréversible
Laser
Effet de la dégénérescence des espaces propres
Cas non dégénéré Cas dégénéré
Projecteur
Dimension espace propre = 1 Dimension espace propre =
Etat après mesure
Probabilité de mesurer
Soit un ensemble de deux particules de spins ½ placées dans l’état
A. 0
B. ½
C. 1
D.
E.
F.
Mesure dans un espace produit tensoriel
Graphe des votes
On mesure la grandeur . Quelle est la probabilité de trouver , et
dans cette éventualité, quel est l’état du système après la mesure ?
3.
Evolution temporelle
Principe 3 : Equation de Schrödinger
En l’absence de mesures, l’évolution du vecteur d’état est donnée
par l’équation de Schrödinger
L’opérateur est l’Hamiltonien. C’est l’observable énergie.
Pour un système isolé, l’Hamiltonien est indépendant du temps:
Exemple de système isolé : atome d’hydrogène (amphi 4)
Exemple de système non isolé :
spin ½ dans un champ magnétique tournant (RMN – PHY311 amphi 7)
Evolution temporelle d’un système isolé
Pour un système isolé, il est fructueux de rechercher les états propres de
puis de développer sur cette base propre:
avec
E1
E2
E3
Dans un puits infini, on effectue une mesure
d’énergie qui donne la valeur E2. Après la
mesure, la position moyenne de la particule
dans le puits :
1. oscille à la fréquence E1 /h,
2. oscille à la fréquence E2 /h,
3. oscille à la fréquence (E2 - E1)/h,
4. n’oscille pas.
Evolution temporelle suite à une mesure d’énergie
Graphe des votes
Superposition linéaire dans un puits infini
4.
Commutation des observables
Algèbre non commutative : en général,
Quelques règles utiles sur les commutateurs
Définition
Un commutateur sert à remettre à l’«endroit» un produit de deux opérateurs
Bilinéarité du commutateur
Commutateur entre un produit d’opérateurs et un autre opérateur
Par exemple :
Observables qui ne commutent pas
Il est impossible de connaître précisément à la fois A et B.
Exemple
(PC1)
Relation d’incertitude de Heisenberg
Si on prépare le système dans un état associé à une incertitude Da
sur la grandeur A, alors la relation d’incertitude impose une borne
inférieure sur l’incertitude Db de la grandeur B dans cet état.
Si on mesure la grandeur A avec une précision Da, alors la relation
d’incertitude impose une borne inférieure sur l’incertitude Db de la
grandeur B dans l’état du système après la mesure.
(exercice)
Observables qui commutent
Après des mesures successives des grandeurs A et B, le système est
dans un sous-espace propre commun à A et B. Les grandeurs physiques
correspondantes sont donc connues avec certitude : Da = 0, et Db = 0.
(exercice) Tout sous-espace propre de est stable par
Il existe une base propre commune à et (exercice)
Si ne dépend pas explicitement du temps et si , alors la
grandeur est une constante du mouvement (d’après Th. d’Ehrenfest) :
En résumé
Principe 1 :
Principe 2 : mesure
Principe 3 :
Il existe une base propre commune à et
Relation d’incertitude de Heisenberg
Mesure dans le cas dégénéré (utilisation des projecteurs)
Chapitre 5