UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR

FACULTAD DE INGENIERÍA, CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICA

CONSEJO DE POSGRADO

Metodología para la enseñanza del método de Galerkin para

estudiantes de ingeniería

Trabajo de Titulación previo a la obtención del Título de Magíster en

Docencia Matemática Universitaria

AUTOR Pozo Rosero Segundo Fabián

TUTOR: Ing. Guillermo Alexis Albuja Proaño

Quito, 2018

ii

DERECHOS DE AUTOR

Yo, SEGUNDO FABIÁN POZO ROSERO, en calidad de autor y titular de

los derechos morales y patrimoniales del trabajo de titulación, METODOLOGÍA

PARA LA ENSEÑANZA DEL MÉTODO DE GALERKIN PARA ESTUDIANTES

DE INGENIERÍA, modalidad presencial, de conformidad con el Art. 114 del

CÓDIGO ORGÁNICO DE LA ECONOMÍA SOCIAL DE LOS CONOCIMIENTOS,

CREATIVIDAD E INNOVACIÓN, concedo a favor de la Universidad Central del

Ecuador, una licencia gratuita, intransferible y no exclusiva para el uso no

comercial de la obra, con fines estrictamente académicos. Conservo a mi favor

todos los derechos de autor sobre la obra, establecidos en la normativa citada.

Así mismo autorizo a la Universidad Central del Ecuador para que realice

la digitalización y publicación de este trabajo de titulación en el repositorio virtual,

de conformidad a lo dispuesto en el Art. 144 de la Ley Orgánica de Educación

Superior.

El autor declara que la obra objeto de la presente autorización es original

en su forma de expresión y no infringe el derecho de autor de terceros,

asumiendo la responsabilidad por cualquier reclamación que pudiera

presentarse por esta causa y liberando a la Universidad de toda responsabilidad.

Segundo Fabián Pozo Rosero

CC: 1001410982

E-mail: fapozo@hotmail.com

mailto:fapozo@hotmail.com

iii

APROBACIÓN DEL TUTOR

En mi calidad de Tutor del Trabajo de Titulación, presentado por

SEGUNDO FABIÁN POZO ROSERO, para optar por el grado de Magíster en

Docencia Matemática Universitaria; cuyo título es: METODOLOGÍA PARA LA

ENSEÑANZA DEL MÉTODO DE GALERKIN PARA ESTUDIANTES DE

INGENIERÍA, considero que dicho trabajo reúne los requisitos y méritos

suficientes para ser sometido a la presentación pública y evaluación por parte

del tribunal examinador que se designe.

En la ciudad de Quito, a los 20 días del mes de Junio de 2018

Mat. Guillermo Alexis Albuja Proaño. Msc.

DOCENTE-TUTOR

C.C 1712454063

iv

DEDICATORIA

A mi hijo Álex Pozo Valdiviezo por ayudarme en todo momento, también a mi

esposa Belleda Valdiviezo, que me dio todo su apoyo incondicional.

Segundo Fabián Pozo Rosero

v

AGRADECIMIENTOS

Dejo constancia de mi agradecimiento al Director de Tesis Ing. Alexis

Guillermo Albuja Proaño Msc, por haberme motivado en el tema de investigación

como también en el asesoramiento y desarrollo del mismo.

Además debo agradecer a los lectores por su valioso aporte que hicieron en

la revisión de cada uno de los temas propuestos.

vi

Índice de Contenidos

DERECHOS DE AUTOR .................................................................................................................... ii

APROBACIÓN DEL TUTOR ............................................................................................................. iii

DEDICATORIA ................................................................................................................................ iv

AGRADECIMIENTOS ....................................................................................................................... v

Índice de Contenidos .................................................................................................................... vi

LISTA DE TABLAS ........................................................................................................................... xi

LISTA DE FIGURAS ........................................................................................................................ xii

LISTA DE ANEXOS ........................................................................................................................ xiii

RESUMEN .....................................................................................................................................xiv

Abstract ........................................................................................................................................ xv

INTRODUCCIÓN ............................................................................................................................. 1

CAPÍTULO I ..................................................................................................................................... 2

1. El problema ............................................................................................................................ 2

1.1 Planteamiento del problema ........................................................................................ 2

1.2 Formulación del problema............................................................................................ 3

1.3 Justificación e importancia ................................................................................................. 3

1.4 Objetivos ............................................................................................................................. 4

1.4.1 Objetivo General. ......................................................................................................... 4

1.4.2 Objetivos Específicos. .................................................................................................. 4

1.5 Metodología de enseñanza para resolver la ecuación de difusión-reacción ..................... 4

Planteamiento de la ecuación: ................................................................................................. 5

DESARROLLO DE LA METODOLOGÍA DE ENSEÑANZA ................................................................... 5

Descripción de la ecuación ................................................................................................... 5

Discretización del dominio de la ecuación ........................................................................... 5

Discretización de la variable temporal 𝒕 ............................................................................... 6

Discretización de la variable espacial 𝒙: ............................................................................... 6

vii

Formulación variacional o débil ............................................................................................ 6

Aproximación de la solución por el Método de Galerkin ..................................................... 7

Formulación equivalente ...................................................................................................... 7

Formulación matricial ........................................................................................................... 7

Método de elementos finitos ............................................................................................... 7

Construcción de las funciones base ...................................................................................... 8

Cálculo de los elementos finitos ........................................................................................... 8

Matriz de rigidez local y de carga ......................................................................................... 8

Ensamblaje de la matriz de rigidez global ............................................................................ 9

Ejemplos de prueba para ser comprobados a través del pseudocódigo en Matlab .......... 10

Pseudocódigo para ser implementado en Matlab ............................................................. 11

Cálculo de errores ............................................................................................................... 11

1.6 Proceso de resolución de la ecuación de difusión-reacción. ............................................ 11

CAPÍTULO II .................................................................................................................................. 14

2. ECUACIÓN DE DIFUSIÓN-REACCIÓN GENERALIDADES ........................................................ 14

2.1. Antecedentes de la investigación ............................................................................... 14

2.2 Descripción de la ecuación de difusión-reacción unidimensional .................................... 15

2.3 Fluidos ............................................................................................................................... 16

2.4 Principios fundamentales del flujo de fluidos. ........................................................... 17

Procesos de transporte de masa ............................................................................................ 19

2.5 Nociones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias ...................................................... 20

Orden de la ecuación diferencial ........................................................................................ 20

Grado de una ecuación diferencial ..................................................................................... 21

2.6 Condiciones iniciales y de frontera ................................................................................... 21

2.6.1 Condiciones Iniciales: ................................................................................................. 21

2.6.2 Condiciones de Frontera ............................................................................................ 22

2.7 Ecuaciones diferenciales lineales de orden n ................................................................... 23

viii

2.7.1 Solución general de una ecuación diferencial lineal ................................................. 24

2.7.2 Método de variación de parámetros ......................................................................... 24

2.8 Métodos para resolver una ecuación diferencial ............................................................. 25

Métodos Numéricos ............................................................................................................... 26

2.8.2 Integración Numérica: Método del trapecio ............................................................. 26

2.8.3 Método de Euler ........................................................................................................ 28

Euler Explícito ..................................................................................................................... 28

Explicación del Método ...................................................................................................... 30

Método de Euler modificado .............................................................................................. 31

Método Backward Euler (Método implícito de Euler) ........................................................ 31

CAPÍTULO III ................................................................................................................................. 33

3. RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE DIFUSIÓN-REACCIÓN........................................................ 33

3.1 Método de Galerkin y formulaciones ............................................................................... 33

3.2 Discretización de la variable temporal 𝒕, por el método de Euler implícito ..................... 34

3.3 Solución Analítica de la ecuación de difusión-reacción semidiscretizada: Método de

Variación de parámetros. ....................................................................................................... 35

3.4 Discretización de la variable espacial 𝒙 ............................................................................ 37

3.4.1 Formulación variacional o débil ................................................................................. 37

3.4.2 Aproximación de la solución 𝒖 por el método de Galerkin ....................................... 40

CAPÍTULO IV ................................................................................................................................. 44

4. Método de elementos finitos .................................................................................................. 44

4.1 Procedimiento para la construcción de las funciones base con el MEF. .......................... 44

4.2 Definición de las funciones base ...................................................................................... 45

4.3 Propiedades de la matriz de rigidez ................................................................................. 49

4.4 Cálculo de los elementos finitos para la ecuación de difusión-reacción para la matriz

local de rigidez 𝑨 .................................................................................................................... 51

4.4.1 Cálculo de las matrices de rigidez en forma general ................................................. 63

ix

4.5 Ensamblaje de la matriz de rigidez ................................................................................... 66

4.5.1 Ensamblaje de la matriz de rigidez global ................................................................. 66

4.6 Cálculo de los elementos finitos de la ecuación de difusión-reacción para el vector 𝑩 .. 68

4.6.1 Cálculo de la matriz de carga en forma general ........................................................ 76

4.7 Ensamblaje del vector 𝑩 ................................................................................................... 77

CAPÍTULO V .................................................................................................................................. 81

5. RESULTADOS ............................................................................................................................ 81

5.1 Algoritmo numérico para la ecuación de difusión-reacción ............................................. 81

Algoritmo computacional ................................................................................................... 81

5.2 Algoritmo para el pseudocódigo. (Ver anexo 4) ............................................................... 82

5.3 Flujograma ........................................................................................................................ 82

5.4 Ejemplos de prueba para el algoritmo ............................................................................. 84

Ejemplo 1 ............................................................................................................................ 84

Ejemplo 2: ........................................................................................................................... 87

Ejemplo 3: ........................................................................................................................... 89

Ejemplo 4: ........................................................................................................................... 92

5.5 Cálculo del error de las soluciones numérica y exacta ..................................................... 94

5.6 Gráficas de los errores .................................................................................................. 96

CAPÍTULO VI ............................................................................................................................... 100

6. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ................................................................................ 100

6.1 CONCLUSIONES ............................................................................................................... 100

6.2 RECOMENDACIONES ....................................................................................................... 100

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................................................................. 102

ANEXOS ...................................................................................................................................... 105

Sumatorias ........................................................................................................................ 105

Método de integración por partes. .................................................................................. 105

Espacios Vectoriales ............................................................................................................. 107

x

Aplicaciones Lineales ............................................................................................................ 108

Espacio de las funciones continuas 𝑪([𝒂, 𝒃]) ...................................................................... 108

Espacios de Hilbert ............................................................................................................... 108

xi

LISTA DE TABLAS

Tabla 1. Método del trapecio ........................................................................... 27

Tabla 2. Valores aproximados con el Método de Euler.................................... 31

Tabla 3. Cálculo de errores para 𝒖𝟓=25sen(x) ................................................ 96

Tabla 4. Cálculo de errores. ............................................................................. 98

xii

LISTA DE FIGURAS

Figura 1. Metodología para resolver la Ecuación de Difusión- Reacción ......... 13

Figura 2. Tipos de flujo .................................................................................... 18

Figura 3. Flujo del agua ................................................................................... 18

Figura 4. Ejemplificación de difusión de tinta en agua ..................................... 19

Figura 5. Clasificación de métodos. ................................................................. 25

Figura 6. Interpretación geométrica de la integral definida .............................. 26

Figura 7. Método de Euler ............................................................................... 28

Figura 8. Partición del intervalo [0; 0.5]............................................................ 29

Figura 9. Partición del Dominio ........................................................................ 44

Figura 10. Funciones base .............................................................................. 47

Figura 11. Resumen de funciones test ............................................................ 48

Figura 12. Elementos para las funciones ∅0, ∅(n+1) .......................................... 48

Figura 13. Elemento genérico de estudio. ....................................................... 50

Figura 14. Funciones base de cada elemento finito. ....................................... 51

Figura 15. Partición dominio. ........................................................................... 68

Figura 16. Representación gráfica del intervalo. .............................................. 79

Figura 17. Flujograma del algoritmo. ............................................................... 83

Figura 18. Solución exacta y aproximada ‘Ejemplo 1’. .................................... 86

Figura 19. Solución exacta y aproximada ‘Ejemplo 2’. .................................... 88

Figura 20. Solución exacta y aproximada ‘Ejemplo 3’. .................................... 91

Figura 21. Solución exacta y aproximada para ‘Ejemplo 4’. ............................ 93

Figura 22. Error 1-ht......................................................................................... 96

Figura 23. Error 2-ht......................................................................................... 97

Figura 24. Error inferior – ht. ............................................................................ 97

Figura 25. Error 1-h.......................................................................................... 98

Figura 26. Error 2-h.......................................................................................... 99

Figura 27. Error inferior-h. ................................................................................ 99

Figura 28. Pseudocódigo en MATLAB de ‘Ejemplo 1’ ................................... 111

Figura 29, Pseudocódigo en MATLAB de ‘Ejemplo 2’ ................................... 112

Figura 30, Pseudocódigo de MATLAB de ‘Ejemplo 3’. .................................. 113

Figura 31. Pseudocódigo en MATLAB de ‘Ejemplo 4’ ................................... 115

file:///C:/Users/JuanF/Desktop/REVISION%20EMPASTAR/TESIS%20F.P%20REVISION%20EMPASTAR.docx%23_Toc529731666file:///C:/Users/JuanF/Desktop/REVISION%20EMPASTAR/TESIS%20F.P%20REVISION%20EMPASTAR.docx%23_Toc529731667

xiii

LISTA DE ANEXOS

ANEXO 1. Funciones continuas .................................................................... 105

ANEXO 2. Nociones de Álgebra lineal y Análisis funcional ........................... 107

ANEXO 3. Nociones de Matrices ................................................................... 109

ANEXO 4. Seudocódigo ................................................................................ 109

xiv

TÍTULO: Metodología para la enseñanza del método de Galerkin para

estudiantes de ingeniería.

Autor: Segundo Fabián Pozo Rosero

Tutor: Mat. Guillermo Alexis Albuja Proaño. Msc.

RESUMEN

El trabajo de investigación tuvo como finalidad diseñar la metodología para la

enseñanza del método de Galerkin para resolver la ecuación de difusión-

reacción, que sirva de apoyo a los estudiantes de ingeniería; desarrollando de

forma sistemática cada una de las etapas y dando las justificaciones respectivas

del por qué se utilizan temas como apoyo a la resolución de la ecuación.

En base al fundamento teórico, se elaboró la metodología de enseñanza,

describiendo cada uno de los pasos como: planteo y descripción de la ecuación,

aplicación del método de Euler implícito para discretizar la variable temporal,

para la variable espacial se utilizó la formulación variacional, método de Galrkin,

método de elementos finitos, construcción de las funciones base y ensamblaje

de matrices para su posterior resolución del sistema de ecuaciones. Cada una

de las etapas de la metodología se aplicó para resolver la ecuación de difusión-

reacción, se elabora el algoritmo computacional y pseudocódigo para Matlab y

luego se dan los resultados e interpretación; y se finaliza con las conclusiones y

recomendaciones.

DESCRIPTORES: METODOLOGÍA DE ENSEÑANZA/ ECUACIÓN DE

DIFUSIÓN-REACCIÓN/ MÉTODO DE EULER IMPLÍCITO/ MÉTODO DE

GALERKIN / ELEMENTOS FINITOS/ FUNCIONES BASE/ SOLUCIÓN EXACTA

Y NUMÉRICA.

xv

TITLE: Methodology for teaching the Galerkin method for engineering students

Author: Segundo Fabián Pozo Rosero

Tutor: Mat. Guillermo Alexis Albuja Proaño. Msc.

Abstract

The purpose of this research work was to design the teaching methodology to

solve the diffusion-reaction equation, which serves as support for engineering

students; systematically developing each of the stages and giving the

corresponding reasons why issues are used to support the resolution of the

equation.

Based on the theoretical basis, the teaching methodology was elaborated,

describing each of the steps such as: statement and description of the equation,

application of the implicit Euler method to discretize the time variable, for the

spatial variable the variational formulation was used, Galerkin method, finite

element method, construction of base functions and matrix assembly for later

resolution of the system of equations. Each of the stages of the methodology was

applied to solve the diffusion-reaction equation, the computational algorithm and

pseudocode for Matlab was elaborated and then the results and interpretation

were given; and it ended with the conclusions and recommendations.

KEY WORDS: TEACHING METHODOLOGY/ DIFUSION-REACTION

EQUATION/ IMPLICIT EULER METHOD/ GALERKIN METHOD / FINITE

ELEMENTS/ BASIC FUNCTIONS/ EXACT AND NUMERICAL SOLUTION.

i

INTRODUCCIÓN

METODOLOGÍA PARA LA ENSEÑANZA DEL MÉTODO DE GALERKIN

PARA ESTUDIANTES DE INGENIERÍA

La ecuación de difusión-reacción unidimensional, generalmente es resuelta sin

una metodología de enseñanza apropiada para comprender, dejando vacíos de

entendimiento y secuencia de pasos a seguir.

El capítulo I, aborda el Problema: planteamiento, formulación, objetivos y

justificación. El capítulo II, trata los antecedentes de la investigación, descripción

de la ecuación, fluidos, principios de conservación y nociones de ecuaciones

diferenciales. En el capítulo III, se describen los métodos de Euler implícito, del

trapecio, de Galerkin y formulaciones variacionales. En el capítulo IV Se

desarrolla el método de elementos finitos, construcción de funciones base. El

capítulo V, describe el algoritmo y pseudocódigo computacional para Matlab y

calcular la solución aproximada y exacta, de igual forma para el cálculo de

errores con sus respectivas gráficas. El capítulo VI se da las conclusiones y

recomendaciones.

ii

CAPÍTULO I

1. El problema

1.1 Planteamiento del problema

Muchos modelos matemáticos surgen como resultado de un experimento,

pero otros no, de igual forma en unos casos como en las ecuaciones

diferenciales, es posible calcular la solución analítica, pero en otros casos como

la ecuación de difusión-reacción unidimensional, no se puede resolver en forma

exacta y lo único que queda es determinar las soluciones aproximadas, esto se

logra utilizando los métodos numéricos. “Los métodos numéricos constituyen

técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos, de tal

forma que se puedan resolverse utilizando operaciones aritméticas” ([1], p. 3)

Un modelo matemático se define, de manera general, como una formulación

o una ecuación que expresa características esenciales de un sistema físico o

de un proceso en términos matemáticos. ([1], p. 11)

La ecuación de difusión-reacción constituye un modelo matemático. Hallar

𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑡) tal que

{

𝑑𝑢

𝑑𝑡− 𝐷

𝑑2𝑢

𝑑𝑥2+ 𝑅𝑢 = 𝑓 (𝑥, 𝑡) 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 [0, 𝐿 ] × [0, 𝑇 ]

𝐶𝐼: 𝑢(𝑥, 0) = 𝑢0(𝑥) = 0

𝐶𝐹: 𝑢(0, 𝑡) = 𝑢 (1, 𝑡) = 0 ∀ 𝑡 ∈ [0, 𝑇 ] , ∀𝑥 ∈ [0, 𝐿]

(1)

Planteada la ecuación de esta forma, no se dispone de una metodología de

enseñanza para resolverla, por lo que surgen las siguientes inquietudes: ¿cómo

enseñar a resolver la ecuación?, ¿cómo desarrollar una metodología de

enseñanza?, ¿qué etapas son necesarias desarrollar? Es aquí donde se origina

el problema que se plantea como proyecto de investigación, metodología de

enseñanza para resolver la ecuación de difusión-reacción para estudiantes de

ingeniería

.

iii

Para lograr este propósito se necesita de una metodología de enseñanza

acorde con el tema en estudio, que sirva de conexión entre lo conocido y lo

desconocido, lo concreto y lo abstracto, de esta forma comprender el problema

propuesto. Visto así el panorama, se vislumbra que no todos los estudiantes

aprenden de la misma forma, cada uno tiene su propio estilo de aprender y

asimilar los conocimientos por lo que es necesario describir una metodología

alternativa que permita clarificar la forma de resolver la ecuación planteada

orientada a los estudiantes de Ingeniería.

1.2 Formulación del problema

¿Cómo diseñar una metodología de enseñanza, para resolver la ecuación de

difusión-reacción aplicando el método de Galerkin para estudiantes de

ingeniería?

1.3 Justificación e importancia

En la mayoría de casos se resuelven ecuaciones diferenciales como resultado

de modelos matemáticos, pues éstas pueden ser de primer grado o de segundo;

como también de primer o segundo orden en derivadas ordinarias, cuya forma

de resolver desde que se plantea la ecuación hasta obtener la solución no es

fácil de comprender ya que en unos casos no es sencillo obtener la solución,

más aún cuando se necesita tener una buena aproximación. Por lo que se hace

necesario diseñar una metodología de enseñanza tomando como caso particular

la ecuación de difusión-reacción.

La metodología de enseñanza donde se hace una descripción del proceso

para resolver la ecuación de difusión-reacción, está orientada a los estudiantes

de las ingenierías para que comprendan y asimilen con facilidad la forma de

resolver la mencionada ecuación.

iv

1.4 Objetivos

1.4.1 Objetivo General.

Diseñar una metodología de enseñanza, para resolver la ecuación de

difusión-reacción aplicando el método de Galerkin para estudiantes de

ingeniería.

1.4.2 Objetivos Específicos.

Desarrollar cada una de las etapas en forma secuencial la metodología

de enseñanza para resolver la ecuación de difusión-reacción.

Describir el marco teórico de cada una de las etapas que permita

fundamentar la metodología de enseñanza.

Resolver la ecuación de difusión-reacción unidimensional aplicando la

metodología propuesta.

1.5 Metodología de enseñanza para resolver la ecuación de difusión-

reacción

La metodología de enseñanza que se propone, responde a las siguientes

interrogantes: ¿Qué se hace?, ¿cómo se hace?, ¿para qué se hace?, resultados

que se obtienen y los prerrequisitos que son necesarios tener, para el desarrollo

de cada tema.

Contenidos temáticos de la resolución

Planteamiento de la ecuación

Discretizar la variable temporal 𝑡 a través del método de Euler implícito.

Solución Analítica: Método de Variación de parámetros

Formulación variacional o débil

Aproximación de la solución 𝑢 por el método de Galerkin

Formulación equivalente y matricial

Método de elementos finitos

v

Construcción de las funciones base con el MEF.

Funciones base y propiedades

Cálculo de los elementos finitos y matriz de rigidez local

Ensamblaje de la matriz global y resolución del sistema de ecuaciones por

Matlab.

Planteamiento de la ecuación:

El problema es hallar la solución 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑡) tal que

{

𝑑𝑢

𝑑𝑡− 𝐷

𝑑2𝑢

𝑑𝑥2+ 𝑅𝑢 = 𝑓 (𝑥, 𝑡) 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 [0, 𝐿 ] × [0, 𝑇 ]

𝐶𝐼: 𝑢(𝑥, 0) = 𝑢0(𝑥) = 0

𝐶𝐹: 𝑢(0, 𝑡) = 𝑢 (1, 𝑡) = 0 ∀ 𝑡 ∈ [0, 𝑇 ] , ∀𝑥 ∈ [0, 𝐿]

(1)

DESARROLLO DE LA METODOLOGÍA DE ENSEÑANZA

Descripción de la ecuación

Se describe la ecuación de difusión-reacción, identificando datos, variables,

condiciones iniciales y de frontera, tipo de ecuación diferencial, orden y grado,

para saber lo que representa cada uno de sus términos, para este tema es

necesario tener nociones de Cálculo Diferencial e Integral, ecuaciones

diferenciales ordinarias y parciales.

Discretización del dominio de la ecuación

En esta etapa se da el proceso de discretización que consiste en dividir un

sistema físico en una serie de elementos que están conectados entre sí por

un número discreto de puntos llamados nodos; y, se realiza para la variable

temporal con el método de Euler implícito, la espacial a través de establecer

la formulación variacional, aproximación de la solución por método de

Galerkin, formulación equivalente y matricial; para resolver el sistema de

ecuaciones dado en forma matricial se aplica el método de elementos finitos,

con la respectiva construcción de las funciones base y cálculo de los mismos.

vi

Discretización de la variable temporal 𝒕

Se aplica el método de Euler implícito, que utiliza la definición de pendiente

de una recta tangente que es la derivada de la función en dicho punto; y de

esta manera se tiene la ecuación que depende sólo de la variable espacial

𝑑𝑢𝑘𝑑𝑡

=𝑢𝑘+1 − 𝑢𝑘𝑡𝑘+1 − 𝑡𝑘

Que al ser aplicada a la ecuación planteada y luego de simplificar queda la

siguiente ecuación discretizada en la variable temporal

−𝐸𝑢′′ + 𝐶 𝑢 = 𝑓

Para desarrollar esta sección se necesita conocer el método implícito de

Euler, definiciones de pendientes y derivadas. Esta ecuación también se la

resolvió en forma analítica utilizando el método de variación de parámetros,

desarrollando el proceso que conlleva este método.

Discretización de la variable espacial 𝒙:

Se realiza en las siguientes etapas: Formulación variacional, aproximación

de la solución por el método de Galerkin, se establece la formulación

equivalente y matricial, luego se aplica el método de elementos finitos y todo

el proceso que conlleva describirlo, esta discretización se hace con el fin de

debilitar progresivamente la suavidad de la solución.

Dependiendo el propósito de la ecuación, se podrá hacer con líneas

simulando vigas y columnas, con placas simulando losas o volumétricos que

simulen cuerpos.

Los prerrequisitos para cubrir este tema son: Integración por partes,

funciones continuas lineales a trozos, propiedades del espacio de funciones.

Formulación variacional o débil

A la ecuación −𝐸𝑢′′ + 𝐶 𝑢 = 𝑓 se multiplica por una función de prueba fija 𝑣 ∈

𝑉 , se integra sobre [0,1] y luego se aplica la técnica de integración por partes

al término que contiene la segunda derivada, con el propósito de reducir el

orden de la ecuación diferencial y buscar las soluciones al problema

variacional en el espacio 𝐻01(Ω) y no en el espacio 𝐻2(Ω), el resultado de

vii

hacer este proceso es tener una ecuación diferencial de orden uno,

expresada en forma débil o variacional.

Aproximación de la solución por el Método de Galerkin

Consiste en buscar una solución aproximada 𝑢ℎ del problema variacional

anterior, para esto se busca una función en un sub-espacio de dimensión

finita 𝑢ℎ ∈ 𝑉ℎ y se reemplaza 𝑢ℎ por 𝑣 en la ecuación variacional, para que

la solución aproximada esté en un sub-espacio finito dimensional 𝑉ℎ y no en

todo el espacio 𝑉 y así poder implementar en un ordenador, además cada

función 𝑢ℎ ∈ 𝑉ℎ se expresa por una combinación lineal de las 𝑁 funciones.

Formulación equivalente

Se expresa la solución en forma de combinación lineal y se reemplaza 𝑢ℎ =

∑ 𝛼𝑖∅𝑖(𝑥),𝑛𝑖=1 en la formulación de Galerkin, esto permite calcular los

coeficientes 𝛼𝑖, llegando así a plantear la formulación de la ecuación en forma

equivalente.

Formulación matricial

La formulación equivalente anterior se puede expresar en forma matricial,

tomando en consideración cada uno de los integrales con la finalidad de tener

un sistema de ecuaciones lineales, es decir se obtiene un sistema dado en la

forma K𝛼 = 𝑭, o también K𝑈 = 𝑭, donde las coordenadas del vector incógnita

𝑈 que se vayan a calcular, constituyen los valores de la solución aproximada.

Método de elementos finitos

Para resolver el sistema de ecuaciones dado en forma matricial anterior, se

lo hace a través del método de elementos finitos que consiste en definir

funciones base sobre subregiones del dominio, para esto se divide el dominio

en subdominios que no estén superpuestos, lo que permite construir de

manera sistemática las funciones base y aproximar la solución de problemas

de valor de frontera, estableciendo los nodos y longitud de los elementos

finitos conocido como paso de malla, ver Figura 11.

viii

Construcción de las funciones base

Las funciones base están definidas por:

∅𝑖(𝑥) =

{

0, 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 𝑥𝑖−1

𝑥 − 𝑥𝑖−1

ℎ, 𝑠𝑖 𝑥𝑖−1 ≤ 𝑥 ≤ 𝑥𝑖

𝑥𝑖+1 − 𝑥,

ℎ, 𝑠𝑖 𝑥𝑖 ≤ 𝑥 ≤ 𝑥𝑖+1

0, 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 𝑥𝑖+1

Luego se construyen sobre cada elemento finito teniendo como datos las

coordenadas de los nodos y la altura de la ordenada que es 1, para luego

reemplazar en la formulación matricial.

∅𝑖(𝑥𝑗) = {1 𝑠𝑖 𝑖 = 𝑗, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 = 1,2, … ,𝑁0 𝑠𝑖 𝑖 ≠ 𝑗, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑗 = 1,2, … ,𝑁

Es necesario tener un gráfico para visualizar mejor el proceso de construcción

como la fig.10

Cálculo de los elementos finitos

Las funciones calculadas y construidas en el paso anterior sobre cada

elemento finito, se reemplazan en la ecuación matricial, se debe observar que

una función comparte dos soportes del elemento finito, por lo que se tienen

que calcular cuatro elementos que nacen de hacer la combinación entre ellos

La resolución de los integrales se hace utilizando técnicas analíticas de

integración y aplicación de la regla del trapecio para funciones conocidas o

desconocidas, y una vez calculado los elementos se forma la matriz de rigidez

local; en esta forma los elementos finitos calculados quedan en función del

paso de malla ℎ, las propiedades de las matrices juegan un papel importante

porque se reducen algunos cálculos.

El cálculo se hizo para cinco elementos finitos uno por uno; y luego en forma

general, ver Figura 14.

Matriz de rigidez local y de carga

Para formar la matriz local se analizan cuatro casos del elemento finito, y dos

para el vector de carga recorriendo todos y cada uno de los elementos de la

malla, obteniéndose matrices locales de orden 2 × 2 y 2 × 1

ix

respectivamente, las mismas que contienen las contribuciones de cada

elemento finito, donde 𝑢𝑘 permanece fijo.

𝐴𝑖 = [𝑎(𝜙

1, 𝜙

1) 𝑎(𝜙

1, 𝜙

2)

𝑎(𝜙2, 𝜙

1) 𝑎(𝜙

2, 𝜙

2)]

𝐵𝑖 = [𝑏(𝜙

1, 𝜙

1)

𝑏(𝜙2, 𝜙

1)]

Ensamblaje de la matriz de rigidez global

Se establece la matriz global de 𝑛 × 𝑛 y el vector de cargas 𝑛 × 1, ambos

inicialmente nulos.

𝐾 = [

0000

0000

0000

0000

]

𝐹 = [

0000

]

A continuación se reescribe la ecuación local en términos de la numeración

global y reemplaza en el sistema matricial de ecuaciones, para el primer

elemento (primera matriz) se tiene:

[ 𝑘11(1)

𝑘21(1)

00

𝑘12(1)

𝑘22(1)

0 0

0000

0000]

[

𝑢1𝑢2𝑢3𝑢4

] =

[ 𝐹1

(1)

𝐹2(1)

00 ]

Para el segundo elemento (segunda matriz)

[ 0000

0

𝑘11(2)

𝑘21(2)

0

0

𝑘12(2)

𝑘22(2)

0

0000]

[

𝑢1𝑢2𝑢3𝑢4

] =

[ 0

𝐹1(2)

𝐹2(2)

0 ]

x

Para el tercer elemento (tercera matriz)

[ 0000

0000

00

𝑘11(3)

𝑘11(3)

00

𝑘11(3)

𝑘11(3)]

[

𝑢1𝑢2𝑢3𝑢4

] =

[ 00

𝐹1(3)

𝐹2(3)]

La matriz global se obtiene agregando las contribuciones de todos los

elementos, es decir la combinación de las ecuaciones anteriores dando como

resultado:

[ 𝑘11(1)

𝑘21(1)

00

𝑘12(1)

𝑘22(1)+ 𝑘11

(2)

𝑘21(2)

0

0

𝑘12(2)

𝑘22(2)+ 𝑘11

(3)

𝑘21(3)

00

𝑘12(3)

𝑘22(3)]

[

𝑢1𝑢2𝑢3𝑢4

] =

[ 𝐹1

(1)

𝐹1(1)+ 𝐹1

(2)

𝐹2(2) + 𝐹1

(3)

𝐹2(3)

]

Es decir las matrices se van colocando en la dirección de la diagonal principal,

resultando una matriz tridiagonal

Se deben tomar en cuenta las condiciones de frontera: en la primera matriz

el término 𝑎22 y en la última el término 𝑎11.

Todo este proceso genera un sistema lineal de ecuaciones por lo general muy

grande para ser resuelto a mano, pero con el uso de los ordenadores un

sistema por ejemplo de 10 000 ecuaciones con 10 000 incógnitas casi

imposible de resolver a mano, con el uso del computador se resuelve en

segundos.

Ejemplos de prueba para ser comprobados a través del pseudocódigo en

Matlab

Se fija una función 𝑢 (𝑥, 𝑡) como solución exacta, que cumpla las condiciones

iniciales y de frontera, a continuación se deriva con respecto a la variable 𝑡,

después se deriva dos veces con respecto a la variable 𝑥 y todos estos

resultados se reemplazan en la ecuación original de difusión-reacción y de

esta forma se obtiene la solución 𝑓 (𝑥, 𝑡) aproximada, para ser comparadas

posteriormente, de esta forma es lo que se construye un ejemplo particular

para la ecuación de difusión-reacción, cuya solución 𝑢 se conoce.

xi

Pseudocódigo para ser implementado en Matlab

Se escribe el pseudocódigo para resolver numéricamente la ecuación,

utilizando el programa computacional Matlab, para obtener la solución exacta

y aproximada, también se visualizan las respectivas gráficas para ver si

coinciden o no, ver anexos.

Cálculo de errores

Primero se hace el cálculo del error en función del paso temporal ℎ𝑡, con ℎ

constante para 𝑁 = 100, luego el cálculo de errores en función del paso

espacial ℎ, con ℎ𝑡 constante para 𝑀 = 100 y de esta forma saber qué tan

lejos están los resultados de la solución exacta en comparación con la

numérica, los mismos que se muestran en la tabla de anexos.

1.6 Proceso de resolución de la ecuación de difusión-reacción.

Se visualiza en el siguiente cuadro sinóptico:

xii

Pro

ce

so

pa

ra r

es

olv

er

la

Ec

ua

ció

n D

ifu

sió

n-

Rea

cc

ión

Descripción y Generalidades de

la Ecuación Difusión-Reacción

Fluidos

Principios

Procesos

Nociones de las EDO

Orden y Grado

CIondiciones Iniciales

Condiciones de frontera

Dirichlet u(0,t)=u(1,t)=0

Neumann

Mixtas

Ecuaciones Diferenciales lineales

de orden n

Método de variación de parámetros

Métodos de Resolución

Analíticos Integración

Por Sustitución

Por partes Se utiliza en la formulación

variacional

De funciones racionales

Numéricos Trapecio

Euler

Explícito

Mejorado

ImplícitoPara discretizar la variable temporal t en

Ecuación Difusión-Reacción

Método de Galerkin y Formulación para

discretizar la variable espacial x.

Discretización de t Euler implícito

Solución Analítica

Método de Variación de parámetros

Discretización espacial

Formulación Variacional o débil

Se necesita: - Espacio Vectorial - Integración por partes - Con F v(0)=v(1)=0

Método de Galerkin

Se necesita:

Espacio Vectorial Vh, función base li Propiedades del método

Formulación Matricial

Se necesita:

-Matrices

xiii

Figura 1. Metodología para resolver la Ecuación de Difusión- Reacción

Pro

ce

so

pa

ra r

es

ove

r la

Ec

ua

ció

n

Dif

us

ión

-Rea

cc

ión

Método elementos finitos MEF

Construcción de las

funciones base

Dividir el intervalo [0,1]

Definición función base

Propiedades

Matrices de rigidez

propiedades

Sumabilidad

Escasez de números de coeficientes diferentes de cero

Simétrica

Cálculo de los EF

Para cinco elementos

De forma general

Ensamblaje de las matrices de

rigidez

Local

Global

De carga

Resultados

Algoritmo, Flujograma y Pseudocódigo

Ejemplos de prueba

Gráficos e interpretación

-Solución Exacta

-Solución Aproximada

Cálculo de errores

h=cte; N=100, Error 1,2, inferior, ht variable

ht=cte; N=100, Error 1,2, inferior, h variable

Gráficos de errores e

interpretación

Errores en función de ht Método Euler es lineal

Errores en función de h Método Galerkin es

cuadrático

xiv

CAPÍTULO II

2. ECUACIÓN DE DIFUSIÓN-REACCIÓN GENERALIDADES

2.1. Antecedentes de la investigación

Según Enrique Zuaza describe de una manera muy resumida la forma de

obtener aproximaciones finito-dimensionales convergentes de problemas

variacionales de la forma

{𝑣 ∊ 𝑉

𝐴(𝑢, 𝑣) = 𝐹(𝑣), ∀𝑣 ∊ 𝑉

- Considera una familia de subespacios de dimensión finita 𝑉

- El sistema de ecuaciones que obtiene lo expresa en forma matricial

([2], p.347)

Según Geovanny Calderón señala que el método de Galerkin se basa en una

sucesión finita de subespacios de dimensión finita

- Considera un espacio 𝑉 de Hilbert

- Selecciona un conjunto de funciones linealmente independientes en 𝑉

- Busca la solución 𝑢ℎ ∈ 𝑉ℎ, en la formulación variacional

([3], p.48)

Según Fernando Flores describe que el método de Galerkin se basa en una

sucesión finita de subespacios de dimensión finita

- Utiliza funciones de base

- Plantea el sistema de ecuaciones en forma matricial

- La matriz de rigidez es simétrica

([4], p.8)

Como se puede observar, hay muy poca información sobre una metodología de

cómo resolver una ecuación de difusión-reacción, donde se enfoque a

desarrollar en forma minuciosa cada una de sus etapas.

xv

La enseñanza tradicional se ha centrado en la transmisión de contenidos teóricos

enfocados en la formación profesional del educando universitario, dejando a un

lado el componente metodológico de enseñanza que se necesita aplicar en el

aula de clase ([5], p.6)

“Una metodología didáctica supone una manera concreta de enseñar, método

supone un camino y una herramienta concreta que se utiliza para transmitir los

contenidos, procedimientos y principios a los estudiantes” ([6], p.3)

Es decir la metodología es una secuencia de pasos o procesos bien organizados

y coordinados entre sí, que haya relación y coherencia entre ellos, y de esta

forma facilitar la comprensión de los mismos. La finalidad o propósito de una

metodología es que a partir de un proceso detallado, se explique con claridad los

temas abstractos y los transforme en aspectos entendibles y claros.

¿Qué significa desarrollar una metodología?

Se requiere de conocimientos previos del tema y poner los conocimientos

de forma clara, concisa y ordenada a los estudiantes.

Dar en forma coherente y entendible los objetivos, contenidos y

procedimientos de resolución del problema.

Adaptar los conocimientos al estudiante que se le está impartiendo

Explicar en forma clara de manera que todos entiendan ([6], p.69).

2.2 Descripción de la ecuación de difusión-reacción unidimensional

Los problemas de Fenómenos de Transporte (transferencia de calor,

movimiento, masa) obedecen a ecuaciones diferenciales tipo parabólico, dadas

por (1).

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝐴(𝑥, 𝑡)

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2+ 𝐵(𝑥, 𝑡)

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝐶(𝑥, 𝑡) + 𝐷(𝑥, 𝑡) = 0 (1)

Donde 𝑡 es la coordenada temporal; 𝑥 es la coordenada espacial, estas son

variables independientes, 𝑦 es la variable dependiente. ([7], p. 1)

Si se combinan los procesos de difusión y reacción resulta la (2)

xvi

{ 𝜕𝑡𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝐷∆𝑢(𝑥, 𝑡) + 𝑓(𝑢(𝑥, 𝑡)) 𝑒𝑛 Ω × ℝ

+

𝑢(𝑥, 0) = 𝑢0(𝑥) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ∈ Ω, (2)

{

𝑢(𝑥, 𝑡) = 0 𝑒𝑛 Ω × ℝ+, (𝑝𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑟𝑖𝑐ℎ𝑙𝑒𝑡 ℎ𝑜𝑚𝑜𝑔é𝑛𝑒𝑜),

𝜕𝑢(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑛= 0 𝑒𝑛 Ω × ℝ+, (𝑝𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎 𝑁𝑒𝑢𝑚𝑎𝑛𝑛 ℎ𝑜𝑚𝑜𝑔é𝑛𝑒𝑜)

([8], p. 3)

Para el presente estudio en particular, se tiene la ecuación de difusión-

reacción unidimensional que se plantea de la siguiente manera:

Hallar 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑡) tal que (3)

{

𝑑𝑢

𝑑𝑡− 𝐷

𝑑2𝑢

𝑑𝑥2+ 𝑅𝑢 = 𝑓 (𝑥, 𝑡) 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 [0, 𝐿 ] × [0, 𝑇 ]

𝐶𝐼: 𝑢(𝑥, 0) = 𝑢0(𝑥) = 0

𝐶𝐹: 𝑢(0, 𝑡) = 𝑢 (1, 𝑡) = 0 ∀ 𝑡 ∈ [0, 𝑇 ] , ∀𝑥 ∈ [0, 𝐿]

(3)

Donde 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑡), es la concentración de la especie estudiada en el fluido;

𝐷, 𝑅 son funciones constantes, 𝑓(𝑥, 𝑡) es la función fuente de generación del

fluido.

2.3 Fluidos

Fluido es aquella sustancia, que debido a su poca cohesión intermolecular,

carece de forma propia y adopta la forma del recipiente que lo contiene. ([9], p.

13), en tal sentido pueden ser líquidos o gases.

Al comparar sólidos, líquidos y gases se observa que:

Los sólidos ofrecen gran resistencia al cambio de forma y volumen; los

líquidos ofrecen gran resistencia al cambio de volumen, aunque no en su forma,

los gases no presentan mayor resistencia al cambio de forma y volumen.

xvii

Flujo compresible: La compresibilidad es el cambio de volumen 𝑉 que sufre

una sustancia cuando está expuesta a una presión. Este fenómeno se mide

con el módulo volumétrico de elasticidad (𝐸) ([10], p. 13) dado por (1).

𝐸 =−∆𝑝

(∆𝑉)𝑉⁄, ∆𝑉 ≠ 0 (1)

Donde ∆𝑝 representa la variación de la presión, en consecuencia 𝐸 tiene las

mismas unidades que la presión, por cuanto el denominador es adimensional.

∆𝑉 es la variación del volumen del fluido, 𝑉 representa el volumen final

Flujo incompresible: Es cuando la densidad del flujo permanece

aproximadamente constante, de esta manera el volumen permanece invariable

durante su movimiento. ([11], p. 10)

2.4 Principios fundamentales del flujo de fluidos.

Conservación de la masa.

Energía cinética.

Cantidad de movimiento. ([12], p. 70).

Conservación de la energía: La energía no se crea ni se destruye; sólo se

transforma, permanece constante; es la misma antes y después de cada

transformación

Conservación de la masa

La masa no se crea ni se destruye durante un proceso, solo se transforma

(𝑅𝑎𝑧ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑠𝑎

𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑎𝑙 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙) = (

𝑅𝑎𝑧ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙

)

([13], p 389).

Conservación de la cantidad de movimiento

La cantidad de movimiento de un sistema permanece constante cuando la fuerza

neta que actúa sobre él es cero ([11], p 172).

xviii

Flujo de fluidos

Los fluidos pueden fluir en forma permanente o no; uniforme o variable;

laminar o turbulento; unidimensional, bidimensional o tridimensional; rotacional

o no.

“Permanente, si el fluido no varía con el tiempo las características de éste,

como la velocidad y presión, no permanente si su velocidad cambia. Uniforme

si la velocidad en puntos similares es la misma, no uniforme si sucede lo

contrario. En la configuración laminar el fluido se mueve en láminas paralelas

como por ejemplo la glicerina en un recipiente circular, contrario a la corriente

de régimen turbulento” ([9], pp. 89-90).

En el flujo unidimensional de un fluido incompresible, el módulo, dirección y

sentido de la velocidad son los mismos ([12], p.71) vista en Figura 3 y Figura 4

Flujo

{

Permanente: {

La velocidad es contante respecto al tiempo𝜕𝑣

𝜕 𝑡= 0 pero puede variar en el espacio.

No permanente: {

Las condiciones en un punto cambian con el tiempo𝜕𝑣

𝜕 𝑡≠ 0

Uniforme: {El vector velocidad es constante ∂𝑣

∂ s= 0

No uniforme: {El vector velocidad no es constante ∂𝐯

∂ s≠ 0

Figura 2. Tipos de flujo1

Figura 3. Flujo del agua2

3 Basado en: Giles, 1970, p. 71. 2 Basado en: Khan Academy, s.f.

xix

Procesos de transporte de masa

Difusión: Cuando un fluido contiene varios componentes con

concentraciones diferentes en distintos puntos, existe un proceso de intercambio

de masa en el sistema de la zona de más alta concentración a la zona de más

baja concentración. ([14], p. 87)

Si un sistema está en equilibrio, la difusión no sucede, este fenómeno se da

por diferencia de densidades, diferencias de temperatura y de presión, etc.

Ejemplos de fenómenos de difusión:

Al diluir una cucharada de azúcar en un vaso de agua, las moléculas de

sacarosa se difunden en el agua.

La difusión de los gases se siente de la persona perfumada, lo mismo

sucede cuando alguien fuma en un lugar cerrado.

Ver en Figura 4.

Figura 4. Ejemplificación de difusión de tinta en agua3

Reacción: Es el proceso mediante el cual una o más sustancias se

transforman y dan origen a otras.

En este fenómeno las partículas pueden tener reacciones químicas o

procesos biológicos, debido a interacciones de manera espontánea. En un

3 Basado en: (Pngtree, s.f.)

xx

modelo poblacional en el que 𝑝(𝑡) representa la densidad de la población en un

tiempo 𝑡, viene dado por la (4).

𝑑𝑝

𝑑𝑡= 𝑓(𝑝) (4)

Ejemplos físicos de las ecuaciones difusión-reacción son genética

poblacional, dispersión de mamíferos, etc. ([8], p. 2)

Un fenómeno regido por procesos de difusión y reacción se caracteriza por la

presencia de distribuciones espacio-temporales de las especies involucradas.

2.5 Nociones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Definición (de ecuación diferencial) Una ecuación que establece una

relación entre la variable independiente 𝑥 , la función buscada 𝑓(𝑥) y sus

derivadas 𝑦′, 𝑦′′, … , 𝑦(𝑛) se llama ecuación diferencial.

Simbólicamente se expresa así:

𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦1, … , 𝑦𝑛) = 0, con 𝑛 + 2 variables reales y 𝑛 ≥ 1 ([15], p.1016).

Ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias:

𝑦′′ + 3𝑦′ − 5𝑦 = 1

𝑦′′ + 𝑦 = 𝑒𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥

𝑑𝑢

𝑑𝑡− 𝐷

𝑑2𝑢

𝑑𝑥2+ 𝑅𝑢 = 𝑓 (𝑥, 𝑡), 𝑢 ∊ [0, 𝐿 ] × [0, 𝑇 ]

Orden de la ecuación diferencial

Es el de la derivada de mayor orden contenida en ella y viene dada por la

máxima derivada de la función incógnita 𝑦 = (𝑓𝑥)

Ejemplos:

𝑦′ = 𝑒𝑥 + 𝑦, 𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑜

𝑦′′ − 𝑦′ = 𝑒𝑥, 𝑆𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜

𝑦′′′ + 2𝑦′′ + 𝑦′ − 2𝑦 = 0, 𝑇𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟𝑜

xxi

𝑎𝑛(𝑥)𝑑𝑛𝑦

𝑑𝑥𝑛+ 𝑎𝑛−1(𝑥)

𝑑𝑛−1𝑦

𝑑𝑥𝑛−1+⋯ , 𝑎1(𝑥)

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑎0(𝑥) = 0, 𝑂𝑟𝑑𝑒𝑛 𝑛

([16], p. 37)

Grado de una ecuación diferencial

Es el exponente de la derivada de más alto orden.

Ejemplos:

(𝑑𝑦

𝑑𝑥)4

+ (𝑑2𝑦

𝑑𝑥2)3

+ 𝑦 = 𝑒3𝑥 Segundo orden y tercer grado

(𝑦′)5 + (𝑦′′)2 + (𝑦′′′)4 = 5𝑒𝑥 Tercer orden y cuarto grado

Se llama solución de la ecuación diferencial a una función ∅ definida en el

intervalo real 𝐼 que tiene derivada hasta el orden 𝑛, si la sustitución

𝑦 = ∅(𝑥) , 𝑦′ = ∅′(𝑥),… , 𝑦(𝑛) = ∅(𝑛)(𝑥) , para cada 𝑥 de 𝑓 convierte la

ecuación 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦′, … , 𝑦(𝑛)) = 0 en una identidad.

2.6 Condiciones iniciales y de frontera

A más de calcular las soluciones generales, interesa determinar las soluciones

particulares de la ecuación propuesta, que satisfagan ciertas condiciones que se

imponen al momento de resolver la ecuación diferencial; y pueden ser iniciales y

de frontera. ([16], p. 38)

2.6.1 Condiciones Iniciales:

Se dan para hallar las soluciones particulares, ya que sin éstas, sólo se

obtienen soluciones en forma general. Un problema con condiciones iniciales se

denomina de Cauchy.

Se pide resolver 𝑦′ = 𝜑(𝑥, 𝑦) , esta ecuación tiene infinito número de

soluciones y lo que desea es calcular una solución que satisfaga una condición

inicial de la forma 𝑦(𝑥0) = 𝑦0.

xxii

Al conjunto:

{ 𝑦′ = 𝜑(𝑥, 𝑦),

𝑦(𝑥0) = 𝑦0 (3)

Se denomina problema de valor inicial. ([17], p. 8)

Un ejemplo es la ecuación de difusión-reacción:

{

𝑑𝑢

𝑑𝑡− 𝐷

𝑑2𝑢

𝑑𝑥2+ 𝑅𝑢 = 𝑓 (𝑥, 𝑡) 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 [0, 𝐿 ] × [0, 𝑇 ]

𝐶𝐼: 𝑢(𝑥, 0) = 𝑢0(𝑥) = 0

𝐶𝐹: 𝑢(0, 𝑡) = 𝑢 (1, 𝑡) = 0 ∀ 𝑡 ∈ [0, 𝑇 ] , ∀𝑥 ∈ [0, 𝐿]

(4)

2.6.2 Condiciones de Frontera

Hay tres tipos principales de condiciones de frontera, llamadas también

condiciones de contorno o de borde, sirven para relacionar la interacción del

fenómeno con el medio o entorno que lo rodea. Es una condición que la solución

debe cumplir o satisfacer en dos o más puntos; y son: De Dirichlet, Neumann y

Mixtas.

Condición de Dirichlet

{−𝑢′′ + 𝑐𝑢 = 𝑓 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 ]0, 𝐿[𝑢 = 𝑔

Si 𝑔 = 0, se llama condición de frontera de Dirichlet homogénea esto implica

que 𝑢 = 0, ejemplo:

{ 𝑑𝑢

𝑑𝑡− 𝐷

𝑑2𝑢

𝑑𝑥2+ 𝑅𝑢 = 𝑓 (𝑥, 𝑡) 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 [0, 𝐿 ] × [0, 𝑇 ]

𝑢(0, 𝑡) = 𝑢 (1, 𝑡) = 0,

Si 𝑔 ≠ 0 se denomina condición de frontera de Dirichlet no homogénea, es

decir 𝑢 = 𝑔, ejemplo:

{

−𝑢′′ + 𝑐𝑢 = 𝑓 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 ]0, 𝐿[

𝑢(0) = 𝑎 𝑢(𝐿) = 𝑏

xxiii

Condición de Neumann

{−𝑢′′ + 𝑐𝑢 = 𝑓 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 ]0, 𝐿[

𝑢′ = 𝑔

Luego si 𝑔 = 0 , implica que 𝑢′ = 0 , se llama condición de Neumann

homogénea, ejemplo:

{−𝑢′′ + 𝑐𝑢 = 𝑓 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 ]0, 𝐿[

𝑢′(0) = 𝑢′(𝐿) = 0

En cambio si 𝑔 ≠ 0 se denomina condición de Neumann no homogénea

ejemplo:

{

−𝑢′′ + 𝑐𝑢 = 𝑓 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 ]0, 𝐿[

𝑢′(0) = 𝑎 𝑢′(𝐿) = 𝑏

Condiciones mixtas

Es la combinación de las dos anteriores, que satisfacen la siguiente relación

ejemplo:

{

−𝑢′′ + 𝑐𝑢 = 𝑓 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 ]0, 𝐿[

𝑢(0) = 𝑎 𝑢′(𝐿) = 𝑏

2.7 Ecuaciones diferenciales lineales de orden n

Son de la forma

𝐿(𝑦) = ℎ

Donde 𝐿 es un operador diferencial lineal de orden 𝑛 de la forma:

𝑎𝑛(𝑥)𝐷𝑛 + 𝑎𝑛−1(𝑥)𝐷

𝑛−1 +⋯+ 𝑎1(𝑥)𝐷 + 𝑎0(𝑥),

La ecuación diferencial 𝐿(𝑦) = ℎ se escribe también en la forma.

[(𝑎𝑛(𝑥)𝐷𝑛 + 𝑎𝑛−1(𝑥)𝐷

𝑛−1 +⋯+ 𝑎1(𝑥)𝐷 + 𝑎0(𝑥)](𝑦(𝑥)) = ℎ(𝑥)

O también

𝑎𝑛(𝑥)𝑦𝑛(𝑥) + 𝑎𝑛−1(𝑥)𝑦

𝑛−1 +⋯+ 𝑎1(𝑥)𝑦′(𝑥) + 𝑎0(𝑥)𝑦(𝑥) = ℎ(𝑥)

xxiv

𝑎𝑛(𝑥)𝑑𝑛𝑦

𝑑𝑥𝑛+ 𝑎𝑛−1(𝑥)

𝑑𝑛−1𝑦

𝑑𝑥𝑛−1+⋯+ 𝑎1(𝑥)

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑎0(𝑥))(𝑦(𝑥)) = ℎ(𝑥)

([17], p. 107)

2.7.1 Solución general de una ecuación diferencial lineal

𝑦′′ + 𝑝(𝑥)𝑦′ + 𝑞(𝑥)𝑦 = 𝑓(𝑥)

La solución general viene dada como la suma de una solución homogénea

asociada 𝑦ℎ(𝑥), más una particular 𝑦𝑝(𝑥).

𝑦𝐺(𝑥) = 𝑦ℎ(𝑥) + 𝑦𝑝(𝑥)

Donde 𝑦ℎ = 𝐶1𝑦1 + 𝐶2𝑦2, 𝑦𝑝 = 𝑢1𝑦1 + 𝑢2𝑦2

2.7.2 Método de variación de parámetros

Se utiliza para determinar la solución particular no homogénea 𝐿(𝑦) = ℎ(𝑥)

de la forma 𝑦𝑝(𝑥) = 𝑐1(𝑥)𝑢1(𝑥) + 𝑐2(𝑥)𝑢2(𝑥) + ⋯+ 𝑐𝑛(𝑥)𝑢𝑛(𝑥) donde

𝑐1(𝑥) + 𝑐2(𝑥) + ⋯+ 𝑐𝑛(𝑥). Son funciones, además se calcula la solución

homogénea asociada 𝑦ℎ(𝑥), la solución general se expresa como:

𝑦𝐺(𝑥) = 𝑦ℎ(𝑥) + 𝑦𝑝(𝑥)

𝑦ℎ(𝑥) se calcula utilizando el anulador, y 𝑦𝑝(𝑥) se calcula resolviendo el

siguiente sistema de ecuaciones:

{

𝑐1′(𝑥)𝑢1(𝑥) + 𝑐2

′ (𝑥)𝑢2(𝑥) + ⋯+ 𝑐1′(𝑥)𝑢𝑛(𝑥) = 0

𝑐1′(𝑥)𝑢1

′ (𝑥) + 𝑐2′ (𝑥)𝑢2

′ (𝑥) + ⋯+ 𝑐𝑛′ (𝑥)𝑢𝑛

′ (𝑥) = 0⋮

𝑐1′(𝑥)𝑢1

(𝑛−1)(𝑥) + 𝑐2′ (𝑥)𝑢2

(𝑛−1)(𝑥) + ⋯+ 𝑐𝑛′ (𝑥)𝑢𝑛

(𝑛−1)(𝑥) = 𝑓(𝑥)

Cuyo proceso siguiente es:

i. Hallar 𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑛 soluciones linealmente independientes de la

ecuación homogénea asociada 𝑦′′ + 𝑝(𝑥)𝑦′ + 𝑞(𝑥)𝑦 = 0, de la forma

𝑦ℎ = 𝐶1𝑦1 + 𝐶2𝑦2 +⋯+ 𝐶𝑛𝑦𝑛 utilizando el operador anulador.

ii. Determinar el Wronskiano dado por 𝑊[𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑛]

iii. Hallar 𝑢1′ , 𝑢2

′ , … , 𝑢𝑛′

iv. Se integran 𝑢1′ , 𝑢2

′ , … , 𝑢𝑛′ para hallar 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛

v. Determinar la ecuación particular 𝑦𝑝 = 𝑢1𝑦1 + 𝑢2𝑦2 +⋯+ 𝑢𝑛𝑦𝑛

xxv

Este método se lo utiliza para resolver en forma analítica la ecuación de

difusión-reacción luego de ser discretizada tanto por Euler implícito como por el

de Galerkin.

2.8 Métodos para resolver una ecuación diferencial

Son los analíticos que se basan en la integración, pero son limitados porque

no se dispone para todos los casos que se presenta una ecuación diferencial, de

un método que determine la solución exacta, por lo que es necesario determinar

soluciones aproximadas a las ecuaciones planteadas, esto se lo hace a través

de los métodos numéricos según la Figura 5.

𝑀é𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛

{

𝐴𝑛𝑎𝑙í𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠 {

𝑀é𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑀é𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠

𝑁𝑢𝑚é𝑟𝑖𝑐𝑜𝑠

{

𝑀é𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝐸𝑢𝑙𝑒𝑟 {

𝐸𝑥𝑝𝑙í𝑐𝑖𝑡𝑜 𝑀𝑒𝑗𝑜𝑟𝑎𝑑𝑜

𝐼𝑚𝑝𝑙í𝑐𝑖𝑡𝑜{𝐷𝑖𝑠𝑐𝑟𝑒𝑡𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑡

𝑀é𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑎𝑝𝑒𝑐𝑖𝑜{𝐶á𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠 𝐸𝐹

Figura 5. Clasificación de métodos.

2.8.1 Métodos analíticos: Método de integración por partes.

El método de integración por partes, es conveniente describirlo, porque es

utilizado para la integración de la ecuación diferencial difusión-reacción

cuando se hace la formulación variacional. Ver anexo 1

Sean 𝑢 𝑦 𝑣 dos funciones derivables con respecto a 𝑥

∫𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫𝑣𝑑𝑢 + 𝐶

([15], p.904)

xxvi

Métodos Numéricos

2.8.2 Integración Numérica: Método del trapecio

Por definición si 𝑓es continua en [𝑎, 𝑏], la integral definida ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎 es

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎= lim

‖∆𝑥‖→0∑ 𝑓(𝑥𝑖)∆𝑥𝑖𝑛𝑖=1 . Ver Figura 6.

Figura 6. Interpretación geométrica de la integral definida

Aplicando la integral definida

∫ 𝑓(𝑥)𝑏

𝑎𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)

𝑥1

𝑎𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥)

𝑥2

𝑥1𝑑𝑥 +⋯+ ∫ 𝑓(𝑥)

𝑥1

𝑥𝑖−1𝑑𝑥 +⋯+ ∫ 𝑓(𝑥)

𝑏

𝑥𝑛−1𝑑𝑥

(1)

Como el área de cada trapecio es

1

2[𝑓(𝑥0) + 𝑓(𝑥1)]∆𝑥;

1

2[𝑓(𝑥1) + 𝑓(𝑥2)]∆𝑥…;

1

2[𝑓(𝑥𝑛−1) + 𝑓(𝑥𝑛)]∆𝑥

∫ 𝑓(𝑥)𝑏

𝑎𝑑𝑥 ≈

1

2[𝑓(𝑥0) + 𝑓(𝑥1)]∆𝑥 +

1

2[𝑓(𝑥1) + 𝑓(𝑥2)]∆𝑥 + ⋯+

1

2[𝑓(𝑥𝑛−2) +

𝑓(𝑥𝑛−1)]∆𝑥 +1

2[𝑓(𝑥𝑛−1) + 𝑓(𝑥𝑛)]∆𝑥 (2)

∫ 𝑓(𝑥)𝑏

𝑎𝑑𝑥 =

1

2 ∆𝑥[𝑓(𝑥0) + 2𝑓(𝑥1) + 2𝑓(𝑥2) + ⋯+ 2𝑓(𝑥𝑛−1) + 𝑓(𝑥𝑛)] (3)

([18], p.593)

xxvii

Ejemplo:

Calcular la siguiente integral para 𝑛 = 6, determinar el valor aproximado y

exacto con 3 cifras decimales y comparar los resultados:

∫𝑑𝑥

16 + 𝑥2

3

0

Solución:

El intervalo de integración es [𝑎, 𝑏] = [0,3] y 𝑛 = 6,

∆𝑥 = 𝑏 − 𝑎

𝑛=3

6= 0.5

∫𝑑𝑥

16 + 𝑥2≈0.5

2[𝑓(𝑥0) + 2𝑓(𝑥1) + 2𝑓(𝑥2) + 2𝑓(𝑥3) + 2𝑓(𝑥4) + 2𝑓(𝑥5) + 𝑓(𝑥6)]

3

0

𝑓(𝑥) = 1

(16 + 𝑥2)

El estudiante debe realizar el desarrollo del proceso para obtener la siguiente

tabla de valores y de esta manera comprender con facilidad la regla del trapecio.

Tabla 1. Método del trapecio

𝑖 𝑥𝑖 𝑓(𝑥𝑖) 𝑘 𝑘 ∙ 𝑓(𝑥𝑖)

0 0.0 0.0625 1 0.0625

1 0.5 0.0615 2 0.1231

2 1.0 0.0588 2 0.1176

3 1.5 0.0548 2 0.1096

4 2.0 0.0500 2 0.1000

5 2.5 0.0449 2 0.0899

6 3.0 0.0400 1 0.0400

Suma: 0.6427

∫𝑑𝑥

16 + 𝑥2≈ 0.25(0.6427) ≈ 0.1607

3

0

Cálculo del valor exacto:

∫𝑑𝑥

16 + 𝑥2

3

0

=1

4𝑡𝑎𝑛−1 (

𝑥

4)|0

3

xxviii

=1

4𝑡𝑎𝑛−1 (

3

4) −

1

4𝑡𝑎𝑛−1 (

0

4)

≈ 0.161

Se concluye que la solución aproximada está muy cerca de la solución exacta.

([18], p.594).

2.8.3 Método de Euler

Euler Explícito

Se ilustra en la Figura 7.

Figura 7. Método de Euler

Este método sirve para resolver un problema de valor inicial PVI:

{

𝑦′ = 𝑓(𝑥, 𝑦)

𝑦(𝑥0) = 𝑦0

𝑦(𝑥𝑖) =?

Deducción de la fórmula

Se toma una recta suave que pase por 𝑃0(𝑥0, 𝑦0) cuya pendiente sea

𝑓(𝑥0, 𝑦0) =𝑦1 − 𝑦0𝑥1 − 𝑥0

𝑦1 = 𝑦0 + ℎ. 𝑓(𝑥0,𝑦0), ℎ = 𝑥1 − 𝑥0

Se utiliza 𝑦1 para calcular 𝑓(𝑥1, 𝑦1)

𝐶𝑢𝑟𝑣𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛

𝑅𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒

𝑥0 𝑥1

𝑦0

𝑦1

𝐴𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑦(𝑥)

xxix

Con el punto (𝑥1, 𝑦1), se calcula 𝑦2 = 𝑦1 + ℎ. 𝑓(𝑥1,,𝑦1) para obtener (𝑥2, 𝑦2),

Con el punto (𝑥2, 𝑦2), se calcula 𝑦3 = 𝑦2 + ℎ. 𝑓(𝑥2,,𝑦2) para obtener (𝑥3, 𝑦3),

tal que:

𝑦1 = 𝑦0 + ℎ. 𝑓(𝑥0,𝑦0)

𝑦2 = 𝑦1 + ℎ. 𝑓(𝑥1,,𝑦1)

𝑦3 = 𝑦2 + ℎ. 𝑓(𝑥2,,𝑦2)

…

𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + ℎ𝑓(𝑥𝑛, 𝑦𝑛), ℎ = 𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛 𝐸𝑐. 3.

([19], p.340)

Si ℎ es pequeño se tendrá una aproximación buena. Pero si ℎ es más grande,

entonces se habrá mucho error.

Ejemplo: Se pide aproximar 𝑦(0,5) en:

{ 𝑦′ = 𝑦

𝑦(0) = 1

Solución analítica.

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑦 →

𝑑𝑦

𝑦= 𝑑𝑥 ; 𝑙𝑛|𝑦| = 𝑥 + 𝑐 → 𝑦 = 𝑐𝑒𝑥

Como 𝑦(0) = 1 ; 1 = 𝑐𝑒0 ; 𝑐 = 1, luego 𝑦 = 𝑒𝑥, 𝑦(0.5) = 𝑒0.5 = 1.64872.

Solución numérica, ver Figura 8.

Figura 8. Partición del intervalo [0; 0.5]

0 = 𝑥0 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑥5 = 0.5

xxx

ℎ =𝑏 − 𝑎

𝑛 ; ℎ =

0.5 − 0

5 ; ℎ = 0.1

Usar el método de Euler para obtener una aproximación a cuatro decimales

del valor indicado. Determinar la solución explícita para el problema de valor

inicial y después construir una tabla de los valores obtenidos.

{

𝑦′ = 𝑦

𝑦(0) = 1

𝑦(0,5) =?

Explicación del Método

i. Escribir la ecuación diferencial en la forma 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑓(𝑥, 𝑦)

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑦

ii. Definir 𝑥0, 𝑦0, ℎ de acuerdo a los datos del problema

𝑥 0 = 0, 𝑦0 = 0, ℎ = 0,1

iii. Plantear la ecuación de Euler utilizando los datos iniciales

𝑦0+1 = 𝑦0 + ℎ 𝑓(𝑥 0, 𝑦 0)

𝑦1 = 𝑦0 + ℎ 𝑓(𝑥 0, 𝑦 0)

𝑦1 = 1 + 0,1 (1)

Una vez obtenido este primer resultado se repite el proceso iteradamente,

utilizando los nuevos datos.

iv. Desarrollar el método hasta el valor buscado 𝑥, en esta caso 𝑥 = 0,5

Por lo tanto el proceso que se debe iterar es:

{

𝑥0 = 0 𝑥𝑘+1 = 𝑥𝑘 + 0.1, 𝑘 = 0, 1, … , 𝑛 − 1

𝑦𝑘+1 = 𝑦𝑘 + ℎ𝑓(𝑥𝑘, 𝑦𝑘)

𝑦𝑘+1 = 𝑦𝑘 + 0,1(𝑦𝑘) = 1,1𝑦𝑘

Para lograr una mejor comprensión, el estudiante debe realizar el desarrollo

del proceso para obtener la siguiente tabla de valores

xxxi

Tabla 2. Valores aproximados con el Método de Euler

𝑘 𝑥𝑘+1 𝑦𝑘+1 Valor exacto

0 1 1

0 0+0.1=0.1 1+0.1(1)=1.1 1.10517

1 0.1+0.1=0.2 1.1+0.1(1.1)=1.21 1.22140

2 0.2+0.1=0.3 1.21+0.1(1.21)=1.331 1.34985

3 0.3+0.1=0.4 1.331+0.1(1.331)=1.4641 1.49182

4 0.4+0.1=0.5 1.4641+0.1(1.4641)=1.61051 1.64872

La solución aproximada es 𝑦(0.5) ≅ 1.61051

Método de Euler modificado

Aquí se utiliza el promedio de las pendientes o derivadas de las rectas

trazadas

Para el método mejorado se tiene

𝑦1∗ = 𝑦1 + ℎ𝑓(𝑥0, 𝑦0)

𝑦1 = 𝑦0 +(𝑥1 − 𝑥0)

2[𝑓(𝑥0, 𝑦0) + 𝑓(𝑥1, 𝑦1)]

𝑦𝑛+1∗ = 𝑦𝑛 + ℎ𝑓(𝑥𝑛, 𝑦𝑛)

𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 +ℎ

2[𝑓(𝑥𝑛, 𝑦𝑛) + 𝑓(𝑥𝑛+1, 𝑦𝑛+1

∗ )], 𝑛 = 0,1, … , 𝑛 − 1

([19], p.342)

Método Backward Euler (Método implícito de Euler)

El método de Euler implícito se lo utiliza para realizar la discretización de la

variable temporal 𝑡 en la ecuación de difusión-reacción.

Partiendo de la fórmula del Euler explícito

𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + ℎ𝑓(𝑥𝑛, 𝑦𝑛)

Se hace pasar la recta tangente por el punto (𝑥𝑛+1, 𝑦𝑛+1) y se obtiene:

𝑓(𝑥𝑛+1, 𝑦𝑛+1) =𝑦𝑛+1 − 𝑦𝑛𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛

xxxii

𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + ℎ. 𝑓(𝑥𝑛+1, 𝑦𝑛+1) 𝑐𝑜𝑛 ℎ = 𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛

([20], p. 3)

“La diferencia entre el método explícito y el implícito de Euler, es que en el

método explícito utiliza la pendiente en 𝑥𝑛 para obtener el nuevo punto 𝑦𝑛+1. El

Euler implícito utiliza la pendiente en el punto xn+1 , para obtener el nuevo

punto 𝑦𝑛+1 por tanto este método da mejores resultados expresado en (4)” ([21],

p. 128)

𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + ℎ𝑓(𝑥𝑛, 𝑦𝑛) (4) Método explícito

𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + ℎ. 𝑓(𝑥𝑛+1, 𝑦𝑛+1), cuando pasa por el punto (𝑥𝑛+1, 𝑦𝑛+1)

𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + ℎ. 𝑓(𝑥𝑛+1, 𝑦𝑛 + ℎ𝑓(𝑥𝑛+1, 𝑦𝑛+1)) Método implícito

xxxiii

CAPÍTULO III

3. RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE DIFUSIÓN-REACCIÓN.

3.1 Método de Galerkin y formulaciones

Para el desarrollo y resolución de la ecuación de difusión-reacción se plantea el

siguiente procedimiento:

i. Planteamiento de la ecuación

ii. Discretizar la variable temporal 𝑡 a través del método de Euler

implícito.

iii. Solución Analítica: Método de Variación de parámetros

iv. Método de Galerkin y formulaciones:

Discretización de la variable espacial 𝑥 realizando la formulación

variacional o débil, formulación por el método de Galerkin y

formulación matricial

v. Procedimiento de construcción de las funciones base por el método

de elementos finitos (MEF)

vi. Propiedades de la matriz de rigidez

vii. Ensamblaje de las matrices de rigidez

viii. Resolución de la ecuación de difusión-reacción

Planteamiento de la ecuación problema

Hallar 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑡) tal que (1)

{

𝑑𝑢

𝑑𝑡− 𝐷

𝑑2𝑢

𝑑𝑥2+ 𝑅𝑢 = 𝑓 (𝑥, 𝑡) 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 [0, 𝐿 ] × [0, 𝑇 ]

𝐶𝐼: 𝑢(𝑥, 0) = 𝑢0(𝑥) = 0

𝐶𝐹: 𝑢(0, 𝑡) = 𝑢 (1, 𝑡) = 0 ∀ 𝑡 ∈ [0, 𝑇 ] , ∀𝑥 ∈ [0, 𝐿]

(1)

Donde 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑡), es la concentración de la especie estudiada en el fluido;

𝐷, 𝑅 son funciones constantes, 𝑓(𝑥, 𝑡) es la función fuente de generación del

fluido.

xxxiv

3.2 Discretización de la variable temporal 𝒕, por el método de Euler

implícito

Sean 𝑢(𝑥, 𝑡𝑘) = 𝑢𝑘 y 𝑢(𝑥, 𝑡𝑘+1 ) = 𝑢𝑘+1

El método de Euler implícito viene dado por la expresión:

𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + ℎ. 𝑓(𝑥𝑛+1, 𝑦𝑛+1) 𝑐𝑜𝑛 ℎ = 𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛

𝑓(𝑥𝑛+1, 𝑦𝑛+1) =𝑦𝑛+1 − 𝑦𝑛

ℎ

Adaptando el término de la derivada temporal de la ecuación de difusión-

reacción al método de Euler implícito se tiene:

𝑑𝑢𝑘𝑑𝑡

=𝑢𝑘+1 − 𝑢𝑘𝑡𝑘+1 − 𝑡𝑘

;

𝑑𝑢𝑘𝑑𝑡

=𝑢𝑘+1 − 𝑢𝑘

ℎ𝑡;

Donde ℎ𝑡 = 𝑡𝑘+1 − 𝑡𝑘

Por lo tanto el método implícito de Euler consiste en reemplazar la derivada

temporal de 𝑢 por medio de la pendiente

Reemplazando en la Ec.1

𝑢𝑘+1 − 𝑢𝑘ℎ𝑡

− 𝐷𝑑2 𝑢𝑘+1𝑑𝑥2

+ 𝑅 𝑢𝑘+1 = 𝑓𝑘+1(𝑥, 𝑡𝑘)

Sea 𝑓𝑘+1 = 𝑓𝑘+1(𝑥, 𝑡𝑘)

−ℎ𝑡𝐷 𝑑2 𝑢𝑘+1𝑑𝑥2

+ (𝑅ℎ𝑡 + 1)𝑢𝑘+1 = ℎ𝑡 𝑓𝑘+1 + 𝑢𝑘

Si se hace 𝐶 = 𝑅ℎ𝑡 + 1, 𝐸 = ℎ𝑡𝐷 con 𝐷 = 1, 𝑅 = 1

El problema se transforma en hallar: 𝑢𝑘 = (𝑥, 𝑡𝑘) tal que (2)

xxxv

{−𝐸𝑢𝑘+1

′′ + 𝐶 𝑢𝑘+1 = ℎ𝑡 𝑓𝑘+1 + 𝑢𝑘

𝑢(0, 𝑡) = 𝑢 (1, 𝑡) = 0 ∀ 𝑡 ∈ [0, 𝑇 ] , ∀𝑥 ∈ [0, 1 ] (2)

Se debe encontrar en general 𝑢(𝑥, 𝑡), 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, t ≥ 0 a partir de los datos:

𝑢 = (0, 𝑡) = 0, 𝑢 = (1, 𝑡) = 0 , ∀ 𝑡 ∈ [0, 𝑇], ∀ 𝑥 ∈ [0,1].

{

−𝐸𝑢′′ + 𝐶 𝑢 = 𝑓

𝑢(0, 𝑡) = 0 𝑢 (1, 𝑡) = 0

∀ 𝑡 ∈ [0, 𝑇 ] , ∀𝑥 ∈ [0, 1 ]

Donde 𝑢 = 𝑢𝑘+1, 𝑢′′ = 𝑢𝑘+1

′′ , 𝑓 = ℎ𝑡𝑓𝑘+1 + 𝑢𝑘, 𝑘 contador temporal

3.3 Solución Analítica de la ecuación de difusión-reacción

semidiscretizada: Método de Variación de parámetros.

Sea la ecuación −𝐸𝑢′′(𝑥) + 𝐶 𝑢(𝑥) = 𝑓(𝑥) se expresa de la siguiente manera:

𝐸𝑢′′(𝑥) − 𝐶𝑢(𝑥) = −𝑓(𝑥)

Suponiendo que 𝑓(𝑥) = 2 y además 𝐸 = 1, 𝐶 = 1 resulta

𝑢′′(𝑥) − 𝑢(𝑥) = −2

𝑢𝐺 = 𝑢𝐻 + 𝑢𝑃

𝑢𝐻 = (−𝐷2 + 1)𝑢 = 0

(𝐷2 − 1)𝑢 = 0

(𝐷 − 1)(𝐷 + 1)𝑢 = 0

𝑢𝐻 = 𝑐1𝑒𝑥 + 𝑐2𝑒

−𝑥

𝑢𝑃 = 𝑣1(𝑥)𝑒𝑥 + 𝑣2(𝑥)𝑒

−𝑥

En esta etapa se aplica el método de variación de parámetros

{𝑣1′(𝑥)𝑒𝑥 + 𝑣2

′(𝑥)𝑒−𝑥 = 0

𝑣1′(𝑥)𝑒𝑥 − 𝑣2

′(𝑥)𝑒−𝑥 = −2

xxxvi

Para resolver el sistema anterior se utiliza la regla de Cramer

𝑣1′ =

| 0 𝑒−𝑥

−2 −𝑒−𝑥|

|𝑒𝑥 𝑒−𝑥

𝑒𝑥 −𝑒−𝑥|=

2𝑒−𝑥

−𝑒𝑥. 𝑒−𝑥 − 𝑒𝑥. 𝑒−𝑥=2𝑒−𝑥

−2= −𝑒−𝑥

𝑣1(𝑥) = ∫𝑒−𝑥𝑑𝑥 = 𝑒−𝑥

𝑣2′ =

|𝑒𝑥 0𝑒𝑥 −2

|

−2=−2𝑒𝑥

−2= 𝑒𝑥

𝑣2(𝑥) = ∫𝑒𝑥 = 𝑒𝑥

𝑢𝑃 = 𝑒−𝑥. 𝑒𝑥 + 𝑒𝑥𝑒−𝑥 = 2

𝑢𝐺 = 𝑐1𝑒𝑥 + 𝑐2𝑒

−𝑥 + 2

Para determinar las constantes, se utilizan las condiciones de frontera

𝑢(0) = 𝑐1 + 𝑐2 + 2 = 0

𝑢(1) = 𝑐1𝑒 + 𝑐2𝑒−1 + 2 = 0

{𝑐1 + 𝑐2 = −2

𝑐1𝑒 + 𝑐2𝑒−1 = −2

Al resolver se obtiene los siguientes resultados

𝑐1 = −2

1 + 𝑒

𝑐2 = −2𝑒

1 + 𝑒

𝑢𝐺 = −2

1 + 𝑒(𝑒𝑥 + 𝑒1−𝑥) + 2 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑎

xxxvii

3.4 Discretización de la variable espacial 𝒙

Para la formulación variacional y de Galerkin es necesario conocer:

- Método de integración por partes

- Espacios vectoriales (Hilbert)

- Base de un espacio vectorial, independencia lineal

- Sumatorias y propiedades de linealidad

- Funcional bilineal detallados en los Anexos1, 2, 3

3.4.1 Formulación variacional o débil

El problema es hallar 𝑢 = 𝑢𝑘 = (𝑥, 𝑡𝑘) con 𝑥 𝜖 [0,1] tal que (3).

{

−𝐸𝑢′′ + 𝐶 𝑢 = 𝑓

𝑢(0, 𝑡) = 0 𝑢 (1, 𝑡) = 0

∀ 𝑡 ∈ [0, 𝑇 ] , ∀𝑥 ∈ [0, 1 ] (3)

Sea 𝑉 es un espacio vectorial de funciones de dimensión infinita y sea 𝑣 ∈ 𝑉

la función de prueba fija que es cualquier función de 𝑥, tal que:

𝑉 = {𝑣 ∶ [0,1] → ℝ | 𝑣(0) = 𝑣(1) = 0}

Se multiplica por 𝑣 ∈ 𝑉 a los dos miembros de la ecuación (3) y se integra.

∫ −𝐸𝑢′′𝑣 𝑑𝑥 + ∫ 𝐶𝑢𝑣 𝑑𝑥1

0

1

0

= ∫ 𝑓𝑣 𝑑𝑥, ∀ 𝑣 ∈ 𝑉1

0

Se aplica la integración por partes en el intervalo [0,1], al término que contiene

la segunda derivada, esto es ∫ 𝑢′′𝑣 𝑑𝑥1

0, con el propósito de reducir el grado de

la ecuación deferencial, recordando que la fórmula de integración por partes es:

∫𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫𝑣𝑑𝑢 + 𝐶

Sea 𝑝 = 𝑣 → 𝑝′ = 𝑣′ ; 𝑞′ = 𝑢′′ → 𝑞 = 𝑢′

∫ 𝑢′′𝑣 𝑑𝑥1

0= 𝑢′(1) 𝑣(1) − 𝑢′(0) 𝑣(0) − ∫ 𝑢′𝑣′ 𝑑𝑥

1

0

Como 𝑣(0) = 𝑣(1) = 0 lo que se reduce a:

xxxviii

∫ 𝑢′′𝑣 𝑑𝑥1

0

= −∫ 𝑢′𝑣′ 𝑑𝑥1

0

,

Sustituyendo en (3), se obtiene:

∫ (𝐸𝑢′𝑣′ + 𝐶𝑢𝑣) 𝑑𝑥1

0

= ∫ 𝑓𝑣 𝑑𝑥, ∀ 𝑣 ∈ 𝑉1

0

La formulación variacional o débil del problema, visto en (3) es:

Hallar 𝑢 = 𝑢𝑘 ∈ 𝑉 (𝑉 = 𝐻0′) tal que:

∫ (𝐸𝑢′𝑣′ + 𝐶𝑢𝑣) 𝑑𝑥1

0

= ∫ 𝑓 𝑣 𝑑𝑥 ∀ 𝑣 ∈1

0

𝑉 (4)

Si se denota por

𝑎(𝑢, 𝑣) = ∫ (𝐸𝑢′𝑣′ + 𝐶𝑢𝑣) 𝑑𝑥1

0

𝑙(𝑣) = ∫ 𝑓 𝑣 𝑑𝑥 ∀ 𝑣 ∈1

0

𝑉

Así se puede expresar en forma bilineal:

𝑎(𝑢, 𝑣) = 𝑙(𝑣), ∀ 𝑣 ∈ 𝑉

Se dice que 𝑢 ∈ 𝑉 es una solución débil o variacional porque se comprueban

las condiciones de frontera 𝑢(0) = 𝑢(1) = 0, donde 𝑉 es el espacio de la clase

de funciones 𝑣 a trozos que tienen derivada de orden uno, además satisfacen

las condiciones 𝑣(0) = 𝑣(1) = 0.

Si la ecuación (4) se desea resolver tal como está dada “se topa con una

dificultad, porque la formulación débil está hecha en un espacio vectorial de

funciones de dimensión infinita como son los espacios de Hilbert tales como

H0′ (0,1) y por esta razón se hace difícil la implementación numérica en un

programa computacional” ([22], p. 184), se necesita hacer una aproximación de

la solución 𝑢, con otros métodos y para este caso en concreto se ha estimado

xxxix

necesario aplicar el método de Galerkin, que consiste en coger un sub-

espacio 𝑉ℎ de 𝑉 de funciones de dimensión finita 𝑛 y en est