Embed Size (px)
Citation preview
Quinta misión... arte, naturaleza y
matemáticas
Iccanobif y Nietsnie estaban intrigados, observaban a los humanos ydescubrían como se emocionaban ante cosas, objetos que ellos llamabanbellos. Podía ser un paisaje, una flor, un edificio, una escultura, una pintura oal escuchar unos sonidos que definían como música.
¿Por qué esa emoción?
¿Qué podía provocar estos sentimientos en los humanos?
¿Qué tenían en común todos esos objetos, esas cosas?...
Para intentar descubrir este misterio tomaron…
una flor ,
Imagen: flickr.com / steveberardi
una concha marina ,
Imagen: MEC-ITE
una foto de un edificio antiguo admirado e imitado (conocido como el Partenón ),
Imagen: MEC-ITE
una reproducción de un retrato ante el que los humanos se quedaban absortos,parece ser que era conocido como La Gionconda o Mona Lisa
Imagen: Wikimedia commons
y un instrumento musical conocido como violín
Imagen: MEC-ITE
Después de múltiples observaciones, de experimentar con sus imágenes, se dieron cuentade que, curiosamente, la respuesta podría estar en… ¡eureka!… las Matemáticas .
Cada una de estas figuras contiene en su estructura una misteriosa relaciónmatemática . Al dividir entre sí ciertas medidas clave de sus elementos obtenemossiempre el mismo número: 1,618… y esto sin tener en cuenta la escala de la imagen,ni el patrón elegido.
Este número "mágico" también se puede escribir de esta forma:
¿Qué no lo entiendes? No te preocupes, a lo largo del tema veremos muchosejemplos…
1.- Un toque histórico
Imagen: Wikimedia
¿Sabrían los humanos la existencia de esta pauta matemática?Buscaron información y… ¡claro que lo sabían! Esta proporción erabien conocida y utilizada en sus obras artísticas de cualquier época.Se denominaba número de oro , razón áurea y hasta divinaproporción .
Otro nombre para definir esta proporción era phi (φ o ϕ) , en honora un gran escultor y arquitecto griego de la antigüedad llamadoFidias (principal exponente de la época más gloriosa de la Atenas
clásica).
Taller de Fidias
Imagen: Wikimedia commons
Para sabermás…
Si quieres conocer unpoco más la vida y obrade Fidias, puedespulsar en este enlace:
Fidias, su vida ysu obra
Imagen: Wikimedia commons
Pero, ¡qué casualidad!, también se ajustaba al nombre de ungran matemático italiano de comienzos del siglo XIII, conocidocomo Fibonacci (¿te suena de algo este nombre?, piensa,piensa que quizá ya lo hayas visto a lo largo del tema de otraforma...) (su verdadero nombre era Leonardo de Pisa),famoso por la conocida sucesión de Fibonacci , surgidacomo consecuencia del estudio del crecimiento de laspoblaciones de conejos.
Esta sucesión está íntimamente ligada al número áureo…¡Quién podía imaginarse que la reproducción de los conejosencerraba el "secreto" de la belleza!… aunque, ¿hay algo másbello que la vida?
Una sucesión no es mas que una lista de númerosrelacionados entre sí de tal forma que cada uno de ellos se
obtiene haciendo una operación con alguno de los anteriores… pero siempre la mismaoperación.
Objetivos
Los ocho primeros términos de la sucesión de Fibonacci son: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …
Autoevaluación
Pon a prueba tu lógica. ¿Podrías decir cuáles son los dos siguientes términosde esta sucesión, de la sucesión de Fibonacci?
Sucesión de Fibonacci con parejas de conejos: 1, 1, 2, 3, 5, 8…
Imagen: Wikimedia commons
25 y 47
34 y 55
Pregunta de Elección Múltiple
37 y 52
Para saber más…
Si quieres saber algo más sobre la sucesión de Fibonacci , pincha en ésteenlace:
Fibonacci
Objetivos
2.- Descubriendo a phi
¿Cómo descubrieron Nietsnie eIccanobif la proporción áurea?
Fijaos en la forma de nuestra flor,es pentagonal (cinco pétalos),prácticamente regular (podríatraducirse esta regularidad en quelos cinco pétalos son iguales enforma y tamaño). Este modelo seajusta a una figura geométricaconocida como pentágono regularestrellado o pentagrama.
En la imagen de la izquierda se hanseñalado algunos segmentos dedistinto color (verde, violeta, rojo yamarillo) para que lo apreciesmejor.
Si dividimos la medidacorrespondiente al segmento verdeentre la correspondiente al
segmento violeta dará como resultado 1,618…
Igualmente si dividimos la medida del segmentorojo entre el amarillo volverá a dar como resultado1,618…
Este resultado no dependerá de si el pentágonoes mayor o menor, si la unidad de medida quetomemos (en todo caso siempre la misma) seanmilímetros, centímetros, pulgadas o kilómetros. Esuna proporción estable y que siempre dará comoresultado 1,618…, es decir, φ .
Podemos verlo más gráficamente en esta nuevarepresentación:
Pregunta de Elección Múltiple
¿Estarían la diagonal AD y el lado AB de un pentágono regular en proporciónáurea?
Si, siempre.
No.
Depende del tamaño del pentágono.
Seguimos con el segundo objeto :La concha marina conocidatambién como Nautilus:
Esta preciosa pieza nacarada,equivaldría a una de las figurasmatemáticas más bella, la espirallogarítmica .
Tomando una representación dedicha espiral logarítmica, o deDurero, podremos observar unhecho curioso:
Está formada por sucesivos rectángulos en proporción aurea. Por ejemplo el rectánguloABCD es áureo, es decir:
El rectángulo EFCD es igualmente áureo:
Y así sucesivamente. Además podemos ver otra curiosa cualidad de esta espiral:
Para la construcción partimos desde un pequeño rectángulo áureo (de color rojo).
Ayudándonos de arcos iremos construyendocuadrados, que en conjunto irán formandootros rectángulos áureos . De esta formalos arcos trazados constituyen una espirallogarítmica.
Además, podemos observar cómo loselementos de la sucesión o serie deFibonacci aparecen reflejadosproporcionalmente a las unidades de medidaque hayamos usado para la construcción dela espiral. En la imagen de la derecha seobserva mucho mejor:
¿Qué secreta relación habrá entre el número áureo y la sucesión o serie de Fibonacci? Enel siguiente apartado tienes la respuesta, gracias a los conejos.
3.- Los conejos, la sucesión de Fibonacci y
el número de oro
Imagen: MEC-ITE
Supongamos que…
Supongamos que tenemos una pareja deconejos recién nacidos, deberán esperar unmes para poder reproducirse, teniendo unanueva pareja de conejitos. Así, al cabo de dosmeses, serán dos las parejas: la inicial y lapequeñita. En el tercer mes la primera parejase vuelve a reproducir, teniendo una nuevaparejita, los pequeños no se reproducenporque aún deben madurar. En el cuarto mesya hay dos parejas reproductivas y unainmadura, en total cinco.
Si seguimos la misma pauta, aparecerán los números que conforman la serie de Fibonacci,observa la siguiente imagen y la tabla donde recogemos los datos de más meses:
Fin de mes Pares de conejosrecién nacidos
Pares de conejosadultos
Total de pares deconejos
0 1 0 1
1 0 1 1
2 1 1 2
3 1 2 3
4 2 3 5
5 3 5 8
6 5 8 13
7 8 13 21
8 13 21 34
9 21 34 55
10 34 55 89
11 55 89 144
12 89 144 233
Jugando con los términos de la sucesión de Fibonacci (que coinciden, como puedesobservar con el total de pares de conejos) se obtendría una curiosa propiedad:
Propiedad:
Al dividir cada término de la sucesión de Fibonacci entre el término anterior,se va obteniendo un cociente que cada vez se aproxima más y más al valordel número de oro.
Puedes verlo en esta tabla: (Tomamos como valor aproximado de phi, con una precisiónde diez cifras decimales, al número 1,6180339887 )
CocienteDiferencia envalor absolutocon phi
Cifrasdecimales deaproximacióna phi
1 : 1 = 1 0,61803398 ... 0
2 : 1 = 2 0,38196601 ... 0
3 : 2 = 1,5 0,11803398 ... 0
5 : 3 = 1,66666666 ...
0,04863267 ... 1
Actividad
CocienteDiferencia envalor absolutocon phi
Cifrasdecimales deaproximacióna phi
8 : 5 = 1,6 0,01803398 ... 1
13 : 8 = 1, 625 0,00696601 ... 2
21 : 13 =1,61538461... 0,00264937 ... 2
34 : 21 =1,61904776 ... 0,00101363 ... 2
55 : 34 =1,61764705 ...
0,00038692.... 3
Muy importante:
Jamás podremos escribir con cifras el valor exacto de phi,al ser un número irracional , es decir, un número coninfinitas cifras decimales no periódicas .
Por tanto cualquier valor que tomemos para phi no será másque una mera aproximación . Otros números irracionalesfamosos serían π, e, √2, etc...
Cuanto más prolonguemos esta tabla, veremos como el cociente está cada vez máspróximo al valor de las primeras cifras decimales de phi. Los matemáticos tienen unaforma peculiar de transcribir esta propiedad, sería algo así:
No te preocupes, es extraño pero sencillo de comprender, significaría que si seguimosdividiendo cada término de esta sucesión entre el anterior hasta el infinito (bueno, lo másque podamos), llegaremos al valor exacto de phi. Esto es lo que se llama un límite en elinfinito … pero calma, no te lo pediremos... ¿o sí?...
Actividad
Pregunta de Elección Múltiple
¿Cuál es el valor del cociente, con diez cifras decimales,entre los términos vigésimo primero y vigésimo de lasucesión de Fibonacci? ¿A cuántas cifras decimales de phinos aproximaremos?
10946 : 6765 = 1,6180339985 ( aproximación a 7 cifras decimales dephi)
10477 : 6475 = 1,6180694980 ( aproximación a 4 cifras decimales dephi)
10477 : 6475 = 1,6180694980 (aproximación a 5 cifras decimales dephi)
Para saber más…
En esta presentación tienes otros ejemplos de cómo, en muchos casos, laNaturaleza se comporta como un perfecto geómetra:
Armonía natural
Objetivos
Imagen: flickr.com / Salvez
4.- Creando con phi
Imagen: flickr.com / ruifipieggio
Dibujo inspirado en la obra de Mondrian
Imagen: Wikimedia commons
Iccanobif y Nietsnie se sorprendieron aldescubrir que ya desde unas de lasépocas más antiguas de la historia deeste curioso planeta, el llamado antiguoEgipto, se trabajaba siguiendo las pautasde la proporción áurea.
Prueba de ello eran las famosas ymisteriosas pirámides .
Posteriormente se le puso nombre propioal uso de esta proporción de formareiterativa, Fidias y la Acrópolis deAtenas eran, más que un homenaje a losdioses, un homenaje a la razón… a larazón áurea.
Pero les intrigó aún más un "loco" de ladivina proporción, uno de los mayoressabios de la historia humana, el granLeonardo da Vinci . Él era un ejemplo
de unión de ciencia, arte, invención, élera Phi con mayúsculas.
Pero no todo acababa ahí, aún en el arteabstracto, en las construccionescontemporáneas volvía a aparecer una yotra vez esta proporción.
Un ejemplo serían los cuadros de un talMondrian , un homenaje a la
proporción áurea, un ejemplo de bella yestudiada "simplicidad".
Volvamos a nuestros ejemplos, primerouno arquitectónico: el Partenón . Todoél está repleto de la proporción áurea.Este edificio, hoy en forma de "ruinas" esuno de los más imitados a lo largo de lahistoria, ejemplo de equilibrio, sobriedad y grandeza arquitectónica.
En la siguiente imagen se muestran algunos de los rectángulos áureos que esconde entresus viejas piedras:
¿No recuerda a la forma matemática del Nautilus, la espiral?
El otro ejemplo era el cuadro de la Gioconda o Mona Lisa de Leonardo da Vinci, quizá unode los mayores tesoros del Museo del Louvre (Paris). Su rostro, su misteriosa sonrisa, su
Imágenes: Wikimedia commons
mirada, todo está envueltoen una serie de rectángulosáureos.
Un claro ejemplo de"estudiada naturalidad".
¿Cómo se podíaconstruir un rectánguloáureo?
¿Cómo se podía saber
que f = ?
Para saber el procesocompleto, observaatentamente la siguientepresentación:
Construyendo phi
Imagen: Wikimedia Commons
Autoevaluación
En la presentación hemos visto que paradescubrir el valor de phi es necesario elTeorema de Pitágoras, otro de los grandesmatemáticos relacionado íntimamente con laproporción áurea. Vamos a ver si te hasenterado bien, contestando a la siguientecuestión:
¿Cuál es el valor de la hipotenusa de untriángulo rectángulo cuyos catetos midenrespectivamente 3 cm y 4 cm?
7 cm
25 cm
5 cm
Pregunta de Elección Múltiple
En la siguiente presentación te mostraremos otros ejemplos de obras artística de distintasépocas en las que la composición se basa en al proporción áurea:
Arte áureo
Imágenes: MEC
La unión entre Arte y Matemáticas no sólo se basa en la proporción áurea,existen infinidad de ejemplos que llevarían años de estudio.
En Andalucía se encuentran dos ejemplos de interés y belleza sin igual,
La Proporción cordobesa ( c ) y
Los frisos y mosaicos de la Alhambra de Granada.
Pre-conocimiento
Para saber más
En el siguiente enlace tienes una completa información sobre la proporcióncordobesa. Si te gusta el tema puedes seguir navegando por esta mismaunidad didáctica y descubrirás un poco más sobre la relación entre el Arte ylas Matemáticas:
La proporción cordobesa o humana
Observa el siguiente vídeo de la serie "Más por menos" dedicado a losmosaicos de la Alhambra y su relación con las Matemáticas:
Mosaicos y matemáticas
Imagen: Wikimedia commons
También se quedaron maravillados al descubrirla proporción áurea en el violín. ¿Magia?... No,la música, los instrumentos musicales y lasmatemáticas están íntimamente ligados. Dehecho, la primera escala musical,"pentatónica" fue un invento pitagórico y... ¿tesuena el término pentagrama...?
Las "efes" de los violines están colocadassiguiendo la razón áurea. Las sonatas deMozart , la Quinta de Beethoven ,Debussy , etc, tienen relación con la
proporción áurea.
Objetivos
Para saber más:
Las relaciones entre los instrumentos musicales, las composiciones musicalesy la proporción áurea son muy interesantes. En este enlace encontrarás laproporción áurea en distintos instrumentos musicales:
El número de oro en los instrumentos de cuerda.
Y aquí, el mismismo pato Donald, te explicará en un vídeo cómo se construyela escala pentatónica:
El pato Donald en el país de las Matemágicas.
5.- El secreto de phi
Imagen: Wikimedia commons
El ser humano tiene tendencia a sentirse el centro del Universo, lo más bello para ellos yellas es otro ser humano, ¿o no se ha estado nunca enamorado o enamorada?. Ademásson a la vez creación y creadores, y tienden a hacer las cosas a "su imagen y semejanza",y ¿cuál es su imagen y semejanza?... desde luego su semejanza es la proporción áurea.
Observa la imagen de la izquierda, es el conocido como " Hombre de Vitrubio " deLeonardo da Vinci.
Se trata de un estudio de las proporciones del cuerpo humano, realizado a partir de lostextos del arquitecto de la antigua Roma, Vitrubio, del que el dibujo toma su nombre.
El cuadrado está centrado en los genitales, y el círculo en el ombligo. La relación entre ellado del cuadrado y el radio del círculo es la razón áurea .
Para Vitruvio el cuerpo humano está dividido en dos mitades por los órganos sexuales,mientras que el ombligo determina la sección áurea. En el recién nacido, el ombligoocupa una posición media y con el crecimiento migra hasta su posición definitiva en eladulto.
El dibujo también es a menudo considerado como un símbolo de la simetría básica delcuerpo humano y, por extensión, del Universo en su conjunto.
De acuerdo con las notas del propio Leonardo en el Hombre de Vitrubio se dan otras
relaciones:
Proporciones humanas
Conclusión : Existiría una razón "científica" que explicaría porque los humanos prefierenal hombre de la primera foto antes que al de la segunda:
Imágenes: dreamstime
Desde luego phi se merece hasta una bellapoesía...
A ti, maravillosa disciplina,
media, extrema razón de la hermosura,
que claramente acata la clausura
viva en la malla de tu ley divina.
A ti, cárcel feliz de la retina,
áurea sección, celeste cuadratura,
misteriosa fontana de mesura
que el Universo armónico origina.
A ti, mar de los sueños angulares,
Imagen: Dezeen
flor de las cinco formas regulares,
dodecaedro azul, arco sonoro.
Luces por alas un compás ardiente.
Tu canto es una esfera transparente.
A ti, divina proporción de oro.
Rafael Alberti
Conociendo ya el "secreto de phi"no es de extrañar que la proporciónáurea impregne muchos de losdiseños de los objetos creados
por los humanos, desde la forma deun coche , de una ventana , deun libro , de un pupitre , laclásica calculadora , de cómo seha construir una habitación paraque el sonido sea perfecto en ella,un Ipod ...
...hasta algo muy importante,desgraciadamente para todos,cuando llegamos a fin de mes: latarjeta de crédito , la billetera
y el DNI .
Imagen: MEC-ITE
En la arquitectura y el diseño de mediados del siglo XX, surgió un sistemadenominado " Modulor " ideado por el arquitecto Le Corbusier . La idea principal eraque el diseño debía estar a "escala humana", es decir, manteniendo las proporcionesáureas. Si deseas saber un poco más sobre este método, mira el siguiente enlace:
Le Corbusier, Modulor
Autoevaluación
Imagina que tienes que deseas que una imagen tenga forma de rectánguloáureo. Sabemos que la altura del rectángulo tiene de medida 450 pixeles,¿Qué medida, aproximadamente, deberías darle a la base del rectángulo?
728 pixeles
800 pixeles
740 pixeles
Para repasar, afianzar y disfrutar
En los siguientes vídeos, el profesor Don Antonio Pérez, nos hace un repasogeneral de todo el tema. Por favor, es muy importante que los veas deprincipio a fin, es una autentica clase magistral:
Más por menos. El número áureo (1)
Más por menos. El número áureo (2)
Pregunta de Elección Múltiple
Pre-conocimiento
6.- Resumen
En este tema, a través de nuestros amigos extraterrestres y susexploraciones, aprendemos lo más importante sobre
la sucesión de Fibonacci
el número de oro (phi)
ya que dicho número tiene mucho que ver con la naturaleza y el arte.
En la antigüedad ya se conocía la llamada proporción áurea o divina proporción.
También se la llama phi ( ) en honor al escultor de la antigua GreciaFidias.
Tiene su origen en la sucesión de Fibonacci (Leonardo de Pisa) y en...unos conejos.
Los dos primeros términos de dicha sucesión son 1,1 y cada uno de los demástérminos es la suma de los dos anteriores.
Importante
La divina proporción tiene mucho que ver con el pentágono regular .
En un pentágono estrellado regular la proporción entre determinadossegmentos es phi.
Además, la relación entre un lado y una diagonal de un pentágono regulartambién es áurea.
La espiral logarítmica tiene que ver con phi.
Un modelo de la espiral llamada logarítmica es la de Durero.
La espiral de Durero se construye con sucesivos rectángulos áureos.
El número de oro se obtiene mediante la sucesión de Fibonacci .
Dividiendo sucesivamente cada término entre el anterior , observamosque nos acercamos a un valor.
Decimos que ese valor es el límite al que tienden dichos cocientes. Eselímite es precisamente phi,
Se trata de un número irracional con infinitas cifras decimales noperiódicas... del que sólo obtendremos aproximaciones, tan precisas comodeseemos, pero nunca podremos escribir todas las cifras de phi.
7.- Para aprender... hazlo tú
Te presentamos el siguiente problema resuelto. Léelo con atención y despuésresponde a las preguntas.
El problema…a. Calcula los ocho primeros términos de la sucesión de Fibonacci
b. Calcula el valor del número de oro, , a partir de la sucesión deFibonacci
La resolución…
Léela con mucha atención…
a. Los dos primeros términos de la sucesión de Fibonacci son 1 y 2, ycada uno de los siguientes se calculan sumando los dos inmediatamenteanteriores. Por tanto, los primeros ocho términos son:
1
2
1+2 = 3
2+3 = 5
3+5 = 8
5+8 = 13
8+13 = 21
13+21 = 35
b. Como el número de oro es el valor al que nos acercamos dividiendosucesivamente cada término de la sucesión de Fibonacci entre elsiguiente, sólo tenemos que ir haciendo las divisiones sucesivas(hasta detectar un valor límite):
1/2 = 0,5
2/3 = 0,66666
3/5 = 0,6
5/8 = 0,625
8/13 = 0,6135
13/21 = 0,6190
21/34 = 0,6137
34/55 = 0,6181
55/89 = 0,6179
...
Actividad de lectura
Las preguntas…1. La resolución del apartado a. es:
a. correcta
b. incorrecta, el último término no está bien calculado
c. incorrecta: la sucesión de Fibonacci se define de otra manera
d. las opciones b. y c. son correctas.
2. La resolución de la segunda pregunta es:
a. Correcta
b. incorrecta: el número de oro es el límite de otros cocientes
c. Incorrecta: no se aprecia que el valor al que los resultados seacercan sea 0,618
d. Incorrecta: los cocientes tercero y cuarto no estan biencalculados
