BASES MATEMÁTICAS

Funções, Sequências e Limites

1. Esboce o gráfico de ( ) ( ) e indique as intersecções com o eixo x

e eixo y, pontos de máximo e mínimo locais, se houver e em quais regiões a função é

crescente, decrescente, positiva e negativa.

i) Esboço do gráfico

Tomando como “função base” ( ) , temos seu gráfico (em azul) mostrado

abaixo.

Figura 1 – Gráfico de

Realizando uma translação horizontal para a esquerda de 1 unidade obtemos (

) ( ) (em azul). Com uma translação vertical em 4 unidades para baixo

obtemos ( ) ( ) (em verde).

Figura 2 – Gráfico de ( ) , em azul e ( ) , em verde

Refletindo, em relação ao eixo x, todos os pontos do gráfico em que a coordenada y seja

menor que zero obtemos ( ) ( ) (em azul). Finalmente,

refletindo, em relação ao eixo x, todo o conjunto dos pontos do gráfico, obtemos

( ) ( ) (em verde).

Figura 3 – Gráfico de ( ) , em azul e ( ) ( ) , em verde

ii) Intersecções com os eixos

O gráfico intercepta o eixo y se, e somente se, .

( ) ( )

Então ( ).

O gráfico intercepta o eixo x se, e somente se, .

( ) ( )

( ) ( )

√ √

Então (√ ) e ( √

).

iii) Máximos e mínimos locais

Os pontos de máximo locais são e .

O ponto de mínimo local possui como abscissa a média entre as abscissas dos pontos de

intersecção com o eixo x. Então:

√ ( √

)

A ordenada é igual a ( ) ( ) ( ) .

Então: ( ).

iv) Crescimento e Decrescimento

A função é crescente quando ( √ ) ( √

).

A função é decrescente quando ( √ ) (√

).

v) Positiva e negativa

A função é negativa .

2. Esboce o gráfico de ( )

e dê a equação da assíntota.

Figura 4 – Gráfico de ⁄ , em azul; ( )⁄ , em verde e , em violáceo

Primeiramente desenha-se o gráfico azul ( )

. Por meio de uma transformação –

translação horizontal de 3 unidades à esquerda – obtém-se ( ) ( )

(em

verde).

A função f possui uma assíntota vertical de equação (ponto de descontinuidade)

e uma assíntota horizontal de equação (eixo x).

3. Mostre que a sequência é crescente.

A sequência é crescente se, e somente se, para todo .

( ) ( )

Como , claramente, a proposição é verdadeira.

4. Prove que a sequência

é limitada.

A sequência é limitada se existir um M tal que , para todo .

Supondo que , devemos provar que |

| para todo .

|

|

Como necessariamente , pela definição do domínio de sequência, conclui-se que

para todo n natural a seqüencia é menor que 2. Ou seja, existe um M tal que

, quod erat demonstrandum.

5. Prove, utilizando o teorema do confronto, que

(

)

Para qualquer sabemos que ( ) [ ]. Então

(

)

Multiplicando todos os termos da desigualdade por (pois, certamente é um valor

positivo), temos

(

)

Considerando que

, concluímos pelo teorema do

confronto que

(

)

6. Mostre, utilizando o teorema do confronto, que

Para qualquer sabemos que ( ) [ ].

Então

Multiplicando todos os termos da desigualdade por (pois, por ser função

exponencial não assume valores negativos)

A sequência , ou, equivalentemente,

, tende a zero para valores muito

grandes de n. Simbolicamente .

Pelo teorema do Confronto, conclui-se então que ( ) .

7. Calcule os limites abaixo:

a)

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

b)

(√ )

(√ )(√ )

(√ )

(√ )

(√ )

(√ ( ) )

(√ √( ) )

√( )

(√( ) )

(√( ) )

√

√

c)

( )

( )

( )

( )

(

)

( )

( )

d)

( )( )

( )

Nota: Polinômios, ou seja, expressões do tipo ( )

podem ser reescritas como ( ) ( )( ) ( )( ), onde

são zeros do polinômio.

8. Sabendo que uma função f é contínua no ponto p quando ( ) ( ).

Determine se a função ( ) é contínua em .

Devemos testar a condição

( )

Calculando o limite

( )

Portanto, a função f é contínua no ponto ( ).