Quelques questions communes aux P.E.R. et à la D.D.E.

Nadia DouekIREM de Nice

Articuler des questions émanant des travaux sur les PER des travaux sur la DDE et sur l'argumentation de l'équipe

de Gênes. ... à partir du TD de M. Bosch à EE15 : Plan d'épargne

et modélisation algébrique,Vers une ingénierie didactique des PER

et de certaines des questions ouvertes

Comment la DDE (principes, méthodologie, méthodes de travail en classe ou bien son cadre théorique) peuvent entrer en résonance avec ces questionnements.

Exemples de l'adaptation des travaux de l'équipe Gênes par le groupe IREM de Nice, pour expliciter quelques-une de ces résonances

Quelques questions ouvertes par le TDL’objectif : travailler l’algèbre, produire la réponse à la question proposée, de

« vivre » le parcours d’étude et de recherche ?Le changement de contrat entre PER et « enseignement classique » => le

statut de l’enseignant passe de référent du savoir à celui d’une source parmi d’autres ( dans les deux sens)

Quel type d’analyse épistémologique et institutionnelle sous-tend la construction d’une question à fort pouvoir générateur ? 

Existe-t-il des outils permettant de prévoir les questions qui pourraient être formulées par les élèves ? 

Qu’est-ce qui est (doit ou peut être) institutionnalisé dans un PER ouvert ? Quelle est l’institution de référence? Comment institutionnaliser les différentes connaissances mises en œuvre pour qu’elles deviennent savoir ? 

Quels fondements et critères des choix des questions intermédiaires ? faire un AER sur les pourcentages avant ou pendant le PER, construire la formule petit à petit ou la donner toute faite.

Fabrication conjointe du milieu, dilatation du temps didactique (ralentissement du nombre d'objets nouveaux apportés par le prof).

Le travail d'écriture ainsi que la présentation et la discussion des résultats fait partie de l'activité mathématique.

Auxquelles j'ajoute : Moyens de validation

Quelques questions ouvertes par le TD

Qu’est-ce qui est (doit ou peut être) institutionnalisé dans un PER ouvert ? Comment institutionnaliser les différentes connaissances mises en œuvre pour qu’elles deviennent savoir ? 

l’enseignant référent / source parmi d’autres ( dans les deux sens)

Le travail d' fait partie de l'activité mathématique.Auxquelles j'ajoute : Moyens de validation

La dimension culturelle de l'activité mathématiqueL’objectif : travailler l’algèbre, réponse à la question proposée, « vivre »

le parcours d’étude et de recherche ? ... institutionnalisation?Quelle analyse épistémologique et institutionnelle sous-tend la QG ? Quelle est l’institution de référence? La conceptualisation, le langage, l'argumentationFabrication conjointe du milieu, dilatation du temps didactique Le travail d'écriture, la présentation et discussion des résultats L'argumentation enseignant référent du savoir / source parmi d’autresLes domaines d'expérience Rapports entre Question génératrice, questions intermédiaires et D.E.?Un point de vue développemental dialectique élaborations du sujet / constructions communesDialectique CS/CQ enseignant référent du savoir / source parmi d’autresRoutines de gestion de séquencesOù situer la question génératrice; où situer les questions intermédiairesécriture, présentation et discussion des résultatsMéthodologie de la recherche pour l'innovation prévoir les questions qui pourraient être formulées par les élèves ?Qu'est-ce qu'un PER?

La dimension culturelle de l'activité mathématique ... considérée dans deux sens faire entrer l'élève dans une culture (à cerner) partir de sa culture... (à cerner aussi)

le sens est déterminé par la culture du sujet et par son activitéun objet de savoir fait sens pour un sujet s'il a un caractère culturel et plus spécialement s'il est susceptible d'être « instrumentalisé » (Rabardel, 1999) par le sujetDialectique outil objet ? Les vecteurs de Maggy Schneider le D.E. des ombres du soleil

Choix d'un domaine de la culture, d'une ( ou de) question(s)Choix des tâches (pratiques/praxéologies caractéristiques d'une culture)D'où un objectif multiple: algèbre, réponse, « vivre »...La réflexion sur cette question passe par la réflexion sur la culture mathématique à laquelle on cherche à introduire l'élève.

Entrer dans la culture mathématique: quelques caractéristiques de l'activité du mathématicien

l'activité mathématique plutôt qu'un corpus mathématique (sans le négliger!)... praxéologie ?

Usage maîtrise des symboles, règles et procédures...Raisonnements diversifiés (exploration, organisation

d'arguments, production de texte mathématique)Activité sémiotique, interprétation, changement de

cadres, de registresActivités sur différents niveaux de généralité, et

passages d'un niveau à l'autre et aussi des points de vue méta sur les objets, sur leur

sens utilisation, sur l'activité même, sur leurs règles de validité dans les communautés qui utilisent les mathématiques

Modélisation, théorisation.

Classification savoirs / pratiques?du point de vue de la conceptualisation ce n'est pas

pertinentla conceptualisation est un phénomène complexe

fortement lié à l'activité.En gros « savoir » prend son sens à travers l'activité

et à travers un ensemble complexe de pratiques et surtout de mobilisation intentionnelle et d'instrumentalisation.

Quelles sortes de pratiques / praxéologie et activité cherche-t-on à voir développée chez l'élève?

Quelques exemples de nos travaux d'algébrisation pour mettre en évidence le rôle que peut prendre l'activité de l'élève dans la construction collective de certaines pratiques

activité sémiotique interprétation/ modélisation généralisationLes exemples sont pris dans des séquences parmi la suite:Pattern, somme de 3 entiers, pense un nombre, formules

d'airs et de volumes, distributivité, inéquations, équationsLa série algébrisation se déroule en parallèle avec géométrie

et démonstration pour converger (surtout avec Pythagore)

Exemple d'exploitation des production d'élève (situation théâtre)

Dans un théâtre il y a 7 places dans la première rangée. Lorsqu’on passe d’une rangée à la suivante, le nombre de sièges augmente toujours de la même manière, comme c’est indiqué sur le schéma.

Combien de sièges y a-t-il à la quatrième rangée ? A la cinquième ? A la dixième ?

Pouvez vous trouver, sans calculer le nombre de sièges d'une rangée intermédiaire, le nombre de places qu'il y a à la trente huitième rangée ? A la centième ?

Décrivez une méthode qui permet le calcul du nombre de sièges à n'importe quelle rangée (on imagine le théâtre très grand!)

Texte d’Alexandre (1 A)

On imagine que l’on doit savoir le nombre de placesde la rangée 604. Voici une façon de trouver enassociant addition et multiplication :

Pourquoi 603 et non 604 ? car je fais 3 fois le nombrequi le sépare de la 1 ière rangée (7 places) de la 604ième (ou une autre).

FABRICATION CONJOINTE DU MILIEU / CONTEXTE EXTERNE

Texte de Marco (1 B)

Potete trovare, senza calcolare il numero di sedie diuna fila intermedia, il numero dei posti che c'é allatrentottesima fila e nella centesimo?

[(X-1).3]+7 = X= fila

X-1 si fa per calcolare il numero di file che si sono trala 1° e X3 si fa perché tra una fila e la succesiva siaggiungono tre posti in più+7 si fa perché la prima fila e composta da sette posti

Marco et Alexandre ont-ils raisonné de lamême manière ?Qu’est-ce qui est pareil ? Qu’est-ce qui est différent ?

Expliquer le calcul de Rexe « avec des flèches » comme l’a fait Alexandre.

Texte de Rexe (2)

Il metodo generico per calcolare i posti : basta moltiplicare il 3 che sono i posti che aumentanoregolarmente per il numero della fila e aggiunge il sette sottraendo ad esso 3.

Vale a dire 3n+7-3 = 3n+4 n sta per numero della fila

Expliquer la méthode de Caroline et l’écrire à la façon des élèves italiens.

Texte de Caroline (3)

Suit l'activité individuelle de confrontation un débat collectif engagé par le commentaire de Caroline à la suite de son calcul:

Le 3 est important car à chaque rangée il y a une différence de 3. Donc pour calculer le résultat on fait par exemple :

Pour la 50è rangée on fait 3 x 51 car j’ai remarqué qu’il faut prendre le nombre de la rangée + 1 ce qui donne dans ce cas 51. Donc 3 x 51 +1 car j’ai remarqué qu’il faut rajouter + 1 à chaque rangée.

Activité sémiotique: changements de registres, interprétation

Changements de niveaux de généralisation (dans les 2 sens)

Extension du milieu, ou contexte externe, par les productions d'é, et par les questions posées par le prof (construite à partir de son analyse des productions)

Le professeur modifie la topogénèseÉvolution de la responsabilité didactique concernant la

mésogénèse, la chronogénèse

Se posent à la classe des questions... essentielles

Génératrices ? Peut-être si l'on considère la progression à travers des situations différente

« Intermédiaires » ? Mais qui reviennent... Les questions se forment et deviennent

graduellement explicites le long de la progression, et surtout dans la série « démonstration »

ces questions instaurent des pratiques à partir de l'activité de l'élève : forme de dialectique CQ/CS

FABRICATION CONJOINTE DU MILIEU / CONTEXTE EXTERNE II

La situation du théâtre a donné lieu à un travail sur la proportionalité

L'année précédente, on avait élaboré (à partir des productions d'élèves...) un autre « contexte externe » pour développer le débat collectif

Il y a, non pas un transfert de la responsabilité didactique aux élèves, mais une adaptation de la part du professeur qui modifie le milieu en fonction de l'activité des élèves et avec leurs productions: il les retravaille (par exemple les combine) et les donne à retravailler à la classe

Dialectique activité du sujet / construction commune

La situation somme de trois nombre consécutifs

Productions retenues pour le débat:

1) un ensemble de conjectures sont retenues et sont débattues

Il y a des intervalles de 3alternance de pairs et d'impaires dans les sommes

succesivesle résultat est multiple de 3 parce qu'il y a 3 termesla somme de 2 pairs et 1 impair est impairela somme de 2 impairs et 1 pair est pairele résultat est multiple du nombre de facteur

2) Deux « grandes conjectures » sont présentées:A- la somme est multiple de 3B- deux sommes successives sont d'écart 3

Document de confrontation

Justification A1 de A (adaptation de la justification verbale de Caroline)Quand on enlève 1 au nombre le plus grand et qu'on ajoute 1 au plus

petit on obtient ... (à compléter)

Justification A2 de A (celle de Timothée)schéma: a + + I I I nbre de départ I I on ajoute 1 I on rajoute 2 au nbre de

départ

Justification de B (adaptation de celui de Pauline avec l'idée d'Emma)Chaque terme est augmenté de 1le résultat sera plus grand de 3 par rapport à celui juste

avant

Tâches :

1) donner un exemple pour montrer ce que signifie cette proposition

2) compléter la justification de Mégan: 4, 5, 6 si au lieu de 4 je prends a et B (5) = a+1 et B+1

=C (6)3) reprendre la justification A1 avec les lettres4) expression algébrique de la justification Bdevoir maison: justification de A2 sous forme verbale

Des choix didactiques importants :

Donner à l’argumentation une place centrale

Les productions d'élèves sont objets du travail collectif

Travailler l'expression verbale orale et écrite dans le registre familier et lien avec autres registres

Organiser des débats sur plusieurs niveaux d'argumentation

(« directe » et « méta ») et concernant les raisonnements, et les modes

de raisonnementPar exemple: Pourquoi tel calcul (tracé...) résultat utile ou

stratégique Comment en est venue l'idée

l’argumentation et le statut du professeur

Si les élèves peuvent trouver des références dans des sources variées, il reste une référence forte concernant

La validité des formes de raisonnementApports de références (voix et écho)

Argumentation pour maîtrise consciente de pratiques « scientifiques »

élaborée à partir de l'activitéInstitutionnalisation