Qu es una paradoja

Qu es una paradoja?

Es fcil encontrar en cualquier buscador de Internet referencias aparadojas, por ejemplo, a laParadoja de Russell, laParadoja de San Petersburgoo laParadoja de Epimnides.

Sin embargo, aunque en todas las expresiones anteriores aparece la palabra paradoja, no siempre est claro (a veces inclusive para quienes hablan de ellas) que en la fraseParadoja de Russellla palabra paradoja no tiene el mismo sentido que en la fraseParadoja de San Petersburgoy que, de hecho, la palabra paradoja se usa en varios sentidos completamente diferentes entre s.

Sin la pretensin de ser exhaustivo, la intencin de esta entrada es hacer una lista de algunos de los distintos significados que suelen atribuirse a la palabra paradoja.

************************1) En primer lugar se llama paradoja a una contradiccin en un sistema axiomtico (o, ms en general, en una teora).

Si establecemos un conjunto de axiomas y de ellos extraemos como conclusin alguna falsedad (o, lo que viene a ser prcticamente lo mismo, extraemos de ellos dos conclusiones mutuamente contradictorias) entonces hemos obtenido de ellos una paradoja. Con el mismo sentido suelen usarse tambin las palabras contradiccin o antinomia.

ste es, por ejemplo, el sentido de la palabra paradoja en la frase la Paradoja de Russell. En 1902 Gottlob Frege acababa de enviar a la imprenta el segundo tomo de Fundamentos de la Aritmtica, la obra en la que daba cierre al trabajo de toda su vida y en la que defina los nmeros y sus operaciones (y a partir de ellos, el resto de la matemtica) a partir de conceptos puramente lgicos.

Una de las premisas de Frege era que a toda propiedad le corresponda un conjunto, el conjunto de todos los objetos que cumplen esa propiedad. Russell observ (y as se lo coment a Frege en una carta) que si se toma como propiedad el ser un conjunto que no es elemento de s mismo se llega a una paradoja, ya que el conjunto asociado a ella debe ser y no ser al mismo tiempo elemento de s mismo.

Como Frege reconoci en la respuesta que le escribi a Russell el descubrimiento de esta paradoja daba por tierra con todo su sistema.

Ms tarde Russell dio al pblico en general una versin ms coloquial de su paradoja, en la que en lugar de hablar de un conjunto que no se contiene a s mismo se habla de un barbero que no afeita a determinadas personas.

Addenda:no es deseable que un sistema axiomtico contenga paradojas porque en un sistema paradjico todo puede ser demostrado, tanto las afirmaciones verdaderas como las falsas son demostrables (y en consecuencia ya no puede saberse qu es verdad y qu es mentira). Cuenta la leyenda que en una conferencia Russell hizo la observacin de que a partir de una falsedad poda ser demostrada cualquier otra afirmacin (verdadera o falsa) y que en fue retado por el pblico a demostrar, partiendo de que 1 = 0, que Smith era el Papa (Smith era uno de los asistentes a la conferencia, cuyo nombre en realidad no era Smith, pero que s era reconocidamente ateo).

Russell razon as: si 1 = 0, sumemos 1 a ambos miembros, luego 1 = 2. Tomemos el conjunto formado por Smith y el Papa. El conjunto tiene 2 elementos, pero como 2 = 1 entonces el conjunto tiene tambin un solo elemento, luego Smith y el Papa son la misma persona.

2) En segundo lugar se llama paradoja a una falacia.

Segn este significado de la palabra, una paradoja es un razonamiento que parece demostrar una antinomia (es decir una paradoja en el sentido anterior), pero que en realidad contiene un error. En el sentido anterior se llega a demostrar una falsedad mediante un razonamiento correcto, la falla est en las premisas y no en el razonamiento en s. En este segundo sentido hay simplemente una falla en el razonamiento que parece llevar a la contradiccin.

Un ejemplo: vamos a demostrar que 1 = 2.

Tomemos dos nmeros iguales, llammoslos a y b:

a = b

Tomemos un tercer nmero, llamado c, y summoslo a ambos miembros:

a + c = b + c

Elevamos al cuadrado y operamos:

(a + c)^2 = (b + c)^2

a^2 + 2ac + c^2 = b^2 + 2bc + c^2

a^2 + 2ac = b^2 + 2bc

a^2 b^2 = 2bc 2ac

(a b)(a + b) = 2c(b a)

Simplificamos (a b):

a + b = 2c

Como a = b:

2a = 2c

a = c

Como a y c son nmeros cualesquiera diferentes entre s entonces podemos asignarles los valores: a = 1, c = 2. Luego: 1 = 2.

Si el razonamiento hubiera sido correcto habramos encontrado en la aritmtica una paradoja en el primer sentido (una antinomia, como al de Rusell), pero hay un error en el razonamiento (no es vlido simplificar a b, ya que a b = 0) y por lo tanto slo tenemos una paradoja en el segundo sentido, una falacia.

3) En tercer lugar se llama paradoja a un hecho que no conlleva una contradiccin lgica (ni real ni aparente), pero que s contradice nuestra intuicin o sentido comn.

Un ejemplo es la ya mencionada Paradoja de San Petersburgo. En ella se plantea el siguiente juego: el jugador apuesta un milln de pesos y luego arroja una moneda tantas veces como sea necesario hasta que sale cara por primera vez, cuando sale la primera cara se detiene. Si tir la moneda una vez, gana 2 pesos. Si tuvo que tirar la moneda dos veces, gana 4 pesos. Si tir tres veces, gana 8 pesos. Y as sucesivamente, si tir la moneda n veces gana 2^n pesos. Cul es la ganancia esperada del jugador? El juego favorece al jugador o a la banca?

Tras hacer los clculos necesarios se llega a la conclusin de que (no importa cul sea la apuesta inicial) el juego siempre favorece al apostador y que su ganancia esperada es infinita. A la larga, si juega lo suficiente, su ganancia superar cualquier valor establecido de antemano. Parece raro que un juego d una ganancia infinita, pero as es, y no hay en ello ninguna contradiccin.

Otro ejemplo es la llamadaParadoja de Banach Tarski, un teorema en el que se prueba que es posible cortar una esfera maciza en cinco partes que pueden ser rotadas y (sin que haya deformaciones) ensamblarlas formando dos esferas macizas cada una de ellas del mismo tamao que la anterior.

Obviamente este teorema contradice toda nuestra intuicin (parece como si de la nada se hubiera duplicado la materia), pero se trata de un teorema matemtico perfectamente vlido, sin que haya en l ninguna falacia ni antinomia. Debo aclarar que la duplicacin de la esfera no es posible en la prctica ya que se necesitara que la materia fuese infinitamente divisible.

4) En cuarto lugar tenemos las paradojas de decisin.

En una paradoja de decisin se nos pone ante la tarea de tener que optar por una de dos (o ms) alternativas. La paradoja se produce cuando sucede que para cada alternativa hay un argumento que la seala como la mejor.

Un ejemplo de este tipo de paradojas es la llamadaParadoja de Newcomb, sobre cuyos detalles no me extender aqu, baste decir que se trata de un planteo en el que resulta muy difcil decidirse por una u otra de las dos opciones entre las que se nos invita a elegir, sin que ello implique una contradiccin lgica (real o aparente), ni un alejamiento del sentido comn (a menos que entendamos que ste dice que en toda eleccin debe haber una alternativa claramente superior a las otras).

************************

Como he dicho ms arriba, la lista no pretende ser exhaustiva. Es posible, inclusive, que algunas paradojas sean difcile de clasificar en uno u otro grupo, o que la clasificacin depende de cmo se entienda la paradoja.

Tomemos por ejemplo la Paradoja del Examen Sorpresa (o del Ahorcamiento Inesperado) Se trata solamente de una falacia (y cae en el segundo grupo) o se basa en un razonamiento correcto que lleva a una conclusin contraria a la intuicin (en el tercer tipo, entonces)? Dejaremos este anlisis para otro momento.

Publicadas porGustavo Pieiro