¿Qué es una hipérbola?

• Una hipérbola es una curva abierta de dos ramas, producida por la intersección de un cono circular recto y un plano que corta las dos secciones del cono.

• La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos P( x , y) del plano cuya diferencias de distancias, en valor absoluto, a dos puntos fijos F y F’, llamados focos, es una cantidad constante.

PF – PF’ = constante

Ecuación reducida de la hipérbola

Se llama ecuación reducida a la ecuación de la hipérbola cuyos ejes coinciden con los ejes coordenadas, y, por tanto, el centro de hipérbola con el origen de coordenadas.

Si el eje real está en el eje de abscisas las coordenadas de los focos son:

F'(-c,0) y F( c,0)

Cualquier punto de la hipérbola cumple:

Esta expresión da lugar a:

Realizando las operaciones llegamos a:

Elementos de la hipérbola● Focos: son los puntos F y F’.

● Ejes de simetría: son las rectas r y s, respecto de las cuales la hipérbolas simétrica.

● Centro: punto O donde se cortan los ejes de simetría.

● Eje real o eje mayor: es el segmento AA’ de longitud 2a.

● Distancia focal: es el segmento FF’ de longitud 2c.

● Eje imaginario o menor: es el segmento BB’ de longitud 2b. Se define de modo que se verifique :

c2= a2 + b2

● Vértices: son los puntos A y A’ de intersección de la hipérbola con el eje real.

● Asíntotas: son las rectas m y m’ hacia las cuales se aproximan las ramas de la hipérbola, sin llegar a tocarlas.

Asíntotas de la hipérbola• La hipérbola es una curva abierta, es decir, sus ramas crecen sin

fin. Estas ramas se aproximan tanto como se quiera a unas rectas que reciben el nombre de asíntotas de la hipérbola. Las ecuaciones de dichas asíntotas, para la hipérbola de ecuación son:

y = (b/a)x y = -(b/a) x

Hipérbola equilátera

• Se llama hipérbola equilátera a la hipérbola que tiene iguales sus dos semiejes. La ecuación de la hipérbola, al ser a= b, adquiere la expresión reducida: x2 – y2 = a2 y sus asíntotas son y= x e y = -x , es decir, son las bisectrices del primer y segundo cuadrante, por tanto, perpendiculares entre sí.

Hipérbola equilátera referida a sus asíntotas

• x2 – y2 = a2 x.y = a2/2

Interpretación geométrica de la hipérbola equilátera

• La expresión de la función de proporcionalidad inversa se corresponde con la de una hipérbola equilátera sobre la que se ha aplicado un giro de 45º.

• La función de proporcionalidad inversa es una hipérbola equilátera sobre la que se ha aplicado un giro de 45º.

Historia de la hipérbola

• El matemático griego Menecmo (vivió sobre el 350 A.C..) descubrió estas curvas y fue el matemático griego Apolonio (262-190 A.C.) de Perga (antigua ciudad del Asia Menor) el primero en estudiar detalladamente las curvas cónicas y encontrar la propiedad plana que las definía.

• Apolonio descubrió que las cónicas se podían clasificar en tres tipos a los que dio el nombre de: elipses, hipérbolas y parábolas.

• Las hipérbolas son las curvas que se obtiene al cortar una superficie cónica con un plano que es paralelo a dos de sus generatrices (Base y arista).

• Apolonio demostró que las curvas cónicas tienen muchas propiedades interesantes. Algunas de esas propiedades son las que se utilizan actualmente para definirlas. Quizás las propiedades más interesantes y útiles que descubrió Apolonio de las cónicas son las llamadas propiedades de reflexión. Si se construyen espejos con la forma de una curva cónica que gira alrededor de su eje, se obtienen los llamados espejos elípticos, parabólicos o hiperbólicos, según la curva que gira.

• Apolonio demostró que si se coloca una fuente de luz en el foco de un espejo elíptico, entonces la luz reflejada en el espejo se concentra en el otro foco. Si se recibe luz de una fuente lejana con un espejo parabólico de manera que los rayos incidentes son paralelos al eje del espejo, entonces la luz reflejada por el espejo se concentra en el foco. Esta propiedad permite encender un papel si se coloca en el foco de un espejo parabólico y el eje del espejo se apunta hacia el sol. Existe la leyenda de que Arquímedes (287-212 A.C.) logró incendiar las naves romanas durante la defensa de Siracusa usando las propiedades de los espejos parabólicos. En la actualidad esta propiedad se utiliza para los radares, las antenas de televisión y espejos solares. La propiedad análoga, que nos dice que un rayo que parte del foco se refleja paralelamente al eje sirve para que los faros de los automóviles concentren el haz en la dirección de la carretera o para estufas. En el caso de los espejos hiperbólicos, la luz proveniente de uno de los focos se refleja como si viniera del otro foco, esta propiedad se utiliza en los grandes estadios para conseguir una superficie mayor iluminada.

• En el siglo XVI el filósofo y matemático René Descartes (1596-1650) desarrolló un método para relacionar las curvas con ecuaciones. Este método es la llamada Geometría Analítica. En la Geometría Analítica las curvas cónicas se pueden representar por ecuaciones de segundo grado en las variables x e y.

• El resultado más sorprendente de la Geometría Analítica es que todas las ecuaciones de segundo grado en dos variables representan secciones cónicas se lo debemos a Jan de Witt (1629-1672). Sin lugar a dudas las cónicas son las curvas más importantes que la geometría ofrece a la física. Por ejemplo, las propiedades de reflexión son de gran utilidad en la óptica. Pero sin duda lo que las hace más importantes en la física es el hecho de que las órbitas de los planetas alrededor del sol sean elipses y que, más aún, la trayectoria de cualquier cuerpo sometido a una fuerza gravitatoria es una curva cónica. El astrónomo alemán Johannes Kepler (1570-1630) descubrió que las órbitas de los planetas alrededor del sol son elipses que tienen al sol como uno de sus focos en el caso de la tierra la excentricidad es 0.017 y los demás planetas varían desde 0.004 de Neptuno a 0.250 de Plutón.. Más tarde el célebre matemático y físico inglés Isaac Newton (1642-1727) demostró que la órbita de un cuerpo alrededor de una fuerza de tipo gravitatorio es siempre una curva cónica.

Aplicaciones a la vida real

……si si…

Las hay

• Para diseño de Puentes, ya que se puede distribuir el peso de todo el puente.

• Para explicar la teoría que dice que la Luna gira alrededor de la Tierra.

• Antenas para captar señales de comunicación e informática.

• Estadios deportivos, cuya finalidad es acomodar personas para poder presenciar algún deporte.

• Herradura de caballo, sirven para que el caballo no se lastime las pezuñas.

• Las curvas cónicas se empezaron a estudiar hace miles de años, mucha gente destinó su vida en entender y descifrar él porque y como de las cónicas.

• Las curvas cónicas: elipse, círculo, hipérbola y parábola, han sido de mucha importancia en la vida del ser humano, ya que gracias a ellas, su han podido desarrollar diferentes aparatos, artefactos y cosas, con el fin de beneficiar, y facilitar la vida del ser humano.

Ejercicios:

• 1. Los focos y los vértices de una hipérbola son los puntos: F(5, 0), F (-5, �0), V1(4, 0) y V2(-4, 0), respectivamente. Determine la ecuación de la hipérbola. Dibujar su gráfica e indicar las asíntotas.

Ejercicios

• 2. Una hipérbola cuyo centro es el punto C(2, 3), tiene sus focos sobre la recta y = 3. Además, la distancia entre los focos es 10 unidades y la distancia entre sus vértices es 8 unidades. Trazar la gráfica y determine: coordenadas de los vértices, focos y ecuaciones de las asíntotas.

Ejercicios

• 3. Dada la hipérbola, cuya ecuación en su forma general es: 3y2 x2 + 4x 6y � � �13 = 0. Determine y grafique: centro, focos, vértices y ecuaciones de las asíntotas.

Fin

Celso Puertas Pérez

1º bachillerato

• Anotaciones: inmaculada en la fórmulas un número elevado al cuadrado lo expreso como por ejemplo x2 y un número partido de otro x/y