Introduccin

Como es de esperarse cada vez que se avanza ms en los estudios ms es la utilizacin de las matemticas para encontrar cifras o para tomar decisiones las cuales representaran riesgos, prdidas o ganancias.

Y por tal motivo son ms complejas, lo que los mtodos numricos tratan de hacer es de llegar al mismo resultado, usando operaciones algebraicas establecidas con el fin de ahorra tiempos y con un error mnimo, para aprovechar al mximo las capacidades productivas o de desarrollo.

Adems son una herramienta prctica para los estudiantes de Ingeniera que resultan para hacer ms fcil la comprensin de los temas y la aplicacin de los mismos.

ImportanciaSon tcnicas mediantes las cuales son posibles formular y resolver problemas numricos matemticos de tal manera que puedan resolverse usando operaciones simples y aritmticas.Los mtodos numricos nos vuelven aptos para entender esquemas numricos a fin de resolver problemas numricos bsicos escribiendo programas y posterior mente resolverlos en un Pc. De manera correcta y eficiente.Tambin involucra la comprensin de los principios cientficos bsicos.

Los mtodos numricos se usan para resolver:

Calculo de derivadasIntegralesEcuaciones diferencialesOperaciones con matricesInterpolacionesAjustes de curvaPolmeros

Qu es un mtodo numrico?

Un mtodo numrico es un procedimiento mediante el cual se obtiene, casi siempre de manera aproximada, la solucin de ciertos problemas realizando clculos puramente aritmticos y lgicos (operaciones aritmticas elementales, clculo de funciones, consulta de una tabla de valores, clculo preposicional, etc.). Un tal procedimiento consiste de una lista finita de instrucciones precisas que especifican una secuencia de operaciones algebraicas y lgicas (algoritmo), que producen o bien una aproximacin de la solucin del problema (solucin numrica) o bien un mensaje. La eficiencia en el clculo de dicha aproximacin depende, en parte, de la facilidad de implementacin del algoritmo y de las caractersticas especiales y limitaciones de los instrumentos de clculo (los computadores). En general, al emplear estos instrumentos de clculo se introducen errores llamados de redondeo.

Entonces

La precisinLa precisin se refiere a qu tan cercano est un valor individual medido o calculado respecto a los otros. Por ejemplo, los nmeros 2.1 y 2.10 de un clculo realizado implican un distinto nivel de precisin. La primera cifra sugiere que el clculo se realiz con una precisin de slo dcimas de unidad; la segunda cifra (2.10) se obtuvo con una mayor precisin porque se introdujo hasta centsimas. Por tanto, el empleo de ceros en un nmero tendr que ser manejado con cuidado y las implicaciones deben ser comprensibles.

ExactitudExisten dos tipos de nmeros, los exactos y los aproximados. Los nmeros exactos son precisos al nmero exacto de cifras presentados, de la misma forma que sabemos que existen 12 manzanas en una docena y no 12.1. Sin embargo, en los mtodos numricos obtienen resultados aproximados. Por lo tanto, se debe desarrollar criterios para especificar qu tan precisos son los resultados obtenidos.

Errores de clculo Notacin cientfica (punto flotante) o Ejemplo:

2 * 102 = 200 5769 = 5.769 * 103 176936 = 1.77 * 105 0.00536 = 5.36 * 10-3 0.0000798 = 7.98 * 10-5

Tipos de errores Error absoluto y error relativoSean las variablesa = valor aproximadoa* = valor real el valor absoluto = E

E = | a*- a |

El valor relativo = Er Er = E/ a* El cual es llamado error porcentual

Ejemplo: Calcular el error absoluto y relativo de a* y

o a =0.50 * 10-2 o a*=0.51 * 102

Solucin:E = | a*- a |0.51*102 - 0.50 * 102 = 0.01 * 102 = 1.00Er = E/ a** 102 )/0.50 *102 = 0.02 * 100 = 2%

Mtodos de Intervalos cerradosLos siguientes mtodos requieren que las funciones sean diferenciales y continuos, siendo un intervalo donde se apliquen, por lo cual reciben el nombre de mtodo de intervalos.Incluso se pueden obtener las soluciones o races de una ecuacin algebraica o trascendente de la forma F(x)=0, hay un mtodo simple para obtener la raz de 0 el cual consiste en graficar o conocido como Mtodo Grafico.Algunos son:Mtodo de BiseccinMtodo GraficoFalsa Posicin

Mtodo de BiseccinConsiste en considerar un intervalo (xi, xs) en el que se garantice que la funcin tiene raz

El segmento se biseca, tomando el punto de biseccin xr como aproximacin de la raz buscada

Se identifica luego en el cual de los dos intervalos esta la raz

El proceso se repite varias veces, hasta que el punto de biseccin xr coincida con el valor exacto

Hay una manera o pasos para desarrollar el mtodo.1.- Elija valores iniciales inferior x1, y superior de x2, que encierren a la raz, de forma que la funcin cambie el signo en el intervalo. Esto se verifica comprobando que f(x1) f(x2)< 0 2.- Una aproximacin de la raz, se determina mediante: Xr= x1 + x2 / 23.- Realice las siguientes evaluaciones para determinar en que subintervalo sta la raz:Si f(x1) f(Xr)0, entonces la raz se encuentra dentro del subintervalo superior o derecho. Por tanto, haga X1 = Xr y vuelva al paso 2.4.- Si f(x1) f(Xr) =0, entonces la raz se igual a Xr; y termina el clculo.

Mtodo GraficoUn mtodo simple para obtener una aproximacin a la raz de la ecuacin f(x)=0 consiste en graficar la funcin y observar en donde cruza el eje X este punto ser representado como f(x)=0 proporciona una aproximacin inicial a la raz.

La tcnica tiene un valor prctico limitado, ya que no son precisos, pero son preferidos para obtener aproximaciones de la raz o valores iniciales para los mtodos numricos.

Las estrellas rojas representan cada raz que tiene la ecuacin, es decir, cada vez que la funcin corta el eje de las abscisas

Falsa Posicin

Consiste en considerar un intervalo (xi, xs) en el que se garantice que la funcin tiene raz

Se traza una recta que une los puntos (xi, f(xi)), (xs. f(xs))

Se obtiene el punto de interseccin de esta recta con el eje de las abscisas (xr, 0); se toma xr como aproximacin de la raz buscada

Se identifica luego en el cual de los dos intervalos esta la raz

El proceso se repite n veces, hasta que el punto de interseccin xr coincide prcticamente con el valor exacto de la raz.

Mtodo abierto

Los mtodos abiertos utilizan una frmula para predecir la raz. Esta frmula puede desarrollarse como una iteracin simple de punto fijo (tambin llamada iteracin de un punto o sustitucin sucesiva o mtodo de punto fijo).

Las races mltiples son determinados de ecuaciones polinmica que tienen la forma general:

fx = a0 + a1x + a2*2 + ... + an * n

Donde n es el grado del polinomio y son los coeficientes. Las races de los polinomios pueden ser reales y / o complejos, y cumplir con las tres reglas:

En una ecuacin de grado n, hay n races reales o complejas. Cabe sealar que las races no son necesariamente diferentes.

Si n es impar hay al menos una raz real.Si hay races complejas, estas se encuentran en pares conjugados.

Los mtodos abiertos que se analizarn son:

Mtodo de iteracin de punto fijo

El mtodo del punto fijo es un mtodo iterativo que permite resolver sistemas de ecuaciones no necesariamente lineales. En particular se puede utilizar para determinar races de una funcin de la forma f(x), siempre y cuando se cumplan los criterios de convergencia.

El mtodo de iteracin de punto fijo, tambin denominado mtodo de aproximacin sucesiva, requiere volver a escribir la ecuacin f(x)=0 en la forma x=g(x).Llamemos x^* a la raz de f. Supongamos que existe y es conocida la funcin g tal que:f(x) = x - g(x) x del dominio.Entonces:

Tenemos, pues, a x^* como punto fijo de g.

Decimos que es un punto fijo de la funcing(x) si se cumple g() = .

Ejemplo:Escribe la ecuacin cos(x) x = 0 en forma de punto fijo.La ecuacin cos(x) x = 0 est en forma normal. Existen infinitas expresiones de punto fijo equivalentes, en primer lugar, podemos tomarx = cos(x). (2)Sumando x a ambos lados de la igualdad y despejando, resulta una nueva formulacin de punto fijo

Sumando 2x a los dos miembros de (2), se obtiene

Multiplicado por x los dos miembros de (2) por x y despejando, resulta

Iteracin de punto fijo Objetivo Aproximar la solucin de x = g(x). Mtodo

Supongamos que g(x) es continua, si la sucesin (xj) definidaPor:

Converge a un valor , entonces es un punto fijo de g(x).Demostracin se cumple

Como g(x) es continua, resulta

Aproxima la solucin decos(x) x = 0 con 5 decimales, mediante la iteracin de punto fijo para la forma

A partir del valor inicial x0 = 1.Si escribimos la ecuacin en la forma:

Cuntas iteraciones son necesarias para obtener 5 decimales?(a) En el primer caso, la frmula de recurrencia es

Resulta

(b) En el caso de la forma

la frmula de recurrencia es

y obtenemos

Vemos que en el segundo caso la convergencia es ms lenta.Convergencia de la iteracin de punto fijo

La utilidad de la ecuacin g (x) es que proporciona una frmula para predecir un nuevo valor de x en funcin del valor anterior de x. de esta manera, dado un valor de inicio a la raz Xi, la ecuacin g (x) se puede usar para obtener una nueva aproximacin Xi+1, expresada por la frmula iterativa.Xi+1 = g (x)

Como con otras frmulas iterativas de este libro, el error aproximado de esta ecuacin se puede calcular usando el estimador de error.

Ea = |Xi+1 - Xi | 100 % | Xi+1 |

1.- Se sustituye datos2.- Igualar a Cero la ecuacin para obtener f(x) = 03.- Graficar o tabular para obtener una 1ra aproximacin a la raz buscando, Xo (valor cercano a la raz)4.- Buscar o transformar f(x) = 0 para obtener las g (x).5.- Para saber que g(x) se debe utilizar (sabiendo que la raz se quiere encontrar) a) Se derivan las g(x)Se evaluan las g(x) cn la 1a aproximacin Xo y la que cumpla |g'(x)|