Quarta part - Geometrìa Analìtica ant lë spassi Tàula …Quarta part - Geometrìa analìtica ant lë spassi 120 Për andividoé ij pont dl'assx i podoma noté che costi a l'han

Quarta part - Geometrìa analìtica ant lë spassi

117

Quarta part - Geometrìa Analìtica ant lë spassiLe coordinà cartesian-e ant lë spassi. Righe drite e pian ant lë spassi. L'arpresentassion analìtica 'd lìnie e 'dsurfasse ant lë spassi.

Tàula dla quarta partGeometrìa Analìtica ant lë spassi .............................................................................................................................. 119

Coordinà cartesian-e ant lë spassi .................................................................................................................................................... 119Righe drite e pian ant lë spassi ......................................................................................................................................................... 120

Condission d'alineament ëd tre pont .......................................................................................................................................... 120Condission për che quat pont a sio an sl'istéss pian ............................................................................................................... 120Equassion d'un pian ....................................................................................................................................................................... 121

Pian particolar ............................................................................................................................................................................. 121Pian ch'a passa për un pont ...................................................................................................................................................... 121Equassion segmentària d'un pian ........................................................................................................................................... 121

Intersession ëd doi pian - Paralelism - Riga drita ant lë spassi ........................................................................................... 122Equassion ëd na riga drita ant lë spassi ................................................................................................................................ 122Equassion ëd na riga drita për doi pont ................................................................................................................................ 122Equassion ëd na riga drita për un pont .................................................................................................................................. 122Equassion ëd righe drite paralele ........................................................................................................................................... 123Intersession ëd na riga drita con un pian .............................................................................................................................. 123

Trasformassion dle coordinà ............................................................................................................................................................. 123Visual simulà ................................................................................................................................................................................... 123

Àngoj e distanse ant lë spassi ........................................................................................................................................................... 125Distansa 'd doi pont........................................................................................................................................................................ 125Cossen diretor ................................................................................................................................................................................. 126Distansa d'un pont da un pian...................................................................................................................................................... 126

Equassion normal d'un pian ..................................................................................................................................................... 127Espression dla distansa ............................................................................................................................................................. 128Condission ëd përpendicolarità fra reta e pian .................................................................................................................... 128

Àngoj fra pian ................................................................................................................................................................................. 128Condission ëd përpendicolarità fra doi pian ........................................................................................................................ 128

Àutre surfasse e lìnie ant lë spassi ................................................................................................................................................... 128Equassion ëd na surfassa .............................................................................................................................................................. 128

Surfasse particolar ..................................................................................................................................................................... 129Sfera .................................................................................................................................................................................................. 130Surfasse 'd rotassion ...................................................................................................................................................................... 130Arpresentassion dle linie ant lë spassi ....................................................................................................................................... 131Élica sircolar .................................................................................................................................................................................... 131Elissòid ............................................................................................................................................................................................. 132Iperbolòid ......................................................................................................................................................................................... 133

Iperbolòid a na surfassa ............................................................................................................................................................ 133Iperbolòid a doe surfasse.......................................................................................................................................................... 135

Parabolòid ........................................................................................................................................................................................ 136Parabolòid elìtich ....................................................................................................................................................................... 136Parabolòid iperbòlich ................................................................................................................................................................ 137


118

Tàula dle figure dla quarta partFigura 1 - Coordinà cartesian-e ant lë spassi ...................................................................................................................................... 119Figura 2 - Camp ëd gieugh...................................................................................................................................................................... 124Figura 3 - Prima rotassion - Conversion dla .................................................................................................................................... 124Figura 4 - Distansa 'd doi pont ant lë spassi ........................................................................................................................................ 125Figura 5 - Distansa d'un pont da un pian ............................................................................................................................................. 127Figura 6 - Surfassa ant lë spassi ............................................................................................................................................................. 129Figura 7 - Surfassa 'd rotassion .............................................................................................................................................................. 130Figura 8 - Élica sircolar ........................................................................................................................................................................... 132Figura 9 - Elissòid ..................................................................................................................................................................................... 133Figura 10 - Ipèrbol a na surfassa ........................................................................................................................................................... 134Figura 11 - Iperbolòid a doe surfasse ................................................................................................................................................... 135Figura 12 - Parabolòid elìtich ................................................................................................................................................................. 136Figura 13 - Parabolòid iperbòlich .......................................................................................................................................................... 137


119

Geometrìa Analìtica ant lë spassiCon nòstr sòlit ghëddo i doma n'uciada a l'estension ant lë spassi dij prinsìpi dal geometrìa analìtica,

sempe intèis che se quaicòs ëd pì a no servirà peui, i lo vardroma an sël moment. L'amportant a lé, adéss, butéquàich base.

Coordinà cartesian-e ant lë spassiA ven pitòst bin e ampressa l'estension a lë spassi 'd lòn ch'i l'oma vist për ël pian. I pijoma un pont O

ant lë spassi, che i ciamoma 'ncora "orìgin ", e tre righe drite orientà x, y, z che a passo për sto pont, che a stagonen an sël midem pian, e ciamoma coste righe "ass coordinà ". I l'avroma n'ass dle x, n'ass dle y e n'ass dle z, che aindividuo tre pian, ant l'ordin pian xy (pian che a conten ij doi ass x e y), pian yz e pian xz, che a formo un triédro.

L'orientament ëd j'ass a peul esse arbitrari d'autut, ma a-i son doe situassion possìbij. Se i vardoma, dritda la part positiva dl'ass z, la part dël pian xy che a stà fra ij doi semiass positiv x e y, i podroma avèj 'l semiasspositiv la x a drita e 'l semiass positiv dla y a snistra, opura al contrari. Ant ël prim cas ël triedro xyz as dis "positivò drit ", mentre ant lë scond cas as dis "negativ ò snistr ".

I podoma consideré orientà 'dcò ij pian (ò face) dël triedro, disend che la part positiva dël pianandividoà da doi ass, ò soa përpendicolar positiva, a l'é cola orientà ant la part dlë spassi andova as treuva ladiression positiva dl'àutr ass coordinà. Is limitoma sì a consideré ass che a sio përpendicolar l'un con l'àutr, e isarferima a figura 1.

A

L

K

H

O

C

B

P

z

y

x

u

Figura 1 - Coordinà cartesian-e ant lë spassi

Se, com i l'oma fàit an sël pian, i stabilìma n'unità 'd misura, che për facilità i consideroma istessa për ijtre ass, i podoma buté an corispondensa biunìvoca ij pond dj'ass con ij nùmer reaj. Pijoma un pont qualonque Pe da cost i portoma an sël pian xy la paralela a l'ass z. An sël pian xy i trovroma un pont L. Foma l'istéss përj'àutri doi pian coordinà e i trovroma ij pont H e K. Dal pont L i portoma an sl'ass x la paralela a l'ass y e ansl'ass y la paralela a l'ass x. Dal pont H i portoma an sl'ass x la paralela a l'ass z e an sl'ass z la paralela a l'ass x.Dal pont K i portoma an sl'ass z la paralela a l'ass y e an sl'ass y la paralela a l'ass z. An costa manera i l'omadisegnà un paralelepìped dont il lat OA, OB, OC a l'avran misure, ant l'órdin xP, yP, zP, che i diroma coordinà dëlpont P. An efét costi tre nùmer reaj, ant la scala sernùa, a andivìduo an manera unìvoca 'l pont P , e al contrari, ëlpont P a andividua an manera unìvoca ij tre nùmer reaj.

Tuti ij pont che a stan an s'un pian coordinà a l'han la caraterìstica d'avéj l'àutra coordinà ugual a zero, edonca x = 0 a l'é n'equassion sodisfàita da tuti (e mach) ij pont dël pian yz, l'equassion y = 0 a l'é sodisfàita da tutiij pont dël pian xz e l'equassion z = 0 a l'é sodisfàita da tuti ij pont dël pian xy.


120

Për andividoé ij pont dl'ass x i podoma noté che costi a l'han coordinà y = 0 e coordinà z = 0. An efétl'ass x a stà tant an sël pian xy coma an sël pian xz e donca a venta che a sodisfa a tute doe le equassion. Al'istessa manera i podoma rasoné për l'ass y e për l'ass z.

Pian che a sio paraléj al pian coordinà xy a conten-o tuti ij pont che a l'han n'istéss valor dla coordinà z.Pian che a sio paraléj al pian coordinà yz a conten-o tuti ij pont che a l'han n'istéss valor dla coordinà x. Pian chea sio paraléj al pian coordinà xz a conten-o tuti ij pont che a l'han n'istéss valor dla coordinà y.

Se adéss i pensoma a righe drite paralele a n'ass, disoma l'ass x, coste a sta su 'n pian paralél al pian xy esu un pian paralél al pian xz, e donca a son arpresentà da le doe equassion z = cost e y = cost. A l'istessa manera asrason-a për righe drite paraléle a j'àutri ass.

Righe drite e pian ant lë spassiËl procediment a smija da davzin a col ch'i l'oma dovrà an sël pian. I suponoma d'avèj doi pont

)z,y,x(P)z,y,x(P 22221111 e . I consideroma la reta che a-j uniss, e su costa reta un pont P(x, y, z) che aforma un rapòrt sempi con j'àutri doi k)PPP( 21 . I suponoma 'dcò che costa reta a sia nen paralela a quàichpian coordinà.

Për ognidun ëd costi pont i foma passé ij tre pian paraléj ai pian coordinà, e i consideroma leintersession ëd costi tre pian con j'ass. I trovoma tre pont, për ògni ass, che a son ant l'istéss rapòrt sempi fra 'dlor, e i podoma scrive:

k1kzz

z;k1kyy

y;k1kxx

x 212121

Coste a son le espression dle coordinà d'un pont che a sia alineà con àutri doi (con k 1)

Condission d'alineament ëd tre pontSvilupand sti concét an sël tipo 'd lòn ch'i l'oma fàit an sël pian, i trovoma che la condission

d'alineament ëd tre pont )z,y,x(P)z,y,x(P)z,y,x(P 22221111 e; a son dàite da un sistema 'd doeequassion che a peul esse dàit ant la forma:

21

1

21

1

21

1zzzz

yyyy

xxxx

I stoma nen a dé la dimostrassion, Sòn a conferma 'dcò che na riga drita ant lë spassi a l'é dàita da unsistema 'd doe equassion.

Condission për che quat pont a sio an sl'istéss pianI consideroma ij tre pont separà e nen alineà )z,y,x(P),z,y,x(P),z,y,x(P 333322221111 . Se i

unìma 'l pont P3 con ògni pont Q dla riga drita che a passa për P1 e P2, e i pijoma 'dcò la paralela a P1 e P2 che apassa da P3, I l'oma ampinì tut ël pian P1P2P3. Un qualonque pont P che a sia complanar con ij nòstr tre 'dpartensa a venta che a sia an s'un-a 'd coste righe drite. La condission ëd complanarità a passa donca përconsiderassion an sla condission d'alineament.

Sensa dé dimostrassion, i podoma dì che quat pont a son an s'un pian, se a val zero 'l determinant dëlquart órdin formà con le coordià dij pont midem e d'element uguaj a 1, determinant che i arportoma sì sota.

0

1zyx1zyx1zyx1zyx

333

222

111


121

Equassion d'un pianPartend da lòn ch'i l'oma vist sì dzora as dimostra che tuti e mach ij pont dël pian che a conten tre pont

nen alineà a sodisfo a la condission scrita, e che costi pont a son coj che a sodisfo a na relassion linear dël tipo axby cz d 0, andova a, b, c, d a son nùmer che a ven-o determinà dai tre pont

)z,y,x(P),z,y,x(P),z,y,x(P 333322221111 .

As dimostra che ògni pian a l'é arpresentà da n'equassion dë sto tipo e che n'equassion dë sto tipo aarpresenta sempe un pian.

Pian particolarSe, ant l'equassion dël pian ch'i l'oma vist, i l'oma 'l termo d 0, e donca nòstra equassion a l'é dël tipo

ax by cz 0, antlora 'l pian a passa da l'orìgin dj'ass. An efét, com as ved sùbit, l'equassion a l'é sodisfàita dala trièn-a x 0, y 0, z 0.

Se i l'oma 'l coeficent a 0 e 'l termo d 0 e donca nòstra equassion a l'é by cz 0, antlora a l'ésodisfàita da tuti ij pont dl'ass x (dont ij pont a l'han y 0 e z 0) e donca 'l pian a passa për cost ass.

Se anvece i l'oma 'l coeficent a 0 e 'l termo d 0 (nòstra equassion a l'é by cz d 0 ), antloragnun pont ëd l'ass x a peul sodisfé l'equassion, e l' pian a l'é paralél a cost ass.

L'istéss dëscors a val për j'àutre coordinà. e donca l'equassion ax cz 0 a l'é cola d'un pian che apassa për l'ass y, e l'equassion ax cz d 0 a l'é cola d'un pian paralél a l'ass y.

L'equassion ax by 0 a l'é cola d'un pian che a passa për l'ass z, e l'equassion ax by d 0 a l'é colad'un pian paralél a l'ass z.

Se l'equassion as arduv a na sola coordinà, coma ax d 0, antlora 'l pian a l'é paralél tant a l'ass ycoma a l'ass z, e donca a l'é paralél al pian coordinà yz. Fasend l'istéss dëscors për j'àutre coordinà i l'oma che by

d 0 a l'é un pian paralél al pian coordinà xz, e i l'oma che cz d 0 a l'é un pian paralél al pian coordinà xy.An particolar i l'oma che x 0 a l'é'l pian coordinà yz, che y 0 a l'é'l pian coordinà xz, che z 0 a l'é'l piancoordinà xy.

Pian ch'a passa për un pontDàit un pont )z,y,x(P 0000 se un pian a passa për col pont a venta che soa equassion a sia

sodisfàita da le coordinà dël pont midem. Soa equassion a a l'é:

0)zz(c)yy(b)xx(a 000

Equassion segmentària d'un pianSe ij coeficent a, b, c, d dl'equassion ax by cz d 0 a son tuti diferent da zero, ël pian a l'é nen

paralél a gnun ëd j'ass e a passa nen për l'orìgin. Sòn a veul dì che a ancontra j'ass ognidun ant un pont, e idisoma che a ancontra l'ass x ant ël pont A, l'ass y ant ël pont B e l'ass z ant ël pont C.

Le coordinà dël pont A a venta che a sodisfo l'equassion dël pian e cole dl'ass x (vis-a-dì y 0 e z 0).La coordinà x as arcava da l'equassion dël pian sostituend ij valor y 0 e z 0, e a arzulta esse x d/a. Ël piana taja donca an sl'ass x ël segment OA d/a.

Fasend l'istéss dëscors për j'àutri ass as treuva an sl'ass y ël segment OB d/b, e an sl'ass z ël segmentOC d/c.

Se i butoma che p d/a ; q d/b ; r d/c , as dimostra ampressa che l'equassion dël pian a peul

pijé la forma 1rz

qy

px , andova p, q, r a son ij segment (misurà da l'orìgin) che 'l pian a taja an sj'ass

coordinà.


122

Intersession ëd doi pian - Paralelism - Riga drita ant lë spassiSe i pijoma le equassion ëd doi pian : ax by cz d 0 e a'x b'y c'z d' 0, costi a l'han tre

possibilità, dont la prima a l'é che as ancrosio arlongh na riga drita, la sconda a l'é ch'a sio paraléj, la tersa a l'é chea sio coincident. Sòn a dipend da còs a arpresenta 'l sistema dle doe equassion.

As peul dimostrésse ij coeficent a, b, c e a', b', c' a son a doi a doi proporsionaj, ij doi pian a son paraléj,se 'dcò 'l termo d e d' a son proporsionàj ansema ai coeficent, antlora le doe equassion a son echivalente e ij doipian a coincido.

An tuti j'àutri cas ël sistema a l'é sodisfàit da tuti ij pont ëd na riga drita, che a l'é cola dl'intersession dijdoi pian. Le doe equassion a andivìduo la riga drita.

Equassion ëd na riga drita ant lë spassiI l'oma vist sì dzora che un sistema ëd doe equassion linear ant le tre variàbij x, y, z a arpresenta, se a-i

é, la riga drita d'intersession dij doi pian. Ma mentre doi pian a peulo andividoé na dàita riga drita, a val nen ëlcontrari, përchè na riga drita a l'é arpresentà da na qualonque cobia 'd pian che as ancrosio arlongh cola rigamidema. A passo për cola riga tuti ij pian che a peulo otrn-se coma combinassion linear dle doe equassion ëdpartensa.

Se i suponoma che ant le doe equassion a-i sia nen ël cas a a' 0 opura b b' 0 , i podoma eliminéy da le doe e për fé sòn i moltiplicoma la prima equassion për b' e la sconda për b e i-j'adissionoma otnendl'equassion : 0)b'd'db(z)b'c'cb(x)b'a'ab( , peui i podoma 'dcò eliminé x a l'istéssa maneramoltiplicand la prima equassion për a' e la sconda për a e adissionand i otnoma l'equassion :

0)a'd'da(z)a'c'ca(y)a'b'ba( . Donca, sempe ant l'ipòtesi che la riga a sia nen paralela alpian xy, j'equassion dla riga drita a peulo esse scrite coma:

costantcon q,p,m,lqmzyplzx

La riga a l'é donca arpresentà da la crosiera 'd doi pian paraléj ant l'órdin a j'ass x e y. Costi a son doipian diferent përchè nòstra riga a l'é nen paralela al pian xy.

Equassion ëd na riga drita për doi pontCoste equassion a derìvo da la condission d'alineament ëd tre pont ch'i l'oma vist prima. Se)z,y,x(P a l'é un pont genérich ëd costa reta, e ij doi pont andova la reta a passa a son )z,y,x(P 1111 e

)z,y,x(P 2222 , la reta ch'i secoma a l'é dàita da j'equassion:

21

1

21

1

21

1zzzz

yyyy

xxxx

Equassion ëd na riga drita për un pontA venta scrive l'equassio ëd na reta che a sia sodisfàita da le coordinà dël pont )z,y,x(P 1111 e sòn a

càpita ant j'equassion :

tzz

syy

rxx 111

andova r, s, t a son tre costant qualonque. Vardand j'equassion dla riga drita për doi pont, as peul vëdde che fisséste tre costant a veul dì stabilì n'àutr pont ëd la riga. Variand ij rapòrt fra ste costant as peulo oten-e tute le reteche a passo për )z,y,x(P 1111 .


123

Equassion ëd righe drite paraleleAs dimostra che doe righe drite ant lë spassi a son paralele se ij coeficent r, s, t dle doe a son istéss ò

proporsionàj. Costa dimostrassion a pòrta a conclude che l'orientassion dla riga drita a dipend mach dal rapòrt ëdcosti tre coeficent .

Intersession ëd na riga drita con un pian

I pijoma 'l pian genérich ax by cz d 0 e la riga dritatzz

syy

rxx 111 e i sercoma la

solussion che a sodisfa tute doe le equassion.A conven scrive n'equassion paramétrica dla riga drita, ciamand pr'esempi, v ël valor comun dij

member ëd soa equassion. Antlora as arcava che tvzz;svyy;rvxx 111 . Costi valor apeulo esse sostituì ant l'equassion dël pian :

ctbsardczbyax

v

0)ctbsar(0dczbyaxv)ctbsar(

0d)tvz(c)svy(b)rvx(a

111

111

111

antlorasee

An sto cas a basta sostituì sto valor ant j'equassion dla riga drita e as treuvo le coordinà dël pontd'intersession. Se 'l denominator 0ctbsar antlora a-i son nen intersession e reta e pian a son paraléj.

Trasformassion dle coordinàI suponoma sempe un sistema 'd coordinà cartesian-e ortogonaj x, y, z, andova un pont P genérich a

l'ha coordinà P(x, y, x). I suponoma adéss un neuv sistema ortogonal d'arferiment X, Y, Z, dont l'orìgin a venspostà ant ël pont O'( ), e ij neuv ass a formo con ij véj j'àngoj Xx, Xy, Xz, Yx, Yy, Yz, Zx, Zy, Zz. An costcas, sensa dé la dimostrassion, i disoma che la trasformassion a l'é goernà da j'equassion :

ZzcosZYzcosYXzcosXzZycosZYycosYXycosXyZxcosZYxcosYXxcosXx

Se i suponoma che le doe trien-e d'ass a l'àbio l'istéss segn (posission ressìproca dle diression positivedj'ass istesse) as peul vëdde che costi neuv àngoj a son nen tuti andipendent ma, an efét, a-i son mach treparameter andipendent, che a son ciamà "àngoj d'Eulero", e la trasformassion as peul esprime con costi treparameter.

Visual simulàI seurtoma giusta un pòch da nòstr but për mostré com as peul arpresenté su un pian (tipo lë scherm

dël calcolator) la visual che a-i é da un dàit pont e ant na dàita diression, d'un "panorama" dëscrit da pont e lìnieant un dàit sistema d'arferiment. Sòn a l'era part ëd na sempia simulassion ëd na barca a vela ch'a fasìa na regà fraqutr o sinch ìsole. J'isole a j'ero arpresentà da piràmid a base quadrà, con base an sla surfassa dl'àqua.

A-i son donca sinch pont për ìsola che a l'han soe coordinà ant un sistema d'arferiment fiss, dont quatpont a son an sël pian xy e 'l quint a l'ha 'dcò na coordinà z diferenta da zero. La figura 2 a mostra ël "camp ëdgieugh"..

La trien-a cartesian-a mòbil a l'é solidal con la bàrca, con orìgin ant ël pont ëd vista e diression ch'apeul esse sernùa fra "anans", "drita", "andaré", "snìstra". La barca, peui, a l'ha un moviment d'ossilassion antornaa sò ass orisontaj (bechegg e sbandament) e la rotassion antorna a l'ass vertical dàita dal timon. A-i é 'dcòn'ossilassion sù e giù arlong a l'ass z, antorna a na dàita posission (un paira 'd meter).

Ëd tuta costa facenda lòn ch'an anteréssa ambelessì a l'é trove le coordinà dij pont che a arpresentoj'ìsole ant ël sistema mòbil d'arferiment ant un dàit temp t. L'ass y dla trien-a mòbil a l'é col ëd visual.


124

I l'oma donca l'orìgin mòbil che a l'avrà coordinà, calcolà dal programa istant për istant (ògni un suquindes ëd second) che a saran x0, y0, z0 ant ël sistema fiss e 0, 0, 0, ant ël sistema mòbil. Peui i l'oma narotassion dj'ass e antorna a (rotassion che a comprend la diression d'osservassion), na rotassion ëdbechegg antorna a l'ass e na rotassion dë sbandament antorna a l'ass .

Adéss i pijoma n'ìsola qualonque e i disoma che P1, P2, P3, P4, a son ij pont ëd base e P5 a l'é el cò dlapiràmid. I suponoma pr'esempi P5 (1700, 900, 50).

Figura 2 - Camp ëd gieugh

I suponoma ëd fé prima lë spostament dl'orìgin dl'arferiment mòbil. Se i suponoma che le coordinàx0, y0, z0 a sio pr'esempi x0 = 1450, y0 = 500, z0 = 1, le coordinà ëd P5 a dvento

49;400;250 00505 zzyyxx . Peui i comensoma a fé la rotassion antorna a l'ass z,e i suponoma na rotassion ëd 60°. An costa rotassion le coordinà a cambio nen. Për le coordinà e i l'oma,com as peul vëdde da figura 3:

Figura 3 - Prima rotassion - Conversion dla

La figura a mostra che la neuva ' a l'é dàita da sincos dal moment che a a l'é negativ e acasca ant ël ters quadrant, ël cossen a l'é positiv, ma ël sen a l'é negativ. An manera sìmil as peul vëdde che laneuva ' a l'é dàita da sincos , mentre ' .

1000 m 2000 m

1000 m

1

2 3

4

5

x

y

x0, y0, z0

=-60°

= cos = sen

= cos sen ’’

’


125

A sta mira i doma la rotassion ëd antorna a l'ass . I l'avroma che le coordinà x' a càmbio nen,mentre a cambio le coordinà y' e z'. I l'avroma torna che sincos e peui sincoscon x" = x'. Dòp as dà la rotassion g antorna a l'ass y, sempe con l'istéss procediment.

As oten, an costa manera. la conversion fra le coordinà stàtiche dël càmp a le coordinà mòbijdl'arferiment solidal con la barca.

Ël gieugh, a sta mira, a projeta ij pont an sla surfassa ed disegn, e a treuva la manera ëd tiré la l'niad'orisont. Peui a tira le lìnie fra ij pont.

A sta mira, però, i andoma pì nen anans an costa costion, dal moment che i soma già pitòst fòra ëdnòstr but.

Àngoj e distanse ant lë spassiI consideroma sempe un sistema d'ass cartesian ortogonaj. I limitoma 'l dëscors a pòche còse, sempe

ant ël but ëd dì 'd lòn ch'as trata e dé n'idèja ëd quaj ch'a son ij metod dovrà për traté l'problema, e 'dcò për déquàich arzultà che peui a podrà vnì a taj, an particolar a propòsit dij cossen diretor ëd na riga drita, che ivëddroma.

Distansa 'd doi pontIs arferima a figura 4, andova i l'oma arpresentà, an coordinà cartesian-e, doi pont qualonque

)z,y,x(P 1111 e )z,y,x(P 2222 .

P1

x1

P2

y1

z1

y2

x2

z2

x

z

y

Figura 4 - Distansa 'd doi pont ant lë spassi

A l'é fàcil vëdde che la distansa dij doi pont a corispond a la diagonal d'un paralelepiped che a l'ha ij latdàit da le diferense dle coordinà omònime dij doi pont. Donca i l'avroma :

212

212

21221

212

212

212

221

)zz()yy()xx(PP

)zz()yy()xx(PP :chedì-a-vis

Ël dobi segn a përmëtt d'orienté 'l segment se la riga drita për ij doi pont a l'é orientà.


126

Cossen diretorIs arferima 'ncora a figura 4 e i pensoma che 'l segment P1P2 a sia part ëd na dàita riga drita orientà r.

Le proiession ortogonaj ëd cost segnent an sj'ass coordinà a son 121212 zz;yy;xx dont ël valor a l'é :

zrcosPPzz;yrcosPPyy;xrcosPPxx 211221122112

Coste espression a definisso ij cossen diretor ëd na riga drita. As peul noté che righe drite paralele econ l'istéss orientament, a l'han j'istéss cossen diretor. Se i consideroma na riga drita paralela a cola an costion eche a passa për l'orìgin, ij cossen diretor a son la coordinà dël pont d'intersession dla part positiva 'd costa rigacon la sféra con ragg unitàri e senter ant l'orìgin.

Costa ùltima considerassion a mostra coma i l'àbio che 1zrcosyrcosxrcos 222

I suponoma adéss d'avèj doe righe drite orientà r e s an nòstr sistema d'arferiment che a podrìo esseincidente o sbiese. I definìma coma àngol formà da le doe righe drite, l'àngol formà da un-a con na traslassionparalela 'd l'àutra a crosié la prima opura, s'as preferiss, l'àngol formà da un-a con una qualonque dle paralele al'àutra che a l'ancrosio.

A l'é fàcil dimostré che ël cossen ëd l'àngol cos rs formà da ij vers positiv dle doe rete r e s, a l'é dàit da:

zscoszrcosyscosyrcosxscosxrcosrscos

I giontoma 'ncora che se na reta r a l'ha equassionn

zzm

yyl

xx 111 as deduv sùbit che

costa reta a l'avrà cossen diretor dàit da :

222222222 nml

nzrcos;nml

myrcos;nml

lxrcos

Ël dobi segn as arferiss ai doi possìbij orientament.A sta mira i podoma torna consideré le doe rete r e s e l'àngol che a formo. Se j'equassion dë ste doe

rete a son scrite ant la forman

zzm

yyl

xx 111 e'nzz

'myy

'lxx 222 , as oten che :

222222 nmlnml

'nn'mm'llrscos . Se cos rs = 0 , antlora le doe rete a son përpendicolar, dal

moment che sò àngol a sarà /2. La condission për che doe rete a sio përpendicolar a l'é donca ll' mm' nn'0.

Distansa d'un pont da un pianA ven misurà an sla përpendicolar da col pont al pian, arferendse al sens dal pian al pont.. Se le

përpendicolar al pian a son orientà, e donca 'l pian a l'é orientà, ëdcò la distansa a sarà orientà, e a sarà positiva se'l vers dal pian al pont a l'é colpositiv dle përpendicolar. La figura 5 a serca d'ilustré la situassion, arpresentand naporsion d'un pian qualonque, cola compréisa fra le diression positive dj'ass coordinà.

Dàit un sistema d'arferiment cartesian ortogonal, un pian e un pont )z,y,x(P , dàit an maneraqualonque, i consideroma doe righe drite përpendicolar al pian, che a passo l'un-a për ël pont P e l'àutra, la retan, për l'orìgin O. Ij pé 'd coste righe an sël pian p a saran, ant l'órdin, ij pont P0 e K . I ciamoma peui : dist P = de dist O = 0.

A sta mira i foma na trasformassion dj'ass, con la trien-a X, Y, Z, e i portoma 'l véj ass z a coincide conla normal n ch'a passa për l'orìgin, e che donca a dventa Z, e i portoma l'orìgin dij neuv ass a coincide con ël pontK, an manera che j'ass X e Y a resto an sël pian (sòn a veul d' buté 0 ).

An coste condission i l'oma, com i l'oma dit, che Z = . I suponoma che la trien-a X, Y, Z a sia 'l véjarferiment e x, y, z ël neuv e i podoma scrive :


127

0zncoszyncosyxncosx

x

O

z

y

P(x, y, z)

P0K

n

Figura 5 - Distansa d'un pont da un pian

An costa fòrmula a-i son vàire quantità nen conossùe, ma prima i vardoma n'àutra còsa anteressanta.

Equassion normal d'un pianSe i ciamoma che la distansa ch'i l'oma scrivù sì dzora a sia ugual a zero, i l'oma scrivù na condission

për che 'l pont P a staga an sël pian.Son a veul dì che costa a l'é un-a dle espression echivalente për andividoé 'l pian. L'istéss pian a peul

esse andividoà, donca, da soa equassion genérica 0dczbyax opura da0zncoszyncosyxncosx 0 . Sòn a veul ëdcò dì che a esist un fator ëd proporsionalità che se a

moltiplica la prima equassion, a produv la sconda.An efét i l'oma che:

222222222222 cba

czncos;cba

byncos;cba

axncos;cba

1

Se donca l'equassion 0dczbyax as moltìplica për , as oten l'equassion :

0cba

dzcba

cycba

bxcba

a222222222222

che a l'é l'equassion dël pian an "forma normal " andova ij coeficent dle variàbij x, y, z a son , ant l'ordin ij cossendiretor dla normal al pian, mentre 'l termo conossù a l'é la distansa dël pian da l'orìgin. l'orientament ëd la normala stabiliss ël segn dij radicaj.

Sòn a veul ëdcò dì che ant l'equassion 0dczbyax d'un pian, ij coeficent a, b, c dle variàbijx, y, z a son proporsionaj ai cossen diretor, ant l'ordin cos xn, cos yn, cos zn dla normal al pian, second lòn ch'i l'omavist.


128

Espression dla distansaA sta mira as peul dimostré ampressa che la distansa d'un pont )z,y,x(P 1111 da un pian

0dczbyax a l'é dàita dal valor che a pija l'prim member dl'equassion scrita an "forma normal " cand al'e variàbij as sostituisso le coordinà dël pont.

222111

1cba

dczbyaxPdist

I l'avìo già vist quaicòs dë smijant për le righe an sël pian.

Condission ëd përpendicolarità fra reta e pianDa lòn ch'i l'oma dit as arcava sùbit costa condission. An efét na riga drita che a l'àbia equassion

nzz

myy

lxx 111 a l'ha ij cossen diretor proporsionaj anr l'ordin a l, m, n. Un pian ch'a l'àbia

equassion 0dczbyax a l'ha ij cossen diretor dla normal proporsionaj a a, b, c e donca për che na rigadrita e un pian a sio normaj (përpendicolar) a venta che a sia : l : m : n = a : b : c.

Se donca ij cossen diretor dla reta a son proporsionaj ai ceficent a, b, c dl'equassion dël pian, reta e piana son përpendicolar.

Àngoj fra pianL'àngol diédro formà da doi pian orientà e ' a l'é ugual a l'àngol che a formo le rispetive normaj,

ch'a sio orientà com ij pian. Për semplifiché i podoma consideré le righe drite normaj che a passo për l'orìgin. Seij pian a son 0dczbyax e 0'dz'cy'bx'a , i podoma consideré le doe normaj

'cz

'by

'ax;

cz

by

ax

. L'àngol formà da coste doe rete a l'avrà 'l cossen ch'i l'oma vist a sò temp e donca

për ij pian i scrivroma:

222222 cbacba

ccbbaacos

Condission ëd përpendicolarità fra doi pianPër esse ij doi pian përpendicolar a venta che sto cossen a sia zero, e donca a venta ch'a sia:

0ccbbaa

Àutre surfasse e lìnie ant lë spassiAdéss i vardoma, sempe con ël sòlit but, le surfasse arpresentà da equassion che a anlìo le tre variàbij x,

y, z an manera nen linear, parèj com i l'oma fàit an sël pian con le fonsion ëd doe variàbij.

Equassion ëd na surfassaSe i l'oma na fonsion ëd doe variàbij andipendente z = f(x, y), che a sia definìa ant n'ansema dël pian xy,

për ògni cobia 'd valor che i podoma dé a x e y ant ël camp ëd definission, i trovroma un valor ëd z. Sta trien-a 'dvalor a andivìdoa un pont P(x, y, z) ant lë spassi.

Pì an general, dàita n'equassion an tre variàbij F(x, y, z) = 0, arferìa a na trien-a 'd coordinà cartesian-e, ipodoma dì che le trien-e 'd valor x, y, z che a sodisfo l'equassion a stabilisso un pont p(x, y, z) che a aparten al leugeométrich arpresentà da cola equassion.

Is arferima a figura 6, andova i ilustroma un concét ëd surfassa. I vëddroma peui cos a l'é na fonsioncontinua e còs a son soe derivà, adéss i vardoma la còsa an manera pì intuitiva. An figura la cobia 'd valor x', y' a


129

andividuo un pont Q(x', y') che as treuva ant ël camp ëd definission dla fonsion, vis-a-dì che a corispond a unvalor z' tal che F(x', y', z') = 0 a l'é verificà.

Se i consideroma n'anviron dël pont Q che a staga ant ël camp ëd definission, e tuti ij pont che costanviron a conten, për tuti costi pont i podroma trové un corispondent pont ant ël leu geométrich che a l'avrà unvalor che a càmbia con continuità, e sòn a dëscriv na surfassa.

I disoma donca che l'equassion z = f(x, y) opura F(x, y, z) = 0 a arpresenta sta surfassa e se 'l pont P(x,y, z) a stà su sta surfassa antrora soe coordinà a sodisfo l'equassion . I l'oma già vist che se l'equassion a l'é linear,antlora la surfassa an question a l'é un pian. Se la surfassa a l'ha na dàita lèj ëd generassion, antlora as peul dì chea l'é 'l leu dij pont che a sodisfo a dàite condission.

anviron d’un pontant l’ansema ‘d definission

surfassa fàita dai pont P(x, y, z) corispondentai pont dl’anviron

x’

y’

z’ P(x’, y’, z’)

z

x

y

Q(x', y')

Figura 6 - Surfassa ant lë spassi

Surfasse particolarParèj coma për le linie an sël pian, ël concét ëd simetrìa a ven fòra 'dcò da le equassion dle surfasse. I

consideroma sempe d'ass coordinà ortogonaj.Na surfassa a l'é simétrica rispét a un dij pian coordinà se, cambiand segn a l'àutra coordinà, a cambia

nen. Pr'esempi a l'é simetrica rispét a al pian xy se F(x, y, z) = F(x, y, z).Na surfassa a l'é simétrica rispét a n'ass coordinà se, cambiand ij segn ëd j'àutre doe coordinà, a càmbia

nen. Pr'esempi a l'é simétrica rispét a l'ass x se F(x, y, z) = F(x, y, z).Na surfassa a l'é simétrica rispét a l'orìgin se, cambiand ël segn a tute e tre le coordinà, a càmbia nen.

Vis-a-dì se F(x, y, z) = F( x, y, z).L'equassion F(x, y, z) = 0 a peul arduvse a doe variàbij, pr'esempi F(x, y) 0, contut che a resta

n'equassion ëd na surfassa. An particolar, se i suponoma che a-i sia nen la coordinà z, a veul dì che la condissionche a definiss la surfassa a vìncola mach le coordinà x e y, e qualonque pont che a l'àbia coordinà x e y che asodisfo la condission, a apartern al leu geométrich arpresentà da l'equassion, a-i na fà nen quala ch'ha sia soacoordinà z.

An cost cas as trata d'un cilìnder vertical che a l'ha session dàita an sël pian xy da l'equassion f(x, y) = 0.Da ògni pont ëd costa lìnia a passa na generatriss paralela a l'ass z. Se la coordinà ch'a manca a l'é n'àutra, antlora'l cilinder a l'é paralél a l'ass ëd cola coordinà.

L'istessa equassion F(x, y, z) = 0 a peul arduvse a mach na variàbil, pr'esempi F(x) 0, contut che aresta n'equassion ëd na surfassa. Sòn a veul dì che se un pont x k a sodisfa l'equassion, costa a arpresenta 'lcorispondent pian paralel al pian coordinà dj'àutre doe variàbij (an cost cas ël pian yz).


130

Se peui ël prim member dl'equassion a l'é na fonsion omogénia dle coordinà, vis-a-dì che se a l'ésodisfàita dal pont )z,y,x(P 1111 , antlora a l'é 'dcò sodisfàita da tuti ij pont con coordinà 111 kz,ky,kx ,andova k a l'é na costant qualonque, i notoma che costi pont a son tuti coj dla riga drita che a passa për P1 e përO. L'equassion a arpresenta donca righe drite che a passo për l'orìgin e che a son donca le generatriss d'un cònocon ël cò ant l'orìgin. Se l'equassion a l'é omogénia rispét ai binòmi (x a), (y b), (z c), antlora a arpresenta uncòno con ël cò ant ël pont (a, b, c).

SferaI podoma scrive la condission relatìva al leu dij pont P ant lë spassi echidistant, a na distansa r, da un

pont dàit C( ). Costa a l'é la surfassa ëd na sféra (a l'é implìcit che i suponoma d'ass cartesian ortogonaj). Lacondission a l'é:

222 )z()y()x(CP

e donca l'equassion a arzulta: 2222 r)z()y()x( e, svilupand ij quadrà, i l'oma:

0222 2222222 rzyxzyx

Al contrari, an general, qualonque equassion dlë scond gré an x, y, z, che a peussa arduvse al tipo

0dczbyaxzyx 222 a l'é l'equassion ëd na sfera. Për che costa sfera a sia real a venta che asia real sò ragg. e che a-i sia un senter real. An efét as peul verifiché che l'equassion sì dzora a l'é echivalenta a la :

4)d4cba(

2cz

2by

2ax

222222 e donca la sfera a l'é real se

0)d4cba( 222 e 'l senter a l'avrà coordinà C( a/2, b/2, c/2).

Cand anvece 0)d4cba( 222 antlora a venta consideré element imaginari, che sì i vardomanen.

Surfasse 'd rotassionIs arferima a figura 7, andova i mostroma n'esempi 'd na surfassa 'd rotassion generà da na fonsion f(y,

z) definìa an sël pian yz. An general as trata 'd la surfassa trassà da na curva definìa an s'un pian qualonque che avira antorna a na riga drita che a l'é ciamà l'ass dla surfassa.

z

x

y

f(y, z)

O

M(y, z)

P1

M1

PH

Figura 7 - Surfassa 'd rotassion


131

An nòstr esempi 'l pian a l'é un dij pian coordinà e l'ass a l'é un dj'ass coordinà che a definisso col pian.Ògni pont ëd la lìnia a dëscriv un sercc ciamà "paralél ", che a stà an s'un pian përpendicolar a l'ass, mentre ògnipian che a conten-a l'ass a taja la surfassa second na lìnia congruenta a cola generatriss, e costa lìnia a l'é ciamà"meridian ".

Ant le condission ëd figura, andova l'ass z a coincid con l'ass dla surfassa, e conossend l'equassion f(y, z)= 0, (meridian an sël pian yz) i provoma a scrive l'equassion dla surfassa.

Un pont qualonque P(X, Y, Z) dla surfassa a stà an sël paralel generà da un pont M(y, z) dla curva ansël meridian che i conossoma. I vardoma antlora le relassion che a-i son fra le coordinà dël pont M e cole 'd P.Prima 'd tut i notoma che a l'ha l'istessa coordinà z Z, dal moment che a son an sl'istéss pian përpendicolar al'ass z. Peui a stan ëdcò an sl'istéss sercc paralel con senter an K (che a soa vira a stà an sl'ass z), e donca i l'omache KMKP e 'dcò che 11 OMOP e, a la finitiva:

zZ;yYX 22

La surfassa 'd rotassion che i sercoma a l'é 'l leu ëd tuti ij pont dont le coordinà (X, Y, Z) a sodisfo a lerelassion sì dzora, andova i l'oma 'ncora che y e z a son anlià da l'equassion f(y, z) = 0. Sòn a veul d' che

l'equassion dla surfassa a sarà Z,YXf 22

Se anvece as conòss l'equassion dla surfassa 'd rotassion e as veul trové la curva che a la produv (vis-a-dì un meridian), suponoma an sël pian yz, antlora a basta buté x 0 ant l'equassion dla surfassa.

Arpresentassion dle linie ant lë spassiNa manera còmoda për arpresenté na qualonque linia ant lë spassi a l'é cola parameétrica. La lìnia a ven

dëscrivùa coma leu dij pont dont le coordinà x, y, z a sodisfo tre equassion fonsion d'un parameter t, vis-a-dì : x= f(t), y = g(t), z = h(t). Se ste tre fonsion a son definìe ant un dàit interval, a son contìnoe con soe prime doederivà (vëdde dòp an anàlisi matemàtica), coste a peulo dëscrive na lìnia, dal moment che për ògni valor dàit a lavariàbil t, le variàbij x, y, z a pijo un valor corispondent a la posission d'un pont. Se t a vària con continuità, ëdcòla psission dël pont a vària con continuità e a dëscriv lòn che, da na mira antuitiva, a l'é na lìnia.

N'esempi che arpijroma parland ëd Fìsica a l'é col andova 'l parameter t a arpresenta 'l temp e leequassion a dëscrivo la traietòria d'un pont che as bogia ant lë spassi.

N'àutra arpresentassion për na lìnia che sovens a peul esse dovrà, a l'é cola ch'i l'oma dësgià vist për lerighe drite, via-a-d' coma intersession ëd doe surfasse. Ëd sòn i vëddroma quàich esempi pì anans.

Élica sircolarAs trata 'd amportanta lìnia, che a peul esse in-maginà coma linia trassà an sla surfassa d'un cilìnder

rotond (vis-a-dì, a session sircolar), che a taja le generatriss con n'àngol costant. Is arferima a figura 8 ëd nòstrarferiment. Sto cilinder a taja 'l pian xy second un sercc ëd ragg OA. Costi a son ëdcò ass e ragg ëd nòstra élica. Atràit e pont a son arpresentà 'dcò tre generatriss ëd nòstr cilìnder.

N'élica a peul "ausésse" (arlongh l'ass z) virand an sens anti-orari, coma an figura, e antlora a ven ciamà"élica drita " ò "positiva ", a peul anvéce "calé " virand an sens anti-orari, e antlora a ven ciamà "élica snistra " ò"negativa ".

Për arpresenté analiticament l'élica i pijoma sò ass coma ass z e coma ass x i pijoma na lìniapërpendicolar a l'ass z che a ancontra un pont ëd l'élica (ant ël pont A) an sò vers positiv. Sòn a stabiliss l'ass y,che an general a ancontra nen l'élica.

Ch'a sia P(x, y, z) un pont qualonque dl'élica e M(x, y, 0) soa proiession ortogonal an sël pian xy. Iciamoma peui r ël ragg ëdd l'élica OA. Ël sercc con senter an O e ragg r a l'é a l'istéss temp, la sessionPërpendicolar a l'ass dël cilìnder e la proiession ortogonal an sël pian xy dl'élica midema. Sto sercc, an sël pian xy,

a l'ha equassion 222 ryx . Se i pijoma coma paràmeter l'àngol fra l'ass x e 'l ragg OM, che a chërs concontinuità a parte da 0 (ant ël pont A), le equassion paramétriche 'd cost sercc a saran : x r cos y r sen .Ma M e P a l'han j'istesse coordinà x e y, e donca coste equassion a saran ëdcò le prime doe equassionparamétriche 'd nòstra élica.


132

A

y

x

z

O

P'

P

M

Figura 8 - Élica sircolar

Con considerassion an sij cossen diretor dla reta tangent a l'élica ant ël pont P, che sì i arportoma nen,as peul conclude na còsa pitòst intuitiva, vis-a-dì che z k , andova k a l'é na costant, e costa a l'é la tersaequassion paramétrica 'd nòstra élica. Se 'àngol che la riga drita tangent a l'élica ant un pont qualonque a fà con ëlpian xy a val a e a l'é costant com a ven ciamà da la definission, sta costant a val

k = r tg e la z a sarà z r tg .

ElissòidIs arferima a na trien-a d'ass cartesian ortogonaj che a son ëdcò j'ass dl'elissòid. A-i diso parèj a la

surfassa arpresentà an manera analìtica da l'equassion general :

1c

z

b

y

ax

2

2

2

2

2

2

Për ògni pont real ëd costa surfassa a venta che a sia cz;by;ax e donca la surfassa al'é tuta inscrita ant un paralelepìped retangol, dont le fàce opòste a son ij pian con equassion, ant l'órdin x a ;y b ; z c. Is arferima a figura 9.

An sël pian xy ( donca con z 0) l'elissòid a l'é tajà second eliss 1b

y

ax

2

2

2

2 e se i consideroma un

pian paralél al pian coordinà xy (un pian z k con k c ) i l'avroma l'equassion:

2

2

2

2

2

2

ck1

b

y

ax

che a l'é 'ncora l'equassion ëd n'eliss, dal moment che i podoma scrivla, dividendla

member a member për 2

2

ck1 , coma : 1

ck1b

y

ck1a

x2

2

2

22

2


133

z

x

y

AA’

B

B’

C

C’

O

eliss an sël pian zx eliss an sël pian zy

eliss an sël pian xy

Figura 9 - Elissòid

A l'istessa manera ij pian xz e zy a tajo l'elissòid secon eliss che as oten-o butand a zero l'àutra coordinà.Le loghësse OA, OB, OC a corispondo a a, b, c ant l'órdin, che a son ij semi-ass. Se doi dij semi-ass a son istéss,antlora le session paralele a coi doi semiass a son ëd sercc e l'elissòid a dventa na surfassa 'd rotassion antorna alters ass. Pr'esempi se b = c, antlora la session an sël pian yz e cole paralele a son sercc e la surfassa a l'é 'drotassion antorna a l'ass x. Se peui a fusso uguaj tuti tre j'ass, antlora i l'avrìo na sfera.

I trovroma torna l'elissòid cand i parleroma, an Fìsica, dij moment d'inersia d'un còrp.

IperbolòidA-i son doi tipo d'iperbolòid, dont un a l'é na surfassa ùnica e l'àutr a lé an doe surfasse separà. Costi a

corispondo a doe equassion diferente. I foma 'dcò quàich considerassion an sle diferense fra ij doi tipo.

Iperbolòid a na surfassaSta surfassa a l'é dëscrivùa da l'equassion :

1c

z

b

y

ax

2

2

2

2

2

2

che, com as peul noté, rispét a l'elissòid, a l'ha ël termo relativ a na variàbil con ël segn "meno ". Ant l'esempi costa l'é 'l termo an z ma a peul esse un qualonque dij tre. Lòn ch'a càmbia a l'é la sequensa dj'ass, coma sempe.

Is arferima a figura 10. Lòn ch'as nòta sùbit a l'é che se as buta a zero 'l termo negativ (an nòstr cas colan z ), as oten l'equassion ëd n'eliss, e sòn a veul dì che ël pian xy a taja la surfassa second n'eliss.

che a l'ha equassion 1b

y

ax

2

2

2

2 parèj coma tuti ij pian paraléj al pian xy, com as peul vëdde con un

procediment simil a col ch'i l'oma fàit për l'elissòid. La diferensa a l'é che prima sòn a l'era vera për ij pian andovacz e për z c l'eliss as arduvìa a un pont. Adéss, anvece, qualonque valor për z, positiv ò negativ, a corispond a

un pian che a taja la surfassa, che donca a l'é nen limità për ij valor dla z.


134

Man man che z a chërs an valor assolut, l'eliss d'intersession con ël pian z k a dventa sempe pì

gròss, dal moment che soa equassion a l'é 1ck1b

y

ck1a

x2

22

2

222

2

z

y

x

ipèrbol për y = 0

eliss për z = 0

A

BO

Figura 10 - Ipèrbol a na surfassa

Le intersession con j'àutri pian coordinà a son anvéce d'ipèrboj. Për vëdde sòn a basta, pr'esempi, buté

y 0 e vëdde che l'equassion a dventa 1c

z

ax

2

2

2

2.

Se peui i consideroma un pian paralél al pian zx (vis-a-dì y = h ) e i foma chërse h a parte da zero, il'avroma che l'intersession a l'é n'ipèrebol con l'ass paralel a l'ass x fin-a a cand h < b, mentre cand h > b l'assdl'ipèrbol a dventa paralela a l'ass z.

Costa equassion a l'é 1)bh1(c

z

)bh1(a

x222

2

222

2. Cand as passa da l'un-a a l'àutra situassion,

con h b, antlora l'intersession as arduv a doe righe drite, dal moment che l'equassion as arduv a 0c

z

ax

2

2

2

2,

e donca as arcavo le equassion 0cz

ax

, socià con y b.

L'equassion dl'iperbolòid a na surfassa a peul esse scrivùa ant la forma echivalenta :

by

1by

1cz

ax

cz

ax

b

y1

c

z

ax

2

2

2

2

2

2dì-a-vis

Costa equassion as peul oten-e eliminand ël paràmeter da le doe equassion :


135

by

11cz

ax;

by

1cz

ax

ma coste doe equassion, për ògni valor ëd , a arpresento doi pian che a l'han an comun na riga drita r, dont ijpont a sodisfo donca a l'equassion dl'iperbolòid. As peul noté che për ògni pont dl'iperbolòid a esist un valor ëd

, che a sodisfa le equassion dij pian e che donca për ògni pont dl'iperbolòid a passa un-a 'd coste righe drite chea son contnùe completament ant la surfassa. L'iperbolòid dë sto tipo a l'é donca na surfassa "rigà", vis-a-dì che apeul esse pensà coma formà da anfinìe righe drite.

Se ij doi valor a e b (semiass) a son a b, antlora le session paralele al pian xy a dvento sercc el'iperbolòid a peul esse na surfassa 'd rotassion antorna a l'ass z.

Iperbolòid a doe surfasseSta surfassa a l'é dëscrivùa da l'equassion :

1c

z

b

y

ax

2

2

2

2

2

2

che, rispét a l'iperbolòid a na surfassa, a l'ha ij termo relativ a doe variàbij con ël segn "meno ". Ant l'esempi costi ason ij termo an y e z ma a peulo esse 'dcò un-a dj'àutre doe combinassion. Lòn ch'a càmbia a l'é la sequensadj'ass, coma sempe.

Sta vira i l'oma che, considerand j'intersession con ij pian coordinà, e donca butand a zero un-a dlevariàbij, i l'oma solussion reaj an doi cas mentre 'l ters a l'ha nen intersession reaj. I svilupoma cost esempi,arcordand che se 'l termo positiv a l'é n'àutr, a basta cambié la fonsion dj'ass. Is arferima a figura 11.

ipèrbol për y = 0

ipèrbol për z = 0

eliss për z = |k| > |a|

z

y

x

A' A

Figura 11 - Iperbolòid a doe surfasse

Se i consideroma l'intersession con ël pian z 0, l'equassion as arduv a l'ipèrbol an sël pian xy che a l'ha

equassion 1b

y

ax

2

2

2

2. A l'istessa manera l'intersession con ël pian y 0 a sarà 'ncora n'ipèrbol an sel pian xy

con l'equassion 1c

z

ax

2

2

2

2. Se adéss, anvece, i sercoma le intersession con ël pian yz (vis-a-dì x 0 ) i


136

notoma che l'equassion che i otnoma : 1c

z

b

y2

2

2

2, a l'ha nen solussion reaj. Se i vardoma le intersession

con un pian qualonque x k paralél al pian yx, i podoma scrive:

1akc

z

1akb

yak1

ak

c

z

b

y

2

22

2

2

22

2

2

2

2

2

2

2condì,-a-vis

Costa a l'é l'equassion ëd n'eliss cand ël denominator a l'é positiv, e donca cand |k| > a. le doe part ëdla surfassa a son donca fòra da lë spassi fra ij pian x a e x a. Se b = c antlora l'iperbolòid a l'é rotond e a l'é

generà da la rotassion dl'ipèrbol 1b

y

ax

2

2

2

2 antorna a l'ass x.

ParabolòidËdcò an cost cas i l'oma doi tipo ëd parabolòid, che i vëddroma ampressa.

Parabolòid elìtich

A l'é dëscrivù da l'equassion : z2qy

px 22

, andova p e q a son costant positive. La surfassa a l'é

arpresentà an figura 12.

z

y

xparàbola për x = 0

paràbola për y = 0eliss për x = k

Figura 12 - Parabolòid elìtich

La surfassa a passa për l'orìgin, dal moment che O(0, 0, 0) a l'é solussion dl'equassion, e a l'ha solussionreaj mach për 0z z e donca a l'é tuta "dzora " al pian xy. Donca ant O a l'ha un mìnim.

Ël pian xy, donca a l'é tangent ant l'orìgin a la surfassa, e ij pian paraléj, d'equassion z k (con k

positiv) a tajo la surfassa second la lìnia 1qk2y

pk2x 22

che a l'é n'eliss fin che k a l'é positiv.

Ël pian xz ( y 0) a 'ncontra la surfassa second la curva d'equassion pz2x 2 , che a l'é na paràbola. Ij

pian paraléj a cost, vis-a-dì coj con equassion y h a produvo curve con equassion dàita daq

hz2p

x 22.


137

Costa equassion a peul esse scrita ant un sistema cartesian trasformà për traslassion con equassion

q2hZz;Xx

2 e antlora a torna a esse pZ2X 2 . Coste paràbole a son tute congruente.

An sël pian yz le còse a van a l'istessa manera, giusta scambiand j'ass an manera lògica.

Parabolòid iperbòlichA arzulta esse na surfassa nen fàcil da disegné (i-i provoma l'istéss), fàita a "sela ". Is arferima a figura

13. L'equassion che a arpresenta sta surfassa a l'é: z2qy

px 22

, andova p e q a son costant ancora sempe

positive.

z

x

y

paràbola për y = 0

paràbola për x = 0

rete për z = 0ipérbol për z < 0

ipérbol për z < 0

O

Figura 13 - Parabolòid iperbòlich

Ël pian coordinà x 0 a 'ncontra la surfassa arlongh la paràbola qz2y 2 e donca costa a stà tutaant la part negativa dël pian yz, con ël cò ant l'orìgin. Ciamoma costa paràbola Pa.

Ël pian coordinà y 0 a 'ncontra la surfassa arlongh la paràbola pz2x 2 e donca costa a stà tuta antla part positiva dël pian xz, con ël cò ant l'orìgin. Ciamoma costa paràbola Pb.

As dimostra, con na traslassion dj'ass coordinà, che se as consìdero le intersession con pian paraléj a yz(vis-a-dì x h ), coste a son sempe na paràbola Pa istessa, ma traslà, a cola për x = 0 con ël cò che a scor arlonghla paràbola Pb.

Na còsa dl'istéss tipo a càpita fasend le intersession dla surfassa con ëd pian ch'a sio paralèj a xz (vis-a-dì y h ), otnend paràbole congruente a Pb, con ël cò che a scor arlongh Pa.

Se anvece as consìdero le session dla surfassa con ël pian xy (vis-a-dì z 0 ) e ij pian paraléj (vis-a-dì z

k con k nùmer qualonque), antlora i l'oma n'equassion general k2qy

px 22

. Costa equassion, cand k =

0, a dventaqy

px 22

, vis-a-dìqy

px

qy

px e , che a son le doe equassion ëd doe righe drite

che as crosio ant 'orìgin.


138

Se k 0, ël prim termo dl'equassion a l'é positiv e lë scond negativ e son a dis che as trata 'd n'ipèrbolcon l'ass trasvers paralél a l'ass x.

Se k 0, lë scond termo dl'equassion a l'é positiv e 'l prim negativ e son a dis che as trata 'd n'ipèrbolcon l'ass trasvers paralél a l'ass y.

Ëdcò an sto cas as dimostra che la surfassa a peul esse pensà coma fàita da anfinìe rete (surfassa rigà).E për adéss a basta parèj.

Documents

Quarta part - Geometrìa Analìtica ant lë spassi Tàula …Quarta part - Geometrìa analìtica ant lë spassi 120 Për andividoé ij pont dl'assx i podoma noté che costi a l'han