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Inhalt Einführung Aufbau eines Quantencomputers Komplexitätsklassen Quantenalgorithmen Realisierung von Quantencomputern
Quantum Computing
Seminar: Informatikanwendungen in Nanotechnologien
Wladislaw Debus
20.06.2006
Wladislaw Debus Quantum Computing
Inhalt Einführung Aufbau eines Quantencomputers Komplexitätsklassen Quantenalgorithmen Realisierung von Quantencomputern
Inhalt
1 Einführung
2 Aufbau eines QuantencomputersQubitsQuantenregisterSchaltkreise
3 Komplexitätsklassen
4 QuantenalgorithmenFaktorisierung nach ShorSuchalgorithmus von Grover
5 Realisierung von QuantencomputernIonenfallenKernspinresonanz
Wladislaw Debus Quantum Computing
Inhalt Einführung Aufbau eines Quantencomputers Komplexitätsklassen Quantenalgorithmen Realisierung von Quantencomputern
Einführung
Was ist Quantum Computing
Ein Quantencomputer ist ein Computer, der die Gesetze derQuantenmechanik ausnutzt, um gewisse Rechungen e�zienterdurchzuführen, als konventionelle Computer.
eine neue art des Rechnens
hohe Parallelität
hohe technische Voraussetzungen
Wladislaw Debus Quantum Computing
Inhalt Einführung Aufbau eines Quantencomputers Komplexitätsklassen Quantenalgorithmen Realisierung von Quantencomputern
1 Einführung
2 Aufbau eines QuantencomputersQubitsQuantenregisterSchaltkreise
3 Komplexitätsklassen
4 QuantenalgorithmenFaktorisierung nach ShorSuchalgorithmus von Grover
5 Realisierung von QuantencomputernIonenfallenKernspinresonanz
Wladislaw Debus Quantum Computing
Inhalt Einführung Aufbau eines Quantencomputers Komplexitätsklassen Quantenalgorithmen Realisierung von Quantencomputern
Superposition
De�nition
Superposition bedeutet die Überlagerung von zwei oder mehrerenZuständen eines Objektes. Die Zustände einer Superpositionkönnen nicht gleichzeitig beobachtet werden.
Wladislaw Debus Quantum Computing
Inhalt Einführung Aufbau eines Quantencomputers Komplexitätsklassen Quantenalgorithmen Realisierung von Quantencomputern
Dekohärenz
De�nition
Eine Superposition mehrerer Zustände wird durch Wechselwirkungmit der Umgebung zerstört. Diesen E�ekt nennt man Dekohärenz.
Wladislaw Debus Quantum Computing
Inhalt Einführung Aufbau eines Quantencomputers Komplexitätsklassen Quantenalgorithmen Realisierung von Quantencomputern
Qubits
Qubits
Zustand eines Qubits:
|φ>= α|0> +β|1> α, β ∈ C
mit |α|2 + |β|2 = 1
Wladislaw Debus Quantum Computing
Inhalt Einführung Aufbau eines Quantencomputers Komplexitätsklassen Quantenalgorithmen Realisierung von Quantencomputern
Qubits
Qubits
Mathematische Darstellung
Ersetze:
|0> :=
(10
)|1> :=
(01
)Dann gilt:
α |0 > +β |1 > = α
(10
)+ β
(01
)=(
αβ
)
Wladislaw Debus Quantum Computing
Inhalt Einführung Aufbau eines Quantencomputers Komplexitätsklassen Quantenalgorithmen Realisierung von Quantencomputern
Qubits
Qubits - Realisierung
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Inhalt Einführung Aufbau eines Quantencomputers Komplexitätsklassen Quantenalgorithmen Realisierung von Quantencomputern
Qubits
Operationen auf Qubits
Wladislaw Debus Quantum Computing
Inhalt Einführung Aufbau eines Quantencomputers Komplexitätsklassen Quantenalgorithmen Realisierung von Quantencomputern
Qubits
Operationen auf Qubits
Operationen
dargestellt durch unitäre Matrizen A−1 = (A∗)T
Beispiele
NOT
(0 11 0
) (0 11 0
) (10
)=
(01
)(
0 11 0
) (01
)=
(10
)
H 1√2
(1 11 − 1
) (1√2
1√2
1√2− 1√
2
) (10
)=
(1√2
1√2
)(
1√2
1√2
1√2− 1√
2
) (01
)=
(1√2
− 1√2
)Wladislaw Debus Quantum Computing
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Qubits
Ein Zufallsgenerator
Algorithmus
1. |x> ← |0>2. |x> ← H|x>3. Messe |x>
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Quantenregister
Quantenregister
Quantenregister
R = |x1 > |x0 >mit |x1 >= γ0 |0> +γ1 |1>
|x0 >= β0 |0> +β1 |1>Einsetzen:
|x1 > |x0 >= (γ0 |0> +γ1 |1>)(β0 |0> +β1 |1>)= α00 |00> +α01 |01> +α10 |10> +α11 |11>
R =
α00
α01
α10
α11
Wladislaw Debus Quantum Computing
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Schaltkreise
Schaltkreise
Wladislaw Debus Quantum Computing
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Schaltkreise
Simulation klassischer Schaltkreise
To�oli-Gatter:
Negation und Konjunktion mit einem To�oli-Gatter:
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Inhalt Einführung Aufbau eines Quantencomputers Komplexitätsklassen Quantenalgorithmen Realisierung von Quantencomputern
Schaltkreise
Probleme bei der Realisierung
Reversibilität
Jede Rechnung muss reversibel sein.
No-Cloning-Theorem
Es gibt keine unitäre Transformation, die einen Quantenzustandkopieren kann.
Unentscheidbarkeit von Zuständen
Zwei Zustände lassen sich nur dann zweifelsfrei unerscheiden, wennsie zueinander orthogonal sind.
Wladislaw Debus Quantum Computing
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Schaltkreise
Das Problem von Deutsch
Ablauf
1. |x>|y> ← |0> |1>2. Wende die Hadamard-Transformation H auf beide Bits an:
|x>|y> ← H|x> H|y>3. Werte f aus:
|x>|y> ← Uf |x> |y>4. Wende die Hadamard Transformation H auf beide Bits an:
|x>|y> ← H|x> H|y>5. Messe das Register:
Hat |x> den Wert |0>: Ausgabe konstant, sonst balanciert.Wladislaw Debus Quantum Computing
Inhalt Einführung Aufbau eines Quantencomputers Komplexitätsklassen Quantenalgorithmen Realisierung von Quantencomputern
1 Einführung
2 Aufbau eines QuantencomputersQubitsQuantenregisterSchaltkreise
3 Komplexitätsklassen
4 QuantenalgorithmenFaktorisierung nach ShorSuchalgorithmus von Grover
5 Realisierung von QuantencomputernIonenfallenKernspinresonanz
Wladislaw Debus Quantum Computing
Inhalt Einführung Aufbau eines Quantencomputers Komplexitätsklassen Quantenalgorithmen Realisierung von Quantencomputern
Quanten-Komplexitätsklassen
Klasse BQP
Durch Quantenschaltkreise polynomieller Grösse berechenbareFunktionen, bei einer Fehlerwahrscheinlichkeit < 1
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Wladislaw Debus Quantum Computing
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1 Einführung
2 Aufbau eines QuantencomputersQubitsQuantenregisterSchaltkreise
3 Komplexitätsklassen
4 QuantenalgorithmenFaktorisierung nach ShorSuchalgorithmus von Grover
5 Realisierung von QuantencomputernIonenfallenKernspinresonanz
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Inhalt Einführung Aufbau eines Quantencomputers Komplexitätsklassen Quantenalgorithmen Realisierung von Quantencomputern
Faktorisierung nach Shor
Faktorisierungsalgorithmus von Shor
Ziel:
Schnelle Faktorisierung grosser Zahlen.
Schnellster klassischer Algorithmus: O(en13 log(n
23 ))
Shors Algorithmus: O(n2)benutzt Quanten-Fourier-Transformation.
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Inhalt Einführung Aufbau eines Quantencomputers Komplexitätsklassen Quantenalgorithmen Realisierung von Quantencomputern
Suchalgorithmus von Grover
Suchalgorithmus von Grover
Ziel:
In einer Menge n unsortierter Daten muss ein ausgezeichneterZustand x0 gefunden werden.
Algorithmus1 nimm einen n-Qubit Register
2 erzeuge eine Superposition aller 2n Zustände
3 wende unitäre Transformationen auf das Register an, die die
Amplitude des Ausgezeichneten Zustandes erhöht
4 wiederhole die Transformation O(√
n) mal an
5 führe eine Messung durch - W (x0) = 1
Komplexität des Algorithmus O(√
n log(n))
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Inhalt Einführung Aufbau eines Quantencomputers Komplexitätsklassen Quantenalgorithmen Realisierung von Quantencomputern
1 Einführung
2 Aufbau eines QuantencomputersQubitsQuantenregisterSchaltkreise
3 Komplexitätsklassen
4 QuantenalgorithmenFaktorisierung nach ShorSuchalgorithmus von Grover
5 Realisierung von QuantencomputernIonenfallenKernspinresonanz
Wladislaw Debus Quantum Computing
Inhalt Einführung Aufbau eines Quantencomputers Komplexitätsklassen Quantenalgorithmen Realisierung von Quantencomputern
Ionenfallen
Ionenfallen
Kette von Ionen in elektromagnetischer Falle
Operationen werden durch Laserimpulse realisiert
1-Qubit Operationen umgesetzt
Faktorisierung der Zahl 15
nur wenige Sekunden Stabil
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Inhalt Einführung Aufbau eines Quantencomputers Komplexitätsklassen Quantenalgorithmen Realisierung von Quantencomputern
Kernspinresonanz
Kernspinresonanz
Moleküle in �üssigem Zustand
Operationen werden durch Radiofrequenzimpulse realisiert
elementare Gatteroperationen umgesetzt
Grovers Suchalgorithmus für vier Datensätze realisiert
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Inhalt Einführung Aufbau eines Quantencomputers Komplexitätsklassen Quantenalgorithmen Realisierung von Quantencomputern
Kernspinresonanz
Literatur
Quantum Computing verstehen. Grundlagen - Anwendungen -Perspektiven von Matthias Homeister, Vieweg-Verlag
Quantum Computingvon Mika Hirvensalo, Springer-Verlag
http://home.in.tum.de/ nguy-enh/�les/qc/Quantencomputer.ppt
www.wikipedia.de
http://www.itp.uni-hannover.de/ kreutzm/data/qit1main.pdf
http://www.thi.informatik.uni-frankfurt.de/ klauck/QC05.html
Wladislaw Debus Quantum Computing