Quantity

Dimension unit

non – SI unit SI unit

vector Quantity

Scalar Quantity

Basic Quantity

Derived Quantity

has

consists of

consists of

Concept Map

2. Standard Unit

b) Density =

=

=

= [M][L]-3

c) Acceleration =

=

=

=

volume

mass

volume

mass

3LM

time

velocity

time

velocity

TTL 1

2TL

Example 1.2

Is the formula for distance s = ½ at2, with a is acceleration and t is time, dimension correct ?

B. Measuring InstrumentsB. Measuring Instruments

1. Instrument for Measuring Lengtha. Ruler and Vernier Caliper

4. Scientific Notation

nax10101 a

n is integer

b. Micrometer

2. Instrument for Measuring Mass

3. Instrument for Measuring Time

ANGKA PENTING(significant figure)

• Adalah semua angka yang didapat dari hasil mengukur

• Dalam angka penting terdapat 2 angka :

Angka taksiran adalah angka yang didapat dari menaksir (angka yang terletak paling belakang).

Angka pasti / eksak adalah semua angka

yang terdapat didepan angka taksiran .

1. Aturan angka penting (Rules for Significant Figure):

1. Semua angka bukan nol adalah angka penting.misal : 845,7 kg memiliki 4 ap.

2. Angka nol yang terletak diantara dua angka bukan nol adalah angka penting.misal : 76,005 kg memiliki 5 ap

3. Angka nol pada deretan akhir sebuah bilangan yang 10 termasuk angka penting, kecuali jika angka sebelum nol diberi garis bawah.misal : 2500 memiliki 4 ap

2500 memiliki 3 ap

4. Untuk bilangan desimal yang lebih kecil dari 1, angka nol di kiri dan di kanan koma desimal bukan angka penting.misal : 0,0009 memiliki 1 ap 0,0800 memiliki 3 ap

5. Bilangan-bilangan puluhan, ratusan, ribuan, dan seterusnya yang memiliki angka-angka nol pada deretan akhir harus dituliskan dalam notasi ilmiah.misal : 20.000 di tulis 2 x 104 memiliki 1 ap. 34000 ditulis 3,4 x 104 memiliki 2 ap

Uji Kemampuan

Tentukan jumlah angka penting dari hasil pengukuran berikut ini

a. 32,45 kgb. 8,0006 kgc. 0,00076 kgd. 0,000030 m

jawab

a. 32,45 memiliki 4 angka pentingb. 8,0006 memiliki 5 angka pentingc. 0,00076 memiliki 2 angka pentingd. 0,000030 memiliki 2 angka penting

2. Berhitung dengan Angka Penting (Calculation Using Significant Figure)

a. Penjumlahan atau Pengurangan (Addition and Subtraction)Hasil penjumlahan atau pengurangan angka penting hanya boleh memiliki satu angka yang ditaksir.misal : 52700 7 diragukan

9540 0 diragukan + 62240 62200 (3 ap)

638,4 cm 4 diragukan625 cm 5 diragukan 13,4 cm 13 cm (2 ap)

Hitunglah penjumlahan atau pengurangan bilangan-bilangan penting berikut.

1. 24,686 m + 2,343 m + 3,21m2. 3,67 x 104 g + 2,54 x 103 g3. 297,15 m – 5665 m4. 0,012 kg + 30 g

b. Perkalian atau Pembagian (Multiplication and Division)Hasil perkalian atau pembagian, hanya boleh memiliki banyak angka penting sebanyak bilangan yang jumlah angka pentingnya paling sedikit.misal : 0,5242 m 4 ap

4,1 m 2 ap

2,14022 m2 2,1 m2 (2 ap) X

273600 kg 6 ap 900 m3 2 ap

: 304 kg/m3 300 kg.m-3(2 ap)

Hasil perkalian atau pembagian antara bilangan penting dan bilangan eksak atau sebaliknya, memiliki angka penting sebanyak bilangan pentingnya.

Misal :8,75 cm 3 ap

12 (eksak) 105,00 cm 105 cm (3 ap)

X

c. Pemangkatan (Power)Hasil memangkatkan suatu bilangan penting hanya boleh memiliki angka penting sebanyak bilangan yang dipangkatkan.misal :(1,5 m)3 = 3,373 m3 3,4 m3

d. Penarikan Akar (Root)Hasil penarikan akar suatu bilangan penting hanya boleh memiliki angka penting sebanyak bilangan penting yang ditarik akarnya.misal :

apmm 30,25625 2

Uji Kemampuan

Hitung operasi perkalian atau pembagian bilangan-bilangan berikut :

1. 2,5 m x 3,14 m2. 2,5 m x 4,2 m x 0,3052 m3. 323,75 N : 5,0 m2

4. cm

cmcmx

10,2

2,53

dimensi

Dimensi suatu besaran menunjukkan cara besaran itu tersusun dari besaran-besaran pokok.

Cara menentukan dimensi suatu besaran

Misal :volume = panjang x lebar x tinggi

= [L] [L] [L] = [L]3

33

LML

Mmassajenis

volume

massamassajenis

1tan TLT

L

waktu

nperpindahakecepa

2

1tantan

TLT

TL

waktu

kecepapercepa

222

tan

TLMLTLMUsaha

nperpindahaepamassaxpercUsaha

ndahanGayaxperpiUsaha

Uji Kemampuan

Tentukan dimensi dari besaran-besaran berikut:

1. Momentum = massa x kecepatan2. Tekanan = gaya : luas3. Berat = massa x percepatan4. Berat jenis = berat : volume

Manfaat Analisis Dimensi

1. Membuktikan dua besaran yang setara.Misal :Buktikan bahwa usaha dan energi kinetik adalah dua besaran yang setara

Bukti :dimensi usaha = [M] [L]2[T]-2

dimensi energi kinetik Ek = ½ mv2 = [M] {[L] [T]-1}2

= [M] [L]2 [T]-2

Karena usaha dan enrgi kinetik mempunyai dimensi yang sama, maka usaha dan energi keniktik adalah besaran yang setara.

Uji Kemampuan

Momentum dan impuls adalah besaran vektor, dimana momentum adalah hasil kali massa dengan kecepatan dan impuls adalah hasil kali gaya dengan waktu. Buktikan bahwa momentum dan impuls adalah dua besaran vektor yang setara.

2. Menentukan persamaan pasti salah atau mungkin benar.

misal : = v/T

ruki : = panjang gelombang termasuk besaran panjang, maka dimensinya [L].

ruka :v/T = kecepatan / periode = [L] [T]-1/[T]1 = [L] [T]-2

Karena dimensi Ruki Ruka, maka persamaan = v/T pasti salah.

3. Untuk menentukan dimensi konstanta dan menurunkan persamaan.

Misal :Gaya gesekan yang dialami oleh sebuah bola dengan jari-jari r yang bergerak dengan kelajuan v di dalam sejenis zat cair kental dirumuskan F = kvr, dengan k adalah suatu konstanta. Tentukan dimensi dan satuan k

Penyelesaian

kvrF

rv

Fk

1111

1

2

sakgmdgsatuannyTLMTLL

TLMk

Uji Kemampuan1. Selidiki dengan analisis dimensi apakah persamaan

berikut pasti salah atau mungkin benar ?a. a = m/F b. s = vt + ½ at2

2. Gaya tarik-menarik antara dua benda yang massanya m1 dan m2, dan terpisah sejauh r dapat dinyatakan dengan :

dengan G adalah suatu konstanta. Tentukan dimensi dan satuan G.

221

r

mmGF

Cek Kemampuan

1. Nyatakan sin , cos , dan tan dalam perbandingan dua sisi dari segitiga ABC di samping.

AB

C

2. Untuk segitiga siku-siku di samping, tentukan nilai sin , cos , dan tan

AB

C

13

5

Vektor Berdasarkan nilai dan arahnya besaran

dibagi menjadi dua, yaitu :Besaran Skalar adalah besaran yang

hanya memiliki besar dan cukup dinyatakan dengan angka dan satuan.misal : massa, volume, suhu, dll

Besaran vektor adalah besaran yang selain memiliki besar juga memiliki arah.misal : perpindahan, kecepatan, gaya, dll

Menggambar sebuah vektor

• Suatu vektor gaya F berarah mendatar ke kanan memiliki besar 20 newton, yang dapat digambarkan dengan panjang 2 cm. Berdasarkan keterangan ini, gambar vektor-vektor berikut:

a. Gaye P yang besarnya 10 N dan membentuk sudut 30o terhadap F.

b. Gaya Q yang besarnya 30 N dan membentuk sudut 120o terhadap F.

Bagaimana Menyatakan suatu Vektor?• Anak Panah menyatakan arah vektor. • Panjang vektor menyatakan besar vektor• Lambang vektor dicetak tebal (bold) A atau di atas

huruf diberi anak panah • Besar vektor ditulis dengan tanda harga mutlak

A

A

P

Q60 mA

Penyelesaian

a. Gaya P = 10 N = 1cm dan arah 30o berlawanan arah jarum jam.

PF30o

b. Gaya Q = 30 N = 3 cm dan arahnya 120o.

F

Q

120o

Uji Kemampuan Sebuah vektor perpindahan A yang besarnya

75 m dan berarah mendatar ke kiri (sumbu X negatif) digambarkan dengan panjang 3 cm. Gambarlah vektor-vektor perpindahan berikut:

a) Perpindahan B besarnya 50 m berarah 45o terhadap A.

b) Perpindahan C besarnya 100 m berarah 100o terhadap A.

c) Perpindahan D besarnya 125 m berarah -30o terhadap A.

Perkalian antara Vektor dan Skalar (Multiplication Between Vector and

Scalar)

• Dua vektor adalah sama jika kedua vektor tersebut memiliki besar dan arah yang sama walaupun pangkal vektornya berbeda.

• Misal : A

D

• Dua vektor yang berbeda adalah dua vektor yang besarnya sama tetapi arahnya berbeda.

• Misal :

A

C

• Dua vektor disebut berlawanan jika besarnya sama tetapi arahnya berlawanan.

• Misal :

A

-A

• Bagaimana jika kita mengalikan bilangan biasa (skalar) dengan sebuah vektor ?

• Misal : • B = kA

dengan : k = bilangan biasa (skalar) A = sebuah vektor

Maka hasilnya adalah :B adalah vektor yang besarnya k kali vektor A, dengan ketentuan :

• B searah dengan A jika k bernilai positif.• B berlawanan dengan A jika k bernilai

negatif.

Contoh :

• E = 1,5 A

A

E =1,5A

2 cm

3 cm

• F = -2A

A

F = -2A

2 cm

4 cm

Uji Kemampuan

• Vektor A di gambarkan seperti gambar di samping.

• Gambarlah vektor-vektor berikut:

a) B = Ab) C = -Ac) D = 1,7Ad) E = -0,5A

A

acuan30o

3 cm

Melukis Penjumlahan atau Selisih Dua Vektor• Metode segitigaPenjumlahan (F1 + F2)

F1

F2

F2

F1

F1 + F2

Pengurangan (A – B = C)

A

B A

-B(A – B = C)

Uji Pemahaman

Diketahui vektor-vektor A, B, dan C seperti pada gambar di samping.Lukis vektor-vektor berikut :

a. A + Bb. A + Cc. A – Bd. A - C

A

B

C

50o

-20o

Menemukan Tujuhan

menemukan sifat penjumlahan dan selisih vektor.

Alat dan BahanKertas, pensil, dan mistar

Langkah Kerja1. Pada selembar kertas kosong, salinlah gambar vektor A dan B seperti gambar di bawah ini:

AB

2 cm

3 cm

2. Pada kertas tersebut :a. Lukislah jumlah vektor P = A + B dengan metode

segitiga, tetapi vektor A dilukis lebih dahulu.b. Lukislah jumlah vektor Q = B + A dengan metode

segitiga, tetapi vektor B dilukis lebih dahulu.

3. Siapkan kertas kosong lain, salin kembali gambar vektor A dan B. Kemudian lukislah masing-masing vektor selisih C = A – B dan D = B –A.

Pertanyaan dan Kesimpulan:1. Bandingkan vektor P dan Q yang telah kamu lukis pada

langkah kerja 2. Apakah pada penjumlahan vektor berlaku hukum komutatif ? Berikan komentar kamu.

2. Bandingkan vektor selisih C dan D yang telah kamu lukis pada langkah kerja 3. Apakah pada selisih vektor berlaku hukum komutatif ? Berikan komentar kamu.

Penyelesaian

P = A + B

BA

P = A + B

Q = B + A

BA

Q = B + A

• C = A – B

• D = B - A

A B

C -B

A-A

BD

Kesimpulan

1. Vektor P = vektor Q artinya pada penjumlahan vektor berlaku hukum komutatif.

2. Vektor C vektor D artinya pada pengurangan vektor tidak berlaku hukum komutatif.

Metode Poligon (segi banyak)

A

BC

A

BC

R = A + B + C

BC

A

R = B + C + A

Uji Pemahaman

• Diketahui vektor-vektor A, B, dan C seperti gambar di bawah ini. Lukislah vektor P, Q dan R dengan menggunakan metode poligon, jika :

a. P = A + B + Cb. Q = A – B + Cc. R = A – B - C

A

B

C

50o

-200

2 cm

4 cm

2,5 cm

Metode Jajarangenjangmisal :

F1

F2

mejaF2

F1

R = F 1 + F 2

ada 3 vektor

BA

C B

AC

D=A+B

R=D+C=(A+B)+C

Dua metode untuk menentukan (besar dan arah) vektor resulthan (vektor jumlah), yaitu:

1. Dengan metode grafik (dengan cara mengukur)

2. Dengan metode analitis

Menentukan vektor resulthan dengan metode grafis.misal :Tentukan besar dan arah vektor resulthan dari perpindahan A sepanjang 15 m dengan arah -20o terhadap sumbu x positif dan vektor perpindahan B sepanjang 20 m dengan arah 40o terhadap sumbu x positif.

Penyelesaian

skala 5 m : 1 cm

panjang R = 6,2cm

dan arah θ = 15o

maka besar vektor: R = 6,2 x 5 = 31m

AB-20o x

x40o

A

B40o-20o

Rθ

Uji Pemahaman

• Vektor A memiliki besar A = 3 m dan berarah 30o terhadap sumbu x positif. Vektor B memiliki besar B = 2 m dan berarah 45o terhadap sumbu x positif. Tentukanlah besar dan arah dari :a. A + Bb. A – Bdengan menggunakan metode grafik.

Menentukan Vektor resulthan dengan metode Analitis (dengan Rumus)Ada 2 yaitu:1. menggunakan rumus kosinus2. menggunakan vektor komponen

Tujuan Meneliti apakah hukum berhitung berlaku pada penjumlahan vektor

Alat dan BahanKertas grafik dan mistar

MasalahSeekor semut berjalan 400 m ke timur (vektor A) kemudian ia berbelok ke utara dan berjalan sejauh 300 m (vektor B). Misal vektor perpindahannya adalah C dimana C = A + B

Langkah kerja1. Tetapkan titik O sebagai titik awal berangkat. Lukislah vektor A dan B.2. Lukislah vektor C = A + B dengan Poligon.3. Tentukan besar vektor resulthan C dengan metode grafis dan tentukan dengan berhitung secara aljabar biasa.

Pertanyaan dan KesimpulanApakah penjumlahan vektor C = A + B mematuhi hukum berhitung pada aljabar? Nyatakan kesimpulan anda.

Menentukan Resulthan dua Vektor dengan Rumus Kosinus

Dari gambar di samping :OC2 = OA2 + AC2-2OA.AC COS OAC= OA2 + AC2 – 2OA.AC COS (1800-)= OA2 + AC2 – 2OA.AC (-COS )OC2 = OA2 + AC2 + 2OA.AC COS

F1

F2

B C

A

R = F 1

+ F 2

OAC

O

• Karena OC = R, OC= F1 dan AC= F2

maka :

cos2

cos2

2122

21

2122

21

2

FFFFR

FFFFR

• Arah vektor resulthan

sinsin

sinsin

sin180sin

sinsin

2

2

20

2

R

F

FR

FR

F

OAC

R

Contoh

Dua vektor F1 dan F2 memiliki pangkal berimpit, dan masing-masing besarnya 3 N dan 4 N. Jika sudut apit antara kedua vektor 60o, tentukan :a. vektor resulthan R = F1 + F2

b. vektor selisih S = F1 – F2

Penyelesaian

a. Vektor resulthan R = F1 + F2

F2

F1

60o

R

NR

R

R

R

FFFFR

o

37

1225

24169

60cos.4.3.243

cos2

21

22

2122

21

b. Vektor selisihS = F1 – F2

= 180o- 60o

= 120o

Maka:

F1

F2

-F2

S

NS

S

S

FFFFS

o

13

24169

120cos43.243

cos2

21

22

2122

21

Menemukan Tujuhan

Menemukan nilai minimum dan maksimum dari vektor resulthan

Masalah Diberikan dua buah vektor F1 dan F2 yang membentuk sudut

Langkah kerjaDengan menggunakan rumus kosinus, tentukan nilai R = F1 + F2 jika:a. = 0o

b. = 90o

c. = 180o

Kesimpulan

a. Nilai R dengan =0o

21

221

2122

21

2122

21

2

0cos2

FFR

FFR

FFFFR

FFFFR o

b. Nilai R dengan = 90o

22

21

2122

21

2122

21

02

90cos2

FFR

FFFFR

FFFFR o

c. Nilai R dengan = 180o

21

221

2122

21

2122

21

2122

21

2

12

180cos2

FFR

FFR

FFFFR

FFFFR

FFFFR o

Kesimpulan

1. Nilai Rmin adalah:

Rmin = F1 – F2 pada saat = 180o

2. Nilai Rmax adalah :

Rmax =F1 + F2 pada saat = 0o

Jadi batas vektor resulthan adalah:Rmin R Rmax

Contoh

Dapatkah kumpulan dari gaya-gaya berikut membentuk keseimbangan?a. 4 N, 5 N, dan 9 Nb. 4 N, 5 N, dan 5 Nc. 4 N, 5 N, dan 10 N

Jawab a. Gaya terbesar = 9 N

Jumlah kedua gaya lainnya:4 N + 5 N = 9 Nkarena gaya terbesar = jumlah kedua gaya lainnya maka ketiga gaya masih mungkin membentuk keseimbngan.

b. Gaya terbesar = 5 NJumlah kedua gaya lainnya:4 N + 5 N = 9 Nkarena gaya terbesar jumlah kedua gaya lainnya maka ketiga gaya masih mungkin membentuk keseimbangan

c. Gaya terbesar = 10 NJumlah kedua gaya lainnya:4 N + 5 N = 9 Nkarena gaya terbesar jumlah kedua gaya lainnya maka ketiga gaya tidak mungkin membentuk keseimbangan.

Uji kemampuan

• Dapatkah kumpulan dari perpindahan –perpindahan berikut memungkinkan suatu mobil kembali ke titik awal berangkatnya?a. 2 m, 10 m, 8 mb. 5 m, 20 m, 14 mc. 10 m, 10 m, 10 md. 150 m, 250 m, 450 m

Menentukan Resulthan dengan Cara Vektor Komponen

• Dari perbandingan sinus dan kosinus pada segitiga OAB diperoleh:

Y

X

F

FX

FYB

O A

θ

sin

sin

cos

cos

FFF

F

FFF

F

y

y

x

x

Uji Kemampuan

Tentukan komponen-komponen dari vektor perpindahan 8 m yang membentuk sudut 143o terhadap arah mendatar (sin 37o = 0,6)

Besar dan arah vektor resulthan

Besar resulthanDirumuskan:

Arah vektor resulthan:

22yx FFF

x

y

F

Ftan

Uji Kemampuan

Tentukan besar dan arah vektor-vektor yang komponen-komponennya diberikan sebagai berikut:

a. Ax = 3 cm dan Ay = 1 cm

b. Fx = -403 N dan Fy = -40 N

c. Bx = 12 m dan By = -13 N

d. Px = -20 N dan Py = 20 N

Vektor satuan

• Adalah suatu vektor yang besarnya 1 satuan.vektor-vektor satuan pada sumbu x, y, zi = j = k = 1

x

y

zi

j

k

Menyatakan sebuah vektor dengan vektor satuanMisal: Dari gambar

diperoleh:V = Vxi + Vyj + Vzk

Besar vektor V dirumuskan:

z

y

x

V

i

j

k

Vx

Vy

Vz

222zyx VVVV

Perkalian Vektor

Perkalian titik vektor (perkalian skalar)adalah perkalian antara dua vektor yang menghasilkan besaran skalar.misal: usaha (W = F.s = Fs cos θ)dirumuskan:

A . B = AB cos θuntuk vektor satuan:

i.i = j.j = k.k = 1i.j= i.k = j.k = 0

Jika :A = Ax i+ Ay j+ Azk

B = Bx i+ By j+ Bzk

Maka besarnya A.B dirumuskan:A.B = AxBx + AyBy+AzBz

Contoh

• Diket: vektor A = (4i + 6j – 3k) satuan dan vektor B = (2i – 2j – 8k) satuan. Tentukan hasil perkalian kedua vektor dengan cara perkalian skalar!

• Diket:A = (4i + 6j – 3k)B = (2i – 2j – 8k)Ditanya: A.B

Penyelesaian

• Jawab:A.B = (4i + 6j – 3k) (2i – 2j – 8k) = 4i.2i + 6j.(-2J) + (-3k)(-8k) = 8 - 12 + 24

= 20 satuan

Perkalian silang vektor (perkalian vektor)adalah perkalian antara dua buah vektor yang menghasilkan besaran vektor.dirumuskan: sinABAxB

• Hasil perkalian silang vektor satuan:i x i= j x j = k x k =

0

A x B

B x A

A Bθ

i

j

k

+

-

• Misal:A x B = (Axi + Ayj + Azk) x (Bxi + Byj + Bzk)

A x B = (AyBz – AzBy)i – (AzBx – AxBz)j –

(AxBy – AyBx)kcara Sarrus: i j k A x B = Ax Ay Az

Bx By Bz