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Qualité Fiabilité. 1. La qualité: un vaste programme de travail et d’investissements. - PowerPoint PPT Presentation
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Qualité
Fiabilité
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1. La qualité: un vaste programme de travail et
d’investissements
3
La « qualité nouvelle » est une qualité de service aux clients et non une qualité constatée à posteriori.
Elle doit se réaliser sans erreur, sans rebut à la production ou à la distribution.
Elle implique un soucis constant de la perfection à tous les niveaux, de l’ouvrier spécialisé au directeur, depuis la conception du produit jusqu’à la livraison et l’utilisation par le client.
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Cette recherche de la perfection, étroitement liée au niveau de compétitivité de l’entreprise est permanente.
Le couple « qualité - coût », évolue dans le temps en fonction des besoins exprimés par les clients et des progrès réalisés dans divers domaines: production, technologie, organisation.
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L’enjeux économique d’une stratégie de la qualité est considérable pour les entreprises puisqu’on estime que la « non-qualité » représente entre 10 et 30 % de leur chiffre d’affaires.
Par exemple la passation de commandes interactive pour la grande distribution des indépendants.
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Essayer d’atteindre un haut niveau de qualité avec des coûts acceptables oblige les entreprises à travailler dans 5 directions importantes:
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Direction 1:Le service au client et la fiabilité.
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Ils se déclinent dans une déclaration d’objectifs (qualité) et de performance (fiabilité) acceptables pour le service qu’une entreprise rend à ses clients.
Cette déclaration concerne en particulier:
+ avant la transaction1. les produits et les services
1. Avoir accés aux informations générales (catalogues, listes de prix, documentation)
2. Disposer de compléments d’information (produits, prix, instructions)
3. Disposer d’exemples et d’échantillons sur lesquels s’appuyer pour faire son choix.
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2. L’organisation:
1. Disposer d’experts;
2. Etre certains de disposer de produits de qualité, fiables et d’avoir des interlocuteurs sérieux connaissant les produits;
3. Etre appréciés et reconnus comme des individus importants, c’est à dire être pris en compte;
4. Disposer rapidement de flux d’information efficaces.
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+ Pendant la transaction 1. Il attend du sérieux: livraison doit être faite à temps, en
bonnes quantités et sans erreurs;
2. Il attend de la qualité concernant les produits, le packaging et la pallétisation;
3. Il attend de l’information sur les divers processus de fabrication , les expéditions et le transport;
4. Il attend de la flexibilité: temps, variantes concernant les produits, volumes à adapter;
5. Il attend la certitude d’être satisfait après avoir acheté.
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+ Après la transaction 1. Une aide technique et éventuellement des
démonstrations, éventuellement un centre d’appels (hotline);
2. Du sérieux concernant le service après vente (DELL);
3. Une traçabilité des produits en cas de
problèmes importants (Neslé, Leclerc…);
4. Une prise en compte efficace des réclamations: rapidité, écoute et évaluation (compétence, connaissance, investissement…);
5. Une administration précise: factures, accomptes et paiements (E.A.I. et processus);
6. Des mesures de la performance et de son évaluation.
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Direction 2:
La motivation et la mobilisation
des producteurs afin de mieux:
Concevoir c’est à dire de créer, en utilisant l’information aval, des produits nouveaux et de les industrialiser: réalisation des dossiers de production (plans, gammes, nomenclatures), des montages d’ateliers et des outillages;
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Approvisionner c’est à dire fournir au moment nécessaire les matières premières, composants et sous-ensembles achetés ou sous-traités à l’extérieur de l’entreprise et entrant dans la réalisation des produits;
Fabriquer c’est à dire fournir au moment nécessaire les produits finis achetés par les clients de l’entreprise.
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L’ensemble de ces trois fonctions est le Système Physique de Production (SPP).
Si nous rentrons plus en détail dans chacune de ces fonctions, nous pouvons élaborer l’arbre hiérarchique suivant:
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R e ch erche
D é ve lop pe m e nt
In du str ia lisa tion
C o ncev o ir
A che te r
T ran sp or te r
E m m ag as in er
A pp rov is ion ner
E m m ag as in er
P ré pa re r
T ran sp or te r
T ran sfo rm er
A sse m b le r
F ab riq uer
S ystè m e P hys iq u e de P ro du ction
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Le SPP nécessite, pour être piloté convenablement, trois fonctions que l’on a pour habitude de regrouper sous l’expression « Gestion de production » ou système de pilotage de la production. Ces trois fonctions sont:
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Gérer c’est à dire mobiliser et organiser les ressources en vue d’atteindre, en respectant un certain nombre de règles et de contraintes le ou les objectifs pour lesquels ces ressources on été mises en place, c’est une fonction d’optimisation;
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Exploiter: cette fonction est de même nature que la précédente mais se situe plutôt au niveau de la gestion opérationnelle des ressources lors de l’exécution des tâches auxquelles elles participent.
Elle couvre notamment les aspects de conduite et de maintenance des ressources matérielles, de formation du personnel;
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Contrôler: les objectifs de la production étant fixés, il est nécessaire de mesurer les écarts entre l’expression quantitative des objectifs (quantité, délai, qualité, coûts) et leur réalisation. C’est dans cette fonction que l’on classe les activités suivantes: suivi de production, contrôle des coûts, contrôle de qualité.
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Il reste une fonction particulièrement importante dans l’entreprise, puisque sans elle il n’y a pas de pilotage des différents systèmes qui la composent:
Décider: la décision (par exemple en production) consiste à ajuster en permanence la réalité constatée (par exemple par le contrôle de production), ceci afin de réaliser au mieux les objectifs fixés (par exemple atteindre des cibles).
Nous résumons et complétons ces diverses fonctions par les organigrammes suivants:
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P la n ifie r
E xé cu te r
G érer
C on du ire
M a in ten ir
F o rm er
E xp lo i te r
Q ua li té
C o ntrô le de g e stion
C on trô le d e l'exécu tionsu iv i d e p ro du ction
C on trô le r
U s ine e t é qu ipe m e n ts
P lan ifica tio n e tco n trô le d e la p ro du ction
M a in -d 'o euv re
C o nce ption d es p ro du itse t in du str ia lisa tion
O rga n isa tion
Z o ne s de dé c isio ns
S ystè m e d e P ilo ta g e de la P ro du ction
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In v es tisse m e n ts
L o ca lisa tio n e td im e ns ion n em en t d es
u s in es
F a ire oufa ire - fa ire
U s ine e té q u ip em e nt
C h o ix d u n ive a u decon trô le
F a br ica tio n po urs to ck
F a br ica tio n oua sse m b lag e dela co m m an de
D im e ns ion ne m e ntd e s s to cks
T a ille d e s se rv ices
P lan i fica tio n e tco n trô le d e la p ro du ction
O rga n isa tiond u tra va il
E n rich issem en t d estâ ch es
R ém un éra tion
E n ca d re m e nt
S pé cia lisa tion
M ain -d 'e ouv re
C o nce p tion e to rgan isa tion
d e s p os te s d e trav a ile t de s a te lie rs
A do p tio n den ou ve lles
te chn iqu es
In tro du c tio n den ou ve lles
te ch n o lo g ies
D u ré e d e v ie
D im e ns ion ne m e nt dela ga m m e d e p ro du its
C o nce p tion d es p ro du itsin du str ia lisa tion
S tyle deD ire ction
G e stion dup erson ne l
S tru c tu re de l'o rga n isa tion
O rga n isa tion
Z o ne s d e dé c is ion
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Direction 3:Optimisation des moyens mis
en œuvre.
Par exemple les informations opérationnelles disponibles servent de bases à l’action. Elles permettent d’anticiper des situations de « non qualité ».
On peut classer l ’information opérationnelle en diverses catégories:
• Informations pour analyse
Elles sont utilisées pour étudier par exemple un défaut par rapport à ses origines;
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• Informations pour contrôle de processusUtilisées pour définir l’allure normale d’un
processus de production par exemple;
• Information de régulationUtilisées pour maintenir des conditions
définies dans un processus, par exemple la température d’un four;
• Informations acceptation / rejetUtilisées pour décider: continuer, arrêter,
nouveau contrôle…
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Annexe:
1. Utilité.
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Aider à comprendre la complexité d’un environnement ;
Aider à la prise de décision ;
Disposer de moyens susceptibles de
prévoir et d’anticiper.
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Modélisation
Décision
Statistiques et informatique
Dépouillem ent de l'inform ation recueillie.
Tableaux statistiques. Graphiques. Valeurs caractéristiques. Autres analyses.
Prévision. Décision.
Com m entaires et recom m andations.
Recherche d'inform ation à propos des variables choisies.
C h oix d e variab les .
Phénom ène étudié.
Risque
2. Modélisation.
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Population : référentiel sur lequel porte l’analyse. Ensemble d’individus, d’objets, de faits, d’unités de temps, de codes…;
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Variable : une caractéristique que l’on désire étudier sur chaque individu de la population.
Qualitative
Discret Continu
Type.
Quantitative
Nature
Variable.
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- Type de défaillances: variable qualitative ; - Le nombre de pannes d’un dispositif électronique : variables quantitatives discrètes ; - Coût de reprise des erreurs ou durée de vie d’un produit : variables quantitatives continues.
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Information.
Interne à l'entreprise. Externe à l'entreprise.
Existe.
Inform ation à créer.
N'existe pas.
Inform ation.
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Principales sources internes :
- Données comptableset budgétaires ;
- Informations commerciales ;- Données concernant la production ;- Sources du service du personnel.
Principales sources externes :
- Les sources professionnelles ;- Les sources publiques ;- Les organismes spécialisés.
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Information à créer: on peut avoir recours à des sondages :
A 2 degrés En grappe
A 2 niveaux Statifié
Non sim ple Sim ple
Aléatoire
M éthode des tinéraires M éthode des quotas
Em pirique
Echantillons.
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Les informations recueillies sont déterminantes puisqu’elles précèdent l’action. Il est donc essentiel de se poser deux questions:
• Mettent-elles en lumière la réalité? Il s’agit en particulier de toutes les méthodes d’échantillonnage qui génèrent des échantillons que l’on souhaite représentatifs de la réalité;
• Les données sont-elles recueillies, analysées, comparées pour définir la réalité? De quelles informations avons-nous besoin?
• Les méthodes de traitements sont-elles adaptées et conformes aux objectifs. Par exemple la différence entre un intervalle de confiance et un intervalle d’évolution normal.
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Exemple des moyennes.
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Direction 4:Réduction des coûts (achat,
production, distribution).
Par exemple, la réduction des coûts de stockage par une gestion efficiente des stocks.
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Si l’on examine différents cas de stocks gérés dans différentes entreprises industrielles et commerciales, on peut identifier plusieurs fonctions qui peuvent parfois être remplies simultanément:
• Fonction d’amortissement et de régulation;
• Fonction économique;
• Fonction d’anticipation;
• Fonction de sécurité.
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A m o nta cha t de m atiè re s p rem ières
a p prov isio nn em e ntin te rm itte n t e t i rrég u lie r
A va la léa s d e p ro du ction
sa ison na lité d e l'ac tiv i té
F o nc tiond 'am or tissem en t e t de ré gu la tion
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La fonction économique consiste à acheter pour un produit donné beaucoup plus que les besoins immédiats; mais à un prix intéressant
La fonction anticipation concerne les produits à courte durée de vie( mode, textiles…) ou l’on doit constituer des stocks bien avant que la saison ne commence.
C’est le cas également lorsque l’on veut constituer des stocks pour anticiper des augmentations possibles: on parle de stocks spéculatifs
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La fonction sécurité: il s’agit de protéger l’entreprise face à
l’incertain.
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Techniquement deux conceptions de gestion de stock peuvent être envisagées:
• Une politique visant à définir une quantité optimale de commandes et d’en déduire le rythme des réapprovisionnements dans l’hypothèse d’une demande certaine;
• Un choix à priori d’un rythme de réapprovisionnement et la recherche d’un niveau de stock à compléter, la demande se comportant de manière aléatoire.
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Trois types de coûts doivent être pris en compte:
• le coût de stockage;
• le coût de passation de commande ou
lancement des productions;
• le coût de pénurie.
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Im m ob ilisa tionta ux cor resp on da nt
a u co û t d u cap ita l po ur l'en trep rise
O pp or tun itéta ux cor resp on da nt
a u re nd em en t du ca p ita lp ou r l'en trep rise
A d m in is tra tif e tsu iv i d e s sto cks
D étér io ra tion
D é su étu deo b so lescen ce
A ssu ran ce
F o nc tion ne m e nt
M an ute n tion
S to cka ge
C o ût d e p o sse ss ion
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S e rv ice ad m in is tra tif e tsu iv i d e s sto cks
R é ce p tiond e fa c tu re s,co n trô le e trè g lem ent
R a ng e m e nt
C on trô leq u a li ta t if e tq u an tita t if
R éce p tion d e la liv ra ison
E tab lisse m e nte t en vo ie de la
co m m an de
E xa m e n d e s s tocks p o urp rod u its à com m a nd er
e t dé fin i t io n d esq u an ti tés
C o û t d e p a ssa tio n d e co m m a nd es
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R e po rt d 'u n e v en te P er te d 'un e v en te
C o ût de pé nu r ie
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Haut niveau de qualité et coût acceptable oblige à travailler dans 5 directions:
• Le service au client et la fiabilité (l’aval est le déterminant de l’achat);
• La motivation et la mobilisation des producteurs (flux tirés);
• Optimisation des moyens mis en œuvre (information adéquate);
• Réduction des coûts (achat, production, distribution, stockage, évaluation technique de la demande);
• Organisation de l’entreprise (EAI)
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Exercices
• Fonderie: modélisation, production, simulation et rendement en avenir certain;
• Modélisation: politique et réduction des coûts en avenir aléatoire;
• Approvisionnement et coûts induits en avenir aléatoire.
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Direction 5:
Organisation de l’entreprise
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1. Etat des lieux
Les entreprises en général doivent optimiser en permanence et souvent redéfinir complètement leurs « processus métiers ».
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Processus:
C’est une structuration reproductible d’activités réalisées par des participants en vue d’une finalité précise et partagée: par exemple l’édition de bulletin de salaires ou encore la passation de commandes
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Pendant quelques années (les années 90), les entreprises se sont focalisées sur l’amélioration de leur processus de contrôle de la qualité de fabrication et de service (0 défauts…), ce qui a permis de réduire les cycles de développement des nouveaux produits et d’augmenter la satisfaction du client. Cette amélioration s’est construite en particulier par l’élaboration de normes de qualité et leur suivi.
Aujourd’hui, la qualité passe par une remise à plat du schéma des processus métiers.
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Quelles en sont les raisons?• La mise en place des ERP (Enterprise
Resource Planning);• La maîtrise des processus;• Les travaux d’urbanisation des systèmes
informatiques;• L’émergence des technologies Web;• L’arrivée de normes d’échanges et de
sémantiques
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ERP (Enterprise Resource Planning):
Ce sont des logiciels intégrés de gestion. Ils concernent au moins trois grandes fonctions de l’entreprise (contrôle de gestion, comptabilité, gestion commerciale, achat, paie, production) et partagent les données au sein d’une même base de données.
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Raison1: La mise en place des ERP
La mise en place dans une entreprise d ’un progiciel de gestion intégré amène une logique d’intégration portée par un seul outil. Cette logique s’est révélée valable et tactiquement intéressante en interne mais pas en externe. Dans les faits, les ERP accompagnent les tendances durables; mais…
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ont du mal à s’adapter à des modifications de stratégies, processus, produits, marchés et clientèles auxquels doit faire face toute entreprise (fusion, acquisition, nouvelles activités…).
Tout grand changement demande la reconfiguration de l’organisation informatique structurelle et fonctionnelle, qui s’accompagne d’une certaine lourdeur et de coûts importants.
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Raison 2: La maîtrise des processus
Les processus ne sont en général pas documentés car ils font partie intégrante de la culture de l’entreprise. Ainsi la maîtrise de ses processus est insuffisante.
Par ailleurs, la façon dont les processus métiers sont implantés dans l’entreprise va déterminer la difficulté de la gérer informatiquement.
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Raison 3: Les travaux d’urbanisation des systèmes informatiques
Dans les années 2000, la plupart des entreprises ont entrepris des travaux d’urbanisation. Ainsi beaucoup de tâches manuelles ont été informatisées sans que la question de l’optimisation des processus de bout en bout ne soit posée.
Cela a créé des points de blocage ou des dysfonctionnements.
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Par exemple:
• le processus de facturation est automatisé; mais le processus de passation de commandes reste manuel;
• le processus de fabrication est informatisé; mais les processus d’achat restent humain construit sur du relationnel.
• …
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Fournisseur
ERP
Achats Comptabilité
Ventes Stocks
Flux physique
Flux d’information
Flux physique
Non qualité
Non qualité
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Raison 4: L’émergence des technologies Web
Cette émergence a changé fondamentalement le mode d’échange des interactions entre les organisations.
La même plate-forme permet de communiquer avec ses clients, avec ses fournisseurs et avec ses employés où qu’ils soient.
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Dans ce gigantesque réseau, les canaux qui acheminent les demandes des clients jusqu’aux processus internes de l’entreprise sont connectés nuit et jour .
Ceci bouscule les habitudes et
nécessite une adaptabilité importante de l’entreprise, les opportunités commerciales pouvant émerger très rapidement
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Au final, le rythme de création de nouveaux processus métiers ou d’amélioration de ceux-ci s’accélère fortement.
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Conclusion
L’obsolescence de certains systèmes informatiques, des fonctionnements et des organisations, une concurrence importante, les nouveaux modèles économiques obligent les entreprises à modéliser leurs processus métiers pour améliorer la qualité du service client.
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2. EAI La modélisation de ces processus
consiste à décrire l’ensemble des états nécessaires pour réaliser de bout en bout une prestation à destination du client.
C’est la description des processus métiers et leur mise à plat qui permettront de rationaliser leur informatisation.
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L’objectif étant de diminuer le temps de cycle du processus et ses coûts de fonctionnement.
Temps et coûts sont deux indicateurs clés au cœur de la problématique des entreprises.
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La refonte d’un système d’information doit s’accompagner d’une réflexion profonde sur les données à intégrer et sur les processus.
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L’idée nouvelle est qu’un processus métier est un élément « vivant » et muable, qu’il naît, évolue, vieillit et peut disparaître.
L’ambition nouvelle est de recomposer le système d’information autour du client:
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• C’est l’aval qui est le déterminant de l’achat. Cela implique qu’il faut communiquer avec les clients;
• L’achat permet la création d’une information « historisée » qui doit être utilisée par l’ensemble des acteurs.
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[Cette ambition est contenue par exemple dans les offres EAI (Enterprise Application Integration / intégration des applications d’entreprises) de microsoft]
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Enterprise Application Integration:
Logiciels qui modélisent, exécutent et administrent les flux inter-applicatifs, dans le but de garantir l’intégrité du système d’information à un instant donné.
L’E.A.I. couvre les fonctions de routage et de transformation des données entre les applications.
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La démarche orientée processus permet de modifier les métiers en fonction des besoins des clients.
Trois éléments clés dans les processus doivent être maîtrisés:
1. L’organisation;2. La transaction;3. L’intégration
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L’organisation
On trouve dans un processus différents éléments tels que:
• Des personnes;• Des supports d’informations;• Des objets;• Des règles;• Et d’autres conditions ou processus…
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Au sein des processus on va avoir différentes tâches à réaliser. Il faut savoir:
• A qui attribuer ces tâches?• Comment elles sont gérées?• Où se positionnent-elles dans le processus?
Il faut savoir si le processus est appliqué ou non et si derrière il y a une réalité commerciale.
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Dans l’organisation, on distingue différents types de processus:
• Les processus de support qui viennent soutenir les autres processus. On peut citer par exemple la gestion des ressources humaines;
• Les processus opérationnels permettent de réaliser les produits et les services. On peut citer par exemple la réponse à une demande client;
• Les processus de pilotage qui donnent l’orientation et assurent la cohérence de l’ensemble.
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La transaction
Ce sont les activités intermédiaires de routage entre les différents métiers. Dans un schéma de processus transversal du type suivant:
Ventes Comptabilité Expédition SAV
Articulations entre les services
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La partie purement métier, interne à chaque domaine métier est le plus souvent parfaitement maîtrisée. C’est le passage d’un service à l’autre qui est mal couvert. Les gains potentiels de performance et de qualité se situent donc aux interfaces inter-services.
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L’intégrationLes processus vont avoir besoin
d’informations pour se dérouler correctement. Dans le système d’information on doit pouvoir accéder rapidement aux données au cours du traitement du processus.
Dans un processus, on va devoir piloter la synchronisation des tâches, s’assurer de l’intégrité des données et qu’il correspond à une réalité commerciale.
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Par exemple la commande d’un article (action 1) est envoyée directement à un fournisseur, lequel déclanche la préparation de la commande (action 2), le logiciel de comptabilité générant une facture (action 3) seulement si l’action 2 lui en donne l’autorisation.
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Dans un nouvel environnement économique fondé sur une plus grande maturité d’Internet, la réactivité des entreprises va devenir un facteur clé de succès. Seules les entreprises qui auront la capacité d’adapter constamment leurs processus et leurs technologies pourront exploiter pleinement ces nouvelles opportunités et faire face à un marché de plus en plus concurrentiel.
Anticipation et réactivité conditionnent la pérennité des performances économiques
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Ces performances sont de plus en plus dépendantes des solutions mises en œuvre dans les systèmes d’informations.
Plus une entreprise va vite et plus elle est « agile » et a de chances de capter un client. Elle doit être capable de communiquer en temps réel avec les clients.
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Elle doit maîtriser les flux d’information
L’entreprise va tirer profit d’un certain nombre de processus collaboratifs en gérant mieux ses connaissances.
Ces processus qui aident à la réalisation de tâches communes, à la planification et à la synchronisation du travail vont cadencer les activités humaines.
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Workflow
Est une informatisation des processus de travail où les données et les tâches sont passées d’un participant à un autre selon des règles et des procédures définies.
Le « workflow » est principalement dédié à l’informatisation de processus organisationnel.
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Les outils de « workflow » par exemple permettent notamment de visualiser l’état d’avancement d’une procédure et d’identifier les raisons d’un éventuel retard.
Il y a deux catégories de « workflow »:
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• Le « workflow » administratifCes outils sont orientés vers la gestion des
processus administratifs auxquels ils lient l’information et les documents nécessaires à l’accomplissement des tâches de chaque acteur impliqué.Ils prennent en charge le routage de formulaires électroniques (demandes de congés, demande d’achats…) qui seront acheminés automatiquement vers le destinataire approprié pour accord ou refus
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Ils sont en général mis en œuvre sur des procédures simples et stabilisées.
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• Le « workflow » de production
Ils gèrent les processus directement liés aux services que l’organisation propose et dont dépend son efficacité (la gestion des sinistres pour une compagnie d’assurance, le service après vente d’une entreprise de distribution…)
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Tout processus nécessite une multitude d’informations telles que des indicateurs sur les rendements, les budgets, des informations historisées concernant les achats, les factures, les commandes…ou en temps réel (niveaux de stocks…)
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L’utilisateur pour être efficace doit pouvoir accéder à ces informations rapidement et de manière simplifiée. Un acteur fréquemment sollicité dans de nombreuses procédures peut piloter l’ensemble de ces taches dans un portail.
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La mise à plat des processus métiers permet de redistribuer les rôles au sein de l’entreprise.
Modéliser un processus consiste à le décrire, puis à l’améliorer en modifiant le fonctionnement et les enchaînements des tâches réalisées pour effectuer une prestation.
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Dans un délai très court, la redistribution des rôles va remettre en cause les pratiques, les méthodes, les fonctions, les procédures et les besoins. Il est fortement probable que la mise à plat des processus métier permettra d’identifier:
• Les personnes insuffisamment formées;• Des insuffisances de contrôle;• Des matériaux mal adaptés à des tâches;• Une mauvaise distribution de l’information
91
Modéliser un processus métier consiste à le décrire, puis à l’améliorer en modifiant le fonctionnement et les enchaînements des tâches réalisées pour effectuer la prestation. Modéliser permet d’améliorer de manière significative la QUALITE.
92
La modélisation d’un processus métier permet de faire des simulations, de calculer le coût exact du processus, de découvrir les redondances, le surdimensionnement des équipes et autres tâches inutiles.
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En intégrant les applications et en automatisant un grand nombre de processus, on réalise de fortes économies d’échelle. On réduit les coûts des échanges commerciaux et notamment les frais de gestion des commandes.
L’analyse des processus achats permet de remettre les fournisseurs en concurrence là où les gains semblent possibles.
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La remise à plat des processus administratifs tels que les notes de frais ou les demandes de congés permet de réduire de façon sensible les frais généraux.
L’ensemble de ces chantiers s’accompagne d’une adaptation des effectifs au contexte et d’une réduction des surfaces utilisées.
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Le concept de processus métiers regroupe toutes les actions devant être réalisées par l’entreprise à la suite d’une interaction avec ses clients et ses fournisseurs.
Pour plus de réactivité et d’efficacité l’entreprise a intérêt à adapter
son système d’information, au-delà de l’entreprise, au réseau des clients, fournisseurs, partenaires qui interviennent dans les processus organisationnels.
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Ce type d’interactions s’est multiplié depuis quelques années et les partenaires sont maintenant largement intégrés.
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DataWarehouse
Base de données alimentée régulièrement à partir des bases de données opérationnelles de l’entreprise. C’est en quelque sorte un entrepôt de données.
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L’avantage du DataWarehouse est qu’il peut s’intégrer aux systèmes préexistants. Quand il est construit, son coût reste limité comparé aux coûts des systèmes opérationnels qui l’utilisent; mais il résoud seulement l’intégration du point de vue du traitement du processus de l’information.
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Si nous remarquons que dans les faits, les applications ont besoin pour fonctionner correctement des informations contenues dans d’autres applications, nous avons l’apparition des EAI
100
Avant l’arrivée des EAI, les entreprises développaient des connexions point à point. C’est-à-dire qu ’elles reliaient des connecteurs chaque fois qu’elles souhaitaient relier deux applications entre elles. Il n’y avait pas de politique de standardisation, ni de protocole standard. On parle « d’effet spaghettis »
101
Logistique
ERP
Site Web
Marketing
CRM
102
Logistique
ERP
Site Web
Marketing
RD
EAI
Nouvelle application
103
Raison 5: L’arrivée de normes d’échanges
Facilite les échanges au sein des entreprises et à l’extérieur.
104
Les divers domaines que nous venons d’aborder et en particulier le dernier, améliorent de manière significative la « nouvelle qualité » (service, produit, information, communication, processus,…) tout en réduisant de manière significative les coûts de tous ordres et la réactivité au client.
105
2. Quelques éléments de la maîtrise statistique des
processus de production et de contrôle
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Dans le soucis d’améliorer la « nouvelle qualité », les entrepreneurs travaillent naturellement sur la qualité des produits qu’ils fabriquent.
Cette qualité est présente dans:
• l’engagement de l’entreprise;
• l’étude préalable;
• l’étude détaillée.
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Mais ceci n’est que théorique et la production si elle est réalisée devra suivre de très près les engagements pris.
Ce paragraphe fait un inventaire de quelques moyens de contrôle.
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Tous les procédés, quels qu’ils soient, sont incapables de produire exactement le même produit. Ces variations viennent de l’ensemble du procédé de fabrication.
On désigne par les 5 M les causes élémentaires responsables de cette dispersion:
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• Machine (se dérègle)
• Main-d’œuvre (les équipes changent)
• Matière (divers lots de matière ou de composants)
• Méthodes
• Milieu (température, pression)
110
Les variations aléatoires d’une caractéristique peuvent très souvent être représentées par une loi normale pour laquelle on peut identifier la moyenne et l’écart type.
Concernant ces variations on parle de causes communes.
Les causes spéciales sont identifiables et difficiles à prévoir. L’identification d’une cause spéciale nécessité une intervention sur le processus.
111
Par rapport à ces deux types de phénomènes, la notion de qualité produit est simple:
• Pour le client, le produit doit satisfaire les exigences longtemps;
• Pour le fabriquant, le produit est de qualité si les caractéristiques correspondent au plan ou au cahier des charges.
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Quels que soient les systèmes industriels,la qualité finale d’un produit résulte de la combinaison plus ou moins complexe d’un nombre important de paramètres que nous pouvons classer de la manière suivante:
Paramètres participant au
bon fonctionnement
du produit
Paramètres identifiés
comme étant lié au
fonctionnement
Paramètres participant au
bon fonctionnement
du produit
Paramètres potentiellement surveillables
113
Paramètres réellement surveillés
Exemple
Considérons l’assemblage d’un arbre et d’un alésage. Parmi toutes les caractéristiques élémentaires on peut retenir:
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Le diamètre de l’alésage;
Le diamètre de l’arbre;
La cylindricité;
La rugosité des surface;
La dureté.
En réalité, pour une qualité voulue, on se limitera au suivi de quelques paramètres considérés comme critiques afin d’assurer la qualité finale du produit. Dans le cas présent le diamètre de l’alésage et le diamètre de l’arbre.
115
Pour les paramètres retenus, être à l’intérieur de la zone de tolérance n’est pas suffisant pour faire un produit de qualité.
En effet si l’arbre est au maximum de sa zone de tolérance et si l’alésage est au minimum, les paramètres non surveillés pourraient avoir une incidence forte sur le fonctionnement.
Par contre si l’alésage est placé sur sa cible, le jeu est plus proche du jeu idéal et le produit pourrait encaisser des paramètres non surveillés en limite.
116
Ainsi, en visant la cible pour chaque caractéristique surveillée, on rend le produit robuste par rapport aux caractéristiques non surveillées et de ce fait on va vers le client.
En résumé:
• Chaque caractéristique surveillée en production doit avoir une cible définie consensuellement entre tous les services concernés;
• La cible représente le niveau idéal de la caractéristique. Tous les opérateurs doivent s’efforcer de centrer le processus sur la cible;
117
• La cible doit apparaître clairement sur les plans de fabrication;
• Les services de production doivent utiliser les outil de la maîtrise statistique des processus pour satisfaire le centrage du processus sur la cible.
118
L’objectif final de tout industriel est de livrer des produits de bonne qualité pour le client au moindre coût.
Pour atteindre cet objectif, il est important de centrer les caractéristiques sur une valeur cible et d’utiliser deux critères fondamentaux: la moyenne et l’écart type des répartitions plutôt que la loi de répartitions.
La Maîtrise Statistique des Procédés permet de suivre ces objectifs.
119
21. La notion de carte de contrôle.
Il convient avant toute chose de faire la différence entre limite de tolérance et limite naturelle.
• Les tolérances servent à décider si les pièces que l’on vient de faire sont bonnes ou mauvaises: c’est un procédé rétroactif;
• Les limites naturelles servent à déterminer si le processus est toujours centré sur la cible: c’est un procédé d’anticipation.
120
Le schéma suivant peut illustrer le phénomène:
Tolérance maximale
Tolérance minimale
Limite naturelle supérieure
Limite naturelle inférieure
Cible
On sort des limites naturelles
On sort des tolérances
121
Les diverses mesures sont faites sur des échantillons. Ce qui permet de réduire pour les mesures l’effet dispersion et met en avant l’effet d’un déréglage.
122
1. Distributionsd ’échantillonnage, précision, risque et taille d’échantillon.
Etudes annexes
123
1. IntroductionNous nous plaçons dans le cadre
des échantillons aléatoires simples.
La variable étudiée notée X est quantitative.
Nous devons essayer de répondre à quelques questions:
124
• Quelle taille d ’échantillon faut-il définir pour respecter une certaine précision sur les paramètres à estimer (cibles) et un risque de non représentativité?
• Quelle précision doit-on attendre des résultats obtenus sur un échantillon de taille fixée par rapport à des moyens financiers et un risque donnés?
• Est ce que le risque associé à la mesure est compatible avec les objectifs de précision et acceptable par les décideurs en terme de coût?
125
Les distributions d ’échantillonnage sont des moyens techniques susceptibles de répondre à l ’ensemble de ces questions.
126
2. Les distributions d ’échantillonnage.
Les paramètres que nous souhaitons estimer dans nos études sont
de l ’un des 3 types suivant :
• des moyennes;
• des fréquences, des proportions, des pourcentages, des effectifs;
• des variances et des écarts types.
127
Ainsi, pour chacun des 3 types de paramètres précédemment cités, allons nous définir une distribution d ’échantillonnage. Nous aurons donc:
• Une distribution d ’échantillonnage des moyennes notée: ;
• Une distribution d ’échantillonnage des fréquences notée: ;
• Une distribution d ’échantillonnage des variances notée: ;
nX
nF
nS
128
Remarque.Lorsque les populations étudiées sont
de grande taille, remettre ou non l ’individu dans la base de sondage ne modifie pas la taille de la population. Ainsi, allons nous travailler dans un premier temps de manière non exhaustive, c’est-à-dire avec remise.
C’est le cas pour des productions importantes.
129
21. La distribution d ’échantillonnage des moyennes.
211. Exemple.
Considérons une population de taille 5. Notons les individus:
54321 ;;;; iiiii
Considérons une variable qui sur les 5 individus prendrait les valeurs suivantes:
5;4;3;2;154321iXiXiXiXiX
130
Nous pouvons calculer pour cette population réduite la moyenne m et l ’écart type σ que l ’on ne pourrait pas calculer sur une population normale.
Ici la moyenne arithmétique est
égale à 3 ( ) et l ’écart
type est égal à racine de 2 ( )
554321
2
1
95
2516941
131
Réalisons un échantillonnage de taille 2. Avec remise il y a 25 échantillons de taille 2 dont nous donnons un inventaire ci-après:
5545352515
5444342414
5343332313
5242322212
5141312111
;;;;;
;;;;;
;;;;;
;;;;;
;;;;;
iiiiiiiiii
iiiiiiiiii
iiiiiiiiii
iiiiiiiiii
iiiiiiiiii
L’un de ces échantillons est désigné comme la réalité.
Si nous appliquons la variable étudiée à chacun des individus de chaque échantillon, nous obtenons:
132
5;54;53;52;51;5
5;44;43;42;41;4
5;34;33;32;31;3
5;24;23;22;21;2
5;14;13;12;11;1
Il est possible maintenant de déterminer, pour chaque échantillon la valeur moyenne.
55,445,33
5,445,335,2
45,335,22
5,335,225,1
35,225,11
Ces 25 nombres constituent l’ensemble des estimations possibles de la moyenne m que l ’on souhaite estimer.
133
Certains de ces nombres sont proches et même égaux à ce que nous avons pour la population, d ’autres sont très éloignés.
Si nous ordonnons de manière croissante cette base de données, nous obtenons la série statistique suivante appelée: distribution d ’échantillonnage des moyennes.
134
Moyennes
échantillons :ixNombre d’échantillons :
in
1 11,5 22 32,5 43 53,5 44 34,5 25 1
25
Nous constatons que les valeurs obtenues sont plus ou moins probables. Par exemple, la valeur 1 est 5 fois moins probable que la valeur 3. Il semble donc que la valeur 3 soit une meilleure estimation de m que la valeur1.
135
Si nous calculons l ’espérance mathématique et la variance de cette nouvelle variable, nous obtenons:
nXV
mXE
22
2
221
3
La première relation signifie que les estimations que nous avons calculées se trouvent dans un voisinage du paramètre que nous cherchons.
136
La deuxième relation signifie que l ’on peut se trouver aussi près que possible du paramètre que nous cherchons. Le problème est essentiellement associé à la taille de l ’échantillon et donc au coût de la mesure.
Si nous représentons cette distribution nous obtenons une forme qui nous rappelle une loi de probabilité connue: la loi normale.
137
0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4 5 6
212. Généralisation.
La distribution permet de gérer l ’ensemble des nombres qu ’il est possible d ’obtenir lorsque sur un échantillon de taille n issu d ’une population de taille N on calcule une moyenne.
nX
138
Cette distribution a des propriétés, que nous avons mises en évidence dans l ’exemple:
• est une variable aléatoire définie sur l ’ensemble des échantillons qu ’il est possible de prélever de la population d’étude;
•
•
• Dans certaines conditions sur n, cette distribution peut être représentée par une loi normale.
nX
mnXE
nXVn
2
139
Remarques.
• La deuxième propriété signifie que lorsqu’on remplace la valeur moyenne inconnue m par une valeur calculée sur un échantillon , on se trouve dans un voisinage de m.
• La troisième propriété signifie que l’on peut se trouver aussi près que possible de m, c’est un problème de taille d’échantillon, donc de coût.
ix ie
140
• Si la population est de faible taille, la distribution d’échantillonnage peut être définie de la même façon que précédemment; mais les propriétés ne sont pas les mêmes:
mnXE
12
NnNnXV n
Les commentaires que l’on peut faire à propos de ces paramètres sont les mêmes.
141
Définition.
Le coefficient porte le nom de
coefficient d’exhaustivité.
1
NnN
Lorsque ce coefficient est proche de 1, c’est-à-dire si la taille de l’échantillon est faible devant la taille de la population, le cas exhaustif est identique au cas non exhaustif:
111
Nn
NnN
NnN
142
22. La distribution d ’échantillonnage des fréquences.
Le raisonnement est le même que pour une moyenne; mais il est appliqué à une fréquence p qu’il faut estimer.
La distribution des fréquences est une variable aléatoire définie sur l’ensemble des échantillons de taille n qu’il est possible de prélever dans la population que l’on étudie.
nF
143
Les propriétés sont:
Cas non exhaustif.
Cas exhaustif
npqFV
pFE
n
n
1NnNn
pqFV
pFE
n
n
Dans certaines conditions sur p et n, la distribution peut-être représentée par une loi normale.
144
Exemple.On veut connaître à 3 % près la
proportion de pièces non conformes à une norme qui vont sortir d’une chaîne de production. Combien de pièces doit-on mesurer si le risque ne doit pas dépasser 5 %?
L’équation à résoudre est la suivante:
32
1
03,041.96,1.96,1
relationrelation
relationnn
pqpFn
145
Si l’inéquation 1 est vraie pour n, l’inéquation 2 l’est également car la relation est toujours vraie pour p compris entre 0 et 1 inclus. Si la relation 2 est vraie, la relation 3 l’est également car théoriquement, l’erreur absolue est majorée par le nombre dans plus de 95 % des cas.
41pq
pFn
npq.96,1
146
Facteurs déterminant la taille de l’échantillon.
Les facteurs qui peuvent influencer la taille de l’échantillon sont :
• La précision;
• Le risque;
• La quantité d’information disponible;
• L’exhaustivité.
147
L’équation donne une
solution
03,041.96,1 n
Si nous modifions le risque, nous modifions la taille de l’échantillon de la manière qui suit.
• risque 10 %
• risque 20 %
• risque 2 %
• risque 1 %
106741.
03,096,1 2
netn
75741.
03,01,65 2
netn
45641.
03,028,1 2
netn
150941.
03,033,2 2
netn
184941.
03,058,2 2
netn
148
Changer la précision:
• Précision à 0,03
• précision à 0,04
• précision à 0,02
• précision à 0,01
60141.
04,096,1 2
netn
38541.
05,096,1 2
netn
240141.
02,096,1 2
netn
960441.
01,096,1 2
netn
149
Utiliser une quantité d’information connue. Supposons que l’on sache que la proportion cherchée ne peut pas dépasser la valeur 0,01. Dans ces conditions, on a à traiter l’équation:
32
1
03,099,0.01,0.96,1.96,1
relationrelation
relationnn
pqpFn
Ce qui permet de donner la solution:
4399,0.01,0.03,096,1 2
netn
150
Il reste à étudier l’impact de l’utilisation du coefficient d’exhaustivité.
32
1
03,01..4
.96,11.
..96,1
relationrelation
relation
NnnN
NnnNpq
pFn
Pour une population de taille 1600, on donne :
4501599.4.
96,103,011600
2
n
151
23. La distribution d ’échantillonnage des variances.
Il est fréquent que pour une variable donnée étudiée sur une population on ne connaisse pas la valeur de l ’écart-type. Cette valeur doit être estimée et on utilise pour ça la distribution d ’échantillonnage des variances:
Cette distribution est définie sur l ’ensemble des échantillons de taille n qu ’il est possible de prélever, de manière aléatoire exhaustive ou non, dans la population d’étude.
nS
152
Cette distribution a des qualités que nous donnons ci-après.
•
• tend vers 0 lorsque n tend vers l ’infini.
22 1
nnSE
n
2n
SV
Le fait que l ’espérance mathématique de la distribution d ’échantillonnage ne tende pas vers le paramètre que l ’on cherche à estimer est problématique . Aussi faut-il changer l ’estimateur et utiliser.
153
L ’estimateur à utiliser est défini par la relation:
22*1 nnS
nnS
Cette substitution nous assure que l ’estimateur est sans biais et convergent.
Remarque
Les trois estimateurs qui viennent d ’être définis sont sans biais, convergents et efficaces.
2*,,nnn
SFX
154
2. Estimation
155
1. Utilité
• informer sur la valeur de certains paramètres importants pour analyse;
• établir des fourchettes, des intervalles de confiance pour ces mêmes paramètres;
• réaliser des tests de comparaison de paramètres entre eux ou de paramètres à des normes;
156
21. IntroductionIl existe deux manières permettant
d ’estimer un paramètre y inconnu:
• remplacer ce nombre par un nombre déterminé au moyen des résultats obtenus sur un échantillon . C ’est une estimation ponctuelle;
• insérer ce nombre dans un intervalle. C ’est une estimation par intervalle de confiance.
ny
ne
157
Dans les deux cas, on cherche à bien estimer. Pour cela on utilise les distributions d ’échantillonnage.
Plus généralement, pour estimer y on utilise une variable Y appelée estimateur de y. Cette variable a des qualités obligatoires pour bien estimer:
158
• Il est sans biais.
Ceci signifie que les diverses estimations que l ’on peut calculer sont dans un voisinage du paramètre cherché y. La relation mathématique associée à ce souhait est donnée par:
yYE
159
• Il est convergent.
Cela signifie pratiquement que l ’on peut se trouver aussi près que l ’on souhaite de y. On règle la proximité à souhait. Ceci se traduit mathématiquement en indiquant que la variance de l ’estimateur tend vers zéro lorsque n tend vers N.
N taille de la population et n taille de l ’échantillon.
YV
160
• Il doit être efficace.
Cela signifie qu ’il est à variance minimale. En particulier, si l ’on a à choisir entre une procédure exhaustive et une procédure qui ne l ’est pas, on choisira la procédure exhaustive.
161
22. Application
• estimation d ’une moyenne m
L ’estimateur à utiliser est
Cet estimateur possède toutes les propriétés souhaitables pour réaliser de bonnes estimations. En effet,
nX
122
NnN
nXVounXV
mXE
nn
n
162
• estimation d ’une proportion p.
L ’estimateur à utiliser est
Cet estimateur possède toutes les propriétés souhaitables pour réaliser de bonnes estimations. En effet,
nF
1NnN
npqFVoun
pqFV
pFE
nn
n
163
23. Estimation ponctuelle• Estimation d ’une moyenne m.
X est une variable quantitative pour laquelle on veut estimer la valeur moyenne m.
Population N
Echantillonn
iinxeX
ix est une estimation de m
164
• Estimation d ’une proportion p.
On cherche à estimer la proportion p des individus qui dans une population possèdent une caractéristique .
Population N
Echantillonn
iinfeF
est une estimation de pif
165
24. Estimation par intervalle de confiance.Le problème posé est le suivant:
Déterminer deux nombres a et b tels que le paramètre y ait certaines chances de se trouver dans l ’intervalle de bornes a et b.
Les bornes de l ’intervalle sont construites en utilisant les diverses valeurs obtenues sur l ’échantillon disponible.
166
241. Estimation d ’une moyenne.
On traite le cas non exhaustif et on suppose que l ’écart-type est connu.
Dans ce cas l ’intervalle de confiance est donné par la relation:
n
tXn
tXInn
;
représente la confiance que l ’on a dans l ’estimation et 1- représente le risque.
167
Mais lorsqu’il s’agit de contrôler l’écart par rapport à une valeur cible m, on utilise l’intervalle:
n
tmn
tmI ;
168
Remarques
1. Cette méthode représente une règle d ’estimation qui réussira en moyenne dans α % des cas.
2. Si le problème est exhaustif, on introduit le coefficient d ’exhaustivité de la manière suivante:
1;
1 NnN
ntX
NnN
ntXI
nn
169
3. Si l ’écart-type est inconnu, on l ’estime ponctuellement en utilisant l ’estimateur:
nnS
nnS
1*
qui possède les bonnes propriétés décrites précédemment.
170
242. Estimation d ’une proportion.
On traite le cas non exhaustif.
Dans ce cas l ’intervalle de confiance est donné par la relation:
ou
npqtF
npqtFI
nn ;
α représente la confiance que l ’on a dans l ’estimation et 1- α représente le risque.
npqtp
npqtpI ;
171
Remarques
1. Cette méthode représente une règle d ’estimation qui réussira en moyenne dans α % des cas.
2. Les bornes de l ’intervalle dépendent du paramètre que l ’on doit estimer. Il est donc impossible d ’utiliser cet intervalle pour estimation. Pour contourner cette difficulté, on peut utiliser l ’une des 3 méthodes suivantes:
172
• donner un intervalle par excés:
n
tFn
tFInn 4
1;41
• utiliser le fait que est un bon estimateur de p
nF
nnFnF
tFn
nFnFtFI
nn
1;
1
• utiliser des abaques.
173
3. Si le problème est exhaustif, on introduit le coefficient d ’exhaustivité de la manière suivante:
1;
1 NnN
npqtF
NnN
npqtFI
nn
174
3. Divers types d’échantillons pour les contrôles.
175
On peut utiliser:
• l’échantillonnage simple: un seuil unique de refus R;
• l’échantillonnage double: une zone d’incertitude A1-R1 qui déclanche le prélèvement d’un nouvel échantillon à seuil unique;
• l’échantillonnage multiple: réservé à des contrôles destructifs (en général, 7 échantillons de petites tailles) . Même méthode que précédemment;
176
• l’échantillonnage progressif;
Droite d’acceptation
Droite de rejet
Zone d’incertitude
Nombre total de pièces contrôlées
Nombre total de pièces trouvées
mauvaises
177
• Echantillon de faible taille.
On prélève et on contrôle un nombre limité de pièces et on s’assure que toutes les pièces respectent le cahier des charges. Si ça n’est pas le cas on refuse le lot.
178
Exercices
179
Chacun de ces échantillons conduit à accepter ou à refuser une production.
Dans un contrôle concernant un client et un fournisseur, deux types de risque émergent:
Le risque du client: acheter un lot non conforme alors que le contrôle a conclus à la conformité (risque α);
Le risque du fournisseur: se voir refuser un lot déclaré non conforme alors qu’en réalité il l’est (risque β).
180
22. La carte de pilotage: moyenne et étendue.
Pour chaque contrôle on détermine la valeur moyenne et l’étendue. Ces deux nombres doivent se trouver dans des zones définies par le contrôle.
Le rôle de la moyenne est de détecter une dérive par rapport à la cible.
Le rôle de l’étendue est de détecter une dégradation de la dispersion.
181
Les cartes de contrôle ont pour but de surveiller que les variations observées sur le procédé ne sont pas supérieures aux variations normales générées par les causes communes.
Il faut donc connaître, avant de mettre en place une carte de contrôle, quelles sont ces variations. D’où l’importance de la phase d’observation.
182
Un des poins importants pour la qualité est la capabilité, c’est-à-dire la capacité de l’outil de production à répondre aux exigences.
La capabilité se mesure par un nombre: le rapport entre la performance demandée et la performance réelle.
Que calculer?
183
1. Le Pp et le Ppk
La valeur du Pp est donnée par la relation:
LT
ITPp
6
On considère que le processus est capable si le Pp est supérieur à 1,33.
IT: intervalle de Tolérance
LT: long terme
184
Ce nombre est insuffisant pour déceler un déréglage. Pour ce faire on utilise le Ppk défini par:
LT
prochepluslaitemoyennedPpk
.3
lim
185
2. Le Cp et le Cpk
La valeur du Pp est donnée par la relation:
On considère que le processus est capable si le Cp est supérieur à 1,33.
CT
ITCp
6
186
Ce nombre est insuffisant pour déceler un déréglage. Pour ce faire on utilise le Cpk défini par:
CT
prochepluslaitemoyennedCpk
.3
lim
187
Pour tenir compte à la fois du centrage et de la dispersion, on utilise les indicateurs suivant:
5,025,022
5,025,022
.91.6
.91.6
PpkPp
Pp
Ciblex
ITPpm
CpkCp
Cp
Ciblex
ITCpm
LT
CT
Les critères de choix restent les mêmes:
le Ppm doit être supérieur à 1,33
188
3. Chaînes de MarkovPhénomènes d’attentesProcessus de Poisson
189
1. Introduction
Il est nécessaire d’adopter une attitude scientifique pour exprimer le hasard de phénomènes susceptibles de générer des files d’attente: service de clients, déchargement de bateaux, atterrissage d’avions, demandes d’exécution de production, livraisons de billets à des guichets ….
190
Pour les étudier théoriquement on les représente par des processus dits stochastiques.
Lorsque la sécurité ou toute autre nécessité impose un service rapide de manière à réduire l’attente en dessous d’une valeur que l’on se fixe, on peut alors prévoir les moyens à mettre en œuvre ainsi que leur coût.
191
2. Quelques définitions
Processus stochastique
Chaîne de Markov
Processus de Poisson
192
Un processus stochastique est un processus dans lequel les changements d’états liés par des lois de probabilité se succèdent à des intervalles aléatoires ou déterminés.
,,,,,
,,
220
210
ki
ki
EEEEE
ttttt
Par exemple le processus qui consiste à relever chaque jour le niveau des ventes d’un produit donné (niveau bas (E1) ou haut (E2)).
193
3 5 17 8 9 20 18 8 9 7
31 11 12 34 9 8 10 21 21 9
5 6 40 12 13 15 31 32 21 10
10 30 10 11 41 15 41 31 25 26
12 12 14 9 6 7 31 9 8 4
51 7 8 9 31 12 40 39 23 8
4 33 5 4 12 12 33 32 50 13
5 6 32 6 7 9 9 8 54 9
42 24 33 6 7 4 5 21 22 31
7 32 33 54 53 45 43 9 5 7
Les ventes ont été relevées, en fin de journée, sur 100 jours consécutifs rangés dans l’ordre du relevé (avant le premier jour de relevé
les ventes sont égales à 11) :
194
Les divers niveaux sont présentés dans l’ordre où ils sont apparus (les ventes avant le premier jour de relevé sont basses).
E1 E1 E2 E1 E1 E2 E2 E1 E1 E1
E2 E1 E1 E2 E1 E1 E1 E2 E2 E1
E1 E1 E2 E1 E1 E1 E2 E2 E2 E1
E1 E2 E1 E1 E2 E1 E2 E2 E2 E2
E1 E1 E1 E1 E1 E1 E2 E1 E1 E1
E2 E1 E1 E1 E2 E1 E2 E2 E2 E1
E1 E2 E1 E1 E1 E1 E2 E2 E2 E1
E1 E1 E2 E1 E1 E1 E1 E1 E2 E1
E2 E2 E2 E1 E1 E1 E1 E2 E2 E2
E1 E2 E2 E2 E2 E2 E2 E1 E1 E1
195
Par exemple également l’état de fonctionnement ou de panne d’un ensemble constitué de composants réparables.
196
Soit un ensemble de résultats possibles du processus indépendants. La probabilité d’une séquence de résultats est donnée par la relation:
nn jjjjjj pppEEEp
1010
Dans la théorie des chaînes de Markov, on considère la plus simple des généralisations de cette situation dans laquelle on admet que la réalisation de l’évènement à l’instant t a une influence sur la réalisation de l’évènement à l’instant t+1.
197
n
ijjj
n
ij
jjkjjkkj
iiipaEp
apEpEEpEEp
1010
/
On peut utiliser une autre terminologie. Au lieu de dire l’épreuve i a pour résultat Ei, on dit au temps i le système est dans l’état Ei. La probabilité est alors la probabilité de transition de l’état Ej à l’état Ek
kjp
ainsi,
198
Les probabilités de transition sont souvent représentées par une matrice carrée appelée matrice stochastique.
nnnn
n
n
ppp
ppp
ppp
21
22221
11211
Une matrice stochastique peut-être finie ou infinie.
199
La somme des lignes (ou des colonnes) d’une matrice stochastique est égale à 1.
11
1/
1
1
111
1
ij
ji
jij
ij i
ij
jij
jij
EEpEp
EEpEpEp
EEpEEp
p
200
Dans l’exemple précédemment donné, on peut définir la matrice de transition en utilisant les statistiques disponibles.
En effet, 4 cas sont possibles:
22211211 pppp
La probabilité p11 représente la probabilité qu’un jour donné les ventes soient basses sachant que le jour précédent les ventes étaient également basses.
201
En utilisant le tableau de la diapositive numéro 5 on peut déterminer des estimations de ces probabilités.
Ces nombres sont égaux à:
41
20
41
100
100
20
41
21
41
100
100
21
59
21
59
100
100
21
59
38
59
100
100
38
22
12
21
11
p
p
p
p
202
d’où la matrice stochastique suivante:
41
20
59
2141
21
59
38
M
On a calculé une estimation de la probabilité de chacun des évènements Ei (ces nombres ont été calculés sur une année de vente) soit:
3,0
7,0
2
1
Ep
Ep
203
Nous sommes alors capables de calculer la probabilité que le jour qui suit le jour 100, les ventes soient basses ou hautes.
396,0
604,0
3,041
207,0
59
21
3,041
217,0
59
38
3,0
7,0
41
20
59
2141
21
59
38
2
1
Ep
Ep
Si on appelle M la matrice stochastique, au terme de n jours on doit avoir la relation:
20
10
2
1
Ep
EpM
Ep
Ep n
n
n
204
A nous de calculer la puissance n de la matrice M.
L’intérêt d’utiliser la formule précédente réside dans le fait que l’on dispose d’un moyen de prévision.
Le calcul de la puissance n de la matrice M est défini:
1. en calculant les valeurs propres de cette matrice;
2. en déterminant des vecteurs propres associées aux valeurs propres;
3. en déterminant la matrice P telle que:
1PDPM
205
Les valeurs propres de cette matrice sont:
13187,0
1
2
1
Deux vecteurs propres associés pourraient être:
1
1
1
439,1
2
1
U
U
206
La matrice P et son inverse sont données par:
59,041,0
41,041,0
11
1439,1
1P
P
La matrice M peut-être exprimée par:1PDPM
Et la puissance n de M par:
1 PPDM nn
207
L’expression de l’instant n en fonction de l’instant 0 est donné par:
3,0
7,0
139,059,041,0139,02141,0
139,059,041,0439,1132,0132,01439,141,0
2
1
nn
nnn
Ep
Ep
Lorsque n tend vers l’infini on est en régime stationnaire. Soit:
3,0
7,0
41,041,0
41,0439,1439,141,0
2
1
Ep
Ep
208
41,0
59,0
2
1
Ep
Ep
Les probabilités sont constantes à partir d’un certain moment, et donc ne dépendent plus du temps:
209
Exercices sur les chaînes de Markov.
Une source binaire d’information S a pour vocabulaire 1 (V) ou 0 (F) [il s’agit d’une source markovienne d’ordre 1, c’est-à-dire obéissant au processus suivant: à chaque instant t, l’un quelconque des deux signes du vocabulaire peut-être émis par la source S et la probabilité d’émission de chaque signe dépend du signe émis à la période t-1]. On donne dans le cas particulier étudié:
0,//,,,1 11
0
qpqFVppVVpt
pVp
tttt
1. Quelles sont les probabilités d’émission de chaque signe par la source S à la date n?
2. Quelles en sont les limites?
210
Processus de Poisson
Le nombre N d’évènements E qui se produisent dans un intervalle de temps t est une variable aléatoire.
Notons la probabilité que n évènements E se produisent entre 0 et t.
tpn
Nous faisons les hypothèses suivantes:
211
H1: ne dépend que de l’intervalle de temps et pas de l’instant initial.
H2: La probabilité que 2 évènements E se produisent dans un intervalle de temps dt est infiniment petite par rapport à dt.
H3: La probabilité que E se produise dans un intervalle dt est proportionnelle à dt soit λdt.
tpn
212
L’ensemble des valeurs de N c’est l’ensemble des entiers naturels.
L’accroissement de N dans un intervalle de temps t est égal à n, nombre d ’évènements E qui se sont produits dans cet intervalle.
Si l’on connaît alors 0tN ntNttN 00
L’accroissement n a les propriétés suivantes:
Sa probabilité est
Elle ne dépend pas de ce qui s’est passé jusqu’à
tpn
0t
213
La fonction aléatoire définit alors un processus de Poisson et constitue un exemple de chaîne de Markov.
La fonction aléatoire est entièrement définie par la probabilité qui obéit à une loi de Poisson
tN
tN tpn
,1,0
!
nn
ettp
tn
n
Le paramètre λt représente le nombre moyen de réalisations de l’évènement E dans le laps de temps t. [Voir démonstration 1]
214
4. Distribution des intervalles de temps entre deux évènements.
Considérons un processus de Poisson. La loi de probabilité des intervalles qui séparent deux évènements successifs est une loi exponentielle.
La densité de cette variable est donnée par:
positiftstrictemenxexf x
On a également:
215
2
1
1
1
XV
XE
exXpxF x
respectivement fonction de répartition, espérance mathématique et variance de la variable
216
3. Les phénomènes d’attente
1. Description générale
Les caractéristiques d’un phénomène d’attente sont d’une façon générale:
• des arrivées, à des intervalles de temps réguliers ou irréguliers, en un point donné appelé centre de service;
• un ou plusieurs canaux de service ou stations. Les intervalles de temps de service des unités sont réguliers ou irréguliers.
217
Diverses sources d’arrivée
Diverses stations de
service
Files d’attente
Système
218
Pour exposer les phénomènes d’attente dans le cas général, nous utiliserons les notations suivantes:
• m = le nombre d’unités dans l’ensemble du phénomène;
• n = le nombre d’unités dans le système;
• ν = le nombre d’unités dans les files;
• j = le nombre d’unités en cours de service;
• ρ = le nombre de stations inoccupées;
• S = le nombre de stations
219
Ces variables sont liées entre elles de la manière suivante:
• n = jsi n est inférieur ou égal à S et n = ν + j si n est supérieur strictement à S
• Sn
220
2. Nature aléatoire des arrivées
Disons que les divers modèles que l’on utilise représentent une certaine réalité. Cette réalité est mémorisable par des nombres que l’on traite.
Par exemple, on considère le nombre de véhicules qui passent sur une autoroute dans un laps de temps d’une minute. On obtient le tableau suivant élaboré sur 100 minutes:
221
Nombre de passage par minute Nombre de minutes
0 0
1 0
2 1
3 3
4 5
5 10
6 12
7 14
8 15
9 12
10 9
11 7
12 5
13 3
14 2
15 1
16 1
222
Lorsque le nombre d’observations est suffisamment grand on admet que la probabilité de réalisation d’un évènement est pratiquement le rapport entre le nombre de cas favorables à sa réalisation sur le nombre de cas possibles.
Si nous nous intéressons à la loi de ces arrivées, nous constatons qu’elles peuvent être représentées par une loi de Poisson dont le paramètre est égal à 8,04.
223
0
2
4
6
8
10
12
14
16
0 5 10 15 20
La courbe bleue représente la réalité;
La courbe rose représente la loi de Poisson de paramètre 8,04. Nous constatons que ces deux courbes sont très proches l’une de l’autre. Les tests de Khi-deux permettent de contrôler la proximité.
224
Considérons maintenant une suite d’évènements identiques E qui se succèdent dans le temps (arrivée dans un système).
Soit n le nombre d’évènements qui se sont produits à partir de l’instant 0 jusqu’à l’instant t (n arrivées entre 0 et t dans le système).
Puisque ce nombre est aléatoire, on lui associe une probabilité.
Faisons les trois hypothèses suivantes:
225
H1: Cette probabilité ne dépend que de l’instant t et non de l’instant initial (le phénomène est homogène dans le temps ou stationnaire);
H2: On admet que deux évènements ne se produisent jamais en même temps;
H3: Si on considère un intervalle de temps très petit, la probabilité qu’un évènement se produise dans cet instant est proportionnelle à l’instant.
226
Dans ces conditions, comme nous l’avons vu, le phénomène étudié constitue un processus de Poisson, dont la loi de probabilité est la loi de Poisson.
La loi du temps qui s’écoule entre deux réalisations de E est une loi exponentielle.
La durée de service peut être constante, variable mais déterminée, ou aléatoire. Lorsqu’elle est aléatoire, elle se présente souvent sous la forme d’une loi exponentielle.
227
3. Description d’une file d’attente à une station
Avec les diverses hypothèses que nous avons faites:
• la probabilité qu’une unité arrive dans le service dans un laps de temps Δt est égale à λ Δt où λ est le nombre moyen d’arrivées par unité de temps;
• la probabilité que la fin d’un service se produise dans le laps de temps Δt est égale à μ Δt où μ représente le nombre moyen d’unités servies par unité de temps.
228
• La probabilité que plusieurs arrivées et plusieurs fin de services se produisent dans le laps de temps est infiniment petite;
• On fait l’hypothèse que le quotient λ par μ est strictement inférieur à 1, sinon la file augmenterait de manière indéfinie.
Nous pouvons écrire le modèle mathématique de la file d’attente:
229
tptptp
tptptptp nnnn
01'0
11'
Lorsque le processus est stationnaire, c’est-à-dire lorsqu’il ne dépend pas du temps, on a:
nn ptp
Et les relations que l’on obtient sont:
10tan1
10
etentrecompriststrictementép
pn
n
230
De ces informations nous déduisons:
• La probabilité que dans le service il y ait eu n unités ou moins:
1
0
1
nnj
jnp
• Le nombre moyen d’unités dans le service:
1
n
231
• Le nombre moyen d’unités en attente dans la file:
1
2
• On a les relations:
1
fs tt
vn
La différence entre le temps moyen d’attente et le temps moyen de service est égal au taux de service.
232
Exemple
Devant les comptoir de prise de billets d’un aéroport pour une destination donnée, se présentent 70 personnes par tranches de 10 minutes. Le comptoir peut servir 10 personnes à la minute en moyenne. Quelle est la longueur moyenne de la file devant le comptoir et la probabilité d’une file de plus de 2 personnes.
233
En prenant 1 minute, on a λ = 7. μ = 10 ainsi
ψ = 0,7. Le nombre moyen d’unités dans le système est égal à:
33,23
7
7,01
7,0
1
n
Le nombre moyen d’unité dans la file est égal à:
63,17,03
7
1
2
343,07,02 3 Np
234
Le temps moyen d’attente dans le système est égal à:
33,07
33,2
n
ts
soit 20 secondes. Le temps moyen d’attente dans la file est égal à:
23,07
63,1
ft
soit 14 secondes.
23,033,010
11
fs tt
235
4. Description d’une file d’attente à plusieurs stations
Les notations sont les mêmes que dans les paragraphes précédents et un certain nombre de remarques doivent être mises en évidence.
• si le nombre d’unités servies est strictement inférieur au nombre de stations, il n’y a pas de file d’attente;
• si ce nombre est égal au nombre de stations, une file d’attente peut se former.
• l’intensité du trafic (ψ ) doit être strictement inférieur au nombre de stations car alors la queue serait infinie.
236
La probabilité que n unités arrivent dans le système est donnée par:
SnSS
pp
Snn
pp
Sn
n
n
n
n
!
1!
0
0
La valeur p0 est égale à:
1
0
0
!1!
1Sj
j
jS
jS
S
p
237
Le nombre moyen d’unités dans la file est égal à:
02
1
1!
p
SSS
S
Et le nombre moyen d’unités dans le système est égal à:
n
238
Considérons le même exemple que précédemment mais avec une file de clients qui vont prendre des avions pour toutes destinations. Le nombre de clients qui se présentent à la file est égal à 1000 dans l’heure.
Le nombre moyen de clients servis par comptoir et par minute est égal à 0,4 et le nombre moyen d’arrivées dans une minute est égal à 1,8.
L’intensité du trafic est égale à: 4,5 par minute.
239
Pour diverses valeurs de S on peut calculer le temps moyen d’attente dans la file
02
1
1!
p
SSS
S
avec
1
0
0
!1!
1Sj
j
jS
jS
S
p
240
4. Fiabilité
241
I. Fiabilité d’une pièce
La fiabilité est une probabilité.
C’est la probabilité qu’un appareil remplisse une fonction sans défaillance pendant un temps donné dans des conditions d’emploi et d’environnement données.
242
Le temps est la variable principale dont dépend la fiabilité, bien que pour certains appareils il peut paraître plus normal de prendre le nombre d’ouvertures / fermetures, le nombre de tours ou le nombre de kilomètres parcourus.
243
On donne parfois une définition plus générale de la fiabilité:
Sur une population de taille donnée d’objets mis en fonctionnement à la date 0, on dénombre le nombre de produits restants en fonctionnement à l’instant t. La fiabilité s’exprime par le ratio:
0N
tN
244
Appelons fiabilité le nombre R(t). La probabilité de défaillance est égale à
F(t) = 1- R(t)
et la probabilité de voir un appareil cesser de fonctionner entre les instants t et t+dt
est donné par la relation:
dt
tFdtf
Le taux instantané de défaillance est égal à:
tR
tft
245
Si
on a
0 t
ttf
ttF
ttR
tRtR
00
0
0
'0
exp
exp1
exp
La durée de vie peut être représentée par une loi exponentielle.
246
On peut définir le taux de défaillance par unité de temps:
• dans l’intervalle de temps Δ(t)
ttN
n
où ne représente le nombre de défaillances dans l’intervalle de temps Δ(t) et N(t) le nombre de pièces encore en vie au début de l’instant Δ(t).
247
• de l’instant initial à t1
ttN
tNN 10
On peut définir également les valeurs moyennes:
• temps moyen jusqu’à défaillance (dispositifs non réparables)
• temps moyen entre défaillance (dispositifs réparables
dtttf
0
dttR
0
248
Une estimation de cette moyenne peut être donnée par la relation:
10 tNN
ttN
qui pour un intervalle infini tend vers:
0N
ttN
249
En considérant les moments exact où les pièces furent en défaillance:
0N
nt
et dans l’intervalle Δ(t):
n
ttN
250
II. Fiabilité d’un ensemble complexe
Calcul de fiabilité et résultats les plus courants.
• redondance: les ensembles, réparables ou non comprennent des ensembles de secours qui remplace instantanément les sous-ensembles défaillants;
251
+ redondance simple: les dispositifs de secours sont en permanence en régime de fonctionnement. Elle est totale si un seul dispositif est nécessaire parmi les n dispositifs associés; elle est partielle si k dispositifs sont nécessaires parmi les n, l’ensemble est défaillant si n-k+1 dispositifs sont défaillants;
+ à commutation où les dispositifs de secours ne sont mis en service qu’en cas de besoin;
+ majoritaire où les dispositifs fonctionnent tous en permanence.
252
• Réparation: lorsqu’on remet en état un ensemble défaillant.
Indépendance des défaillances
Dispositifs en série
Pour qu’un dispositif constitué de n dispositifs en série fonctionne, il faut que chacun fonctionne. Si Ri est la fiabilité de chacun, on a la fiabilité de l’ensemble par la relation:
ni
iiRR
1
253
Lorsque chacune des fonctions Ri est exponentielle, R l’est également et son taux de défaillance est la somme des taux de défaillance de chaque dispositifs.
Redondance active totale (association en parallèle)
On dit que n dispositifs sont en parallèle lorsque l’ensemble n’est défaillant que si les n dispositifs le sont.
254
ni
ni
ii
RR
RR
11
111
si les dispositifs sont identiques.
Si leur taux de défaillance est constant on obtient:
tiCR in
n
i
i
exp11
1
255
Redondance active partielle
La fiabilité de l’ensemble vaut:
inin
ki
in RRC
1
256
Fiabilité des ensembles réparés.
Deux caractéristiques sont utiles:
• L’indisponibilité:c’est la probabilité pour qu’à un instant donné, l’ensemble soit défaillant. C’est aussi la fraction de temps pendant laquelle le matériel n’est pas utilisable;
• taux de défaillance élémentaire: rend compte de la fréquence des défaillances.
257
Régime transitoire et régime stationnaire
Considérons un ensemble constitué d’un seul dispositif à deux états: fonctionnement, défaillance.
Notons:
tttptp ,,, 01
les probabilités respectives de fonctionnement, de défaillance, de passage de l’état de fonctionnement à l’état de défaillance, de l’état de défaillance à l’état de fonctionnement.
258
La probabilité de fonctionner à t + Δ(t) est donnée par deux évènements élémentaires:
• l’ensemble fonctionne à l’instant t et fonctionne à t + Δ(t);
• l’ensemble ne fonctionnait pas à t et fonctionne à t + Δ(t)
La probabilité de fonctionner à t + Δ(t) est alors égale à:
tOttpttpttttp 011 1
259
De cette relation on déduit:
tpttpttp
tOttpttpttpttp
et
tOttpttptttpttp
tOttpttpttttp
01'1
0111
0111
011 1
Comme le système ne peut prendre que 2 états, on a:
tptp 011
260
Et si λ et μ sont des constantes, alors on a:
ttp
exp1
p1 est la disponibilité à l’instant t. Cette probabilité tend vers:
261
Méthodes de calcul pour les ensembles réparables.
Taux unitaires de défaillance et de réparation indépendants de l’état de l’ensemble (le nombre de réparateurs est illimité)
262
Taux unitaires de défaillance et de réparation dépendants de l’état de l’ensemble.
Dans ce cas il faut appliquer la méthode des chaînes de Markov. Les étapes sont les suivantes:
• On décrit l’évolution du système;• On écrit les fonctions d’état;• On calcule les paramètres cherchés.
263
