Quadripoles Cours - Impression - MASSON

1Christian PETER & Pascal MASSON Les quadriples

Les quadriples

cole Polytechnique Universitaire de Nice Sophiacole Polytechnique Universitaire de Nice Sophia--AntipolisAntipolisCycle Initial PolytechniqueCycle Initial Polytechnique

1645 route des Lucioles, 06410 BIOT1645 route des Lucioles, 06410 BIOT

Christian PETER

&

Pascal MASSON([email protected]

[email protected])

quadriple

I1 I2

V1 V2

I1

V1= 0

V2Y1 Y3

Y2

I2

I1 I2

V1 V2

I1 I2

V1 V2Q

I1 I2

V1 V2 Q

Q

Edition 2008-2009


Sommaire

I. Gnralits

II. Le quadriple en reprsentation impdance

II.1. Les paramtres impdances

III. Le quadriple en reprsentation admittance

IV. Le quadriple en reprsentation hybride

V. Le quadriple en reprsentation transfert

II.3. Schma quivalent

II.2. Grandeurs fondamentales

II.4. Association en srie

VI. Lien entre tous les paramtres


I.1. Dfinition

I. Gnralits

Un quadriple est un composant ou un circuit (ensemble de composants)

deux entres et deux sorties qui permet le transfert dnergie entre deux

diples.

Les signaux lectriques en entre et en sortie peuvent tre de nature

diffrente (tension, courant, puissance)

On distingue deux types de quadriples : actifs et passifs

I.2. Reprsentation

quadriple

I1 I2

V1 V2

I.3. Origine

On doit les premires tudes sur les quadriples au mathmaticien

Allemand Franz BREISIG (1868 1934) dans les annes 1920.

Par convention, on donne le sens

positif aux courants qui pntrent

dans le quadriple


I.4. Intrt de la reprsentation quadriple

La reprsentation quadriple a pour principal intrt de considrablement

simplifier ltude des circuits lectroniques.

Exemples : le filtre slectif passe bas du 5me ordre

I. Gnralits

C

R

VE VSR R R R

C1 C1

C2 C2


I.5. Rappel sur les matrices 22

Multiplication

=

2

1

2

1X

X.

dc

ba

Y

Y

+=

+=

212

211X.dX.cY

X.bX.aY

Inversion

=

=

2

1

2

11

2

1Y

Y.

ac

bd

c.bd.a1

Y

Y.

dc

ba

X

X0c.bd.a avec

++

++=

h.df.cg.de.c

h.bf.ag.be.a

hg

fe.

dc

ba ! Ce produit nest pas commutatif.

I. Gnralits


II. Reprsentation impdance


On exprime les tensions en fonction des courants. Les lments de la matrice

ont la dimension dimpdances (rsistances).

quadriple

I1 I2

V1 V2

Dfinition

Reprsentation matricielle

=

2

1

2221

1211

2

1I

I.

ZZ

ZZ

V

V

+=

+=

2221212

2121111I.ZI.ZV

I.ZI.ZV


I1 I2

V1 V2

2221

1211ZZ

ZZ

Dtermination de Z11 : Si I2 = 0 alors V1 = Z11.I1

2121

111 RR0II

VZ +=

=

=


I1

V1 V2

R1 R3R2

I2 = 0

V2

I1

Exemple : association de rsistances en toile (1re mthode)

=

=

=

0IIV

Z21

221




01IIVZ21

12=

=



I1 I2

V1 V2

2221

1211ZZ

ZZV1 V2

R1 R3R2

I2

I2

V1

I1 = 0


=

=

=

0IIV

Z12

222




+

+=

322

221

2221

1211RRR

RRR

ZZ

ZZ

criture de la matrice :

I1 I2

V1 V2

2221

1211ZZ

ZZ

I1

V1 V2

R1 R3R2

I2

I1 + I2





( ) ( )

=

+=++=++=

V

I.ZI.ZI.RI.RRII.RI.RV

2

21211122121212111

Autre mthode : on crit la loi des mailles en entre et en sortie:

Exemple : association de rsistances en toile

I1 I2

V1 V2

2221

1211ZZ

ZZ

I1

V1 V2

R1 R3R2

I2

I1 + I2

1 2

1

2

Exemple : association de rsistances en toile (2me mthode)




Quand le quadriple est attaqu par un gnrateur (EG, RG) et quil est fermsur une charge (RC), il existe un tat lectrique du quadriple qui dpend du

gnrateur et de la charge.

Il est possible de dfinir des grandeurs caractristiques comme limpdance

dentre, limpdance de sortie, les gains en courant, tension et puissance.

I1

V2

I2

V1

RG

EG RC

Gnrateur Charge

quadriple


II.2. Les grandeurs fondamentales


C22

211211

1

1E RZ

Z.ZZ

IV

R+

==

Si le quadriple nest pas charg (RC ) alors RE = Z11.

RE est limpdance vue en entre quand la sortie est charge par une

impdance RC. La matrice impdance permet dcrire :

=+=

+=

2C2221212

2121111I.RI.ZI.ZV

I.ZI.ZV

I1

V2

I2

V1

RG

EG RC

RE

quadriple



Impdance dentre RE


I1

V2

I2

V1

RG

EG RC

RS

quadriple



Impdance de sortie RS

RS est limpdance vue en sortie quand lentre est ferme par limpdance

du gnrateur RG. La matrice impdance permet dcrire :

+=

=+=

I.ZI.ZV

I.RI.ZI.ZV

2221212

1G2121111==

2

2S I

VR


I1

V2

I2

V1

RG

EG RCRE



Gain en courant Ai

2C2221212 .IR I.ZI.ZV =+= ==1

2i I

IA


I1

V2

I2

V1

RG

EG RCRE



Gain en tension AV

==

1

2v V

VA


I1

V2

I2

V1

RG

EG RCRE



Gain composite en tension AVG

GE

Ev

G

1

1

2

G

2vg RR

R.A

EV

.VV

EV

A+

===

Si le quadriple nest pas charg (RC ) alors :11

21

GE

Evg Z

ZRR

RA

+=


I1

V2

I2

V1RGIG RCRE



Gain composite en courant AiG

EG

Gi

G

1

1

2

G

2ig RR

R.A

II

.II

II

A+

===

Ce gain na de sens que si la charge est prsente : I2 0


I1

V2

I2

V1

RG

EG RCRE

RGS

EGS


Pour cette reprsentation quivalente du quadriple on a :

+=

+=

2221212

121111I.ZI.ZV

2I.ZI.ZV

+=

=

2GSGS2

1GG1I.REV

I.REV

avec :

++

+=+

+

=

=+=

2G11

211222G

G11

21222

G11

12G212

1GG121111

I.RZ

Z.ZZ.E

RZZ

I.ZRZ

2I.ZE.ZV

I.RE2I.ZI.ZV



I1

V2

I2

V1

RG

EG RCRE

RGS

EGS


Pour cette reprsentation quivalente du quadriple on a :

=

+=

+==

+=

GvgGG11

21GS

G11

211222SGS

C22

211211E

E.A.ERZ

ZE

RZ

Z.ZZRR

RZ

Z.ZZR





Il est parfois commode de remplacer le quadriple tudi par son schma

quivalent donn par la matrice du quadriple.

La connaissance de ce schma quivalent est particulirement utile lorsque

le rseau rel nest pas connu et que la dtermination des paramtres rsulte

de mesures.

I1 I2

V1 V2

2221

1211ZZ

ZZ

I1

V1 V2

Z11 Z22

Z12.I2

I2

Z21.I1




Schma quivalent en toile (en T) uniquement si Z12 = Z21

+

+=

322

221

2221

1211RRR

RRR

ZZ

ZZ

I1

V1 V2

R1 R3R2

I2

I1 + I2

avec :

Il est parfois commode de remplacer le quadriple tudi par son schma

quivalent donn par la matrice du quadriple.

La connaissance de ce schma quivalent est particulirement utile lorsque

le rseau rel nest pas connu et que la dtermination des paramtres rsulte

de mesures.



On utilise les matrices

impdances [Z] et [Z] des deux

quadriples associs.

II.4. Association srie

=

'I

'I.

'Z'Z

'Z'Z

'V

'V

2

1

2221

1211

2

1

et

Comme et

=

''I

''I.

''Z''Z

''Z''Z

''V

''V

2

1

2221

1211

2

1

==

==

''I'II

''I'II

222

111

+=

+=

''V'VV

''V'VV

222

111

[ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ]

=

+=

+

=

+

=

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1I

I.Z

I

I.''Z'Z

''I

''I.''Z

'I

'I.'Z

''V

''V

'V

'V

V

Valors :

I1 I2

V1 V2I1

I2

I1 I2

Q

Q

Q

I1

I2

V1 V2

V1 V2

I1 I2


III. Reprsentation admittance

III.1. Les paramtres admittances

Dfinition

On exprime les courants en fonction des tensions. Les lments de la matrice

ont la dimension dadmittances.

quadriple

I1 I2

V1 V2


=

2

1

2221

1211

2

1V

V.

YY

YY

I

I

+=

+=

2221212

2121111V.YV.YI

V.YV.YI


I1 I2

V1 V2

2221

1211YY

YY

Dtermination de Y11 : Si V2 = 0 alors I1 = Y11.V1

2121

111 YY0VV

IY +=

=

=


I1

V1 V2= 0

Y1 Y3

Y2

I2

Exemple : association de rsistances en triangle (1re mthode)

=

=

=

0VVI

Y21

221




I1 I2

V1 V2

2221

1211YY

YY



=

=

=

0VVI

Y12

222

I1

V1= 0

V2Y1 Y3

Y2

I2




=

=

=

0VVI

Y12

112


+

+=

3YYY

YYY

YY

YY

22

221

2221

1211


I1 I2

V1 V2

2221

1211YY

YY

I1

V1 V2Y1 Y3

Y2

I2





Autre mthode : on crit la loi des noeuds en entre et en sortie:

( ) ( )

=

+=+=+=

I

V.YV.YV.YV.YYVV.YV.YI

2

212111221212121111

2

I1 I2

V1 V2

2221

1211YY

YY

I1

V1 V2Y1 Y3

Y2

I21 2

Exemple : association de rsistances en triangle (2me mthode)




I1 I2

V1 V2

2221

1211YY

YY

I1

V1 V2

Y11 Y22

I2

Y12.V2 Y21.V1

+

+=

3YYY

YYY

YY

YY

22

221

2221

1211

I1

V1 V2Y1 Y3

Y2

I2avec :


III.2. Schma quivalent

Schma quivalent avec admittances et sources de courant

Schma quivalent en triangle (en pipipipi) uniquement si Y12 = Y21.


III.3. Association parallle

I2

V1 V2

I1 I2

V1 V2 Q

Q

Q

I1

V1 V2

I1 I2

On utilise les matrices

admittances [Y] et [Y] des deux

quadriples associs.

=

'V

'V.

'Y'Y

'Y'Y

'I

'I

2

1

2221

1211

2

1

et

Comme et

=

''V

''V.

''Y''Y

''Y''Y

''I

''I

2

1

2221

1211

2

1

+=

+=

''I'II

''I'II

222

111

==

==

''V'VV

''V'VV

222

111

[ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ]

=

+=

+

=

+

=

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1V

V.Y

V

V.''Y'Y

''V

''V.''Y

'V

'V.'Y

''I

''I

'I

'I

I

Ialors :



Pour des raisons de simplicit, la dtermination de la matrice admittance

peut passer par la dtermination de la matrice impdance .

III.4. Lien entre les paramtres impdances et admittances

=

2

1

2221

1211

2

1I

I.

ZZ

ZZ

V

V

=

=

2

11

2221

1211

2

1

2221

1211

2

1V

V.

ZZ

ZZ

V

V.

YY

YY

I

I

=

1112

2122

211222112221

1211ZZ

ZZ.

Z.ZZ.Z1

YY

YYavec




I1

V1

I2

I1 + I2

I1 I2

V1 V2

2221

1211YY

YY


( )323121

32

321

132

21

111 R.RR.RR.R

RRYYYY.YY

0VVI

Y++

+=

++

+=

=

=

V2= 0


=

=

=

0VVI

Y21

221

Y1 = 1/R1 Y3 = 1/R3Y2 = 1/R2




La matrice admittance sobtient plus rapidement partir de la matrice

impdance (plus simple dterminer) :


I1 I2

V1 V2

2221

1211YY

YYV

I1

V1

I2

I1 + I2

V2

+

+

++=

+

+=

212

232

323121

1

322

221

2221

1211RRR

RRR.

R.RR.RR.R1

RRR

RRR

YY

YY

Y1 = 1/R1 Y3 = 1/R3Y2 = 1/R2




IV.1. Les paramtres hybrides

On exprime le courant de sortie et la tension dentre en fonction du courant

dentre et de la tension de sortie. Cest une reprsentation utilise pour

ltude des transistors.

quadriple

I1 I2

V1 V2

Dfinition


=

2

1

2221

1211

2

1V

I.

hh

hh

I

V

+=

+=

2221212

2121111V.hI.hI

V.hI.hV

h11 est une impdance, h22 une admittance, h12 et h21 sont des nombres.

IV. Reprsentation hybride



I1 I2

V1 V2

2221

1211hh

hh

Dtermination de h11 : Si V2 = 0 alors V1 = h11.I1

21

21

21

111 RR

R.R0VI

Vh

+=

=

=

I1

V1 V2= 0

R1 R3

R2

I2

Dtermination de h21 (gain en courant): Si V2 = 0 alors I2 = h21.I1

=

=

=

0VII

h21

221





I1 I2

V1 V2

2221

1211hh

hh

Dtermination de h12 (gain en tension inverse): Si I1 = 0 alors V1 = h12.V2

I1 = 0

V1 V2R1 R3

R2

I2

Dtermination de h22 : Si I1 = 0 alors I2 = h22.V2

=

=

=

0IVI

h12

222



=

=

=

0IVV

h12

112


( )

+

++

+

++=

321

321

21

121

1

21

21

2221

1211

R.RRRRR

RRR

RRR

RRR.R

hh

hh


I1 I2

V1 V2

2221

1211hh

hh

I1

V1 V2R1 R3

R2

I2





On crit la loi des mailles en entre et des noeuds en sortie:

I1 I2

V1 V2

2221

1211hh

hh

I1

V1 V2R1 R3

R2

I2

Exemple : association de rsistances en triangle (2me mthode)

1

2

1

2

+=

2

12111 R

VVI.RV

=2I




=+=

+=

C

22221212

2121111

RV

V.hI.hI

V.hI.hV

RE est limpdance vue en entre quand la sortie est charge par une

impdance RC. La matrice impdance permet dcrire :

I1

V2

I2

V1

RG

EG RC

RE

quadriple

IV.2. Les grandeurs fondamentales

Impdance dentre RE

C22

211211

1

1E

R1

h

h.hh

IV

R+

==



+=

=+=

V.hI.hI

I.RV.hI.hV

2221212

1G2121111


I1

V2

I2

V1

RG

EG RC

RS

quadriple

Impdance de sortie RS

RS est limpdance vue en sortie quand lentre est ferme par limpdance

du gnrateur RG. La matrice impdance permet dcrire :

==

2

2S I

VR




I1

V2

I2

V1

RG

EG RCRE

Gain en courant Ai

C22

21

1

2i R.h1

hII

A+

==


2C221212221212 I.R.hI.hV.hI.hI =+=



I1

V2

I2

V1

RG

EG RCRE


Gain en tension AV

==

1

2v V

VA


IV.3. Schma quivalent

Le circuit quivalent est compos dune impdance (h11), dune admittance

(h22), dune source de tension (h12.V2) et dune source de courant (h21.I1).

I1

I1 I2

V1 V2

2221

1211hh

hhV2

h22

I2

h21.I1

V1

h11

h12.V2



IV.4. Cas particulier des quadriples non linaires

Les composants actifs utiliss en lectronique sont trs souvent non linaire.

Cest le cas notamment des transistors bipolaires et MOS.

Les valeurs des lments de la matrice du quadriple quivalent ne sont

valables que pour le point de fonctionnement : ils dpendent des potentiels et

courants en entre du quadriple.

Le quadriple quivalent nest utilisable quen rgime petit signal (petit

signal alternatif ajout la polarisation continue).

On obtient les paramtres de la matrice par la connaissance des quations

qui rgissent le fonctionnement du composant ou par lutilisation des

caractristiques (courbes) de ce composant.



Exemple : le transistor bipolaire en rgime petit signal

i et v correspondent de petites variations de I et V

iB

vCE

h22

iC

h21.iB

vBE

h11

h12.vCE

La matrice hybride scrit :

+=

+=

CE22B21C

CE12B11BEv.hi.hi

v.hi.hv

VCE+ vCE

IC + iCIB + iB

VBE + vBE

C

EB

iB iC

vBE vCE

2221

1211hh

hh




On dtermine le paramtre h11 partir

de la courbe IB(VBE) qui correspond ici

la caractristique dune diode.

VCE est considr comme constant.

Exemple : le transistor bipolaire en rgime petit signal

VBE

IB

0 VBE-P

IB-P

P_BEBE VVB

BE11 I

Vh

=

=

h11 est gale linverse de la pente de cette courbe au point de polarisation :




IV.5. Association srie parallle

I2

V1 V2

I1 I2

V1 V2 Q

Q

Q

I1

V2

I2

I1

V1I1

I1

I1 On utilise les matrices hybrides

[h] et [h] des deux quadriples

associs.

=

'V

'I.

'h'h

'h'h

'I

'V

2

1

2221

1211

2

1

et

Comme et

=

''V

''I.

''h''h

''h''h

''I

''V

2

1

2221

1211

2

1

==

==

''V'VV

''I'II

222

111

+=

+=

''I'II

''V'VV

222

111

[ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ]

=

+=

+

=

+

=

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1V

I.h

V

I.''h'h

''V

''I.''h

'V

'I.'h

''I

''V

'I

'V

I

Valors :



On exprime les grandeurs de sortie en fonction des grandeurs dentre

quadriple

I1 I2

V1 V2

Dfinition


=

1

1

2221

1211

2

2I

V.

TT

TT

I

V

=

=

1221212

1121112I.TV.TI

I.TV.TV

T12 est une impdance, T21 une admittance, T11 et T22 sont des nombres.

V. Reprsentation transfert

V.1. Les paramtres transferts



I1 I2

V1 V2

2221

1211TT

TTV1 V2

R1 R3R2

I2

I1 + I2

2

32

11

211 R

RR0IV

VT

+=

=

=

Dtermination de T11 (gain en tension) : Si I1 = 0 alors V2 = T11.V1

I1 = 0

Dtermination de T21 : Si I1 = 0 alors I2 = T21.V1

=

=

=

0IVI

T11

221





I1 I2

V1 V2

2221

1211TT

TTV2

R1 R3R2

I1 + I2

Dtermination de T12 : Si V1 = 0 alors V2 = T12.I1

Dtermination de T22 (gain en courant) : Si V1 = 0 alors I2 = T22.I1

I1

V1= 0

I2

=

=

=

0VII

T11

222



=

=

=

0VIV

T11

212


+

+++

=

2

1

2

2

3121

2

3

2221

1211

RR

1R1

RR.R

RRRR

1

TT

TT


I1 I2

V1 V2

2221

1211TT

TT

I1

V1 V2

R1 R3R2

I2

I1 + I2





V.1. Association en cascade (en chane)

I1 I2

V1 V2

I1 I2

V1 V2Q

I1 I2

V1 V2 Q

Q

On utilise les matrices de transfert [T] et [T] des deux quadriples associs.

=

'I

'V.

'T'T

'T'T

'I

'V

1

1

2221

1211

2

2

=

''I

''V.

''T''T

''T''T

''I

''V

1

1

2221

1211

2

2et

Comme V1 = V2 et I1 = I2 alors :

=

=

1

1

2221

1211

2221

1211

2

2

2221

1211

2

2I

V.

'T'T

'T'T.

''T''T

''T''T

'I

'V.

''T''T

''T''T

I

V

La matrice de transfert du quadriple quivalent est donc gale au produit de

la deuxime matrice, [T], par la premire, [T].




I1 I2

V1 V2

2221

1211TT

TT

I1

V1

R1 R3

R2

I2

I1 + I2

V2

T1 T2 T3

V.2. Association en cascade (en chane)

On dcompose lassociation de rsistances en toile en 3 quadriples :

[ ] =1T [ ] =3T[ ] =2T



222122

222212TTT1

TTTT

222221

221222Z1ZZ

ZZZZ

111121

111211YYYY

YYY1

2221

1211hh

hh

2221

1211TT

TT

212221

212111ZZZ1

ZZZZ

211121

212122YYYY

Y1YY

212122

211121h1hh

hhhh

212221

212111TTT1

TTTT

2221

1211ZZ

ZZ

YYYY

YYYY

1121

1222

222221

221222h1hh

hhhh

121112

121222TTT1

TTTT

ZZZZ

ZZZZ

1121

1222

2221

1211YY

YY

111121

111211hhhh

hhh1

hYZT

h

Y

Z

T

VI. Lien entre tous les paramtres

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Quadripoles Cours - Impression - MASSON