Quadratische körper über polynombereichen galois’scher felder und ihre Zetafunktionen

Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 70 (2000), 3-30

Quadratische Kiirper fiber Polynombereichen Galois'scher Felder und ihre Zetafunktionen

Von E. ARTIN

Galois'sche Feider

Defini t ion. Unter einem Galois 'schen Feld verstehen wir ein System von k Ele- menten uo, Ul . . . . . u~- i mit folgenden Eigenschaften:

I.) Es gibt zwei Operationen, Addit ion und Multiplikation genannt und entsprechend

geschrieben, so dass aus zwei Elementen des Galois 'schen Feldes stets eindeutig ein drittes erhalten wird. Dabei soll erfiillt sein:

1.) das kommutative Gesetz der Addition: Ur + us = Us § Ur,

2.) das assoziative Gesetz der Addition: (bl r § Us) -Jr- Ui = Ur § (Us § Ui),

3.) das kommutative Gesetz der Multiplikation: UrUs = UsUr,

4.) das assoziative Gesetz der Multiplikation: (UrUs)Ui = Ur (Us u i ) ,

5.) das distributive Gesetz: Ur(Us § ui ) = UrUs § UrHi.

II.) Fordern wir die uneingeschr~inkte M6glichkeit der Subtraktion: In der Gleichung

ur § us = ui soll aus zwei Elementen stets das dritte eindeutig best immt sein. Wir schreiben: Ur = Ui -- Us, SO dass wegen 1.) gilt: us = ui - Ur.

Zun~ichst einige Folgerungen:

Es gibt ein Element a0, so dass: Ur § ao = Ur ist. Addieren wir irgend ein Element us, so wird wegen 1.) 2.): (Us + Ur) § ao = Us § Ur. Wegen II.) entsteht in Us § ur jedes Element, so dass a0 unabh/ingig ist vom Element Ur. Wir nennen es das , ,Nullelement" des Feldes. Es ist dann: Ur § ao = ao § Ur = Ur, und ftir jedes Element Ur gilt: Ur - Ur = ao. Einerseits ist nun us(Ur § ao) = UsUr, andrerseits:

us(Ur § ao) = UsUr § usao. Also ist: usao = UsUr - UsUr = ao, somit auch aous =

Den folgenden Text aus dem Nachlag Emil Artins hatte dieser im November 1921 abgeschlossen und dariiber am 22. November 1921 in GOttingen and am 16. Juni 1922 in Hamburg vorgetragen. Das Manuskript blieb jedoch bis jetzt unpubliziert, obwohl David Hilbert Artin angeboten hatte, seine Resul- tate in den Mathematischen Annalen zu verOffentlichen. (Wegen Details vergleiche man PETER ULL- RICH: ,,Emil Artins unvertiffentlichte Verallgemeinerung seiner Dissertation", Mitteilungen der Mathe-

matischen Gesellschaft in Hamburg 19 (2000), 173-194.) Da das Manuskript keine Uberschrift tr~igt, wurde an ihre Stelle der Titel von Artins Vortrag in GOttin-

gen gesetzt. Bis auf Korrekturen von offensichtlichen Schreibfehlern und dag Eingetzen yon Satzzeichen ist der Text unveriindert. P. U.

Mathcmatisches Seminar der Universit~it llamburg, 2000

4 E. Artin

a0. Aus: Ur 4- Us = Ui folgt: Ur -~- Ri -- Us. Also ist: ( u i - Us) + Us = Ur + Us = u i

und die entsprechend kommutier te Eigenschaft . Wir schreiben nun: ao - Ur = - U r

und erhalten: Ur + ( - U s , ) = (Ur -- Us) + Us + (ao -- u s ) = (Ur - - Us) + ao , also:

Ur + ( - - U s ) = Ur - - Us. Daraus:

Ui(Ur 4- ( - -Us) ) = UiUr 4- u i ( a o -- Us) = Ui(Ur -- Us,).

Da nun us + ( -us , ) = a0, also u i u s + u i ( a o - Us) = ao ist, wird: u i ( a o - Us.) =

ao - UiUs = ( - U i U s ) , demnach: u i ( U r - Us) = UiUr + ( - u i u s ) = UiUr -- UiUs.

Setzen wi t Ur - ( - u s ) = u i , so ist Ur = u i + ( - u s ) =- u i - u s , also: Ur + Us = u i .

Dies gibt: Ur - ( - U s . ) = u r + Us und speziell: - ( - U s ) = Us.. Weiter ist:

Ur 4- (Us" -- Ui) -~- Ur 4- (Us, 4- ( - -Ui ) ) • (Ur 4- Us) 4- ( - -Ui )

= (Ur 4- Us) -- Ui = (Ur 4- ( - -Ui ) ) 4- Us = (lgr -- Ui) 4- Us.

Ur - ( u , + u i ) = Ur + [a0 - ( u i + u, ) ] = ut gesetzt: Ur = u t + (u~ 4" u i ) - -

( u t + Us) + u i , also: ur - ui = u t + u~, also: ut = ur - (Us. + u i ) = (Ur - Us.) - u i .

Analog alle i ibrigen Gesetze.

Nun fordern wir endlich:

III.) Aus UrUs = ao und Ur ~ a0 folgt u.~. = ao .

Daraus folgt nun welter: Aus UrUs = UrUi , also: Ur(Us - u i ) = ao folgt im Falle ur ~ a0: Us = u i . Diese letztere Folgerung zeigt, im Vereine mit den Mult ipl ika-

t ionsaxiomen, dass alle vom Element a0 verschiedenen Elemente eine Gruppe vom Grade k - 1 bi lden und zwar eine Abelsche. Demnach existiert ein Einhei tse lement

a l , und ftir jedes von a0 verschiedene u gilt der Fermatsche Satz: u k-1 = a l , also

far alle u des Feldes: u k = u. Wir setzen nun, unter a l das Einhei tse lement verstanden: av = a v - ! 4 , a l und

v mal

s o m i t a v - 1 = a v - a l (fiJr negative v massgebend) , also: av = a l 4" a l + " �9 4, al ' ,

w e n n v ) 1 . D a r a u s f o l g t : a v 4 , a u = a ~ + u , a ~ - a t ~ = a ~ _ ~ f t i rv ) 1 , # ) 1 , # ~< v. Welter: a -1 = - a l , a - 2 ---= - a l - a l = - a 2 , also durch Indukt ion: a - v = - a v .

Durch einfache Diskussion ergibt sich n u n die Richtigkeit von a~ 4- au = a~+u in

allen F~illen. Ferner ist av �9 a l = a v = a~.l. Es sei also die Richtigkeit yon a ~ a u = a v . u ftir

# = 1 ,2 . . . . . 0 - I bewiesen. Dann ist a~ �9 a o = a ~ ( a o - 1 4, a l ) = a~(o- i ) + av = a v o . Also gilt far # /> 0: a v a ~ = a v ~ . Wegen a~ = - a _ ~ ist also f t i r /~ ~< 0: a v a , = - a v a - u = - a - u ~ = a u v . Also ist a v a u = a~ u al lgemein giiltig.

Wir bi lden nun die Reihe der Elemente: ao, a l , a2 . . . . . Da das Feld nu t endl ich

viele Elemente hat, mtissen mindes tens zwei unter ihnen gleich sein. Sei etwa: ar =

a s , r > s . Dann ist a r - s = ao . Es kommt also das Nul le lement darunter vor. Sei Po

etwa der kleinste positive Index, fiJr den apo = ao ist. Dann ist po eine Primzahl.

Denn anderenfalls folgte aus einer Zer legung Po = p i p 2 , wo: 0 < p l < po; 0 < P2 < Po ist: ao - apo = a m �9 ap~ . Also mtisste ap~ oder ap2 gleich ao sein. Also write apo nicht das E lement mit kleinstem Index, welches gleich ao ist.

Wenn nun die Elemente ao , a l , �9 . . , a p o - I betrachtet werden und etwa ar = as

mit r ) s, also a ~ - s = ao gilt, so folgt aus r - s < Po sicher r - s = 0, also

r = s. Sie sind also alle von e inander verschieden. Ferner gilt wegen: a k a p o = ao:

Quadr. K6rper tiber Polynombereichen Galois'scher Felder und ihre Zetafunkt. 5

akpo+r ~- ar . Somit gilt in der urspriinglichen Kette: ar = as dann und nur dann wenn r = s (mod P0).

Unsere Elemente sind also in abstrakto identisch mit den Restklassen mod P0. In diesen haben wir tibrigens ein Galois'sches Feld realisiert, so dass die Wider- spruchlosigkeit und Existenz Galois'scher Felder, deren Ordnung k eine Primzahl ist, bewiesen ist.

Ist nun u ein beliebiges Element und wird es v mal zu sich selbst addiert, so ist:

u + u + . . . + u = u a l + u a l § . . . + u a l = u ( a l + . . . + a l ) = a v u

und - a v u = a - v u .

In unserem Galois'schen Feld spielen also die Elemente av vollkommen die Rolle der ganzen Zahlen v modulo P0 und m6gen deshalb auch als Zahlen modulo P0 geschrieben werden.

W i r s e t z e n a l s o : a l = 1, av = v; v = # b e d e u t e t v u n d # s i n d m o d u l o p 0 kongruent. Dann ist:

u + u + . . . + u = v u .

Es gilt nun weiter:

Satz. D i e O r d n u n g k ( d a s is t d i e E l e m e n t e n a n z a h l ) is t e i n e P o t e n z d e r P r i m z a h l

Po.

B e w e i s . n Elemente Ul, u2 . . . . . un heissen linear abh~ingig, wenn zwischen ihnen eine Relation r § r § " ' " -}- r = 0 besteht, deren Ko~ffizienten ,,Zah- len" sind, welche nicht alle verschwinden (d. h. durch P0 teilbar sind). Anderenfalls heissen sie linear unabh~ingig.

Die k Elemente des Feldes u0, Ul . . . . . uk sind sicher linear abhangig. Man neh- me etwa die Relation: 1 �9 u0 = 0, wenn etwa u0 das Nullelement bedeutet.

Nun sei n die gr6sste Anzahl, zu der es noch linear unabhangige Elemente gibt. Dann ist n ~> 1; denn zu mindestens das Element 1 ist linear unabhangig. Irgend (n + 1) Elemente m6gen also bereits linear abh~ingig sein. Seien ferner u l , u2 . . . . . Un jene zu n geh6rigen linear unabh~ingigen Elemente. Wir betrachten nun das System von p~ Elementen:

C l U l + C2tt2 + �9 �9 �9 + CnU n (die cv irgend welche Zahlen).

Sie sind sicher von einander verschieden, denn aus:

! I ! C l U l + C 2 U 2 § 2 4 7 1 6 2 = C1R1 + C 2 U 2 § " " " § CnUn

folgt:

(C1 t t t - - C 1 ) U l § (C2 § q- - - : - - C2)U2 " (On Cn)U n 0 ,

t wegen der linearen Unabhangigkeit also: cv = c~. Ist ferner u irgend ein Element, so sind die (n + 1) Elemente u, u l , u2 . . . . . Un

sicher linear abh~ingig. Mit nicht s~imtlich verschwindenden Zahlen gilt also: c u §

ClUl § . . . + CnUn = 0. Dabei muss c # 0 sein, da, wenn c = 0 ist, wenigstens ein cv # 0 sein muss, was der linearen Unabh~ingigkeit wegen nicht geht. Da durch

6 E. Artin

c ~ 0 der Gruppeneigenschaft wegen dividiert werden daft, erhalt man, nach Mul- l cl c2 . ~Un In unserem System kommen also tiplikation mit ~-: u = - c U l - cU2 .. -

auch wirklich alle Elemente vor, so dass k = p~ ist.

Wir sprechen also ktinftighin bloss von diesen allein m6glichen Galois'schen Feldern und sprechen kurz von einem GF(p~) . In einem GF(p~) gibt es also n linear unabh~gige Elemente, dagegen h~ingen je (n 4- 1) Elemente linear von einander ab.

Sei nun u irgend ein Element von GF(p~) . Dann sind die (n + 1) ersten Poten-

zen 1, u, u 2 . . . . . u n, sicher linear abhangig. Es sei k die kleinste positive Zahl, so dass die Potenzen 1, u, u 2 . . . . . u k noch linear abh~ingig sind (weniger also linear unabh~ingig). Dann besteht zwischen ihnen eine Relation cl, u k 4- Ck_l U k- 1 4 - . . . 4-

ClU 4- co = 0, wo sicher ck # 0 ist, da ja sonst zwischen den tibrigen eine Relation bestiinde.

Jedes Element befriedigt also eine gewisse Gleichung k-ten Grades (k ~< n) mit KoEffizienten in GF(po) , d. h. Zahlen modulo Po. Die so gefundene Gleichung

k

f (x) = y~ c~x ~ = 0 ist sicher modulo P0 irreduzibel. Denn ware f (x) = qo(x) �9 v-----0

~(x) (mod P0), so w~ire ~o(u)~(u) = 0, also ~0(u) = 0 oder ~(u) = 0. Das geht nicht, da dies Linearabh~ingigkeit von weniger Potenzen bedeutet.

m

Wir betrachten nun Gleichungen der Form F ( x ) = y~ avx v = 0, deren KoEffi- v = 0

zienten dem GF(p~) angeh6ren mOgen. Es sei am ~ O.

Hat F ( x ) = 0 eine Wurzel Ul, so ist:

m

F ( x ) = F ( x ) - F(u l ) = Z av(xV - UVl)

p = l

m v--1

= (X -- Ul) Z a v ( xV-1 4 - x v - Z u l 4- . . . 4- Ul ),

v = l

also: F ( x ) = (x - Ul)q~(x), wo 4~(x) vom (m - 1)-ten Grade ist und auch KoEf- fizienten in GF(p~) hat. Eine lineare Gleichung kann nur eine Wurzel haben, denn

lautet sie c lx 4- co = 0 mit ca # 0, so bedeutet dies Cl(X 4- ~ ] = 0 oderx = _c~. C 1 / C 1

Der Satz, dass eine Gleichung nicht mehr Wurzeln haben kann, als ihr Grad betragt, sei also bis zum (m - 1)-ten Grad bewiesen. Filr F ( x ) = (x - ul)q~(x) = 0 folgt: x = Ul oder ~b(x) = 0. Die letztere Gleichung hat h6chstens (m - 1) Wurzeln, die unsere also h6chstens m Wurzeln. Unser Satz gilt also allgemein.

Unsere Gleichung F ( x ) = 0 m6ge nun genau m Wurzeln haben, die m verschiedenen Ul, u2 . . . . . urn. Dann folgt succzessive:

F ( x ) ---- (x - - U l ) ~ l ( X ) = ( x - U l ) ( X - u 2 ) " ~bZ(X) . . . .

= ( x - - / ~ l ) ( X - - u 2 ) ' " ( x - U m ) O m ( X ) ,

WO Om (X) jetzt 0-ten Grad hat, also ein Element von GF(p~) ist. Man findet es leicht als den h6chsten Ko~ffizienten von F ( x ) . Wir haben also:

Quadr. K6rper iaber Polynombereichen Galois'scher Felder und ihre Zetafunkt. 7

Satz. F ( x ) = am xm q- am_lX m-1 -}- �9 . . + ao = 0 kann nicht mehr als m Wurzeln

haben (am ~ 0). Hat es genau die m verschiedenen Wurzeln Ul, u2 . . . . . urn, so gilt

identisch in x:

F ( x ) = a m ( X - Ul)(X - u 2 ) ' " " ( x - Urn).

Nun fanden wir, dass jedes Element von G F ( p ~ ) der Gleichung (es war k = p~) geniigt:

X p~ -- X = O.

Dies ist also eine Gleichung, die soviel Wurzeln hat, als ihr Grad betragt. Sind also uo, Ul, u2 . . . . . Up~_l die Elemente unseres GF(p~) , so gilt identisch in x:

p ~ - i

x P~ x = [ 1 (x - u~). v=0

Wenn u0 = 0 ist, ist dann:

x p ~ - I - 1 =

Die vom Nullelement verschiedenen Daraus ergibt sich fiir jedes u ~ 0 der tes u:

I ] (x - uv). v=l

Elemente bilden eine Abelsche Gruppe. Begriff des Exponenten d eines Elemen-

Da der Grad der Gruppe p~ - 1 ist, ist d ein Teiler von p~ - 1. Ferner sind die

Elemente 1, u, u 2 . . . . . u a-1 alle von einander verschieden, und es gilt (ur) a = 1.

Sie sind also, wenn es zu gegebenem d iiberhaupt Elemente mit diesem Exponenten gibt, alle Wurzeln der Gleichung x d - 1 = 0, da diese ja nicht mehr Wurzeln haben kann, als der Grad betr~igt. Jedes Element, welches den Exponenten d hat, haben wir also unter den Potenzen von u zu suchen. Es habe nun u r den Exponenten d' , dass heisst U rd' = 1. Dann muss also d ' ~< d sein, da j a (ur) d = 1 ist. Ferner ist d ein Teiler von r �9 d'. Es sei nun r relativ prim zu d. Dann ist d ' durch d teilbar, also d ' = d. Ist dagegen r nicht prim zu d, so sei e = (r, d) und r = er I, d -- edl . Dann ist bereits (ur) d~ = u r'd -- 1, also sicher d ' < d.

Sei also, wenn d ein Teiler von p~ - 1 ist, X (d) die Anzahl der Elemente, welche den Exponenten d haben. Dann ist entweder X (d) = 0, d. h., es gibt fiberhaupt kein solches Element, oder aber es ist X (d) -- qg(d), wo ~p die elementare zahlentheore- tische Eulersche Funktion ist.

Nun geh6rt ja jedes von Null verschiedene Element zu einem Exponenten. Also ist: y~ x(d) = p ~ - 1 .Wegen~qg(d ) = p ~ - l istalso: y ~ ( q g ( d ) - z ( d ) ) = 0.

d l p ~ - I d d

Da andrerseits sicher tp(d) - x (d) /> 0 ist, muss x(d) = ~0(d) sein. Zu jedem gegebenen Teiler d von p~ - 1 gibt es also genau qg(d) Elemente des GF(p~) ,

welche da l s Exponenten haben. Insbesondere gibt es also tp(p~ - 1) Elemente mit p~ - 1 als Exponenten. Jedes

solche Element heisse primitive Wurzel in GF(p~) . Seine p~ - 1 ersten Potenzen

8 E. Artin

(g sei das Element): l, g, g2 . . . . . gp~-2 sind dann alle von einander verschieden und liefern also alle von Null verschiedenen Feldelemente. Die fragliche Abelsche Gruppe ist also cyklisch vom Grad p~ - 1.

g sei eine primitive Wurzel. Sie gentigt einer Gleichung k ~< n-ten Grades Wk (x) = 0 mit KoEffizienten aus GF(po), d. h. Zahlen mod Po. Sie ist irreduzibel modulo Po. Da jedes Element eine Potenz gr yon gis t , l~isst sich diese Potenz mit Hilfe der Identit~it Wk(g) = 0 auf die Form: Ck_lg k-1 + Ck_2g k-2 q- �9 .. q- CO bringen, wo cv Zahlen sind. Da dies nur p~ Zahlen liefert und alle Elemente liefern soll, muss k = n sein. Das heisst, g gentigt einer modulo Po irreduziblen Gleichung Wn(x) = 0 mit ZahlenkoEffizienten.

Nun gilt der Fermatsche Satz ftir Zahlen modulo Po: c po = c. Erheben wir also Wn (x) = 0 in die po-te Potenz, so erhalten wir, da BinomialkoEffizienten dutch Po

teilbar sind: (Wn (x)) p~ = Wn (x p~ und allgemein: (Wn (x)) p~ = W n (x p'~ ). Setzen

wit x = g, so erkennen wir, dass Wn(x) = 0 die Wurzeln g, gp0, gp2 . . . . . gp,~ k~

hat. Sie sind aber auch alle von einander verschieden, da ja erst gP~i = gis t . Also gilt (h6chster Koeffizient in Wn sei 1)

n - 1

W~(x ) = 1 - I (x - gp~). v--0

Nun ist, wenn u alte Feldelemente durchl~iuft, also auch die gP(i:

X p~ - - X = I - I ( x - - U) .

xP~q - x ist also in GF(p~) teilbar durch Wn (x). Da abet beide Funktionen Zahlen- koEffizienten haben und der Algorithmus der Division nicht aus den Zahlen heraus- ftihrt, sind sie auch modulo P0 durch einander teilbar.

Sei nun GF1 (p~) ein anderes Galois 'sches Feld gleicher Ordnung. Auch dieses hat die Zahlen modulo P0 in sich, so dass natiJrlich, da der Teilbarkeitsprozess ganz modulo P0 verl~iuft, die aus dem alten GF(p~) tiberpflanzten Polynome x P~'~ - x und Wn (x) (d. h. in Wn (x) dieselben ZahlenkoEffizienten) durch einander teilbar sind:

x p~ - x = Wn(x)Q(x) .

Durchlauft nun u' alle Elemente von GF1 (p'~), so gilt nattirlich in GF1 (p~)

x P ~ - x = 1 - I ( x - u ' ) . U t

Der Teilbarkeit wegen hat also Wn (x) = 0 auch in GFI (p~) genau n Wurzeln. (Nattirlich gilt auch bier alles entsprechend.) Sei g ' eine Wurzel in GF1 (p~), e ihr Exponent. Dann hat also in GFI(p~) Wn (x) mit x e - 1 einen Teiler gemein. Da aber wieder der Algorithmus des gr6ssten Teilers ganz in GF1 (Po) verl~iuft, hat x e - 1 modulo P0 mit Wn (x) einen Teiler gemein. Da Wn (x) irreduzibel ist, muss dieser Teiler Wn(x) selbst sein. Die Teilbarkeit von x e - I modulo P0 durch W,,(x) bleibt abet nattirlich, da sie im Zahlgebiet verl~iuft, auch in GF(p'~) erhalten. Also geniigt g der Gleichung x e = 1. Dies geht nur ftir e = p~ - 1, da g primitive Wurzel ist. Also ist auch g ' primitive Wurzel in GF1 (p~).

Quadr. KOrper tiber Polynombereichen Galois'scher Felder und ihre Zetafunkt. 9

Jede Potenz gr kann mit Hilfe der Gleichung Wn (g) = 0 reduziert werden in die Form

gr = Cn_lgn-1 + Cn_2gn--2 + . .. 3- CO

mit ZahlenkoEffizienten mod Po und zwar auf eine und nur eine Weise. Ein gleiches bei g~ r mit Wn (g') = 0. Da diese Reduktion ganz im Zahlengebiete verl~iuft, muss erhalten werden:

gtr = Cn_lgtn-1 3- Cn_2gln-2 + . . . Jr- CO

mit genau den gleichen Zahlenko~ffizienten. Koppeln wir also die Elemente yon GF(p~) mit jenen yon GFI(p~) dutch die

Aquivalenz gr ~ g, r u n d 0 ~ 0, so lehrt diese Festsetzung die Invarianz des ~_qui- valenzbegriffes gegentiber Multiplikation und Division. Bringen wir beide Seiten auf die reduzierte Form, so haben beide gleiche Zahlenko~ffizienten. Dies lehrt die Invarianz gegentiber Addition und Subtraktion. Unsere beiden Felder sind also isomorph, sie sind also nut Realisationen ein und desselben abstrakten Galois 'schen Feldes GF(p~).

Satz. Alle Galois'schen Felder gleicher Ordnung sind isomorph, also arithmetisch identisch. Durch Angabe der Ordnung sind also alle Eigenschaften des Feldes eindeutig festgelegt.

Wit setzen nun zur Abktirzung ftir die Ordnung des Galois 'schen Feldes p. Da- bei sei also p eine gewisse Potenz der Primzahl Po. (Nicht gerade die n-te, da der Buchstabe n far anderweitige Verwendung freibleiben soll.)

Es sei a irgend ein Element aus GF(p) . Ist die Gleichung x 2 = a 16sbar, so heisst a Quadrat, anderenfalls Nichtquadrat. (Dabei soll aber a # 0 sein.) 1.) p = 2 n. Dann ist a 2n = a, also (a 2" J ) 2 = a. Jedes Element von GF(2 n)

ist also Quadrat. Sind ferner x 2 = a und y2 = a, so folgt durch Subtraktion, da x 2 _ y2 = x 2 _ 2xy 3- y2 = (x - y)2 ist, (x - y)2 = 0, also x = y. Jedes Element ist also Quadrat eines einzigen anderen Elementes. 2.) p ungerade. Wir setzen (p ) = 4-1 je nachdem, ob a Quadrat ist oder Nicht-

quadrat. Sei g eine primitive Wurzel und a = g2k. Dann ist a Quadrat von gk. Ist

aber a = g2k+l, so ist a Nichtquadrat. Beweis: Es ist: g p - l = 1 also (ge~! + 1) �9

( g @ - 1) = 0. Da unm6glich g @ = 3-1 sein kann ( g i s t ja primitive Wur-

zel, also erst gp-1 = 3-1), muss ge@ = - 1 sein. Sei nun a = x 2. Die Glei- chung: x 2 = g2k+l werde in die P@-te Potenz erhoben. Wegen X p-1 = 1 ist dann:

1 = g(Zk+l)@ = ( _ l)2k+l = _ 1, was ftir ungerades p unm6glich ist. Also ist a

Nichtquadrat. Allgemein: A u s a = gr folgt (p ) = ( - l ) r.

Daraus ergibt sich die Multiplikationsregel: ( ~ ) = (T)(7~)'a b p I p I p I

Wegen - 1 = g T welter: (~) = g Lr!r = (gr) -~- = a T p- I

Somit haben wir das ,,Eulersche Kriterium": (p ) = a T , speziell also: ( @ ) = p - I

( - 1 ) T .

10 E. Artin

Aus (~) = ( - 1 ) r folgt weiter, dass es genau ~ Quadrate und ~ Nichtqua-

drate gibt. Die primitive Wurzel g selbst ist insbesondere Nichtquadrat. Im GF(p) betrachten wir nun die Polynome F = F(t) mit KoEffizienten aus

GF(p). Wir nennen sie zu GF(p) geh6rig. Jedes Polynom # 0 hat einen wohlbe- stimmten Grad n.

Eine Menge von Funktionen A1, A2 . . . . heisse ein Ideal a, wenn mit AI und A2 auch jedes AIX + A2Y zum Ideal geh6rt, unter X und Y irgend welche Funktionen aus GF(p) verstanden. Besteht ct nicht nur aus der einzigen Zahl 0, so gibt es sicher Funktionen aus a mit wohlbestimmtem Grad. Seien D1, D2 . . . . die mit niedrigstem Grad. Wir setzen D1 = QD2 + R, wo R niedrigeren Grad als De hat. Da R = D1 - QD2 auch zum Ideal geh6rt, muss R = 0 sein. D1 ist also durch D2 teilbar, also D1 = QD2. Da D1 und D2 gleichen Grad haben, muss Q eine Konstante sein, das heisst ein Element von GF(p). Umgekehrt geh6rt auch jedes aD2 zu a. a kann so gew~ihlt werden, dass D = aD2 als h6chsten KoEffizienten 1 hat. Dieses D ist dann eindeutig bestimmt. Mit D geh6rt auch jedes XD zu a. Sei A eine Funktion von a und A = X D + R (R n iedrigeren Grad als D). Dann geh6rt auch R = A - X D zu a, so dass R = 0 ist. Das Ideal besteht also aus den Funktionen der Form XD.

AI, A2 seien nun zwei Funktionen. Wir bilden die Menge aller Funktionen der Form XA1 + YA2. Diese ist ein Ideal, dessen vorhin definierte Funktion D sei. Ei- nerseits ist D, da A1 und A2 selbst zum Ideal geh6ren, ein gemeinsamer Teiler von A t und A2, andrerseits aber muss, da es eine Darstellung der Form D = XA 1 + YA2 geben muss, auch jeder Teiler von A1 und A2 in D aufgehen. D ist also anzuspre- chen als der gr6sste gemeinsame Teiler von A1 und A2. Als solcher ist er bis auf einen Faktor aus GF(p) eindeutig bestimmt, denn ist D ' ein anderer, so muss D durch D ~ und D ~ durch D teilbar sein.

Aus der Existenz des gr6ssten gemeinsamen Teilers und seiner Darstellung folgt wie gew6hnlich die eindeutige Zerlegbarkeit der Polynome in irreduzible Faktoren (irreduzibel in GF(p)), die Primfunktionen, die wir als primar annehmen, d.h. ihr h6chster KoEffizient soll eins sein.

Auch der Begriff der Kongruenz und der Restklassen nach einem Polynom als Modul ergibt sich wie gew6hnlich.

Sei F ein Modul, A eine Funktion. Wir setzen A = QF + R, wo R von nied- rigerem Grad als F ist. Dann ist A = R (mod F). Es gibt also h6chstens so viel Restklassen als es Funktionen niedrigeren Grades als F gibt. Zwei solche Funktio- nen seien kongruent: R = R1 (mod F), d. h. R - R1 durch F teilbar. Da R - R1 aber auch kleineren Grad als F hat, muss R - R1 --- 0, R = R1 sein. Von niedri- gerem Grade als F gibt es aber ersichtlich pn Funktionen, wenn n der Grad von F ist.

Setzen wir also I F I = pn, so gibt es genau I FI verschiedene Restklassen modulo F.

Ebenso ergibt sich der Begriffder primen Restklasse und die Formel (wenn $ ( F ) ihre Anzahl bedeutet)

1 1 1


Dabei sind P1, P2 . . . . . Pv die verschiedenen in F aufgehenden Primfunktionen. Ffir Primfunktionen P gilt insbesondere:

~b(P) = I P I - 1.

Die primen Restklassen bilden eine Abelsche Gruppe. Also gilt der Fermatsche Satz:

G 4'(F) ~ 1 (mod F) ffirjedes zu F prime G.

FUr Primfunktionen also, wenn F durch P nicht teilbar ist:

F Ipl- t = 1 (mod P).

Wit fiihren nun ein die ,,Zetafunktion" unseres Gebietes.

Z 1 H 1 ~(s ) > 1 ~ ( s ) = r IFIS-- /' 1 - 1 P I -~ '

(alle Summen und Produkte fiber prim~ire Funktionen verstanden). Ordnen wir nach Graden, so gilt:

oo pV 1

~'(s) = Z pVS - 1 - p-( . ,-1) " v = 0

Einerseits ist nun, wenn ffir alle x der Form pV qJ(x) die Anzahl der Primfunk- tionen vom Betrage x bedeutet:

andrerseits:

1 l o g g ( s ) = Z - l o g ( 1 - l p l - s ) = Z mlPImS

P P, m>/1

v = l dlv

l o g f ( s ) = - l o g 1 - p = v = l ppVS

Also ist: y] d ~(pCl) = pV, somit: dlv

q,(p~) = _l ~ .u (d ) p~. V

dlv

Liisst man alle verschwindenden # Symbole weg und beachtet, dass #(1) = 1 ist, so hat v ~ ( p v) die Form:

vqa(p v) = p~ 4- pK~ 4- pK2 4- . . . 4- ptCr,

wo v > K1 > K2. . . > 1Or > 0 ist. vk~(p v) ist also sicher nicht durch pkr+l teilbar, also v~P(p v) > 0. Es gibt also insbesondere Primfunktionen jeden Grades.

12 E. Artin

pV Aus: y~. d qj(pd) = pU folgt: ~p(pV) ~< T ' somm

dlv I) U v

0 <~ E d~P(Pd) <~ 2 q J ( P ~ ) + 3 q J ( P ~ ) + " " dlv

d ) 2

<~ p~ + p~ + p~ + . . .

<~ p~ + v p~ = O(p~) in v,

somit:

also:

vqj(pV) = pV + O(p~) ,

X

* ( x ) = l o g p �9 ~og x + O ( - - ~ ' ~ ' \ l o g x /

Die Restklassen modulo einer Primfunktion P bilden nun ersichtlich ein Ga- lois'sches Feld der Ordnung t PI. Da nun Galois'sche Felder mit Primzahlordnung existieren und in ihnen Primfunktionen beliebigen Grades, so gilt:

Satz. Es gibt Galois'sche Felderjeder Primzahlpotenzordnung und nur solche. Von gegebener Ordnung gibt es in Abstrakto nur ein Feld.

Ferner k6nnen wir, wenn GF(p) irgend ein Feld ist und P eine seiner Primfunk- tionen n-ten Grades ist, in den Restklassen modulo P ein Feld GF(p n) erhalten, welches GF(p) enth~ilt. Da aber alle GF(p n) isomorph sind, enth~ilt jedes GF(p n) ein GF(p) und zwar nut eines, da dessen Elemente der Gleichung x p = x geniigen miissen, die nicht mehr als p Wurzeln haben kann.

Kehren wit also zurtick zur Primzahl Po, so erkennen wir, dass ein GF(p'~) genau

ein GF(p g) enth~ilt, unter d irgend einen Teiler von m verstanden. Dies sind aber auch die einzigen in GF(p'~) enthaltenen Felder. Denn enth~ilt es das Feld GF(prl), dessert Elemente Ul, u2 . . . . seien, so gilt plul = 0 und poul = 0. W~iren also po und pl verschieden, die Primzahlen also relativ prim, so folgte Ul = 0, so dass alle Elemente 0 sein wtirden. Also Pl = Po. Dann gilt aber, wenn uv eine primitive

. p ( ~ - I Wurzel von GF(prl) ist, einerseits uv = 1, andrerseits ist der Exponent von uv

m r gleich p 6 - 1. Es muss also P0 - 1 teilbar sein dutch P 0 - 1. Setzen wir m = qr +r', 0 ~ r ' < r, so ist:

r ~ r t r / p'~ - 1 = (P;)q " PO - 1 = ((p;)q - 1) P0 + P0 - 1 =

f ! = (p; - l )(P0 (q-l) + p0 (q-2) + - . . + l)P0 + ( p ; ' - 1).

F! Es mtisste also P0 - 1 teilbar sein durch p~ - 1, was wegen r ' < r nut fiir r = 0 mSglich ist. r ist also Teiler von m.

Satz. Ein GF(p'~) enthiilt genau ein GF(pd), wo d ein Teiler von mist, und kein anderes Galois'sches Feld.

Satz. Ein GF(p) liisst sich stets zu einem GF(p n) erweitern, welches das GF(p) enthiilt.

Quadr. KOrper fiber Polynombereichen Galois'scher Felder und ihre Zetafunkt. 13

Da die Restklassen modulo p ein GF(IPI) bilden, wenn P eine Primfunktion

von GF(p) ist, gilt der ,,Fermatsche Satz"

F I1"1 =- F (mod P).

Wenden wir dies auf F = t an, so erkennen wir, dass jede Primfunktion n-ten Grades Teiler v o n t pn - t ist.

Sind also P1, P2 . . . . . Pk die Primfunktionen n-ten Grades, so gilt:

t pn - t = P1P2""Pk 'dp,

wo q~ eine gewisse Funktion ist. Erweitern wir nun unser GF(p) zu einem GF(pn), dessen Elemente Ul, u2 . . . . .

pn

Up, sind, so gilt die Zerlegung: t pn - t = I-I (t - uv). v=l

In GF(p n) zerf~illt also die Funktion P1 P2" ' " Pk �9 ~b in lauter Linearfaktoren und somit jedes einzelne P vom n-ten Grad. Wird nun das GF(p n) noch weiter zu einem GF(p nm) erweitert, so bleibt die Zerlegung bestehen.

Satz. Ist P eine Primfunktion n-ten Grades in GF(p) und wird das Feld zu einem GF(p m) erweitert, wo n ein Teiler yon mist, so zerfgillt in GF(p m) P in lauter Li- nearfaktoren. Die Gleichung P(x) = 0 hat also in GF(p m) mindestens eine Wurzel X.

Es sei nun F(t) = Cnt n q- Cn-lt n-1 -1- �9 �9 �9 q- co irgend eine Funktion von GF(p) u n d p = p~. Da die Binomialkofiffizienten von P0 durch P0 teilbar sind, gilt:

(F( t))P0 = Cn~,,tP0n + cn~OltP0(n-1) + . . . + cg0

und schliesslich:

pP to(n- l ) (F(t)) p~ = cPtPn q- ~n-l" -t-"""-'1- c~.

Da aber nach dem Fermatschen Satz c p = cv ist, gilt: (F(t)) p = F(t p) und allgemein:

Satz. Ist F(t) irgend eine Funktion aus GF(p), so gilt: (F(t)) pk = F(t pk).

Es sei also P eine Primfunktion n-ten Grades in GF(p). Das Feld GF(p m) sei eine Erweiterung und in ihr habe die Gleichung P(t) = 0 die Wurzel t = x. Wir bilden, mit Ko~ffizienten cv aus GF(p), die Funktionen u(t) = C n _ l I n - 1 -}-On_2 tn-2 -~- �9 �9 �9 + CO in der Anzahl pn. Setzen wir t = x, so sind alle entstehenden u(x) von ein-

ander verschieden. Denn w ~ e etwa ftir verschiedene u 1 und u2: u 1 (x) = u2 (x), so

hatte die Gleichung h6chstens (n - l)-ten Grades f ( t ) = U l ( t ) - u2 (t) die Wurzel t = x, mit P(t) also in GF(p n) den Linearfaktor t - x gemeinsam. Da nun aber die

Ko~ffizienten von P(t) und f ( t ) zu GF(p) geh6ren, die Ermittlung des gr6ssten gemeinsamen Faktors ganz in GF(p) verl~iuft, mussten P(t) und f ( t ) in GF(p) einen Faktor gemein haben. Da P(t) Primfunktion ist, kann dieser Faktor nur P(t) selbst sein, d.h. f ( t ) ist durch P(t) teilbar. Da f ( t ) hOchstens (n - l ) - ten Grad hat,

muss also f ( t ) identisch verschwinden. Das heisst, es ist identisch Ul(t) = u2(t). Die Gr6ssen in der Anzahl pn uv(x) sind also alle von einander verschieden.

14 E. Artin

Da sie Elemente des Feldes GF(p m) sind, muss also: m /> n sein. Ferner gilt

(uv(t)) pv =- uv(tP~). Nun ist t p" - t durch P(t) teilbar. Wegen P(x) = 0 ist also

s icherx p" = x. Also gilt (uv(x ) ) p~ = uv(xP~ ). W~ire also ffirein v < n x p~ = x,

so h~itte man (uv(x)) p~ = u~(x). Die Gleichung p~-ten Grades X p~ = X h~itte also die pn verschiedenen Wurzeln uv(x). Da sie nicht mehr Wurzeln haben kann, als ihr Grad betr~igt, muss also v = n sein.

Daraus folgt for die Potenzen x, x p . . . . . x pn J, dass sie alle von einander ver-

schieden sind. Denn aus: x p" = x p~', a >. b, folgt, in die pn-a-te Potenz erho-

ben, wegen x p" =- x: x = x n + b - a . Wegen b ~< a geht dies nut ftir a = b. Aus

(P( t ) ) pr = P(t pr) folgt abet, dass mit x auch jedes x pr Wurzel von P(t) = 0 ist. Da fi)r r = 0, 1 . . . . (n - 1) n verschiedene Werte herauskommen und unsere

Gleichung nicht mehr als n Wurzeln haben kann, miissen also x, x p, X p2 . . . . Xpn 1 alle Wurzeln sein. In GF(p m) gilt also die Zerlegung:

n - 1

P(t) = I-I (t - x P V ) ,

v = 0

wenn x eine Wurzel von P(t) = 0 ist. Die vorhin aufgestellten pn verschiedenen

uv(x) bilden nun ersichtlich ein GF(pn). Denn Addition, Subtraktion und Multi-

plikation bleiben in Anbetracht von P(x ) = 0 ganz in GF(pn). Das letzte Axiom beziiglich des Verschwindens des Produktes ist aber klar, da es ja in GF(p m) gelten muss. Das GF(p m) enth~ilt also ein GF(pn). Dies geht nur, wenn n ein Teiler von m ist.

Satz. Eine Primfunktion n-ten Grades P(t) in GF(p) hat in einem erweiterten GF(p m) dann und nur dann einen Linearfaktor, wenn m durch n teilbar isr Ist dies der Fall, und x eine Wurzel von P( t ) = O, so sind die iibrigen verschiedenen

Wurzeln: x, x p, x p: . . . . . xP" J, undes gilt die Zerlegung:

n - 1

P(t) = 1-I(t - xP'~). v=0

Es sei nun P eine Primfunktion n-ten Grades in GF(p). Wir erweitern GF(p) zu einem GF(p m) und setzen d = (n, m) (also d tier gr6sste gemeinsame Teiler von n und m). Ferner d ~ n d ' = 3, so dass und m relativ prim sind. Wir zerlegen nun P im GF(p m) in Primfunktionen: P = PK~ PK2 " " Pxr, deren Indizes die Grade angeben m6gen.

Nun erweitern wir das GF(p m) zu einem GF((pm) Kv) = GF(pmKv). In ihm

zerf~illt P~v in Linearfaktoren, also hat dort P einen Linearfaktor und zerf~illt deshalb vollst~indig. Es muss also n = d~d ein Teiler von mxv sein. D a d t prim zu mis t , muss also d ~ ein Teiler von ;c~ sein.

Nun erweitern wir unser GF(p m) zu einem GF((pm) d') m'n = GF(p~ ) . D a n m ein Teiler von ~- �9 n ist, zerf~llt dort P in Linearfaktoren, also auch die Px~. In

GF((pm) d') zerfiillt aber das zu GF(p m) geh6rige PKv dann und nur dann, wenn

tc~ ein Teiler von d ' ist. Also sind d ' und x~ wechselseitig durch einander teilbar,


das heisst gleich. Somit: Xl = K 2 . . . . . Kr = d I. Die Gradvergleichung liefert rxl = rd I = n, also r = d. Somit haben wir:

Satz. Es sei P eine Primfunktion n-ten Grades in GF(p). Es werde GF(p) zu einem GF(p m) erweitert und d = (n, m); d t = n gesetzt. Dann zerfiillt P in genau

n in GF(pm). d Primfunktionen vom Grade d' =

Sind also insbesondere m und n relativ prim, so ist P auch im GF(p m) Prim- funktion.

Dass ferner lauter verschiedene Primfunktionen entstehen, ist klar. Denn w~iren zwei unter ihnen gleich, so wtirde im GF(pmn), wo alle zerfallen, mindestens ein Linearteiler quadratisch vorkommen, was einem frtiher gefundenen Resultate wi- derspr~iche.

Satz. Jede Primfunktion P1 eines iiber GF(p) errichteten Feldes GF(p m) geht in genau einer Primfunktion P yon GF(p) auf

Beweis. P1 ist ein Teiler v o n t (pm)n - t, wenn n der Grad von P1 ist. Zerlegen wir t p'"n - t in seine Primfunktionen von GF(p), so muss P1 in einer dieser aufgehen. Ginge P1 in den Primfunktionen P und Q von GF(p) auf, so h~itten diese in GF(p m) einen Faktor gemein, also, nach einem bereits vorgekommenen Schluss auch in GF(p). Das geht nicht, da beide Primfunktionen sind.

Die Primfunktionen von GF(p m) werden also vollst~indig ermittelt dutch Zerle- gung der Primfunktionen von GF(p). Die Art der Zerf'~illung wurde bereits unter- sucht.

Nun ftihren wir in GF(p) ein das ,,Legendresche Symbol" [F] = 4-1, je nach-

dem die Kongruenz X 2 - F (mod P) 16sbar oder unl6sbar ist. Da die Restklassen modulo P ein GF(IP]) bilden, haben wir sofort die Resultate:

I P I - 1 I 1 ' 1 - 1 Es gibt genau - T - Reste und ~ Nichtreste. Ferner

F G IT]IT] =

i1 ~' 1 [F] = F ~ r -

IPI-1 = a 2 ,

pn _ 1

(mod P),

wenn a zu GF(p) geh6rt,

oder 2 "-2++1) 1 + + 1

, 7 , = , wenn nder Grad von P ist.

Dabei ist natiirlich, wie auch im Weiteren, p ungerade gedacht. Sei nun GF(p) ein Galois'sches Feld mit den Elementen a, GF(p m) eine Erwei-

terung des Feldes, dessen Elemente allgemein u seien. Die verschiedene Bedeutung der Symbole (~) und ( ~ ) ist klar. Sei also a ein

Element von GF(p). Dann ist:

(-~m) = a P"-'2 =aP~2~(pm-l+'"-l-1)=(p) m.

16 E. Artin

Je nachdem also, ob m gerade oder ungerade ist, sind in GF(p m) alle Elemente von GF(p) Quadrate, oder die Quadrate bleiben Quadrate und die Nichtquadrate bleiben Nichtquadrate.

Zur Unterscheidung bedeute nun ftir Funktionen aus GF(p) [F] das ,,Legendre-

symbol" in GF(p), fiir Funktionen aus GF(p m) [F]m das Symbol in GF(pm).

Satz. Die Primfunktion P aus GF(p) zerfalle im erweiterten GF(p m) in die Fak- toren P1, P2 . . . . . Pd. Dabei ist, wenn n der Grad yon P ist, d = (n, m) undjeder

n t Faktor vom -d- en Grad. Gilt dann fiir eine Funktion F aus GF(p): F = 0 (mod P/), so muss: F - 0

(mod P) in GF(p) gelten.

Beweis. F hat mit P den Faktor Pi gemein. Nach oft gemachtem Schluss also, da F zu GF(p) geh6rt und P dort Primfunktion ist, ist F durch P teilbar.

Bezeichnen wir also kurz das Symbol ,,Betrag" in seiner Bedeutung in GF(p m) durch angeh~ingten Index m, so gilt far jedes zu P prime D, da es ja dann auch zu P/prim ist (D geh6re also zu GF(p)):

[ ~ t ' ] m ~ D ~ (modPi) .

I/~ m 1 Also, da D 2 - [~,.] zu GF(p) geh6rt, in GF(p):

P// m ~ D t, I~, i (rood P)

m n m p T 1 (pn)y ~ O~'n 1 m m

--= D 2 -- D 2 -- 2 (p,7 I+p~r -+...+1) (mod P).

Wegen D @ =-- [D] (mod P) und: p ~ - i + . . . + 1 =- -~ (mod 2) gilt also:

m m m

Die Theorie des quadratischen K6rpers iJbertr~igt sich nun ohne weiteres auf ein beliebiges Galois'sches Feld, wenn man folgende Ab~inderungen beachtet:

p bedeute eine Primzahlpotenz; unter Zahlen verstehen wit die Elemente eines GF(p); g sei primitive Funktion des Feldes; quadratische Reste sind als Quadrate in GF(p) zu verstehen, Nichtreste als Nichtquadrate.

Offenbar bedeutet die Einfiihrung der Imagin~iren ~/~ nichts anderes als die Er- weiterung des Feldes zu einem GF(p2).

Rationale, oder triviale, Einheiten sind die p - 1 von Null verschiedenen Ele- mente von GF(p).

Satz. P sei eine Primfunktion n-ten Grades in GF(p) und ebenso D eine zu P prime Funktion in GF(p). Setzen wir d = (m, n) und n = dd', so dass in GF(pm)." P in die d Primfunktionen ~-ten Grades P1, P2 . . . . . Pd zerfMlt, so gilt:


Als Legendresymbol ist unser (~ ) zu nehmen, wenn a irgend ein Veldelement

ist. Steht irgendwo ot = 0, 1 . . . . . (p - 1), so ist zu sagen: ~ alle Elemente von

GF(p). Wirklich abzu~indern ist nut folgender Schluss. w 11, S. 36, 3 b)*: Ist - 1 Nicht-

quadrat, so ist stets b 2 + 1 = b 2 - ( - 1 ) ~ 0, wenn b die Elemente von GF(p) durchl~iuft. Zu b = 0 geh6rt die 1, sonst liefern entgegengesetzte Elemente und nut

- = p+l diese das gleiche b 2 + 1. Dies liefert P@ + 1 ~ - verschiedene Werte, unter

denen mindestens ein Nichtquadrat ist. Ist aber - 1 = x 2 Quadrat, so w~ihle man b = x und erh~ilt: b 2 - D = - g t e, so

dass C = t genommen werden kann. S. 40. + a e - 4g soll Nichtquadrat werden far ein ot aus GF(p). In der Tat erh~ilt

man nie Null und far zwei entgegengesetzte u und nur diese gleiche Werte. Dies

liefert, den einen zu c~ = 0 geh6rigen Fall beachtet, p@! + 1 = p+--!1 verschiedene

Werte, also sicher ein Nichtquadrat. Sei K der zum Feld GF(p) geh6rige K6rper, D eine Diskriminante aus K,

K ( , r der zugeh6rige quadratische K6rper, Z(s) die Zetafunktion. P seien die Primfunktionen in K.

Wit erweitern GF(p) zu einem GF(pm), dessen K6rper K1 sei, und betrachten

K1 (x/-D), dessen Zetafunktion Z1 (s) sei. PI seien die Primfunktionen in K1. Der den Symbolen angeh~ingte Index soll den Unterschied ihrer Bedeutung in K und K1 hervorheben. Es ist:

1 1 Zl ( s ) = 1-I 1-- p-m(s-l) l_[~_~]mlPllm s

P1 (PI ,D)=I

Wir erhalten nun, wie wir sahen, alle zu D primen P1, wenn wir alle zu D primen P zerlegen. Hat P den Grad n und ist d = (n, m), so gibt es genau d zu P geh6rige P1, je vom Grad -~. Fiir sie gilt:

= ; IPllm = (Pro) '7 = ( p ) 7 = IPI ~. m

Da es genau d zu jedem P geh6rige P1 gibt, erhalten wir:

1 1

Zl ( s ) = 1--I m m , I - - P -m(s-l) p ( 1 - [ D ] 7 1 P I ;Ts) d" (P,D)=I

*EMIL ARTIN: Quadratische K6rper im Gebiete der hOheren Kongruenzen. Dissertation. Leipzig 1921; ver6ffentlicht in Mathematische Zeitschrift 19 (1924), 153-206 und 207-246; auch in EMIL AR- TIN: Collected papers, herausgegeben von Serge Lang und John T. Tate. Addison-Wesley: Reading, Mas- sachusetts, et al. 1965; unverfinderter Nachdruck Springer: New York, Heidelberg, Berlin 1982, S. 1-94; bier: w 10, S. 184 bzw. 32, 3.b)

tibid., w 11, S. 188 bzw. 36

18 E. Artin

2Jri~ 2~ri D n 2Jrin n m

Setzen wir nun Q = e m , SO ist ~ = e m = e ~ . Da ~ prim zu ~- ist, ist Qn eine primitive -~-te Einhei tswurzel , also:

m I 2 -

( l - 1-I - v=O

m vermehrt, so ~indert sich 0 nv nicht, da O n ~ - t e Wird v um ein Vie l faches yon ~- Einhei tswurze l ist. A l so wird:

m - I

1--I (1 - -OnVX) = (1 - - x ~ ) d. v=0

A l s o gilt, da auch noch v durch - v ersetzt werden kann:

m--1 1 1

Z l ( s ) = l -- p-m(s -1 ) 1 7 1 7 1 _ ,~ , ~ , r ~ , l . i P i - S (P,D)=I v=0 ~ I_ "P- J

Nun ist IPI = pn, also:

, - - 2rriv 2Jrivn

I e l ' ~ * ~ = IPI s . e ,,

somit:

1 Zl ( s ) = 1 - p-m(s-l)

1 1 - p-m(s-1)

- - = IBI s . 0 "~,

m-1

1-I 1-I ,

m-1 �9 _ p - l , s + ~ - ) 2:riv l - - i ( 1 t" - 2Jriv l~)Z(s_[_ mlogpl.

v--0

, 2Jriv m - - 1

Wegen p -('~+m ~ = 0 - ~ . p -(s- t) und FI ( l - 0 - V p -(s- l)) = 1 - P -re(s-l) v=0

ist also: m-1

27riv Z l ( s ) = I - I Z(s -]- m--]-@]"

v=0

Ftir m = 2 kann man das GF(p 2) sich durch Adjunktion von ~ zu K adjungiert

denken. Dann ist also: K1 (v/-D) = K (v@, ~'-D) = K (~/-D, ~/gD) nichts anderes als das Ana logon z u m spez ie l l en Dir ichletschen biquadratischen Zahlk6rper. Unsere Formel ergibt:

Jri Zl ( s ) = Z ( s ) Z ( s + ~o-ff)" Nach w 17 (8) ~ ist also:

1 - - p - ( S - 1 )

Z l ( s ) - - l + p - ( S - 1 ) "ZD(S) ZgD(S)"

~tibid, S. 210 bzw. 58


Dabei sind ZD und ZgD die Zetafunktionen von K ( 4 ~ ) beziehungsweise

K(g4~-D), Zl (s ) die von g l (~rO) = g(~/rg , ~/ 'O).

1.) Grad von D gerade. Dann ist einer der KOrper K(v/-D) und K ( g ~ / ~ ) reell. Wir nehmen an: K ( x / D ) reell, e0 seine Grundeinheit, R0 sein Regulator. Ferner ist in K1 ~ und ~/gD reell, also K1 (~/-D) ein reeller KOrper. Seine Grundeinheit sei:

G1 = (X1 4- X2qrg) 4- (Y1 4- Y2q/-g) "q/~,

wo die X und Y in K reelle Polynome seien. Akzentuierte GrOssen sollen also Vor- zeichenwechsel yon ~ bedeuten. Wir setzen noch:

G2 = (Xl - X2x/r'g) q- (Y1 - Y2x/'g)~/-~.

Es soll also e le ' 1 = a + b ~ sein. Also ist eze~ = a - bv ' -~ . e2, e~ sind also auch Einheiten und, da e2 mit el denselben Grad hat, da sichja in e2 nur ebensoviel wie in el heben kann, muss e2 = (al + b l v ~ ) e l sein. Nun ist aber eae2 = (al + bax/-5,)e~

v Andrerseits ist eo auch offenbar eine Einheit in K ( 4 ' D ) , also vonde r Form a2 e 0.

eine Einheit in K I ( V ~ ) , also yon der Form (a3 + b3x/g) e~. Es muss also # v = 2 sein. 1.) # = 1, v = 2. Go = (a3 + b3x/g) el. Also kann Go selbst als Grundeinheit genommen werden. Die Norm von eo ist nun ein Element von GF(p), in GF(p 2) also auf jeden Fall Quadrat eines Elements. 2.) # = 2, v = 1. Ware auch hier NGa ein Quadrat in GF(p2), so k6nnten wir NG1 = e a e t l = 1 voraussetzen, also durch Vorzeichenwechsel von ,r Ne2 = GZG~ = 1. Also ware wegen G2 = (al + blv"g)Gl : (a l + b lx / 'g ) 2 = 1, a l + b i n = 4-1, also bl = 0, e2 = 4-el. Dies gibt entweder X2 = Y2 = 0 oder X1 = Y1 = 0. Nennen wir die nichtverschwindenden Gr6ssen kurz X und Y, so muss entweder:

el = X 4- y~, r~ und, wegen v = 1, eo = a4(X + Yx/D) 2 sein, was nicht geht, da X + Y 4 ' D zu K ( 4 ' D ) geh6rt, also G0 dort nicht die Grundeinheit ware, oder aber:

el = ~ (X + Y~/'D), was wieder auf die Form Go = a4(X 4- Y V ~ ) 2 ftihrt: Die Annahme, es sei NG1 ein Quadrat, ist also unm6glich.

Wir haben also, wenn R1 den Regulator von KI(V'-D) bedeutet:

Ro _ / 1 wenn die Norm der Grundeinheit von K1 (v'-D) Quadrat in GF(p 2) ist.

Rll -- / 2 wenn ihre Norm Nichtquadrat ist.

w 21 w lehrt die Formel:

KOrper reell, und friiher

Da nun

Z'(0) = hk -- ~ log p,

h Z ( O ) - p - l "

Zll (0) __ p 1 p+l ZzD(O) Zg D(O),

w S. 224 bzw. 72

20 E. Artin

wenden wir dies darauf an (links ist p durch p2 zu ersetzen) und ist hi die Klassen- zahl von K1 (q"D), hi) und hgD aber die von K(4'-D) und K ( ~ / g D ) , so wird (links log p dutch log p2 = 2 log p ersetzen):

R0 hi = - - h o h u D .

2R1

2.) Grad von D ungerade. Dann sind alle K6rper imagin~ir. Aus:

Zl(0) - p - 1 Z D ( O ) Z g D ( O ) pTl folgt dann:

Wir haben also:

hi = hOhgD

1 hi = 2ht)hgl)

h i = h D ' h g D .

wenn Grad von D ungerade, oder wenn er gerade ist, aber die Norm der Grundeinheit von KI (4'-D) Nichtquadrat ist.

wenn Grad von D gerade und Norm der Grundeinheit von K1 (~/-D) Quadrat ist.

Wir k6nnen noch den anderen Typ des speziellen Dirichletschen biquadratischen K6rpers konstruieren:

Sei D prim zu t. Wir bilden K(47, 4'-D) = K(~/-D, ~"tD). Er entsteht, wenn an K1 = K ( ~ ) ~ adjungiert wird. Nun ist K1 isomorph mit dem dutch die Substi- tution t = t 2 entstehenden K6rper K(tl). Denn K1 sind einfach die Polynome von

~/t. Also ist K1 (D~/D-~) isomorph mit dem K6rper K ( ~ ) , so dass also wieder im Wesentlichen ein quadratischer K6rper vorliegt. Bedeutet also P1 die Primfunk- tionen in K1, also die irreduziblen Polynome von ,r und [ ]K~ das entsprechende Symbol, ferner ]P1 [K1 dasp hoch Grad von P1 als Polynom von ~/7, so hat man far die Zetafunktion 71 (s):

1 1 Zl(s) = 1 - p-(S-1) " U

-- [ ~ ] K I [ P l l - s " (P1,D)=I 1 K1

Die P1 sind Teiler von genau einer Primfunktion in K.

Nachtrag zum Vorigen. Sei K(,c/-D) ein reeller K6rper des Feldes G F ( p ) . Wir bilden K1 ( ~ ) zu GF(p2) . so sei die Grundeinheit in K(~/-D), s die yon K1 (~/D). Wir setzen

8 = (X1 -Jr- X2~/g) -t- (Y1 q- Y2v/g) ~/-~.

= t m + �9 �9 �9 sei die Reihenentwicklung von D ---- t 2m + �9 . .

(X 1 + X2~c/g) = (a + b~v/g)t r + . . . ,

(El -t- Y2~c/g) = (c q- d~c/-g)t r' + . . . ,

also:

e = (a + b~/-g)t r -k- (c + d~ /~ ) t r'+m + . . . (je die h6chsten Potenzen).

Quadr. K/)rper tiber Polynombereichen Galois'scher Felder und ihre Zetafunkt. 21

Da e t = (a + b~/-~)t r - (c + d~/~)t r' +m -}-... negativen Grad hat, muss r = r ' + m,

a + b~/-~ = c + d 4 ' ~ sein. Ersetzen wir also e durch e ~ , so kann angenommen

werden:

IX21 < IXll and IF21 < IYll.

Da nun aber:

gl = ( X l - - X 2 ~ / g ) -1- (Y1 - Y2~rg) "v /~

ist und sgne = 2, sgnel = 2, lel = l e l l ist, muss e = el, also X2 = I"2 = 0 sein, oder:

= X1 + YI~-D,

so dass e bereits in K eine Einheit ist. Da e0 andrerseits im K1 auch eine Einheit ist, ist e die Grundeinheit von K, so dass also R = R0 und somit in KI: Ne stets ein Quadrat ist. Wir haben also:

hi = hD �9 hgD Grad von D ungerade,

1 hi = ~ �9 hD �9 hgD Grad von D gerade.

Allgemein gilt:

Satz. Ist Km(~c/-D) der zu GF(p m) gehOrige Kgrper und eo die Grundeinheit in

K (x/-D), so ist eo auch Grundeinheit von Km ( V ~ ) .

Ist sie n~imlich e, so kann angenommen werden e = (t ~ + . . . ) + (t i + . . . )x/r-D wie vorhin. Ist G die primitive Wurzel von GF(pm), welche einer in GF(p) irreduziblen Gleichung m-ten Grades gentigt, so k6nnen wir die weiteren KoEffizienten in e durch G Potenzen bis zur (m - 1)-ten eindeutig mit KoEffizienten in GF(p) darstellen. Wir schreiben:

e(G) = U(G) + V ( G ) x / ~ ,

so class: U(G) 2 - V ( G ) 2 D = ol

ist. Dies gibt ft~r jede yon der nullten Potenz verschiedene Potenz yon t eine Glei- chung far G. Diese muss durch unsere Gleichung m-ten Grades teilbar sein, die Relation also bestehen bleiben, wenn G hierin ersetzt wird dutch eine andere Wur- zel G ' jener Gleichung. Also ist e(G') auch eine Einheit. Da die h6chsten Ko~f- fizienten eins sind, also sgn e(G) = sgn e(G') ist, muss, well e Grundeinheit ist: c(G) = e(G') sein. Dies besagt, dass die Ko~ffizienten yon e die Substitution G [ G ' gestatten. Ist a(G) ein Ko~ffizient, so ist also, wenn Gl, G2 . . . . . Gm die m Wurzeln sind:

I (a (GD + a ( G : ) + . . . + a ( G m ) ) , a (G) =

also eine symmetrische Funktion von G1 . . . . . Gm, also durch die Gleichungsko~f- fizienten darstellbar. Dies besagt aber, dass a (G) dem GF(p) angeh6rt und somit e aueh in GF(p) liegt.

Also muss, da e0 auch Einheit in K1 ist, e = e0 sein.

22 E. Artin

Es gelten einfach die Zerlegungsgesetze yon K1 = K(47 ) . Sei also P eine zu D prime Primfunktion.

I . ) P # t .

l.) [~,] = - 1 . P zerfiillt nicht in K1 = K(VT). In K bilden die Restklassen

mod P ein GF([PD, in K I e i n darfiber gebautes GF([p[2). Da also der Exponent gerade ist, sind alle Elemente von GF(]P]) Quadrate, also sicher [~-]KI = +1.

Ferner ist [P[KI = [P [2. Der Beitrag zum Produkt lautet also:

1 1 1

1 - - IP1-2s I - I P I -s I + In l - " '

Da nun wegen [-~ ] = - 1 sicher [ D ] = _ [ ~ ] ist, k6nnen wir ihn schreiben:

1 1

1 - [D ] IP I -S 1 tD -

2.) [ ~ ] = +1 . P zerfiillt in K1 in zwei Primfunktionen P1, P2. Die Restklassen

modulo P1 bilden ein GF(IPIlK1) = GF(IP@--~I) = GF(IP]) . Ist nun F eine Funktion aus K und gilt:

F - - 0 (modP1) ,

so hat also in K1 F mit P einen Faktor gemein. Da aber die Ermittlung des gr6ssten gemeinsamen Teilers ganz in K verliiufl, muss F diesen Faktor mit P auch in K gemein haben. Da dort aber P Primfunktion ist, muss F durch P teilbar sein, das heisst:

F - - 0 ( m o d P ) .

Nun ist nach dem ,,Eulerschen Kriterium", da [P11Kl = IPI ist:

-- D 2 (mod (P1)), K1

also:

Das bedeutet: [ ~ ] K , [D], also auch D ---- [~2]K1 = [ ~ ] " Wegen [P1 [K1 = [P2HK1 = ]P[ ist also der Produktbeitrag

1

(1 - [D] �9 IPi-S) 2 '

Da nun wegen [ ~ ] = + l gilt: [D] [lD] = L P J' SO k6nnen wir auch ihm die Form geben:

1 1

1 [ D ] ] p ] - s 1 tD _ - [ T ] l p l - s

II.) P = t, also nicht prim zu tD, dagegen prim zu D. Es ist: P = (~'7)2; IP] = p, ]47]K1 = P, ]~/7]K1 = ]P]. Gilt ferner F = 0 (mod 47), wo F Funktion aus K ist,

so muss F durch t teilbar sein, also F -- 0 (mod t) sein, also: [ ~ ] K 1 = D l/'~1


(mod ~/7), also auch (modt) , also: [ ~ ] K 1 - [D] (mod t), also: [~t]/r = [D].

Dies gibt als Produktbeitrag (da diesmal nur eine Funktion zu t geh6rt):

1 i,,-s

Dies gibt die Formel:

l 1 " H l _ [ D ] [ p [ - , . 17

ZI(S) = 1 - p-(S-1) (D,P)=I (tD,P)=I

oder:

1 tD -- [-p--]]PI - s

Zl(s) : (1 -- p-(S-1)) ZD(S) ZtD(S).

Da K1 (~ / -D~) isomorph ist mit K ( ~ ) , k6nnen wir auch schreiben:

ZD(t2)(s ) = (1 -- p-(S-1)) ZD(t)(S) ZtD(t)(s).

Ist sgn D = g, so sind alle 3 K6rper imagin~ir, und wir erhalten die Klassenzahl- relation:

hD(tZ) = hL)(t) �9 htD(t).

Ist aber sgn D = 1, so sind K ( ~ ) und einer der K6rper rechts reell.

1.) Grad von D(t) gerade. Die Grundeinheit yon K(Dc~D-~) sei s0 = X( t ) + Y(t)v"D-(t). Sie genilgt der Pellschen Gleichung X(t) 2 - Y(t )ZD(t ) = a. Wird

t dutch t 2 ersetzt, so kann sich nichts ~indern. Also ist ~ = X( t 2) + y ( t 2 ) ~

jedenfalls eine Einheit in K ( ~ ) . Ist also

6'1 = (Xl( t 2) @ tX2(t2)) -'[- (YI(t 2) "[- tY2(t2))~/-D-~

die Grundeinheit in K ( ~ ) , wo wir gerade und ungerade Potenzen zusammen- geschlossen haben, so ist:

6'~ = a 6'~.

Da v / i f ( t ) reell ist, also die Reihenentwicklung nach Potenzen yon t fortschreitet,

enth~ilt die Reihenentwicklung yon ~ nur gerade Potenzen. Wird nun in der Pellschen Gleichung fiir 6'1 t durch - t ersetzt, so kann sich nichts ~indern. Es ist also

6'2 = (Xl( t 2) - - tX2( t2) )J r - (Yl( t 2) - l Y 2 ( t 2 ) ) ~

auch eine Einheit. Da for die Gradbest immung die geraden Potenzen oder die unge-

raden Potenzen ffir sich ausschlaggebend sind und sie sich, da ~ nur gerade Potenzen enth~ilt, nur urns Vorzeichen ge~indert haben k6nnen, gilt Is1] = ]6'2[. Da 6'1 die Grundeinheit ist, muss also 6'1 = a6"2 sein.

Somit X1 = aXl , X2 = - a X 2 , Y1 = aY1, Y2 = - a Y 2 W~ire nun a = - 1 , also X1 = Y1 = 0, so w~ire 6'1 durch t teilbar, also 6''1 auch und 6'16'' 1 w~re durch t 2

= , = t 2 " (X 2 _ yzD( t2) ) . Sl6''l w~ire also keine teilbar:el t ( X 2 + Yzx/-D-(~),e16"l triviale Einheit, also 6'1 keine Einheit. Es ist also a = 1, X2 = Y2 = O,

6'1 = Xl(/2) -+- Yl(t2)v/O(t2),

24 E. Artin

Somit ist el L6sung der Pellschen Gleichung: X1 (t2) 2 - Y1 (t2)2D(t 2) = a. Ersetzt man t 2 dutch t, so wird nichts ge~indert. Also ist ~- = X1 (t) + Y1 (t) Dv 'D~ Einheit in K(D~/-ff~) und somit g i = be~. FriJher war V6 = ae~. Da nun Ivel = leol2;

[ell = I~l 2 ist, wird: I~1 = lellv = I~l 2~ = leo] 2#v, also: leol 2 = leo121'v oder: leo1 = ]e01 uv, also #v = 1,/z = v = 1, somit: I~1 = leo[ 2 = lell. Ist also Ro der Regulator yon K(x/D) , R1 der von K ( ~ ) , so ist:

R1 - - ~ 2 .

Ro

2.) Grad von D(t) ungerade. Dann ist K(x/T-D~o) reell, und eo = X(t ) + Y(t) �9

sei seine Grundeinheit. Die yon K ( ~ ) sei wieder el. Die Pellsche

Gleichung X(t) 2 - Y(t) 2. t . D(t) = a muss wieder bestehen bleiben, wenn t durch t 2 ersetzt wird. Also ist

V6 = X(t 2) + t Y ( t 2 ) ~

eine Einheit in K ( ~ ) . Dabei denken wit uns das Vorzeichen yon ~ so

gew~ihlt, dass der Grad von ~ positivist. Dann ist: IVol = leol 2, v6 = ao e~. Durch

die beiden Festsetzungen sgn ~ = sgn ~ = 1 ist dies der Fall. Andert man in der Pellschen Gleichung fiir el:

(Xl(t '2) q- t X2(t2) ) 2 - (Yl(t 2) + t Y2(t2) )2 0( I 2) = a

das Vorzeichen von t, so bleibt alles unver~indert. Insbesondere ist also auch:

82 : ( X l ( t 2) - - l X 2 ( t 2 ) ) -- (Yl( /2) - t Y 2 ( 1 2 ) ) ~ / - ~ ' )

= ( x 1 < , 2 ) _ (,x:(,2) +

eine Einheit. ~ ist reell, also hat ~ = t ~ nut gerade Potenzen

von t, ~ nur ungerade. Also ist wieder wie vorhin: le2] = ]El ], also E2 = a El" X1 = aX1, X2 = - a X 2 , YI = - a Y l , Y2 = aY2. W~ire a = - 1 , also X1 --- Y2 = 0, so h~itte man:

E1 = tX2(t 2) + Yl(t:) Dv/-D-~).

Die zugeh6rige Pellsche Gleichung t2X2(t2) 2 - Yl(t2)2D(t 2) = al bleibt richtig, wenn t 2 durch t ersetzt wird. Setzen wir also bei passender Vorzeichenbestimmung

E-q = v'TX2 + Y1 v'-D, so hat ~ als Polynom von ~/7 denselben positiven Grad wie

El als Polynom von t. Setzen wir noch ~" = 47X2 - Y l v ~ , so ist ~ ' = al,

also: ~-2~-2 ' ~_ a~. Da ~i -2 = tX~ + Y?D + 2X2Yl~/ -~ , muss ~-]-2 eine Einheit

von K(q'-D- 0 sein, also: ~-2 = a2e~, 1~-21 = JEll = [E01/z. Mit lEO[ 2 = leal v gibt

das: leo[ 2 = leo[ u~, also #v = 2. # = 2, v = 1 liefert ~ = ao El, was bei dieser Form von E1 sicher falsch ist. Also muss # = 1, v = 2 sein, was ~q-2 = a2 eo, also

R I t [Ell = IE0[ oder ~ = 1 liefert. Da eo positiven Grad hat, E o aber negativen, kann

sich in eo nichts wegheben, so dass ItX~ + y2D[ = 1~21 = IEol isc Nun ist aber

tX 2 - Y~D = al. Also ist: ItX 2 + y2D I = ItX~l = leol = lea[. Also ist R1 und Ro ungerade.


Aus a = 1, also X2 = Y1 =- 0 oder el = XI (t2)+Y2(t2)tDv/-D~ folgt aber, dass

e-i- = X1 + Y 2 ~ eine Einheit in K ( ~ / ~ ) ist, also gi- = a2 e~ oder Igi-[ = leo I N. Mit 1~1 = [E0[ 2 = 1611 v = [~-]-[2v folgt: 160[ 2 = 1s # = v = 1, 16012 = Je l l ,

k~ _ 2. Hier ist R1 sicher gerade.

Wir haben also:

hD(t2 ) = h o ( t ) " h t o ( t ) wenn sgnD = g ist oder im Falle sgnD = 1 der

Regulator von K ( ~ ) ungerade. 1 hD(t2) = 2ho(t)"htD(t) wenn sgnD = 1 ist und der Regulator von

K ( ~ ) gerade.

Wir kehren zuriick zur Formel:

m--1

= 1-I Z(s + v=0

Sind also f t . die Wurzeln der algebraischen Gleichung rechts ftir Z(s), fig = pO, so sind (pm)O = fl~ die Wurzeln der linken Seite, da eine Vermehrung von 0 um

2rriv nichts ausmacht. m log p

Ist also

(m) = 0 fmtz) = Z n - 1 + a~m)z n-2 + a~m)z n - 3 - [ - ' ' " -]- (In_ 1

die algebraische Gleichung fiir die Nullstellen in Km (~v/D), wo der Index m auf das GF(p m) hindeuten soll, so gilt:

f m ( Z ) = (Z -- f lr~)(Z -- f i T ) . . . . . (Z -- flnm_l).

Insbesondere ist also a~ m) die negative m-te Potenzsumme der Wurzeln. Aus

w 22 (9) ql folgt fiir die Anzahl der Primideale yon K(x/-D):

E d Jr(pd ) = pm + ~m) dim

Ferner folgt leicht aus w 17 (3) II

O-~ m) =

dim [l,[=pd

Wenn gezeigt werden kann [all ~ An �9 p�89 ftirjedes noch so kleine 6, wo An eine h6chstens von n und 6 abh~ingige Zahl ist, so folgt daraus [a~m) I ~< An" pm(�89 und daraus leicht die Riemannsche Vermutung.

~libid., w 22, Gleichung (8), S. 229 bzw. 77 II ibid., S. 209 bzw. 57

26 E. Artin

Spezieller Fall einer kubischen Diskriminante:

D = t(t 2 - a) ; 0" I = Z l L l -oe J - - \ p = Y~'(~(~ - a) ) '

#o

1 .) - 1 Nichtquadrat. Wird ot durch -or ersetzt, so durchl~iuft die Gr6sse ot auch alle Werte. Also:

= y - ~ , ( - ~ ( o t 2 ~--~,(c~(~ 2 - a ) 0 " 1 - - \ p - a ) ) = _ _ _ , , p ) --0"1,

also 0-1 = 0. Die Nullstellen von Z(s) bezfiglich der algebraischen Zahlen sind also: /51 =

= - , / = 7 .

2.) - 1 Quadrat. Wir gehen tiber zu GF(p2), entstanden durch Adjunktion von v@.

(2) die negative Quadratsumme der Wurzeln ist, gilt: Da das 0-1

0-(2) = _0-? + 202 = - - 0 " ? + 2p.

Nun ist sicher ~ Nichtquadrat. Denn aus: (a + bx/~) 2 = ~/~ folgte: a 2 + bZg = 0, also a 2 = -b2g. Da - 1 Quadrat ist, geht das nicht.

(2) Betrachten wir also v '~ " D in GF(p2), so ist das zugeh6rige 0"1 einfach -0"1 nach w 17 (6)**. Durch die lineare Transformation v ~ t = tl geht aber nach Abspal- tung des Quadrates in GF(p 2) unser ~ D fiber in t(t 2 - ag). Die Diskriminante D1 = t (t 2 - ag) kommt aber schon in GF(p) vor. Nennen wir ihre dortige 0- Gr6sse

0---i-, so haben wit, da die von GF(p 2) _0"~2) ist:

_0"(2) = _~i-2 + 2p.

Also muss 0"12 + ~i 2 = 4p sein, also I0"11 ~< 2v'~. Dies ist aber die Riemannsche

folgt daraus die folgende arithmetische Vermutung.

Ffir Primzahlen v o n d e r Form 4k + I Folgerung:

Sei a irgend ein Nichtrest. Dann ist,

p-1

V=2

y = Y~., p v----'

Dabei ist x die ungerade, y die gerade Zahl.

gesetzt: x 2 .+_ y2 = p.

**ibid., S. 210 bzw. 58


Beispiel: Zahl 1 2 3 4 Restcharakter + + x + +

y + + -

x = 5 y = 2 5 2 + 2 2 = 2 9

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 + + + + +

+ + + + + + +

+ + + + + +

Weiteres Beispiel: Sei p von der Form 6k + 1. Dann gibt es kubische Nichtreste. a sei ein kubischer Nichtrest, der zugleich quadratischer Nichtrest ist.

Wir untersuchen D = t 3 - 1 und setzen D1 = t 3 - a. Die zugeh6rigen 0- m6gen wieder durch Uberstreichen gekennzeichnet werden:

r, 11 r,3-a] 0-* = ; = - - - . , , W , "

t 3 -- 1 hat entweder die eine Wurzel 1 oder 3 Wurzeln. Also ist 0-1 gerade, t 3 - a aber ist Primfunktion, so dass ~ ungerade ist. Jedenfalls ist o-1 + ~i- r 0.

Wir adjungieren ~ , das heisst die Restklassen modulo der Primfunktion t 3 - a, und erhalten ein GF(p3).

In GF(p 3) ist ~ d sicher Nichtquadrat. Denn ware dort ~ Quadrat, so ware dort auch a Quadrat. Da aber in GF(p) a Nichtquadrat ist und p in eine ungerade Potenz erhoben wird, ist a auch in GF(p 3) Nichtquadrat.

tl Die Diskriminante ~/S(t 3 - 1) ist nun, wenn man t = ~ setzt, in GF(p 3) nach

Abspaltung des quadratisehen Faktors ( ~ ) 2 aquivalent mit t 3 - a = Dx. Da ~ d

Nichtquadrat ist, ist also

~i-(3) = _0-~3)

Nun sind die 0-(3) die Summen der Kuben der Wurzeln (negativ), also:

0-(3) = + o . 3 _ 3o1o2 = 0 -3 - 3po-1,

~i -(3) = ~i 3 - 3 ~ 0-2 = o-T 3 - 3p~i.

Also gilt:

0-3 + ~i-3 = 3p(0-1 + ~-).

Wegen 0-1 + ~ r 0 kann dadurch dividiert werden, so dass man erhalt:

3p = 0-2 _ cq~- + ~-2,

also: 12p = (20-1 - ~i-) 2 + 3~] -2 und 12p = (2~]- - 0-1) 2 + 30- 2.

Somit 0-2 ~< 4p, also I0-11 ,< 2 4 ~ oder die Riemannsche Vennutung. Aus

12p = (2~i- - 0-1) 2 + 30- 2

folgt, dass 2~i - or1 durch 3 teilbar sein muss, also:

_ 1 2 ~ i - ~1 2. 4p = o-2 + 3~ ~ )

28 E. Artin

Da 20"1 - - ~ auch durch 3 teilbar ist, ist auch ~i- -I- (71 durch 3 teilbar. Also haben

_ / _ ~ i + cq )2 4p = %2 + 3~2 ~ o1

= (2~]- + o-1 - - + ~ -~ o - 1 - 2 o-I 3 + 3 2 ~ i - + o-13

wir:

o-1) 2 q- O'l 2 - - - - O'1 ( 2 ~ - i - - - O"1 = 4 [(---~--)- (~)(2o-1 )+\ ~_ )2].

Ffir Primzahlen p v o n d e r Form 6n + 1 hat man, wenn a irgend einen kubischen

Nichtrest bedeutet, der zugleich quadratischer Nichtrest ist:

P - I ( v 3 _ I ] x = F . , - - V - ,

v = 0 v3~l befriedigt: 3p = x 2 - xy + y2.

v = 0

Wenn nun p = 6k - 1 ist, ist p2 von der Form 6k + 1. Die Riemannsche Vermu- tung ist also ffir D = t 3 - l stets richtig. Ist D = t 3 - a, so bildet man ein solches GF(pn), dass D einen Linearteiler t - ot hat. Setzt man t = a t l , so geht dies fiber in c~3(t 3 - l). Eventuell durch Obergang zu a D erhalt man t 3 - l , also den vorigen

Fall.

Lineare Transformation

Die ganze lineare Transformation ist trivial und wurde oft verwendet. Es genfigt also, die gebrochene Transformation zu betrachten. Wir k6nnen sie uns in die Form

gesetzt denken: ~t+b mit ac + b ~= O. Sei nun P(t) eine Primfunktion r- ten Grades. Wir ordnen ihr zu die Primfunkti-

o n :

c) r t ~ _ c ) Q(t) =

P(a) wobei P(t) ~ t - a vorausgesetzt wird, so dass P(a) 7~ 0 ist. Man fiberzeugt sich leicht, dass dann Q(t) primar vom Grade r ist. Ware Q(t) keine Primfunktion, etwa:

( 1 - c ) r p ( ~ ) = Fl( t) . F2(t),

P(a)

wo FI den Grad rl und F2 den Grad r2 mit r l + r2 = r hat. Setzt man t = Ctl+b t l - - a ' SO

wird:

P(a) rl /Ct l + b \ (Cll -Jr- b ) P( t l ) = ac +--------~. ( t l - a ) f i ~ ) ( t l - a ) r 2 f 2 , l ~ _ a / ,

und eine der ganzen Funktionen rechts muss eine Konstante werden, etwa (tl - r I . [Ctl+b~ ~ , so wird: ( t - c ) rl �9 d a) FI~ t~-_a ! = d. Setz tman w i e d e r q = Fl(t) = ~ .

Da rl > 0 sein soll, mfisste also Q(t) teilbar sein durch t - c, also Q(c) =- 0. Eine


(ac+b)r, also, wegen ac + b # 0, Q(c) ~ O. direkte Rechnung zeigt aber Q(c) - P(a)

Wegen P ( a ) �9 Q(c) = (ac + b) r folgt, wenn man t durch ~t_~+ab ersetzt:

( t - a ) r Q ( ~ ) P ( t ) =

Q(c)

Es entspricht also jeder von t - a verschiedenen Primfunktion P (t) eine von t - c verschiedene Primfunktion Q(t) und umgekehrt.

Nun ist: [ D ] _ D ~ (mod P),

das heisst: IPI 1 [/~] = D - Z - + K( t )P ( t ) .

IPI-1 Da sich rechts alles wegheben muss, ist der Grad jedes Terms rechts n �9 2

Ersetzt man t durch ~t_~+cb und beachtet, dass links eine Konstante steht, in der also die Transformation nicht ausgeftihrt zu werden braucht, multipliziert man ferner

- n IPl 1 mit (t - c) " 2 und beachtet I P[ = [Q I, so wird, wenn Kl( t ) eine gewisse ganze Funktion ist:

IQI 1

( t - c ) n ~ [ D] = ((t -- c)nD(~_+cb)) 2 + K l ( t ) Q ( t ) .

Q~-I Wegen (t - c ) - 7 - = [ ~ ] haben wir:

1.) n ungerade:

t - c C ano[at+b~ n+l at+b [ D ] _ [ _ _ ~ _ ] . [ ( t - , , -7~-1] = - - [ ( t - c ) QD(7-z-d-)] (mod Q),

2.) n gerade:

[pD__]= [ ( t - Q ] (mod Q).

Wenn also 2k die n~ichstgr6ssere gerade Zahl zu n ist, also 2k = 2[~-~], und D1 (t) = (t - ~ x 2 k r ~ I a t + b ~ c) u~ t_-7?-! gesetzt wird:

Beim Obergang von D zu D1 werden die von t - a verschiedenen Primteiler von D einfach bis auf konstante Faktoren in von t - c verschiedene Primteiler von D1 transformiert, da mindestens mit (t - c) n multipliziert wird, was sich auf die verschiedenen Grade verteilt. Dabei geht ein eventueller Primteiler t - a tiber in ac + b, er geht also verloren. Wir erhalten also folgende Tabelle, w o n der Grad von D, nl der von D1 ist und wenn konstante Faktoren nicht berticksichtigt werden: 1 .) n gerade, D nicht teilbar durch t - a. Dann hat D1 lauter verschiedene von t - c verschiedene Primteiler, und es ist n - nl. 2.) n gerade, D genau einmal durch t - a teilbar. Dann ist in D1 genau der eine Linearteiler verloren gegangen, w~ihrend die tibrigen Primteiler von Dt von einander verschieden sind: nl = n - 1.

30 E. Artin

3.) n ungerade, D genau e inmal durch t - a teilbar. Da hier mit (t - c) n+l mult ipl i-

ziert wird, wird der verloren gegangene Primtei ler durch t - c ersetzt, w~ihrend die

tibrigen von t - c und von e inander verschieden sind. Hier ist: n l = n.

4.) n ungerade, D prim zu t - a. Alle Primtei ler gehen in verschiedene von t - c

verschiedene Primtei ler tiber, und es kommt noch genau ein t - c hinzu. Hier also

ist: n l = n + 1.

Jedenfall ist also mit D auch DI quadratfrei. Ferner ist 2k auch die zu n l n~ichst-

gr6ssere gerade Zahl. Setzt man nun statt t ~ , so erh~ilt man: (ac + b)2kD(t) =

(t - a)ZkD1 (ct+b] Wird also auf Da (t) die inverse Tranformat ion angewandt , so \ l - - a / " erhfilt man bis auf die ftir den K6rper unwesent l iche Konstante (ac + b) 2k (da sie ein Quadrat ist) wieder D(t).

Ftir die Zetafunkt ion hat man noch in D(t) die eventuel le Pr imfunkt ion t - a,

in D l ( t ) die Funkt ion t - c bei dem Produkt 1-I l_[Dll]plj ~. in Betracht zu ziehen.

M an hat dabei die Teilbarkeit der D durch diese Funkt ionen in Betracht zu ziehen.

Bedeuten aber Legendresymbole mit nicht pr imen Z~ihler und Nenner Null, so gilt jedenfal ls :

I - [ /~lc]p-S Z D ( S ) - - ZD1 (S).

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Quadratische körper über polynombereichen galois’scher felder und ihre Zetafunktionen