Quaderno 1 - unipr.it · 8.1.1.1 Generalizzazione di Brinch – Hansen (1970).....36 8.1.1.2 Condizioni non drenate (terreni coesivi)

Ing. Guido Bellagamba Allegretti

Quaderno 1

consolidazione cedimenti prova edometrica prove in sito: SPT CPT Cedimenti ammissibili Carico limite delle fondazioni Fattori di sicurezza

INDICE

1. CONSOLIDAMENTO ................................................................................................... 4

1.1 Determinazione del coefficiente di consolidazione Cv....................................... 6

1.1.1 Taylor .......................................................................................................... 6

1.1.2 Casagrande............................................................................................... 6

1.1.3 Metodo dipendente dalla permeabilità...................................................... 7

2. CEDIMENTI ................................................................................................................ 7

3. PROVA EDOMETRICA ................................................................................................. 8

3.1 Correzione di Schmertmann ............................................................................ 11

4. CALCOLO DEL CEDIMENTO EDOMETRICO................................................................ 12

4.1 Metodo operativo............................................................................................ 12

5. PROVE PENETROMETRICHE ....................................................................................... 13

5.1 PROVA SPT: Standard Penetration Test (PROVA PENETROMETRICA DINAMICA) ..... 13

5.2 PROVA CPT: Cone Penetration Test (PROVA PENETROMETRICA STATICA).............. 14

6. CEDIMENTI DI FONDAZIONI SU SABBIE ....................................................................... 16

6.1 METODO DI BURLAND E BURBIDGE..................................................................... 16

6.2 METODO DI SCHMERTMANN ............................................................................. 18

6.2.1 Metodo operativo..................................................................................... 19

6.3 ESEMPI APPLICATIVI ........................................................................................... 19

6.3.1 Esempio 1 (Burland e Burbidge) ................................................................ 20

6.3.2 Esempio 2 (Schmertmann)........................................................................ 23

6.3.3 Esempio 3 (Schmertmann)........................................................................ 26

7. COMPLESSO FONDAZIONE-SOVRASTRUTTURA............................................................ 28

7.1 Cedimenti ammissibili...................................................................................... 28

8. CARICO LIMITE DELLE FONDAZIONI DIRETTE............................................................... 31

8.1 Tipi di rottura del terreno................................................................................... 31

8.1.1 Rottura generale (formula trinomia del carico limite di Terzaghi - 1943)..... 34

8.1.1.1 Generalizzazione di Brinch – Hansen (1970)........................................ 36

8.1.1.2 Condizioni non drenate (terreni coesivi).............................................. 39

8.1.1.3 Considerazioni sull’equazione di Brinch Hansen .................................. 40

8.1.2 Punzonamento ......................................................................................... 41

8.2 Fattore di sicurezza Fs....................................................................................... 42

8.3 Esempi applicativi ........................................................................................... 43

8.3.1 Esempio 1 ................................................................................................ 43

8.3.2 Esempio 2 ................................................................................................ 45

8.3.3 Esempio 3 ................................................................................................ 46

8.3.4 Esempio 4 ................................................................................................ 48

8.3.5 Esempio 5 ................................................................................................ 49

8.3.6 Esempio 6 ................................................................................................ 50

8.3.7 Esempio 7 ................................................................................................ 51

Ing. Guido Bellagamba Allegretti Quaderno 1

3

9. Appendice I – La formula trinomia.......................................................................... 52

10. Appendice II – Altre espressioni dei coefficienti della formula trinomia................. 54


4

1. CONSOLIDAMENTO

È il fenomeno con cui, applicando un carico ad un terreno, questo si trasferisce al suo

scheletro “passando” per l’acqua. Più il terreno è permeabile e minore è il ruolo giocato

dall’acqua. Quando invece si ha a che fare con basse permeabilità (k<10-8 m/s) il

carico, appena applicato, agisce sull’acqua in toto. Solo a seguito dell’allontanamento

di quest’ultima (moto filtrazioni – condizioni drenate), entra in gioco lo scheletro del

terreno. Quindi inizialmente cresce con lo sforzo totale anche la pressione neutra (per

effetto del carico applicato).

Con la filtrazione, a carico costante, diminuisce la pressione nutra e cresce la tensione

efficace. Il processo di consolidazione ha termine quando la pressione neutra è tornata

in condizioni idrostatiche e le tensioni efficaci sono pari alle totali. Un modello che spiega

bene il fenomeno è costituito da un recipiente pieno di acqua, superiormente chiuso da

un pistone (dotato di valvola per fare uscire acqua), con una molla interna (a contrasto

fra fondo recipiente e pistone superiore)

Questo fenomeno, molto veloce con terreni aventi elevata permeabilità e lento per

basse permeabilità, è accompagnato da cedimenti dovuti in prima istanza

all’allontanamento dell’acqua e al movimento relativo dei grani ed in seconda analisi a

fenomeni deformativi differiti nel tempo dello scheletro del terreno (effetti viscosi legati

anche alla rottura dei grani).

Ridurre al minimo questi cedimenti e quindi capirne l’evoluzione, ha la conseguenza di

portare in sicurezza la costruzione delle strutture.

Va da sé che il problema è più sentito per bassi valori di permeabilità, dove la risoluzione

sta nella riduzione del percorso del moto di filtrazione.

In via analitica le ipotesi assunte per risolvere il problema della consolidazione sono:

1) terreno continuo, incomprimibile, omogeneo e saturo;

2) acqua incomprimibile;

3) deformazioni infinitesime;

4) validità legge di Darcy.

Risultato della trattazione analitica è l’equazione della consolidazione

monodimensionale di Terzaghi da cui è ricavabile il cedimento ρ(t) durante il processo di

consolidazione:


5

[ ] ∫∫ −=−∆= ∞

HH

vvv dztzumdztzumt

2

0

2

0

),(),()( ρσρ

Dove:

'

1vv

e

em σ∆⋅

+

∆−= è i coefficiente di comprimibilità ( '

vvv m σε ∆⋅= )

'

vσ∆ è l’incremento di tensioni totali per effetto del carico costante

),(),( vv Tftzu σ∆= pressione interstiziale dell’acqua in fase transitoria, con 2

H

tCT v

v

⋅= (H

spessore strato consolidato)

Normalizzando l’equazione del cedimento, si ottiene il rapporto ∞

=ρ

ρ )()(

ttU (sempre

minore dell’unità), detto grado di consolidazione (dove ρ∞ è il cedimento a tempo

infinito, quindi a fine consolidazione).

Questa è una curva adimensionale, valida per ogni tipo di terreno, con andamento tipo

quello riportato nella figura a seguire:

Diagramma del grado di

consolidazione nel tempo

dove : U=0.3 ⇒ TV = 0.196 = T50

U=0.8 ⇒ TV = 0.848 = T90

Con questa curva, noto il cedimento totale ρ∞ , si può stimare in quanto tempo Tv si avrà

il cedimento ρ(t).

Unico problema che rimane è la determinazione di Cv (coefficiente di consolidazione).

Due sono i modi più diffusi: Taylor e Casagrande.


6

1.1 Determinazione del coefficiente di consolidazione Cv

Entrambi i metodi (Taylor e Casagrande) si basano sulle risultanze sperimentali della

prova edometrica, che verrà trattata al paragrafo 3.

Comunque sono sottostime di quelli reali in sito (e quindi a favore di sicurezza) perché la

filtrazione è più veloce in sito che nel provino (size effect).

1.1.1 Taylor

Dalla prova edometrica si ricava il diagramma tt −)(ρ (analogo a quello dimensionale

della figura precedente).

Si osserva che fino al 60% della consolidazione, tale relazione è pressoché lineare.

Se si considera un punto qualsiasi della retta di interpolazione (del tratto iniziale) e lo si

maggiora del 15% (quindi si considera l’ascissa di un punto della retta e la si maggiora di

1.15 volte) si individua una seconda retta, passante per questo punto e l’origine.

Dove questa seconda retta interseca la curva sperimentale si trova un cedimento pari al

90% di ρ∞, definito al tempo t90. con alcuni passaggi matematici si ottiene:

90

90

2

90

2

90 848.0848.09.0

t

TH

t

HCvTU v

v

⋅=

⋅=⇒=→==

∞ρ

ρ

1.1.2 Casagrande

Dalla prova edometrica si ricava il diagramma tt log)( −ρ , come riportato nella figura a

seguire, dove:

AB: consolidazione primaria per flusso transitorio;

CD: consolidazione secondaria per effetti transitori.


7

Per consolidazione si considera la sola legata a cedimenti elasto-plasctici, che trova

quindi termine nel punto B.

Poi si mette in relazione il tempo t per ottenere ρ50, cioè t50 quindi:

50

50

2

50

2

50 197.0197.05.0

t

TH

t

HCvTU v

v

⋅=

⋅=⇒=→==

∞ρ

ρ

1.1.3 Metodo dipendente dalla permeabilità

Si determina il coefficiente di permeabilità K del terreno e poi:

wv

vm

KC

γ⋅= dove

v

vH

mσ

ρ

∆⋅= ∞

2

2. CEDIMENTI

Con cedimento di una fondazione superficiale si intende l’abbassamento del piano di

posa a causa di deformazioni del terreno sottostante. Cause di ciò possono essere:

carichi trasmessi al terreno, oscillazioni della falda, vibrazioni di qualsiasi natura.

Lo studio dei cedimenti sia assoluti che differenziali deve poter giungere a garantire la

compatibilità dei medesimi con la statica e la funzionalità della sovrastruttura.

Quando avviene un cedimento si individuano tre momenti:

1 cedimento immediato: è di interesse pratico per i terreni di media ed elevata

plasticità, dove possono svilupparsi sensibili deformazioni di taglio per effetto di

plasticizzazioni locali e deformazioni viscose in condizioni non drenate;

2 cedimento primario o di consolidazione: rappresenta quasi sempre l’aliquota

predominante e che quindi influenza le considerazioni progettuali;

3 cedimento secondario o viscoso: può essere significativo per terreni organici o in caso

in cui il cedimento primario avvenga molto rapidamente (ed esempio per effetto di

dreni verticali).


8

La differente permeabilità che distingue i terreni a grana fine da quelli a grana grossa, fa

sì che questi ultimi si comportino come sistemi drenati, in cui l’applicazione di carichi ha

effetto sulle pressioni interstiziali per brevi lassi temporali. L’equilibrio originale quindi, in cui

il carico si trasferisce interamente allo scheletro solido del terreno (variazioni di tensioni

totali ed efficaci coincidono, essendo la pressione dell’acqua ancora con distribuzione

idrostatica) si ristabilisce agilmente, in tal modo il moto di filtrazione transitorio può ritenersi

trascurabile. Perde dunque di significato la distinzione fra cedimento immediato e

cedimento primario, che di seguito verranno chiamati col solo termine di cedimento

iniziale (dovuto a deformazioni di natura elasto-plastica), a cui farà seguito il secondario

(deformazioni viscose).

A seguire si considerano alcuni metodi sperimentali per definire i cedimenti, assieme alle

relative trattazioni analitiche.

3. PROVA EDOMETRICA

È una prova che riproduce in laboratorio le condizioni di consolidazione

monodimensionale. Consiste nell’applicare ad un provino confinato lateralmente e

contrastato alle estremità da due pietre porose, una sequenza di carichi in modo che le

deformazioni ed il flusso d’acqua avvengano nella sola direzione verticale. Il provino,

durante la prova, è immerso in acqua per simulare in fase discarico il rigonfiamento.

La difficoltà a prelevare campioni in sabbia, fa sì che tale prova risulti più diffusa per le

argille. Le argille, avendo bassi valori di permeabilità, saranno soggette a steps di carico


9

“lenti” nel tempo (24h) per garantire l’espulsione dell’acqua e dunque il ripristino delle

condizioni idrostatiche nel campione.

Di interesse è la consolidazione primaria: la secondaria è rilevante solo in casi particolari

come terreni a componente organica o simili.

Posto 0H

Hv

∆=ε il diagramma viene in genere, riportato in scala semilogaritmica (εv , log

σv’), per una più immediata lettura, come si vede nei due esempi di seguito riportati,

relativi al medesimo terreno:

Il diagramma mantiene qualitativamente lo stesso andamento se al posto della

deformazione relativa εv si considera l’indice dei vuoti e:unica differenza è che l’asse è

rivolto verso l’alto (all’aumentare del carico, la deformazione cresce e l’indice dei vuoti

diminuisce).

Nel diagramma sono distinguibili alcune parti:

AB: ricompressione, dove:

rapporto di ricompressione 0

' 1log e

CRR r

v

v

+=

∆

∆=

σ

ε

indice di ricompressione '

log v

r

eC

σ∆

∆−= ;

BC: compressione, deformazioni sia elastiche (modeste) sia plastiche, dove:

rapporto di compressione 0

' 1log e

CCR c

v

v

+=

∆

∆=

σ

ε


10

indice di compressione '

log v

c

eC

σ∆

∆−= ;

CD: scarico o rigonfiamento, recupero della sola deformazione elastica, dove:

rapporto di rigonfiamento 0

' 1log e

CSR s

v

v

+=

∆

∆=

σ

ε

indice di rigonfiamento '

log v

s

eC

σ∆

∆−= ;

DC’: ricompressione;

CF: compressione.

Dal diagramma '

vv σε − si ricavano:

coefficiente di compressibilità '

v

v

vmσ

ε

∆

∆=

modulo edometrico v

v

vmM

ε

σ

∆

∆==

'1

indice di compressibilità '

v

v

ea

σ∆

∆−=

Un terreno NC si comporterà secondo la curva ABC (dove '

pσ rappresenta le condizioni

litostatiche in loco, azzerate a seguito del prelievo del provino); un terreno OC invece

avrà andamento secondo la DC’F. Contrariamente alle fasi di compressione, durante le

ricompressioni le deformazioni sono modeste.

Il valore di '

pσ in B, pressione di preconsolidazione, è la massima tensione a cui è stato

sottoposto il terreno (Casagrande), determinabile come segue:

1) nel punto di massima curvatura si tracciano orizzontale, tangente e loro bisettrice;

2) l’intersezione della bisettrice con il prolungamento del tratto di compressine

fornisce '

pσ cercato.


11

Noto '

pσ per via sperimentale e calcolato in via analitica il valore di tensione efficace

'

0vσ si può definire il grado di sovraconsolidazione OCR (Over Consolidation Ratio):

⇒>

⇒===

OC

NCOCR

v

p

1

1'

0

'

σ

σ

Dove '

0vσ rappresenta il carico litostatico in sito.

L’OCR (insieme a K0) descrive in termini quantitativi la storia tensionale di un deposito.

3.1 Correzione di Schmertmann

Schmertmann ha proposto una correzione dei risultati delle prove edometriche in modo

da avere una stima più affidabile dei parametri geotecnici in sito.

1) definizione di Cr (indice di ricompressione) con un ciclo di carico-scarico;

2) dal punto A=( 0

'

0 ,evσ ), che rappresenta le condizioni in sito, si traccia retta con

pendenza Cr;

3) si traccia la retta dal punto C (appartenente alla retta del punto 1) e per cui

''

0 pv σσ = ), al punto D (corrispondente all’indice dei vuoti 0.42e0 – punto di

convergenza sperimentale delle curve edometriche);

4) si diagramma ∆e in funzione delle tensioni '

vσ , sia la sperimentale che la ricostruita

5) si considera '

pσ quando il diagramma al punto 4) è simmetrico rispetto a

'

pσ stesso.

Con questa correzione in genere si ha un incremento di '

pσ dell’ordine del 15±5%.


12

4. CALCOLO DEL CEDIMENTO EDOMETRICO

Questo metodo di calcolo dei cedimenti, valevole per argille, si applica al caso di

carico esteso su terreno omogeneo (per ipotesi di monodimensionalità).

Operativamente quindi si determina la tensione efficace '

0vσ nello strato di terreno (se lo

spessore è elevato si suddivide il medesimo in più strati) e la si confronta con la tensione

di preconsolidazione '

pσ .

Nel caso di terreni preconsolidati (OCR>1), si avrà

∆+⋅+⋅⋅=∆

'

''

0

'

0

'

0 loglogp

vv

v

pCRRRHH

σ

σσ

σ

σ

Sempre per i terreno preconsolidati, nel caso in cui il carico trasmesso non sia sufficiente

a superare la tensione di preconsolidazione, cioè '''

0 pvv σσσ <∆+ , quindi le deformazioni

avvengono nel tratto di ricompressione:

'

0

''

00 log

v

vvRRHHσ

σσ ∆+⋅⋅=∆

Nel caso di terreni normalconsolidati (OCR=1), si avrà ''

0 pv σσ = e le deformazioni

avverranno nel solo tratto di compressione:

'

0

''

00 log

v

vvCRHHσ

σσ ∆+⋅⋅=∆ .

4.1 Metodo operativo

1) suddivisione del terreno in strati;


13

2) calcolo delle tensioni efficaci litostatiche in mezzeria agli strati;

3) valutazione degli incrementi di tensione a seguito dell’applicazione del carico, nei

vari strati, ipotizzando la crescita lineare dell’impronta di carico con la profondità;

4) determinazione con procedura sperimentale dei parametri edometrica e della

tensione di preconsolidazione;

5) calcolo delle deformazioni dei singoli strati;

6) definizione del cedimento come sommatoria delle deformazioni elementari dei

vari strati.

5. PROVE PENETROMETRICHE

Le prove penetrometriche possono essere fatte sia in via statica che dinamica.

Le prove vanno spinte fino a profondità dove risulta ancora significativo il contributo delle

tensioni trasmesse dai carichi.

5.1 PROVA SPT: Standard Penetration Test (PROVA PENETROMETRICA DINAMICA)

Questa prova consente di determinare la resistenza di un terreno a seguito della

penetrazione dinamica dal fondo foro di un sondaggio di un campionatore.

Si fa cadere un maglio da 63.5 kg, da un’altezza di 760 mm su una batteria di aste

all’estremo inferiore della quale è posto il campionatore (diametro esterno di 51 mm,

interno di 35 mm ed altezza di 457 mm).

Il numero di colpi per ottenere una penetrazione di 300 mm (dopo la penetrazione

quasi-statica per gravità e dopo i 150 mm di infissione dinamica di posizionamento) è il

dato assunto come resistenza alla penetrazione, indicato con NSPT.

Vantaggi della prova sono:

- economicità e diffusione;

- versatilità con ogni tipo di terreno;

- permette il prelievo di campioni.

Lo svantaggio prevalente è invece il fatto che l’applicazione dinamica dei carichi non

simula la realtà in opera, dove i carichi possono ritenersi statici, quindi le uniche

correlazioni con i parametri geotecnici che si possono fare sono di natura empirica.

Se durante la prova, 100 colpi non bastano per avere la penetrazione di 300 mm, la

prova viene interrotta.


14

La frequenza di battitura (30 colpi/min) non deve essere eccessiva per permettere il

ristabilirsi di condizioni di equilibrio fra due battiture successive.

Nel caso di sabbie fini e sabbie limose sotto falda, qualora NSPT > 15, il valore misurato

verrà “corretto” secondo le indicazioni di Terzaghi-Peck, per depurarlo dai possibili effetti

delle sovrapressioni neutre generatesi durante l’infissione:

NCORRETTO = 15+0.5(N-15)

Altra correzione che si può impiegare è nel caso di terreni ghiaiosi o sabbioso ghiaiosi:

NSPT* = 1.25 N

5.2 PROVA CPT: Cone Penetration Test (PROVA PENETROMETRICA STATICA)

Consiste nell’infiggere a pressione enl terreno una punta conica, misurando con

continuità lo sforzo necessario alla penetrazione di punta (qc) e l’adesione tereno-acciaio

in un manicotto posto sulla punta (qs). Qualora la punta sia dotata di un settore poroso,

la misura risulta integrata con valori di pressione.

SPT

CPT

Questa prova serve per:

- costruire stratigrafie (e quindi definire i terreni attraversati);

- misurare l’angolo di attrito e la compressibilità drenati di terreni granulari;

- definire la resistenza a taglio non drenata di terreni coesivi;


15

- livello di falda e grado di consolidazione.

Il tipo di dati forniti dalla prova sono:

Resistenza alla punta qc = Qc x Ac (Qc carico assiale sul cono; Ac area di base del cono);

Attrito laterale fs = Qs x As (Qs forza di attrito per infiggere il cono; Ac area laterale del

manicotto);

Spinta totale Qt (forza per spingere aste e punta);

Resistenza per attrito totale Qst = Qt + Qc;

Friction Ratio Rf = 100 x fs / qc (%).

Il manicotti ha superficie laterale di 1.5x104 mm2.

L’infissione della punta avviene con una velocità di 20 mm/s.

Esempi di diagrammi della prova in esame sono riportati a seguire.


16

6. CEDIMENTI DI FONDAZIONI SU SABBIE

Non potendo prelevare campioni indisturbati, quando si ha a che fare con materiali

granulari si farà uso delle prove in sito, con particolare attenzione alle prove

penetrometriche sia dinamiche che statiche (di cui sopra).

6.1 METODO DI BURLAND E BURBIDGE

Sia w il cedimento esprimibile con la relazione:

C

I

IqZ

w '=

dove:

7.0BZ I = : zona di influenza del carico che si estende fino ad una profondità dove il

cedimento è pari a 25% del cedimento superficiale;

4.1

7.1

NI C= : indice di compressibilità (anche definibile come variazione di indice di vuoti su

variazione di tensioni efficaci);

q ‘ :carico uniforme trasmesso da una fondazione quadrata.

Esplicitando i termini, si ottiene il cedimento w (in mm) di una sabbia normalconsolidata:

CIBqw ⋅⋅= 7.0'

Se la fondazione si trova ad una profondità da p.c. ove è presente una tensione

litostatica '

0vσ , l’equazione diventa, nella sua forma generalizzata:

CvC

v IBqI

Bw ⋅⋅−+⋅⋅= 7.0'

0

'7.0'

0 )(3

σσ

Dove il primo termine si riferisce al tratto di ricompressione caratteristico di un

comportamento elastico del terreno (finché non raggiunge lo stato tensionale pari a

quello litostatico in sito), mentre il secondo termine si riferisce alla curva di carico (per

carichi applicati superiori a quelli litostatici a parità di profondità). Se il terreno è

sovraconsolidato, l’equazione sopra si mantiene valida, con l’unico accorgimento che al

posto di '

0vσ si troverà '

pσ , tensione di preconsolidazione (si ricordi il diagramma

semilogaritmico delle prove edometriche). L’espressione è una forma generalizzazione

del problema: se infatti si considera una sabbia NC (per cui non esiste una tensione di

preconsolidazione '

pσ ) cioè '

0vσ = '

pσ =0 e l’equazione si riporta al primo caso.


17

Nel tratto di ricompressione l’indice di compressibilità è considerato pari ad 1/3 di quello

del tratto di compressione.

Di fatto, il '

0vσ del primo termine, è anche esso un delta di tensioni: '

0vσ -0, dove lo 0 è lo

stato tensionale ad inizio prova (scarico).

Il valore di N impiegato nella definizione di IC è la media dei valori di NSPT ricavati con

prove SPT per una profondità pari alla zona di influenza: i

N

N iZi

i∑⊂

= .

Applicando il metodo secondo le indicazioni su esposte, il risultato ottenuto è il valore del

cedimento iniziale, inteso come somma dell’immediato e del primario (legato alla

consolidazione), nel caso specifico di fondazione quadrata e con spessore dello strato di

appoggio comprimibile H maggiore della zona in influenza.

Applicando tre fattori correttivi si ottiene la generalizzazione del metodo di Burland e

Burbidge:

fs) fattore di forma della fondazione:

se 1

25.0

25.1

1

2

>

+

=⇒>

B

LBf

B

Ls

questo fattore ha coma massimo valore 1.56 nel caso di fondazioni nastriformi;

fH) fattore di altezza dello strato comprimibile:

se 1)2(7.0 <−=⇒=<II

HIZ

H

Z

HfBZH ;

ft) fattore per effetti differiti nel tempo (per t>3 ann):

)3

log1( 3

tRRf t ⋅++= ;

dove R3 = 0.3 e R = 0.2 per carichi statici

R3 = 0.7 e R = 0.8 per carichi ciclici

(NOTA: il logaritmo è in base 10).

Con tali fattori, quindi l’espressione generalizzata del cedimento diviene:

⋅⋅−+⋅⋅⋅⋅⋅= Cv

CvtHs IBq

IBfffw

7.0'

0

'7.0'

0 )(3

σσ


18

Quello trovato applicando la formula sopra riportata rappresenta un valore medio di

cedimento. Per riportarsi al valore massimo di cedimento che ci si può attendere, si

deve moltiplicare tale valore per 1.5.

6.2 METODO DI SCHMERTMANN

È un metodo di calcolo dei cedimenti in asse ad una fondazione in terreni non coesivi

con l’impiego dei risultati derivanti dalle prove CPT.

L’espressione generica del cedimento assume la forma:

∑∆⋅

⋅∆⋅⋅=H

z

E

zIqCCs

0'

'

21

Dove:

)( '

0

''

vqq σ−=∆ = pressione efficace netta, quindi sovrappressione rispetto al carico

litostatico dovuta alla fondazione ( '

0vσ );

'

0vσ = tensione verticale efficace agente alla quota di imposta della fondazione;

C1 e C2 sono due coefficienti che tengono conto rispettivamente dell’approfondimento

relativo della fondazione rispetto al p.c. e del tempo t (espresso in anni), secondo le

seguenti relazioni:

)1.0

log(2.01

5.05.01

2

'

'

0

1

tC

qC v

⋅+=

≥∆

−=σ


19

Iz è il coefficiente di influenza. Esso varia con la geometria della fondazione (L/B), con la

pressione applicata (q’) e con l’approfondimento relativo della fondazione (e quindi con

la tensione verticale efficace agente '

0vσ ), secondo il diagramma precedente.

Il modulo di deformazione E’ deriva dalle prove CPT e per esso si può assumere:

E’ = 2.5 qc per fondazioni quadrate o circolari

E’ = 3.5 qc per fondazioni nastriformi.

Alcuni autori formalizzano il legame fra E e qc con la relazione:

⋅−+= 11.0)1(5.2

B

LqE c

6.2.1 Metodo operativo

1) calcolo dei valori di C1 (con '

0vσ al piano di imposta della fondazione = γ x D), C2

(predefinendo la vita dell’opera, assumibile come 30 anni) e ∆q’ = q’ - '

0vσ .

2) Definizione della profondità della zona di influenza, in base alla tipologia di

fondazione (rapporto L/B). Nei casi intermedi a quelli graficati, si opera per

interpolazione;

3) Suddivisione della zona di influenza in strati, in funzione della regolarità del

diagramma derivante dalla prova CPT. In tali strati si considereranno costanti i

valori di Izi ed Ei’;

4) Definizione del valore Izmax e della profondità a cui si trova dal piano di imposta

della fondazione;

5) Definizione dei due punti di origine e fine della bilatera e determinazione

dell’equazione delle rette passanti per tali punti;

6) Calcolo del valore di Izi a metà di ogni strato (nota la profondità, con le rette del

punto 5 si trova il valore cercato);

7) Visto che ogni strato è stato definito “per omogeneità di qc”, si estrae dal

diagramma della CPT il valore di qc “costante” nello strato definito;

8) Si calcola il modulo di Young E in base ai dati di progetto;

9) Dalla tabella predisposta si può quindi ricavare il cedimento atteso.

6.3 ESEMPI APPLICATIVI

Si riportano a seguire alcuni esempi di calcolo dei cedimenti secondo i due metodi

riportati nei paragrafi 6.1 e 6.2. i primi due studiano la stessa fondazione nei due metodi

di calcolo. I dati di questi due problemi sono:


20

fondazione quadrata di lato B=2.5 m

piano di imposta della fondazione a -1.50 m da p.c.

terreno: sabbia medio fine con ρ = 1900 kg/m3

carico trasmesso dalla fondazione q’ = 200 kPa.

6.3.1 Esempio 1 (Burland e Burbidge)


21


22


23

6.3.2 Esempio 2 (Schmertmann)


24


25


26

6.3.3 Esempio 3 (Schmertmann)


27


28

7. COMPLESSO FONDAZIONE-SOVRASTRUTTURA

Due sono le domande da porsi:

1) quali saranno i cedimenti prevedibili?

Diversi sono i diversi tipi di approccio (empirico-probabilistico o approssimato), tutti

caratterizzati da notevole empirismo e generale sovrastima delle distorsioni.

Le conclusioni che però si possono trarre sono:

- in terreni incoerenti i cedimenti assoluti sono contenuti, mentre sono rilevanti i

cedimenti relativi (viceversa per i terreni coerenti). Questo a causa della ridotta

compressibilità e della spiccata eterogeneità dei terreni a grana grossa.

- A parità di cedimento, la rotazione relativa aumenta passando da fondazioni

continue a fondazioni isolate e da terreni a grana fine a terreni a grana grossa.

- Fra fondazioni dirette e fondazioni su pali, ciò che cambia è l’entità dei cedimenti,

più ridotta per queste ultime.

2) Questi cedimenti saranno accettabili?

Diversi autori hanno proposto valori di riferimento ammissibili per cedimenti relativi ed

assoluti. L’eterogeneità di tali limiti è legata alla soggettività del “danno accettabile”. In

generale si considerano i valori più restrittivi laddove devono prevalere criteri di estetica e

funzionali (edifici nuovi, pregiati destinati a civile abitazione o uso pubblico), mentre valori

più elevati sono accettabili per edifici industriali.

7.1 Cedimenti ammissibili

La definizione del danno subito da una struttura a seguito di un cedimento non è

un’operazione univoca in quanto deriva da molteplici fattori legati alla struttura, alla sua

destinazione ed a considerazioni economiche.

Non necessariamente il danno è univocamente inteso in termini di comparsa di crepe e

fessure, ma in una sua accezione più ampia, bisogna considerare anche le modifiche

dell’assetto d’insieme in relazione alla destinazione e funzionalità della struttura e delle

sue parti.

La definizione dunque dei valori di soglia dei cedimenti da prendere in riferimento per

evitare danni strutturali può avvenire solo per via empirica, sulla base di molteplici

osservazioni su casi reali.


29

In quest’ottica è necessario definire i parametri di distribuzione dei cedimenti nello spazio

che verranno presi in considerazione per queste valutazioni empiriche.

Rotazione relativa β: rotazione subita da una retta congiungente due punti di riferimento,

una volta scorporata la rotazione rigida ω della struttura.

La distorsione angolare α è definita come:

BC

cB

AB

AB

L

ss

L

ss −+

−=α .

L’inflessione relativa ∆ indica il massimo cedimento riferito alla congiungente di due punti

di riferimento a distanza L ed il rapporto ∆/L è indicato come rapporto di inflessione.

Alcuni esempi di cedimenti ammissibili sono di seguito riportati.

Strutture a telaio in c.a. β rotazione relativa

Tamponature ≤1/300 ≤1/500

Strutture portanti - telaio ≤1/150 ≤1/200

Skempton-Mc Donald Poshin-Tokar


30

Per le strutture in muratura non armata, Burland-Wroth hanno proposto per il rapporto di

inflessione i seguenti valori limite prima di raggiungere la fessurazione:

5104

1102

4

4

=⋅≤∆

=⋅≤∆

−

−

H

Lper

L

H

Lper

L

Definiti i valori di soglia, il problema è poi di definire i cedimenti differenziali. Benché sia

relativamente attendibile la previsione di un cedimento totale di una struttura, altrettanto

non può dirsi per i cedimenti differenziali, dipendendo questi ultimi da fattori come la

rigidezza della struttura ed eterogeneità del terreno.

Per definire quindi i cedimenti differenziali, la strada accettata è quella di impiegare

correlazioni fra i cedimenti relativi ed il cedimento massimo osservato.

Per quanto riguarda i valori limite del cedimento S, Grant et al. hanno proposto:

terreni sabbiosi Terreni coesivi Smax (mm)

formula con 500/1=β formula con 500/1=β

Plinti max15000 β⋅ 30 max30000 β⋅ 60

Platee max18000 β⋅ 36 max35000 β⋅ 70

In aggiunta a queste correlazioni si può dire:

terzaghi-peck, per fondazioni su sabbie, hanno posto il cedimento differenziale in termini

del 75% di quello totale, con un minimo a 25 mm;

Skempton e Mac Donald, per strutture ordinari fondate su sabbia, pongono il massimo

cedimento tollerabile in termini di 40 mm per fondazioni isolate e 40-65 mm per platee,

con un cedimento differenziale massimo di 25 mm. Nel caso di terreni di natura

argillosa, il cedimento differenziale massimo sale a 40 mm ocn cedimenti massimi di 65

e 65-100 mm rispettivamente per plinti e platee.

Altri autori hanno fornito valutazioni su strutture esistenti. I parametri da questi riportati

devono sempre essere presi come “ordine di grandezza” dei fen2omeni in studio.

Quando i cedimenti previsti superano quelli ammissibili si può intervenire in diversi modi:

1) cambiare tipo di fondazione (magari con l’impiego di pali);

2) modificare la struttura (più o meno rigida. La previsione di un piano seminterrato è

in grado di compensare circa 4 piani fuori terra);


31

3) modificare le fondazioni (più rigide laddove siano presenti cedimenti differenziali);

4) migliorare le proprietà dei terreni (impiego di rilevati di precarico, oppure costruire

su rilevati strutturali, addensamento meccanico con rullatura, drenaggi

verticali,….).

8. CARICO LIMITE DELLE FONDAZIONI DIRETTE

Immaginiamo di applicare ad una fondazione un carico verticale Q e di far crescere

gradualmente questo carico, osservando al contempo il cedimento verticale w della

fondazione.

Il cedimento cresce dapprima col carico secondo una legge lineare e poi con un

gradiente crescente fino a raggiungere una fase finale dove a piccoli incrementi di

carico si hanno elevate deformazioni.

La curva carico-cedimento tende ad un asintoto (parallelo all’asse del cedimento) il cui

valore di carico è indicato come carico limite Qlim del complesso terreno-opera di

fondazione. La capacità limite quindi rappresenta la pressione che, applicata alla

fondazione, provoca la rottura del terreno.

8.1 Tipi di rottura del terreno

Due sono fondamentalmente i tipo di rottura del terreno:

1) rottura generale: caratterizzato dalla formazione di una superficie di scorrimento.

Il terreno sottostante la fondazione rifluisce lateralmente e verso l’alto. Il terreno

circostante la fondazione quindi subisce un sollevamento e si può osservare

l’emersione della superficie di scorrimento. A questo meccanismo corrisponde un

comportamento della fondazione di tipo plastico o fragile, accompagnato da

una rotazione della fondazione.


32

2) punzonamento: caratterizzato dall’assenza di una superficie di scorrimento

definita. Il terreno sottostante la fondazione si comprime (diminuzione della

porosità). Il terreno circostante la fondazione si abbassa, attenuandosi con

l’allontanamento dalla fondazione stessa. A questo meccanismo corrisponde un

comportamento della fondazione di tipo plastico con incrudimento (i cedimenti

crescono col carico, senza raggiungere un valore preciso di carico limite), dove si

individuano piano di taglio subverticali, accompagnati da affondamento della

struttura senza sollevamento del terreno.

Fra i due meccanismi di cui sopra è la rottura locale, intermedia nelle manifestazione e

nell’interpretazione. La compressibilità del terreno al di sotto della fondazione ha

importanza rilevante, ma allo stesso tempo si verifica anche la formazione di superfici di

scorrimento che terminano all’interno della massa di terreno, senza cioè emergere in

superficie (come per la rottura generale).


33

I meccanismi di rottura dipendono da diversi fattori, quali:

- caratteristiche del terreno (tipologia ed addensamento e quindi densità relativa DR);

- profondità del piano di posa della fondazione (o approfondimento relativo D/B).

La rottura generale avviene in terreni addensati e per fondazioni superficiali mentre la

rottura per punzonamento in terreni poco densi e fondazioni profonde.

La figura a seguire mostra che nel caso di un terreno sabbioso ad elevata densità

relativa, una fondazione superficiale arriva al collasso secondo una rottura generale; la

stessa fondazione arriva a collasso per punzonamento se posta su sabbia sciolta

(diminuzione di DR). inoltre una fondazione su sabbia densa arriva a rottura seguendo il

meccanismo di rottura generale se posta in superficie o a profondità relative D/B

modeste, mentre il punzonamento si verifica con elevati valori di profondità del piano di

posa.

Rotture per punzonamento sono inoltre possibili quando, al di sotto dello strato di sabbia

densa, si trova un terreno più compressibile (sabbia sciolta o argilla tenera)


34

8.1.1 Rottura generale (formula trinomia del carico limite di Terzaghi - 1943)

Si verifica in terreni poco deformabili (sabbie addensate, argille consistenti), dove le

condizioni non drenate permettono deformazioni senza variazioni di volume. Il

medesimo fenomeno può avvenire con variazione di volume, in tal caso però il

fenomeno predominante non è la compressione, bensì lo scorrimento (deformazione da

taglio).

Nei terreni sabbiosi si assume che realizzi la rottura generale quando l’indice di rigidezza Ir

(definito nel paragrafo 8.1.1.3) risulta superiore ai valori critici del medesimo indice.

Definito il tipo di rottura, si calcola la capacità portante del terreno come di seguito

descritto.

Si consideri una fondazione su terreno omogeneo, con forma in pianta di striscia

indefinita (B<L/5), in modo da trattare il problema in condizioni di deformazioni piane.

Il piano di posa della fondazione e la superficie del terreno siano orizzontali ed i carichi

verticali e centrati.

Il terreno fra piano di posa e p.c. viene considerato solo come carico (γ1xD).

Il terreno sottostante è caratterizzato da coesione c e da angolo di attrito φ.

La complessità del problema, insieme al numero di variabili in gioco, ha permesso di

definire il comportamento dei terreni solo relativamente a casi semplici. L’assunzione

dell’applicazione del principio di “Sovrapposizione degli effetti”, ha quindi permesso la

definizione della formula trinomia di Terzaghi per il calcolo della capacità portante di un

terreno. In condizioni ordinarie non sarebbe applicabile tale principio però, dato che non


35

è definibile una relazione completa, ma solo parziale e visto che il risultato è cautelativo,

lo si ritiene un procedimento accettabile.

Di primo acchito, si può individuare la dipendenza della capacità limite a tre fattori:

� uno relativo al contributo delle forze di attrito, dovute al peso proprio del terreno

interno alla superficie di scorrimento: '

1 qNDN qq ⋅=⋅⋅γ ;

� uno che esprime il con tributo della coesione lungo la superficie di scorrimento:

cN c ⋅ ;

� uno che definisce l’effetto stabilizzante del sovraccarico agente ai lati della

fondazione (ad esempio dovuto all’approfondimento del piano di fondazione rispetto

al p.c.): 2

2

BN ⋅⋅γγ .

Il carico limite unitario assume dunque la forma:

221lim

BNcNDNq cq ⋅⋅+⋅+⋅⋅= γγ γ

γ1 e γ2 sono le masse volumiche rispettivamente del terreno al di sopra ed al di sotto del

piano di imposta della fondazione;

D è la profondità del piano di imposta della fondazione dal p.c.;

c è la coesione del terreno al di sotto del piano di posa della fondazione;

B è il lato minore della fondazione.

I valori dei coefficienti di carico limito o fattori di capacità portante Nq, Nc e Nγ assumono

le seguenti espressioni:

ϕ

ϕ

ϕ

γ

ϕπ

tan)1(2

cot)1(

)2

45(tan tan2

⋅+=

⋅−=

⋅+= ⋅

q

qc

q

NN

gNN

eN

Per comodità si riporta a seguire una tabella dei suddetti coefficienti in funzione

dell’angolo di attrito φ del terreno sottostante la fondazione (Vesic 1975):


36

8.1.1.1 Generalizzazione di Brinch – Hansen (1970)

Le limitazioni imposte nell’ipotesi iniziali di Terzaghi, possono essere rimosse applicando

opportuni fattori correttivi che tengono conto di:

- forma della fondazione: s;

- inclinazione ed eccentricità del carico: i;

- inclinazione del piano di posa della fondazione: b;

- inclinazione del piano campagna: g;

- profondità del piano di imposta: d.

L’espressione diviene quindi:

qqqqqqcccccc gbidsNqgbidsNcgbisNBq ⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ''

lim2

1γγγγγγ

A seguire si forniscono relazioni per poter determinare i singoli fattori correttivi:

FATTORI DI FORMA

Per estendere l’equazione a fondazioni rettangolari B x L (giacché sono stati risolti

solamente casi di fondazioni circolari o nastriformi), si applicano i seguenti fattori:


37

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

γ

γ

sen

sen

L

Bs

ss

sen

sen

L

Bs

c

q

−

+⋅⋅+=

=

−

+⋅⋅+=

1

12.01

1

11.01

INCLINAZIONE ED ECCENTRICITÀ DEL CARICO

Secondo Vesic (1970) le espressioni empiriche dei fattori di inclinazione del carico,

considerando la scomposizione nelle componenti orizzontale H e verticale N, sono:

LB

LB

m

N

iii

gcLBN

Hi

gcLBN

Hi

c

q

qc

m

q

m

+

+=

⋅

−−=

⋅⋅⋅+−=

⋅⋅⋅+−=

+

1

2

tan

1

cot1

cot1

)1(

ϕ

ϕ

ϕγ

Questi fattori verranno applicati alla verifica del carico verticale. Per il carico orizzontale

invece si imposterà una verifica a scorrimento dove ϕtanlim ⋅+= NcqH .

Per l’eccentricità “e” della risultante dei carichi si deve, secondo Meyerhof (1953),

adottare un valore di B corrispondente all’area effettiva equivalente, vale a dire la

minima superficie ridotta rispetto alla quale la risultante risulta centrata.

Per fondazioni quadrate o rettangolari, B diviene:

eBB R ⋅−= 2


38

Va da se che se l’eccentricità è lungo la diagonale dell’impronta di fondazione, la

riduzione dovrà farsi su ambo i lati B ed L.

INCLINAZIONE PIANO DI POSA

Questo caso è tipico di carichi trasmessi aventi rilevante componente orizzontale, come

ad esempio muri di sostegno.

Nel caso in cui α sia l’angolo rispetto all’orizzontale di cui il piano di posa è inclinato:

ϕ

ϕα

γ

tan

1

)tan1( 2

⋅

−−=

=

⋅−=

c

q

qc

q

q

N

bbb

bb

b

Questi coefficienti vengono applicati nella formula per verificare il carico limite inteso

normale al piano di posa (inclinato)

INCLINAZIONE DEL PIANO CAMPAGNA

Questo caso è tipico di fondazioni su pendii accentuati.

Sia dunque ω l’angolo rispetto all’orizzontale di inclinazione del pendio:

ϕ

ω

γ

tan

1

)tan1( 2

⋅

−−=

=

−=

c

q

qc

q

q

N

ggg

gg

g

Gli ultimi due coefficienti correttivi sono validi nella limitazione ε < π/4, ω < π/4 e ω < φ.

PROFONDITÀ DEL PIANO DI POSA

In condizioni normali, il piano di posa è più basso rispetto al piano campagna, col

duplice effetto di un carico stabilizzante al contorno dovuto a γ1 X D, oltre ad avere a

disposizione anche la resistenza a taglio mobilitabile lungo la parte di superficie di


39

scorrimento tra piano di posa e piano campagna, per l’altezza D (in genere trascurata,

considerando il terreno sopra il piano posa solo come sovraccarico).

Se 2)1(tan21 ϕϕ senB

DdBD q −⋅⋅⋅+=⇒≤

Se )(tan)1(tan21 12

B

DsendBD q

−⋅−⋅⋅+=⇒> ϕϕ

ϕtan

1

⋅

−−=

c

q

qcN

ddd

8.1.1.2 Condizioni non drenate (terreni coesivi)

Nel caso di fondazioni su terreni coesivi saturi, ad eccezione dei terreni sovraconsolidato

con comportamento dilatante, le condizioni critiche nei confronti della rottura si

verificano immediatamente dopo l’applicazione del carico. In questi casi si effettua

l’analisi in condizioni non drenate, in termini di tensioni totali (essendo difficile valutare nel

tempo l’andamento delle pressioni neutre), dove: c=cu (coesione non drenata) e φ=0.

L’equazione della capacità portante assume quindi la forma:

qgbidsNcq ccccccu +⋅⋅⋅⋅⋅⋅=lim

Dove q è il sovraccarico totale ai bordi della fondazione (=γ x D);

14.52 =+= πcN

L

Bsc ⋅+= 2.01

L

Bdc ⋅+= 4.01 se D≤B

)(tan4.01 1

L

Bdc

−⋅+= se D>B

cu

cNcLB

Hmi

⋅⋅⋅

⋅−=1 dove

LB

LB

m+

+=

1

2

2

21

+

⋅−=

π

αcb

2

21

+

⋅−=

π

ωcg


40

Da notare è che il caso di piano campagna inclinato di ω rispetto all’orizzontale,

presuppone l’aggiunta nell’equazione del termine γγγ sNB ⋅⋅⋅⋅2

1 dove ωγ senN ⋅−= 2 e

L

Bs ⋅−= 4.01γ .

Una prima valutazione del valore di cu (coesione non drenata) è fornita dalla seguente

relazione di Koutsoftas e Ladd (1985):

8.0

'

0

)03.022.0( OCRc

v

u ⋅±=σ

Dove '

0vσ è la tensione verticale efficace preesistente al carico, ad una profondità di B/2

al di sotto del piano di posa ed OCR è il rapporto di sovraconsolidazione.

8.1.1.3 Considerazioni sull’equazione di Brinch Hansen

- il termine legato alla coesione è predominante per i terreni coesivi;

- il termine legato al carico q è predominante nei terreni incoerenti;

- per fondazioni con B<3-4 m il termine legato a B può essere trascurato;

- il termine di profondità qxNq è predominante in terreni incoerenti. Anche una

piccola profondità D produce un sensibile aumento di qult;

- i coefficienti N crescono rapidamente all’aumentare di φ, la cui determinazione

deve essere molto accurata;

- in presenza di falda si deve usare il peso specifico efficace γ’ = (γtot – γw) e quindi

la capacità portante diminuisce;

- l’equazione trinomia può essere impiegato per rotture locali in sabbie eseguendo

una riduzione dell’angolo di attrito del terreno (Terzaghi )tan67.0(' ϕϕ ⋅= arctg ;

Vesic, per densità relative minori di 0.67% [ ] ϕϕ tan75.067.0 2' ⋅⋅−+= RR DDarctg );

- l’angolo di attrito va correlato col rapporto L/B: se L/B≤2 il valore di φ è quello

trassiale (φtr); se invece L/B>2 si adotta un angolo d’attrito φps = 1.5 x φtr – 17°;

- Nei terreni caratterizzati da elevata compressibilità (sabbie sciolte e dense) la

verifica relativa ai cedimenti risulta già cautelativa, rendendo praticamente

superflua la verifica della capacità portante;

- Nessuno getterebbe una fondazione superficiale su un terreno granulare;

- Se una fondazione deve essere gettata su un terreno sciolto (DR<0.5),

precedentemente dovrà essere compattato aumentandone la densità;


41

- Quando si progetta la larghezza di una fondazione soggetta ad un dato carico è

necessario usare un procedimento iterativo in quanto i fattori di forma, profondità

ed inclinazione dipendono da B;

- La formula di Terzaghi, ha validità applicativa nel caso di fondazioni soggette a

carico verticale con profondità relative limitate (D/B≤1).

8.1.2 Punzonamento

Questo meccanismo richiede una variazione di volume del terreno in condizioni drenate

(è quindi tipico di sabbie poco addensate e argille poco consistenti).

Per lo studio di questo meccanismo Vesic ha impiegato un metodo approssimato,

assimilando il terreno ad un mezzo elastico-perfettamente plastico, dove il fenomeno è

retto da un “indice di rigidezza” Ir:

ϕσ tgc

GI r

⋅+=

Dove s è la tensione normale media, posta pari alla tensione effettiva litostatica alla

profondità z=D+B/2 (D profondità piano fondazione da p.c. e B lato della fondazione).

G è il modulo di elasticità trasversale del terreno che, per un mezzo elastico è:

)1(2 ν+=

EG

Con E Modulo di Young e ν Modulo di Poisson.

In condizioni non drenate (in termini totali) ν = 0.5, quindi G = Eu /3 (con Eu modulo non

drenato) mentre in condizioni drenate (in termini effettivi) il valore di G discende dai dati

a disposizione.

L’espressione del carico limite quindi ricalca quella della formula trinomia, però con

ulteriori coefficienti correttivi (ψq, ψc e ψγ), detti di punzonamento (dipendenti da φ, Ir e

B/L):

221lim

BNcNDNq ccqq ⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅= γψψγψ γγ

La rottura per punzonamento si verifica quando i coefficienti di punzonamento sono

inferiori all’unità, cioè quando l’indice di rigidezza Ir risulta inferiore ad un valor critico

definito come segue:


42

−−= )24

()45.03.3(exp2

1,

ϕπctg

L

BI critr

La tabella a fianco dell’espressione, riporta i valori dell’indice di rigidezza critico nei casi in

cui B/L=0 (fondazione nastriforme) e B/L=1 (fondazione quadrata), per vari angoli di

attrito. A seguire si riportano poi le espressioni dei coefficienti di punzonamento, nonché i

loro valori diagrammati nei casi in cui B/L=0 (fondazione nastriforme) e B/L=1 (fondazione

quadrata):

tipo terreno Terreno con attrito e coesione Puramente coesivo

qψ

++−

ϕ

ϕϕ

sen

Isentg

L

B r

1

)2lg(07.3)4.46.0(exp 1

cψ ϕ

ψψ

tgN q

q

q

−−

1

rIL

Blg6.012.032.0 ⋅++

γψ qψ 1

8.2 Fattore di sicurezza Fs

Il fattore di sicurezza è un parametro che permette di valutare le condizioni di lavori di

una certa opera o struttura in relazione alle condizioni critiche che si possono verificare.

Esprime dunque il margine con cui una certa opera può lavorare, soggetta a dati


43

carichi, rispetto a condizioni critiche. È dato dal rapporto fra azioni resistenti ed azioni

agenti; deve quindi essere sempre maggiore di 1.

In condizioni ordinarie, per condizioni limite di rottura il fattore di sicurezza è espresso

come rapporto di forze o tensioni, mentre, per condizioni limite di esercizio il rapporto è

fra deformazioni. Nel caso di rottura del terreno, il fattore di sicurezza adottato deve

essere applicato al carico limite per definire il valore ammissibile qamm da porre a

confronto con i carichi trasmessi dalla sovrastruttura.

I fattori di sicurezza generalmente accettati sono riportati nella tabella a seguire.

Con maggiore rigore si dovrebbe applicare il fattore di sicurezza alla sola parte

eccedente al carico q0 preesistente alla quota del piano di posa della fondazione, cioè:

00lim q

F

qqq

s

amm +−

= .

8.3 Esempi applicativi

Si riportano alcuni casi di applicazione della formula trinomia in diverse condizioni,

8.3.1 Esempio 1

Il terreno sia sabbioso con φ=35°, c’=0 e γ=20 kN/m3.


44

Determinare le dimensioni minime di un plinto quadrato che verifica un fattore di

sicurezza pari a 3 nei confronti della rottura del terreno di fondazione, nel caso in cui

questa sia soggetta ad un carico di 300 tonnellate.


45

8.3.2 Esempio 2

Sia data una fondazione nastriforme avente B=3 m che trasmette al terreno un carico

verticale centrato N di 1800 kN. Ai fianchi della fondazione sia presente un sovraccarico

distribuito q’ pari a 20 kPa. Il terreno sia sabbioso con φ=36°, c’=0 e γ=20 kN/m3.

Determinare il carico limite ed il fattore di sicurezza per la data fondazione.


46

8.3.3 Esempio 3

Il terreno presenta le medesime caratteristiche dell’esempio 1.

Ai carichi trasmessi dalla fondazione si aggiunge un momento M=540 kNm/m.

La fondazione è ancora nastriforme. Il terreno ha un “fronte di scavo”, come si trattasse

della fondazione di un muro di sostegno.


47


48

8.3.4 Esempio 4

Sia data una fondazione rettangolare B=2 m e L=3 m su cui agisce un carico centrato e

verticale N pari a 1000 kN, oltre ad un sovraccarico ai lati della fondazione pari a 20 kPa.

Il terreno sia sabbioso con φ=36°, c’=0 e γ=20 kN/m3.

Determinare il carico limite ed il fattore di sicurezza per la data fondazione.


49

8.3.5 Esempio 5

All’esempio 4 si aggiungano come carichi esterni una componente orizzontale Hx=150

kN ed un momento Mx=300 kNm.

Determinare il carico limite ed il fattore di sicurezza per la data fondazione e verificarne

la stabilità a slittamento.


50

8.3.6 Esempio 6

In figura è riportato lo schema di una fondazione rettangolare posta a 2 m di profondità

rispetto al piano campagna.

Il terreno è costituito da sabbia avente φ’=33° e γ= 20 kN/m3.

Determinare la capacità portante della fondazione e verificarne la stabilità.

L’equazione trinomia perde il termine relativo alla coesione, trovandoci nel caso di un

terreno incoerente.

qI

I

q

sL

B

sen

sens

N

N

qsmkNA

N

==⋅

−

+⋅+=

=

=

==⋅

==

42,11

11,01

09,26

19,35

/100025,2

5000 2

γ

γ

σ

γ

γ

VERIFICATOq

qF

mkN

sNqsBNq

S

S

qq

II

⇒>===

=

=+=⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=+⋅⋅=

5,2731,21000

157,2731

/157,2731

912,1481245,124942,109,264042,15,219,35202

1

2

1

lim

2

lim γγγ


51

8.3.7 Esempio 7

Considerando la medesima fondazione dell’esempio precedente: determinarne la

capacità portante e verificarne la stabilità sapendo che, oltre al carico N agisce un

momento Mxx=1000 kNm.

Al caso precedente si devono applicare i coefficienti riduttivi della geometria della

fondazione per effetto del momento.

VERIFICATONONq

qF

mkNsNqsBNq

mkNA

Nq

N

N

L

B

sen

senss

mN

Me

meBBB

S

S

qq

II

S

q

I

I

q

I

R

⇒<===

=⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=+⋅⋅=

=⋅

==

=

=

=⋅

−

+⋅+==

===

=−=−==

5,203,25,1190

2,2417

/2,2417356,109,264042,11,219,35202

1

2

1

/5,119021,2

5000

09,26

19,35

356,11

11,01

2,05000

1000

1,24,05,22

lim

2

lim

2

γγ

γ

γ

γ

γ

γ


52

9. Appendice I – La formula trinomia

Formula trinomia di Terzaghi:

221lim

BNcNDNq cq ⋅⋅+⋅+⋅⋅= γγ γ

γ1 e γ2 sono le masse volumiche rispettivamente del terreno al di sopra ed al di sotto del piano di imposta della fondazione; D è la profondità del piano di imposta della fondazione dal p.c.; c è la coesione del terreno al di sotto del piano di posa della fondazione; B è il lato minore della fondazione. I valori dei coefficienti di carico limito o fattori di capacità portante Nq, Nc e Nγ sono:

ϕ

ϕ

ϕ

γ

ϕπ

tan)1(2

cot)1(

)2

45(tan tan2

⋅+=

⋅−=

⋅+= ⋅

q

qc

q

NN

gNN

eN

Tabella dei coefficienti in funzione dell’angolo di attrito φ del terreno (Vesic 1975):

Generalizzazione di Brinch – Hansen (1970)

forma della fondazione: s; inclinazione ed eccentricità del carico: i; inclinazione del piano di posa della fondazione: b; inclinazione del piano campagna: g; profondità del piano di imposta: d.

+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= γγγγγγ gbisNBq '

lim2

1

+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ cccccc gbidsNc

qqqqqq gbidsNq ⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ '

FATTORI DI FORMA Per estendere l’equazione a fondazioni rettangolari B x L:

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

γ

γ

sen

sen

L

Bs

ss

sen

sen

L

Bs

c

q

−

+⋅⋅+=

=

−

+⋅⋅+=

1

12.01

1

11.01

INCLINAZIONE ED ECCENTRICITÀ DEL CARICO

LB

LB

m

N

iii

gcLBN

Hi

gcLBN

Hi

c

q

qc

m

q

m

+

+=

⋅

−−=

⋅⋅⋅+−=

⋅⋅⋅+−=

+

1

2

tan

1

cot1

cot1

)1(

ϕ

ϕ

ϕγ

PROFONDITÀ DEL PIANO DI POSA Se

2)1(tan21 ϕϕ senB

DdBD q −⋅⋅⋅+=⇒≤

Se ⇒> BD

)(tan)1(tan21 12

B

Dsend q

−⋅−⋅⋅+= ϕϕ

ϕtan

1

⋅

−−=

c

q

qcN

ddd


53

INCLINAZIONE DEL PIANO CAMPAGNA Sia dunque ω l’angolo rispetto all’orizzontale di inclinazione del pendio:

ϕ

ω

γ

tan

1

)tan1( 2

⋅

−−=

=

−=

c

q

qc

q

q

N

ggg

gg

g

INCLINAZIONE PIANO DI POSA Nel caso in cui α sia l’angolo rispetto all’orizzontale di cui il piano di posa è inclinato:

ϕ

ϕα

γ

tan

1

)tan1( 2

⋅

−−=

=

⋅−=

c

q

qc

q

q

N

bbb

bb

b


54

10. Appendice II – Altre espressioni dei coefficienti della formula trinomia

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Quaderno 1 - unipr.it · 8.1.1.1 Generalizzazione di Brinch – Hansen (1970).....36 8.1.1.2 Condizioni non drenate (terreni coesivi)