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8/22/2019 QT in Nuclear Fusion-Advanced 10.1.1.38.5202
http://slidepdf.com/reader/full/qt-in-nuclear-fusion-advanced-1011385202 1/43
Q u a n t u m T u n n e l i n g i n N u c l e a r F u s i o n
A . B . B a l a n t e k i n
D e p a r t m e n t o f P h y s i c s , U n i v e r s i t y o f W i s c o n s i n - M a d i s o n
M a d i s o n , W I 5 3 7 0 6 U . S . A
N . T a k i g a w a
D e p a r t m e n t o f P h y s i c s , T o h o k u U n i v e r s i t y
9 8 0 - 7 7 S e n d a i J a p a n
A b s t r a c t
R e c e n t t h e o r e t i c a l a d v a n c e s i n t h e s t u d y o f h e a v y i o n f u s i o n r e a c t i o n s b e l o w
t h e C o u l o m b b a r r i e r a r e r e v i e w e d . P a r t i c u l a r e m p h a s i s i s g i v e n t o n e w w a y s
o f a n a l y z i n g d a t a , s u c h a s s t u d y i n g b a r r i e r d i s t r i b u t i o n s ; n e w a p p r o a c h e s t o
c h a n n e l c o u p l i n g , s u c h a s t h e p a t h i n t e g r a l a n d G r e e n f u n c t i o n f o r m a l i s m s ;
a n d a l t e r n a t i v e m e t h o d s t o d e s c r i b e n u c l e a r s t r u c t u r e e e c t s , s u c h a s t h o s e
u s i n g t h e I n t e r a c t i n g B o s o n M o d e l . T h e r o l e s o f n u c l e o n t r a n s f e r , a s y m m e t r y
e e c t s , h i g h e r - o r d e r c o u p l i n g s , a n d s h a p e - p h a s e t r a n s i t i o n s a r e e l u c i d a t e d .
T h e c u r r e n t s t a t u s o f t h e f u s i o n o f u n s t a b l e n u c l e i a n d v e r y m a s s i v e s y s t e m s
a r e b r i e y d i s c u s s e d .
1
8/22/2019 QT in Nuclear Fusion-Advanced 10.1.1.38.5202
http://slidepdf.com/reader/full/qt-in-nuclear-fusion-advanced-1011385202 2/43
C o n t e n t s
I I n t r o d u c t i o n 3
I I O n e - D i m e n s i o n a l M o d e l f o r F u s i o n 4
A E x p e r i m e n t a l O b s e r v a b l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
B O n e - D i m e n s i o n a l B a r r i e r P e n e t r a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
C B a r r i e r D i s t r i b u t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
D E n e r g y D e p e n d e n c e o f t h e E e c t i v e R a d i u s . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
E I n v e r s i o n o f t h e D a t a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
I I I M u l t i d i m e n s i o n a l Q u a n t u m T u n n e l i n g i n N u c l e a r P h y s i c s 9
A C o u p l e d - C h a n n e l s F o r m a l i s m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
B S i m p l i e d C o u p l e d - C h a n n e l s M o d e l s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0
C P a t h I n t e g r a l A p p r o a c h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4
D A d i a b a t i c a n d S u d d e n T u n n e l i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6
E I n t e r m e d i a t e C a s e s - D y n a m i c a l N o r m M e t h o d . . . . . . . . . . . . . . . 1 9
I V D e s c r i p t i o n o f N u c l e a r S t r u c t u r e E e c t s b y t h e I n t e r a c t i n g B o s o n
M o d e l 2 0
A L i n e a r C o u p l i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1
B H i g h e r - O r d e r C o u p l i n g s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2
V C o m p a r i s o n o f C u r r e n t T h e o r y w i t h D a t a 2 4
A S t a t u s o f C o u p l e d - C h a n n e l s C a l c u l a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4
B N u c l e o n T r a n s f e r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5
C P r o b i n g A s y m m e t r y E e c t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6
D S i g n a t u r e s o f N u c l e a r V i b r a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7
E E e c t o f N o n - l i n e a r c o u p l i n g s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7
F A n g u l a r M o m e n t u m D i s t r i b u t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8
G P r o b i n g S h a p e P h a s e T r a n s i t i o n s w i t h F u s i o n . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8
H D i c u l t i e s i n E x t r a c t i n g B a r r i e r D i s t r i b u t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . 2 9
I F u s i o n o f U n s t a b l e N u c l e i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0
J F u s i o n o f V e r y M a s s i v e S y s t e m s a n d S u p e r h e a v y N u c l e i . . . . . . . . . . 3 1
V I O p e n P r o b l e m s a n d O u t l o o k 3 2
2
8/22/2019 QT in Nuclear Fusion-Advanced 10.1.1.38.5202
http://slidepdf.com/reader/full/qt-in-nuclear-fusion-advanced-1011385202 3/43
I . I N T R O D U C T I O N
Q u a n t u m t u n n e l i n g i n s y s t e m s w i t h m a n y d e g r e e s o f f r e e d o m i s o n e o f t h e f u n d a m e n t a l
p r o b l e m s i n p h y s i c s a n d c h e m i s t r y ( H a n g g i e t a l . , 1 9 9 0 ; T s u k a d a e t a l . , 1 9 9 3 ) . O n e e x a m p l e
o f t u n n e l i n g p h e n o m e n a i n n u c l e a r p h y s i c s i s t h e f u s i o n o f t w o n u c l e i a t v e r y l o w e n e r g i e s .
T h e s e r e a c t i o n s a r e n o t o n l y o f c e n t r a l i m p o r t a n c e f o r s t e l l a r e n e r g y p r o d u c t i o n a n d n u c l e -
o s y n t h e s i s , b u t t h e y a l s o p r o v i d e n e w i n s i g h t s i n t o r e a c t i o n d y n a m i c s a n d n u c l e a r s t r u c t u r e .
U n t i l a b o u t f t e e n y e a r s a g o , l o w e n e r g y f u s i o n r e a c t i o n s w e r e a n a l y z e d i n t e r m s o f a s i m p l e
m o d e l , w h e r e o n e s t a r t s w i t h a l o c a l , o n e - d i m e n s i o n a l r e a l p o t e n t i a l b a r r i e r f o r m e d b y t h e
a t t r a c t i v e n u c l e a r a n d r e p u l s i v e C o u l o m b i n t e r a c t i o n s a n d a s s u m e s t h a t t h e a b s o r p t i o n i n t o
t h e f u s i o n c h a n n e l t a k e s p l a c e a t t h e r e g i o n i n s i d e t h e b a r r i e r a f t e r t h e q u a n t u m t u n n e l -
i n g . T h e s h a p e , l o c a t i o n , a n d t h e h e i g h t o f t h i s p o t e n t i a l w e r e d e s c r i b e d i n t e r m s o f f e w
p a r a m e t e r s w h i c h w e r e v a r i e d t o t t h e m e a s u r e d c r o s s s e c t i o n s . T h e s y s t e m a t i c s o f p o t e n -
t i a l s o b t a i n e d i n t h i s w a y w e r e d i s c u s s e d b y V a z e t a l . ( 1 9 8 1 ) . A n u m b e r o f e x p e r i m e n t s
p e r f o r m e d i n t h e e a r l y 8 0 ' s s h o w e d t h a t t h e s u b b a r r i e r f u s i o n c r o s s s e c t i o n s f o r i n t e r m e d i a t e -
m a s s s y s t e m s a r e m u c h l a r g e r t h a n t h o s e e x p e c t e d f r o m s u c h a s i m p l e p i c t u r e ( B e c k e r m a n ,
1 9 8 8 ; V a n d e n b o s c h , 1 9 9 2 ) . T h e i n a d e q u a c y o f t h e o n e - d i m e n s i o n a l m o d e l f o r s u b b a r r i e r
f u s i o n w a s e x p l i c i t l y d e m o n s t r a t e d b y i n v e r t i n g t h e e x p e r i m e n t a l d a t a t o d i r e c t l y o b t a i n t h e
e e c t i v e o n e - d i m e n s i o n a l f u s i o n b a r r i e r u n d e r t h e c o n s t r a i n t t h a t i t i s e n e r g y i n d e p e n d e n t
( B a l a n t e k i n e t a l . , 1 9 8 3 ) .
I n r e c e n t y e a r s t h e r e h a s b e e n a l o t o f e x p e r i m e n t a l e o r t i n m e a s u r i n g f u s i o n c r o s s
s e c t i o n s a n d m o m e n t s o f c o m p o u n d n u c l e u s a n g u l a r m o m e n t u m d i s t r i b u t i o n s . A c o m p l e t e
c o m p i l a t i o n o f t h e r e c e n t d a t a i s b e y o n d t h e s c o p e o f t h i s r e v i e w . S e v e r a l r e c e n t r e v i e w s
( S t e f a n i n i e t a l . , 1 9 9 4 ; R e i s d o r f , 1 9 9 4 ) p r e s e n t a n e x c e l l e n t o v e r v i e w o f t h e c u r r e n t e x p e r -
i m e n t a l s i t u a t i o n . T h i s a r t i c l e r e v i e w s t h e o r e t i c a l d e v e l o p m e n t s o f t h e l a s t d e c a d e i n o u r
u n d e r s t a n d i n g t h e m u l t i d i m e n s i o n a l q u a n t u m t u n n e l i n g n a t u r e o f s u b b a r r i e r f u s i o n . W e
s h o u l d e m p h a s i z e t h a t t h e l a r g e v o l u m e o f n e w d a t a a n d e x t e n s i v e t h e o r e t i c a l w o r k d o e s
n o t a l l o w u s t o p r o v i d e a n e x h a u s t i v e s e t o f r e f e r e n c e s . T h e s e l e c t i o n w e m a d e d o e s n o t
i m p l y t h a t o m i t t e d r e f e r e n c e s a r e a n y l e s s i m p o r t a n t t h a n t h e o n e s w e c h o s e t o h i g h l i g h t i n
d i s c u s s i n g d i e r e n t a s p e c t s o f f u s i o n p h e n o m e n a .
T h e n a t u r a l l a n g u a g e t o s t u d y f u s i o n r e a c t i o n s b e l o w t h e C o u l o m b b a r r i e r i s t h e c o u p l e d -
c h a n n e l s f o r m a l i s m . I n t h e l a s t d e c a d e c o u p l e d c h a n n e l s a n a l y s i s o f t h e d a t a a n d t h e r e -
a l i z a t i o n o f t h e c o n n e c t i o n b e t w e e n e n e r g y d e r i v a t i v e s o f t h e c r o s s s e c t i o n a n d t h e b a r r i e r
d i s t r i b u t i o n s ( R o w l e y e t a l . , 1 9 9 1 ) m o t i v a t e d a c c u m u l a t i o n o f v e r y h i g h p r e c i s i o n d a t a .
W h e n t h e e n h a n c e m e n t o f t h e c r o s s s e c t i o n b e l o w t h e b a r r i e r w a s r s t o b s e r v e d , m a n y
a u t h o r s p o i n t e d o u t t h a t i t i s n o t e a s y t o i d e n t i f y t h e u n d e r l y i n g p h y s i c a l m e c h a n i s m ( B r i n k
e t a l . , 1 9 8 3 b ; K r a p p e e t a l . , 1 9 8 3 ) . A n y c o u p l i n g i n t r o d u c e d b e t w e e n t r a n s l a t i o n a l m o t i o n
a n d i n t e r n a l d e g r e e s o f f r e e d o m e n h a n c e s t h e c r o s s s e c t i o n . T h e r e c e n t h i g h - p r e c i s i o n d a t a
h e l p e d r e s o l v e s o m e o f t h e s e a m b i g u i t i e s b y s t u d y i n g b a r r i e r d i s t r i b u t i o n s a n d m e a n a n g u l a r
m o m e n t a a s w e l l . T h e q u a l i t y o f t h e e x i s t i n g d a t a n o w m a k e s i t p o s s i b l e t o q u a n t i t a t i v e l y
e x p l o r e a n u m b e r o f t h e o r e t i c a l i s s u e s i n t h e q u a n t u m t u n n e l i n g a s p e c t s o f s u b b a r r i e r f u s i o n ,
s u c h a s e e c t s o f a n h a r m o n i c a n d n o n - l i n e a r i n t e r a c t i o n t e r m s .
I n t h e n e x t s e c t i o n , a f t e r b r i e y r e v i e w i n g o b s e r v a b l e s a c c e s s i b l e i n h e a v y - i o n f u s i o n
r e a c t i o n s , a n d t h e r e a s o n s w h y a o n e - d i m e n s i o n a l d e s c r i p t i o n f a i l s , w e p r e s e n t t h e m o t i v a t i o n
f o r s t u d y i n g b a r r i e r d i s t r i b u t i o n s . I n S e c t i o n I I I w e d i s c u s s t h e s t a n d a r d c o u p l e d - c h a n n e l s
3
8/22/2019 QT in Nuclear Fusion-Advanced 10.1.1.38.5202
http://slidepdf.com/reader/full/qt-in-nuclear-fusion-advanced-1011385202 4/43
f o r m a l i s m , a n d a l t e r n a t i v e a p p r o a c h e s s u c h a s t h e p a t h i n t e g r a l f o r m a l i s m a n d G r e e n ' s
f u n c t i o n a p p r o a c h e s a l o n g w i t h t h e i r v a r i o u s l i m i t i n g c a s e s . S e c t i o n I V h a s a d u a l p u r p o s e :
i t c o v e r s r e c e n t a t t e m p t s t o d e s c r i b e n u c l e a r s t r u c t u r e e e c t s u s i n g t h e I n t e r a c t i n g B o s o n
M o d e l w h i l e i l l u s t r a t i n g t h e t e c h n i c a l d e t a i l s o f t h e s e a l t e r n a t i v e a p p r o a c h e s d i s c u s s e d i n
S e c t i o n I I I . I n S e c t i o n V , w e s u r v e y a r e p r e s e n t a t i v e s a m p l e o f r e c e n t h i g h - q u a l i t y d a t a
w i t h a f o c u s o n n e w p h y s i c s i n s i g h t s . W e c o n c l u d e i n S e c t i o n V I w i t h a b r i e f d i s c u s s i o n o f
t h e o p e n p r o b l e m s a n d o u t l o o k f o r t h e n e a r f u t u r e .
I I . O N E - D I M E N S I O N A L M O D E L F O R F U S I O N
A . E x p e r i m e n t a l O b s e r v a b l e s
I n t h e s t u d y o f f u s i o n r e a c t i o n s b e l o w t h e C o u l o m b b a r r i e r t h e e x p e r i m e n t a l o b s e r v a b l e s
a r e t h e c r o s s s e c t i o n
( E ) =
1
X
̀ = 0
̀
( E ) ; ( 1 )
a n d t h e a v e r a g e a n g u l a r m o m e n t a
h ̀ ( E ) i =
P
1
̀ = 0
`
̀
( E )
P
1
̀ = 0
̀
( E )
: ( 2 )
T h e p a r t i a l - w a v e c r o s s s e c t i o n s a r e g i v e n b y
̀
( E ) =
h
2
2 E
( 2 ̀ + 1 ) T
̀
( E ) ; ( 3 )
w h e r e T
̀
( E ) i s t h e q u a n t u m - m e c h a n i c a l t r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t y t h r o u g h t h e p o t e n t i a l b a r -
r i e r a n d i s t h e r e d u c e d m a s s o f t h e p r o j e c t i l e a n d t a r g e t s y s t e m .
F u s i o n c r o s s s e c t i o n s a t l o w e n e r g i e s a r e m e a s u r e d b y d e t e c t i n g e v a p o r a t i o n r e s i d u e s o r
s s i o n p r o d u c t s f r o m c o m p o u n d n u c l e u s f o r m a t i o n . E v a p o r a t i o n r e s i d u e s c a n b e d e t e c t e d
d i r e c t l y b y m e a s u r i n g t h e d i e r e n c e i n v e l o c i t i e s b e t w e e n t h e m a n d t h e b e a m - l i k e i o n s .
V e l o c i t y s e l e c t i o n c a n b e a c h i e v e d e i t h e r b y e l e c t r o s t a t i c d e e c t o r s o r b y v e l o c i t y l t e r s .
A l t e r n a t i v e t e c h n i q u e s i n c l u d e d e t e c t i n g e i t h e r d i r e c t o r d e l a y e d X - r a y s a n d g a m m a r a y s . A
r e v i e w o f d i e r e n t e x p e r i m e n t a l t e c h n i q u e s t o m e a s u r e t h e f u s i o n c r o s s s e c t i o n s i s g i v e n b y
B e c k e r m a n ( 1 9 8 8 ) .
S e v e r a l t e c h n i q u e s w e r e d e v e l o p e d f o r m e a s u r i n g m o m e n t s o f t h e a n g u l a r m o m e n t u m
d i s t r i b u t i o n s . T h e a d v e n t o f d e t e c t o r a r r a y s e n a b l e d m e a s u r e m e n t o f f u l l g a m m a - r a y m u l -
t i p l i c i t i e s ( F i s c h e r e t a l . , 1 9 8 6 ; H a l b e r t e t a l . , 1 9 8 9 ) , w h i c h , u n d e r s o m e a s s u m p t i o n s , c a n
b e c o n v e r t e d t o
̀
d i s t r i b u t i o n s . I t i s a l s o p o s s i b l e t o m e a s u r e r e l a t i v e p o p u l a t i o n s o f t h e
g r o u n d a n d i s o m e r i c s t a t e s i n t h e e v a p o r a t i o n r e s i d u e s t o d e d u c e t h e s p i n d i s t r i b u t i o n i n t h e
c o m p o u n d n u c l e u s ( S t o k s t a d e t a l . , 1 9 8 9 ; D i G r e g o r i o e t a l . , 1 9 9 0 ) . F i n a l l y , t h e a n i s o t r o p y
o f t h e s s i o n f r a g m e n t a n g u l a r d i s t r i b u t i o n c a n b e r e l a t e d t o t h e s e c o n d m o m e n t o f t h e s p i n
d i s t r i b u t i o n ( B a c k e t a l . , 1 9 8 5 ; V a n d e n b o s c h e t a l . , 1 9 8 6 a ; V a n d e n b o s c h e t a l . , 1 9 8 6 b ) .
I t i s w o r t h w h i l e t o e m p h a s i z e t h a t m o m e n t s o f a n g u l a r m o m e n t a , u n l i k e t h e f u s i o n c r o s s
s e c t i o n i t s e l f , a r e n o t d i r e c t l y m e a s u r a b l e q u a n t i t i e s . O n e n e e d s t o m a k e a n u m b e r o f
4
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a s s u m p t i o n s t o c o n v e r t g a m m a - r a y m u l t i p l i c i t i e s o r i s o m e r i c s t a t e p o p u l a t i o n s t o a v e r a g e
a n g u l a r m o m e n t a . A n e l a b o r a t i o n o f t h e s e a s s u m p t i o n s a l o n g w i t h a t h o r o u g h d i s c u s s i o n o f
t h e e x p e r i m e n t a l t e c h n i q u e s i s g i v e n b y V a n d e n b o s c h ( 1 9 9 2 ) .
B . O n e - D i m e n s i o n a l B a r r i e r P e n e t r a t i o n
T h e t o t a l p o t e n t i a l b e t w e e n t h e t a r g e t a n d p r o j e c t i l e n u c l e i f o r t h e ̀ - t h p a r t i a l w a v e i s
g i v e n b y
V
̀
( r ) = V
N
( r ) + V
C
( r ) +
h
2
̀ ( ̀ + 1 )
2 r
2
= V
0
( r ) +
h
2
̀ ( ̀ + 1 )
2 r
2
; ( 4 )
w h e r e V
N
a n d V
C
a r e t h e n u c l e a r a n d C o u l o m b p o t e n t i a l s , r e s p e c t i v e l y . T h e ̀ = 0 b a r r i e r i s
r e f e r r e d t o a s t h e C o u l o m b b a r r i e r . T h e b a r r i e r s o b t a i n e d i n E q . ( 4 ) i s i l l u s t r a t e d i n F i g u r e
1 f o r s e v e r a l ̀ - v a l u e s .
F o r a o n e - d i m e n s i o n a l b a r r i e r t r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t i e s c a n b e e v a l u a t e d n u m e r i c a l l y -
e i t h e r e x a c t l y o r u s i n g a u n i f o r m W K B a p p r o x i m a t i o n , v a l i d f o r e n e r g i e s b o t h a b o v e a n d
b e l o w t h e b a r r i e r ( B r i n k a n d S m i l a n s k y , 1 9 8 3 a ; B r i n k , 1 9 8 5 a ) :
T
̀
( E ) = 1 + e x p ( 2 S
̀
( E ) ) ]
? 1
; ( 5 )
w h e r e t h e W K B p e n e t r a t i o n i n t e g r a l i s
S
̀
( E ) =
s
2
h
2
Z
r
2 ̀
r
1 ̀
d r
"
V
0
( r ) +
h
2
̀ ( ̀ + 1 )
2 r
2
? E
#
1 = 2
: ( 6 )
I n t h i s e q u a t i o n r
1 ̀
a n d r
2 ̀
a r e t h e c l a s s i c a l t u r n i n g p o i n t s f o r t h e ̀ - t h p a r t i a l w a v e p o t e n t i a l
b a r r i e r .
I f w e a s s u m e t h a t t h e p o t e n t i a l b a r r i e r c a n b e r e p l a c e d b y a p a r a b o l a
V
0
( r ) = V
B 0
?
1
2
2
2
( r ? r
o
)
2
; ( 7 )
w h e r e V
B 0
i s t h e h e i g h t a n d i s a m e a s u r e o f t h e c u r v a t u r e o f t h e s - w a v e p o t e n t i a l b a r r i e r ,
t h e t r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t y c a n b e c a l c u l a t e d t o b e ( H i l l a n d W h e e l e r , 1 9 5 3 )
T
0
( E ) =
1 + e x p
?
2
h
( E ? V
B 0
)
? 1
: ( 8 )
I n t h e n u c l e a r p h y s i c s l i t e r a t u r e E q . ( 8 ) i s k n o w n a s t h e H i l l - W h e e l e r f o r m u l a . E s p e c i a l l y
a t e n e r g i e s w e l l b e l o w t h e b a r r i e r t h e r e a r e s i g n i c a n t d e v i a t i o n s f r o m t h i s f o r m u l a a s t h e
p a r a b o l i c a p p r o x i m a t i o n n o l o n g e r h o l d s .
C . B a r r i e r D i s t r i b u t i o n s
A n a l t e r n a t i v e w a y o f p l o t t i n g t h e t o t a l c r o s s s e c t i o n d a t a i s t o l o o k a t t h e s e c o n d
e n e r g y d e r i v a t i v e o f t h e q u a n t i t y E , s o m e t i m e s c a l l e d t h e d i s t r i b u t i o n o f t h e b a r r i e r s . T o
e l a b o r a t e o n t h e p h y s i c a l s i g n i c a n c e o f t h i s q u a n t i t y l e t u s c o n s i d e r p e n e t r a t i o n p r o b a b i l i t i e s
5
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f o r d i e r e n t p a r t i a l w a v e s i n t h e c a s e o f a o n e - d i m e n s i o n a l s y s t e m ( c o u p l i n g t o a n i n t e r n a l
s y s t e m i s n e g l e c t e d ) , E q . ( 5 ) . U n d e r c e r t a i n c o n d i t i o n s , t o b e e l a b o r a t e d i n t h e n e x t
s u b s e c t i o n , w e c a n a p p r o x i m a t e t h e ̀ d e p e n d e n c e o f t h e t r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t y a t a g i v e n
e n e r g y b y s i m p l y s h i f t i n g t h e e n e r g y ( B a l a n t e k i n e t a l . , 1 9 8 3 ; B a l a n t e k i n a n d R e i m e r , 1 9 8 6 ) :
T
̀
' T
0
"
E ?
̀ ( ̀ + 1 ) h
2
2 R
2
( E )
#
; ( 9 )
w h e r e R
2
( E ) c h a r a c t e r i z e s a n e e c t i v e m o m e n t o f i n e r t i a . R ( E ) w a s f o u n d t o b e a s l o w l y
v a r y i n g f u n c t i o n o f e n e r g y a s d e p i c t e d i n F i g u r e 2 . C o n s e q u e n t l y , i n m a n y a p p l i c a t i o n s
R ( E ) i s r e p l a c e d b y r
0
, t h e p o s i t i o n o f t h e s - w a v e b a r r i e r , i n E q . ( 9 ) . I f m a n y v a l u e s o f
̀ a r e i m p o r t a n t i n t h e s u m o v e r p a r t i a l - w a v e t r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t i e s i n E q . ( 1 ) , w e c a n
a p p r o x i m a t e t h a t s u m w i t h a n i n t e g r a l o v e r ̀ , a n d , u s i n g E q . ( 9 ) o b t a i n ( B a l a n t e k i n e t a l . ,
1 9 8 3 ; B a l a n t e k i n a n d R e i m e r , 1 9 8 6 )
E ( E ) = R
2
( E )
Z
E
? 1
d E
0
T
0
( E
0
) : ( 1 0 )
I t w a s f o u n d t h a t E q . ( 1 0 ) r e p r e s e n t s t h e e x p e r i m e n t a l d a t a f o r t h e t o t a l f u s i o n c r o s s
s e c t i o n r a t h e r w e l l ( B a l a n t e k i n a n d R e i m e r , 1 9 8 6 ; D a s g u p t a e t a l . , 1 9 9 1 ; B a l a n t e k i n e t
a l . , 1 9 9 6 ) . D i e r e n t i a t i n g E q . ( 1 0 ) t w i c e ( R o w l e y e t a l . , 1 9 9 1 ) o n e n d s t h a t t h e e n e r g y
d e r i v a t i v e o f t h e s - w a v e t r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t y i s a p p r o x i m a t e l y p r o p o r t i o n a l t o t h e s e c o n d
e n e r g y d e r i v a t i v e o f t h e q u a n t i t y E u p t o c o r r e c t i o n s c o m i n g f r o m t h e e n e r g y d e p e n d e n c e
o f R ( E ) :
d T
0
( E )
d E
1
R
2
( E )
d
2
d E
2
( E ( E ) ) +
O (
d R
d E
) : ( 1 1 )
S i n c e R ( E ) i s a s l o w l y v a r y i n g f u n c t i o n o f e n e r g y , t h e r s t t e r m i n E q . ( 1 1 ) c a n b e u s e d
t o a p p r o x i m a t e t h e r s t d e r i v a t i v e o f t h e s - w a v e t u n n e l i n g p r o b a b i l i t y . F o r a c o m p l e t e l y
c l a s s i c a l s y s t e m , T
0
i s u n i t y a b o v e t h e b a r r i e r a n d z e r o b e l o w ; h e n c e t h e q u a n t i t y d T
0
( E ) = d E
w i l l b e a d e l t a f u n c t i o n p e a k e d w h e n E i s e q u a l t o t h e b a r r i e r h e i g h t , a s s h o w n i n F i g u r e
3 . Q u a n t u m m e c h a n i c a l l y t h i s s h a r p p e a k i s b r o a d e n e d a s t h e t r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t y
s m o o t h l y c h a n g e s f r o m z e r o a t e n e r g i e s f a r b e l o w t h e b a r r i e r t o u n i t y a t e n e r g i e s f a r a b o v e
t h e b a r r i e r ( s e e F i g u r e 3 ) . R o w l e y e t a l . ( 1 9 9 1 ) s u g g e s t e d t h a t i f m a n y c h a n n e l s a r e c o u p l e d
t o t h e t r a n s l a t i o n a l m o t i o n , t h e q u a n t i t y d T
0
( E ) = d E i s f u r t h e r b r o a d e n e d a n d c a n b e t a k e n
t o r e p r e s e n t t h e \ d i s t r i b u t i o n s o f t h e b a r r i e r s " d u e t o t h e c o u p l i n g t o t h e e x t r a d e g r e e s o f
f r e e d o m a s d e p i c t e d i n F i g u r e 4 f o r a t w o - c h a n n e l c a s e .
O b v i o u s l y o n e n e e d s r a t h e r h i g h p r e c i s i o n d a t a t o b e a b l e t o n u m e r i c a l l y c a l c u l a t e t h e
s e c o n d d e r i v a t i v e o f t h e e x c i t a t i o n f u n c t i o n . S u c h h i g h - q u a l i t y d a t a r e c e n t l y b e c a m e a v a i l -
a b l e f o r a n u m b e r o f s y s t e m s . A s a s p e c i c e x a m p l e o f t h e q u a l i t y o f r e c e n t d a t a , F i g u r e 5
s h o w s t h e m e a s u r e d c r o s s s e c t i o n a n d t h e e x t r a c t e d a s s o c i a t e d b a r r i e r d i s t r i b u t i o n f o r t h e
1 6
O +
1 5 4
S m s y s t e m ( W e i e t a l . , 1 9 9 1 ; L e i g h e t a l . , 1 9 9 5 ) .
E q s . ( 9 ) a n d ( 1 0 ) ( w i t h t h e s u b s t i t u t i o n R ( E ) ! r
0
) c a n a l s o b e u s e d t o o b t a i n a d i r e c t
c o n n e c t i o n b e t w e e n t h e f u s i o n c r o s s s e c t i o n a n d t h e a n g u l a r m o m e n t u m d i s t r i b u t i o n ( S a h m
e t a l . , 1 9 8 5 ; A c k e r m a n n , 1 9 9 5 ) :
6
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T
̀
( E ) =
1
r
2
0
d ( E
0
( E
0
) )
d E
0
!
; ( 1 2 )
w h e r e
E
0
= E ? ( h
2
= 2 r
2
0
) ̀ ( ̀ + 1 ) : ( 1 3 )
F o r e n e r g i e s w e l l a b o v e t h e b a r r i e r , o n e c a n u s e t h e p a r a b o l i c a p p r o x i m a t i o n o f E q . ( 7 )
f o r t h e p o t e n t i a l b a r r i e r . F u r t h e r a p p r o x i m a t i n g R ( E ) b y r
0
a n d i n s e r t i n g t h e p e n e t r a t i o n
p r o b a b i l i t y f o r t h e p a r a b o l i c b a r r i e r , E q . ( 8 ) , i n E q . ( 1 0 ) o n e o b t a i n s a n a p p r o x i m a t e
e x p r e s s i o n f o r t h e c r o s s s e c t i o n ( W o n g , 1 9 7 3 )
( E ) =
h r
2
0
2 E
l o g
1 + e x p
2
h
( E ? V
B 0
)
: ( 1 4 )
I n t h e c l a s s i c a l l i m i t , w h e r e ! 0 o r E V
B 0
, E q . ( 1 4 ) r e d u c e s t o t h e s t a n d a r d g e o m e t r i c a l
r e s u l t
( E ) = r
2
0
1
?
V
B 0
E
: ( 1 5 )
D . E n e r g y D e p e n d e n c e o f t h e E e c t i v e R a d i u s
I f o n e s e t s R ( E ) = r
0
i n E q . ( 9 ) f o r a p p r o x i m a t i n g t h e ̀ - w a v e p e n e t r a b i l i t y b y t h e
s - w a v e p e n e t r a b i l i t y a t a s h i f t e d e n e r g y , o n e g e t s o n l y t h e l e a d i n g t e r m i n w h a t i s a c t u a l l y
a n i n n i t e s e r i e s e x p a n s i o n i n = ̀ ( ̀ + 1 ) . T h e n e x t t e r m i n t h i s e x p a n s i o n c a n e a s i l y b e
c a l c u l a t e d . L e t r
̀
d e n o t e t h e p o s i t i o n o f t h e p e a k o f t h e ̀ - w a v e b a r r i e r w h i c h s a t i s e s
@ V
̀
( r )
@ r
r = r
̀
= 0 ; ( 1 6 )
a n d
@
2
V
̀
( r )
@ r
2
r = r
̀
< 0 ; ( 1 7 )
t h e n t h e h e i g h t o f t h e b a r r i e r i s g i v e n b y V
B l
= V
l
( r
̀
) . W e m a k e t h e a n s a t z t h a t t h e b a r r i e r
p o s i t i o n c a n b e w r i t t e n a s a n i n n i t e s e r i e s ,
r
̀
= r
0
+ c
1
+ c
2
2
+ ; ( 1 8 )
w h e r e t h e c
i
a r e c o n s t a n t s . E x p a n d i n g a l l f u n c t i o n s i n E q . ( 1 6 ) c o n s i s t e n t l y i n p o w e r s o f ,
w e n d t h a t t h e r s t c o e c i e n t i s
c
1
= ?
h
2
r
3
0
; ( 1 9 )
w h e r e i s t h e c u r v a t u r e o f t h e s - w a v e b a r r i e r
7
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http://slidepdf.com/reader/full/qt-in-nuclear-fusion-advanced-1011385202 8/43
= ?
@
2
V
0
( r )
@ r
2
r = r
0
: ( 2 0 )
S u b s t i t u t i n g t h e l e a d i n g o r d e r c o r r e c t i o n i n t h e b a r r i e r p o s i t i o n r
̀
i n t o E q . ( 4 ) , w e n d t h a t
t o s e c o n d o r d e r i n t h e ̀ - w a v e b a r r i e r h e i g h t i s g i v e n b y
V
B l
= V
B 0
+
h
2
2 r
2
0
+
h
4
2
2
2
r
6
0
: ( 2 1 )
T h e r e f o r e , a n i m p r o v e d a p p r o x i m a t i o n f o r t h e ̀ - d e p e n d e n c e i n t h e p e n e t r a b i l i t y i s g i v e n b y
T
̀
( E ) T
0
E ?
h
2
2 r
2
0
?
h
4
2
2
2
r
6
0
!
: ( 2 2 )
C o m p a r i n g E q . ( 2 1 ) w i t h E q . ( 6 ) , w e n d t h a t t h e e n e r g y - d e p e n d e n t e e c t i v e r a d i u s c a n b e
e x p r e s s e d a s ( B a l a n t e k i n e t a l . , 1 9 9 6 )
R
2
( E ) = r
2
0
"
1 ?
4
r
2
0
R
E
0
d E
0
T
0
( E
0
) ( E
? E
0
)
R
E
0
d E
0
T
0
( E
0
)
#
: ( 2 3 )
T h i s e x p r e s s i o n i s u s e f u l i n a s s e s s i n g t h e u t i l i t y o f t h e s e c o n d d e r i v a t i v e o f t h e q u a n t i t y E
a s t h e d i s t r i b u t i o n o f b a r r i e r s a s i t g i v e s a n e s t i m a t e o f t h e t e r m s n e g l e c t e d i n E q . ( 1 1 ) . I f
w e r e w r i t e E q . ( 1 1 ) i n c l u d i n g p r e v i o u s l y n e g l e c t e d t e r m s
d T
0
( E )
d E
=
1
R
2
( E )
d
2
d E
2
( E ( E ) ) ?
E ( E )
R
4
( E )
d
2
d E
2
R
2
( E )
?
2 T
0
( E )
R
2
( E )
d
d E
R
2
( E )
; ( 2 4 )
w e s e e t h a t a s t r o n g e n e r g y d e p e n d e n c e o f R ( E ) w o u l d n o t o n l y p r o v i d e a n o v e r a l l m u l -
t i p l i c a t i v e f a c t o r b e t w e e n t h e e x p e r i m e n t a l o b s e r v a b l e d
2
( E ) = d E
2
a n d t h e t r u e b a r r i e r
d i s t r i b u t i o n ( i . e . , d T
0
= d E ) , b u t m a y a l s o s h i f t t h e p o s i t i o n o f v a r i o u s p e a k s i n i t a n d c h a n g e
t h e w e i g h t s o f t h e s e p e a k s . E q . ( 2 3 ) c a n b e u s e d t o i l l u s t r a t e t h a t s u c h c o r r e c t i o n s a r e
i n d e e d s m a l l ( B a l a n t e k i n e t a l . , 1 9 9 6 ) . T h i s i s a u s e f u l c o n s i s t e n c y c h e c k e v e n w h e n c h a n n e l
c o u p l i n g e e c t s y i e l d a n u m b e r o f e i g e n - b a r r i e r s ( c f . S e c t i o n I I I B ) a s E q . ( 1 1 ) s t i l l n e e d s
t o b e s a t i s e d f o r e a c h o n e - d i m e n s i o n a l e i g e n - b a r r i e r t o b e a b l e t o i n t e r p r e t e x p e r i m e n t a l l y
d e t e r m i n e d d
2
( E ) = d E
2
a s t h e d i s t r i b u t i o n o f b a r r i e r s .
E . I n v e r s i o n o f t h e D a t a
U s i n g A b e l i a n i n t e g r a l s ( C o l e a n d G o o d , 1 9 7 8 ) , o n e c a n s h o w t h a t f o r e n e r g i e s b e l o w
t h e b a r r i e r
Z
V
B ̀
E
d E
0
S
̀
( E
0
)
p
E
0
? E
=
2
s
2
h
2
Z
r
2 ̀
r
1 ̀
d r
"
V
0
( r ) +
h
2
̀ ( ̀ + 1 )
2 r
2
? E
#
; ( 2 5 )
w h e r e V
B ̀
i s t h e h e i g h t o f t h e ̀ - w a v e p o t e n t i a l a n d V
0
( r ) i s t h e s - w a v e b a r r i e r . T h e e n e r g y
d e r i v a t i v e o f t h e l e f t - h a n d s i d e o f E q . ( 2 5 ) c a n b e i n t e g r a t e d b y p a r t s t o y i e l d ,
8
8/22/2019 QT in Nuclear Fusion-Advanced 10.1.1.38.5202
http://slidepdf.com/reader/full/qt-in-nuclear-fusion-advanced-1011385202 9/43
Z
V
B ̀
E
d E
0
@ S
̀
( E
0
) = @ E
0
p
E
0
? E
= ?
2
s
2
h
2
( r
2 ̀
? r
1 ̀
) ; ( 2 6 )
w h i c h i s u s e d t o n d t h e b a r r i e r t h i c k n e s s ( B a l a n t e k i n e t a l . , 1 9 8 3 ) . U s i n g E q s . ( 5 ) a n d ( 9 ) ,
o n e c a n r e l a t e t h e W K B p e n e t r a t i o n i n t e g r a l t o t h e e x p e r i m e n t a l l y m e a s u r e d c r o s s s e c t i o n
a s
S
0
( E ) =
1
2
l o g
2
4
"
d
d E
"
E ( E )
R
2
( E )
# #
? 1
? 1
3
5
: ( 2 7 )
T h u s , i f R ( E ) i s s p e c i e d , t h e t h i c k n e s s o f t h e b a r r i e r a t a g i v e n e n e r g y i s c o m p l e t e l y
d e t e r m i n e d f r o m t h e e x p e r i m e n t a l d a t a u s i n g E q s . ( 2 6 ) a n d ( 2 7 ) .
T h e p o t e n t i a l s r e s u l t i n g f r o m t h e a n a l y s i s o f B a l a n t e k i n e t a l . ( 1 9 8 3 ) f o r s i x s y s t e m s a r e
s h o w n i n F i g u r e 6 . F o r c o m p a r i s o n , p o i n t C o u l o m b a n d t h e p h e n o m e n o l o g i c a l l y d e t e r m i n e d
p o t e n t i a l o f K r a p p e e t a l . ( 1 9 7 9 ) a r e a l s o s h o w n . I t s h o u l d b e e m p h a s i z e d t h a t t h i s i n v e r s i o n
m e t h o d a s s u m e s t h e e x i s t e n c e o f a s i n g l e p o t e n t i a l b a r r i e r . T h e t h i c k n e s s f u n c t i o n s , t =
r
2 0
? r
1 0
, i n F i g u r e 6 e s p e c i a l l y f o r t h e h e a v i e r s y s t e m s a r e i n c o n s i s t e n t w i t h t h e a s s u m p t i o n
o f a s i n g l e - v a l u e d o n e - d i m e n s i o n a l l o c a l p o t e n t i a l , c l e a r l y i n d i c a t i n g t h e n e e d f o r c o u p l i n g
t o o t h e r d e g r e e s o f f r e e d o m . T h i s r e s u l t w a s c o n r m e d b y t h e s y s t e m a t i c s t u d y o f I n u i a n d
K o o n i n ( 1 9 8 4 ) .
I I I . M U L T I D I M E N S I O N A L Q U A N T U M T U N N E L I N G I N N U C L E A R P H Y S I C S
A . C o u p l e d - C h a n n e l s F o r m a l i s m
A s t a n d a r d t h e o r e t i c a l a p p r o a c h t o s t u d y t h e e e c t o f n u c l e a r i n t r i n s i c d e g r e e s o f f r e e d o m
o n t h e f u s i o n c r o s s s e c t i o n i s t o n u m e r i c a l l y s o l v e c o u p l e d - c h a n n e l s e q u a t i o n s t h a t d e t e r m i n e
t h e w a v e f u n c t i o n s o f t h e r e l a t i v e m o t i o n . F o r e x a m p l e , i f o n e i s i n t e r e s t e d i n t h e e e c t o f
t h e e x c i t a t i o n o f t h e g r o u n d s t a t e K = 0
+
r o t a t i o n a l b a n d o f t h e t a r g e t n u c l e u s , t h e n
e a c h c h a n n e l c a n b e d e n o t e d b y a s e t o f i n d i c e s ( I ; ̀ ) , w h e r e I a n d ̀ a r e t h e a n g u l a r
m o m e n t u m o f t h e r o t a t i o n a l e x c i t e d s t a t e s o f t h e t a r g e t n u c l e u s a n d t h a t o f t h e r e l a t i v e
m o t i o n , r e s p e c t i v e l y . T h e c o u p l e d - c h a n n e l s e q u a t i o n s t h e n r e a d
"
?
h
2
2
d
2
d r
2
+
h
2
2 r
2
̀
1
( ̀
1
+ 1 ) + V ( r )
? E
I
1
#
f
I
1
; ̀
1
( r )
+ F
( r )
X
I
2
; ̀
2
( ? )
J + ̀
2
i
I
2
+ ̀
2
? I
1
? ̀
1
"
( 2 ̀
1
+ 1 ) ( 2 I
1
+ 1 ) ( 2 I
2
+ 1 )
2 + 1
#
1 = 2
< I
1
I
2
0 0 j 0 > < ̀
1
0 0 j ̀
2
0 >
(
̀
1
I
1
J
I
2
̀
2
)
f
I
2
; ̀
2
( r ) = 0 : ( 2 8 )
W h e n t h e c o u p l e d - c h a n n e l s f o r m a l i s m i s u s e d t o s t u d y d i r e c t r e a c t i o n s t h e o p t i c a l p o t e n t i a l
V ( r ) c o n t a i n s a n i m a g i n a r y p a r t i n o r d e r t o t a k e i n t o a c c o u n t t h e e e c t o f i n t r i n s i c d e g r e e s
o f f r e e d o m o t h e r t h a n t h e r o t a t i o n a l e x c i t a t i o n o n t h e s c a t t e r i n g . T h e m u l t i - p o l a r i t y o f t h e
i n t r i n s i c e x c i t a t i o n i s = 2 i f w e r e s t r i c t t o q u a d r u p o l e d e f o r m a t i o n s . T h e c o u p l i n g f o r m
f a c t o r F
( r ) c o n s i s t s o f C o u l o m b a n d n u c l e a r p a r t s ,
9
8/22/2019 QT in Nuclear Fusion-Advanced 10.1.1.38.5202
http://slidepdf.com/reader/full/qt-in-nuclear-fusion-advanced-1011385202 10/43
F
( r ) = F
C
( r ) + F
N
( r ) : ( 2 9 )
I f t h e c o u p l i n g i s r e s t r i c t e d t o t h e q u a d r u p o l e d e f o r m a t i o n s , t h e C o u l o m b p a r t i s
F
C
( r ) =
3
p
2 0
Z
1
Z
2
e
2
R
2
c
r
3
( r R
c
)
=
3
p
2 0
Z
1
Z
2
e
2
r
2
R
3
c
( r < R
c
) ( 3 0 )
a n d t h e n u c l e a r p a r t i s
F
N
( r ) = ?
s
5
4
R
V
d V
N
d r
: ( 3 1 )
I n m o s t c a l c u l a t i o n s t h e s c a l e p a r a m e t e r s R
c
a n d R
V
a r e t a k e n t o b e 1 : 2 A
1 = 3
. I n t h e s t a n d a r d
c o u p l e d - c h a n n e l s c a l c u l a t i o n s , o n e s o l v e s E q . ( 2 8 ) b y i m p o s i n g r e g u l a r b o u n d a r y c o n d i t i o n
a t t h e o r i g i n . I n c o n t r a s t , i n t h e s t u d y o f h e a v y - i o n f u s i o n r e a c t i o n s , o n e t a k e s t h e p o t e n t i a l
t o b e r e a l a n d o f t e n s o l v e s E q . ( 2 8 ) b y i m p o s i n g t h e i n c o m i n g w a v e b o u n d a r y c o n d i t i o n a t
s o m e p o i n t i n s i d e t h e p o t e n t i a l b a r r i e r t o o b t a i n S - m a t r i c e s . T h e f u s i o n c r o s s s e c t i o n i s t h e n
o b t a i n e d b a s e d o n t h e u n i t a r i t y r e l a t i o n a s
=
k
2
X
̀
( 2 ̀ + 1 ) f 1 ?
X
a
j S
a
( ̀ ) j
2
g ; ( 3 2 )
w h e r e t h e i n d e x a d e s i g n a t e s d i e r e n t s c a t t e r i n g c h a n n e l s , w h i c h h a v e b e e n e x p l i c i t l y d e a l t
w i t h i n t h e c o u p l e d - c h a n n e l s c a l c u l a t i o n . A n a d v a n t a g e o f t h e c o u p l e d - c h a n n e l s m e t h o d i s
t h a t o n e c a n t r y t o c o n s i s t e n t l y a n a l y z e h e a v y - i o n f u s i o n r e a c t i o n s , a n d o t h e r s c a t t e r i n g p r o -
c e s s e s s u c h a s e l a s t i c s c a t t e r i n g . C o u p l e d - c h a n n e l s c a l c u l a t i o n s f o r a n u m b e r o f s y s t e m s e x i s t
i n t h e l i t e r a t u r e ( D a s s o e t a l . , 1 9 8 3 ; L i n d s a y a n d R o w l e y , 1 9 8 4 ; E s b e n s e n a n d L a n d o w n e ,
1 9 8 7 ; T h o m p s o n e t a l . , 1 9 8 5 ; S t e f a n i n i e t a l . , 1 9 9 0 ) .
O n e c a n s i g n i c a n t l y r e d u c e t h e d i m e n s i o n o f t h e c o u p l e d - c h a n n e l s c a l c u l a t i o n s b y i g -
n o r i n g t h e c h a n g e o f t h e c e n t r i f u g a l p o t e n t i a l b a r r i e r d u e t o t h e n i t e m u l t i - p o l a r i t y o f
t h e n u c l e a r i n t r i n s i c e x c i t a t i o n ( T a k i g a w a a n d I k e d a , 1 9 8 6 ; E s b e n s e n e t a l . , 1 9 8 7 ) . T h i s i s
c a l l e d t h e n o - C o r i o l i s a p p r o x i m a t i o n , r o t a t i n g f r a m e a p p r o x i m a t i o n , o r i s o - c e n t r i f u g a l a p -
p r o x i m a t i o n ( G o m e z - C a m a c h o a n d J o h n s o n , 1 9 8 8 ) . A p a t h i n t e g r a l a p p r o a c h t o n o - C o r i o l i s
a p p r o x i m a t i o n w a s g i v e n b y H a g i n o e t a l . ( 1 9 9 5 a ) .
I f o n e f u r t h e r i g n o r e s t h e n i t e e x c i t a t i o n e n e r g y o f n u c l e a r i n t r i n s i c m o t i o n , t h e n o n e
c a n c o m p l e t e l y d e c o u p l e t h e c o u p l e d - c h a n n e l s e q u a t i o n s i n t o a s e t o f s i n g l e e i g e n - c h a n n e l
p r o b l e m s . T h e s e t w o a p p r o x i m a t i o n s s i g n i c a n t l y s i m p l i f y t h e n u m e r i c a l c a l c u l a t i o n s a n d
a l s o g i v e a c l e a r p h y s i c a l u n d e r s t a n d i n g o f t h e e e c t o f c h a n n e l - c o u p l i n g i n t e r m s o f t h e
d i s t r i b u t i o n o f p o t e n t i a l b a r r i e r s .
B . S i m p l i e d C o u p l e d - C h a n n e l s M o d e l s
U n d e r c e r t a i n a s s u m p t i o n s i t i s p o s s i b l e t o s i g n i c a n t l y s i m p l i f y t h e c o u p l e d - c h a n n e l s
e q u a t i o n s d e s c r i b e d i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n . W e t a k e t h e H a m i l t o n i a n t o b e
1 0
8/22/2019 QT in Nuclear Fusion-Advanced 10.1.1.38.5202
http://slidepdf.com/reader/full/qt-in-nuclear-fusion-advanced-1011385202 11/43
H = H
k
+ V
0
( r ) + H
0
( ) + H
i n t
( r ; ) ( 3 3 )
w i t h t h e t e r m H
k
r e p r e s e n t i n g t h e k i n e t i c e n e r g y
H
k
= ?
h
2
2
r
2
; ( 3 4 )
w h e r e r i s t h e r e l a t i v e c o o r d i n a t e o f t h e c o l l i d i n g n u c l e i a n d r e p r e s e n t s a n y i n t e r n a l d e g r e e s
o f f r e e d o m o f t h e t a r g e t o r t h e p r o j e c t i l e . I n t h i s e q u a t i o n V
0
( r ) i s t h e b a r e p o t e n t i a l a n d
t h e t e r m H
0
( ) r e p r e s e n t s t h e i n t e r n a l s t r u c t u r e o f t h e t a r g e t o r t h e p r o j e c t i l e n u c l e u s .
I n t r o d u c i n g t h e e i g e n s t a t e s o f H
0
( )
H
0
j n i =
n
j n i ; ( 3 5 )
a n d e x p a n d i n g t h e r a d i a l w a v e f u n c t i o n a s
( r ) =
X
n
n
( r ) j n i ; ( 3 6 )
t h e t i m e - i n d e p e n d e n t S c h r o e d i n g e r e q u a t i o n i s r e d u c e d t o a s e t o f c o u p l e d e q u a t i o n s f o r t h e
r e l a t i v e m o t i o n w a v e f u n c t i o n s
n
,
"
?
h
2
2
d
2
d r
2
+ V
̀
( r ) ? E
#
n
( r ) = ?
X
m
n
n m
+ h n j H
i n t
( r ; ) j m i ]
m
( r ) : ( 3 7 )
T h e s e e q u a t i o n s a r e s o l v e d u n d e r t h e i n c o m i n g w a v e b o u n d a r y c o n d i t i o n s :
n
( r ) !
8
>
>
<
>
>
:
n 0
e x p ( ? i k
n
r ) +
q
k
k
n
R
n
e x p ( i k
n
r ) ; r ! + 1
q
k
k
n
T
n
e x p ( ? i k
n
r ) ; r ! r
m i n
9
>
>
=
>
>
;
; ( 3 8 )
w h e r e h
2
k
2
n
= 2 = E ?
n
. T h e i n t e r n a l d e g r e e s o f f r e e d o m a r e t a k e n t o b e i n i t i a l l y i n t h e i r
g r o u n d s t a t e l a b e l e d b y n = 0 a n d t h e a s s o c i a t e d g r o u n d s t a t e e n e r g y i s s e t t o b e z e r o ,
0
= 0 . I n E q . ( 3 8 ) t h e r e e c t i o n a n d t r a n s m i s s i o n c o e c i e n t s i n e a c h c h a n n e l a r e d e n o t e d
b y R
n
a n d T
n
, r e s p e c t i v e l y .
S e v e r a l g r o u p s ( D a s s o e t a l . , 1 9 8 3 ; B r o g l i a e t a l . , 1 9 8 3 a ; J a c o b s a n d S m i l a n s k y , 1 9 8 3 )
s t u d i e d v a r i o u s s i m p l i f y i n g l i m i t s t o e m p h a s i z e s a l i e n t p h y s i c a l f e a t u r e s . H e r e w e s u m m a r i z e
t h e a p p r o a c h o f D a s s o e t a l . ( 1 9 8 3 ) . T h e y a s s u m e d t h a t t h e c o u p l i n g i n t e r a c t i o n f a c t o r s i n t o
a r e l a t i v e p a r t , F ( r ) , a n d a n i n t r i n s i c p a r t , G ( ) :
M
n m
n
n m
+ h n j H
i n t
( r ; ) j m i =
n
n m
+ F ( r ) h n j G ( ) j m i ; ( 3 9 )
a n d t h a t t h e f o r m f a c t o r F ( r ) i s a c o n s t a n t ( t a k e n b y D a s s o e t a l . ( 1 9 8 3 ) t o b e t h e v a l u e
o f F ( r ) a t t h e b a r r i e r p o s i t i o n ) . U n d e r t h e s e a p p r o x i m a t i o n s t h e c o u p l e d - c h a n n e l e q u a t i o n s
d e c o u p l e t o g i v e
"
?
h
2
2
d
2
d r
2
+ V
̀
( r ) +
n
? E
#
X
m
U
n m
m
( r )
!
= 0 ; ( 4 0 )
1 1
8/22/2019 QT in Nuclear Fusion-Advanced 10.1.1.38.5202
http://slidepdf.com/reader/full/qt-in-nuclear-fusion-advanced-1011385202 12/43
w h e r e U
n m
i s t h e u n i t a r y m a t r i x w h i c h d i a g o n a l i z e s t h e c o u p l i n g m a t r i x M
n m
t o g i v e a s e t
o f e i g e n v a l u e s
n
. E q . ( 4 0 ) i n d i c a t e s t h a t t h e e e c t o f t h e c o u p l i n g i s t o r e p l a c e t h e o r i g i n a l
b a r r i e r b y a s e t o f e i g e n - b a r r i e r s V
̀
( r ) +
n
. T h e t r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t y c a l c u l a t e d i n t h e
i n c o m i n g - w a v e b o u n d a r y c o n d i t i o n s i s g i v e n b y
T
̀
( E ) =
X
n
j U
n 0
j
2
T
̀
( E ?
n
) ; ( 4 1 )
w h e r e T
̀
( E ?
n
) i s t h e t r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t i e s c a l c u l a t e d a t s h i f t e d e n e r g i e s E ?
n
.
E v e n t h o u g h t h e c o n s t a n t - c o u p l i n g a p p r o a c h w o u l d o v e r p r e d i c t t h e t r a n s m i s s i o n p r o b -
a b i l i t y , i t c a n n e v e r t h e l e s s b e u s e d t o g e t a q u a l i t a t i v e u n d e r s t a n d i n g o f t h e d e p e n d e n c e o f
t h e f u s i o n c r o s s s e c t i o n o n v a r i o u s p h y s i c a l q u a n t i t i e s . F o r e x a m p l e , o n e c a n s t u d y c o u p l i n g
t o a n h a r m o n i c m o d e w i t h a n i t e Q - v a l u e u s i n g t h e m o d e l H a m i l t o n i a n
M =
2
= 2 D +
1
2
C
2
+ F
0
; ( 4 2 )
y i e l d i n g
M
m n
= ? n Q
m n
+ F (
p
n
n ; m + 1
+
p
n + 1
n ; m ? 1
) ; ( 4 3 )
w h e r e ? Q = h
q
C = D i s t h e e x c i t a t i o n e n e r g y a n d F = F
0
q
j Q j = 2 C m e a s u r e s t h e t o t a l
s t r e n g t h o f t h e c o u p l i n g a n d t h e e i g e n v a l u e s a r e
n
= n j Q j ? F
2
= j Q j : ( 4 4 )
T h e t o t a l t r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t y c a n e a s i l y b e c a l c u l a t e d t o b e
T
c c
( E ) =
1
X
n = 0
( F
2 n
= Q
2 n
n ! ) e x p ( ? F
2
= Q
2
) T ( E ? n j Q j + F
2
= j Q j ) : ( 4 5 )
I n t h e s p e c i a l c a s e o f a t w o - c h a n n e l p r o b l e m t h e m a t r i x
M =
0
B
@
0 F
F ? Q
1
C
A
( 4 6 )
h a s e i g e n v a l u e s
=
1
2
? Q
q
Q
2
+ 4 F
2
; ( 4 7 )
w i t h t h e c o r r e s p o n d i n g w e i g h t f a c t o r s
U
2
=
2 F
2
4 F
2
+ Q
2
Q
p
4 F
2
+ Q
2
: ( 4 8 )
N o t e t h a t f o r F = j Q j < 1 t h e l o w e s t e e c t i v e b a r r i e r c a r r i e s t h e l a r g e s t w e i g h t f o r n e g a t i v e
Q , w h i l e t h e s i t u a t i o n i s r e v e r s e d f o r p o s i t i v e Q ( c f . S e c t i o n V B ) .
T a n i m u r a e t a l . ( 1 9 8 5 ) p o i n t e d o u t t h a t t h e c o n s t a n t c o u p l i n g a p p r o x i m a t i o n c a n o v e r -
e s t i m a t e l o w - e n e r g y f u s i o n r a t e s w h e r e t h e c o u p l i n g e e c t s a r e s t r o n g a n d t h e a s s o c i a t e d
1 2
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f o r m f a c t o r s a r e r a p i d l y v a r y i n g . D a s s o a n d L a n d o w n e ( 1 9 8 7 a ) e x t e n d e d t h e i r m o d e l f o r
s t r o n g c o u p l i n g c a s e s . T h e y d i a g o n a l i z e d t h e c o u p l e d i n t r i n s i c s y s t e m i n t h e b a r r i e r r e g i o n
t o o b t a i n t h e e i g e n s t a t e s
j ( r )
i a n d t h e e i g e n v a l u e s
( r ) a s f u n c t i o n s o f r t o o b t a i n t h e
t o t a l t r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t y
T
s c c
( E ) =
X
j h ( R ) j 0 i j
2
T
( E ; V ( r ) +
( r ) ) ; ( 4 9 )
w h e r e T
( E ; V ( r ) +
( r ) ) i s t h e p e n e t r a t i o n p r o b a b i l i t y f o r t h e p o t e n t i a l V ( r ) +
( r ) . T h e
w e i g h i n g f a c t o r s a r e x e d a t a c h o s e n r a d i u s R , w h i c h m i g h t b e t h e p o s i t i o n o f t h e u n p e r -
t u r b e d b a r r i e r o r t h e a v e r a g e p o s i t i o n o f t h e e i g e n - b a r r i e r s . T w o c o u p l e d - c h a n n e l s c o d e s ,
s i m p l i e d i n t h i s m a n n e r , a r e a v a i l a b l e i n t h e l i t e r a t u r e : C C F U S ( D a s s o a n d L a n d o w n e ,
1 9 8 7 b ) a n d C C D E F ( F e r n a n d e z - N i e l l o e t a l . , 1 9 8 9 ) . B o t h o f t h e m t r e a t t h e v i b r a t i o n a l c o u -
p l i n g i n t h e c o n s t a n t c o u p l i n g a p p r o x i m a t i o n . T h e l a t t e r t a k e s i n t o a c c o u n t p r o j e c t i l e a n d
t a r g e t d e f o r m a t i o n s w i t h i n t h e s u d d e n a p p r o x i m a t i o n a n d t r e a t s c o u p l i n g t o t h e t r a n s f e r
c h a n n e l s w i t h a c o n s t a n t f o r m f a c t o r .
I n C C F U S t h e b a s i s s t a t e s i n c l u d e d a r e t h e g r o u n d s t a t e
j 0
i , t h e q u a d r u p o l e o n e - p h o n o n
s t a t e b
y
2
j 0 i , t h e o c t u p o l e o n e - p h o n o n s t a t e b
y
3
j 0 i , a n d t h e p r o d u c t t w o - p h o n o n s t a t e b
y
2
b
y
3
j 0 i .
T h e r e s u l t i n g m a t r i x t o b e d i a g o n a l i z e d t o y i e l d t h e e i g e n - c h a n n e l s i s
M =
0
B
B
B
@
0 F
2
( r ) F
3
( r ) 0
F
2
( r )
2
0 F
3
( r )
F
3
( r ) 0
3
F
2
( r )
0 F
3
( r ) F
2
( r )
2
+
3
1
C
C
C
A
: ( 5 0 )
I n C C F U S t h e d o u b l e p h o n o n s t a t e s ( b
y
2
)
2
j 0 i , a n d ( b
y
3
)
2
j 0 i a r e n o t i n c l u d e d f o r m a t h e m a t i c a l
s i m p l i c a t i o n . T h e e i g e n v a l u e s o f t h e m a t r i x i n E q . ( 5 0 ) c a n b e w r i t t e n a s t h e s u m s o f t h e
e i g e n v a l u e s o f t h e t w o 2 2 m a t r i c e s w h i c h r e p r e s e n t t h e c o u p l i n g o f t h e s i n g l e o n e - p h o n o n
s t a t e s , i . e . ,
M
2
=
0 F
2
( r )
F
2
( r )
2
!
; ( 5 1 )
a n d
M
3
=
0 F
3
( r )
F
3
( r )
3
!
: ( 5 2 )
I f t h e m a t r i x o f E q . ( 5 0 ) a l s o i n c l u d e d t h e d o u b l e - p h o n o n s t a t e s ( b
y
2
)
2
j 0 i , a n d ( b
y
3
)
2
j 0 i
s u c h a s i m p l e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n e i g e n v a l u e s o f t h e 4 4 a n d 2 2 m a t r i c e s w o u l d n o t
b e p o s s i b l e . C C F U S p r o v i d e s t w o o p t i o n s ; t h e m a t r i c e s o f E q . ( 5 1 ) a n d ( 5 2 ) a r e e i t h e r
d i a g o n a l i z e d b y r e p l a c i n g t h e f o r m f a c t o r s F
2
( r ) a n d F
3
( r ) w i t h t h e i r v a l u e s a t t h e l o c a t i o n
o f t h e b a r e p o t e n t i a l b a r r i e r , o r d i a g o n a l i z e d f o r a l l v a l u e s o f r . I n t h e l a t t e r c a s e o n l y t h e
w e i g h t f a c t o r s , b u t n o t t h e e i g e n v a l u e s a r e e v a l u a t e d a t t h e p o s i t i o n o f t h e b a r e b a r r i e r . T h e
t r a n s m i s s i o n c o e c i e n t s f o r e a c h e i g e n - b a r r i e r a r e c a l c u l a t e d u s i n g t h e W o n g f o r m u l a , E q .
( 1 4 ) .
T h e a p p r o a c h o f C C F U S c a n b e g e n e r a l i z e d t o i n c o r p o r a t e n d i e r e n t p h o n o n s b y i n -
c l u d i n g t h e g r o u n d s t a t e , n o n e - p h o n o n s t a t e s , n ( n ? 1 ) = 2 t w o - p h o n o n s t a t e s ( i . e . , n o t t h o s e
1 3
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s t a t e s w h e r e t h e s a m e p h o n o n a p p e a r s m o r e t h a n o n c e ) , n ( n ? 1 ) ( n ? 2 ) = 3 ! t h r e e - p h o n o n
s t a t e s , e t c . t o o b t a i n a t o t a l n u m b e r o f
1 + n +
n ( n ? 1 )
2 !
+
n ( n ? 1 ) ( n ? 2 )
3 !
+
n ( n ? 1 ) ( n ? 2 ) ( n ? 3 )
4 !
+ = 2
n
( 5 3 )
s t a t e s . S i n c e n o p h o n o n a p p e a r s m o r e t h a n o n c e , t h e e i g e n v a l u e s o f t h e r e s u l t i n g 2
n
2
n
m a t r i x c a n b e w r i t t e n a s a p p r o p r i a t e c o m b i n a t i o n s o f t h e e i g e n v a l u e s o f n 2 2 m a t r i c e s .
E v e n t h o u g h t h e a p p r o a c h o f C C F U S p r o v i d e s a n e l e g a n t m a t h e m a t i c a l s o l u t i o n t o t h e
m a t r i x d i a g o n a l i z a t i o n p r o b l e m i t i g n o r e s a l l t h e s t a t e s w h e r e t h e s a m e p h o n o n a p p e a r s
m o r e t h a n o n c e , e . g . , t h e d o u b l e - p h o n o n s t a t e s . D a s g u p t a e t a l . ( 1 9 9 2 ) a n d K r u p p a e t a l .
( 1 9 9 3 ) p o i n t e d o u t t h a t i n s o m e c a s e s t h e c o u p l i n g o f a s t a t e l i k e ( b
y
i
)
2
j 0 i t o t h e g r o u n d
s t a t e c a n b e s t r o n g e r t h a n t h e c o u p l i n g o f a s t a t e l i k e b
y
i
b
y
j
j 0 i ; i 6= j . K r u p p a e t a l . ( 1 9 9 3 )
c o n s i d e r e d q u a d r u p o l e a n d o c t u p o l e p h o n o n s , b u t i n c l u d e d t h e i r d o u b l e - p h o n o n s t a t e s a s
w e l l d i a g o n a l i z i n g t h e r e s u l t i n g 6 6 m a t r i x . D a s g u p t a e t a l . ( 1 9 9 2 ) e x c l u d e d a l l m u l t i p l e -
p h o n o n s t a t e s , s o f o r n d i e r e n t t y p e s o f p h o n o n s t h e y n u m e r i c a l l y d i a g o n a l i z e d a n ( n +
1 ) ( n + 1 ) m a t r i x i n s t e a d o f a n a l y t i c a l l y d i a g o n a l i z i n g a n 2
n
2
n
m a t r i x . T h e r e s u l t i n g
s i m p l i e d c o u p l e d c h a n n e l s c o d e i s n a m e d C C M O D ( D a s g u p t a e t a l . , 1 9 9 2 ) . I n C C M O D t h e
w e i g h t f a c t o r s a r e c a l c u l a t e d a t t h e p o s i t i o n o f t h e b a r e b a r r i e r , b u t t h e e n e r g y d e p e n d e n c e
o f R ( E ) i n E q . ( 9 ) i s t a k e n i n t o a c c o u n t u s i n g t h e p r e s c r i p t i o n o f R o w l e y e t a l . ( 1 9 8 9 ) .
E i g e n - c h a n n e l c r o s s s e c t i o n s a r e a g a i n c a l c u l a t e d u s i n g t h e W o n g ' s f o r m u l a .
M a n y e x p e r i m e n t a l i s t s u s e t h e s e s i m p l i e d c o u p l e d c h a n n e l c o d e s . W h e n u s i n g t h e m i t
i s i m p o r t a n t t o r e m e m b e r t h e a p p r o x i m a t i o n s d i s c u s s e d i n t h e p r e v i o u s p a r a g r a p h s . S o m e
o f t h e s e a p p r o x i m a t i o n s ( c o n s t a n t c o u p l i n g , W o n g ' s f o r m u l a ) l e a d t o a n o v e r e s t i m a t e o f t h e
c r o s s s e c t i o n . S o m e o f t h e i g n o r e d c o u p l i n g s ( e . g . , t h e d o u b l e p h o n o n s t a t e s ) m a y b e v e r y
i m p o r t a n t f o r t h e d y n a m i c s o f t h e a n a l y z e d s y s t e m . W e t h e r e f o r e r e c o m m e n d u s i n g t h e s e
c o d e s o n l y f o r a q u a l i t a t i v e u n d e r s t a n d i n g o f t h e d a t a a n d s t r o n g l y e n c o u r a g e a u t h o r s t o
u s e f u l l c o u p l e d c h a n n e l c o d e s f o r a n y q u a n t i t a t i v e d e s c r i p t i o n .
F i n a l l y o n e s h o u l d p o i n t o u t t h a t i n t h e l i m i t i n w h i c h t h e i n t r i n s i c e n e r g i e s a r e s m a l l
c o m p a r e d t o t h e c o u p l i n g i n t e r a c t i o n o n e c a n a p p r o x i m a t e E q . ( 3 9 )
M
n m
F ( r ) h n j G ( ) j m i : ( 5 4 )
I n t h i s c a s e i t i s n o t n e c e s s a r y t o r e q u i r e t h e c o u p l i n g t o b e c o n s t a n t . T h e t r a n s f o r m a t i o n
a m p l i t u d e b e t w e e n t h e g r o u n d s t a t e a n d t h e e i g e n - c h a n n e l s l a b e l e d b y i s t h e g r o u n d s t a t e
w a v e f u n c t i o n y i e l d i n g t h e t r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t y
T
r m t o t a l
=
Z
d j ( ) j
2
T E ; V ( r ) + F ( r ) G ( ) ] ; ( 5 5 )
w h e r e T E ; V ( r ) + F ( r ) G ( ) ] i s t h e t r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t y f o r t h e p o t e n t i a l V ( r ) + F ( r ) G ( )
c a l c u l a t e d a t e n e r g y E .
C . P a t h I n t e g r a l A p p r o a c h
A n a l t e r n a t i v e f o r m u l a t i o n o f t h e m u l t i d i m e n s i o n a l q u a n t u m t u n n e l i n g i s g i v e n b y t h e
p a t h i n t e g r a l f o r m a l i s m ( B a l a n t e k i n a n d T a k i g a w a , 1 9 8 5 ) . F o r t h e H a m i l t o n i a n g i v e n i n E q .
1 4
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( 3 3 ) t h e p r o p a g a t o r t o g o f r o m a n i n i t i a l s t a t e c h a r a c t e r i z e d b y r e l a t i v e r a d i a l c o o r d i n a t e
( t h e m a g n i t u d e o f r ) r
i
a n d i n t e r n a l q u a n t u m n u m b e r s n
i
t o a n a l s t a t e c h a r a c t e r i z e d b y
t h e r a d i a l p o s i t i o n r
f
a n d t h e i n t e r n a l q u a n t u m n u m b e r s n
f
m a y b e w r i t t e n a s
K ( r
f
; n
f
; T ; r
i
; n
i
; 0 ) =
Z
D r ( t ) ] e
i
h
S ( r ; T )
W
n
f
n
i
( r ( t ) ; T ) ; ( 5 6 )
w h e r e S ( r ; T ) i s t h e a c t i o n f o r t h e t r a n s l a t i o n a l m o t i o n a n d W
n
f
n
i
i s t h e p r o p a g a t o r f o r t h e
i n t e r n a l s y s t e m a l o n g a g i v e n p a t h o f t h e t r a n s l a t i o n a l m o t i o n :
W
n
f
n
i
( r ; T ) =
D
n
f
̂
U
i n t
( r ( t ) ; T )
n
i
E
: ( 5 7 )
̂
U
i n t
s a t i s e s t h e d i e r e n t i a l e q u a t i o n
i h
@
̂
U
i n t
@ t
= H
0
+ H
i n t
]
̂
U
i n t
; ( 5 8 )
̂
U
i n t
( t = 0 ) = 1 : ( 5 9 )
W e w a n t t o c o n s i d e r t h e c a s e w h e r e r
i
a n d r
f
a r e o n o p p o s i t e s i d e s o f t h e b a r r i e r . I n t h e
l i m i t w h e n t h e i n i t i a l a n d n a l s t a t e s a r e f a r a w a y f r o m t h e b a r r i e r , t h e t r a n s i t i o n a m p l i t u d e
i s g i v e n b y t h e S - m a t r i x e l e m e n t , w h i c h c a n b e e x p r e s s e d i n t e r m s o f t h e p r o p a g a t o r a s
( B a l a n t e k i n a n d T a k i g a w a , 1 9 8 5 )
S
n
f
; n
i
( E ) = ?
1
i h
l i m
r
i
! 1
r
f
! ? 1
p
i
p
f
2
!
1
2
e x p
i
h
( p
f
r
f
? p
i
r
i
)
1
Z
0
d T e
+ i E T = h
K ( r
f
; n
f
; T ; r
i
; n
i
; 0 ) ; ( 6 0 )
w h e r e p
i
a n d p
f
a r e t h e c l a s s i c a l m o m e n t a a s s o c i a t e d w i t h r
i
a n d r
f
. I n h e a v y i o n f u s i o n
w e a r e i n t e r e s t e d i n t h e t r a n s i t i o n p r o b a b i l i t y i n w h i c h t h e i n t e r n a l s y s t e m e m e r g e s i n a n y
n a l s t a t e . F o r t h e ̀ t h p a r t i a l w a v e , t h i s i s
T
̀
( E ) =
X
n
f
j S
n
f
; n
i
( E ) j
2
; ( 6 1 )
w h i c h b e c o m e s , u p o n s u b s t i t u t i n g E q s . ( 5 7 ) a n d ( 6 0 ) ,
T
̀
( E ) = l i m
r
i
! 1
r
f
! ? 1
p
i
p
f
2
!
1
Z
0
d T e x p
i
h
E T
1
Z
0
e
T e x p
?
i
h
E
e
T
Z
D r ( t ) ]
Z
D ~ r (
~
t ) ] e x p
i
h
( S ( r ; T ) ? S ( ~ r ;
e
T ) )
M
( ~ r (
~
t ) ;
e
T ; r ( t ) ; T ) : ( 6 2 )
H e r e w e h a v e a s s u m e d t h a t t h e e n e r g y d i s s i p a t e d t o t h e i n t e r n a l s y s t e m i s s m a l l c o m p a r e d t o
t h e t o t a l e n e r g y a n d t a k e n p
f
o u t s i d e t h e s u m o v e r n a l s t a t e s . W e i d e n t i e d t h e t w o - t i m e
i n u e n c e f u n c t i o n a l a s
M
( ~ r (
~
t ) ;
e
T ; r ( t ) ; T ) =
X
n
f
W
n
f
; n
i
( ~ r (
~
t ) ;
e
T ; 0 ) W
n
f
; n
i
( r ( t ) ; T ; 0 ) : ( 6 3 )
1 5
8/22/2019 QT in Nuclear Fusion-Advanced 10.1.1.38.5202
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U s i n g t h e c o m p l e t e n e s s o f n a l s t a t e s , w e c a n s i m p l i f y t h i s e x p r e s s i o n t o w r i t e
M
( ~ r (
~
t ) ;
e
T ; r ( t ) ; T ) =
D
n
i
̂
U
y
i n t
( ~ r (
~
t ) ;
~
T )
̂
U
i n t
( r ( t ) ; T )
n
i
E
: ( 6 4 )
E q . ( 6 4 ) s h o w s t h e u t i l i t y o f t h e i n u e n c e f u n c t i o n a l m e t h o d w h e n t h e i n t e r n a l s y s t e m h a s
s y m m e t r y p r o p e r t i e s . I f t h e H a m i l t o n i a n i n E q . ( 5 8 ) h a s a d y n a m i c a l o r s p e c t r u m g e n e r a t i n g
s y m m e t r y , i . e . , i f i t c a n b e w r i t t e n i n t e r m s o f t h e C a s i m i r o p e r a t o r s a n d g e n e r a t o r s o f a
g i v e n L i e a l g e b r a , t h e n t h e s o l u t i o n o f E q . ( 5 8 ) i s a n e l e m e n t o f t h e c o r r e s p o n d i n g L i e g r o u p
( B a l a n t e k i n a n d T a k i g a w a , 1 9 8 5 ) . C o n s e q u e n t l y t h e t w o t i m e i n u e n c e f u n c t i o n a l o f E q .
( 6 4 ) i s s i m p l y a d i a g o n a l g r o u p m a t r i x e l e m e n t f o r t h e l o w e s t - w e i g h t s t a t e a n d i t c a n b e
e v a l u a t e d u s i n g s t a n d a r d g r o u p - t h e o r e t i c a l m e t h o d s . T h i s i s e x a c t l y t h e r e a s o n w h y t h e
p a t h i n t e g r a l m e t h o d i s v e r y c o n v e n i e n t w h e n t h e i n t e r n a l s t r u c t u r e i s r e p r e s e n t e d b y a n
a l g e b r a i c m o d e l s u c h a s t h e I n t e r a c t i n g B o s o n M o d e l .
T w o - t i m e i n u e n c e f u n c t i o n a l s c a n b e c a l c u l a t e d e x a c t l y f o r o n l y a l i m i t e d n u m b e r o f
s y s t e m s . O n e o f t h e s e i s a h a r m o n i c o s c i l l a t o r , l i n e a r l y c o u p l e d t o t h e t r a n s l a t i o n a l m o t i o n .
I n t h i s c a s e t h e H a m i l t o n i a n i s
H = ?
h
2
2
0
@
2
@ r
2
+ V
0
( r ) + ( a
y
a +
1
2
) h ! +
0
f ( r ) ( a + a
y
) ; ( 6 5 )
w h e r e
0
i s t h e b a r e m a s s o f t h e m a c r o s c o p i c m o t i o n a n d V
0
( r ) i s t h e b a r e p o t e n t i a l . T h e
a
y
( a ) , ! , m a n d f ( r ) a r e t h e c r e a t i o n ( a n n i h i l a t i o n ) o p e r a t o r s o f t h e o s c i l l a t o r q u a n t a , t h e
f r e q u e n c y a n d t h e m a s s p a r a m e t e r o f t h e o s c i l l a t o r a n d t h e c o u p l i n g f o r m f a c t o r , r e s p e c t i v e l y .
T h e q u a n t i t y
0
= h = 2 m ! ]
1 = 2
r e p r e s e n t s t h e a m p l i t u d e o f t h e z e r o - p o i n t m o t i o n o f t h e
h a r m o n i c o s c i l l a t o r . T h e t w o t i m e i n u e n c e f u n c t i o n a l
M
r e e c t s t h e e e c t s o f c o u p l i n g t o
t h e h a r m o n i c o s c i l l a t o r a n d i s g i v e n b y
M
(
e
r (
~
t ) ;
e
T ; r ( t ) ; T ) = e x p ?
i
2
! ( T ?
e
T ) ] e x p f ?
2
0
h
2
( y
1
+ y
2
+ y
3
) g ( 6 6 )
w i t h
y
1
=
Z
T
0
d t
Z
t
0
d s f ( r ( t ) ) f ( r ( s ) ) e
? i ! ( t ? s )
y
2
=
Z
e
T
0
d
~
t
Z
~
t
0
d ~ s f (
e
r (
~
t ) ) f (
e
r ( ~ s ) ) e
i ! (
~
t ? ~ s )
y
3
= ? e
i ! (
e
T ? T )
Z
T
0
d t f ( r ( t ) ) e
i ! t
Z
e
T
0
d
~
t f (
e
r (
~
t ) ) e
? i !
~
t
: ( 6 7 )
A n e x a c t c a l c u l a t i o n o f t h e i n u e n c e f u n c t i o n a l i s p o s s i b l e i n t h i s c a s e b e c a u s e o f t h e s y m -
m e t r y o f t h e H a m i l t o n i a n u n d e r t h e H e i s e n b e r g - W e y l a l g e b r a .
D . A d i a b a t i c a n d S u d d e n T u n n e l i n g
W e c a n d i s c u s s t h e e e c t s o f c o u p l i n g s b e t w e e n n u c l e a r s t r u c t u r e a n d t r a n s l a t i o n a l m o t i o n
i n t w o l i m i t i n g c a s e s . T h e r s t c a s e i s t h e s u d d e n l i m i t i n w h i c h t h e e n e r g y l e v e l s o f t h e
i n t e r n a l s y s t e m a r e d e g e n e r a t e . T h e s e c o n d c a s e i s t h e a d i a b a t i c l i m i t i n w h i c h t h e e n e r g y
1 6
8/22/2019 QT in Nuclear Fusion-Advanced 10.1.1.38.5202
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o f t h e r s t e x c i t e d s t a t e o f t h e s y s t e m i s v e r y l a r g e s o t h a t t h e i n t e r n a l s y s t e m e m e r g e s i n
t h e g r o u n d s t a t e a t t h e o t h e r s i d e o f t h e b a r r i e r .
S e v e r a l e x a m p l e s a r e w o r k e d o u t e x p l i c i t l y b y B a l a n t e k i n a n d T a k i g a w a ( 1 9 8 5 ) , t o w h i c h
t h e r e a d e r i s r e f e r r e d f o r f u r t h e r d e t a i l s . I t c a n b e s h o w n t h a t i n t h e s u d d e n l i m i t , t h e t o t a l
t r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t y i s g i v e n b y a n i n t e g r a l o f t r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t i e s f o r a x e d v a l u e
o f t h e i n t e r n a l c o o r d i n a t e , w i t h t h e w e i g h t o f t h e i n t e g r a t i o n g i v e n b y t h e d i s t r i b u t i o n o f
t h e i n t e r n a l c o o r d i n a t e i n i t s g r o u n d s t a t e . F o r e x a m p l e f o r t h e l i n e a r l y - c o u p l e d h a r m o n i c
o s c i l l a t o r a s t h e e x c i t a t i o n e n e r g y g e t s s m a l l e r , ! ! 0 , t h e i n u e n c e f u n c t i o n a l o f E q . ( 6 6 )
t a k e s t h e f o r m
M
(
e
r (
~
t ) ;
e
T ; r ( t ) ; T ) = e x p
?
2
0
2 h
2
Z
T
0
d t f ( r ( t ) ) ?
Z
e
T
0
d
~
t f (
e
r (
~
t ) ) ]
2
!
: ( 6 8 )
U s i n g t h e i n t e g r a l
Z
1
? 1
d x e
? ( a x
2
+ b x )
=
r
a
e
b
2
= 4 a
( 6 9 )
w e c a n r e w r i t e t h e i n u e n c e f u n c t i o n a l a s
M
(
e
r (
~
t ) ;
e
T ; r ( t ) ; T ) =
S
(
e
r (
~
t ) ;
e
T ; r ( t ) ; T )
1
0
p
2
Z
1
? 1
d e
?
1
2
(
0
)
2
e x p
?
i
h
Z
T
0
d t f ( r ( t ) ) ?
Z
e
T
0
d
~
t f (
e
r (
~
t ) ) ]
!
( 7 0 )
w h e r e t h e l o w e r s u x s s t a n d s f o r s u d d e n t u n n e l i n g . I n s e r t i n g t h i s e x p r e s s i o n i n t o E q . ( 6 2 )
o n e o b t a i n s
T ( E ) =
1
p
2
Z
+ 1
? 1
d x e
? x
2
= 2
T
0
( E ; V
0
( r ) + x
0
f ( r ) ) ; ( 7 1 )
w h e r e T
0
( E ; V
0
( r ) + x f ( r ) ) i s t h e p r o b a b i l i t y o f t u n n e l i n g t h r o u g h t h e o n e - d i m e n s i o n a l b a r -
r i e r V
0
( r ) + x f ( r ) a t e n e r g y E . T h i s e x p r e s s i o n i s k n o w n a s t h e z e r o p o i n t m o t i o n f o r m u l a
a n d w a s r s t d e r i v e d b y E s b e n s e n ( E s b e n s e n , 1 9 8 1 ) . T h i s r e s u l t c a n a l s o b e d e r i v e d e i t h e r
u s i n g t h e c o u p l e d - c h a n n e l s f o r m a l i s m ( c f . S e c t i o n I I I B ) o r u s i n g G r e e n ' s f u n c t i o n s ( T a k i -
g a w a e t a l . , 1 9 9 2 a ) . S i m i l a r l y , i f t h e t r a n s l a t i o n a l m o t i o n c o u p l e s t o a v e r y s l o w r o t a t i o n a l
m o t i o n t h r o u g h a c o u p l i n g H a m i l t o n i a n g i v e n b y
H
i n t
=
s
5
4
P
2
( c o s ) f ( r ) ( 7 2 )
t h e n t h e n e t t u n n e l i n g p r o b a b i l i t y i s o b t a i n e d b y r s t c a l c u l a t i n g t h e t u n n e l i n g p r o b a b i l i t y
f o r a x e d o r i e n t a t i o n o f t h e p r i n c i p a l a x i s o f t h e d e f o r m e d n u c l e u s , a n d t h e n t a k i n g a v e r a g e
o v e r a l l o r i e n t a t i o n s
T ( E ) =
Z
1
0
d c o s T
0
0
@
E ; V
0
( r ) +
s
5
4
P
2
( c o s ) f ( r )
1
A
: ( 7 3 )
1 7
8/22/2019 QT in Nuclear Fusion-Advanced 10.1.1.38.5202
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T h i s f o r m u l a w a s r s t d e r i v e d b y C h a s e e t a l . ( 1 9 5 8 ) i n t h e s t u d y o f s c a t t e r i n g o f r o t a t i o n a l
n u c l e i i n t h e s u d d e n a p p r o x i m a t i o n . S y s t e m a t i c s o f t h e f u s i o n c r o s s s e c t i o n s o f
1 6
O w i t h a
s e r i e s o f S m i s o t o p e s , r a n g i n g f r o m v i b r a t i o n a l t o r o t a t i o n a l , w a s r s t g i v e n b y S t o k s t a d a n d
G r o s s ( 1 9 8 1 ) u s i n g E q . ( 7 3 ) .
I n a c t u a l c a l c u l a t i o n s , b o t h v i b r a t i o n a l a n d r o t a t i o n a l e x c i t a t i o n s a r e t r u n c a t e d a t n i t e
e x c i t e d s t a t e s . I n t h e s e c a s e s , t h e H e r m i t e a n d t h e G a u s s i n t e g r a l s i n E q s . ( 7 1 ) a n d ( 7 3 ) a r e
r e p l a c e d b y t h e H e r m i t e a n d t h e G a u s s q u a d r a t u r e s , r e s p e c t i v e l y ( N a g a r a j a n e t a l . , 1 9 8 6 ) .
Z e r o p o i n t m o t i o n f o r m u l a e t h e n h a v e a s i m p l e g e o m e t r i c i n t e r p r e t a t i o n : I n t h i s a p p r o x i -
m a t i o n f u s i o n o f a d e f o r m e d n u c l e u s w i t h a n i t e n u m b e r ( N ) o f l e v e l s c a n b e d e s c r i b e d b y
s a m p l i n g N o r i e n t a t i o n s w i t h t h e i r r e s p e c t i v e w e i g h t s :
( E ) =
N
X
i = 1
!
i
( E ; V
0
( R ) +
i
f ( r ) ) ; ( 7 4 )
w h e r e
P
N
i = 1
!
i
= 1 . F o r e x a m p l e , i n a t w o - l e v e l s y s t e m , t h e o r i e n t a t i o n s
1
= 7 0 : 1 2
o
a n d
2
= 3 0 : 5 5
o
c o n t r i b u t e w i t h w e i g h t f a c t o r s !
1
= 0 : 6 5 2 a n d !
1
= 0 : 3 4 8 , r e s p e c t i v e l y , a s
i l l u s t r a t e d i n F i g u r e 7 .
W h e n b o t h t a r g e t a n d p r o j e c t i l e a r e h e a v y a n d d e f o r m e d o n e n e e d s a m o d e l d e s c r i b i n g
m a c r o s c o p i c p o t e n t i a l e n e r g y s u r f a c e s f o r a r b i t r a r i l y o r i e n t e d , d e f o r m e d h e a v y i o n s . S u c h
a m o d e l d e s c r i b i n g c o m p l e t e l y g e n e r a l c o n g u r a t i o n s o f t w o s e p a r a t e d n u c l e i i s g i v e n b y
M o l l e r a n d I w a m o t o ( 1 9 9 4 ) .
I n t h e a d i a b a t i c l i m i t , i . e . , t h a t o f s l o w t u n n e l i n g , o n e c a n i n t r o d u c e ( B a l a n t e k i n a n d
T a k i g a w a , 1 9 8 5 ) a n = ! e x p a n s i o n , ! a n d b e i n g t h e f r e q u e n c i e s o f t h e i n t e r n a l m o t i o n a n d
t h e t u n n e l i n g b a r r i e r , r e s p e c t i v e l y . I n t h i s l i m i t t h e e e c t s o f t h e c o u p l i n g t o i n t e r n a l d e g r e e s
o f f r e e d o m c a n b e r e p r e s e n t e d i n t e r m s o f e n e r g y - i n d e p e n d e n t p o t e n t i a l r e n o r m a l i z a t i o n
( B a l a n t e k i n a n d T a k i g a w a , 1 9 8 5 ; M u l l e r a n d T a k i g a w a , 1 9 8 7 ) :
V
0
( r ) ! V
a d
= V
0
( r ) ?
2
0
f
2
( r ) = h ! ; ( 7 5 )
a n d a m a s s r e n o r m a l i z a t i o n ( T a k i g a w a e t a l . , 1 9 9 4 a )
0
!
a d
=
0
+ 2
2
0
h !
1
!
2
d f
d r
!
2
: ( 7 6 )
T h i s l i m i t i s v e r y c l o s e l y r e l a t e d t o t h e s i t u a t i o n i n v e s t i g a t e d b y C a l d e i r a a n d L e g g e t t ( 1 9 8 3 )
i n t h e i r s t u d y o f m u l t i d i m e n s i o n a l q u a n t u m t u n n e l i n g . I n t h e C a l d e i r a - L e g g e t t f o r m a l i s m
t h e t e r m w h i c h r e n o r m a l i z e s t h e p o t e n t i a l i n E q . ( 7 5 ) i s a d d e d t o t h e L a g r a n g i a n a s a
c o u n t e r - t e r m . N o t e t h a t t h e c o r r e c t i o n t e r m t o t h e p o t e n t i a l i s t h e w e l l - k n o w n p o l a r i z a t i o n
p o t e n t i a l a n d t h e c o r r e c t i o n t e r m t o t h e m a s s i s t h e c r a n k i n g m a s s . H e n c e a p p r o p r i a t e
g e n e r a l i z a t i o n s o f E q s . ( 7 5 ) a n d ( 7 6 ) h o l d n o t o n l y f o r a l i n e a r l y - c o u p l e d o s c i l l a t o r , b u t f o r
a n y s y s t e m ( T a k i g a w a e t a l . , 1 9 9 4 a ) . E e c t s o f t h e p o l a r i z a t i o n p o t e n t i a l o n t h e s u b b a r r i e r
f u s i o n c r o s s s e c t i o n w e r e e l u c i d a t e d b y T a n i m u r a e t a l . ( 1 9 8 5 ) .
T y p i c a l l y a d i a b a t i c b a r r i e r a l o n e o v e r p r e d i c t s t h e t r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t y . W e c a n
d e m o n s t r a t e t h i s f o r t h e c o n s t a n t c o u p l i n g c a s e (
a d
=
0
) u s i n g t h e e x a c t c o u p l e d - c h a n n e l s
r e s u l t o f E q . ( 4 5 )
T
c c
( E ) =
1
X
n = 0
1
n !
0
f
h !
!
2 n
e x p ( ?
2
0
f
2
= ( h ! )
2
) T
E ? n h ! +
2
0
f
2
h !
!
: ( 7 7 )
1 8
8/22/2019 QT in Nuclear Fusion-Advanced 10.1.1.38.5202
http://slidepdf.com/reader/full/qt-in-nuclear-fusion-advanced-1011385202 19/43
I n s e r t i n g t h e i n e q u a l i t y
T
E ? n h ! +
2
0
f
2
h !
!
T
E +
2
0
f
2
h !
!
: ( 7 8 )
i n t o E q . ( 7 7 ) w e g e t
T
c c
( E ) T
a d i a b a t i c
( E ) : ( 7 9 )
W e s h o u l d e m p h a s i z e t h a t i n t h e a d i a b a t i c l i m i t b o t h t h e p o t e n t i a l a n d t h e m a s s r e n o r -
m a l i z a t i o n s h o u l d b e c o n s i d e r e d t o g e t h e r . M a n y a u t h o r s r e f e r t o u s i n g o n l y t h e a d i a b a t i c
p o t e n t i a l a s t h e a d i a b a t i c l i m i t . W h i l e f o r c o n s t a n t c o u p l i n g i t i s t r u e t h a t
a d
=
0
, i n
m o s t c a s e s o f i n t e r e s t t o n u c l e a r f u s i o n t h e c o u p l i n g f o r m f a c t o r s r a p i d l y c h a n g e n e a r t h e
b a r r i e r a n d t h e d i e r e n c e b e t w e e n t h e a d i a b a t i c m a s s a n d t h e b a r e m a s s c a n g e t v e r y l a r g e .
I n t h e s e c a s e s , u s i n g t h e a d i a b a t i c c o r r e c t i o n t o t h e m a s s i n a d d i t i o n t o t h e a d i a b a t i c p o -
t e n t i a l , e v e n t h o u g h t h e f o r m e r i s i n t h e n e x t o r d e r i n 1 = ! a s c o m p a r e d t o t h e l a t t e r , c a n
s i g n i c a n t l y r e d u c e t h e t r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t y t o v a l u e s b e l o w t h e e x a c t c o u p l e d - c h a n n e l s
r e s u l t ( T a k i g a w a e t a l . , 1 9 9 4 a ) .
A d i a b a t i c a n d s u d d e n a p p r o x i m a t i o n s a r e v e r y u s e f u l f o r o b t a i n i n g a n a l y t i c a l r e s u l t s
w h i c h p r o v i d e a c o n c e p t u a l f r a m e w o r k f o r u n d e r s t a n d i n g t h e f u s i o n p r o c e s s . F o r d e f o r m e d
n u c l e i , w h e r e t h e e x c i t a t i o n e n e r g i e s a r e v e r y l o w , s u d d e n a p p r o x i m a t i o n p r o v i d e s a r e a s o n -
a b l y g o o d d e s c r i p t i o n o f t h e d a t a . I n c a s e o f r o t a t i o n - v i b r a t i o n c o u p l i n g , s u d d e n a p p r o x i -
m a t i o n c a n b e u t i l i z e d t o r e d u c e t h e s i z e o f t h e c h a n n e l c o u p l i n g .
I f t h e e x c i t a t i o n e n e r g i e s o f t h e i n t e r n a l s y s t e m a r e l a r g e t h e s u d d e n a p p r o x i m a t i o n t e n d s
t o o v e r e s t i m a t e t h e t u n n e l i n g p r o b a b i l i t y a t e n e r g i e s w e l l b e l o w t h e b a r r i e r . I n d e e d E s b e n s e n
e t a l . ( 1 9 8 3 ) s h o w e d t h a t a t b e l o w t h e b a r r i e r e n e r g i e s s u d d e n a p p r o x i m a t i o n p r o v i d e s a n
u p p e r l i m i t t o t h e t u n n e l i n g p r o b a b i l i t y . U s i n g t h e p a t h i n t e g r a l a p p r o a c h H a g i n o e t a l .
( 1 9 9 5 b ) s h o w e d t h a t , f o r a n e a r l y d e g e n e r a t e s y s t e m , t h e n i t e e x c i t a t i o n e n e r g y l e a d s t o
a m u l t i p l i c a t i v e d i s s i p a t i o n f a c t o r w h i c h r e d u c e s t h e b a r r i e r p e n e t r a b i l i t y e s t i m a t e d i n t h e
s u d d e n l i m i t . T h i s l a t t e r r e s u l t a l s o p r o v i d e s a g o o d e x a m p l e o f t h e u t i l i t y o f t h e p a t h i n t e g r a l
m e t h o d . A s w e m e n t i o n e d e a r l i e r f o r H a m i l t o n i a n s w r i t t e n i n t e r m s o f t h e g e n e r a t o r s o f a
L i e a l g e b r a p a t h i n t e g r a l a p p r o a c h i s e s p e c i a l l y c o n v e n i e n t a s i n t e g r a l s o v e r p a t h s b e c o m e
i n t e g r a l s o v e r t h e g r o u p m a n i f o l d a n d t h u s a r e a m e n a b l e t o t h e s t a n d a r d g r o u p t h e o r e t i c a l
t e c h n i q u e s . A n e x a m p l e f o r t h i s i s t h e t r e a t m e n t o f t h e n u c l e a r s t r u c t u r e e e c t s i n s u b b a r r i e r
f u s i o n w i t h t h e i n t e r a c t i n g b o s o n m o d e l d i s c u s s e d i n S e c t i o n I V . F i n a l l y c o u p l e d c h a n n e l
t e c h n i q u e s a r e n o t p r a c t i c a l a s t h e n u m b e r o f c h a n n e l s g e t s v e r y l a r g e , e . g . , f o r t u n n e l i n g
p r o b l e m s a t n i t e t e m p e r a t u r e . O n t h e o t h e r h a n d f o r n i t e t e m p e r a t u r e p r o b l e m s p a t h
i n t e g r a l t e c h n i q u e s c a n e a s i l y b e a p p l i e d ( s e e e . g . , A b e a n d T a k i g a w a ( 1 9 8 8 ) w h e r e p a r t i c l e
d e c a y f r o m a h o t c o m p o u n d n u c l e u s i s i n v e s t i g a t e d a n d t h e t h e r m a l u c t u a t i o n o f t h e n u c l e a r
s u r f a c e i s s h o w n t o a m p l i f y t h e d y n a m i c a l e e c t ) .
E . I n t e r m e d i a t e C a s e s - D y n a m i c a l N o r m M e t h o d
I n t h e i n t e r m e d i a t e c a s e s b e t w e e n t h e s u d d e n a n d t h e a d i a b a t i c t u n n e l i n g , t h e e e c t s o f
t h e e n v i r o n m e n t i s n o t s t r a i g h t f o r w a r d t o i l l u s t r a t e i n s i m p l e p h y s i c a l t e r m s . T h e d y n a m i c a l
n o r m m e t h o d ( B r i n k , 1 9 8 5 b ; T a k i g a w a e t a l . , 1 9 9 5 b ) i s a t e c h n i q u e i n t r o d u c e d t o g i v e a n
1 9
8/22/2019 QT in Nuclear Fusion-Advanced 10.1.1.38.5202
http://slidepdf.com/reader/full/qt-in-nuclear-fusion-advanced-1011385202 20/43
i n t u i t i v e u n d e r s t a n d i n g o f t h e e e c t s o f t h e e n v i r o n m e n t i n t h e i n t e r m e d i a t e c a s e s . D e n i n g
t h e a d i a b a t i c b a s i s b y
H
0
( ) + H
i n t
( ; r ( t ) ) ]
n
( r ( t ) ; ) h ( r ( t ) ; )
n
( r ( t ) ; ) =
n
( r ( t ) )
n
( r ( t ) ; ) : ( 8 0 )
I n t h e s a m e s p i r i t a s t h e W K B a p p r o x i m a t i o n f o r a p o t e n t i a l m o d e l , f o r t h e t o t a l w a v e
f u n c t i o n o n e c a n t a k e t h e a n s a t z
( r ; ) = ( r ; )
d W
d r
!
? 1 = 2
e
i W ( r ) = h
: ( 8 1 )
H e r e t h e p a r a m e t e r
2
i s 1 a n d ? 1 i n c l a s s i c a l l y a l l o w e d a n d i n c l a s s i c a l l y f o r b i d d e n r e g i o n s ,
r e s p e c t i v e l y a n d t h e a c t i o n o b e y s t h e H a m i l t o n - J a c o b i e q u a t i o n
2
2
0
d W
d r
!
2
+ V
a d
( r ) = E ( 8 2 )
w h e r e V
a d
i s t h e a d i a b a t i c p o t e n t i a l d e n e d b y
V
a d
( r ) = V
0
( R ) +
0
( r ) : ( 8 3 )
O n e c a n t h e n d e r i v e a n a p p r o x i m a t e e x p r e s s i o n w h e r e t h e n e t t u n n e l i n g p r o b a b i l i t y i s g i v e n
b y t h e p r o d u c t o f t h e t u n n e l i n g p r o b a b i l i t y t h r o u g h t h e a d i a b a t i c p o t e n t i a l b a r r i e r a n d a
m u l t i p l i c a t i v e f a c t o r w h i c h r e p r e s e n t s t h e n o n - a d i a b a t i c e e c t o f t h e i n t r i n s i c d e g r e e s o f
f r e e d o m :
T = T
0
( E ; V
a d
) N (
b
)
N ( ) =
Z
d j ( r ( ) ; ) j
2
; ( 8 4 )
w h e r e
b
i s t h e t i m e w h e n t h e t u n n e l i n g p r o c e s s i s c o m p l e t e d . N o t e t h a t i n t h i s a p p r o x i -
m a t i o n t h e t r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t y i n E q . ( 8 4 ) i s c a l c u l a t e d w i t h t h e b a r e m a s s , n o t t h e
r e n o r m a l i z e d m a s s o f E q . ( 7 6 ) . O n e c a n e a s i l y s h o w t h a t N 1 . T h i s m e a n s t h a t t h e t r a n s -
m i s s i o n p r o b a b i l i t y c a l c u l a t e d w i t h t h e a d i a b a t i c p o t e n t i a l i s a l w a y s g r e a t e r t h a n t h e a c t u a l
t r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t y . T h e d e v i a t i o n o f N f r o m 1 g i v e s t h e m e a s u r e o f n o n - a d i a b a t i c i t y
o f t h e t u n n e l i n g p r o c e s s .
O n e w a y t o d e t e r m i n e t h e d y n a m i c a l n o r m f a c t o r , N , i s t o r s t e x p a n d ( r ; ) i n t h e
b a s i s o f t h e a d i a b a t i c s t a t e s
n
( r ( ) ; )
( r ; ) =
X
n
a
n
( )
n
( r ( ) ; ) ( 8 5 )
a n d t h e n d e t e r m i n e t h e e x p a n s i o n c o e c i e n t s a
n
b y s o l v i n g t h e c o u p l e d - c h a n n e l s e q u a t i o n s
_a
n
( )
? _r ( )
X
m 6= n
a
m
( )
1
n
( r ( ) ) ?
m
( r ( ) )
<
n
j
@
~
h
@ r
j
m
> = ?
1
h
~
n
( r ( ) ) a
n
( ) ( 8 6 )
2 0
8/22/2019 QT in Nuclear Fusion-Advanced 10.1.1.38.5202
http://slidepdf.com/reader/full/qt-in-nuclear-fusion-advanced-1011385202 21/43
w i t h ~
n
=
n
( r ( ) ) ?
0
( r ( ) ) . N o t e t h a t E q . ( 8 6 ) i s c o r r e c t t o d e s c r i b e a c l a s s i c a l l y f o r b i d d e n
r e g i o n . O n e n e e d s t o m o d i f y i t w i t h i n o r d e r t o d e s c r i b e a c l a s s i c a l l y a l l o w e d r e g i o n . A s
a n e x a m p l e , o n e c a n c o n s i d e r t h e l i n e a r l y - c o u p l e d o s c i l l a t o r w i t h t h e c o u p l i n g f o r m f a c t o r
g i v e n b y f ( r ) = c r . A s s u m i n g t h a t t h e t u n n e l i n g p a t h i s g i v e n b y t ( ) = R
0
s i n ( ) , R
0
b e i n g t h e l e n g t h o f t h e t u n n e l i n g r e g i o n , w e o b t a i n
N (
b
) e x p
(
?
2
c
0
R
0
h !
2
!
)
( 8 7 )
E q . ( 8 7 ) s h o w s t h a t t h e a d i a b a t i c i t y o f t h e t u n n e l i n g p r o c e s s i s g o v e r n e d n o t o n l y b y a
p a r a m e t e r = ! , b u t a l s o o n t h e c o u p l i n g s t r e n g t h a n d o n t h e l e n g t h o f t h e t u n n e l i n g r e g i o n .
T a k i g a w a e t a l . ( 1 9 9 5 b ) a p p l i e d t h e d y n a m i c a l n o r m m e t h o d t o s p o n t a n e o u s s s i o n o f
2 3 4
U .
I V . D E S C R I P T I O N O F N U C L E A R S T R U C T U R E E F F E C T S B Y T H E
I N T E R A C T I N G B O S O N M O D E L
A n a l g e b r a i c n u c l e a r s t r u c t u r e m o d e l s i g n i c a n t l y s i m p l i e s e v a l u a t i o n o f t h e p a t h i n -
t e g r a l . T h e I n t e r a c t i n g B o s o n M o d e l ( I B M ) o f A r i m a a n d I a c h e l l o ( I a c h e l l o a n d A r i m a ,
1 9 8 7 ) i s o n e s u c h m o d e l w h i c h h a s b e e n s u c c e s s f u l l y e m p l o y e d t o d e s c r i b e t h e p r o p e r t i e s o f
l o w - l y i n g c o l l e c t i v e s t a t e s i n m e d i u m - h e a v y n u c l e i . I n t h i s s e c t i o n , a t t e m p t s t o u s e t h e I B M
i n d e s c r i b i n g n u c l e a r s t r u c t u r e e e c t s o n f u s i o n a r e r e v i e w e d . T h e p a t h i n t e g r a l f o r m u l a t i o n
o f t h i s p r o b l e m , a s s k e t c h e d i n t h e n e x t s e c t i o n , r e q u i r e s a n a l y t i c s o l u t i o n s f o r t h e n u c l e a r
w a v e f u n c t i o n s . I n t h e r s t a t t e m p t t o u s e t h e I B M t o d e s c r i b e n u c l e a r s t r u c t u r e e e c t s
i n s u b b a r r i e r f u s i o n , t h e S U ( 3 ) l i m i t o f t h e I B M w a s e m p l o y e d ( B a l a n t e k i n e t a l . , 1 9 9 1 ) .
H o w e v e r , t h e S U ( 3 ) l i m i t c o r r e s p o n d s t o a r i g i d n u c l e u s w i t h a p a r t i c u l a r q u a d r u p o l e d e f o r -
m a t i o n a n d n o h e x a d e c a p o l e d e f o r m a t i o n , a s i t u a t i o n w h i c h i s n o t r e a l i z e d i n m o s t d e f o r m e d
n u c l e i . T h u s a n a l y t i c s o l u t i o n s a w a y f r o m t h e l i m i t i n g s y m m e t r i e s o f t h e I B M a r e n e e d e d
f o r r e a l i s t i c c a l c u l a t i o n s o f s u b b a r r i e r f u s i o n c r o s s s e c t i o n s .
I n a p a r a l l e l d e v e l o p m e n t , a 1 / N e x p a n s i o n w a s i n v e s t i g a t e d ( K u y u c a k a n d M o r r i s o n ,
1 9 8 8 ; K u y u c a k a n d M o r r i s o n , 1 9 9 0 ; K u y u c a k a n d M o r r i s o n , 1 9 9 1 ) f o r t h e I B M w h i c h p r o -
v i d e d a n a l y t i c s o l u t i o n s f o r a g e n e r a l H a m i l t o n i a n w i t h a r b i t r a r y k i n d s o f b o s o n s . T h i s
t e c h n i q u e p r o v e d u s e f u l i n a v a r i e t y o f n u c l e a r s t r u c t u r e p r o b l e m s w h e r e d i r e c t n u m e r i c a l
c a l c u l a t i o n s a r e p r o h i b i t i v e l y d i c u l t . L a t e r i t w a s a p p l i e d t o m e d i u m e n e r g y p r o t o n s c a t -
t e r i n g f r o m c o l l e c t i v e n u c l e i ( K u y u c a k a n d M o r r i s o n , 1 9 8 9 ) i n t h e G l a u b e r a p p r o x i m a t i o n ,
g e n e r a l i z i n g t h e e a r l i e r w o r k d o n e u s i n g t h e S U ( 3 ) l i m i t ( G i n o c c h i o e t a l . , 1 9 8 6 ) . U s i n g t h e
1 / N e x p a n s i o n t e c h n i q u e i n t h e p a t h i n t e g r a l f o r m u l a t i o n o f t h e f u s i o n p r o b l e m ( B a l a n t e k i n
e t a l . , 1 9 9 2 ) m a k e s i t p o s s i b l e t o g o a w a y f r o m t h e t h r e e s y m m e t r y l i m i t s o f t h e I B M . I n
p a r t i c u l a r a r b i t r a r y q u a d r u p o l e a n d h e x a d e c a p o l e c o u p l i n g s c a n b e i n t r o d u c e d .
A . L i n e a r C o u p l i n g
W e t a k e H
i n t
i n E q . ( 3 3 ) t o b e o f t h e f o r m o f t h e m o s t g e n e r a l o n e - b o d y t r a n s i t i o n
o p e r a t o r f o r t h e I B M ,
H
i n t
=
X
k j ̀
k j ̀
( r )
h
b
y
j
~
b
̀
i
( k )
Y
( k )
( ̂ r ) ; ( 8 8 )
2 1
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http://slidepdf.com/reader/full/qt-in-nuclear-fusion-advanced-1011385202 22/43
w h e r e t h e b o s o n o p e r a t o r s a r e d e n o t e d b y b
̀
a n d b
y
j
. T h e k s u m r u n s o v e r k = 2 ; 4 ; : : : 2 ̀
m a x
.
O d d v a l u e s o f k a r e e x c l u d e d a s a c o n s e q u e n c e o f t h e r e e c t i o n s y m m e t r y o f t h e n u c l e a r
s h a p e , a n d t h e k = 0 t e r m i s a l r e a d y i n c l u d e d i n t h e b a r e p o t e n t i a l V
0
( r ) . T h e f o r m
f a c t o r s
k j ̀
( r ) r e p r e s e n t t h e s p a t i a l d e p e n d e n c e o f t h e c o u p l i n g b e t w e e n t h e i n t r i n s i c a n d
t r a n s l a t i o n a l m o t i o n s . T h e i n t e r a c t i o n t e r m g i v e n i n E q . ( 8 8 ) i s a n e l e m e n t o f t h e S U ( 6 )
a l g e b r a f o r t h e o r i g i n a l f o r m o f t h e I n t e r a c t i o n B o s o n M o d e l w i t h s a n d d b o s o n s a n d i s
a n e l e m e n t o f t h e S U ( 1 5 ) a l g e b r a w h e n g b o s o n s a r e i n c l u d e d a s w e l l ( I a c h e l l o a n d A r i m a ,
1 9 8 7 ) .
T o s i m p l i f y t h e c a l c u l a t i o n o f t h e i n u e n c e f u n c t i o n a l , w e u s e t h e n o - C o r i o l i s a p p r o x i m a -
t i o n . W e r s t p e r f o r m a r o t a t i o n a t e a c h i n s t a n t t o a f r a m e i n w h i c h t h e z - a x i s p o i n t s a l o n g
t h e d i r e c t i o n o f r e l a t i v e m o t i o n . N e g l e c t i n g t h e r e s u l t i n g c e n t r i f u g a l a n d C o r i o l i s t e r m s i n
t h i s r o t a t i n g f r a m e i s e q u i v a l e n t t o i g n o r i n g t h e a n g u l a r d e p e n d e n c e o f t h e o r i g i n a l H a m i l -
t o n i a n . I n t h i s a p p r o x i m a t i o n , t h e c o u p l i n g f o r m f a c t o r s b e c o m e i n d e p e n d e n t o f ̀ a n d o n l y
m = 0 m a g n e t i c s u b - s t a t e s o f t h e t a r g e t a r e e x c i t e d ( T a k i g a w a a n d I k e d a , 1 9 8 6 ; T a n i m u r a ,
1 9 8 7 ; E s b e n s e n e t a l . , 1 9 8 7 ) . F o r h e a v y s y s t e m s t h e n e g l e c t e d c e n t r i f u g a l a n d C o r i o l i s f o r c e s
a r e s m a l l . W e t a k e t h e s c a t t e r i n g t o b e i n t h e x - y p l a n e . T h e n m a k i n g a r o t a t i o n t h r o u g h
t h e E u l e r a n g l e s
̂
b = ( ; = 2 ; 0 ) , w e c a n w r i t e t h e f u l l H a m i l t o n i a n a s t h e r o t a t i o n o f a
s i m p l e r H a m i l t o n i a n d e p e n d i n g o n l y o n t h e m a g n i t u d e o f r
H = R (
̂
b ) H
( 0 )
( r ) R
y
(
̂
b ) : ( 8 9 )
S i n c e i n E q . ( 3 3 ) H
0
a n d H
t
= H
k
+ V
0
( r ) a r e r o t a t i o n a l l y i n v a r i a n t , H
i n t
i s t h e o n l y t e r m
w h o s e f o r m i s a e c t e d b y t h e t r a n s f o r m a t i o n . H e n c e w e i n t r o d u c e t h e r o t a t e d i n t e r a c t i o n
H a m i l t o n i a n H
( 0 )
i n t
( r ) , g i v e n b y
H
i n t
= R (
̂
b ) H
( 0 )
i n t
( r ) R
y
(
̂
b ) ; ( 9 0 )
H
( 0 )
i n t
( r ) =
X
j ` m
j ` m
( r ) b
y
j m
b
` m
; ( 9 1 )
j ` m
( r ) = (
? )
m
X
k
s
2 k + 1
4
h j m ̀
? m
j k 0
i
k j ̀
( r ) : ( 9 2 )
I f w e a s s u m e n o w t h a t t h e f o r m f a c t o r s
k j ̀
( r ) a r e a l l p r o p o r t i o n a l t o t h e s a m e f u n c t i o n o f
r t h e n t h e H a m i l t o n i a n H
( 0 )
i n t
c o m m u t e s w i t h i t s e l f a t d i e r e n t t i m e s a n d h e n c e w e c a n w r i t e
t h e t w o - t i m e i n u e n c e f u n c t i o n a l a s
M
=
*
n
i
e x p
i
h
Z
e
T
0
d t H
( 0 )
i n t
( ~ r ( t ) )
!
e x p
?
i
h
Z
T
0
d t H
( 0 )
i n t
( r ( t ) )
!
n
i
+
( 9 3 )
i n t h e d e g e n e r a t e s p e c t r u m l i m i t .
S i n c e t h e e x p o n e n t s o f t h e t w o o p e r a t o r s i n t h e i n u e n c e f u n c t i o n a l c o m m u t e ,
M
b e -
c o m e s t h e m a t r i x e l e m e n t o f a n S U ( 6 ) t r a n s f o r m a t i o n b e t w e e n S U ( 6 ) b a s i s s t a t e s , i n o t h e r
w o r d s i t i s a r e p r e s e n t a t i o n m a t r i x e l e m e n t f o r t h i s g r o u p a n d c a n e a s i l y b e c a l c u l a t e d u s -
i n g s t a n d a r d t e c h n i q u e s . T h e t w o - t i m e i n u e n c e f u n c t i o n a l f o r t h e s d - v e r s i o n o f t h e I B M
w a s c a l c u l a t e d b y B a l a n t e k i n e t a l . ( 1 9 9 2 ) a n d , f o r t h e p a r t i c u l a r c a s e o f S U ( 3 ) l i m i t , b y
B a l a n t e k i n e t a l . ( 1 9 9 1 ) .
2 2
8/22/2019 QT in Nuclear Fusion-Advanced 10.1.1.38.5202
http://slidepdf.com/reader/full/qt-in-nuclear-fusion-advanced-1011385202 23/43
B . H i g h e r - O r d e r C o u p l i n g s
U p t o t h i s p o i n t , w e h a v e u t i l i z e d o n l y a r s t - o r d e r c o u p l i n g b e t w e e n n u c l e a r s t a t e s
a n d t r a n s l a t i o n a l m o t i o n . A l t e r n a t i v e l y , o n e c a n i n c l u d e t h e e e c t s o f c o u p l i n g t o a l l o r d e r s .
T h i s c a n b e a c h i e v e d b y e x p l o i t i n g t h e s y m m e t r y p r o p e r t i e s o f t h e r e s o l v e n t o p e r a t o r d i r e c t l y
w i t h o u t u t i l i z i n g i t s p a t h i n t e g r a l r e p r e s e n t a t i o n . S u c h a G r e e n ' s f u n c t i o n a p p r o a c h h a s a l s o
b e e n u s e d t o s t u d y q u a n t u m t u n n e l i n g i n a h e a t b a t h ( T a k i g a w a e t a l . , 1 9 9 2 a ) .
T o i n c l u d e t h e e e c t s o f c o u p l i n g s t o a l l o r d e r s , t h e i n t e r a c t i o n H a m i l t o n i a n i n E q . ( 3 3 )
i s w r i t t e n a s
H
i n t
( r ; ) + V
0
( r ) = V
C o u l
( r ; ) + V
n u c
( r ; ) ; ( 9 4 )
w h e r e t h e C o u l o m b p a r t i s
V
C o u l
( r ; ) =
Z
1
Z
2
e
2
r
( 1 +
3
5
R
2
1
r
2
̂
O ) ( r > R
1
) ;
=
Z
1
Z
2
e
2
r
( 1 +
3
5
r
2
R
2
1
̂
O ) ( r < R
1
) : ( 9 5 )
T h e n u c l e a r p a r t i s t a k e n t o h a v e W o o d s - S a x o n f o r m ,
V
n u c
( r ; ) = ? V
0
1 + e x p
r
? R
0
? R
1
̂
O ( ̂ r ; )
a
! !
? 1
: ( 9 6 )
I n E q s . ( 9 5 ) a n d ( 9 6 ) , R
0
i s t h e s u m o f t h e t a r g e t a n d p r o j e c t i l e r a d i i a n d R
1
i s t h e
m e a n r a d i u s o f t h e d e f o r m e d t a r g e t .
̂
O i s a g e n e r a l c o u p l i n g o p e r a t o r b e t w e e n t h e i n t e r n a l
c o o r d i n a t e s a n d t h e r e l a t i v e m o t i o n
̂
O =
X
k
v
k
T
( k )
( ) Y
( k )
(
̂
r ) : ( 9 7 )
T h e c o e c i e n t s v
k
r e p r e s e n t t h e s t r e n g t h s o f t h e v a r i o u s m u l t i p o l e t r a n s i t i o n s i n t h e t a r g e t
n u c l e u s . I n t h e s t a n d a r d I B M w i t h s a n d d b o s o n s , t h e o n l y p o s s i b l e t r a n s i t i o n o p e r a t o r s
h a v e k = 0 ; 2 ; 4 ; : : : ( o d d v a l u e s b e i n g e x c l u d e d a s a c o n s e q u e n c e o f t h e r e e c t i o n s y m m e t r y
o f t h e n u c l e a r s h a p e ) . T h e m o n o p o l e c o n t r i b u t i o n i s a l r e a d y i n c l u d e d i n t h e W o o d s - S a x o n
p a r a m e t e r i z a t i o n a n d s o i s n o t n e e d e d . T h e q u a d r u p o l e a n d h e x a d e c a p o l e o p e r a t o r s a r e
g i v e n b y
T
( 2 )
= s
y
~
d + d
y
s ]
( 2 )
+ d
y
~
d ]
( 2 )
; ( 9 8 )
T
( 4 )
= d
y
~
d ]
( 4 )
: ( 9 9 )
W e a d o p t t h e \ c o n s i s t e n t - Q " f o r m a l i s m o f C a s t e n a n d W a r n e r ( C a s t e n a n d W a r n e r , 1 9 8 8 ) ,
i n w h i c h i n E q . ( 9 8 ) i s t a k e n t o b e t h e s a m e a s i n H
I B M
( t t e d t o r e p r o d u c e t h e e n e r g y
l e v e l s c h e m e a n d t h e e l e c t r o m a g n e t i c t r a n s i t i o n r a t e s o f t h e t a r g e t n u c l e u s ) a n d i s t h u s n o t
a f r e e p a r a m e t e r .
I n t h e p r e v i o u s s e c t i o n , w e u s e d t h e u s u a l a p p r o x i m a t i o n i n w h i c h t h e n u c l e a r p o t e n t i a l
o f E q . ( 9 6 ) i s e x p a n d e d i n p o w e r s o f t h e c o u p l i n g , k e e p i n g o n l y t h e l i n e a r t e r m ( c f . E q .
2 3
8/22/2019 QT in Nuclear Fusion-Advanced 10.1.1.38.5202
http://slidepdf.com/reader/full/qt-in-nuclear-fusion-advanced-1011385202 24/43
( 8 8 ) ) . I n o r d e r t o c a l c u l a t e t h e f u s i o n c r o s s s e c t i o n t o a l l o r d e r s w e c o n s i d e r t h e r e s o l v e n t
o p e r a t o r f o r t h e s y s t e m
G
+
( E ) =
1
E
+
? H
t
? H
I B M
( ) ? H
i n t
( r ;
̂
O )
: ( 1 0 0 )
T h e b a s i c i d e a i s t o i d e n t i f y t h e u n i t a r y t r a n s f o r m a t i o n w h i c h d i a g o n a l i z e s t h e o p e r a t o r
̂
O
̂
O
d
= U
̂
O U
y
( 1 0 1 )
i n o r d e r t o c a l c u l a t e i t s e i g e n v a l u e s a n d e i g e n f u n c t i o n s
̂
O
d
j n i =
n
j n i : ( 1 0 2 )
A s s u m i n g t h e c o m p l e t e n e s s o f t h e s e e i g e n f u n c t i o n s
X
n
j n i h n j = 1 ( 1 0 3 )
o n e c a n w r i t e t h e m a t r i x e l e m e n t o f t h e r e s o l v e n t a s
h
f
; r
f
j G
+
( E ) j
i
; r
i
i
= h
f
; r
f
j U
y
U
h
E
+
? H
t
? H
i n t
( r ;
̂
O )
i
? 1
U
y
U j
i
; r
i
i
= h
f
; r
f
j U
y
h
E
+
? H
t
? H
i n t
( r ;
̂
O
d
)
i
? 1
X
n
j n i h n j U j
i
; r
i
i
=
X
n
h
f
j U
y
j n i h n j U j
i
i h r
f
j G
+
n
j r
i
i ( 1 0 4 )
w h e r e
G
+
n
( E ) =
1
E
+
? H
t
? H
i n t
( r ;
n
)
: ( 1 0 5 )
T o d e r i v e t h i s r e s u l t w e i g n o r e t h e e x c i t a t i o n e n e r g i e s i n t h e t a r g e t n u c l e u s . T h i s c o r r e s p o n d s
t o s e t t i n g t h e t e r m H
I B M
t o b e z e r o i n E q s . ( 1 0 0 ) a n d ( 1 0 5 ) . I n t h i s c a s e , t h e G
+
n
( E ) g i v e n
i n E q . ( 1 0 4 ) i s t h e r e s o l v e n t o p e r a t o r f o r o n e - d i m e n s i o n a l m o t i o n i n t h e p o t e n t i a l H
i n t
( r ;
n
) ,
t h e f u s i o n c r o s s s e c t i o n o f w h i c h c a n e a s i l y b e c a l c u l a t e d w i t h i n t h e s t a n d a r d W K B a p p r o x -
i m a t i o n . T h e t o t a l c r o s s s e c t i o n c a n b e c a l c u l a t e d b y m u l t i p l y i n g t h e s e e i g e n - c h a n n e l c r o s s
s e c t i o n s b y t h e w e i g h t f a c t o r s i n d i c a t e d i n E q . ( 1 0 4 ) . T h e c a l c u l a t i o n o f t h e m a t r i x e l e -
m e n t h n j U j
i
i w i t h i n t h e I B M i s s t r a i g h t f o r w a r d ( B a l a n t e k i n e t a l . , 1 9 9 3 ; B a l a n t e k i n e t a l . ,
1 9 9 4 a ; B a l a n t e k i n e t a l . , 1 9 9 4 b ) . I t i s a l s o p o s s i b l e t o g e n e r a l i z e t h e p r e v i o u s f o r m a l i s m t o
i n c l u d e a r b i t r a r y k i n d s o f b o s o n s i n t h e t a r g e t n u c l e u s a n d i n v e s t i g a t e w h e t h e r g b o s o n s
h a v e a n y d i s c e r n i b l e e e c t s o n s u b b a r r i e r f u s i o n r e a c t i o n s . O n e n d s t h a t ( B a l a n t e k i n e t
a l . , 1 9 9 4 b ) e x c e p t f o r s l i g h t d i e r e n c e s i n t h e b a r r i e r d i s t r i b u t i o n s ( w h i c h c a n b e m a d e e v e n
s m a l l e r b y n e t u n i n g t h e c o u p l i n g s t r e n g t h s ) , t h e r e a r e n o v i s i b l e d i e r e n c e s b e t w e e n t h e
s d a n d s d g m o d e l p r e d i c t i o n s . T h e s i m i l a r i t y o f t h e r e s u l t s i m p l i e s t h a t s u b b a r r i e r f u s i o n
p r o b e s t h e o v e r a l l c o u p l i n g s t r e n g t h i n n u c l e i , b u t o t h e r w i s e i s n o t s e n s i t i v e t o t h e d e t a i l s
o f t h e n u c l e a r w a v e f u n c t i o n s . I n t h i s s e n s e s u b b a r r i e r f u s i o n , w h i c h i s a n i n c l u s i v e p r o c e s s ,
i s i n t h e s a m e c a t e g o r y a s o t h e r s t a t i c q u a n t i t i e s ( e n e r g y l e v e l s , e l e c t r o m a g n e t i c t r a n s i t i o n
2 4
8/22/2019 QT in Nuclear Fusion-Advanced 10.1.1.38.5202
http://slidepdf.com/reader/full/qt-in-nuclear-fusion-advanced-1011385202 25/43
r a t e s ) , a n d d o e s n o t s e e m t o c o n s t i t u t e a d y n a m i c p r o b e o f n u c l e i , i n c o n t r a s t t o e x c l u s i v e
p r o c e s s e s s u c h a s p r o t o n s c a t t e r i n g .
U s i n g t h i s f o r m a l i s m , a s y s t e m a t i c s t u d y o f s u b b a r r i e r f u s i o n o f
1 6
O w i t h r a r e e a r t h n u c l e i
b e c a m e p o s s i b l e . F u s i o n c r o s s s e c t i o n s f o r t h e r e a c t i o n s
1 6
O +
1 4 4 ; 1 4 8 ; 1 5 4
S m a n d
1 6
O +
1 8 6
W
w e r e m e a s u r e d b y t h e A u s t r a l i a n N a t i o n a l U n i v e r s i t y g r o u p ( W e i e t a l . , 1 9 9 1 ; L e i g h e t a l . ,
1 9 9 3 ; L e m m o n e t a l . , 1 9 9 3 ; M o r t o n e t a l . , 1 9 9 4 ; L e i g h e t a l . , 1 9 9 5 ) . T h e a n g u l a r m o m e n t u m
d i s t r i b u t i o n s f o r
1 6
O +
1 5 4
S m w a s m e a s u r e d b y B i e r m a n e t a l . ( 1 9 9 3 ) , a n d f o r
1 6
O +
1 5 2
S m b y
W u o s m a a e t a l . ( 1 9 9 1 ) . T h o s e f o r
1 6
O +
1 4 4 ; 1 4 8
S m w e r e d e d u c e d b y B a b a ( 1 9 9 3 ) . B a l a n t e k i n
e t a l . ( 1 9 9 4 a ) t t h e e x i s t i n g d a t a o n v i b r a t i o n a l a n d r o t a t i o n a l n u c l e i w i t h a c o n s i s t e n t s e t
o f p a r a m e t e r s w h i c h a r e t h e n u s e d t o p r e d i c t t h e c r o s s - s e c t i o n a n d < ` > - d i s t r i b u t i o n s .
F i g u r e 8 c o m p a r e s t h o s e d a t a w i t h t h e c r o s s s e c t i o n c a l c u l a t i o n s o f B a l a n t e k i n e t a l . ( 1 9 9 4 a )
a n d t h e a n g u l a r m o m e n t u m d i s t r i b u t i o n c a l c u l a t i o n s o f B a l a n t e k i n e t a l . ( 1 9 9 4 c ) .
F i n a l l y o n e s h o u l d m e n t i o n t h a t t h e e e c t s o f a n h a r m o n i c i t i e s b o t h i n n u c l e a r s p e c t r a
( C a s t e n a n d Z a m r , 1 9 9 6 ) a n d i n t h e v i b r a t i o n a l c o u p l i n g i n s u b b a r r i e r f u s i o n ( H i n d e e t a l . ,
1 9 9 4 ; M o r t o n , 1 9 9 5 ) r e c e n t l y a t t r a c t e d s o m e a t t e n t i o n . A r i m a a n d I a c h e l l o ( 1 9 7 6 ) p o i n t e d
o u t t h a t t h e U ( 5 ) s y m m e t r y l i m i t o f t h e I B M s h o u l d e x h i b i t i n t h e s p e c t r a a n h a r m o n i c i t i e s
s i m i l a r t o t h e g e o m e t r i c a n h a r m o n i c v i b r a t o r m o d e l o f B r i n k e t a l . ( 1 9 6 5 ) . T h i s a s s e r t i o n
w a s l a t e r e x p l i c i t l y c o n r m e d ( A p r a h a m i a n e t a l . , 1 9 8 7 ) . T h i s f e a t u r e o f t h e I B M m a k e s i t
p o s s i b l e t o d i s c u s s t h e e e c t s o f a n h a r m o n i c i t i e s i n t h e v i b r a t i o n a l c o u p l i n g i n s u b b a r r i e r
f u s i o n u s i n g t h e U ( 5 ) l i m i t ( H a g i n o e t a l . , 1 9 9 7 b ) .
V . C O M P A R I S O N O F C U R R E N T T H E O R Y W I T H D A T A
A . S t a t u s o f C o u p l e d - C h a n n e l s C a l c u l a t i o n s
D i G r e g o r i o a n d S t o k s t a d ( 1 9 9 1 ) p r e s e n t e d a s y s t e m a t i c a n a l y s i s o f f u s i o n c r o s s s e c t i o n s
a n d a v e r a g e a n g u l a r m o m e n t a f o r f o u r t e e n d i e r e n t s y s t e m s u s i n g a b a r r i e r p e n e t r a t i o n
m o d e l t h a t i n c l u d e s c o u p l i n g t o i n e l a s t i c c h a n n e l s . T h e y c o n c l u d e d t h a t m o d e l p r e d i c t i o n s
e x p l a i n d a t a w e l l f o r l i g h t a n d a s y m m e t r i c s y s t e m s w h e r e a s l a r g e d i s c r e p a n c i e s e x i s t f o r
l a r g e s y m m e t r i c s y s t e m s . I n d e e d f o r l i g h t a n d a s y m m e t r i c s y s t e m s t h e b a s i c p r e m i s e o f t h e
c o u p l e d - c h a n n e l s c a l c u l a t i o n s i s j u s t i e d : F o r t h e s e s y s t e m s t h e r e p u l s i v e C o u l o m b p o t e n t i a l
i s r e l a t i v e l y w e a k a n d t h e t a i l o f t h e a t t r a c t i v e n u c l e a r p o t e n t i a l h a s s u c i e n t s t r e n g t h t o
\ t u r n i t a r o u n d " t o f o r m t h e p o t e n t i a l b a r r i e r . T h e b a r r i e r i s t h u s f o r m e d a t a r a t h e r
l a r g e n u c l e a r s e p a r a t i o n , l o n g b e f o r e t w o n u c l e a r s u r f a c e s s t a r t t o u c h i n g . C o n s e q u e n t l y , a s
t h e s y s t e m p e n e t r a t e s t h e b a r r i e r i n d i v i d u a l n u c l e i p r e s e r v e t h e i r c h a r a c t e r a n d o n e c a n
t a l k a b o u t c o u p l i n g o f t h e s t a t e s i n t h e t a r g e t n u c l e i t o t h e q u a n t u m t u n n e l i n g p r o c e s s .
T h e i n v e r s i o n p r o c e d u r e o f B a l a n t e k i n e t a l . ( 1 9 8 3 ) d e m o n s t r a t e d t h a t e v e n w h e n t h e r e a r e
i s o t o p i c d i e r e n c e s i n t h e f u s i o n c r o s s s e c t i o n ( W u e t a l . , 1 9 8 5 ) , o n e c a n s t i l l d e s c r i b e t h e
q u a n t u m t u n n e l i n g w i t h a o n e - d i m e n s i o n a l e e c t i v e p o t e n t i a l f o r v e r y l i g h t s y s t e m s . O n t h e
o t h e r h a n d , f o r h e a v i e r a n d m o r e s y m m e t r i c s y s t e m s o t h e r e e c t s n o t e x p l i c i t l y i n c l u d e d i n
t h e c o u p l e d - c h a n n e l s c a l c u l a t i o n s , s u c h a s n e c k f o r m a t i o n m a y p l a y a n i m p o r t a n t r o l e .
M a n y e x p e r i m e n t a l g r o u p s u s e s i m p l i e d c o u p l e d - c h a n n e l s c o d e s s u c h a s C C F U S ( D a s s o
a n d L a n d o w n e , 1 9 8 7 b ) , C C D E F ( F e r n a n d e z - N i e l l o e t a l . , 1 9 8 9 ) , C C M O D ( D a s g u p t a e t a l . ,
1 9 9 2 ) , o r t h e I B M - b a s e d m o d e l s ( B a l a n t e k i n e t a l . , 1 9 9 3 ; B a l a n t e k i n e t a l . , 1 9 9 4 a ; B a l a n t e k i n
e t a l . , 1 9 9 4 b ) . A s w e m e n t i o n e d e a r l i e r i t i s w o r t h w h i l e t o k e e p i n m i n d t h a t a l t h o u g h t h e s e
2 5
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c o d e s a r e q u i t e a d e q u a t e f o r q u a l i t a t i v e c o m p a r i s o n s , t h e y m a y b e m a k i n g a n u m b e r o f
a s s u m p t i o n s , s u c h a s i g n o r i n g t h e r a d i a l d e p e n d e n c e o f t h e c o u p l i n g f o r m f a c t o r , e x c i t a t i o n
e n e r g i e s a n d / o r h i g h e r - o r d e r c o u p l i n g s . B e f o r e o n e m a k e s a q u a n t i t a t i v e s t a t e m e n t , i t m a y
b e s a g a c i o u s t o c h e c k w h a t t h e a p p r o x i m a t i o n s a r e a n d i f t h e o b s e r v e d d i s c r e p a n c i e s w i t h
t h e d a t a i s a r e s u l t o f t h e s e s i m p l i c a t i o n s . I n S e c t i o n I V B , w e e x p l i c i t l y d e m o n s t r a t e d t h e
e e c t o f t h e h i g h e r o r d e r c o u p l i n g s .
T h e c r u c i a l i n g r e d i e n t o f t h e c o u p l e d - c h a n n e l s c a l c u l a t i o n s i s t o i d e n t i f y r e l e v a n t d e g r e e s
o f f r e e d o m a n d t o m o d e l t h e a p p r o p r i a t e H a m i l t o n i a n . E v e n t h e c h o i c e o f t h e o p t i c a l
p o t e n t i a l s h o u l d b e s c r u t i n i z e d . F o r e x a m p l e , a r e c e n t s u r v e y ( B r a n d a n a n d S a t c h l e r , 1 9 9 7 )
o f t h e k n o w l e d g e o f t h e o p t i c a l p o t e n t i a l b e t w e e n e v e n m u c h s i m p l e r s y s t e m s , s u c h a s t w o
l i g h t i o n s , i n d i c a t e t h a t m a n y a n o m a l i e s n e e d e d t o b e r e s o l v e d b e f o r e a g o o d t h e o r e t i c a l
u n d e r s t a n d i n g o f t h e e l a s t i c s c a t t e r i n g d a t a c a n b e a c h i e v e d . F o r h e a v i e r s y s t e m s , f r o m t s
t o e l a s t i c s c a t t e r i n g d a t a a t e n e r g i e s n e a r t h e b a r r i e r , t h e o p t i c a l p o t e n t i a l w a s s h o w n t o h a v e
a s t r o n g e n e r g y d e p e n d e n c e , k n o w n a s \ t h r e s h o l d a n o m a l y " ( S a t c h l e r , 1 9 9 1 ) . N a g a r a j a n e t
a l . ( 1 9 8 5 ) p o i n t e d o u t t h a t t h e d i s p e r s i o n r e l a t i o n b e t w e e n t h e r e a l a n d i m a g i n a r y p a r t s
o f t h e o p t i c a l p o t e n t i a l s h o u l d b e u s e d i n r e g i o n s w h e r e t h e a b s o r p t i o n v a r i e s r a p i d l y w i t h
e n e r g y s u c h a s n e a r a n d b e l o w t h e b a r r i e r . T h e s o u r c e o f t h e e n e r g y d e p e n d e n c e c a n b e
e i t h e r c h a n n e l c o u p l i n g o r t h e n o n - l o c a l i t y o f t h e e x c h a n g e c o n t r i b u t i o n ( G a l e t t i a n d C a n d i d o
R i b e i r o , 1 9 9 4 ) . G a l e t t i a n d C a n d i d o R i b e i r o ( 1 9 9 5 ) c o m p a r e d n o n - l o c a l e e c t s a n d c o u p l e d
c h a n n e l s c a l c u l a t i o n s i n s i m p l e m o d e l s o f n u c l e a r f u s i o n .
T h e v e r y r s t c o u p l e d - c h a n n e l s c a l c u l a t i o n s f o r h e a v y - i o n f u s i o n a s s u m e d a l i n e a r c o u -
p l i n g t o q u a d r u p o l e o r o c t u p o l e s u r f a c e v i b r a t i o n s a n d q u a d r u p o l e d e f o r m a t i o n s . A s m o r e
p r e c i s e d a t a b e c a m e a v a i l a b l e , t h e s i g n i c a n c e o f t h e h e x a d e c a p o l e d e f o r m a t i o n s ( R h o d e s -
B r o w n a n d O b e r a c k e r , 1 9 8 3 ) , n e u t r o n t r a n s f e r ( B r o g l i a e t a l . , 1 9 8 3 a ) , c o u p l i n g o f m u l t i -
p h o n o n s t a t e s ( T a k i g a w a a n d I k e d a , 1 9 8 6 ; K r u p p a e t a l . , 1 9 9 3 ) , a n d h i g h e r - o r d e r c o u p l i n g s
( B a l a n t e k i n e t a l . , 1 9 9 3 ) e m e r g e d . I n t h e r e s t o f t h i s s e c t i o n w e d i s c u s s r e p r e s e n t a t i v e d a t a
i l l u s t r a t i n g t h e s e e e c t s .
B . N u c l e o n T r a n s f e r
A n o t h e r i n t e r e s t i n g q u e s t i o n i s t h e e e c t o f t h e n u c l e o n t r a n s f e r o n s u b b a r r i e r f u s i o n ( c f .
S e c t i o n I I I B ) . I n p a r t i c u l a r t h e r o l e o f t r a n s f e r c h a n n e l s w i t h p o s i t i v e Q - v a l u e s h a s b e e n
e m p h a s i z e d ( B r o g l i a e t a l . , 1 9 8 3 a ; B r o g l i a e t a l . , 1 9 8 3 b ; E s b e n s e n a n d L a n d o w n e , 1 9 8 9 ) .
A l g e b r a i c m o d e l s , s u c h a s t h a t d e s c r i b e d i n S e c t i o n I V , a t p r e s e n t d o n o t i n c l u d e t h e e e c t s
o f n u c l e o n t r a n s f e r . I t i s n o w e x p e r i m e n t a l l y p o s s i b l e t o o b s e r v e u p t o s i x - n u c l e o n t r a n s f e r
a t s u b b a r r i e r e n e r g i e s ( J i a n g e t a l . , 1 9 9 4 ) . H e n c e i n t h e n e a r f u t u r e s y s t e m a t i c s t u d i e s
i n c l u d i n g n u c l e o n t r a n s f e r r e a c t i o n s , f u s i o n , a n d e l a s t i c s c a t t e r i n g m a y b e p o s s i b l e .
T h e e e c t o f n u c l e o n t r a n s f e r o n f u s i o n c a n b e i l l u s t r a t e d f o r e x a m p l e b y c o n s i d e r i n g
f u s i o n r e a c t i o n s b e t w e e n d i e r e n t N i i s o t o p e s . I n d e e d t h e s e w e r e t h e p i o n e e r i n g e x p e r i m e n t s
o f B e c k e r m a n e t a l . ( 1 9 8 0 ) w h e r e t h e e n h a n c e m e n t o f s u b b a r r i e r f u s i o n c r o s s s e c t i o n s w a s
r s t o b s e r v e d . T h e s e c r o s s s e c t i o n s w e r e l a t e r m e a s u r e d b y S c h i c k e r e t a l . ( 1 9 8 8 ) a n d m o r e
r e c e n t l y b y A c k e r m a n n e t a l . ( 1 9 9 6 ) . T h e c r o s s s e c t i o n s m e a s u r e d b y A c k e r m a n n e t a l . ( 1 9 9 6 )
f o r t h e
5 8
N i +
6 4
N i a n d
6 4
N i +
6 4
N i s y s t e m s a r e d i s p l a y e d i n F i g u r e 9 , w h e r e t h e e n e r g i e s a r e
n o r m a l i z e d t o t h e h e i g h t o f t h e s - w a v e p o t e n t i a l b a r r i e r . O n e s e e s a d i s c e r n i b l e e n h a n c e m e n t
f o r t h e
5 8
N i +
6 4
N i s y s t e m o v e r t h e
6 4
N i +
6 4
N i s y s t e m . I n t h e s y m m e t r i c s y s t e m
6 4
N i +
6 4
N i
2 6
8/22/2019 QT in Nuclear Fusion-Advanced 10.1.1.38.5202
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t h e r e a r e n o t r a n s f e r c h a n n e l s w i t h p o s i t i v e Q - v a l u e s , a n d o n l y t h o s e c h a n n e l s d e s c r i b i n g
i n e l a s t i c e x c i t a t i o n s n e e d t o b e i n c l u d e d . O n t h e o t h e r h a n d , i n t h e
5 8
N i +
6 4
N i s y s t e m
t h e r e i s a n a d d i t i o n a l c o u p l i n g o f t h e t r a n s f e r c h a n n e l
6 4
N i (
5 8
N i ,
6 0
N i )
6 2
N i w i t h a Q - v a l u e
o f Q = + 3 : 9 M e V . T h e s e a d d i t i o n a l c h a n n e l s i n c r e a s e t h e
5 8
N i +
6 4
N i c r o s s s e c t i o n ( c f . t h e
d i s c u s s i o n i n S e c t i o n I I I B ) .
S i g n a t u r e s o f p o s i t i v e Q - v a l u e t r a n s f e r r e a c t i o n s c a n a l s o b e i d e n t i e d i n f u s i o n b a r r i e r
d i s t r i b u t i o n s . B y c o m p a r i n g b a r r i e r d i s t r i b u t i o n s f o r
1 6
O +
1 4 4
S m a n d
1 7
O +
1 4 4
S m r e a c t i o n s
M o r t o n e t a l . ( 1 9 9 4 ) s h o w e d t h a t t h e e e c t o f t h e n e u t r o n - s t r i p p i n g c h a n n e l i n t h e s e c o n d
r e a c t i o n i s e v i d e n t i n t h e b a r r i e r d i s t r i b u t i o n .
I n f u s i o n r e a c t i o n s o f i d e n t i c a l n u c l e i t h e r e a r e a n u m b e r o f i n t e r e s t i n g e e c t s m a g n i e d
b y t h e e x i s t e n c e o f o n l y e v e n p a r t i a l w a v e s . F o r e x a m p l e , t h e f u s i o n c r o s s s e c t i o n s h a v e a n
o s c i l l a t o r y s t r u c t u r e a s a f u n c t i o n o f e n e r g y ( P o e e t a l . , 1 9 8 3 ) . F u r t h e r m o r e , e l a s t i c t r a n s f e r
p l a y s a n i m p o r t a n t r o l e i n s u c h c o l l i s i o n s ( v o n O e r t z e n a n d N o r e m b e r g , 1 9 7 3 ) . C h r i s t l e y e t
a l . ( 1 9 9 5 ) s h o w e d t h a t e v e n i n c a s e s w h e r e n o o s c i l l a t o r y s t r u c t u r e i s v i s i b l e i n c r o s s s e c t i o n ,
t h e r e s t i l l i s a s i g n a t u r e o f t h e e l a s t i c t r a n s f e r i n t h e b a r r i e r d i s t r i b u t i o n s .
C . P r o b i n g A s y m m e t r y E e c t s
O n e w a y t o p r o b e t h e e e c t s o f a s y m m e t r y o f t h e s y s t e m o t h e r t h a n n u c l e o n t r a n s f e r i s
t o m e a s u r e f u s i o n c r o s s s e c t i o n s a n d a v e r a g e a n g u l a r m o m e n t a f o r d i e r e n t s y s t e m s l e a d i n g
t o t h e s a m e c o m p o u n d n u c l e u s . S u c h a m e a s u r e m e n t w a s r e c e n t l y p e r f o r m e d ( A c k e r m a n n
e t a l . , 1 9 9 6 ) f o r t h e s y s t e m s
2 8
S i +
1 0 0
M o a n d
6 4
N i +
6 4
N i l e a d i n g t o t h e c o m p o u n d n u c l e u s
1 2 8
B a . T h e s e m e a s u r e m e n t s c o m p l e m e n t a p r e v i o u s m e a s u r e m e n t f o r t h e s y s t e m
1 6
O +
1 1 2
C d
( A c k e r m a n n e t a l . , 1 9 9 4 ) . T h e y n d t h a t b o t h f u s i o n c r o s s s e c t i o n s a s w e l l a s a v e r a g e
a n g u l a r m o m e n t a c a n b e e x p l a i n e d b y c o u p l e d c h a n n e l s c a l c u l a t i o n s . F o r t h e
2 8
S i +
1 0 0
M o
s y s t e m i n c l u d i n g l o w e s t 2
+
a n d 3
?
s t a t e s o f b o t h t h e t a r g e t a n d t h e p r o j e c t i l e i n t h e c o u p l e d -
c h a n n e l s c a l c u l a t i o n i m p r o v e s t h e a g r e e m e n t b e t w e e n t h e o r y a n d d a t a , a s c o m p a r e d t o t h e
n o - c o u p l i n g l i m i t , b u t i s n o t s u c i e n t t o r e p r o d u c e t h e d a t a . O n e n e e d s t o i n c l u d e a n
a d d i t i o n a l c h a n n e l w i t h t h e Q - v a l u e o f t h e t w o - n e u t r o n p i c k - u p r e a c t i o n t o b r i n g t h e d a t a
a n d t h e o r y i n t o a g r e e m e n t . T h e d a t a f o r t h e s y m m e t r i c s y s t e m
6 4
N i +
6 4
N i , w h e r e n o t r a n s f e r
c h a n n e l s w i t h p o s i t i v e Q - v a l u e s a r e p r e s e n t , a r e a l r e a d y w e l l r e p r o d u c e d o n l y w i t h c o u p l i n g
t o t h e i n e l a s t i c c h a n n e l s . H e n c e t h e d a t a o f A c k e r m a n n e t a l . ( 1 9 9 6 ) a l s o p r o v i d e e v i d e n c e
f o r t h e i n u e n c e o f t h e t w o - n u c l e o n t r a n s f e r c h a n n e l s w i t h p o s i t i v e Q - v a l u e s o n t h e f u s i o n
p r o b a b i l i t i e s .
S t u d i e s o f t r a n s f e r c h a n n e l c o u p l i n g a n d e n t r a n c e c h a n n e l e e c t s f o r t h e n e a r a n d s u b b a r -
r i e r f u s i o n w a s a l s o g i v e n b y P r a s a d e t e l . ( 1 9 9 6 ) f o r t h e s y s t e m s
4 6
T i +
6 4
N i ,
5 0
T i +
6 0
N i ,
1 9
F
+
9 3
N b , a n d b y C h a r l o p e t a l . ( 1 9 9 5 ) f o r t h e s y s t e m s
2 8
S i +
1 4 2
C e ,
3 2
S +
1 3 8
B a , a n d
4 8
T i +
1 2 2
S n .
T h e s e a u t h o r s a l s o r e p o r t n o s i g n i c a n t e n t r a n c e c h a n n e l e e c t s e x c e p t t h a t t h e p o s i t i v e Q
v a l u e f o r t w o - n e u t r o n p i c k u p s h o w s u p a s a n a d d i t i o n a l e n h a n c e m e n t i n t h e
4 6
T i +
6 4
N i
s y s t e m .
2 7
8/22/2019 QT in Nuclear Fusion-Advanced 10.1.1.38.5202
http://slidepdf.com/reader/full/qt-in-nuclear-fusion-advanced-1011385202 28/43
D . S i g n a t u r e s o f N u c l e a r V i b r a t i o n s
O n e r e l a t i v e l y u n e x p l o r e d a s p e c t o f s u b b a r r i e r f u s i o n i s s e a r c h i n g f o r s i g n a t u r e s o f n u c l e a r
v i b r a t i o n s . L e i g h e t a l . ( 1 9 9 5 ) c o n r m e d t h e e e c t s o f v i b r a t i o n a l c o u p l i n g i n t h e
1 6
O +
1 4 4
S m
s y s t e m . T o s e a r c h f o r s i g n a t u r e s o f n u c l e a r v i b r a t i o n s S t e f a n i n i e t a l . ( 1 9 9 5 c ) m e a s u r e d t h e
f u s i o n c r o s s s e c t i o n f o r
3 2 ; 3 6
S +
1 1 0
P d s y s t e m s .
1 1 0
P d i s a v i b r a t i o n a l n u c l e u s w h o s e t w o -
q u a d r u p o l e - p h o n o n t r i p l e t i s w e l l k n o w n . S i m p l i e d c o u p l e d - c h a n n e l s c a l c u l a t i o n s f o r t h e s e
s y s t e m s a r e p e r f o r m e d b y S t e f a n i n i e t a l . ( 1 9 9 5 c ) a n d b y D e W e e r d ( 1 9 9 6 ) . S t e f a n i n i e t a l .
( 1 9 9 5 c ) , u s i n g t h e m e t h o d o f K r u p p a e t a l . ( 1 9 9 3 ) , a s s u m e d a c o n s t a n t c o u p l i n g e x p l i c i t l y
i n c l u d i n g t h e n i t e Q v a l u e o f t h e c o u p l e d c h a n n e l s . I n t h e s e e x p e r i m e n t s i t w a s a l s o
o b s e r v e d t h a t t h e c r o s s s e c t i o n f o r t h e
3 2
S +
1 1 0
P d s y s t e m i s g r e a t l y e n h a n c e d b e c a u s e o f t h e
t w o - n e u t r o n t r a n s f e r c h a n n e l .
S i n c e
1 1 0
P d l i e s b e t w e e n U ( 5 ) a n d S O ( 6 ) s y m m e t r y l i m i t s o f t h e I B M i t c a n n o t b e
d e s c r i b e d a n a l y t i c a l l y . D e W e e r d ( 1 9 9 6 ) r s t n u m e r i c a l l y c a l c u l a t e d q u a d r u p o l e m a t r i x e l e -
m e n t s b e t w e e n d i e r e n t s t a t e s u s i n g t h e P H I N T c o d e ( S c h o l t e n , 1 9 9 1 ) a n d t h e n n u m e r i c a l l y
o b t a i n e d e i g e n v a l u e s a n d t h e a s s o c i a t e d w e i g h t s ( c f . E q . ( 1 0 4 ) ) . H i s r e s u l t f o r t h e b a r r i e r
d i s t r i b u t i o n o f t h e
3 6
S +
1 1 0
P d s y s t e m i s d i s p l a y e d i n F i g u r e 1 0 a l o n g w i t h t h e d a t a . W h i l e
o n e - p h o n o n s p a c e c l e a r l y f a i l s i n d e s c r i b i n g t h e b a r r i e r d i s t r i b u t i o n , t h e a g r e e m e n t w i t h d a t a
s u c c e s s i v e l y i m p r o v e s a s o n e i n c l u d e s m o r e p h o n o n s i n t h e c a l c u l a t i o n . T h i s d r a s t i c c h a n g e
i n t h e b a r r i e r d i s t r i b u t i o n f o r d i e r e n t n u m b e r s o f p h o n o n s w a s a l s o n o t e d b y S t e f a n i n i e t
a l . ( 1 9 9 5 c ) f o r t h i s s y s t e m a n d b y S t e f a n i n i e t a l . ( 1 9 9 5 b ) f o r t h e
5 8
N i +
6 0
N i s y s t e m .
E . E e c t o f N o n - l i n e a r c o u p l i n g s
A n i m p o r t a n t c o m p o n e n t i n t h e t h e o r e t i c a l d e s c r i p t i o n o f t h e s u b b a r r i e r f u s i o n d a t a i s
t h e e e c t o f n o n - l i n e a r c o u p l i n g s . T h e s e e e c t s w e r e d i s c u s s e d b y B a l a n t e k i n e t a l . ( 1 9 9 3 )
u s i n g t h e I B M i n t h e l i m i t o f z e r o e x c i t a t i o n e n e r g y ( c f . S e c t i o n I V B ) . F o r n u c l e a r s u r f a c e
v i b r a t i o n s t h e e x c i t a t i o n e n e r g i e s c a n n o t b e n e g l e c t e d i n m o s t c a s e s , a n d o n e h a s t o s o l v e
f u l l c o u p l e d - c h a n n e l s e q u a t i o n s . T h e s e c a l c u l a t i o n s c a n b e v e r y i n v o l v e d , a n d c o n s e q u e n t l y
t h e y w e r e c a r r i e d o u t b y v e r y f e w g r o u p s .
E s b e n s e n a n d L a n d o w n e ( 1 9 8 7 ) e x p a n d e d t h e c o u p l i n g p o t e n t i a l ( c f . E q . ( 9 6 ) ) u p t o
s e c o n d o r d e r w i t h r e s p e c t t o t h e d e f o r m a t i o n p a r a m e t e r o b t a i n i n g a g o o d a g r e e m e n t b e -
t w e e n t h e i r c a l c u l a t i o n s a n d d a t a f o r f u s i o n c r o s s s e c t i o n s b e t w e e n d i e r e n t n i c k e l i s o t o p e s .
T h e q u a d r a t i c c o u p l i n g a p p r o x i m a t i o n w a s s h o w n t o d e s c r i b e w e l l f u s i o n c r o s s s e c t i o n s a n d
a n g u l a r m o m e n t u m d i s t r i b u t i o n s f o r t h e
5 8 ; 6 4
N i +
9 2 ; 1 0 0
M o r e a c t i o n s ( R e h m e t a l . , 1 9 9 3 ) .
C o u p l e d - c h a n n e l s c a l c u l a t i o n s i n c l u d i n g c o u p l i n g t o a l l o r d e r s a n d t h e n i t e e x c i t a t i o n e n -
e r g y o f n u c l e a r s u r f a c e v i b r a t i o n s w e r e p e r f o r m e d f o r t h e
5 8
N i +
6 0
N i r e a c t i o n ( S t e f a n i n i e t
a l . , 1 9 9 5 b ) .
I n F i g u r e 1 1 t h e c a l c u l a t i o n o f H a g i n o e t a l . ( 1 9 9 7 a ) f o r t h e s y s t e m
6 4
N i +
9 6
Z r i s c o m p a r e d
w i t h t h e d a t a o f S t e f a n i n i e t a l . ( 1 9 9 2 ) . H e r e t h e r e s u l t s o f c o u p l e d - c h a n n e l s c a l c u l a t i o n s t o
a l l o r d e r s ( s o l i d l i n e s ) a g r e e w i t h t h e d a t a v e r y w e l l a s o p p o s e d t o t h e n o - c o u p l i n g ( t h e d o t t e d
l i n e s ) , l i n e a r - c o u p l i n g ( t h e d o t - d a s h e d l i n e s ) , a n d q u a d r a t i c c o u p l i n g ( t h e d a s h e d l i n e s ) c a s e s .
T h e u p p e r p a n e l c o m p a r e t h e o r y a n d c a l c u l a t i o n s f o r t h e f u s i o n c r o s s s e c t i o n a n d t h e l o w e r
p a n e l f o r t h e a v e r a g e a n g u l a r m o m e n t a . I n t h i s c a l c u l a t i o n u p t o d o u b l e p h o n o n s t a t e s
a r e i n c l u d e d i n t h e c o u p l e d c h a n n e l s . A n i m p o r t a n t f e a t u r e o f t h i s c a l c u l a t i o n i s t h a t a
2 8
8/22/2019 QT in Nuclear Fusion-Advanced 10.1.1.38.5202
http://slidepdf.com/reader/full/qt-in-nuclear-fusion-advanced-1011385202 29/43
t r u n c a t i o n o f t h e c o u p l i n g w i t h i n t h e d o u b l e p h o n o n s p a c e e v e n a t t h e q u a d r a t i c l e v e l i s n o t
s u c i e n t t o d e s c r i b e t h e d a t a , o n e n e e d s t o i n c l u d e c o u p l i n g s t o a l l o r d e r .
F . A n g u l a r M o m e n t u m D i s t r i b u t i o n s
D i G r e g o r i o a n d S t o k s t a d ( 1 9 9 1 ) a l s o c o m p a r e d a v e r a g e a n g u l a r m o m e n t a o b t a i n e d u s i n g
d i e r e n t e x p e r i m e n t a l t e c h n i q u e s w i t h t h e o r e t i c a l p r e d i c t i o n s . T h e y f o u n d t h a t t h e r e i s g o o d
a g r e e m e n t b e t w e e n t h e o r y a n d d a t a o b t a i n e d f r o m i s o m e r r a t i o a n d g a m m a - r a y m u l t i p l i c i t y
m e a s u r e m e n t s w i t h t h e e x c e p t i o n o f m o r e s y m m e t r i c s y s t e m s , b u t n o t f o r t h e s s i o n f r a g m e n t
m e a s u r e m e n t s . F r o m t h e s s i o n f r a g m e n t a n g u l a r a n i s o t r o p y m e a s u r e m e n t s o n e o b t a i n s n o t
< ` > , b u t < ̀
2
> . E s p e c i a l l y i f t h e
̀
d i s t r i b u t i o n i s p u s h e d t o h i g h e r ̀ v a l u e s a s a r e s u l t o f
c o u p l i n g t o o t h e r c h a n n e l s < ̀
2
>
1 = 2
m a y s i g n i c a n t l y d i e r f r o m < ` > , w h i c h m a y e x p l a i n
s o m e o f t h e r e p o r t e d d i s c r e p a n c i e s . A n e x c e l l e n t r e v i e w o f t h e e o r t s t o m e a s u r e a n g u l a r
m o m e n t u m d i s t r i b u t i o n s i n f u s i o n r e a c t i o n s w a s g i v e n b y V a n d e n b o s c h ( 1 9 9 2 ) .
T h e r e h a v e b e e n m a n y a t t e m p t s t o e x t r a c t a v e r a g e a n g u l a r m o m e n t a d i r e c t l y f r o m t h e
f u s i o n e x c i t a t i o n f u n c t i o n s ( B a l a n t e k i n a n d R e i m e r , 1 9 8 6 ; R e i s d o r f e t a l . , 1 9 8 5 ; R o w l e y
e t a l . , 1 9 9 3 ; B a l a n t e k i n e t a l . , 1 9 9 6 ) . M o m e n t s o f a n g u l a r m o m e n t a a r e r e l a t e d t o t h e
m o m e n t s o f f u s i o n c r o s s s e c t i o n s ( B a l a n t e k i n e t a l . , 1 9 9 6 ) . T h e s e r e l a t i o n s c a n h e l p a s s e s s
t h e c o n s i s t e n c y o f a c c u r a t e f u s i o n c r o s s s e c t i o n m e a s u r e m e n t s w i t h m e a s u r e m e n t s e x t r a c t i n g
a n g u l a r m o m e n t u m d i s t r i b u t i o n s u s i n g d i e r e n t m e t h o d s .
G . P r o b i n g S h a p e P h a s e T r a n s i t i o n s w i t h F u s i o n
U n t i l r e c e n t l y l i t t l e a t t e n t i o n w a s p a i d t o s u b b a r r i e r f u s i o n o n g a m m a u n s t a b l e t a r g e t s .
T h e O s a n d P t r e g i o n i s i n t e r e s t i n g t o s t u d y s i n c e t h e s e n u c l e i g o t h r o u g h a s h a p e t r a n s i t i o n
f r o m p r o l a t e t o o b l a t e a s o n e i n c r e a s e s t h e n u m b e r o f p r o t o n s f r o m 7 6 t o 7 8 .
1 9 2
O s h a s
a p o s i t i v e ( p r o l a t e ) q u a d r u p o l e d e f o r m a t i o n p a r a m e t e r a n d a n e g a t i v e h e x a d e c a p o l e d e f o r -
m a t i o n p a r a m e t e r .
1 9 4
P t h a s a q u a d r u p o l e d e f o r m a t i o n p a r a m e t e r s i m i l a r i n m a g n i t u d e t o
t h o s e o f
1 9 2
O s , b u t w i t h a n e g a t i v e s i g n ( o b l a t e ) a n d a h e x a d e c a p o l e d e f o r m a t i o n p a r a m e t e r
c o m p a r a b l e t o t h a t o f
1 9 2
O s i n s i g n a n d m a g n i t u d e . T h e i s o t o p e s a r e s i m i l a r i n a l l r e s p e c t s
o t h e r t h a n t h e
2
s i g n . T h e e e c t o f t h i s s h a p e p h a s e t r a n s i t i o n o n t h e b a r r i e r d i s t r i b u t i o n s
w o u l d b e n o t i c e a b l e b y t h e s k e w n e s s t o w a r d h i g h e r e n e r g i e s f o r p r o l a t e n u c l e i a n d t o w a r d
l o w e r e n e r g i e s f o r o b l a t e n u c l e i ( B a l a n t e k i n e t a l . , 1 9 9 4 a ) . T h e b a r r i e r d i s t r i b u t i o n s c a l c u -
l a t e d u s i n g t h e I B M b a s e d m o d e l o f S e c t i o n I V b y B a l a n t e k i n e t a l . ( 1 9 9 4 a ) i s s h o w n i n
F i g u r e 1 2 .
T o u n d e r s t a n d t h i s e e c t o f t h e s h a p e p h a s e t r a n s i t i o n i n t h e b a r r i e r d i s t r i b u t i o n s , t h e
f u s i o n c r o s s s e c t i o n s f o r t r a n s i t i o n a l n u c l e i P t a n d O s w e r e r e c e n t l y m e a s u r e d u s i n g a n
1 6
O
b e a m b y t h e L e g n a r o g r o u p ( S t e f a n i n i e t a l . , 1 9 9 5 a ) a n d a
4 0
C a b e a m b y t h e S e a t t l e g r o u p
( B i e r m a n e t a l . , 1 9 9 6 a ) . ( S i n c e
4 0
C a i s a h e a v i e r p r o j e c t i l e o n e e x p e c t s t h i s e e c t t o b e
e n h a n c e d ) . T h e t o t a l f u s i o n c r o s s s e c t i o n s c a l c u l a t e d b y B a l a n t e k i n e t a l . ( 1 9 9 4 a ) f o r t h e
1 6
O +
1 9 4
P t s y s t e m a g r e e v e r y w e l l w i t h t h e e v a p o r a t i o n r e s i d u e s m e a s u r e d b y S t e f a n i n i e t
a l . ( 1 9 9 5 a ) o n c e t h e s s i o n c r o s s s e c t i o n s e s t i m a t e d b y t h e s t a t i s t i c a l m o d e l c a l c u l a t i o n s a r e
s u b t r a c t e d .
2 9
8/22/2019 QT in Nuclear Fusion-Advanced 10.1.1.38.5202
http://slidepdf.com/reader/full/qt-in-nuclear-fusion-advanced-1011385202 30/43
T h e
4 0
C a +
1 9 4
P t a n d
4 0
C a +
1 9 2
O s c r o s s s e c t i o n s m e a s u r e d a n d t h e a s s o c i a t e d b a r r i e r
d i s t r i b u t i o n s e x t r a c t e d b y B i e r m a n e t a l . ( 1 9 9 6 a ) a r e s h o w n i n F i g u r e 1 3 , w h e r e t h e r e s u l t s
a r e a l s o c o m p a r e d w i t h t h e C C D E F c a l c u l a t i o n s . T h e c a l c u l a t i o n s t a k e t h e e x c i t a t i o n s o f
t h e t a r g e t n u c l e u s i n t o a c c o u n t w i t h i n t h e r o t a t i o n a l m o d e l i n c l u d i n g b o t h q u a d r u p o l e a n d
h e x a d e c a p o l e d e f o r m a t i o n s . T h e y a l s o t a k e i n t o a c c o u n t t h e e x c i t a t i o n o f t h e p r o j e c t i l e t o
t h e 3
?
s t a t e a t 3 . 7 M e V a n d t h e t w o n e u t r o n t r a n s f e r r e a c t i o n s f r o m t h e t a r g e t n u c l e u s t o t h e
g r o u n d s t a t e o f
4 2
C a . T h e c o n s t a n t c o u p l i n g a p p r o x i m a t i o n s h a v e b e e n u s e d f o r v i b r a t i o n a l
e x c i t a t i o n o f t h e p r o j e c t i l e a n d t h e t r a n s f e r r e a c t i o n s , w h i l e t h e r a d i a l d e p e n d e n c e o f t h e f o r m
f a c t o r o f t h e c o l l e c t i v e m o d e l w a s u s e d f o r r o t a t i o n a l e x c i t a t i o n s . T h e p r e d i c t e d s k e w n e s s
o f t h e b a r r i e r d i s t r i b u t i o n t o w a r d h i g h e r e n e r g i e s f o r t h e p r o l a t e n u c l e u s
1 9 4
O s a n d t o w a r d
l o w e r e n e r g i e s f o r t h e o b l a t e n u c l e u s
1 9 4
P t i s o b s e r v e d . T h e s e c o n d p e a k f o r b o t h s y s t e m s
i s d u e t o t h e e x c i t a t i o n o f t h e o c t u p o l e s t a t e i n t h e p r o j e c t i l e . T h e b a r r i e r d i s t r i b u t i o n s
f o r b o t h s y s t e m s a l s o e x h i b i t a t a i l a t t h e l o w e r e n e r g i e s , w h i c h i s n o t r e p r o d u c e d b y t h e
C C D E F c a l c u l a t i o n s . T h i s p r o b l e m w a s r e c e n t l y a s s o c i a t e d w i t h t h e c o n t r i b u t i o n o f t h e 2 n
t r a n s f e r r e a c t i o n s t o t h e r s t e x c i t e d 2
+
s t a t e o f
4 2
C a ( B i e r m a n e t a l . , 1 9 9 6 b ) .
O n e s h o u l d p o i n t o u t t h a t f u s i o n b a r r i e r d i s t r i b u t i o n e x t r a c t e d f r o m t h e
1 6
O +
1 8 6
W d a t a
o f L e m m o n e t a l . ( 1 9 9 3 ) h a s t h e s h a p e e x p e c t e d f o r a t a r g e t n u c l e u s w i t h a n e g a t i v e h e x a d e -
c a p o l e d e f o r m a t i o n . T h e r e a r e p r o n o u n c e d d i e r e n c e s b e t w e e n t h i s d i s t r i b u t i o n a n d t h a t o f
1 6
O +
1 5 4
S m ( W e i e t a l . , 1 9 9 1 ) , w h i c h a r e j u s t t h o s e e x p e c t e d f r o m a c h a n g e i n s i g n o f t h e
h e x a d e c a p o l e d e f o r m a t i o n . T h e s e d a t a h e n c e d e m o n s t r a t e s s t r o n g s e n s i t i v i t y o f f u s i o n t o
t h e h e x a d e c a p o l e d e f o r m a t i o n .
H . D i c u l t i e s i n E x t r a c t i n g B a r r i e r D i s t r i b u t i o n s
S i n c e b a r r i e r d i s t r i b u t i o n s i n c l u d e t h e s e c o n d e n e r g y d e r i v a t i v e o f t h e c r o s s s e c t i o n , v e r y
a c c u r a t e m e a s u r e m e n t s o f e x c i t a t i o n f u n c t i o n s a t c l o s e l y s p a c e d e n e r g i e s a r e r e q u i r e d . E v e n
w i t h v e r y h i g h p r e c i s i o n d a t a , s m o o t h b a r r i e r d i s t r i b u t i o n s c a n o n l y b e o b t a i n e d u n d e r
c e r t a i n m o d e l d e p e n d e n t a s s u m p t i o n s s u c h a s n e - t u n i n g t h e e n e r g y s p a c i n g f o r c a l c u l a t i n g
s e c o n d d e r i v a t i v e s ( I z u m o t o e t e l . , 1 9 9 5 ; D e W e e r d , 1 9 9 6 ) . K r a p p e a n d R o s s n e r ( 1 9 9 5 )
s u g g e s t e d t o u s e i n t e g r a l s , r a t h e r t h a n t h e d e r i v a t i v e s o f t h e f u s i o n d a t a t o i m p r o v e m o d e l
i n d e p e n d e n c e i n t h e a n a l y s e s . U n f o r t u n a t e l y , m o m e n t s o f t h e c r o s s s e c t i o n s a r e e v e n m o r e
f e a t u r e l e s s t h a n t h e c r o s s s e c t i o n s t h e m s e l v e s ( B a l a n t e k i n e t a l . , 1 9 9 6 ) . I n c o n t r a s t , o n e o f
t h e m a i n a d v a n t a g e s o f u s i n g b a r r i e r d i s t r i b u t i o n s i s t h a t t h e y b r i n g o u t i m p o r t a n t f e a t u r e s
i n t h e d a t a . H o w e v e r , m o m e n t s o f t h e c r o s s s e c t i o n c o u l d b e u s e f u l a s t h e y a r e r e l a t e d
t o t h e m o m e n t s o f a n g u l a r m o m e n t a u n d e r c e r t a i n a s s u m p t i o n s ( B a l a n t e k i n a n d R e i m e r ,
1 9 8 6 ; D a s s o e t a l . , 1 9 8 6 ; E s b e n s e n a n d L a n d o w n e , 1 9 8 7 ; B a l a n t e k i n e t a l . , 1 9 9 6 ) .
E v e n w i t h a v e r y h i g h p r e c i s i o n i n t h e f u s i o n c r o s s s e c t i o n i t i s r a t h e r d i c u l t t o e x t r a c t
f u s i o n b a r r i e r d i s t r i b u t i o n s a t h i g h e r e n e r g i e s a s t h e c r o s s s e c t i o n c h a n g e s v e r y s l o w l y a n d
t h e e r r o r s o n t h e b a r r i e r d i s t r i b u t i o n g r o w w i t h e n e r g y . T o i l l u s t r a t e t h e r e a s o n f o r t h i s
b e h a v i o r c o n s i d e r a s e t o f f u s i o n d a t a m e a s u r e d a t a x e d e n e r g y s p a c i n g E . T h e s e c o n d
d e r i v a t i v e m a y b e a p p r o x i m a t e d b y t h e p o i n t - d i e r e n c e f o r m u l a ( R o w l e y , 1 9 9 2 )
d
2
( E )
d E
2
)
!
n
= ?
2 ( E )
n
? ( E )
n + 1
? ( E )
n ? 1
( E )
2
: ( 1 0 6 )
I f t h e s t a t i s t i c a l e r r o r s o n t h e c r o s s s e c t i o n a r e a x e d f r a c t i o n o f t h e i r m e a s u r e d v a l u e s
3 0
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( )
n
= f
n
; ( 1 0 7 )
t h e n t h e e r r o r i n t h e s e c o n d d e r i v a t i v e i s
d
2
( E )
d E
2
!
p
6 f E
( E )
2
: ( 1 0 8 )
H e n c e t h e e r r o r o n t h e s e c o n d d e r i v a t i v e i n c r e a s e s a s t h e c r o s s s e c t i o n i n c r e a s e s , w h e r e a s
t h e s e c o n d d e r i v a t i v e i t s e l f g e t s s m a l l e r a t h i g h e r e n e r g i e s . F u r t h e r m o r e E m u s t b e s m a l l
e n o u g h t o r e s o l v e a n y i n t e r e s t i n g s t r u c t u r e , w h i c h a l s o c o n t r i b u t e s t o t h e l a r g e e r r o r s a t h i g h
e n e r g i e s .
I t h a s b e e n s u g g e s t e d t h a t i n f o r m a t i o n a b o u t t h e b a r r i e r d i s t r i b u t i o n s m a y b e c o n t a i n e d
i n t h e q u a s i - e l a s t i c s c a t t e r i n g e x c i t a t i o n f u n c t i o n s a t b a c k w a r d a n g l e s ( K r u p p a e t a l . , 1 9 9 3 ;
A n d r e s e t a l . , 1 9 8 8 ) . T i m m e r s e t a l . ( 1 9 9 5 ) r e c e n t l y d e v e l o p e d a m e t h o d t o e x t r a c t a
r e p r e s e n t a t i o n o f t h e f u s i o n b a r r i e r d i s t r i b u t i o n f r o m q u a s i - e l a s t i c e x c i t a t i o n f u n c t i o n s . T h e y
f o u n d t h a t a l t h o u g h t h i s r e p r e s e n t a t i o n o f t h e q u a s i - e l a s t i c s c a t t e r i n g d a t a i n d e e d s h o w s t h e
g e n e r a l f e a t u r e s o f t h e f u s i o n b a r r i e r d i s t r i b u t i o n s , i t s s e n s i t i v i t y i s r e d u c e d a t h i g h e n e r g i e s .
M o r e r e c e n t l y R o w l e y e t a l . ( 1 9 9 6 ) s h o w e d t h a t t h e e e c t s o f s t r o n g c o u p l i n g a r e p r e s e n t
i n t h e b a r r i e r d i s t r i b u t i o n s f r o m t h e e l a s t i c s c a t t e r i n g , b u t a r e s m o o t h e d o u t s i n c e d i e r e n t
e i g e n - b a r r i e r s h a v e p h a s e d i e r e n c e s . F u r t h e r m o r e t h e e e c t s a r e a l s o s m o o t h e d b y w e a k
c o u p l i n g s , w h i c h a p p e a r i n r s t o r d e r i n t h e e l a s t i c s c a t t e r i n g c r o s s s e c t i o n , b u t o n l y i n
s e c o n d o r d e r i n f u s i o n c r o s s s e c t i o n . I t w o u l d b e i m p o r t a n t t o t r e a t t h e p h a s e p r o b l e m
p r o p e r l y i n o r d e r t o o b t a i n i n f o r m a t i o n o n b a r r i e r d i s t r i b u t i o n s f r o m t h e e l a s t i c s c a t t e r i n g
d a t a .
I . F u s i o n o f U n s t a b l e N u c l e i
H e a v y - i o n f u s i o n r e a c t i o n s i n d u c e d b y a h a l o n u c l e u s o r b y a n u n s t a b l e n e u t r o n r i c h
n u c l e u s a r e v e r y i n t r i g u i n g c u r r e n t s u b j e c t s o f n u c l e a r p h y s i c s ( I s h i h a r a e t e l . , 1 9 9 3 ) . S e v e r a l
g r o u p s h a v e p e r f o r m e d e x p e r i m e n t s t o e x a m i n e w h e t h e r t h e f u s i o n c r o s s s e c t i o n i n s u c h c a s e s
i s s i g n i c a n t l y d i e r e n t f r o m t h a t i n h e a v y i o n c o l l i s i o n s i n d u c e d b y t h e c o r r e s p o n d i n g s t a b l e
i s o t o p e s . Y o s h i d a e t a l . ( 1 9 9 5 ) s t u d i e d t h e f u s i o n r e a c t i o n s o f
1 1 ; 1 0 ; 9
B e w i t h
2 0 9
B i a t e n e r g i e s
n e a r t h e C o u l o m b b a r r i e r . T h e y o b s e r v e d n o s i g n i c a n t d i e r e n c e i n t h e e x c i t a t i o n f u n c t i o n
f o r t h e c o l l i s i o n o f
1 1
B e f r o m t h a t o f
1 0
B e . O n t h e o t h e r h a n d , F u k o u - Y o u m b i e t a l . ( 1 9 9 4 )
h a v e r e p o r t e d t h a t t h e i n d u c e d s s i o n c r o s s s e c t i o n n e a r t h e C o u l o m b b a r r i e r i s m u c h l a r g e r
i n t h e
1 1
B e +
2 3 8
U r e a c t i o n t h a n t h a t i n t h e
9
B e +
2 3 8
U r e a c t i o n . T h i s i s a v e r y i n t e r e s t i n g
r e s u l t , t h o u g h i t i s n o t c l e a r y e t w h e t h e r t h e s s i o n t o o k p l a c e v i a a c o m p o u n d n u c l e u s
f o r m a t i o n , s u g g e s t i n g a n e n h a n c e d f u s i o n c r o s s s e c t i o n i n t h e c a s e o f u n s t a b l e i s o t o p e .
T a k i g a w a a n d S a g a w a ( 1 9 9 1 ) a n d T a k i g a w a e t a l . ( 1 9 9 2 b ) s u g g e s t e d t h a t t h e f u s i o n
c r o s s s e c t i o n w i l l b e s i g n i c a n t l y e n h a n c e d i f o n e u s e s a h a l o n u c l e u s a s t h e p r o j e c t i l e . I n
d e r i v i n g t h i s c o n c l u s i o n , t h e e x i s t e n c e o f a s t a b l e s o f t d i p o l e o s c i l l a t i o n o f t h e c o r e n u c l e o n s
a g a i n s t t h e h a l o n e u t r o n s w a s a s s u m e d . T h o u g h i t i s n o t y e t c o m p l e t e l y s e t t l e d d o w n , t h e
e x i s t e n c e o f a p h y s i c a l s o f t d i p o l e o s c i l l a t i o n i n l i g h t h a l o n u c l e i i s u n l i k e l y ( S a g a w a e t a l . ,
1 9 9 5 ) . T h i s m i g h t e x p l a i n w h y t h e f u s i o n d a t a o f Y o s h i d a e t a l . ( 1 9 9 5 ) d o n o t s h o w a n y
c h a r a c t e r i s t i c a l l y d i e r e n t b e h a v i o r f o r t h e c a s e o f
1 1
B e p r o j e c t i l e . A s h a s b e e n s h o w n b y
T a k i g a w a a n d S a g a w a ( 1 9 9 1 ) , t h e n e u t r o n h a l o i t s e l f c a n e n h a n c e t h e f u s i o n c r o s s s e c t i o n b y
3 1
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s t a t i c a l l y l o w e r i n g t h e f u s i o n b a r r i e r . T h i s e e c t a l o n e i s , h o w e v e r , n o t s o d r a s t i c . M o r e o v e r ,
1 1
B e h a s l e s s p r o n o u n c e d h a l o p r o p e r t y t h a n
1 1
L i .
U s i n g t i m e - d e p e n d e n t H a r t r e e - F o c k t h e o r y K i m e t a l . ( 1 9 9 4 ) s h o w e d t h a t n u c l e o n t r a n s -
f e r i s e n h a n c e d f o r f u s i o n r e a c t i o n s b e t w e e n a s t a b l e a n d a n u n s t a b l e n u c l e u s w i t h n e u t r o n
h a l o .
S o m e d e b a t e e x i s t s c o n c e r n i n g t h e e e c t s o f b r e a k u p o f t h e h a l o n u c l e i . T a k i g a w a e t
a l . ( 1 9 9 3 ) h a v e s h o w n t h a t a l t h o u g h t h e l a r g e e n h a n c e m e n t o f t h e f u s i o n c r o s s s e c t i o n i s
m o d e r a t e d b y t h e b r e a k - u p , t h e h a l o n u c l e u s
1 1
L i s t i l l l e a d s t o a l a r g e r f u s i o n c r o s s s e c t i o n
t h a n t h e o t h e r L i i s o t o p e s . O n e s h o u l d p o i n t o u t t h a t t h i s c o n c l u s i o n r e l i e s o n t h e a s s u m p t i o n
t h a t t h e r e e x i s t s a s o f t d i p o l e r e s o n a n c e i n
1 1
L i . O n t h e o t h e r h a n d , C a n t o e t a l . ( 1 9 9 5 )
a r g u e d t h a t t h e f u s i o n c r o s s s e c t i o n o f a h a l o n u c l e u s w i l l b e h i n d e r e d b y t h e b r e a k - u p e e c t .
T o t h e c o n t r a r y , D a s s o a n d V i t t u r i ( 1 9 9 4 ) c o n t e n d e d t h a t t h e b r e a k - u p c h a n n e l e n h a n c e t h e
f u s i o n p r o b a b i l i t y . I n o r d e r t o r e a c h a d e n i t e c o n c l u s i o n , o n e n e e d s t o k n o w m o r e a b o u t t h e
r a d i a l d e p e n d e n c e o f t h e b r e a k - u p f o r m f a c t o r a n d h a s t o t r e a t b o t h t h e r e a l a n d t h e v i r t u a l
b r e a k - u p p r e c e s s e s i n a c o n s i s t e n t w a y i n c l u d i n g t h e a s s o c i a t e d p o t e n t i a l r e n o r m a l i z a t i o n .
O n e i n t e r e s t i n g s u b j e c t t o b e e x p l o r e d i s t h e e e c t s o f t h e b o n d f o r m a t i o n d u e t o h a l o
n e u t r o n s o n t h e f u s i o n c r o s s s e c t i o n . B e r t u l a n i a n d B a l a n t e k i n ( 1 9 9 3 ) s t u d i e d t h i s p r o b l e m
b y u s i n g t h e f u s i o n b e t w e e n
1 1
L i , c o n s i s t i n g o f
9
L i c o r e a n d h a l o d i - n e u t r o n s , a n d
9
L i a s a n
e x a m p l e . A s
1 1
L i a n d
9
L i a p p r o a c h e a c h o t h e r , t h e r e i s a p a r t i c u l a r s e p a r a t i o n d i s t a n c e
a t w h i c h b o t h t h e C o u l o m b a n d n u c l e a r p o t e n t i a l s b e t w e e n t h e t w o c o r e s a r e s m a l l , b u t
t h e t w o n e u t r o n s i n t h e h a l o c a n b e s h a r e d b y b o t h c o r e s . O n e c a n t h e n i n v e s t i g a t e t h e
e e c t o f t h i s m o l e c u l a r b o n d i n g o n t h e f u s i o n o f
1 1
L i a n d
9
L i . T h e s e p r e l i m i n a r y c a l c u l a t i o n s
i n d i c a t e d ( B e r t u l a n i a n d B a l a n t e k i n , 1 9 9 3 ) a v e r y s i g n i c a n t e n h a n c e m e n t o f t h e f u s i o n c r o s s
s e c t i o n d u e t o m o l e c u l a r b o n d i n g . T a k i g a w a e t a l . ( 1 9 9 5 a ) s h o w e d t h a t t h i s c r o s s s e c t i o n
i s s o m e w h a t r e d u c e d w h e n d i e r e n t i n i t i a l c o n d i t i o n s a r e u s e d . T h e c a l c u l a t i o n s o f b o t h
g r o u p s w e r e d o n e i n t h e a d i a b a t i c a p p r o x i m a t i o n , w h i c h t e n d s t o o v e r e s t i m a t e t h e e e c t .
E x i s t e n c e o f m o l e c u l a r b o n d i n g , a n d i t s e e c t o n t h e f u s i o n p r o c e s s r e m a i n s t o b e a n o p e n
q u e s t i o n .
I n t h i s c o n n e c t i o n , w e w i s h t o r e m a r k t h a t a p o l a r i z a t i o n o f t h e w a v e f u n c t i o n s o f t h e
v a l e n c e n e u t r o n s , i . e . , t h e a d m i x t u r e o f h i g h e r o r b i t s , i s e s s e n t i a l i n o r d e r f o r t h e b o n d e e c t
t o b e s i g n i c a n t . I m a n i s h i a n d v o n O e r t z e n ( 1 9 9 5 ) s t u d i e d t h e b o n d e e c t i n t h e f u s i o n
b e t w e e n
1 1
B e a n d
1 0
B e a n d s h o w e d t h a t a s i g n i c a n t p o l a r i z a t i o n o f t h e v a l e n c e n u c l e o n s
s t a r t s t o t a k e p l a c e e v e n w h e r e t h e c o r e n u c l e i a r e s t i l l f a r a p a r t i f t h e b i n d i n g e n e r g y
o f t h e v a l e n c e n u c l e o n s i s s m a l l , a n d t h a t c o n s e q u e n t l y t h e r e e x i s t s a l a r g e b o n d e e c t i n
t h i s s y s t e m . N o t i c e t h a t
1 1
B e h a s t w o b o u n d s t a t e s 1 p
?
1 = 2
a n d 2 s
+
1 = 2
a n d o n e l o w l y i n g
r e s o n a n c e s t a t e 1 d
+
5 = 2
. T h e h y b r i d i z a t i o n o f t h e s e o p p o s i t e p a r i t y c o n g u r a t i o n s c a u s e s a
l a r g e p o l a r i z a t i o n .
I t i s p o s s i b l e t h a t t h e r e s p o n s e o f t h e p r o j e c t i l e i n h e a v y i o n c o l l i s i o n s i n d u c e d b y a
n e u t r o n r i c h u n s t a b l e n u c l e u s c a n b e f o r m u l a t e d i n t e r m s o f t h e c o u p l i n g t o a r e s o n a n c e
s t a t e . S e v e r a l m o d e l s e x i s t t o c a l c u l a t e t h e e e c t o f t h e w i d t h o f t h e r e s o n a n t s t a t e o n
q u a n t u m t u n n e l i n g ( B a l a n t e k i n a n d T a k i g a w a , 1 9 8 5 ; H u s s e i n e t a l . , 1 9 9 5 ) .
3 2
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J . F u s i o n o f V e r y M a s s i v e S y s t e m s a n d S u p e r h e a v y N u c l e i
A s t h e c o m p o u n d n u c l e i f o r m e d i n t h e f u s i o n g e t h e a v i e r , s s i o n b e c o m e s a n i n c r e a s i n g l y
i m p o r t a n t d e - e x c i t a t i o n c h a n n e l . F o r s u c h r e a c t i o n s , e v a p o r a t i o n r e s i d u e s a n d s s i o n f r a g -
m e n t s m u s t b e a d d e d t o o b t a i n t h e t o t a l f u s i o n c r o s s s e c t i o n . A s s y s t e m s g e t m o r e m a s s i v e
( Z
p
Z
t
> 1 0 0 0 ) , f u s i o n s t a r t s c o m p e t i n g w i t h o t h e r r e a c t i o n c h a n n e l s r e p r e s e n t i n g a s i g n i -
c a n t e x c h a n g e o f e n e r g y , c h a r g e , m a s s , a n d a n g u l a r m o m e n t a . U n d e r s t a n d i n g t h e d y n a m i c s
o f f u s i o n a n d c o m p e t i n g r e a c t i o n s f o r v e r y m a s s i v e s y s t e m s i s e s s e n t i a l , a m o n g o t h e r t h i n g s ,
t o a s s e s s t h e c o n d i t i o n s f o r t h e f o r m a t i o n o f s u p e r - h e a v y e l e m e n t s . T h e s e t o p i c s a r e c o v e r e d
i n a r e c e n t r e v i e w b y R e i s d o r f ( 1 9 9 4 ) .
A s i g n i c a n t d i e r e n c e b e t w e e n t h e f u s i o n o f m a s s i v e n u c l e i a n d t h e f u s i o n o f m e d i u m
w e i g h t n u c l e i w h i c h w e d i s c u s s e d s o f a r i s t h a t t h e f u s i o n c r o s s s e c t i o n f o r v e r y m a s s i v e
s y s t e m s i s n o t e n h a n c e d , b u t r a t h e r h i n d e r e d . T h i s s i t u a t i o n i s e n c o u n t e r e d w h e n t h e
p r o d u c t o f t h e a t o m i c n u m b e r s o f t h e p r o j e c t i l e a n d t a r g e t e x c e e d s a b o u t 1 8 0 0 ( R e i s d o r f ,
1 9 9 4 ) . T h e i n c i d e n t e n e r g y h a s t o b e c o n s i d e r a b l y h i g h e r t h a n t h e f u s i o n b a r r i e r e x p e c t e d
f r o m t h e B a s s p o t e n t i a l ( B a s s , 1 9 7 4 ) w h i c h w a s d e t e r m i n e d t o t t h e f u s i o n d a t a a b o v e
t h e b a r r i e r f o r m e d i u m w e i g h t s y s t e m s w i t h Z
p
Z
t
= 6 4 ? 8 5 0 i n a p o t e n t i a l m o d e l . T h i s
e x c e s s e n e r g y i s c a l l e d t h e e x t r a p u s h e n e r g y . B j o r n h o l m a n d S w i a t e c k i ( 1 9 8 2 ) a t t r i b u t e d
t h i s h i n d r a n c e p h e n o m e n a t o t h e f a c t t h a t t h e s s i o n b a r r i e r f o r m a s s i v e s y s t e m s l o c a t e s
w e l l i n s i d e t h e p o t e n t i a l b a r r i e r i n t h e e n t r a n c e c h a n n e l , a n d i n t r o d u c e d t h e c o n c e p t s o f
t h e e x t r a p u s h a n d t h e e x t r a e x t r a p u s h . T h e f o r m e r i s t h e e n e r g y n e e d e d t o o v e r c o m e t h e
c o n d i t i o n a l s a d d l e , i . e . , t h e s a d d l e u n d e r t h e c o n s t r a i n t o f m a s s a s y m m e t r y , w h i l e t h e l a t t e r
i s t h e e n e r g y n e e d e d t o c a r r y t h e s y s t e m i n s i d e t h e u n c o n d i t i o n a l s a d d l e f o r s s i o n . T h o u g h
t h e r e h a v e b e e n q u i t e a n u m b e r o f e x p e r i m e n t a l a s w e l l a s t h e o r e t i c a l s t u d i e s o f t h e e x t r a
p u s h e n e r g y , i t s o r i g i n a n d t h e d e p e n d e n c e o n v a r i o u s p a r a m e t e r s o f t h e s y s t e m , s u c h a s t h e
e e c t i v e s s i l i t y p a r a m e t e r i n t h e e n t r a n c e c h a n n e l , a r e n o t f u l l y u n d e r s t o o d . O n e s h o u l d
n o t e t h a t t h e d e c r e a s e o f t h e f u s i o n c r o s s s e c t i o n w i t h d e c r e a s i n g b o m b a r d i n g e n e r g y i n
m a s s i v e s y s t e m s , w h e r e t h e r e e x i s t s a n e x t r a p u s h , i s a l s o m u c h s l o w e r t h a n t h a t e x p e c t e d
i n t h e p o t e n t i a l m o d e l w h e r e t h e r e e x i s t s a n e x t r a p u s h . T h i s i n d i c a t e s t h e e x i s t e n c e o f a
k i n d o f e n h a n c e m e n t m e c h a n i s m o f t h e f u s i o n c r o s s s e c t i o n i n m a s s i v e s y s t e m s a s w e l l o n c e
t h e h i n d r a n c e e e c t a s s o c i a t e d w i t h t h e e x t r a p u s h p r o b l e m i s i s o l a t e d .
A n i n t e r e s t i n g p r o b l e m c o n c e r n i n g t h e f u s i o n o f m a s s i v e n u c l e i i s t h e s y n t h e s i s o f s u p e r
h e a v y e l e m e n t s . A s i g n i c a n t a d v a n c e o c c u r r e d w h e n H o f m a n n e t e l . ( 1 9 9 6 ) a t G S I w o r k i n g
w i t h t h e S H I P v e l o c i t y l t e r h a s s u c c e e d e d i n p r o d u c i n g t h e s u p e r h e a v y e l e m e n t Z = 1 1 2 b y
t h e s o c a l l e d c o l d f u s i o n m e t h o d u s i n g
7 0
Z n +
2 0 8
P b r e a c t i o n . T h i s i s t h e h e a v i e s t e l e m e n t
r e c o r d e d t o d a t e a n d i t i s o n l y t w o a t o m i c n u m b e r a w a y f r o m t h e p r e d i c t e d m a g i c n u m b e r
Z = 1 1 4 . T h o u g h t h e s u c c e s s f u l s y n t h e s i s o f e l e m e n t 1 1 2 a f t e r t h e s y n t h e s i s o f e l e m e n t s 1 1 0
a n d 1 1 1 i n 1 9 9 4 s e e m s t o i n d i c a t e t h a t a s i m i l a r e x p e r i m e n t a l s t r a t e g y c a n b e u s e d t o g o
f u r t h e r t o t h e r e a l m o f t h e h e a v i e s t e l e m e n t s , a p r o b l e m i s t h a t t h e c r o s s s e c t i o n i s v e r y s m a l l ,
i . e . , o f t h e o r d e r o f 1 p b . A c t u a l l y , o n l y t w o e v e n t s w e r e i d e n t i e d f o r Z = 1 1 2 . I t w o u l d
c e r t a i n l y b e v e r y i n t e r e s t i n g t o l o o k f o r a l t e r n a t i v e w a y s t o s y n t h e s i z e s u p e r h e a v y e l e m e n t s .
A n i n t e r e s t i n g q u e s t i o n i n t h i s c o n n e c t i o n i s t o e x a m i n e w h e t h e r t h e r e a r e a d v a n t a g e s o f
u s i n g n e u t r o n r i c h u n s t a b l e n u c l e i . A p r e l i m i n a r y s t u d y i n t h i s d i r e c t i o n h a s b e e n u n d e r t a k e n
b y T a k i g a w a e t a l . ( 1 9 9 2 b ) a n d T a k i g a w a a n d S h i n o z u k a ( 1 9 9 2 c ) . T h e s e a u t h o r s d i s c u s s e d
t h e a d v a n t a g e s s u c h a s t h e l a r g e r s u r v i v a l p r o b a b i l i t y o f t h e c o m p o u n d s y s t e m , l o w e r i n g o f
3 3
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t h e f u s i o n b a r r i e r , a n d t h e p o s s i b l e l o w e r i n g o f t h e e x t r a - p u s h e n e r g i e s , a n d d i s a d v a n t a g e s
s u c h a s t h e l o w b e a m i n t e n s i t y i n r e a c t i o n s i n d u c e d b y n e u t r o n r i c h u n s t a b l e n u c l e i . I n
p a s s i n g , w e w i s h t o m e n t i o n t h a t N o m u r a e t a l . ( 1 9 9 5 ) i s t r y i n g t o u s e ( H I , x n ) r e a c t i o n s
t o e x p e r i m e n t a l l y s y n t h e s i z e s u p e r h e a v y e l e m e n t s u s i n g t h e c o o l i n g m e c h a n i s m b y p a r t i c l e
e m i s s i o n , a n d t h a t A r i t o m o e t a l . ( 1 9 9 7 ) a r e i n t r o d u c i n g a d i u s i o n m o d e l t o t h e o r e t i c a l l y
d i s c u s s t h e m e c h a n i s m o f t h e s y n t h e s i s o f s u p e r h e a v y e l e m e n t s , t h o u g h b o t h o f t h e m t r e a t
a t h e r m a l p r o c e s s r a t h e r t h a n a q u a n t u m t u n n e l i n g p r o c e s s .
V I . O P E N P R O B L E M S A N D O U T L O O K
A l t h o u g h t h e r e s t i l l a r e m a n y u n s e t t l e d i s s u e s e v e n i n f u s i o n r e a c t i o n s w i t h s t a b l e n u c l e i ,
r e m a r k a b l e p r o g r e s s h a s b e e n m a d e i n t h e l a s t f t e e n y e a r s . N e w , c o n c e p t u a l l y a l l u r i n g
w a y s o f a n a l y z i n g d a t a , s u c h a s s t u d y i n g b a r r i e r d i s t r i b u t i o n s ; n e w a p p r o a c h e s t o c h a n n e l
c o u p l i n g , s u c h a s t h e p a t h i n t e g r a l a n d G r e e n f u n c t i o n f o r m a l i s m s ; a n d a l t e r n a t i v e m e t h -
o d s t o d e s c r i b e n u c l e a r s t r u c t u r e e e c t s , s u c h a s t h o s e u s i n g t h e I n t e r a c t i n g B o s o n M o d e l ,
w e r e i n t r o d u c e d . T h e r o l e s o f n u c l e o n t r a n s f e r , h i g h e r - o r d e r c o u p l i n g s , a n d s h a p e - p h a s e
t r a n s i t i o n s w e r e e l u c i d a t e d . W e c a n n o w u n d e r s t a n d t h e d a t a f o r c l e a n ( i . e . , a s y m m e t r i c )
s y s t e m s i n t e r m s o f i n e l a s t i c e x c i t a t i o n s a n d n u c l e o n t r a n s f e r . A c q u i s i t i o n o f h i g h p r e c i s i o n ,
c o m p l e m e n t a r y d a t a f o r f u s i o n , t r a n s f e r r e a c t i o n s , a n d e l a s t i c s c a t t e r i n g a t b e l o w a n d n e a r
t h e b a r r i e r s h o u l d b e e n c o u r a g e d a s t h e o r e t i c a l t o o l s a r e a v a i l a b l e t o a n a l y z e t h e m .
O n t h e o t h e r h a n d , f u s i o n c r o s s s e c t i o n s f o r v e r y h e a v y s y m m e t r i c s y s t e m s c a n n o t b e
r e p r o d u c e d b y t h e p r e s e n t m o d e l s . I n s u c h s y s t e m s i n c l u s i o n o f h i g h e r - o r d e r c o u p l i n g i s
e s s e n t i a l . O n e s a l i e n t i n g r e d i e n t i s a p r o p e r d e s c r i p t i o n o f n e c k f o r m a t i o n . T h o u g h t h e r e
a r e m a n y p i o n e e r i n g a t t e m p t s w h i c h r e l a t e t h e l a r g e e n h a n c e m e n t o f t h e f u s i o n c r o s s s e c -
t i o n t o t h e n e c k f o r m a t i o n ( J a h n k e e t a l . , 1 9 8 2 ; K r a p p e e t a l . , 1 9 8 3 ; I w a m o t o a n d H a r a d a ,
1 9 8 7 ; I w a m o t o a n d T a k i g a w a , 1 9 8 9 ; A g u i a r e t a l . , 1 9 8 8 ) , a m i c r o s c o p i c d e s c r i p t i o n o f f u -
s i o n r e a c t i o n s i n g e n e r a l a n d n e c k f o r m a t i o n i n p a r t i c u l a r i s s t i l l a t a v e r y p r i m i t i v e s t a g e
a n d n e e d s t o b e f u r t h e r d e v e l o p e d . I n c o n n e c t i o n w i t h t h e f o r m e r , w e w i s h t o n o t e t h e
c o m p u t e r s i m u l a t i o n s f o r s u b - b a r r i e r f u s i o n r e a c t i o n s b y B o n a s e r a a n d K o n d r a t y e v ( 1 9 9 4 ) .
T h e e e c t s o f n e c k f o r m a t i o n c o u l d b e f o r m u l a t e d i n t e r m s o f t h e q u a n t u m t u n n e l i n g i n a
m u l t i - d i m e n s i o n a l s p a c e ( L a n d o w n e a n d N i x , 1 9 8 1 ; K o d a m a e t a l . , 1 9 7 8 ; Y u D e n i s o v a n d
R o y e r , 1 9 9 4 ; Y u D e n i s o v a n d R o y e r , 1 9 9 5 ) .
S e v e r a l e x i s t i n g a n d p r e s e n t l y u n d e r c o n s t r u c t i o n e x p e r i m e n t a l f a c i l i t i e s p r o v i d i n g b e a m s
o f s h o r t - l i v e d r a d i o a c t i v e n u c l e i p r e s e n t n e w o p p o r t u n i t i e s t o e x p l o r e t h e d y n a m i c s o f t h e
f u s i o n r e a c t i o n s b e l o w t h e C o u l o m b b a r r i e r . I n s u c h f a c i l i t i e s , i n a d d i t i o n t o t e s t i n g o u r
p r e s e n t u n d e r s t a n d i n g o f t h e f u s i o n d y n a m i c s i n a n e w s e t t i n g , o n e c a n e x p e r i m e n t a l l y
i n v e s t i g a t e e n t i r e l y n e w f a c e t s s u c h a s t h e c o u p l i n g o f r e s o n a n t s t a t e s t o q u a n t u m t u n n e l i n g
a n d t h e p o s s i b i l i t y o f m o l e c u l a r b o n d f o r m a t i o n .
O n e s h o u l d n a l l y r e m a r k t h a t t h e r e a r e m a n y o t h e r t u n n e l i n g p h e n o m e n a i n n u c l e a r
p h y s i c s b e s i d e s h e a v y - i o n f u s i o n r e a c t i o n s . A l p h a d e c a y , s s i o n , v a r i o u s r a r e d e c a y s , a n d
n u c l e a r s t r u c t u r e p r o b l e m s s u c h a s t h e d e c a y o f a s u p e r d e f o r m e d b a n d t o a n o r m a l b a n d
w i l l a l s o b e e e c t e d b y c o u p l i n g t o t h e i n t r i n s i c d e g r e e s o f f r e e d o m a n d i n s i g h t o b t a i n e d
i n t h e s t u d y o f h e a v y - i o n f u s i o n r e a c t i o n s a t s u b b a r r i e r e n e r g i e s w i l l b e a v a l u a b l e t o o l t o
u n d e r s t a n d t h e s e p h e n o m e n a i n m o r e d e t a i l .
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A C K N O W L E D G M E N T S
W e t h a n k J . B e a c o m a n d K . H a g i n o f o r t h e i r c o m m e n t s o n t h e m a n u s c r i p t . W e a r e
g r a t e f u l t o o u r c o l l a b o r a t o r s a n d c o l l e a g u e s J . B e n n e t t , A . D e W e e r d , K . H a g i n o , S . K u y u -
c a k , J . L e i g h , N . R o w l e y , R . V a n d e n b o s c h f o r m a n y d i s c u s s i o n s o v e r t h e y e a r s . T h i s r e s e a r c h
w a s s u p p o r t e d i n p a r t b y t h e U . S . N a t i o n a l S c i e n c e F o u n d a t i o n G r a n t s N o . P H Y - 9 3 1 4 1 3 1
a n d P H Y - 9 6 0 5 1 4 0 ; i n p a r t b y t h e J a p a n S o c i e t y o f P r o m o t i o n o f S c i e n c e ; a n d i n p a r t b y t h e
U n i v e r s i t y o f W i s c o n s i n R e s e a r c h C o m m i t t e e w i t h f u n d s g r a n t e d b y t h e W i s c o n s i n A l u m n i
R e s e a r c h F o u n d a t i o n . I t w a s a l s o s u p p o r t e d i n p a r t b y t h e G r a n t - i n - A i d f o r G e n e r a l S c i e n -
t i c R e s e a r c h , C o n t r a c t s N o . 0 6 6 4 0 3 6 8 a n d N o . 0 8 6 4 0 3 8 0 ; t h e G r a n t - i n - A i d f o r S c i e n t i c
R e s e a r c h o n P r i o r i t y A r e a s , C o n t r a c t s N o . 0 5 2 4 3 1 0 2 a n d N o . 0 8 2 4 0 2 0 4 ; a n d M o n b u s h o
I n t e r n a t i o n a l S c i e n t i c R e s e a r c h P r o g r a m : J o i n t R e s e a r c h f r o m t h e J a p a n e s e M i n i s t r y o f
E d u c a t i o n , S c i e n c e a n d C u l t u r e C o n t r a c t N o . 0 9 0 4 4 0 5 1 .
3 5
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R E F E R E N C E S
A b e , M . a n d N . T a k i g a w a , 1 9 8 8 , P h y s . L e t t . B 2 0 9 , 1 4 9 .
A c k e r m a n n , D . , L . C o r r a d i , D . R . N a p o l i , C . M . P e t r a c h e , P . S p o l a o r e , A . M . S t e f a n i n i , F .
S c a r l a s s a r a , S . B e g h i n i , G . M o n t a g n o l i , G . F . S e g a t o , a n d C . S i g n o r i n i , 1 9 9 4 , N u c l . P h y s . A
5 7 5 , 3 7 4 .
A c k e r m a n n , D . , 1 9 9 5 , A c t a P h y s . P o l . B 2 6 , 5 1 7 .
A c k e r m a n n , D . , P . B e d n a r c z y k , L . C o r r a d i , D . R . N a p o l i , C . M . P e t r a c h e , P . S p o l a o r e , A . M .
S t e f a n i n i , K . M . V a r i e r , H . Z h a n g , F . S c a r l a s s a r a , S . B e g h i n i , G . M o n t a g n o l i , L . M u l l e r ,
G . F . S e g a t o , F . S o r a m l e , a n d C . S i g n o r i n i , 1 9 9 6 , N u c l . P h y s . A 6 0 9 , 9 1 .
A g u i a r , C . E . , V . C . B a r b o s a , L . F . C a n t o , a n d R . D o n a n g e l o , 1 9 8 8 , P h y s . L e t t . B 2 0 1 , 2 2 .
A n d r e s , M . V . , N . R o w l e y , a n d M . A . N a g a r a j a n , 1 9 8 8 , P h y s . L e t t . B 2 0 2 , 2 9 2
A p r a h a m i a n , A . , D . S . B r e n n e r , R . F . C a s t e n , R . L . G i l l , a n d A . P i o t r o w s k i , 1 9 8 7 , P h y s . R e v .
L e t t . 5 9 , 5 3 5 .
A r i m a , A . a n d F . I a c h e l l o , 1 9 7 6 , A n n . P h y s . ( N . Y . ) 9 9 , 2 5 3 .
A r i t o m o , Y . , T . W a d a , M . O h t a a n d Y . A b e , 1 9 9 7 , P h y s . R e v . C 5 5 , R 1 0 1 1 .
B a c k , B . B . , R . R . B e t t s , J . E . G i n d l e r , B . D . W i l k i n s , S . S a i n i , M . B . T s a n g , C . K . G e l b k e ,
W . G . L y n c h , M . A . M c M a h a n , a n d P . A . B a i s e n , 1 9 8 5 , P h y s . R e v . C 3 2 , 1 9 5 .
B a b a , C . V . K . , 1 9 9 3 , N u c l . P h y s . A 5 5 3 , 7 1 9 c .
B a l a n t e k i n , A . B . , S . E . K o o n i n , a n d J . W . N e g e l e , 1 9 8 3 , P h y s . R e v . C 2 8 , 1 5 6 5 .
B a l a n t e k i n , A . B . a n d N . T a k i g a w a , 1 9 8 5 , A n n . P h y s . ( N Y ) 1 6 0 , 4 4 1 .
B a l a n t e k i n , A . B . a n d P . E . R e i m e r , 1 9 8 6 , P h y s . R e v . C 3 3 , 3 7 9 .
B a l a n t e k i n , A . B . , J . B e n n e t t , a n d N . T a k i g a w a , 1 9 9 1 , P h y s . R e v . C 4 4 , 1 4 5 .
B a l a n t e k i n , A . B . , J . R . B e n n e t t , A . J . D e W e e r d , a n d S . K u y u c a k , 1 9 9 2 , P h y s . R e v . C 4 6 ,
2 0 1 9 .
B a l a n t e k i n , A . B . , J . R . B e n n e t t , a n d S . K u y u c a k , 1 9 9 3 , P h y s . R e v . C 4 8 , 1 2 6 9 .
B a l a n t e k i n , A . B . , J . R . B e n n e t t , a n d S . K u y u c a k , 1 9 9 4 , P h y s . R e v . C 4 9 , 1 0 7 9 .
B a l a n t e k i n , A . B . , J . R . B e n n e t t , a n d S . K u y u c a k , 1 9 9 4 , P h y s . R e v . C 4 9 , 1 2 9 4 .
B a l a n t e k i n , A . B . , J . R . B e n n e t t , a n d S . K u y u c a k , 1 9 9 4 , P h y s . L e t t . B 3 3 5 , 2 9 5 .
B a l a n t e k i n , A . B . , A . J . D e W e e r d , a n d S . K u y u c a k , 1 9 9 6 , P h y s . R e v . C 5 4 , 1 8 5 3 .
B a s s , R . , 1 9 7 4 , N u c l . P h y s . A 2 3 1 , 4 5 .
B e c k e r m a n , M . , M . S a l o m a a , H . A . E n g e , A . S p e r d u t o , J . B a l l , A . D i R i e n z o , S . G a z e s , Y .
C h e n , J . D . M o l i t o r i s , a n d M . N a i - f e n g , 1 9 8 0 , P h y s . R e v . L e t t . 4 5 , 1 4 7 2 .
B e c k e r m a n , M . , 1 9 8 8 , R e p . P r o g . P h y s . 5 1 , 1 0 4 7 .
B e r t u l a n i , C . a n d A . B . B a l a n t e k i n , 1 9 9 3 , P h y s . L e t t . B 3 1 4 , 2 7 5 .
B i e r m a n , J . D . , A . W . C h a r l o p , D . J . P r i n d l e , R . V a n d e n b o s c h , a n d D . Y e , 1 9 9 3 , P h y s . R e v .
C 4 8 , 3 1 9
B i e r m a n , J . D . , P . C h a n , J . F . L i a n g , M . P . K e l l y , A . A . S o n z o g n i , a n d R . V a n d e n b o s c h , 1 9 9 6 ,
P h y s . R e v . L e t t . 7 6 , 1 5 8 7 .
B i e r m a n , J . D . , P . C h a n , J . F . L i a n g , M . P . K e l l y , A . A . S o n z o g n i a n d R . V a n d e n b o s c h , 1 9 9 6 ,
U n i v e r s i t y o f W a s h i n g t o n p r e p r i n t .
B j o r n h o l m , S . a n d W . J . S w i a t e c k i , 1 9 8 2 , N u c l . P h y s . A 3 9 1 , 4 7 1 .
B o n a s e r a , A . a n d V . K o n d r a t y e v , 1 9 9 4 , P h y s . L e t t . B 3 3 9 , 2 0 7 .
B r a n d a n , M . E . a n d G . R . S a t c h l e r , 1 9 9 7 , P h y s . R e p . 2 8 5 , 1 4 3 .
B r i n k , D . M . , A . F . R . d e T o l e d o P i z a , a n d A . K . K e r m a n , 1 9 6 5 , P h y s . L e t t . 1 9 , 4 1 3 .
B r i n k , D . M . a n d U . S m i l a n s k y , 1 9 8 3 , N u c l . P h y s . A 4 0 5 , 3 0 1 .
3 6
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B r i n k , D . M . , M . C . N e m e s , a n d D . V a u t h e r i n , 1 9 8 3 , A n n . P h y s . ( N Y ) 1 4 7 , 1 7 1 .
B r i n k , D . M . , S e m i - C l a s s i c a l M e t h o d s f o r N u c l e u s - N u c l e u s S c a t t e r i n g ( C a m b r i d g e U n i v e r s i t y
P r e s s , C a m b r i d g e , E n g l a n d , 1 9 8 5 ) .
B r i n k , D . M . , i n F r o n t i e r s o f N u c l e a r D y n a m i c s , B r o g l i a , R . A . a n d C . H . D a s s o , E d s . ( P l e n u m
P r e s s , L o n d o n , 1 9 8 5 ) , p . 1 7 1 .
B r o g l i a , R . A . , C . H . D a s s o , S . L a n d o w n e , a n d G . P o l l a r o l o , 1 9 8 3 , P h y s . L e t t . B 1 3 3 , 3 4 .
B r o g l i a , R . A . , C . H . D a s s o , S . L a n d o w n e , a n d A . W i n t h e r , 1 9 8 3 , P h y s . R e v . C 2 7 , 2 4 3 3 .
C a l d e i r a , A . O . a n d A . J . L e g g e t t , 1 9 8 3 , A n n . P h y s . ( N Y ) 1 4 9 , 3 7 4 .
C a n t o , L . F . , R . D o n a n g e l o , P . L o t t i , a n d M . S . H u s s e i n , 1 9 9 5 , P h y s . R e v . C 5 2 , R 2 8 4 8 .
C a s t e n , R . F . a n d D . D . W a r n e r , 1 9 8 8 , R e v . M o d . P h y s . 6 0 , 3 8 9 .
C a s t e n , R . F . a n d N . V . Z a m r , 1 9 9 6 , P h y s . R e p . 2 6 4 , 8 1 .
C h a r l o p , A . , J . B i e r m a n , Z . D r e b i , A . G a r c i a , S . G i l , D . P r i n d l e , A . S o n z o g n i , R . V a n d e n -
b o s c h , a n d D . Y e , 1 9 9 5 , P h y s . R e v . C 5 1 , 6 2 8 .
C h a s e , D . M . , L . W i l e t s , a n d A . R . E d m o n d s , 1 9 5 8 , P h y s . R e v . 1 1 0 , 1 0 8 0 .
C h r i s t l e y , J . A . , M . A . N a g a r a j a n , a n d A . V i t t u r i , 1 9 9 5 , N u c l . P h y s . A 5 9 1 , 3 4 1 .
C o l e , M . W . a n d R . H . G o o d , 1 9 7 8 , P h y s . R e v . A 1 8 , 1 0 8 5 .
D a s g u p t a , M . , A . N a v i n , Y . K . A g a r w a l , C . V . K . B a b a , H . C . J a i n , M . L . J h i n g a n , a n d A . R o y ,
1 9 9 1 , P h y s . R e v . L e t t . 6 6 , 1 4 1 4 .
D a s g u p t a , M . , A . N a v i n , Y . K . A g a r w a l , C . V . K . B a b a , H . C . J a i n , M . L . J h i n g a n , a n d A . R o y ,
1 9 9 2 , N u c l . P h y s . A 5 3 9 , 3 5 1 .
D a s s o , C . H . , S . L a n d o w n e , a n d A . W i n t h e r , 1 9 8 3 , N u c l . P h y s . A 4 0 5 , 3 8 1 ; 4 0 7 , 2 2 1 .
D a s s o , C . H . , H . E s b e n s e n , a n d S . L a n d o w n e , 1 9 8 6 , P h y s . R e v . L e t t . 5 7 , 1 4 9 8 .
D a s s o , C . H . a n d S . L a n d o w n e , 1 9 8 7 , P h y s . L e t t . B 1 8 3 , 1 4 1 .
D a s s o , C . H . a n d S . L a n d o w n e , 1 9 8 7 , C o m p u t . P h y s . C o m m u n . 4 6 , 1 8 7 .
D a s s o , C . H . a n d A . V i t t u r i , 1 9 9 4 , P h y s . R e v . C 5 0 , R 1 2 .
Y u D e n i s o v , V . a n d G . R o y e r , 1 9 9 4 , J . P h y s . G 2 0 , L 4 3 .
Y u D e n i s o v , V . a n d G . R o y e r , 1 9 9 5 , P h y s . A t o m i c N u c l . 5 8 , 3 9 7 .
D e W e e r d , A . J . , 1 9 9 6 , P h . D . D i s s e r t a t i o n , U n i v e r s i t y o f W i s c o n s i n - M a d i s o n .
D i G r e g o r i o , D . E . , J . O F e r n a n d e z N i e l l o , A . J . P a c h e c o , D . A b r i o l a , S . G i l , A . O . M a c c h i a v e l l i ,
J . E . T e s t o n i , P . R . P a s c h o l a t i , V . R . V a n i n , R . L i g u o r i N e t o , N . C a r l i n F i l h o , M . M . C o i m b r a ,
P . R . S i l v e i r a G o m e s , a n d R . G . S t o k s t a d , 1 9 8 6 , P h y s . L e t t . B 1 7 6 , 3 2 2 .
D i G r e g o r i o , D . E . , K . T . L e s k o , B . A . H a r m o n , E . B . N o r m a n , J . P o u l i o t , B . S u r , Y . D . C h a n ,
a n d R . G . S t o k s t a d , 1 9 9 0 , P h y s . R e v . C 4 2 , 2 1 0 8 .
D i G r e g o r i o , D . E . a n d R . G . S t o k s t a d , 1 9 9 1 , P h y s . R e v . C 4 3 , 2 6 5 .
E s b e n s e n , H . , 1 9 8 1 , N u c l . P h y s . A 3 5 2 , 1 4 7 .
E s b e n s e n , H . , J . - Q . W u , a n d G . F . B e r t s c h , 1 9 8 3 , N u c l . P h y s . A 4 1 1 , 2 7 5 .
E s b e n s e n , H . a n d S . L a n d o w n e , 1 9 8 7 , P h y s . R e v . C 3 5 , 2 0 9 0 .
E s b e n s e n , H . a n d S . L a n d o w n e , 1 9 8 9 , N u c l . P h y s . A 4 9 2 , 4 7 3 .
E s b e n s e n , H . a n d S . L a n d o w n e , 1 9 8 9 , N u c l . P h y s . A 4 6 7 , 1 3 6 .
E s b e n s e n , H . , S . L a n d o w n e , a n d C . P r i c e , 1 9 8 7 , P h y s . R e v . C 3 6 , 1 2 1 6 .
F u k o u - Y o u m b i , V . , J . L . S i d a , a n d N . A l a m a n o s , H e a v y I o n F u s i o n , E x p l o r i n g t h e V a r i e t y o f
N u c l e a r P r o p e r t i e s , A . M . S t e f a n i n i , e t a l . , E d s . ( W o r l d S c i e n t i c , S i n g a p o r e , 1 9 9 4 ) , p . 3 0 5 .
F e r n a n d e z - N i e l l o , J . , C . H . D a s s o , a n d S . L a n d o w n e , 1 9 8 9 , C o m p u t . P h y s . C o m m u n . 5 4 ,
4 0 9 .
F i s c h e r , R . D . , A . R u c k e l s h a u s e n , G . K o c h , W . K u h n , V . M e t a g , R . M u h l h a n s , R . N o v o t n y ,
3 7
8/22/2019 QT in Nuclear Fusion-Advanced 10.1.1.38.5202
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H . S t r o h e r , H . G r o g e r , D . H a b s , H . W . H e y n g , R . R e p n o w , D . S c h w a l m , W . R e i s d o r f , a n d
R . S . S i m o n , 1 9 8 6 , P h y s . L e t t . B 1 7 1 , 3 3 .
G a l e t t i , D . a n d M . A . C a n d i d o R i b e i r o , 1 9 9 4 , P h y s . R e v . C 5 0 , 2 1 3 6 .
G a l e t t i , D . a n d M . A . C a n d i d o R i b e i r o , 1 9 9 5 , P h y s . R e v . C 5 1 , 1 4 0 8 .
G i n o c c h i o , J . N . , T . O t s u k a , R . D . A m a d o , a n d D . A S p a r r o w , 1 9 8 6 , P h y s . R e v . C 3 3 , 2 4 7 .
G o m e z - C a m a c h o , J . a n d R . C . J o h n s o n , 1 9 8 8 , J . P h y s . G 1 2 , L 2 3 5 .
H a g i n o , K . , N . T a k i g a w a , A . B . B a l a n t e k i n , a n d J . R . B e n n e t t , 1 9 9 5 , P h y s . R e v . C 5 2 , 2 8 6 .
H a g i n o , K . , N . T a k i g a w a , J . R . B e n n e t t , a n d D . M . B r i n k , 1 9 9 5 , P h y s . R e v . C 5 1 , 3 1 9 0 .
H a g i n o , K . , N . T a k i g a w a , M . D a s g u p t a , D . J . H i n d e , a n d J . R . L e i g h , 1 9 9 7 , P h y s . R e v . C
5 5 , 2 7 6 .
H a g i n o , K . , N . T a k i g a w a , a n d S . K u y u c a k , 1 9 9 7 , T o h o k u U n i v e r s i t y p r e p r i n t .
H a l b e r t , M . L . , J . R . B e e n e , D . C . H e n s l e y , K . H o n k a n e n , T . M . S e m k o v , V . A b e n a n t e , D . G .
S a r a n t i t e s , a n d Z . L i , 1 9 8 9 , P h y s . R e v . C 4 0 , 2 5 5 8 .
H a n g g i , P . , P . T a l k n e r , a n d M . B o r k o v e c , 1 9 9 0 , R e v . M o d . P h y s . 6 2 , 2 5 1 a n d r e f e r e n c e s
t h e r e i n .
H i l l , D . L . a n d J . A . W h e e l e r , 1 9 5 3 , P h y s . R e v . 8 9 , 1 1 0 2 .
H i n d e , D . J . , C . R . M o r t o n , M . D a s g u p t a , J . R . L e i g h , R . C . L e m m o n , J . P . L e s t o n e , J . C . M e i n
a n d H . T i m m e r s , P r o c e e d i n g s o f t h e 7 t h I n t e r n a t i o n a l C o n f e r e n c e o n N u c l e a r R e a c t i o n
M e c h a n i s m s , V a r e n n a , I t a l y , J u n e 1 9 9 4 .
H o f m a n n , S . , V . N i n o v , F . P . H e b e r g e r , P . A r m b r u s t e r , H . F o l g e r , G . M u n z e n b e r g , H . J .
S c h o t t , A . G . P o p e k o , A . V . Y e r e m i n , S . S a r o , R . J a n i k , a n d M . L e i n o , 1 9 9 6 , Z . P h y s . A
3 5 4 , 2 2 9 .
H u s s e i n , M . S . , 1 9 9 1 , N u c l . P h y s . A 5 3 1 , 1 9 2
H u s s e i n , M . S . , M . P . P a t o , a n d A . F . R . d e T o l e d o P i z a , 1 9 9 5 , P h y s . R e v . C 5 1 , 8 4 6 .
I a c h e l l o , F . a n d A . A r i m a , T h e I n t e r a c t i n g B o s o n M o d e l , ( C a m b r i d g e , 1 9 8 7 ) .
I m a n i s h i , B . a n d W . v o n O e r t z e n , 1 9 9 5 , P h y s . R e v . C 5 2 , 3 2 4 9 .
I n u i , M . a n d S . E . K o o n i n , 1 9 8 4 , P h y s . R e v . C 3 0 , 1 7 5 .
I s h i h a r a , M . , N . T a k i g a w a , a n d S . Y a m a j i , E d s . H e a v y - I o n R e a c t i o n s w i t h N e u t r o n - R i c h
B e a m s ( W o r l d S c i e n t i c , S i n g a p o r e , 1 9 9 3 ) .
I w a m o t o , A . a n d K . H a r a d a , 1 9 8 7 , Z . P h y s . A 3 2 6 , 2 0 1 .
I w a m o t o , A . a n d N . T a k i g a w a , 1 9 8 9 , P h y s . L e t t . B 2 1 9 , 1 7 6 .
I z u m o t o , T . , T . U d a g a w a , a n d B . T . K i m , 1 9 9 5 , P h y s . R e v . C 5 1 , 7 6 1 .
J a c o b s , P . M . , a n d U . S m i l a n s k y , P h y s . L e t t . B 1 2 7 , 3 1 3 ( 1 9 8 3 ) .
J a h n k e , U . , H . H . R o s s n e r , D . H i l s c h e r , a n d E . H o l u b , P h y s . R e v . L e t t . 4 8 , 1 7 .
J i a n g , C . L . , K . E . R e h m , J . G e h r i n g , B . G l a g o l a , W . K u t s c h e r a , M . R h e i n , a n d A . H . W u o s -
m a a , 1 9 9 4 , P h y s . L e t t . B 3 3 7 , 5 9 .
K i m , K . - H . , T . O t s u k a , a n d M . T o h y a m a , 1 9 9 4 , P h y s . R e v . C 5 0 , R 5 6 6 .
K o d a m a , T . , R . A . M . S . N a z a r e t h , P . M o l l e r , a n d J . R . N i x , 1 9 7 8 , P h y s . R e v . C 1 7 , 1 1 1 .
K r a p p e , H . J . , J . R . N i x , a n d A . J . S i e r k , 1 9 7 9 , P h y s . R e v . C 2 0 , 9 9 2 .
K r a p p e , H . J . , K . M o h r i n g , M . C . N e m e s , a n d H . R o s s n e r , 1 9 8 3 , Z . P h y s . A 3 1 4 , 2 3 ( 1 9 8 3 ) .
K r a p p e , H . J . a n d H . R o s s n e r , i n L o w E n e r g y N u c l e a r D y n a m i c s , Y . O g a n e s s i a n e t e l . , E d s .
( W o r l d S c i e n t i c , S i n g a p o r e , 1 9 9 5 ) , p . 3 2 9 .
K r u p p a , A . T . , P . R o m a i n , M . A . N a g a r a j a n , a n d N . R o w l e y , 1 9 9 3 , N u c l . P h y s . A 5 6 0 , 8 4 5 .
K u y u c a k , S . a n d I . M o r r i s o n , 1 9 8 8 , A n n . P h y s . ( N Y ) 1 8 1 , 7 9 .
K u y u c a k , S . a n d I . M o r r i s o n , 1 9 8 9 , A n n . P h y s . ( N Y ) 1 9 5 , 1 2 6 .
3 8
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http://slidepdf.com/reader/full/qt-in-nuclear-fusion-advanced-1011385202 39/43
K u y u c a k , S . a n d I . M o r r i s o n , 1 9 8 9 , P h y s . R e v C 4 1 , 2 9 3 6 .
K u y u c a k , S . a n d I . M o r r i s o n , 1 9 9 1 , P h y s . R e v C 4 3 , 1 1 8 7 .
L a n d o w n e , S . a n d J . R . N i x , 1 9 8 1 , N u c l . P h y s . A 3 6 8 , 3 5 2 .
L e i g h , J . R . , N . R o w l e y , R . C . L e m m o n , D . J . H i n d e , J . O . N e w t o n , J . X . W e i , J . C . M e i n , C . R
M o r t o n , S . K u y u c a k , a n d A . T . K r u p p e , 1 9 9 3 , P h y s . R e v . C 4 7 , R 4 3 7 .
L e i g h , J . R . , M . D a s g u p t a , D . J . H i n d e , J . C . M e i n , C . R . M o r t o n , R . C . L e m m o n , J . P . L e s t o n e ,
J . O . N e w t o n , H . T i m m e r s , J . X . W e i , a n d N . R o w l e y , 1 9 9 5 , P h y s . R e v . C 5 2 , 3 1 5 1 .
L e m m o n , R . C . , J . R . L e i g h , J . X . W e i , C . R . M o r t o n , D . J . H i n d e , J . O . N e w t o n , J . C . M e i n ,
M . D a s g u p t a , a n d N . R o w l e y , 1 9 9 3 , P h y s . L e t t . B 3 1 6 , 3 2 .
L i n d s a y , R . a n d N . R o w l e y , 1 9 8 4 , J . P h y s . G 1 0 , 8 0 5 .
M o l l e r , P . a n d A . I w a m o t o , 1 9 9 4 , N u c l . P h y s . A 5 7 5 , 3 8 1 .
M o r t o n , C . R . , M . D a s g u p t a , D . J . H i n d e , J . R . L e i g h , R . C . L e m m o n , J . P . L e s t o n e , J . C . M e i n ,
J . O . N e w t o n , H . T i m m e r s , N . R o w l e y , a n d A . T . K r u p p a , 1 9 9 4 , P h y s . R e v . L e t t . 7 2 , 4 0 7 4 .
M o r t o n , C . R . , 1 9 9 5 , P h . D . D i s s e r t a t i o n , A u s t r a l i a n N a t i o n a l U n i v e r s i t y .
M u l l e r , B . a n d N . T a k i g a w a , 1 9 8 7 , A n n . P h y s . ( N Y ) 1 7 3 , 1 6 3 .
N a g a r a j a n , M . A . , C . M a h a u x , a n d G . R . S a t c h l e r , 1 9 8 5 , P h y s . R e v . L e t t . 5 4 , 1 1 3 6 .
N a g a r a j a n , M . A . , A . B . B a l a n t e k i n a n d N . T a k i g a w a , 1 9 8 6 , P h y s . R e v . C 3 4 , 8 9 4 .
N o m u r a , T . e t a l , P r o c e e d i n g s o f t h e T o u r s S y m p o s i u m o n N u c l e a r P h y s i c s I I , 1 9 9 4 , T o u r s ,
F r a n c e ( W o r l d S c i e n t i c , S i n g a p o r e , 1 9 9 5 ) , p p . 4 1 8 - 4 2 7 .
v o n O e r t z e n , W . a n d W . N o r e m b e r g , 1 9 7 3 , N u c l . P h y s . A 2 0 7 , 1 1 3 .
P o e , N . , N . R o w l e y , a n d R . L i d s a y , 1 9 8 3 , N u c l . P h y s . A 4 1 0 , 4 9 8 .
P r a s a d , N . V . S . V . , A . M . V i n o d k u m a r , A . K . S i n h a , K . M . V a r i e r , D . L S a s t r y , N . M a d h a v a n ,
P . S u g a t h a n , D . O . K a t a r i a , a n d J . J . D a s , 1 9 9 6 , N u c l . P h y s . A 6 0 3 , 1 7 6 .
R e h m , K . E . , H . E s b e n s e n , J . G e h r i n g , B . G l a g o l a , D . H e n d e r s o n , W . K u t s c h e r a , M . P a u l ,
F . S o r a m e l , a n d A . H . W u o s m a a , 1 9 9 3 , P h y s . L e t t . B 3 1 7 , 3 1 .
R e i s d o r f , W . , F . P . H e s s b e r g e r , K . D . H i l d e n b r a n d , S . H o f m a n n , G . M u n z e n b e r g , K . - H .
S c h m i d t , J . H . R . S c h n e i d e r , W . F . W . S c h n e i d e r , K . S u m m e r e r , a n d G . W i r t h , 1 9 8 5 , N u c l .
P h y s . A 4 3 8 , 2 1 2 .
R e i s d o r f , W . , 1 9 9 4 , J . P h y s . G 2 0 , 1 2 9 7 .
R h o d e s - B r o w n , M . J . a n d V . E . O b e r a c k e r , 1 9 8 3 , P h y s . R e v . L e t t . 5 0 , 1 4 3 5 .
R o w l e y , N . , A . K a b i r , a n d R . L i n d s a y , 1 9 8 9 , J . P h y s . G 1 5 , L 2 6 9 .
R o w l e y , N . , G . R . S a t c h l e r , a n d P . H . S t e l s o n , 1 9 9 1 , P h y s . L e t t . B 2 5 4 , 2 5 .
R o w l e y , N . , 1 9 9 2 , N u c l . P h y s . A 5 3 8 , 2 0 5 c .
R o w l e y , N . , J . R . L e i g h , J . X . W e i , a n d R . L i n d s a y , 1 9 9 3 , P h y s . L e t t . B 3 1 4 , 1 7 9 .
R o w l e y , N . , H . T i m m e r s , J . R . L e i g h , M . D a s g u p t a , D . J . H i n d e , J . C . M e i n , C . R . M o r t o n ,
a n d J . O . N e w t o n , 1 9 9 6 , P h y s . L e t t . B 3 7 3 , 2 3 .
S a h m , C . - C . , H . - G . C l e r c , K . - H . S c m i d t , W . R e i s d o r f , P . A r m b r u s t e r , F . P . H e s s b e r g e r , J . G .
K e l l e r , G . M u n z e n b e r g , a n d D . V e r m e u l e n , 1 9 8 5 , N u c l . P h y s . A 4 4 1 , 3 1 6 .
S a g a w a , H . , N g u y e n v a n G i a i , N . T a k i g a w a , M . I s h i h a r a , a n d K . Y a z a k i , 1 9 9 5 , Z . P h y s . A
3 5 1 , 3 8 5 .
S a t c h l e r , G . R . , 1 9 9 1 , P h y s . R e p . 1 9 9 , 1 4 7 .
S c h i c k e r , R . , N . A l a m a n o s , P . B r a u n - M u n z i n g e r , J . S t a c h e l , a n d L . W a t e r s , 1 9 8 8 , P h y s .
L e t t . B 2 0 6 , 9 .
S c h o l t e n , O . , i n C o m p u t a t i o n a l N u c l e a r P h y s i c s , L a n g a n k e , K . , J . A . M a r u h n , a n d S . E .
K o o n i n , E d i t o r s ( S p r i n g e r - V e r l a g , N e w Y o r k , 1 9 9 1 ) .
3 9
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S t e f a n i n i , A . M . , J . W u , L . C o r r a d i , G . M o n t a g n o l i , H . M o r e n o , Y . N a g a s h i m a , L . M u e l l e r ,
M . N a r a y a n a s a m y , D . R . N a p o l i , P . S p o l a o r e , S . B e g h i n i , F . S c a r l a s s a r a , G . F . S e g a t o , F .
S o r a m e l , C . S i g n o r i n i , H . E s b e n s e n , S . L a n d o w n e , a n d G . P o l l a r o l o , 1 9 9 0 , P h y s . L e t t . B
2 4 0 , 3 0 6 .
S t e f a n i n i , A . M . , L . C o r r a d i , , D . A c k e r m a n n , A . F a c c o , F . G r a m e g n a , H . M o r e n o , L . M u e l l e r ,
D . R . N a p o l i , G . F . P r e t e , P . S p o l a o r e , S . B e g h i n i , D . F a b r i s , G . M o n t a g n o l i , G . N e b b i a , J . A .
R u i z , G . F . S e g a t o , C . S i g n o r i n i , a n d G . V i e s t i , 1 9 9 2 , N u c l . P h y s . A 5 4 8 , 4 5 3 .
S t e f a n i n i , A . M . , P r o c e e d i n g s o f t h e I n t e r n a t i o n a l W o r k s h o p o n \ H e a v y - I o n F u s i o n : E x p l o r -
i n g t h e V a r i e t y o f N u c l e a r P r o p e r t i e s " , P a d u a , I t a l y , M a y 2 5 - 2 7 , 1 9 9 4 ( W o r l d S c i e n t i c ,
S i n g a p o r e , 1 9 9 4 ) .
S t e f a n i n i , A . M . , D . A c k e r m a n n , L . C o r r a d i , J . H . H e , S . B e g h i n i , G . M o n t a g n o l i , F . S c a r l a s -
s a r a , a n d G . F . S e g a t o , 1 9 9 5 , A c t a P h y s . P o l . B 2 6 , 5 0 3 .
S t e f a n i n i , A . M . , D . A c k e r m a n n , L . C o r r a d i , D . R . N a p o l i , C . P e t r a c h e , P . S p o l a o r e , P . B e d -
n a r c z y k , H . Q . Z h a n g , S . B e g h i n i , G . M o n t a g n o l i , L . M u e l l e r , F . S c a r l a s s a r a , G . F . S e g a t o ,
F . S o r a m e l a n d N . R o w l e y , 1 9 9 5 , P h y s . R e v . L e t t . 7 4 , 8 6 4 .
S t e f a n i n i , A . M . , D . A c k e r m a n n , L . C o r r a d i , J . H . H e , G . M o n t a g n o l i , S . B e g h i n i , F . S c a r l a s -
s a r a , a n d G . F . S e g a t o , 1 9 9 5 , P h y s . R e v . C 5 2 , 1 7 2 7 .
S t o k s t a d , R . G . , Y . E i s e n , S . K a p l a n i s , D . P e l t e , U . S m i l a n s k y , a n d I . T s e r r u y a , 1 9 8 0 , P h y s .
R e v . C 2 1 , 2 4 2 7 .
S t o k s t a d , R . G . , D . E . D i G r e g o r i o , K . T . L e s k o , B . A . H a r m o n , E . B . N o r m a n , J . P o u l i o t , a n d
Y . D . C h a n , 1 9 8 9 , P h y s . R e v . L e t t . 6 2 , 3 9 9 .
S t o k s t a d , R . G . a n d E . E . G r o s s , 1 9 8 1 , P h y s . R e v . C 2 3 , 2 8 1 .
T a k i g a w a , N . , a n d K . I k e d a , P r o c . S y m p . o n M a n y F a c e t s o f H e a v y I o n F u s i o n R e a c t i o n s ,
E d . W . H e n n i n g e t a l . , ( A r g o n n e : A N L - P H Y - 8 6 - 1 ) ( 1 9 8 6 ) , p p . 6 1 3 - 6 2 0 .
T a k i g a w a , N . a n d H . S a g a w a , 1 9 9 1 , P h y s . L e t t . B 2 6 5 , 2 3 .
T a k i g a w a , N . , Y . A l h a s s i d , a n d A . B . B a l a n t e k i n , 1 9 9 2 , P h y s . R e v . C 4 5 , 1 8 5 0 .
T a k i g a w a , N . , H . S a g a w a , T . S h i n o z u k a , 1 9 9 2 , N u c l . P h y s . A 5 3 8 , 2 2 1 c .
T a k i g a w a , N . a n d T . S h i n o z u k a , 1 9 9 2 , P r o c e e d i n g s o f t h e 1 8 t h I N S I n t e r n a t i o n a l S y m p o s i u m
o n P h y s i c s w i t h H i g h I n t e n s i t y H a d r o n A c c e l e r a t o r s , T o k y o , M a r c h 1 4 - 1 6 , 1 9 9 0 K u b o n o , S .
a n d T . N o m u r a , E d s . , ( W o r l d S c i e n t i c , S i n g a p o r e , 1 9 9 0 ) .
T a k i g a w a , N . , M . K u r a t a n i , a n d H . S a g a w a , 1 9 9 3 , P h y s . R e v . C 4 7 , R 2 4 7 0 .
T a k i g a w a , N . , K . H a g i n o , M . A b e , a n d A . B . B a l a n t e k i n , 1 9 9 4 , P h y s . R e v . C 4 9 , 2 6 3 0 .
T a k i g a w a , N . , S . Y o s h i d a , K . H a g i n o , a n d S . K . P a t r a , 1 9 9 5 , N u c l . P h y s . A 5 8 8 , 9 1 c .
T a k i g a w a , N . , K . H a g i n o , a n d M . A b e , 1 9 9 5 , P h y s . R e v . C 5 1 , 1 8 7 .
T a n i m u r a , O . , J . M a k o w k a , a n d U . M o s e l , 1 9 8 5 , P h y s . L e t t . B 1 8 3 , 3 1 7 .
T a n i m u r a , O . , 1 9 8 7 , P h y s . R e v . C 3 5 , 1 6 0 0 .
T h o m p s o n , I . J . , M . A . N a g a r a j a n , J . S . L i l l e y , a n d B . R . F u l t o n , 1 9 8 5 , P h y s . L e t t . B 1 5 7 , 2 5 0 .
T i m m e r s , H . , J . R . L e i g h , M . D a s g u p t a , D . J . H i n d e , R . C . L e m m o n , J . C . M e i n , C . R . M o r t o n ,
J . O . N e w t o n , a n d N . R o w l e y , 1 9 9 5 , N u c l . P h y s . A 5 8 4 , 1 9 0 .
T s u k a d a , M . , S . K o b a y a s h i , S . K u r i h a r a , S . N o m u r a , E d s . , P r o c . o f t h e 4 t h I n t e r n a t i o n a l
S y m p o s i u m o n F o u n d a t i o n s o f Q u a n t u m M e c h a n i c s , J J A P S e r i e s 9 ( J a p a n e s e J o u r n a l o f
A p p l i e d P h y s i c s P u b l i c a t i o n O c e , T o k y o , 1 9 9 3 ) .
V a n d e n b o s c h , R . , T . M u r a k a m i , C . - C . S a h m , D . D . L e a c h , A . R a y , a n d M . J . M u r p h y , 1 9 8 6 ,
P h y s . R e v . L e t t . 5 6 , 1 2 3 4 .
V a n d e n b o s c h , R . , T . M u r a k a m i , C . - C . S a h m , D . D . L e a c h , A . R a y , a n d M . J . M u r p h y , 1 9 8 6 ,
4 0
8/22/2019 QT in Nuclear Fusion-Advanced 10.1.1.38.5202
http://slidepdf.com/reader/full/qt-in-nuclear-fusion-advanced-1011385202 41/43
P h y s . R e v . L e t t . 5 7 , 1 4 9 9 .
V a n d e n b o s c h , R . , 1 9 9 2 , A n n . R e v . N u c . P a r t . S c i . 4 2 , 4 4 7 .
V a z , L . C . , J . M . A l e x a n d e r , a n d G . R . S a t c h l e r , 1 9 8 1 , P h y s . R e p . C 6 9 , 3 7 3 .
W e i , J . X . , J . R . L e i g h , D . J . H i n d e , J . O . N e w t o n , R . C . L e m m o n , S . E l f s t r o m , J . X . C h e n a n d
N . R o w l e y , 1 9 9 1 , P h y s . R e v . L e t t . 6 7 , 3 3 6 8 .
W o n g , C . Y . , 1 9 7 3 , P h y s . R e v . L e t t . 3 1 , 7 6 6 .
W u , J . Q . , G . B e r t s c h , a n d A . B . B a l a n t e k i n , 1 9 8 5 , P h y s . R e v . C 3 2 , 1 4 3 2 .
W u o s m a a , A . H . , R . R . B e t t s , B . B . B a c k , M . P . C a r p e n t e r , H . E s b e n s e n , P . B . F e r n a n d e z ,
B . G . G l a g o l a , T h . H a p p , R . V . F . J a n s s e n s , T . L . K h o o , E . F . M o o r e , a n d F . S c a r l a s s a r a ,
1 9 9 1 , P h y s . L e t t . B 2 6 3 , 2 3 .
Y o s h i d a , A . , N . A o i , T . F u k u d a , M . H i r a i , M . I s h i h a r a , H . K o b i n a t a , Y . M i z o i , L . M u e l l e r , Y .
N a g a s h i m a , J . N a k a n o , T . N o m u r a , Y . H . P u , F . S c a r l a s s a r a , C . S i g n o r i n i , a n d Y . W a t a n a b e ,
1 9 9 5 , N u c l . P h y s . A 5 8 8 , 1 0 9 c .
4 1
8/22/2019 QT in Nuclear Fusion-Advanced 10.1.1.38.5202
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F I G . 1 . O n e d i m e n s i o n a l p o t e n t i a l o f E q . ( 4 ) f o r t h e
6 4
N i +
6 4
N i s y s t e m f o r s e v e r a l ̀ v a l u e s .
T h e l o w e s t b a r r i e r i s f o r ̀ = 0 ( t h e b a r e b a r r i e r ) . T h e m i d d l e a n d t o p b a r r i e r s a r e f o r ̀ = 1 0 0 a n d
̀ = 1 5 0 r e s p e c t i v e l y .
F I G . 2 . T h e e e c t i v e r a d i u s e x t r a c t e d f r o m f u s i o n c a l c u l a t i o n s f o r t h e
1 6
O +
1 5 4
S m s y s t e m u s i n g
E q . ( 6 ) . T h e c u r v e s c o r r e s p o n d t o s p h e r i c a l , v i b r a t i o n a l a n d d e f o r m e d n u c l e i w i t h q u a d r u p o l e
c o u p l i n g s t r e n g t h s v
2
= 0 , 0 . 1 3 a n d 0 . 2 6 , r e s p e c t i v e l y . F r o m B a l a n t e k i n e t a l . ( 1 9 9 6 ) .
F I G . 3 . C l a s s i c a l ( o n t h e l e f t ) a n d q u a n t u m m e c h a n i c a l ( o n t h e r i g h t ) t r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t i e s
f o r a o n e - d i m e n s i o n a l p o t e n t i a l b a r r i e r .
F I G . 4 . C l a s s i c a l ( o n t h e l e f t ) a n d q u a n t u m m e c h a n i c a l ( o n t h e r i g h t ) t r a n s m i s s i o n p r o b a b i l i t i e s
f o r a t w o - c h a n n e l c o u p l i n g . V
0
i s t h e h e i g h t o f t h e o n e - d i m e n s i o n a l p o t e n t i a l b a r r i e r c o u p l e d t o
t h e s e c h a n n e l s .
F I G . 5 . F u s i o n c r o s s s e c t i o n a n d b a r r i e r d i s t r i b u t i o n f o r t h e
1 6
O +
1 5 4
S m s y s t e m b y L e i g h e t
a l . ( 1 9 9 5 ) .
F I G . 6 . E e c t i v e o n e - d i m e n s i o n a l p o t e n t i a l b a r r i e r s f r o m ( B a l a n t e k i n e t a l . , 1 9 8 3 ) . T h e o u t e r
t u r n i n g p o i n t s a r e d e t e r m i n e d f r o m t h e p h e n o m e n o l o g i c a l p o t e n t i a l o f K r a p p e e t a l . ( 1 9 7 9 ) t o
t t h e p e a k p o s i t i o n s . T h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e o u t e r a n d i n n e r t u r n i n g p o i n t s i s t h e t h i c k n e s s
f u n c t i o n i n v e r t e d f r o m t h e d a t a . T h e s h a d e d r e g i o n i n d i c a t e s t h e e r r o r e n v e l o p e . T h e s h o r t d a s h e d
l i n e d e n o t e s t h e p o i n t C o u l o m b p o t e n t i a l a n d t h e l o n g - d a s h e d l i n e d e n o t e d t h e p o t e n t i a l o f ( K r a p p e
e t a l . , 1 9 7 9 ) .
F I G . 7 . I l l u s t r a t i o n o f t h e g e o m e t r i c i n t e r p r e t a t i o n o f t h e s u d d e n a p p r o x i m a t i o n . T h e s o l i d
c u r v e i s t h e t o t a l p o t e n t i a l f o r t h e
1 6
O +
1 5 4
S m s y s t e m w h e n t h e p r o j e c t i l e i s t a k e n t o b e s p h e r i c a l .
T h e d a s h e d ( = ? 0 : 3 2 7 ) a n d d o t - d a s h e d ( = + 0 : 6 1 3 ) c u r v e s a r e p o t e n t i a l s f o r t h e t w o - l e v e l
a p p r o x i m a t i o n f o r t h e t a r g e t w i t h = 0 : 2 5 . T h e a r r o w s s h o w t h e s h i f t s p r e d i c t e d f o r t h e b a r r i e r
p e a k s ( B a l a n t e k i n e t a l . , 1 9 9 6 ) .
F I G . 8 . A s y s t e m a t i c s t u d y o f s u b b a r r i e r f u s i o n o f
1 6
O p r o j e c t i l e w i t h r a r e e a r t h n u c l e i , t h e
s t r u c t u r e o f w h i c h i s d e s c r i b e d u s i n g t h e I n t e r a c t i n g B o s o n M o d e l ( s e e t e x t ) .
F I G . 9 . F u s i o n c r o s s s e c t i o n s f r o m A c k e r m a n n e t a l . ( 1 9 9 6 ) f o r t h e s y s t e m s
5 8
N i +
6 4
N i ( c i r c l e s )
a n d
6 4
N i +
6 4
N i ( s q u a r e s ) a s a f u n c t i o n o f t h e e n e r g y n o r m a l i z e d t o t h e b a r r i e r h e i g h t .
F I G . 1 0 . C o m p a r i s o n b e t w e e n m e a s u r e d a n d c a l c u l a t e d b a r r i e r d i s t r i b u t i o n s f o r
3 6
S +
1 1 0
P d
s y s t e m a s m o r e p h o n o n s a r e i n c l u d e d i n t h e c a l c u l a t i o n . T h e d a t a a r e f r o m S t e f a n i n i e t a l . ( 1 9 9 5 c )
a n d t h e c a l c u l a t i o n i s f r o m D e W e e r d ( 1 9 9 6 ) . T h e d o t - d a s h e d , d a s h e d , a n d s o l i d l i n e s c o r r e s p o n d
t o c a l c u l a t i o n s i n c l u d i n g o n e - p h o n o n , t w o - p h o n o n , a n d t h r e e - p h o n o n s t a t e s , r e s p e c t i v e l y .
F I G . 1 1 . F u s i o n c r o s s s e c t i o n ( u p p e r p a n e l ) a n d t h e a v e r a g e a n g u l a r m o m e n t a ( l o w e r p a n e l )
f o r t h e
6 4
N i +
9 6
Z r s y s t e m . T h e d a t a i s f r o m S t e f a n i n i e t a l . ( 1 9 9 2 ) . t h e t h e o r e t i c a l c a l c u l a t i o n i s
f r o m H a g i n o e t a l . ( 1 9 9 7 a ) . T h e t w o - p h o n o n s t a t e s o f t h e q u a d r u p o l e s u r f a c e v i b r a t i o n o f b o t h
t h e p r o j e c t i l e a n d t h e t a r g e t a r e t a k e n i n t o a c c o u n t i n t h e c o u p l e d c h a n n e l s c a l c u l a t i o n s . T h e
d o t t e d l i n e i s t h e r e s u l t i n t h e a b s e n c e o f c h a n n e l c o u p l i n g . T h e d o t - d a s h e d a n d d a s h e d l i n e s a r e
t h e r e s u l t s w h e n t h e n u c l e a r p o t e n t i a l i s e x p a n d e d u p t o t h e r s t a n d t h e s e c o n d o r d e r t e r m s
i n t h e d e f o r m a t i o n p a r a m e t e r s , r e s p e c t i v e l y . T h e s o l i d l i n e i s t h e r e s u l t o f t h e c o u p l e d c h a n n e l s
c a l c u l a t i o n s t o a l l o r d e r s , o b t a i n e d w i t h o u t e x p a n d i n g t h e n u c l e a r p o t e n t i a l .
4 2
8/22/2019 QT in Nuclear Fusion-Advanced 10.1.1.38.5202
http://slidepdf.com/reader/full/qt-in-nuclear-fusion-advanced-1011385202 43/43
F I G . 1 2 . P r e d i c t e d b e h a v i o r o f t h e b a r r i e r d i s t r i b u t i o n s f o r f u s i o n r e a c t i o n s o n t h e p r o l a t e
(
1 9 4
O s ) a n d t h e o b l a t e (
1 9 4
P t ) n u c l e i ( B a l a n t e k i n e t a l . , 1 9 9 4 a ) .
F I G . 1 3 . E x p e r i m e n t a l l y d e t e r m i n e d f u s i o n c r o s s s e c t i o n s b y B i e r m a n e t a l . ( 1 9 9 6 a ) f o r p r o l a t e
a n d o b l a t e n u c l e i . T h e s o l i d c u r v e i s t h e s i m p l i e d c o u p l e d c h a n n e l s c a l c u l a t i o n w i t h t h e C C D E F
c o d e . T h e d a s h e d c u r v e i s t h e r e s u l t f o r a o n e - d i m e n s i o n a l b a r r i e r i g n o r i n g a l l t h e c o u p l i n g s .