Pytanie MD Stac 2012

1

Zasada indukcji matematycznej 1. Udowodnic twierdzenie dla kazdej wartości przez indukcje matematyczna n

.1

1...1

2

qqaqaqaqaan

n

−−

=⋅++⋅+⋅++

2. Udowodnic twierdzenie dla kazdej wartości przez indukcje matematyczna n

( ) .2

1...321 +=++++

nnn

3. Udowodnic twierdzenie dla kazdej wartosci 1, −>pn przez indukcje matematyczna ( ) .1! npp n ⋅+≥+

4. Udowodnic twierdzenie dla kazdej wartosci przez indukcje matematyczna n

( ) .11

1...32

121

1+

=+

++⋅

+⋅ n

nnn


.2

222

...23

22

21

32 nn

nn +−=++++


( )( )

.111...321 2

112

qnqqnnqqq

nnn

−++−

=+++++

−


( ) ( ) ( ) .2

111...4321 121222 +−=−++−+− −− nnn nn


( ) ( )( ) .3

121212...531 2222 +−=−++++

nnnn

9. Udowodnic twierdzenie dla kazdej wartosci przez indukcje matematyczna n( ) .

21...321

23333

+

=++++nnn


( ) ( ) ( ) .3

111...433221 +−=−++⋅+⋅+⋅

nnnnn


( )( ) ( )( )( ) .4

32121...543432321 +++=++++⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅

nnnnnnn


( )( ) .121212

1...53

131

1+

=+−

++⋅

+⋅ n

nnn


( )( )( )( ) .122

11212

...53

231

1 222

++

=+−

++⋅

+⋅ n

nnnn

n


2

( )( ) .131323

1...1071

741

411

+=

+−++

⋅+

⋅+

⋅ nn

nn


( )( ) .14

11434

1...1391

951

511

+=

+−++

⋅+

⋅+

⋅ nnn 16. Udowodnic twierdzenie dla kazdej wartosci przez indukcje matematyczna n

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) .11...

211

11

naan

nanaaaaa +=

+−+++

+++

+ 17. Udowodnic twierdzenie dla kazdej wartosci przez indukcje matematyczna n

( ) .1!1!...!33!22!11 −+=⋅++⋅+⋅+⋅ nnn 18. Udowodnic twierdzenie dla kazdej wartosci przez indukcje matematyczna n

( ).sin2

2sin2cos...4cos2coscos 1

1

αααααα +

+

=⋅⋅ n

nn


.2

sin

2sin

21sin

sin...2sinsin kxx

xk

kxxx

+

=+++


.

2sin2

212sin

cos...2coscos21

x

xn

nxxx

+

=++++

21. Udowodnic twierdzenie dla kazdej wartosci 0,1,1 ≠−>> ααn przez indukcje matematyczna

( ) .11 αα nn +>+ 22. Udowodnic twierdzenie dla kazdej wartosci przez indukcje matematyczna n

( ) ( ).1326...16104 +=−++++ nnn 23. Udowodnic twierdzenie dla kazdej wartosci przez indukcje matematyczna n

( ) ( ) ( ) ( ) .314...523212 2nnnnn =−+++++++ 24. Udowodnic twierdzenie dla kazdej wartosci przez indukcje matematyczna n

( ).10156301...321 3454444 nnnnn −++=++++

25. Udowodnic twierdzenie dla kazdej wartosci przez indukcje matematyczna n( ) .

41...321

223333 +=++++

nnn

26. Udowodnic twierdzenie dla kazdej wartosci przez indukcje matematyczna n( )( ).... 122321 −−−−− +++++−=− nnnnnnn babbabaababa

27. Udowodnic twierdzenie dla kazdej wartosci przez indukcje matematyczna n( ) ( ) ( ) ( ) .1223...21 2−=−++++++ nnnnn

28. Udowodnic twierdzenie dla kazdej wartosci przez indukcje matematyczna n( ) ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )[ ] .121...41211 32222 nnnnnnnnnn =−++−++++−+++−++−

3

29. Udowodnic twierdzenie dla kazdej wartosci przez indukcje matematyczna n .2 nn >30. Udowodnic twierdzenie dla kazdej wartosci przez indukcje matematyczna 5≥n

.2 2nn > 31. Udowodnic twierdzenie dla kazdej wartosci przez indukcje matematyczna 7≥n

.3! nn > 32. Udowodnic twierdzenie dla kazdej wartosci przez indukcje matematyczna n

.2

222

...23

22

21

32 nn

nn +−=++++


( )( )( ) ( ) .1

11...11112

242

qqqqqq

nn

−−

=+++++


( ) ( ) ( ) ( ).

1111

11....

11

11

222222

+−=

+++

++

+ nn xxxxx

35. Udowodnic twierdzenie dla kazdej wartosci przez indukcje matematyczna n( ) .12...531 2nn =−++++

Wlasności liczb kombinatorycznych 1. Udowodnic tozsamosc ∑

=

−⋅=n

k

nkn nkC

0

1.2

2. Udowodnic tozsamosc .... 110

11101

+−

++−− −=+++ m

nmn

mn

mn

mn CCCCC

3. Udowodnic tozsamosc ( ) .1!1...2 21 −+=+++ nnPPP n

4. Udowodnic tozsamosc ( )

+=+

==

−++

−−

.12,1

2,2,0

21

..2

21

lnn

lnC

nC

nC n

nn

nn

5. Udowodnic tozsamosc .212

12

1..

11

210

−

+=++

−++

+n

nnnnn

nC

nC

nC

nC

6. Udowodnic tozsamosc ( ) ( )( ) ( .212...211 2210 −− −=++−−+− nn

nnn nnCCnnCnn ) 7. Udowodnic tozsamosc ( ) .2...1 1110 −− ⋅=++++ nn

nnn nCCnnC 8. Udowodnic tozsamosc 1 .811010...101010 21

2123

233

221

2nn

nn

nnn CCCC =+⋅−+⋅−⋅+⋅− −

9. Obliczyc sumu nnnnn nCCCC ++++ ...32 321

21010. Obliczyc sumu ( ) nnnnn CnCCC 1...32 +++++

432 n11. Obliczyc sumu ( ) .1...32 nnnn CnCCC −++++ 1−x

12. Udowodnic, że .1

21 12

1∑= −

−

+=

n

xxn

n

nCC

13. Obliczyc sumu ( ) nn

nnnn nCCCC 1321 1..32 −−+−+−

14. nalezc najwiekszy wspolczynnik w rozwieniecju wyrazenja ( )10cba ++

4

15, Znalezc najwiekszy wspolczynnik w rozwieniecju wyrazenia ( ) .14dcba +++

16. Znalezc wspolczynnik przy w rozwinieciu wyrazenia 8x ( )9321 xx −+

17. Udowodnic tozsamość .112

0 2∑=

+ ++

=n

xrxn

rn

xn

nn

CCC

18. Udowodnic tozsamość ( )( )

.0,1,11

11

2

11

11 nrnr

CCC

CCCrn

rn

rn

rn

rn

rn <<>=

−

−−−

++

−−

++

19. Udowodnic tozsamość ( )( )∑= +

−− ≥

++++

=n

xxqn

xn n

qqqn

CC

1

11 .1,

211

20. Udowodnic wlasność liczb kombinatorychnych C .rnrkrn

rk

kn CCC −

−=

21. Udowodnic wlasność liczb kombinatorychnych .1

11

+−+

=+

knn

CC

kn

kn

22. Udowodnic wlasność liczb kombinatorychnych ( ) ( ) .211 2

2

−

=

−=−∑ nkn

n

knnCkk

23. Udowodnic wlasność liczb kombinatorychnych ( )∑=

+ −+

=+

n

k

nkn nC

k0

1 .121

11

1

24. Udowodnic wlasność liczb kombinatorychnych ( ) .1

11

110 +

=+

−∑= n

Ck

kn

n

k

k

25. Udowodnic wlasność liczb kombinatorycznych ( )( ) . ,1

10

1

nmnmnm

mCCn

kkm

kn >

+−−+

=∑=

−

26. W rozwinieciu dwumianu suma wspolczynnikow przy drugim I trzecim wyrazie wynosi 120. Obliczyc n

( nba + ).

27. Udowodnic, że ............ 12312420 ++++=+++++ +mnnn

mnnnn CCCCCCC

k

28. . Udowodnic wlasnosc liczb kombinatorychnych .1

11

+−+

=+

knn

CC

kn

n

29. Udowodnic, że .1

21 12

11∑

= −

−−

+=

n

xxn

xn

nCC

rk

30. Udowodnic wlasność liczb kombinatorychnych . rn

rkrnkn CCCC −

−=2 n

31. Udowodnic tozsamość .212

12

1..

11

10

−

+=++

−++

+nnnnn

nC

nC

nC

nC

32. Udowodnic tozsamosc ( ) .1

11

110 +

=+

−∑= n

Ck

kn

n

k

k

33. Udowodnic tozsamosc ( ) .21 2

0

2 −

=

+=∑ nkn

n

knnCk

5

Równania rekurencijne

1. Znaleźć rozwiązanie równania rekurencyjnego .2,8,1

,44

10

21

≥==−= −−

nsssss nnn

2. Znaleźć ogólne rozwiązanie równania rekurencyjnego .06116 123 =−+− +++ nnnn aaaa 3. Znaleźć ogólne rozwiązanie równania rekurencyjnego .21

nnn aa =−+

4. Znaleźć rozwiązanie równania rekurencyjnego .2,2,1,32

10

21

≥==+−= −−

nsssss nnn

5. Znaleźć ogólne rozwiązanie równania rekurencyjnego .282 12

nnnn aaa =−+ ++

6. Znaleźć ogólne rozwiązanie równania rekurencyjnego .092 =++ nn aa 7. Znaleźć ogólne rozwiązanie równania rekurencyjnego .0134 12 =+− ++ nnn aaa 8. Znaleźć ogólne rozwiązanie równania rekurencyjnego .064 4 =+ −nn aa

9. Znaleźć ogólne rozwiązanie równania rekurencyjnego .04 =++ nn aa 10. Znaleźć ogólne rozwiązanie równania rekurencyjnego .024269 123 =−+− +++ nnnn aaaa

11. Znalezc rozwiazanie rownanja rekurencyjnego

.29,3,1,024269

321

123

−=−===−+− +++

aaaaaaa nnnn

12. Znaleźć rozwiązanie równania rekurencyjnego .21,41

,0

21

12

−=−==++ ++

aaaaa nnn


,044

21

12

===+− ++

aaaaa nnn


,065

21

12

−===+− ++

aaaaa nnn


,17466116

321

2123

===−−=−+− +++

aaannaaaa nnnn


,52782

21

12

=−=⋅=−+ ++

aaaaa nnnn

17. Znaleźć rozwiązanie równania rekurencyjnego .,,,023

321

13

cabaaaaaa nnn

====+− ++


,033

321

123

====−+− +++

aaaaaaa nnnn


,034

21

12

===+− ++

aaaaa nnn

20. Znaleźć ogólne rozwiązanie równania rekurencyjnego .033 123 =+++ +++ nnnn aaaa 21. Znaleźć ogólne rozwiązanie równania rekurencyjnego .02 12 =++ ++ nnn aaa 22. Znaleźć ogólne rozwiązanie równania rekurencyjnego .012 =−− ++ nnn aaa 23. Znaleźć ogólne rozwiązanie równania rekurencyjnego .0323210 123 =+++ +++ nnnn aaaa

6

24. Podać wzór jawny .032 =++ nn aa

25. Podać wzór jawny na a , gdzie n .3,1,024269

210

123

−====−+− +++

aaaaaaa nnnn

26. Podać wzór jawny na a , gdzie n .0,2,0,1,244

3210

24

=====+− ++

aaaaaaa nnnn

27. Podać wzór jawny na a , gdzie n .2,0,042

10

12

===++ ++

aaaaa nnn

28. Podać wzór jawny na a , gdzie n

( ).0,0,1,1

,1

0

11

>>=+=−+= −−

qpqpaapqaa nnn

29. Podać wzór jawny na , gdzie nS .2,1,023

10

12

===++ ++

SSSSS nnn

30. Znaleźć ogólne rozwiązanie równania rekurencyjnego .0164 =++ nn aa 31. Znaleźć ogólne rozwiązanie równania rekurencyjnego .033 123 =+++ +++ nnnn aaaa 32. Znaleźć ogólne rozwiązanie równania rekurencyjnego .024269 123 =−+− +++ nnnn aaaa 33. Znaleźć ogólne rozwiązanie równania rekurencyjnego .092 =++ nn aa34. Znaleźć ogólne rozwiązanie równania rekurencyjnego .044 12 =++ ++ nnn aaa 35. Znależć ogolne rozwiazanie rownanja rekurencyjnego .0127 12 =+− ++ nnn aaa 36. Znależć rozwiazanie rownanja rekurencyjnego .0132 1 =+++ nnn fff 37. Znaleźć rozwiązanie równania rekurencyjnego .016 11 =++− ++ nnn fff

38. Znaleźć ogólne rozwiązanie równania rekurencyjnego .256

1 ++

=+n

nn f

ff

39. Znaleźć rozwiązanie równania rekurencyjnego .02081 =−++ nnn fff 40. Znaleźć rozwiązanie równania rekurencyjnego .054 11 =−− ++ nnn fff 41. Znaleźć rozwiązanie równania rekurencyjnego .023 11 =−+ ++ nnnn ffff

42. . Znaleźć ogólne rozwiązanie ukladu równań rekurencyjnych

−=−=

+

+

.2,23

1

1

nnn

nnn

vuvvuu

43. Znaleźć rozwiązanie ukladu równań rekurencyjnych

−==+−=+=

+

+

.6,14,,3

11

1

1

vuvuvvuu

nnn

nnn

Funkcie tworzące

1. Znaleźć funkcję tworzącą dla ciągu liczb ( ) ( )( )

≥−=++

=.,0

,1,...,2,1,0,21Nn

Nnnnnf

2. Znaleźć funkcję tworzącą dla ciągu liczb ( ) ,...2,1,0., =⋅= nnnf nα 3. Znaleźć funkcję tworzącą dla ciągu liczb ( ) ,...2,1,0, =⋅= nnnf α

7

4. Znaleźć funkcję tworzącą dla ciągu liczb ( )

=

==

,...3,2,1,

,0,0

nn

nnf nα

5. Znaleźć funkcję tworzącą dla ciągu liczb ( ) ,...2,1,0,2 == nnnf


>=

=.,0

,,...,2,1,0,Nn

Nnnnf


>=+

=.,0

,,...,2,1,0,2Nn

Nnnnf

8. Znaleźć funkcję tworzącą dla ciągu liczb ( ) ,....2,1,0,!

1== n

nnf

9. Znaleźć funkcję tworzącą dla ciągu liczb ( ) ,...2,1,0,!

== nn

nfnα

10. Znaleźć funkcję tworzącą dla ciągu liczb ( ) ,...3,2,1,!

1== n

nnf


=

==

.1,0,0

,...3,2,!n

nnnf

nβ

12. Znaleźć funkcję tworzącą dla ciągu ( )nF , znajac funkcję tworzącą ciągu ( )nf

( ) ( )

=−=

=,...2,1,1

,0,0nnf

nnF

13. Znaleźć funkcję tworzącą dla ciągu ( )nF , znajac funkcję tworzącą ciągu ( )nf( ) ( ) ,..2,1,0,1 =+= nnfnF

14. Znaleźć funkcję tworzącą dla ciągu ( ) ,...2,1,0, =+= nbannf 15. Znaleźć funkcję tworzącą dla ciągu ( ) ,...2,1,0,12 =−= nnnf

216. Znaleźć funkcję tworzącą dla ciągu ( ) ,...2,1,0,1 =−= nnnf

17. Znaleźć funkcję tworzącą dla ciągu ( )

==

=.0,0

,...2,1,4nnn

nf

18. Znaleźć funkcję tworzącą dla ciągu ( )( )

=

=−

=

−

,...4,2,0,0

,...5,3,1,!

1 21

n

nnnf

n

19. Znaleźć funkcję tworzącą dla ciągu ( )( )

=

=−

=

,...5,3,1,0

,...4,2,0,!

1 2

n

nnnf

n

20. Znaleźć funkcję tworzącą dla ciągu ( ) ( )( ) ,...2,1,0,11!2

1=−+

⋅= n

nnf n


1=−−

⋅= n

nnf n

8

22. Znalezc funkcia tworzaczu dla ciagu ( ) ,...2,1,0,2 == nnf n 23. Znaleźć funkcję tworzącą dla ciągu ( ) ,....2,1,2 1 =⋅= + nnnf n

24. Znaleźć funkcję tworzącą dla ciągu ( ) ( )

==⋅−

=.1,0,0

,..4,3,2,41n

nnnnf

n


1=−+

⋅= n

nnf nn

26. Udowodnic, ze funkcia ( ) ( )attE exp= jest wykladniczą funkcię tworzącą dla ciągu .nn aa =


1=−−

⋅= n

nnf nn


>=⋅

=.,0

,,...2,1,0,2nk

nkCkf

kn

k


>=

=nk

nkCkf

kn

2,0,2,...2,1,0,2


>=⋅

=.,0

,,...2,1,0,5nk

nkCkf

kn

k


>=

=.3,0

,3,...2,1,0,3

nknkC

kfkn


1=−+

⋅= n

nnf nn

1−n33. Znaleźć funkcję tworzącą dla ciągu ( ) ,...3,2,1,2 =⋅= nnnf n34. Znaleźć funkcję tworzącą dla ciągu ( ) ,...3,2,1,10 =⋅= nnnf

35. Udowodnić, ze funkcia ( ) ( ) 11 −−= attA jest funkcię tworząnczą dla ciągu .nn aa =

36. Znaleźć funkcję tworzącą dla ciągu ( ) ( ) ,...2,1,0,1 =−= nnf n n


=

==

.0,0

,...3,2,1,!

2

n

nnnf

Notacja O 1. Znaleźć najmniejsza liczba k taka, że ( ) ( )knOnf = , jeżeli ( ) ( )( )37 32 +++= nnnnf .

2. Znaleźć najmniejsza liczba k taka, że ( ) ( )knOnf = , jeżeli ( ) ( )112 +−+= nnnnf .

3. Znaleźć najmniejsza liczba k taka, że ( ) ( )knOnf = , jeżeli ( ) ( )( )24 85 4 += nnnf . 4. Udowodnić, że 3 . ( )!nOn =

n5. Udowodnić, że ( )nOn =! . 6. Udowodnić, że . ( ) ( )nOn =ln7. Udowodnić, że ( ) ( ).loglog 2

212 nOn =

9

8. Sprawdż, czy prawdziwa czy falszywa jest rowność ( ) ( )22100 nOn = . 9. Sprawdż, czy rowność jest prawdziwa czy falszywa ( )nn O 222 = . 10. Sprawdż, czy rowność jest prawdziwa czy falszywa . ( )nOnn 22 loglog =

11. Sprawdż, czy rowność jest prawdziwa czy falszywa ( ) ( )40401 nOn =+ .

12. Sprawdż, czy rowność jest prawdziwa czy falszywa ( ) ( )241 nOn =+ .

13. Sprawdż, czy rowność jest prawdziwa czy falszywa ( ) ( )!!2 nOn = . 14. Niech będzie pewną stalą dodatnią. Pokaż , że dla dostatecznie dużych . A !nAn < n

15. Pokazac, że esli , to ∑=

=n

kn kS

1

( )2nOSn = .


=n

kn kS

1

2 ( )3nOSn = .


=n

kn kS

1

3 ( )4nOSn = .


=n

kn kS

1

4 ( )5nOSn = .

Asymptoty liczb kombinatorycznych

1. Udowodnić nierówność nnn

+

<2

1! pry . 2>n

2. Udowodnić nierówność !2 nnn < przy . 2>n3. Udowodnić nierówność ( ) ( )[ ]nnnn 1!2 +< .

4. Udowodnić nierówność 311 <

+

n

n .

5. Udowodnić nierówność !3

nn n

<

.

6. Udowodnić nierówność ( ) ( ) nnnn

+

<2

1! 2 przy . 1>n

7. Wykorzystając formułę Stirlinga pokazać, że przy ∞→n sprawiedliwa asymptotyczna

równość ( ) ( ) knk

n

kkn

knkn

knknk

nC −

∞→∞→−

−⋅

−π2~ .

8. Wykorzystając formułę Stirlinga pokazać, że przy parzystem sprawiedliwie asymptotyczna

równość

n

2/2~2n

nn

n

C π.

9. Niech funkcja f jest nieprzerwanej i monotonne wzrastającej na odcinku [ . Pokazać,

że .

( )x

( )kf −

]mn,

( ) ( ) ( )mfdxxfnfm

nk

m

n

≤≤∑ ∫=

10

10. Udowodnić, że przy m sprawiedliwie równość . ∞→ ( )∑=

+−⋅m

kmOmmmk

1lnln~ln

11. Udowodnić, że przy m sprawiedliwie równość ∞→ ( )nnm

k

n mOmn

k ++

= +

=∑ 1

1 11 .

12. Udowodnić, że przy m sprawiedliwie równość

∞→

( ) ( )( ) ( )

⋅⋅

++⋅⋅∑

= mmmOCm

mkk

m

k lnlnln1ln

lnlnln1

2= lnln .

13. Udowodnić, że przy m sprawiedliwie równość ∞→

++=∑

= mmOCm

kkm

k

loglog21log 2

1.

Liczby specjalne i funkcje specjalne

1. Udowodnić, ze liczba podzialów zbioru n elementowego na 2 podzbiory jest równa 12 1 −−n .

2. Udowodnić, ze liczby Bella spelniającą następującą zależność ( ) (∑=

Φ=+Φn

i

in iCn

01 .)

3. Udowodnić, ze liczby Stirlinga drugiego rodzaju ( )kn,Φ spelniającą następującą zależność

. ( ) (∑−

−=

−Φ=Φ1

11,,

n

ki

in kiCknk )

4. Udowodnić, ze liczby Stirlinga drugiego rodzaju ( )kn,Φ spelniającą następującą zależność

. ( ) (∑−

−=

−Φ=Φ1

11,,

n

kikikn )

5. Wyznaczyć liczby Stirlinga drugiego rodzaju ( )kn,Φ i liczby Bella dla ( )nΦ 4≤n . 6. Udowodnić, ze liczby Stirlinga drugiego rodzaju ( )kn,Φ spelniającą następującą zależność

( ) ( ) ( )knkknkn ,11,1, −Φ+−−Φ=Φ . 7. Udowodnić, że liczba da różnych przedmiotów w różnych komórkach jest równa

. m

( )mnm ,!Φ⋅8. Udowodnić, ze liczba podzialów zbioru n elementowego na 1−n podzbiory jest równa . 2

nC

9. Udowodnić, ze jest funkcję tworzącą dla lizb Bella. 1−xee10. Udowodnić, ze dla liczb Stirlinga drugiego rodzaju ( )3,nΦ prawdziwy wzór

( ) ( ) 123,133, 2 −+−Φ=Φ −nnn .

11

Zasada włączania-wyłączania 1. Zbadano 50 samochodów wykonując testy na poziom zawartości trzech grup zanieczyszczeń:

NOx, HC, CO; 1 samochod nie spełnia żadnej z trzech norm, 3 samochody przekroczyły poziom NOx i HC, 2 samochody przekroczyły poziom NOx i CO; 1 samochod przekroczyl poziom HC i CO, 6 samochodów ma zbyt wysoki poziom NOx, 4 maja zbyt wysoki poziom HC a 3 samochody maja zbyt wysoki poziom CO. Ile samochodów spełnia wszystkie testowane normy?

2. W pewnym klubie jest 10 osób grajacych w tenisa, 15 grajacych w squasha i 12 grajacych w badmintona. Spośród nich 5 gra w tenisa i squasha, 4 gra w tenisa i badmintona, 3 gra w squasha i badmintona, a tylko 2 graja we wszystkie trzy gry. Ile osób uprawia co najmnej jedna dyscyplinę?

3. Elementy teorii grafów

1. Obliczyc iłość wszystkich spójnych nieoznakowanych grafów mające co najwyżej 5 wierzcholków.

2. Narysuj graf, którego macierz sąsiedztwa jest podana na rysunku

0011000102110011000102110

3. Narysuj graf, którego macierz incydencji jest podana na rysunku

0010001101010101100000001000101001111100

4. Udowodnić, że graf pelny ma nK ( ) 21−nn krawędzi. 5. Udowodnić, że graf ( - kostka) ma 2 wierzcholków i krawędzi. kQ k k 12 −⋅ kk6. Narysuj graf mający 6 wierzcholków i ciąg stopni ( )5,5,5,5,3,3 . Czy istnie graf prosty mający

takie stopnie? 7. Narysuj graf mający 6 wierzcholków i ciąg stopni ( )5,5,4,3,3,2 . Czy istnie graf prosty mający

takie stopnie? 8. Udowodnić, że eśli G jest grafem prostym mającym co najmnej dwa wierzcholki , to G musi

zawierać dwa wierzcholki tego samego stopnia lub więcej. 9. Wyznacz macierze sąsiedztwa i incydencji grafu przedstawionego na rysunku

1 1 2 5 3 2 4 6 5

12

4 7 3

10. Udowodnić , że w dowolnej grupie sześciu osób zawsze istnieją albo trzy osoby znające nawzajem, albo trzy osoby, z których żadna nie zna pozostalych dwóch.

]

Teoria relacij

1. Zapisać iloczyn karteziański zbiorów { } { } { }{ } { }.6,5,4,3,2,1,3,2,1 === CBA

2. Zapisać relacją { }( ) { }( ) { }( ) { }( ) { }( ) { }( ) { }( ){ }4,3,3,3,2,3,6,5,2,3,2,2,6,5,1,4,3,1,3,2,1=R w postaci grafu skierowanego oraz w postaci tablicy. 3. Zdefiniować własności binarnych relacji. 4. Dla binarnej relacji Rw zbiorze { }3,2,1,0=S określić które z własności PASPZSZ ,,,, spełnią się: jeśli ( ) Rnm ∈, .3=+ nm 5. Dla binarnej relacji Rw zbiorze { }3,2,1,0=S określić które z własności

spełnią się: jeśli PASPZSZ ,,,,

( )nm ∈, R nm − jest liczbą parzystą. 6. Dla binarnej relacji Rw zbiorze { }3,2,1,0=S

n określić które z własności


( )nm ∈, R m ≤ . 7. Dla binarnej relacji Rw zbiorze { }3,2,1,0=S

4 określić które z własności


( )nm ∈, R ≤+ nm . 8. Dla binarnej relacji Rw zbiorze { }3,2,1,0=S określić które z własności


( )nm ∈, R { } 3,max =nm . 9. Dla binarnej relacji Rw zbiorze { }3,2,1,0=S

n określić które z własności

spełnią się: jeśli . PASPZSZ ,,,,

( )nm ∈, R m >10. Niech . Relacją { 2,1,0=A } R jest określona w zbiorze w ten sposób, że A

( ) ,, Rnm ∈ jeśli stwierdzenie nm ≤ jest prawdziwe. Zapisz relacją jako zbiór par uporządkowanych .

11. Niech . Relacją { 2,1,0=A } R jest określona w zbiorze w ten sposób, że A( ) ,, Rnm ∈ jeśli stwierdzenie nm = jest prawdziwe. Zapisz relacją jako zbiór par uporządkowanych .

12. Niech . Relacją { 2,1,0=A } R jest określona w zbiorze w ten sposób, że A( ) ,, Rnm ∈ jeśli stwierdzenie 0=⋅ nm jest prawdziwe. Zapisz relacją jako zbiór par uporządkowanych .

13. Niech . Relacją { 2,1,0=A } R jest określona w zbiorze w ten sposób, że A

13

( ) ,, Rnm ∈ jeśli stwierdzenie mnm =⋅ jest prawdziwe. Zapisz relacją jako zbiór par uporządkowanych .

14. Niech . Relacją { 2,1,0=A } R jest określona w zbiorze w ten sposób, że A( ) ,, Rnm ∈ jeśli stwierdzenie Anm ∈+ jest prawdziwe. Zapisz relacją jako zbiór par uporządkowanych .

15. Niech . Relacją { 2,1,0=A } R jest określona w zbiorze w ten sposób, że A( ) ,, Rnm ∈ jeśli stwierdzenie jest prawdziwe. Zapisz relacją jako zbiór par uporządkowanych .

222 =+ nm

16. Niech . Relacją { 2,1,0=A } R jest określona w zbiorze w ten sposób, że A

( ) ,, Rnm ∈ jeśli stwierdzenie jest prawdziwe. Zapisz relacją jako zbiór par uporządkowanych .

322 =+ nm

17. Niech . Relacją { 2,1,0=A } R jest określona w zbiorze w ten sposób, że A( ) ,, Rnm ∈ jeśli stwierdzenie { }1,max nm = jest prawdziwe. Zapisz relacją jako zbiór par uporządkowanych .

Sieci Logiczne 1-15. Podaj wzór funkcji booleowskiej odpowiadającej sieci logicznej pokazanej na rysunku

14

15

16

16-25. Naszkicuj sieć logiczną dla funcji

( ) ( .zyxyxzyxf +⋅′+ )′

⋅⋅′⊕′′+=

( ) ( ) ( ) .

′+⋅′+′⋅′+⊕= yzzyxyzyxg

( ) ( ).yzxyxzh ′⊕′⋅+′⊕+=

( ) ( )

′

⊕

′

⋅⋅⋅+

′

′⊕′⋅′++= xyzxxzyyxzyxf

( )( ) .zyxyxzyxg ′⋅⋅⊕′′⊕⋅′⋅⊕=

( ) ( ) .xpzyxpzyxh ⋅′⋅′⋅′⋅′⊕′+++=

( ) ( )

( )

′⋅+⋅+⋅+⋅⊕⋅′=

′⊕′⊕′+++=

.

,

2

1

zypyzxyxxzf

pxpzyxf

( ) (

( ) ( )

′⋅+⋅+⋅+⋅⊕′+⋅⋅′=

⋅′+′⋅′⋅′⋅′⊕′⊕′⊕′⊕⋅=

.

,

2

1

zypyzxyxypxzf

pxzypxpzyzxf )

( ) ( )

⋅⋅⊕

′⋅+′+++

′

′⊕′⊕=

′⋅++=

.

,

2

1

zyxzxzyxzyxg

xzyxg

( ) ( )

′⋅⊕′⋅⋅′⋅=+⋅⋅+′⊕⋅′=

.,

2

1

yyxxzzhzyzyzyxh

17

26-27. Za pomoca metody Karnugha zapisać wzór logiczny dla danej tablicy prawdy

1 2 3x x x f

0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0

1x 2x 3x f

0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1

równowa no zną

0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0

28-36. Udowodnić ż ść logic A'B'C+A'BC+AB'C'+ABC'+ABC ⇔

A'C+AC'+BC

'B'C'+A'B'C+A'BC+AB'C'+ABC'+ABC A ⇔

A'C+AC'+BC

A'B'+AC'+BC

'B'CD'+A'B'CD+A'BCD'+A'BCD+AB'C'D'+AB'C'D+ABC'D'+ABC'D+ABCD'+ABCDA ⇔

A'B'C+AB'C'+ABC'+ABC ⇔ A'B'C+AC'+AB

A'B'C+AB'C'+AB'C+ABC'+ABC ⇔

B'C+A

'B'C'+A'B'C+AB'C'+AB'C+ABC'+ABC A ⇔

B'+A

'B'C'+A'B'C+AB'C'+AB'C B'

'B'C'+A'B'C+A'BC'+AB'C'+AB'C+ABC

A ⇔

A A'C'+B'+AC ⇔

Documents

Pytanie MD Stac 2012