Pyörimisliikettä pyöriminen ja

gravitaatiokurssilla kurssillam@hyl.edu.hel.fi

2005-...

kaaren pituus

ϕ =r eli

s = ϕ r

Radiaaneissa täysi kierros on 2π.

Kaaren pituuden yksikkö on fysiikassa yleensä radiaani.

esimerkkejä kulmista

• täysi kierros = 2π ≈ 6,28

• puoliympyrä = π ≈ 3,14

• suorakulma = π/2 ≈1,57

666° =666°·2π360°

≈11,6 (rad)

666 (rad) = 666·360°

2π≈ 38159°

≈666

2π/ täysi ympyrä≈106 kierrosta

kulmanopeus

• pyörimisliikkeessä kulmanopeus ω kuvaa kuinka vikkelästi kulma φ muuttuu

• kulmanopeuden yksikkö on rad/s

• etenemisliikkeessä nopeus v kuvaa kuinka vikkelästi paikka s vaihtuu

• nopeuden yksikkö on m/s

ω =∆ϕ

∆ t

v =∆s∆t

esimerkki kulmanopeudesta• sekuntiviisarin kulmanopeus

• Maapallon kulmanopeus

• Pesulinko 1200 kierrosta minuutissa = 1200 RPM

ω =2π

1min=

2π

60s≈ 0,105rad / s

ω =2π

24h=

2π

24·60·60s≈ 7,27·10−5 rad / s

ω =1200·2π

60s≈ 125,6637 rad / s ≈ 130 rad / s

rata- ja kulmanopeus

• ratanopeuden ja kulmanopeuden yhdistää

v =rω

ratanopeus• jos sekuntiviisarin pituus on 0,025 m, niin sen

ratanopeus

• ratanopeus päiväntasaajalla

• Lingon kehäpisteen ratanopeus

v =Rω =0,025m·2π60s

≈0,00261m/ s≈2,6mm/ s

v =Rω =6378140m·2π

24·60·60≈463,8m/ s≈1700km/ h

v =Rω =0,3m·125,66rad / s≈37,698m/ s≈40m/ s

kulmakiihtyvyys

• pyörimisliikkeessä kulmakiihtyvyys α kertoo kulmanopeuden ω muutosnopeuden

• kulmanopeuden yksikkö on rad/s2

• etenemisliikkeessä kiihtyvyys a on nopeuden v muutosnopeus

• kiihtyvyyden yksikkö on m/s2

α =∆ω

∆ ta =

∆v∆t

rata- ja normaalikiihtyvyys

• Kun kappaleen rata ei ole suora, niin radan suuntainen kiihtyvyys on tangentiaalikiihtyvyys. Ympyräradalla

• Radan kaareutumissäteen keskipistettä kohden on normaalikiihtyvyys

at =αr

an =v2

r

at

an

tasaisesti muuttuvan pyörimisliikkeen kaavat

• Jos α on vakio, niin

ϕ =ω0t +1

2α t 2

ω =ω0 +α t

ϕ

t=ω +ω0

2 eli keskikulmanopeus

Linkoesimerkki

• Pesulingon rumpu kiihdyttää tasaisesti 0,25 s:ssa kulmanopeuteen 31 rad/s. Rummun säde on 0,23 m. Kuinka suuri on rummulla pyörivän sukan a) kiihtyvyys ja mihin suuntaan ajan hetkellä 0,25 s.

• b) Kuinka monta kierrosta rumpu pyöri 0,25 s:ssa.

linkoratkaisu

• a) Kiihtyvyyttä varten tarvitaan an ja at.

• b) kierrokset:

t =0,25s, Δω =31rad / s, r=0,23m

at

an

at =αr=∆ωtr=

31rad / s·0,23m0,25s

=28,52m/ s2

an =v2

r=

ωr( )2

r=ω2r= 31rad / s( )

2·0,23m=221,03m/ s2

a= an2 +at

2 = 28,522 +221,032m/ s2 =222,86m/ s2 ≈220m/ s2

aβ

tanβ =anat

tanβ =221,0328,52

β ≈82,6°n·2π =ϕn·2π =ωkt

n·2π =(0 +ω)

2t

koska α on vakio, niin keskikulmanopeus on alku- ja loppukulmanopeuden keskiarvo

n=ωt4π

=31rad / s·0,25s

4π≈0,62 kierrosta

Liikeyhtälö

• pyörimisliikkeessä • etenemisliikkeessä

F i∑ =maM i∑ =Jα

Pyörimisen liikeyhtälöesimerkki

• Umpinaisen sylinterin ympäri on kierretty naru. Sylinterin massa on 2,0 kg ja sen säde on 0,12 m. Narua vedetään voimalla, jonka suuruus on 9,81 N. Alussa sylinteri on levossa.

• Laske sylinterin kulmakiihtyvyys.

ratkaisu

• m = 2,0 kg; r = 0,12 m; F = 9,81 N; t = 0,5 s ja h = 0,25 m. • Umpinaisen sylinterin hitausmomentti .• Pyörimisen liikeyhtälö:

J =12mr2

M =Jα

Fr =12mr2α

α =2Frmr2

α =2Fmr

=2⋅9,81N2kg⋅0,12m

≈81,75 rad/s2 ≈82rad/s2

Toinen esimerkki pyörimisen liikeyhtälöstä

• Umpinaisen sylinterin ympäri on kierretty naru. Sylinterin massa on 2,0 kg ja sen säde on 0,12 m. Naruun on kiinnitetty punnus, jonka massa on 1,0 kg, Alussa sylinteri on levossa.

• Laske sylinterin kulmakiihtyvyys.

ratkaisu• ms = 2,0 kg; r = 0,12 m; mp=1 kg; N; t = 0,5 s; h = 0,25 m.

• Punnuksen liikeyhtälö kun + -suunta on alaspäin:

• Sylinterin liikeyhtälö:

• Newtonin III laki:

• Ratakiihtyvyys eli punnuksen kiihtyvyys

G−Tp =mpaM =Jα

Tsr =12msr

2αTs =Tp =T

a =αrG−Tp =mpa

mpg−12msrα =mpαr

mpg=mpαr +12msrα

α =mpg

mpr +12msr

α =1kg⋅9,81m/ s2

1kg⋅0,12m+12⋅2kg⋅0,12m

=40,8750rad/s2 ≈41rad/s2

Momentti

• kun kappaletta pyöritetään voiman F avulla siten, että sen etäisyys akselista on d, niin väännön voimakkuutta kuvaileva suure on momentti

M =Fd d F

hitausmomentti

• kappaleen ”kykyä vastustaa pyörimistilansa muutoksia” kutsutaan hitausmomentiksi

• mitä suurempi hitausmomentti on, sitä suurempi momentti tarvitaan kappaleen kulmanopeuden muuttamiseeen

• vastaa etenemisliikeessä massan hitautta J = miri

2∑

pyörimismäärä• pyörimisliike• pyörimismäärä L=Jω• pyörimismäärän säilymislaki

näkyy esim. pirueteissa, ponnahduslautahypyissä, volteissa voimistelussa, ...

• Maa säilyttää akselinsa suunnan kiertäessään Auringon ympäri

• harvemmin tarkastellaan toisiinsa törmääviä pyöriviä kappaleita (paitsi yo kevät 07)

• etenemisliike• liikemäärä p = mv• etenemisliikkeessä

liikemäärän säilymislaki näkyy esim. törmäyksissä

Gravitaatiolaki

• Newton• Voima ja vastavoima, molempiin

vaikuttaa yhtä suuri voima.• Kun G tunnetaan (Cavendish), niin lain

avulla voidaan punnita keskuskappale kiertoajan ja radan säteen avulla.

• Keplerin lait ovat seurausta gravitaatiolaista ja päinvastoin.

F =Gm1m2

R2

Newtonin hauta - Westminister Abbey

Newtonin patsas Leicester Squarella