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d g e t h e c o n t r i b u t i o n s o f t h e f o l l o w i n g p
e o p l e
t o t h i s s e r i e s o f b o o k s : T i m C r o s s , R i c
h a r d D a v i e s , M a u r i c e G o d f r e y , C h r i s H o c
k l e y ,
L a w r e n c e Jarrett~ D a v i d A . L e e , J e a n M a t t h
e w s , N o r m a n M o r r i s , C h a r l e s P a r k e r ,
G e o f f S t a l e y , R e x S t e p h e n s , P e t e r T h o
m a s a n d O w e n T o l l e r .
C A M B R I D G E U N I V E R S I T Y P R E S S
C a m b r i d g e , N e w Y o r k , M e l b o u r n e , M a d r
i d , C a p e T o w n , S i n g a p o r e , S a o P a u l o ,
N e w D e l h i
C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s
T h e E d i n b u r g h B u i l d i n g , C a m b r i d g e C B
2 2 R U , U K
w w w . c a m b r i d g e . o r g
I n f o r m a t i o n o n t h i s t i t l e : w w w . c a m b r
i d g e . o r g / 9 7 8 0 5 2 1 5 3 0 1 2 5
C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s 2 0 0 2
T h i s p u b l i c a t i o n i s i n c o p y r i g h t . S u b
j e c t t o s t a t u t o r y e x c e p t i o n
a n d t o t h e p r o v i s i o n s o f r e l e v a n t c o l l
e c t i v e l i c e n s i n g a g r e e m e n t s ,
n o r e p r o d u c t i o n o f a n y p a r t m a y t a k e p l
a c e w i t h o u t t h e w r i t t e n
p e r m i s s i o n o f C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P
r e s s .
F i r s t p u b l i s h e d 2 0 0 2
4 t h p r i n t i n g 2 0 0 5
F i r s t S o u t h A s i a n e d i t i o n 2 0 0 6
R e p r i n t e d 2 0 0 7 , 2 0 0 8 , 2 0 0 9 ( t w i c e )
P r i n t e d i n I n d i a b y R e p l i k a P r e s s P v t .
L t d .
A c a t a l o g u e r e c o r d f o r t h i s p u b l i c a t i
o n i s a v a i l a b l e f r o m t h e B r i t i s h L i b r a r
y
I S B N - 1 3 : 9 7 8 0 5 2 1 6 9 6 3 5 7 p a p e r b a c k
T h i s e d i t i o n i s f o r s a l e i n S o u t h a n d S o
u t h E a s t A s i a o n l y , n o t f o r e x p o r t e l s e w h
e r e .
C o v e r i m a g e : D . B o o n e / C O R B I S
-
C o n t e n t s
I n t r o d u c t i o n
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U n i t P 3 U n i t P 2
-
~
P o l y n o m i a l s
3
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T h e m o d u l u s f u n c t i o n
1 8
- . - 3
E x p o n e n t i a l a n d l o g a r i t h m i c f u n c t i o
n s 3 0
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D i f f e r e n t i a t i n g e x p o n e n t i a l s a n d l o
g a r i t h m s
5 0
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T r i g o n o m e t r y 6 5
, 6
D i f f e r e n t i a t i n g t r i g o n o m e t r i c f u n c
t i o n s
8 2
R e v i s i o n e x e r c i s e 1
9 7
. _ l _ . - D i f f e r e n t i a t i n g p r o d u c t s
9 9
~ S o l v i n g e q u a t i o n s n u m e r i c a l l y 1 0
8
~e t r a p e z i u m r u l e 1 2 2
- 1 0 - P a r a m e t r i c e q u a t i o n s 1 3 0
' U - - - - C l i l v e s d e f i n e d i m p l i c i t l y 1 4
1
R e v i s i o n e x e r c i s e 2 1 5 3
P r a c t i c e e x a m i n a t i o n s f o r P 2 1 5 5
~ectors: l i n e s i n t w o a n d t h r e e dimensi~ns
1 6 1
c e c t o r s : p l a n e s i n t h r e e d i m e n s i o n s 1
7 5
$ T h e b i n o m i a l e x p a n s i o n 1 8 8
, 1 5 " ' R a t i o n a l f u n c t i o n s
1 9 8
~Complex n u m b e r s 2 2 3
\ J 7
C o m p l e x n u m b e r s i n p o l a r f o r m 2 4 1
~Integration 2 5 8
1 9 D i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s 2 7 5
R e v i s i o n e x e r c i s e 3 2 9 6
P r a c t i c e e x a m i n a t i o n s f o r P 3 3 0 0
A n s w e r s
3 0 5
I n d e x 3 2 9
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C a m b r i d g e I n t e r n a t i o n a l E x a m i n a t i o
n s ( C I E ) A d v a n c e d L e v e l M a t h e m a t i c s h a s
b e e n
c r e a t e d e s p e c i a l l y f o r t h e n e w C I E m a t
h e m a t i c s s y l l a b u s . T h e r e i s o n e b o o k
c o r r e s p o n d i n g t o e a c h s y l l a b u s u n i t ,
e x c e p t f o r t h i s b o o k w h i c h c o v e r s t w o u n i
t s , t h e
s e c o n d a n d t h i r d P u r e M a t h e m a t i c s u n i
t s , P 2 a n d P 3 .
T h e s y l l a b u s c o n t e n t i s a r r a n g e d b y c h
a p t e r s w h i c h a r e o r d e r e d s o a s t o p r o v i d e
a v i a b l e
t e a c h i n g c o u r s e . T h e f i r s t e l e v e n c h a
p t e r s a r e r e q u i r e d f o r u n i t P 2 ; a l l t h e c h
a p t e r s a r e
r e q u i r e d f o r u n i t P 3 . T h i s i s i n d i c a t e
d b y t h e v e r t i c a l g r e y b a r s o n t h e c o n t e n t
s p a g e .
A f e w s e c t i o n s i n c l u d e i m p o r t a n t r e s u
l t s t h a t a r e d i f f i c u l t t o p r o v e o r o u t s i d
e t h e s y l l a b u s .
T h e s e s e c t i o n s a r e m a r k e d w i t h a n a s t e
r i s k ( * ) i n t h e s e c t i o n h e a d i n g , a n d t h e r
e i s u s u a l l y a
s e n t e n c e e a r l y o n e x p l a i n i n g p r e c i s e
l y w h a t i t i s t h a t t h e s t u d e n t n e e d s t o k n o
w .
S o m e p a r a g r a p h s w i t h i n t h e t e x t a p p e a
r i n t h i s t y p e s t y l e . T h e s e p a r a g r a p h s a r
e u s u a l l y
o u t s i d e t h e m a i n s t r e a m o f t h e m a t h e m a
t i c a l a r g u m e n t , b u t m a y h e l p t o g i v e i n s i
g h t , o r
s u g g e s t e x t r a w o r k o r d i f f e r e n t a p p r o
a c h e s .
G r a p h i c c a l c u l a t o r s a r e n o t p e _ r m i t t
e d i n t h e e x a m i n a t i o n , b u t t h e y a r e u s e f u
l a i d s i n l e a r n i n g
. m a t h e m a t i c s . I n t h e b o o k t h e a u t h o r s
h a v e n o t e d w h e r e a c c e s s t o a g r a p h i c c a l c
u l a t o r w o u l d
b e e s p e c i a l l y h e l p f u l b u t h a v e n o t a s s
u m e d t h a t t h e y a r e a v a i l a b l e t o a l l s t u d e
n t s .
N u m e r i c a l w o r k i s p r e s e n t e d i n a f o r m i
n t e n d e d t o d i s c o u r a g e p r e m a t u r e a p p r o x
i m a t i o n .
I n o n g o i n g c a l c u l a t i o n s i n e x a c t n u m b
e r s a p p e a r i n d e c i m a l f o r m l i k e 3 . 4 5 6 . . .
, s i g n i f y i n g
t h a t t h e n ' u m b e r i s h e l d i n a c a l c u l a t o
r t o m o r e p l a c e s t h a n a r e g i v e n . N u m b e r s a
r e n o t
r o u n d e d a t t h i s s t a g e ; t h e f u l l d i s p l a
y c o u l d b e , f o r e x a m p l e , 3 . 4 5 6 1 2 3 o r 3 . 4 5
6 7 8 9 .
F i n a l a n s w e r s a r e t h e n s t a t e d w i t h s o m
e i n d i c a t i o n t h a t t h e y a r e a p p r o x i m a t e ,
f o r
. e x a m p l e ' 1 . 2 3 c o r r e c t t o 3 s i g n i f i c a
n t f i g u r e s _ ' .
T h e r e a r e p l e n t y o f e x e r c i s e s , a n d e a c
h c h a p t e r e n d s w i t h a M i s c e l l a n e o u s e x e r
c i s e
w h i c h i n c l u d e s s o m e q u e s t i o n s o f e x a m
i n a t i o n s t a n d a r d . T h e r e a r e t w o R e v i s i o
n
e x e r c i s e s f o r t h e m a t e r i a l c o m m o n t o u
n i t s P 2 a n d P 3 , a n d a f u r t h e r R e v i s i o n e x e
r c i s e
f o r u n i t P 3 . T h e r e ' a r e a l s o t w o P r a c t i
c e e x a m i n a t i o n p a p e r s f o r u n i t P 2 a t t h e e
n d o f
P 2 & 3 , a n d t w o P r a c t i c e e x a m i n a t i o n
p a p e r s f o r u n i t P 3 a t t h e e n d o f P 3 .
S o m e e x e r c i s e s f o c l u d e q u e s t i o n s t h a
t g o b e y o n d t h e l i k e l y r e q u i r e m e n t s o f t h
e
e x a m i n a t i o n s , e i t h e r i n d i f f i c u l t y o
r i n l e n g t h o r b o t h . I n t h e P 2 & 3 c h a p t e r
s s o m e
q u e s t i o n s m a y b e m o r e a p p r o p r i a t e f o r
P 3 t h a n f o r P 2 s t u d e n t s . Q u e s t i o n s m a r k e
d w i t h
a n a s t e r i s k r e q u i r e k n o w l e d g e o f r e s u
l t s o r t e c h n i q u e s o u t s i d e t h e s y l l a b u s
.
C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s w o u l d l i k
e t o t h a n k O C R ( O x f o r d , C a m b r i d g e a n d R S
A
E x a m i n a t i o n s ) , p a r t o f t h e U n i v e r s i t
y o f C a m b r i d g e L o c a l E x a m i n a t i o n s S y n d i
c a t e ( U C L E S )
group~ f o r p e r m i s s i o n t o u s e p a s t e x a m i n a
t i o n q u e s t i o n s s e t i n t h e U n i t e d K i n g d o m
.
T h e a u t h o r s t h a \ } k U C L E S a n d C a m b r i d g
e U n i v e r s i t y P r e s s , i n p a r t i c u l a r D i a n a
G i l l o o l y ,
f o r t h e i r h e l p i n p r o d u c i n g t h i s b o o k .
H o w e v e r , t h e r e s p o n s i b i l i t y f o r t h e t e x
t , a n d f o r a n y
e r r o r s , r e m a i n s w i t h t h e a u t h o r s .
-
U n i t P 2 a n d U n i t P 3
T h e s u b j e c t c o n t e n t o f u n i t P 2 i s a s u b s
e t o f t h e s u b j e c t c o n t e n t o f u n i t P 3 .
T h i s p a r t o f t h e b o o k ( p a g e s 1 - 1 5 8 ) c o m
p r i s e s t h e s u b j e c t c o n t e n t o f u n i t P 2 ,
a n d i s r e q u i r e d f o r b o t h u n i t s P 2 a n d P 3
. T h e a d d i t i o n a l m a t e r i a l r e q u i r e d t o
c o m p l e t e u n i t P 3 i s c o n t a i n e d i n t h e s e
c o n d p a r t o f t h e b o o k .
-
I .1
1 l
J I
r i
-
1 P o l y n o m i a l s
T h i s c h a p t e r i s a b o u t p o l y n o m i a l s . w h
i c h i n c l u d e l i n e a r a n d q u a d r a t i c e x p r e s
s i o n s .
W h e n y o u h a v e c o m p l e t e d i t , y o u s h o u l
d
b e a b l e t o a d d , s u b t r a c t , m u l t i p l y a n d
d i v i d e p o l y n o m i a l s
u n d e r s t a n d t h e w o r d s ' q u o t i e n t ' a n d '
r e m a i n d e r ' u s e d i n d i v i d i n g p o l y n o m i a l
s
b e a b l e t o u s e t h e m e t h o d o f e q u a t i n g c o
e f f i c i e n t s
b e a b l e t o u s e t h e r e m a i n d e r t h e o r e m a n
d t h e f a c t o r t h e o r e m .
1 . 1 P o l y n o m i a l s
Y o u a l r e a d y k n o w a g o o d d e a l a b o u t p o l y
n o m i a l s f r o m y o u r w o r k o n q u a d r a t i c s i
n
C h a p t e r 4 o f P u r e M a t h e m a t i c s 1 ( u n i t P
l ) , b e c a u s e a q u a d r a t i c i s a s p e c i a l c a s e
o f a
p o l y n o m i a l . H e r e a r e s o m e e x a m p l e s o f
p o l y n o m i a l s .
3 x
3
- 2 x
2
+ 1
2 x
4
3
1 - 2 x + 3 x
5
4 - 2 x
- J 2 x 2
x 2
l x l 7
2
A ( n o n - z e r o ) p o l y n o m i a l , p ( x ) , i s a n e
x p r e s s i o n i n x o f t h e f o r m
a x n + b x n - I + . . . + j x + k
x
w h e r e a , b , c , . . . , k a r e r e a l n u m b e r s , a
: ; e 0 , a n d n i s a n o n - n e g a t i v e i n t e g e r .
T h e n u m b e r n i s c a l l e d t h e d e g r e e o f t h e
p o l y n o m i a l . T h e e x p r e s s i o n s a x n , b x n - I
, . . . , j x
a n d k w h i c h m a k e u p t h e p o l y n o m i a l a r e c
a l l e d t e r m s . T h e n u m b e r s a , b , c , . . . , j a n
d k a r e
c a l l e d c o e f f i c i e n t s ; a i s t h e l e a d i n g
c o e f f i c i e n t . T h e c o e f f i c i e n t k i s t h e c o
n s t a n t t e r m .
T h u s , i n t h e q u a d r a t i c p o l y n o m i a l 4
x
2
- 3 x + 1 , t h e d e g r e e i s 2 ; t h e c o e f f i c i e n
t s o f x
2
a n d x , a n d t h e c o n s t a n t t e r m , a r e 4 , - 3 a
n d 1 r e s p e c t i v e l y .
P o l y n o m i a l s w i t h l o w d e g r e e h a v e . s p e
c i a l n a m e s : i f t h e p o l y n o m i a l h a s
d e g r e e 0 i t i s c a l l e d a c o n s t a n t p o l y n o
m i a l , o r a c o n s t a n t
d e g r e e 1 i t i s c a l l e d a l i n e a r p o l y n o m i
a l
d e g r e e 2 i t i s c a l l e d a q u a d r a t i c p o l y n
o m i a l , o r a q u a d r a t i c
d e g r e e 3 i t i s c a l l e d a c u b i c p o l y n o m i a
l , o r a c u b i c
d e g r e e 4 i t i s c a l l e d a q u a r t i c p o l y n o m
i a l , o r a q u a r t i c .
W h e n a p o l y n o m i a l i s w r i t t e n ~s a . x n + b x
n - I + . . . + j x + k , w i t h t h e t e r m o f h i g h e s
t
d e g r e e f i r s t a n d t h e o t h e r t e r m s i n d e s
c e n d i n g d e g r e e o r d e r f i n i s h i n g w i t h t h e
c o n s t a n t
t e r m , t h e t e r m s a r e s a i d t o b e i n d e s c e n
d i n g o r d e r . I f t h e t e r m s a r e w r i t t e n i n t h
e r e v e r s e
o r d e r , t h e y a r e s a i d t o b e i n a s c e n d i n g
o r d e r ( o r a s c e n d i n g p o w e r s o f x ) . F o r e x a
m p l e ,
3 x
4
+ x
2
- 1 x + 5 i s i n d e s c e n d i n g o r d e r ; i n a s c e n
d i n g o r d e r i t i s 5 - 1 x + x
2
+ 3 x
4
. I t i s
t h e s a m e p o l y n o m i a l w h a t e v e r o r d e r t h
e t e r m s a r e w r i t t e n i n .
-
" - . . _ _ _
4 P U R E M A T H E M A T I C S 2 & 3
T h e f u n c t i o n s _ ! _ = x -
1
a n d - J X = x + a r e n o t p o l y n o m i a l s , b e c a u
s e t h e p o w e r s o f x a r e
x
n o t p o s i t i v e i n t e g e r s o r z e r o .
P o l y n o m i a l s h a v e m u c h i n c o m m o n w i t h i
n t e g e r s . Y o u c a n a d d t h e m , s u b t r a c t t h e m
a n d
m u l t i p l y t h e m t o g e t h e r a n d t h e r e s u l t
i s a n o t h e r p o l y n o m i a l . Y o u c a n e v e n d i v i
d e a
p o l y n o m i a l b y a n o t h e r p o l y n o m i a l , a s
y o u w i l l s e e i n S e c t i o n 1 . 4 .
1 . 2 A d d i t i o n , s u b t r a c t i o n a n d m u l t i p
l i c a t i o n o f p o l y n o m i a l s
T o a d d o r s u b t r a c t t w o p o l y n o m i a l s , y o
u s i m p l y a d d o r s u b t r a c t t h e c o ( , ! f f i c i e
n t s o f
c o r r e s p o n d i n g p o w e r s ; i n o t h e r w o r d s
, y o u c o l l e c t l i k e t e r m s . S u p p o s e t h a t y o
u w a n t t o
a d d 2 x
3
+ 3 x
2
- 4 t o x
2
- x - 2 . T h e n y o u c a n s e t o u t t h e w o r k i n g l
i k e t h i s :
2 x
3
+ 3 x
2
- 4
x
2
- x - 2
2 x ' + 4 x
2
- x - 6
N o t i c e t h a t y o u m u s t l e a v e g a p s i n p l a c
e s w h e r e t h e c o e f f i c i e n t i s z e r o . Y o u n e e
d t o d o
a d d i t i o n s o o f t e n t h a t i t i s w o r t h g e t t
i n g u s e d t o s e t t i n g o u t t h e w o r k i n a l i n e ,
t h u s :
( 2 x
3
+ 3 x
2
- 4 ) + ( x
2
- x - 2 ) = ( 2 + O ) x
3
+ ( 3 + l ) x
2
+ ( 0 + ( - l ) ) x + ( ( - 4 ) + ( - 2 ) )
= 2 x
3
+ 4 x
2
- x - 6 .
Y o u w i l l s o o n f i n d t h a t y o u c a n m i s s o u t
t h e m i d d l e s t e p a n d g o s t r a i g h t t o t h e a n s
w e r .
T h e r e s u l t o f t h e p o l y n o m i a l c a l c u l a t
i o n ( 2 x
3
+ 3 x
1
- 4 ) - ( 2 x
3
+ 3 x
2
- 4 ) i s 0 . T h i s i s
a s p e c i a l c a s e , a n d i t i s c a l l e d t h e z e r
o p o l y n o m i a l . I t h a s n o d e g r e e .
L o o k b a c k a t t h e d e f i n i t i o n o f a p o l y n o
m i a l , a n d s e e w h y t h e z e r o p o l y n o m i a l w a s
n o t
i n c l u d e d t h e r e .
M u l t i p l y i n g p o l y n o m i a l s i s h a r d e r . I
t r e l i e s o n t h e r u l e s f o r m u l t i p l y i n g o u t
b r a c k e t s ,
a ( b + c + . . . + k ) = a b + a c + . . . + a k a n d ( b + c
+ . . . + k ) a = b a + c a + . . . + k a .
T o a p p l y t h e s e r u l e s t o m u l t i p l y i n g t h
e t w o p o l y n o m i a l s 5 x + 3 a n d 2 x
2
- 5 x + 1 ,
r e p l a c e 2 x
2
- 5 x + 1 f o r t h e t i m e b e i n g b y z . T h e n
( 5 x + 3 ) ( 2 x
2
- 5 x + 1 ) = ( 5 x + 3 ) z
= 5 x z + 3 z
= s x ( 2 x
2
- 5 x + 1 ) + 3 ( 2 x
2
- 5 . x ' + 1 )
= ( 1 0 x
3
- 2 5 x
2
+ s x ) + ( 6 x
2
- 1 5 x + 3 )
= 1 0 x
3
- 1 9 x
2
- l O x + 3 .
I n p r a c t i c e , i t i s e a s i e r t o n o t e t h a t e
v e r y t e r m i n t h e l e f t b r a c k e t m u l t i p l i e s
e v e r y t e r m i n
t h e r i g h t b r a c k e t . Y o u c a n s h o w t h i s b y
s e t t i n g o u t t h e s t e p s i n t h e f o l l o w i n g w a
y .
-
C H A P T E R 1 : P O L Y N O M I A L S
2 x
2
-
5 x
+
1
x
1 0 x
3
-
2 5 x
2
+
5 x
5 x
+
6 x
2
-
1 5 x
+
3 + 3
1 0 x
3
+
( - 2 5 + 6 ) x
2
+
( 5 - 1 5 ) x
+
3
g i v i n g t h e r e s u l t 1 0 x
3
- 1 9 x
2
- l O x + 3 .
I t i s w o r t h l e a r n i n g t o w o r k h o r i z o n t a
l l y . T h e a r r o w s b e l o w s h o w t h e t e r m 5 x f r o
m t h e
f i r s t b r a c k e t m u l t i p l i e d b y - 5 x f r o m t
h e s e c o n d b r a c k e t t o g e t - 2 5 x
2
.
(5x+3)(2x
2
-5~5x+ 1)+~2x
2
-5x+ 1 )
= ( 1 0 . X - 2 5 x
2
+ 5 x ) + ( 6 x
2
- 1 5 x + 3 )
= 1 0 x
3
- " - 1 9 x
2
- 1 0 x + 3 .
Y o u c o u l d s h o r t e n t h e p r o c e s s a n d w r i t
e
( 5 x + 3 ) ( 2 x
2
- 5 x + 1 ) = 1 0 x
3
- 2 5 x
2
+ 5 x + 6 x
2
- 1 5 x + 3
= 1 0 x
3
- 1 9 x
2
- l O x + 3 .
I f y o u m u l t i p l y a p o l y n o m i a l o f d e g r e e
m b y a p o l y n o m i a l o f d e g r e e n , y o u h a v e a
c a l c u l a t i o n o f t h e t y p e
(
m b m - 1 ) ( A x n B n - 1 ) A x m + n
a x + x + . . . + x + . . . = a + . . .
i n w h i c h t h e l a r g e s t p o w e r o f t h e p r o d u
c t i s m + n . A l s o t h e c o e f f i c i e n t a A i s n o t z
e r o
b e c a u s e n e i t h e r o f a a n d A i s z e r o . T h i s
s h o w s t h a t :
5
;;;~1ifif:'J'.'iOJ5I/IE&".lJ't'c'ilID'Ki~~~~ E x e r c i s e
l A ~'~~milfJ[\D~~~m
1 S t a t e t h e d e g r e e o f e a c h o f t h e f o l l o w
i n g p o l y n o m i a l s .
( a ) x
3
- 3 x
2
+ 2 x - 7 ( b ) 5 x + l
( d ) 3 ( e ) 3 - 5 x
( c ) 8 + 5 x - 3 x
2
+ 7 x + 6 x
4
( f ) X O
2 I n e a c h p a r t f i r i d p ( x ) + q ( x ) , a n d g i v
e y o u r a n s w e r i n d e s c e n d i n g o r d e r .
( a ) p ( x ) = 3 x
2
+ 4 x - 1 , q ( x ) = x
2
+ 3 x + 7
( b ) p ( x ) = 4 x
3
+ 5 x
2
- 7 x + 3 , q ( x ) = x
3
- 2 x
2
+ x - 6
( c ) p ( x ) = 3 x
4
- 2 x
3
+ 7 x
2
- 1 , q ( x ) = - 3 x - x
3
+ 5 x
4
+ 2
( d ) p ( x ) = 2 - 3 x
3
+ 2 x
5
, q ( x ) = 2 x
4
+ 3 x
3
- 5 x
2
+ 1
( e ) p ( x ) = 3 + 2 x - 4 x
2
- x 3 , q ( x ) = 1 - 7 x + 2 x
2
" "
-
/
" -
6 P l J R E M A T H E M A T I C S 2 & 3
3 F o r e a c h o f t h e p a i r s o f p o l y n o m i a l s g
i v e n i n Q u e s t i o n 2 f i n d p ( x ) - q ( x ) .
4 N o t e t h a t p ( x ) + p ( x ) m a y b e s h o r t e n e d
t o 2 p ( x ) . L e t p ( x ) = x
3
- 2 x
2
+ 5 x - 3 a n d
q ( x ) = x
2
- x + 4 . E x p r e s s e a c h o f t h e f o l l o w i n g a s
a s i n g l e p o l y n o m i a l .
( a ) 2 p ( x ) + q ( x ) ( b ) 3 p ( x ) - q ( x ) ( c ) p ( x
) - 2 q ( x ) ( d ) 3 p ( x ) - 2 q ( x )
5 F i n d t h e f o l l o w i n g p o l y n o m i a l p r o d u
c t s .
( a ) ( 2 x - - : : 3 ) ( 3 x + l )
( c ) ( x
2
+ x - 3 ) ( 2 x + 3 )
( e ) ( x
2
+ 2 x - 3 ) ( x
2
+ 1 )
( g ) ( x
3
+ 2 x
2
- x + 6 ) ( x + 3 )
( i ) ( 1 + 3 x - x
2
+ 2 x
3
) ( 3 - x + 2 x
2
)
( k ) ( 2 x + 1 ) ( 3 x - 2 ) ( x + 5 )
( b ) ( x
2
+ 3 x - l ) ( x - 2 )
( d ) ( 3 x - 1 ) ( 4 x
2
- 3 x + 2 )
( f ) ( 2 x
2
- 3 x + 1 ) ( 4 x
2
+ 3 x - 5 )
( h ) ( x
3
- 3 x
2
+ 2 x - l ) ( x
2
- 2 x - 5 )
( j ) ( 2 - 3 x + x
2
) ( 4 - 5 x + x
3
)
( 1 ) ( x
2
+ l ) ( x - 3 ) ( 2 x
2
- x + l )
6 I n e a c h o f t h e f o l l o w i n g p r o d u c t s f i n
d t h e c o e f f i c i e n t o f x a n d t h e c o e f f i c i e n
t o f x
2
( a ) ( x + 2 ) ( x
2
- 3 x + 6 ) ( b ) ( x - 3 ) ( x
2
+ 2 x - 5 )
( c ) ( 2 x + 1 ) ( x
2
- 5 x + l ) ( d ) ( 3 x - 2 ) ( x
2
' - - 2 x + 7 ) \
( e ) ( 7 y - 3 ) ( 3 x
2
- 6 x + l ) ( f ) ( 2 x - 5 ) ( 3 x
3
- x
2
+ 4 x + 2 )
( I ! \ ( x
2
- L 2 x - 3 ) ( x
2
+ 3 x - 4 ) ( h ) ( 3 x
2
+ 1 ) ( 2 x
2
- 5 x + 3 )
( i ) ( x
2
+ 3 x - l ) ( x
3
+ x
2
- 2 x + l ) ( j ) ( 3 x
2
- x + 2 ) ( 4 x
3
- 5 x + l )
7 I n e a c h o f t h e f o l l o w i n g t h e p r o d u c t o
f A x + B w i t h a n o t h e r p o l y n o m i a l i s g i v e n .
U s i n g t h e
f a c t t h a t A a n d B a r e c o n s t a n t s , f i n d A a
n d B .
( a ) ( A x + B ) ( x - 3 ) = 4 x
2
- l l x - 3 ( b ) ( A x + B ) ( x + 5 ) = 2 x
2
+ 7 x - . 1 5
( c ) ( A x + B ) ( 3 x - 2 ) = 6 x
2
- x - 2
( e ) ( A x + B ) ( x
2
- 1 ) = x
3
+ 2 x
2
- x - 2
( g ) ( A x + B ) ( 2 x
2
- 3 x + 4 ) = 4 x
3
- x + 1 2
/
( d ) ( A x + B ) ( 2 x + 5 ) = 6 x
2
+ l l x - 1 0
( f ) ( A x + B ) ( x
2
+ 4 ) = 2 x
3
- 3 x
2
+ 8 x - 1 2
( h ) ( A x + B ) ( 3 x
2
- 2 x - 1 ) = 6 x
3
- 7 x
2
+ 1
1 . 3 E q u a t i o n s a n d i d e g t i t i e s
I n t h i s c h a p t e r s o f a r y o u h a v e l e a r n e d
h o w t o a d d , s u b t r a c t a n d m u l t i p l y p o l y n o
m i a l s ,
a n d y o u c a n n o w c a r r y o u t c a l c u l a t i o n s
s u c h a s
( 2 x + 3 ) + ( x - 2 ) = 3 x + 1 ,
( x
2
- 3 x - 4 ) - ( 2 x + 1 ) = x
2
- 5 x - 5 a n d
( 1 - x ) ( l + x + x
2
) = l - x
3
f a i r l y a u t o m a t i c a l l y .
H o w e v e r , y o u . s h o u l d r e a l i s e t h a t t h e
s e a r e n o t e q u a t i o n s i n t h e n o r m a l s e n s e ,
b e c a u s e
t h e y a r e t r u e f o r a l l v a l u e s o f x .
-
C H A P T E R 1 : P O L Y N O M I A L S
I n P l S e c t i o n 1 0 . 6 , y o u s a w t h a t w h e n t w
o e x p r e s s i o n s t a k e t h e s a m e v a l u e s f o r e v
e r y
v a l u e o f t h e v a r i a b l e , t h e y a r e s a i d t o
b e i d e n t i c a l l y e q u a l , a n d a s t a t e m e n t s u
c h a s
( 1 - x ) ( l + x + x
2
) = 1 - x
3
i s c a l l e d a n i d e n t i t y .
T o e m p h a s i s e t h a t a n e q u a t i o n i s a n i d e
n t i t y , t h e s y m b o l = i s u s e d . T h e s t a t e m e n
t
( 1 - x ) ( l + x + x
2
) = 1 - x
3
m e a n s t h a t ( 1 - x ) ( l + x + x
2
) a n d 1 - x
3
a r e e q u a l f o r a l l
v a l u e s o f x .
B u t n o w s u p p o s e t h a t A x + B = 2 x + 3 . W h a t c
a n y o u s a y a b o u t A a n d B ? A s
A x + B = 2 x + 3 i s a n i d e n t i t y , i t i s t r u e f o
r a l l v a l u e s o f x . I n p a r t i c u l a r , i t i s t r u
e f o r
x = 0 . T h e r e f o r e A x 0 + B = 2 x 0 + 3 , g i v i n g B
= 3 . B u t t h e i d e n t i t y i s a l s o t r u e w h e n
x = 1 , s o A x 1 + 3 = 2 x 1 + 3 , g i v i n g A = 2 . T h e r
e f o r e :
I f A x + B = 2 x + 3 , t h e n A = 2 a n d B = 3 . .
T h i s i s a n e x a m p l e o f t h e p r o c e s s c a l l e
d e q u a t i n g c o e f f i c i e n t s . T h e f u l l r e s u l
t i s :
I f a x n + b x n - l + . . . + k = A x n + B x n - l + . . . +
K ,
t h e n a = A , b = B , . . . , k = K .
T h e s t a t e m e n t i n t h e b o x s a y s t h a t , i f t
w o p o l y n o m i a l s a r e e q u a l f o r a l l v a l u e s o
f x , t h e n
a l l t h e c o e f f i c i e n t s o f c o r r e s p o n d i n
g p o w e r s o f x a r e e q u i t l .
T h i s r e s u l t m a y n o t s u r p r i s e y o u , b u t y
o u s h o u l d b e a w a r e t h a t y o u a r e u s i n g i t . I
n d e e d , i t
i s v e r y l i k e l y t h a t y o u h a v e u s e d i t b e f
o r e n o w w i t h o u t b e i n g a w a r e o f i t .
E x a m p l e 1 . 3 . 1
O n e f a c t o r o f 3 x
2
- 5 x - 2 i s x - 2 . F i n d t h e o t h e r f a c t o r .
T h e r e i s n o t h i n g w r o n g i n w r i t i n g d o w n
t h e a n s w e r b y i n s p e c t i o n a s 3 x + 1 .
B u t t h e p r o c e s s b e h i n d t h i s q u i c k s o l u
t i o n i s a s f o l l o w s .
S u p p o s e t h a t t h e o t h e r f a c t o r i s A x + B .
T h e n ( A x + B ) ( x - 2 ) = 3 x
2
- 5 x - 2 ,
a n d , m u l t i p l y i n g o u t , y o u g e t
A x
2
+ ( - 2 A + B ) x - 2 B = 3 x
2
- 5 x - 2 . -
B y e q u a t i n g c o e f f i c i e n t s o f x
2
, y o u g e t A = 3 . E q u a t i n g c o e f f i c i e n t s o
f x
0
; t h e
c o n s t a n t t e r m , y o u g e t - 2 B = - 2 , g i v i n g
B = 1 . T h e r e f o r e t h e o t h e r f a c t o r i s
3 x + l .
Y o u c a n a l s o c h e c k t h a t t h e m i d d l e t e r m
, - 2 A + B = - 6 + 1 = - 5 , i s c o r r e c t .
Y o u s h o u l d c o n t i n u e t o w r i t e d o w n t h e o
t h e r f a c t o r b y i n s p e c t i o n i f y o u c a n . H o w
e v e r , i n
s o m e c a s e s , i t i s n o t e a s y t o s e e w h a t t h
e a n s w e r w i l l b e w i t h o u t i n t e r m e d i a t e w o
r k i n g .
7
-
, _ _ _
8
P u R E M A T H E M A T I C S 2 & 3
E x a m p l e 1 . 3 . 2
I f 4 x
3
+ 2 x
2
+ 3 = ( x - 2 ) ( A x
2
+ B x + C ) + R , f i n d A , B , C a n d R .
M u l t i p l y i n g o u t t h e r i g h t s i d e g i v e
s
4 x
3
+ 2 x
2
+ 3 = A x
3
+ ( - 2 A + B ) x
2
+ ( - 2 B + C ) x + ( - 2 C + R ) .
E q u a t i n g c o e f f i c i e n t s o f x
3
:
E q u a t i n g c o e f f i c i e n t s o f x
2
:
E q u a t i n g c o e f f i c i e n t s o f x :
E q u a t i n g c o e f f i c i e n t s o f x
0
:
4 = A .
2 = - 2 A + B = - 2 x 4 + B = - 8 + B , s o B = 1 0 .
0 = - 2 B + C = - 2 0 + C , s o C = 2 0 .
3 = - 2 C + R = - 4 0 + R , g i v i n g R , = 4 3 .
T h e r e f o r e A = 4 , B = 1 0 , C = 2 0 a n d R = 4 3 , s
o
4 x
3
+ 2 x
2
+ 3 = ( x - 2 ) ( 4 x
2
+ l O x + 2 0 ) + 4 3 .
I n p r a c t i c e , p e o p l e o f t e n u s e t h e s y m b
o l f o r e q u a l i t y , = , w h e n t h e y r e a l l y m e a n
t h e s y m b o l
f o r i d e n t i t y , = . T h e c o n t e x t u s u a l l y s
u g g e s t s w h i c h " m e a n i n g - i s i n t e n d e d .
~~'1~~i~0i~i;~W,fi&~~ E x e r c i s e l B ~~1@%~~~
1 I n e a c h o f t h e f o l l o w i n g q u a d r a t i c p o
l y n o m i a l s o n e f a c t o r i s g i v e n . F i n d t h e o
t h e r f a c t o r .
( a ) . x
2
+ x - 1 2 = ( x + 4 ) ( ) ( b ) x
2
+14x~51=(x-3)(
( c ) 3 x
2
+ 5 x - 2 2 = ( x - 2 ) ( ) ( d ) 3 5 x
2
+ 4 8 x - 2 7 = ( 5 x + 9 ) ( )
( e ) 2 x
2
- x - 1 5 = ( 2 x + 5 ) ( ) ( f ) 1 4 x
2
+ 3 1 x - 1 0 = ( 2 x + 5 ) ( )
2 I n e a c h o f t h e f o l l o w i n g i d e n t i t i e s f
i n d t h e v a l u e s o f A , B a n d R .
( a ) x
2
- 2 x + 7 = ( x + 3 ) ( A x t B ) + R ( b ) x
2
+ 9 x - 3 = ( x + I ) ( A x + B ) + R
( c ) 1 5 x
2
- 1 4 x - 8 = ( 5 x + 2 ) ( A x + B ) + R ( d ) 6 x
2
+ x - 5 = ( 2 x + l ) ( A x + B ) + R
( e ) 1 2 x
2
- 5 x + 2 = ( 3 x - 2 ) ( A x + B ) + R ( f ) 2 I x
2
- l l x + 6 = ( 3 x - 2 ) ( A x + B ) + R
3 I n e a c h o f t h e f o l l o w i n g i d e n t i t i e s f
i n d t h e v a l u e s o f A , B , C a n d R .
( a ) x
3
- x
2
- x + 1 2 = ( x + _ J ) ( A x
2
+ B x + C ) + R
( b ) x
3
- 5 x
2
+ l O x + 1 0 = ( x - 3 ) ( A x
2
+ B x + C ) + R
( c ) 2 x
3
+ x
2
- 3 x + 4 = ( 2 x - I ) ( A x
2
+ B x + C ) + R
(
( d ) 1 2 x
3
+ l l x
2
- 7 x + 5 = ( 3 x + 2 ) ( A x
2
+ B x + C ) + R
( e ) 4 x
3
+ 4 x
2
- 3 7 x + 5 = ( 2 x - 5 ) ( A x
2
+ B x + C ) + R
( f ) 9 x
3
+ 1 2 x
2
- ) 5 x - 1 0 = ( 3 x + 4 ) ( A x
2
+ B x + C ) + R
4 I n e a c h o f t h e f o l l o w i n g i d e n t i t i e s f
i n d t h e v a l u e s o f A , B , C , D a n d R .
( a ) 2 x
4
+ 3 x
3
- 5 x
2
+ l l x - 5 = ( x + 3 ) ( A x
3
+ B x
2
+ C x + D ) + R
( b ) . 4 x
4
- 7 x
3
- 2 x
2
- 2 x + 7 = ( x - 2 ) ( A x
3
+ B x
2
+ C x + D ) + R
( c ) 6~
4
+ 5 x
3
- x
2
+ 3 x + 2 = ( 2 x + l ) ( A x
3
+ B x
2
+ C x + D ) + R
( d ) 3 x
4
- 7 x
3
+ 1 7 x
2
- 1 4 x + 5 = ( 3 x - l ) ( A x
3
+ B x
2
+ C x + D ) + R
~"1?.Jfi''?i.~~~;;2;S"1?2m:...~~~~~~~~W1:~W.~&~;-rep-;~-;:;l!1-\:~Th~~,.:.~~~~{":"$t~~~~~~:;-~~1'J~~~T.2-~~.?~~~~..S
-
C H A P T E R 1 : P O L Y N O M I A L S
1 . 4 D i v i s i o n o f p o l y n o m i a l s
Y o u c a n , i f y o u w i s h , c a r r y o u t d i v i s i o
n o f p o l y n o m i a l s u s i n g a l a y o u t l i K e t h e o
n e f o r
l o n g d i v i s i o n o f i n t e g e r s . Y o u m a y a l r
e a d y h a v e s e e n a n d u s e d s u c h a p r o c e s s . H o
w e v e r ,
y o u c a n a l s o u s e t h e m e t h o d o f e q u a t i n g
c o e f f i c i e n t s f o r d i v i s i o n .
W h e n y o u d i v i d e 1 1 2 b y 9 , y o u g e t a n a n s w
e r o f 1 2 w i t h 4 o v e r . T h e n u m b e r 9 i s c a l l e
d
t h e d i v i s o r , 1 2 i s t h e q u o t i e n t a n d 4 t h
e r e m a i n d e r . Y o u c a n e x p r e s s t h i s a s a n e q
u a t i o n i n
i n t e g e r s , 1 1 2 = 9 x 1 2 + 4 . T h e r e m a i n d e r
r h a s . t o s a t i s f y t h e i n e q u a l i t y 0 ~ r < 9
.
N o w l o o k b a c k a t E x a m p l e 1 . 3 . 2 . Y o u w i l
l s e e t h a t i t i s a n i d e n t i t y o f j u s t t h e s a m
e
s h a p e , b u t w i t h p o l y n o m i a l s i n s t e a d o
f i n t e g e r s . S o y o u c a n s a y t h a t , w h e n
4 x
3
+ 2 x
2
+ 3 i s d i v i d e d b y t h e d i v i s o r x - 2 , t h e q u
o t i e n t i s 4 x
2
+ l O x + 2 0 a n d t h e
r e m a i n d e r i s 4 3 . T h e d e g r e e o f t h e r e m a
i n d e r ( i n t h i s c a s e 0 ) h a s t o b e l e s s t h a n t
h e
d e g r e e o f t h e d i v i s o r . T h e d e g r e e o f t h
e q u o t i e n t 4 x
2
+ l O x + 2 0 , w h i c h i s 2 , i s e q u a l t o
t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e d e g r e e o f t
h e p o l y n o m i a l 4 x
3
+ 2 x
2
+ 3 , w h i c h i s 3 , a n d t h e
d e g r e e o f t h e d i v i s o r x - 2 , w h i c h i s 1
.
W h e n a p o l y n o m i a l , a ( x ) , i s d i v i d e d b y
a n o n - c o n s t a n t d i v i s o r , b ( x ) , t h e
q u o t i e n t q ( x ) a n d t h e r e m a i n d e r r ( x ) a
r e d e f i n e d b y t h e i d e n t i t y
a ( x ) = b ( x ) q ( x ) + r ( x ) ,
w h e r e t h e d e g r e e o f t h e r e m a i n d e r i s l e
s s t h a n t h e d e g r e e o f t h e d i v i s o r .
T h e d e g r e e o f t h e q u o t i e n t i s e q u a l t o t
h e d e g r e e o f a ( x ) - t h e d e g r e e o f b ( x ) .
E x a m p l e 1 . 4 . 1
F i n d t h e q u o t i e n t a n d r e m a i n d e r w h e n
x
4
+ x + 2 i s d i v i d e d b y x + 1 .
U s i n g t h e r e s u l t i n t h e b o x , a s t h e d e g r
e e o f x
4
+ x + 2 i s 4 a n d t h e d e g r e e o f
x + 1 i s 1 , t l i . e d e g r e e o f t h e q u o t i e n t i
s 4 - 1 = 3 . A n d a s t h e d e g r e e o f t h e
r e m a i n d e r i s l e s s t h a n 1 , t h e r e m a i n d e
r i s a c o n s t a n t .
L e t t h e q u o t i e n t b e A x
3
+ B x
2
+ C x + D , a n d l e t t h e r e m a i n d e r b e R . T h e
n
x
4
+ x + 2 = ( x + I ) ( A x
3
+ B x
2
+ C x + D ) + R ,
s o x
4
+ x + 2 = A x
4
+ ( A + B ) x
3
+ ( B + C ) x
2
+ ( C + D ) x + D + R .
E q u a t i n g c o e f f i c i e n t s o f x
4
:
E q u a t i n g c o e f f i c i e n t s o f x
3
:
E q u a t i n g c o e f f i c i e n t s o f : x
2
:
E q u a t i n g c o e f f i c i e n t s o f x :
E q u a t i n g c o e f f i c i e n t s o f x
0
:
I = A .
O = A + B , s o B = - A , g i v i n g B = - 1 .
0 = B + C , s o C = - B , g i v i n g C = I .
I = C + D , s o D = 1 - C , g i v i n g D = 0 .
2 = D + R , s o R = 2 - D , g i v i n g R = 2 .
T h e q u o t i e n t i s x
3
- x
2
+ x a n d t h e r e m a i n d e r i s 2 .
' \
9
/
-
/
/
'-~
1 0
P l J R E M A T H E M A T I C S 2 & 3
E x a m p l e 1 . 4 . 2
F i n d t h e q u o t i e n t a n d r e m a i n d e r w h e n
x
4
+ 3 x
2
- 2 i s d i v i d e d b y x
2
- 2 x + 2 .
T h e r e s u l t i n t h e b o x s t a t e s t h a t t h e d e
g r e e o f t h e r e m a i n d e r i s l e s s t h a n 2 , s o
a s s u m e t h a t i t i s a l i n e a r p o l y n o m i a l .
L e t t h e q u o t i e n t b e A x
2
+ B x + C , a n d t h e
r e m a i n d e r b e R x + S . T h e n
x
4
+ 3 x
2
- 2 = ( x
2
- 2 x + 2 ) ( A x
2
+ B x + c ) + R x + S ,
s o x
4
+ 3 x
2
- 2 = A x
4
+ ( - 2 A + B ) x
3
+ ( 2 A - 2 B + C ) x
2
+ ( 2 B - 2 C + R ) x + 2 C + S .
E q u a t i n g c o e f f i c i e n t s o f x
4
:
E q u a t i n g c o e f f i c i e n t s o f x
3
:
E q u a t i n g c o e f f i c i e n t s o f x
2
:
E q u a t i n g c o e f f i c i e n t s o f x :
E q u a t i n g c o e f f i c i e n t s o f x
0
:
l = A .
0 = - 2 A + B , s o B = 2 A , g i v i n g B = 2 .
3 = 2 A - 2 B + C , s o C = 3 ' - 2 A + 2 B , g i v i n g C = 5
.
0 = 2 B - 2 C + R , s o R = - 2 B + 2 C , g i v i n g R = 6
.
- 2 = 2 C + S , s o S = - 2 - 2 C , g i v i n g S = - 1 2 .
T h e q u o t i e n t i s x
2
+ 2 x + 5 a n d t h e r e m a i n d e r i s 6 x - 1 2 .
W h e n y o u a r e d i v i d i n g b y a l i n e a r p o l y n
o m i a l , t h e r e i s a q u i c k w a y o f f i n d i n g t h
e
r e m a i n d e r . F o r e x a m p l e , i n E x a m p l e 1 .
4 . 1 , w h e n x
4
+ x + 2 w a s d i v i d e d b y x + 1 , t h e
f i r s t l i n e o f t h e s o l u t i o n w a s :
x
4
+ x + 2 = ( x + l ) ( A x
3
+ B x
2
+ C x + D ) + R .
S i n c e t h i s i s a n i d e n t i t y , i t i s t r u e f o
r a l l v a l u e s o f x a n d , i n p a r t i c u l a r , i t i s
t r u e f o r
x = - 1 . P u t t i n g x = - i i n t h e l e f t s i d e , y o
u g e t ( - 1 )
4
+ ( - 1 ) + 2 = 2 ; p u t t i n g x = - 1 i n
t h e r i g h t s i d e , y o u g e t O x ( A ( - 1 )
3
+ B ( - 1 )
2
+ C ( - 1 ) + D ) + R , w h i c h i s s i m p l y R .
T h e r e f o r e R = 2 .
S i m i l a r r e a s o n i n g l e a d s t o t h e r e m a i n
d e r t h e o r e m .
R e m a i n d e r t h e o r e m
W h e n a p o l y n o m i a l p ( x ) i s d i v i d e d b y x -
t ,
t h e r e m a i n d e r i s t h e c o n s t a n t p ( t ) .
P r o o f W h e n p ( x ) i s d i v i d e d b y x - t , l e t t
h e q u o t i e n t b e q ( x ) a n d t h e
r e m a i n d e r b e R . T h e n
p ( x ) = ( x - t ) q ( x ) + R .
P u t t i n g x = t i n t h i s i d e n t i t y g i v e s p ( t
) = 0 x q ( t ) + R = R , s o R = p ( t ) .
E x a m p l e 1 . 4 . 3
F i n d t h e r e m a i n d e r w h e n x
3
- 3 x + 4 i s d i v i d e d b y x + 3 .
L e t p ( x ) = x
3
- 3 x + 4 . T h e n p ( - 3 ) = ( - 3 )
3
- 3 x ( - 3 ) + 4 = - 2 7 + 9 + 4 = - 1 4 .
B y t h e r e m a i n d e r t h e o r e m , t h e r e m a i n d
e r i s - 1 4 .
-
C H A P T E R 1 : P O L Y N O M I A L S
E x a m p l e 1 . 4 . 4
W h e n t h e p o l y n o m i a l p ( x ) = x
3
- 3 x
2
+ a x + b i s d i v i d e d b y _ x - 1 t h e r e m a i n d e r
i s - 4 .
W h e n p ( x ) i s d i v i d e d b y x - 2 t h e r e m a i n d
e r i s a l s o - 4 . F i n d t h e r e m a i n d e r w h e n
p ( x ) i s d i v i d e d b y x - 3 .
B y t h e r e m a i n d e r t h e o r e m , w h e n p ( x ) i s
d i v i d e d b y x - 1 , t h e r e m a i n d e r i s
p ( l ) = 1
3
- 3 x 1
2
+ a + b = a + b - 2 . T h e r e f o r e a + b - 2 = - 4 , s o a
+ b = - 2 .
S i m i l a r l y , p ( 2 ) = 2
3
- 3 x 2
2
+ 2 a + b = 2 a + b - 4 , s o 2 a + b - 4 = - 4 a n d
2 a + b = O .
S o l v i n g t h e e q u a t i o n s a + b = - 2 a n d 2 a + b
= 0 s i m u l t a n e o u s l y g i v e s a = 2 a n d
b = - 4 , m a k i n g t h e p o l y n o m i a l p ( x ) = x
3
- 3 x
2
+ 2 x - 4 .
T h e r e m a i n d e r o n d i v i s i o n b y x - 3 i s p ( 3
) = 3
3
- 3 x 3
2
+ 2 x 3 - 4 = 2 .
T h e . r e m a i n d e r t h e o r e m i s us~ful f o r f i n d
i n g t h e r e m a i n d e r w h e n y o u d i v i d e a
p o l y n o m i a l b y a l i n e a r p o l y n o m i a l s u c
h a s x - 2 , b u t i t d o e s n ' t t e l l y o u h o w t o f i n
d t h e
r e m a i n d e r w h e n y o u d i v i d e b y a l i n e a r p
o l y n o m i a l s u c h a s 3 x - 2 . T o d o t h i s , y o u n e
e d
t h e e x t e n d e d f o r m o f t h e r e m a i n d e r t h e
o r e m .
R e m a i n d e r t h e o r e m : e x t e n d e d f o r m
W h e n a p o l y n o m i a l p ( x ) i s d i v i d e d b y s x
- t ;
t h e r e m a i n d e r i s t h e c o n s t a n t p ( ~) .
P r o o f W h e n p ( x ) i s d i v i d e d b y s x - t , l e t
t h e q u o t i e n t b e q ( x ) a n d t h e
r e m a i n d e r b e R . T h e n p ( x ) = ( s x - t ) q ( x )
+ R .
P u t t i n g x = ! . . i n t h i s i d e n t i t y ,
s
pG)=(sx~-t)xqG)+R=OxqG)+R=R, s o R = p G ) .
T h i s p r o v e s t h a t t h e r e m a i n d e r i s t h e c
o n s t a n t p ( ~) .
E x a m p l e 1 . 4 . 5
F i n d t h e r e m a i n d e r w h e n x
3
- 3 x + 4 i s d i v i d e d b y 2 x + 3 .
L e t p ( x ) = x
3
- 3 x + 4 . T h e n p{-~) = {-~)3 -3x(-~)+4 = -
2
l +~ + 4 = s i .
B y t h e r e m a i n d e r t h e o r e m i n i t s e x t e n d
e d f o r m , t h e r e m a i n d e r i s 5 i .
1 1
-
(
, _
1 2 P u R E M A T H E M A T I C S 2 & 3
~r.,m,~~~~1 E x e r c i s e l C ~;;gwem1eratWJfffi
1
1 F i n d t h e q u o t i e n t a n d t h e r e m a i n d e r w
h e n
( a ) x
2
- 5 x + 2 i s d i v i d e d b y x - 3 ,
( c ) 2 x
2
+ 3 x - l i s d i v i d e d b y x - 2 ,
( e ) 6 x
2
- x - 2 i s d i v i d e d b y 3 x + l ,
( b ) x
2
+ 2 x - 6 i s d i v i d e d b y x + 1 ,
( d ) 2 x
2
+ 3 x + 1 i s d i v i d e d b y 2 x - 1 ,
( f ) x
4
i s d i v i d e d b y . x
3
.
2 F i n d t h e q u o t i e n t a n d t h e r e m a i n d e r w
h e n t h e f i r s t p o l y n o m i a l i s d i v i d e d b y t h
e s e c o n d .
( a )
x
3
+ 2 x
2
- 3 x + 1 , x + 2
( b ) x
3
- 3 x
2
+ 5 x - 4 ,
( c )
2 x
3
+ 4 x - 5 , x + 3
( d ) 5 x
3
- 3 x + 1 ,
( e ) 2 x
3
- x
2
- 3 x - 1 , 2 x + l
( f )
6 x
3
+ 1 7 x
2
- 1 7 x + 5 ,
3 . F i n d t h e q u o t i e n t a n d t h e r e m a i n d e r
w h e n
( a ) x
4
- 2 x
3
- 7 x
2
+ 7 x + 5 i s d i v i d e d b y x
2
+ 2 x - 1 ,
( b ) x
4
- x
3
+ 7 x + 2 i s d i v i d e d b y x
2
+ x - i ,
( c ) 2 x
4
- 4 x
3
+ 3 x
2
+ 6 x + 5 i s d i v i d e d b y x
3
+ x
2
+ 1 ,
( d ) 6 x
4
+ x
3
+ 1 3 x + 1 0 i s d i v i d e d b y 2 x
2
- x + 4 .
4 F i n d t h e r e m a i n d e r w h e n t h e f i r s t p o l
y n o m i a l i s d i v i d e d b y t h e s e c o n d .
( a ) x
3
- 5 x
2
+ 2 x - 3 ,
x - 1 ( b ) x
3
+ x
2
- 6 x + 5 ,
( c ) 2 x
3
- 3 x + 5 ,
x - 3 ( d ) 4 x
3
- 5 x
2
+ 3 x - 1 ,
( e ) x
3
+ ' 3 x
2
- 2 x + 1 ,
2 x - 1 ( f ) 2 x
3
+ 5 x
2
- 3 x + 6 ,
( g ) x
4
- x
3
+ 2 x
2
- 7 x - 2 ,
x - 2
( h ) 3 x
4
+ x
2
- 7 x + 6 ,
x - 5
x - 4
3 x - 2
x + 2
x + 4
3 x + l
x + 3
5 W h e n x
3
+ 2 x
2
- p x + 1 i s d i v i d e d b y x - 1 t h e r e m a i n d e r i
s 5 . F i n d t h e v a l u e o f p .
6 W h e n 2 x
3
+ x
2
- 3 x + q i s d i v i d e d b y x - 2 t h e r e m a i n d e r i
s 1 2 . F i n d t h e v a l u e o f q .
7 W h e n x
3
+ 2 x
2
+ p x - 3 i s d i v i d e d b y x + 1 t h e r e m a i n d e r i
s t h e s a m e a s w h e n i t i s d i v i d e d
b y x - 2 . F i n d t h e v a l u e o f p .
8 W h e n x
3
+ p x
2
- x - 4 i s d i v i d e d b y x - 1 t h e r e m a i n d e r i s
t h e s a m e a s w h e n i t i s d i v i d e d
b y x + 3 . F i n d t h e v a l u e o f p .
9 W h e n 3 x
3
- 2 x
2
+ a x + b i s d i v i d e d b y x - 1 t h e r e m a i n d e r i
s 3 . W h e n d i v i d e d b y x + 1
t h e r e m a i n d e r i s - 1 3 . F i n d t h e v a l u e s o
f a a n d b .
1 0 W h e n x
3
+ a x
2
+ b x + 5 i s d i v i d e d b y x ~ 2 t h e r e m a i n d e r i
s 2 3 . W h e n d i v i d e d b y x + 1
t h e r e m a i n d e r i s 1 1 . F i n d t h e v a l u e s o f
a a n d b .
1 1 W h e n x
3
+ a x
2
+ b x - 5 i s d i v i d e d b y x - 1 t h e r e m a i n d e r i
s - 1 . W h e n d i v i d e d b y x + 1
t h e r e m a i n d e r i s - 5 . F i n d t h e v a l u e s o f
a a n d b .
1 2 W h e n 2 x
3
- - ' x
2
+ a x + b i s d i v i d e d b y x - 2 t h e r e m a i n d e r i
s 2 5 . W h e n d i v i d e d b y x + 1
t h e r e m a i n d e r i s - 5 . F i n d t h e v a l u e s o f
a a n d b .
~~1!-~~~'Y
-
C H A P T E R 1 : P O L Y N O M I A L S
1 . 5 T h e f a c t o r t h e o r e m
W h e n y o u s o l v e a n e q u a t i o n p ( x ) = 0 b y f a
c t o r s , w r i t i n g p ( x ) = ( x - t ) ( x - u ) ( x - v ) .
. . ,
y o u d e d u c e t h a t x = t o r x = u o r x = v o r . . . .
S o w h e n y o u s u b s t i t u t e x = t i n p ( x ) , y o u
f i n d t h a t p ( t ) = 0 . T h e c o n v e r s e i s n o t s
o o b v i o u s : t h a t i f p ( t ) = 0 , t h e n x - t i s a f a
c t o r o f
p ( x ) . T h i s r e s u l t , a s p e c i a l c a s e o f t h
e r e m a i n d e r t h e o r e m , i s c a l l e d t h e f a c t o
r t h e o r e m .
L e t p ( x ) b e a p o l y n o m i a l . T h e n
( a ) i f x - t i s a f a c t o r o f p ( x ) , t h e n p ( t )
= O ;
( b ) i f p ( t ) = O , t h e n x - - : t i s a f a c t o r o f
p ( x ) .
T h e s e c o n d o f t h e s e r e s u l t s i s c a l l e d t
h e f a c t o r t h e o r e m .
P r o o f
( a ) I f x - t i s a f a c t o r o f p ( x ) , t h e n p ( x )
= ( x - t ) q ( x ) , w h e r e q ( x ) i s a
p o l y n o m i a l . P u t t i n g x = t i n t o t h i s i d e
n t i t y s h o w s t h a t p ( t ) = ( t - t ) q ( t ) = 0 .
( b ) W h e n p ( x ) i s d i v i d e d b y x - t , l e t t h e
q u o t i e n t b e q ( x ) a n d t h e r e m a i n d e r b e
R . T h e n p ( x ) = ( x - t ) q ( x ) + R .
P u t t i n g x = t i n t o t h i s i d e n t i t y g i v e s p
( t ) = R ( t h i s i s t h e r e m a i n d e r t h e o r e m
a g a i n ) . T h u s i f p ( t ) = 0 , R = 0 , s o x - t i s a
f a c t o r o f t h e p o l y n o m i a l p ( x ) .
Y o u c a n u s e t h e f a c t o r t h e o r e m t o s e a r c
h f o r f a c t o r s o f a p o l y n o m i a l w h e n i t s
c o e f f i c i e n t s a r e s m a l l .
W h e n y o u s e a r c h f o r f a c t o r s o f a p o l y n o
m i a l s u c h a s x
3
- x
2
- 5 x - 3 , y o u n e e d o n l y t r y
f a c t o r s o f t h e f o r m x - t w h e r e t d i v i d e s
t h e c o n s t a n t c o e f f i c i e n t , i n t h i s c a s e 3
. T h u s
y o u n e e d o n l y t r y x - l , x + 1 , x - 3 a n d x + 3
.
E x a m p l e 1 . 5 . 1
F i n d t h e f a c t o r s o f x
3
- x
2
- 5 x - 3 , a n d h e n c e s o l v e t h e e q u a t i o n
x
3
- x
2
- 5 x - 3 = 0 .
D e n o t e x
3
- x
2
- 5 x - 3 b y p ( x ) .
C o u l d x - l b e a f a c t o r ? p ( l ) = 1
3
- 1
2
- 5 x 1 - 3 = - 8 * 0 , s o x - l i s n o t a f a c t o r .
T r y x + l a s a f a c t o r . p ( - l ) = ( - 1 )
3
. - ( . : . . . 1 )
2
- S x ( - 1 ) - 3 = 0 , s o x + i i s a f a c t o r .
D i v i d i n g x
3
- x
2
- 5 x - 3 b y x + 1 i n t h e u s u a l w a y , y o u f i n
d
x
3
- x
2
- 5 x - 3 = ( x + l ) ( x
2
- 2 x - 3 ) .
S i n c e x
2
- 2 x - 3 = ( x + l ) ( x - 3 ) , y o u c a n n o w f a c t o r
i s e x
3
- x
2
- 5 x - 3
c o m p l e t e l y t o g e t
x
3
- x
2
- S x - 3 = ( x + l ) ( x + l ) ( x - 3 ) = ( x + 1 )
2
( x - 3 ) .
T h e s o l u t i o n o f t h e e q u a t i o n x
3
- x
2
- 5 x - 3 = 0 i s x = - 1 ( r e p e a t e d ) a n d x = 3 .
1 3
-
I
'~
1 4 P u R E M A T H E M A T I C S 2 & 3
E x a m p l e 1 . 5 . 2
F i n d t h e f a c t o r s o f x
4
+ x
3
- x - 1 a n d s o l v e t h e e q u a t i o n x
4
+ x
3
- x - 1 = 0 .
L e t p ( x ) = x
4
+ x
3
- x - l .
S i n c e p { l ) = 1 + 1 - 1 - 1 = 0 , x - 1 i s a f a c t o r
o f p ( x ) .
W r i t i n g x
4
+ x
3
- x - 1 = ( x - 1 ) ( A x
3
+ B x
2
+ C x + D ) a n d m u l t i p l y i n g o u t t h e
r i g h t s i d e s h o w s t h a t
x
4
+ x
3
- x - 1 = A x
4
+ ( B - A ) x
3
+ ( C - B ) x
2
+ ( D - C ) x - D .
E q u a t i n g c o e f f i c i e n t s o f x
4
a n d t h e c o n s t a n t t e r m s g i v e s A = 1 a n d D =
1 , a n d
y o u c a n s e e b y i n s p e c t i o n t h a t t h e o t h e
r c o e f f i c i e n t s a r e B = 2 a n d C = 2 . S o
p ( x ) = ( x - l ) ( x
3
+ 2 x
2
+ 2 x + 1 ) .
L e t q ( x ) = x
3
+ 2 x
2
+ 2 x + l . T h e n q { l ) : ; e O , s o x - 1 i s n o t a f a
c t o r o f q ( x ) , b u t
q { - 1 ) = - 1 + 2 - 2 + 1 = 0 , s o x + l i s a f a c t o r o
f q ( x ) .
W r i t i n g x
3
+ 2 x
2
+ 2 x + 1 = ( x + 1 ) ( E x
2
+ F x + G ) a n d e q u a t i n g c o e f f i c i e n t s s h o
w s
t h a t E = 1 , G = 1 a n d F = 1 .
T h e r e f o r e x
4
+ x
3
~x-1 = ( x - l ) { x + l ) ( x
2
+ x + l ) .
A s t h e d i s c r i m i n a n t o f x
2
+ x + l i s 1
2
- 4 x l x l = - 3 < 0 , x
2
+ x + l d o e s n o t
s p l i t i n t o l i n e a r f a c t o r s , s o ( x - l ) { x
+ 1 ) { x
2
+ x + 1 ) c a n n o t b e f a c t o r i s e d f u r t h e r
.
A l s o t h e e q u a t i o n x
2
+ x + 1 = 0 d o e s n ' t h a v e r e a l r o o t s . S o t h e
s o l u t i o n o f t h e
e q u a t i o n x
4
+ x
3
- x - 1 = 0 i s x = 1 o r x = - 1 .
L i k e t h e r e m a i n d e r t h e o r e m , t h e f a c t o
r t h e o r e m h a s a n e x t e n d e d f o r m .
L e t p ( x ) b e a p o l y n o m i a l . T h e n
( a ) i f s x - t i s a f a c t o r o f p ( x ) , t h e n p G )
= 0 ;
( b ) i f p ( f l = 0 , t h e n s x - t i s a f a c t o r o f p
( x ) .
T h e s e c o n d r e s u l t i s t h e e x t e n d e d f o r m
o f t h e f a c t o r t h e o r e m .
T o p r o v e t h i s , m o d i f y t h e p r o o f o f t h e f
a c t o r t h e o r e m o n p a g e 1 3 i n t h e s a m e w a y a s
t h e p r o o f
o f t h e r e m a i n d e r t h e o r e m w a s m o d i f i e d
i n S e c t i o n 1 . 4 . S i m p l y r e p l a c e p ( x ) = ( x -
t ) q ( x )
b y p ( x ) = ( s x - t ) q ( x ) , a n d p u t x = ! _ i n t h
e i d e n t i t y . .
s
Y o u c a n s a v e a l o t o f e f f o r t w h e n y o u a p p
l y t h i s f o r m o f t h e f a c t o r t h e o r e m b y u s i n
g t h e f a c t
t h a t , i f t h e c o e f f i c i e n t s o f p ( x ) = a x n
+ b x n - l + . . . + k a r e a l l i n t e g e r s , a n d i f s x
- t i s a f a c t o r
o f p ( x ) , t h e n s d i v i d e s a a n d t d i v i d e s k
. ( T h i s c a n b e p r o v e d b y u s i n g p r o p e r t i e s
o f p r i m e
f a c t o r s i n a r i t h m e t i c , b u t t h e p r o o f i
s n o t i n c l u d e d i n t h i s c o u r s e . )
-
C H A P T E R 1 : P O L Y N O M I A L S 1 5
E x a m p l e 1 . 5 . 3
F i n d t h e f a c t o r s o f p ( x ) = 3 x
3
+ 4 x
2
+ 5 x - 6 .
B e g i n b y n o t i n g t h a t , i f s x - t i s a f a c t o
r , s d i v i d e s 3 a n d t d i v i d e s 6 . S o s c a n
o n l y b e 1 o r 3 , a n d t c a n o n l y b e 1 , 2 , 3 o r 6
.
Y o u c a n f u r t h e r r e d u c e t h e n u m b e r o f p o
s s i b i l i t i e s i n t w o w a y s .
s x - t i s n o t r e a l l y a d i f f e r e n t f a c t o r f
r o m - s x + t . S o y o u n e e d c o n s i d e r o n l y
p o s i t i v e v a l u e s o f s .
T h e f a c t o r s c a n ' t b e 3 x 3 o r 3 x 6 s i n c e t h
e n 3 w o u l d b e a c o m m o n f a c t o r
o f t h e c o e f f i c i e n t s o f p ( x ) , w h i c h i t i
s n ' t .
S o t h e r e a r e o n l y t w e l v e p o s s i b l e f a c t
o r s : x + 1 , x + 2 , x + 3 , x + 6 , 3 x + 1 a n d
3 x + 2 . Y o u c a n t e s t t h e s e b y e v a l u a t i n g
p ( x ) f o r x = 1 , 2 , 3 , 6 , j a n d
j u n t i l y o u g e t a z e r o .
W o r k i n g t h r o u g h t h e s e i n t u m , y o u w i l l
e v e n t u a l l y f i n d t h a t
'p(~) = 3 x (~)
3
+ 4 x (~)
2
+ 5 x ~-6=~+1& +
1 0
- 6 = 0
3 3 3 3 9 9 3 .
S o 3 x - 2 i s a f a c t o r , a n d b y d i v i s i o n p ( x
) = ( 3 x - 2 ) ( x
2
+ 2 x + 3 ) .
S i n c e x
2
+ 2 x + 3 = ( x + 1 )
2
+ 2 , w h i c h h a s n o f a c t o r s , p ( x ) d o e s n ' t
f a c t o r i s e
f u r t h e r .
E x e r c i s e l D
1 U s e t h e f a c t o r t h e o r e m t o f a c t o r i s e t
h e f o l l o w i n g c u b i c p o l y n o m i a l s p ( x ) . I n
e a c h c a s e
w r i t e d o w n t h e r e a l r o o t s o f t h e e q u a t i
o n p ( : x ) = 0 .
( a )
x
3
+ 2 x
2
- 5 x - 6
( b ) x
3
- 3 x
2
- x + 3
( c )
x
3
- 3 x
2
- 1 3 x + 1 5
( d ) x
3
- 3 x
2
- 9 x - 5
( e )
x
3
+ 3 x
2
- 4 x - 1 2
( t ) 2 x
3
+ 7 x
2
- 5 x - 4
( g ) 3 x
3
- x
2
- 1 2 x + 4 ( h ) 6 x
3
+ 7 x
2
- x - 2
( i )
x
3
+ 2 x
2
- 4 x + 1
2 U s e t h e f a c t o r t h e o r e m t o f a c t o r i s e t
h e f o l l o w i n g q u a r t i c p o l y n o m i a l s p ( x ) .
I n e a c h c a s e
w r i t e d o w n t h e r e a l r o o t s o f t h e e q u a t i
o n p ( x ) = 0 .
( a ) x
4
- x
3
- 7 x
2
+ x + 6 ( b ) x
4
+ 4 x
3
- x
2
- 1 6 x - 1 2
( c ) 2 x
4
- 3 x
3
- 1 2 x
2
+ 7 x + 6 ( d ) 6 x
4
+ x
3
- 1 7 x
2
- 1 6 x - 4
( e ) x
4
- 2 x
3
+ 2 x - l ( t )
4 x
4
- l 2 x
3
+ x
2
+ 1 2 x + 4
3 F a c t o r i s e t h e f o l l o w i n g .
( a ) x
3
- 8
( b ) x
3
+ 8
( c ) x
3
- a
3
( d ) x
3
+ a
3
( e ) x
4
- a
4
( t )
; t s + a s
4 ( a ) S h o w t h a t x - a i s a f a c t o r o f x n - a n
.
( b ) U n d e r w h a t c o n d i t i o n s i s x + a a f a c t
o r o f x n + a n ? U n d e r t h e s e c o n d i t i o n s , f i n
d t h e
o t h e r f a c t o r .
-
' " " "
1 6
P u R E M A T H E M A T I C S 2 & 3
f;~~~~_c~:C:~~~2{:7T-~~::;?~5Z~-"i~.c
1
:
M i s c e l l a n e o u s e x e r c i s e 1
:.-~~-~/'=~~~: ~~---,'.'' j{,:1;~~-.:~~?;:~;i-;
1 I t i s g i v e n t h a t
( x + a ) ( x
2
+ b x + 2 ) = x
3
- 2 x
2
- x - 6
w h e r e a a n d b a r e c o n s t a n t s . F i n d t h e v a
l u e o f a a n d t h e v a l u e o f b .
( O C R )
2 F i n d t h e r e m a i n d e r w h e n ( 1 + x )
4
i s d i v i d e d b y x + 2 .
3 S h o w t h a t ( x - 1 ) i s a f a c t o r o f 6 x
3
+ 1 l x
2
- 5 x - 1 2 , a n d f i n d t h e o t h e r t w o l i n e a r f
a c t o r s
o f t h i s e x p r e s s i o n . ( O C R )
4 T h e c u b i c p o l y n o m i a l x
3
+ a x
2
+ b x - 8 , w h e r e a a n d b a r e c o n s t a n t s , h a s
f a c t o r s ( x + 1 )
a n d ( x + 2 ) . F i n d t h e v a l u e s o f a a n d b . ( O
C R )
5 F i n d t h e v a l u e o f a f o r w h i c h ( x - 2 ) i s a
f a c t o r o f 3 x
3
+ a x
2
+ x - 2 .
S h o w t h a t , f o r t h i s v a l u e o f a , t h e c u b i
c e q u a t i o n 3 x
3
+ a x
2
+ x - 2 = 0 h a s o n l y o n e r e a l
r o o t . ( O C R )
6 S o l v e t h e e q u a t i o n 4 x
3
+ 8 x
2
+ x - 3 = 0 g i v e n t h a t o n e o f t h e r o o t s i s a n
i n t e g e r . ( O C R )
7 T h e c u b i c p o l y n o m i a l x
3
- 2 x
2
- 2 x + 4 h a s a f a c t o r ( x - a ) , w h e r e a i s a n i
n t e g e r .
( a ) U s e t h e f a c t o r t h e o r e m t o f i n d t h e v
a l u e o f a .
( b ) H e n c e f i n d e x a c t l y a l l t h r e e r o o t s
o f t h e c u b i c e q u a t i o n x
3
- 2 x
2
- 2 x + 4 = 0 . ( O C R )
8 T h e c u b i c p o l y n o m i a l x
3
- 2 x
2
- x - 6 i s d e n o t e d b y f ( x ) . S h o w t h a t ( x - 3
) i s a f a c t o r o f
f ( x ) . F a c t o r i s e f ( x ) . H e n c e f i n d t h e n
u m b e r o f r e a l r o o t s o f t h e e q u a t i o n f ( x ) =
0 ,
j u s t i f y i n g y o u r a n s w e r .
H e n c e w r i t e d o w n t h e n u m b e r o f p o i n t s o
f i n t e r s e c t i o n o f t h e g r a p h s w i t h e q u a t i
o n s
y = x
2
- 2 x - 1 a n d
j u s t i f y i n g y o u r a n s w e r .
6
y=~,
x
9 G i v e n t h a t ( 2 x + 1 ) i s a f a c t o r o f 2 x
3
+ a x
2
+ 1 6 x + 6 , s h o w t h a t a = 9 .
F i n d t h e r e a l q u a d r a t i c f a c t o r o f 2 x
3
+ 9 x
2
+ 1 6 x + 6 . B y c o m p l e t i n g t h e s q u a r e , o
r
( O C R )
o t h e r w i s e , s h o w t h a t t h i s q u a d r a t i c f
a c t o r i s p o s i t i v e f o r a l l r e a l v a l u e s o f x
. ( O C R )
1 0 S h o w t h a t b o t h ( x - - J 3 ) a n d { x + - J 3 ) a
r e f a c t o r s o f x
4
+ x
3
- x
2
- 3 x - 6 .
H e n c e w r i t e d o w n o n e q u a d r a t i c f a c t o r
o f x
4
+ x
3
- x
2
- 3 x - 6 , a n d f i n d a s e c o n d
q u a d r a t i c f a c t o r o f t h i s p o l y n o m i a l .
( O C R )
1 1 T h e d i a g r a m s h o w s t h e , c u r v e
y = - x
3
+ 2 x
2
+ a x - 1 0 .
T h e c u r v e c r o s s e s t h e x - a x i s a t x = p , x =
2
a n d x = q .
( a ) S h o w t h a t a = 5 .
( b ) F i n d t h e e x a c t v a l u e s o f p a n d q .
( O C R )
y
x
-
C H A P T E R 1 : P O L Y N O M I A L S
1 7
1 2 T h e p o l y n o m i a l x
3
+ 3 x
2
+ a x + b l e a v e s a r e m a i n d e r o f 3 w h e n i t i s
d i v i d e d b y x + 1 a n d
a r e m a i n d e r o f 1 5 w h e n i t i s d i v i d e d b y x
- 2 . F i n d t h e r e m a i n d e r w h e n i t i s d i v i d e d
b y
( x - 2 ) ( x + l ) .
1 3 F i n d t h e q u o t i e n t a n d t h e r e m a i n d e r
w h e n x
4
+ 4 i s d i v i d e d b y x
2
- 2 x + 2 .
1 4 L e t p ( x ) = 4 x
3
+ 1 2 x
2
+ 5 x - 6 .
( a ) C a l c u l a t e p ( 2 ) a n d p ( - 2 ) , a n d s t a t
e w h a t y o u c a n d e d u c e f r o m y o u r a n s w e r s
.
( b ) S o l v e t h e e q u a t i o n 4 x
3
+ 1 2 x
2
+ 5 x - 6 = 0 .
1 5 I t i s g i v e n t h a t f ( x ) = x
4
- 3 x
3
+ a x
2
+ 1 5 x + 5 0 , w h e r e a i s a c o n s t a n t , a n d t h a
t x + 2 i s a
f a c t o r o f f ( x ) .
( a ) F i n d t h e v a l u e o f a .
( b ) S h o w t h a t f ( 5 ) = 0 a n d f a c t o r i s e f ( x
) c o m p l e t e l y i n t o e i a c t l i n e a r f a c t o r s
.
( c ) F i n d t h e s e t o f v a l u e s o f x f o r w h i c h
f ( x ) > O .
1 6 T h e d i a g r a m s h o w s t h e g r a p h o f y = x
2
- 3
2
a n d t h e p a r t o f t h e g r a p h o f y = - f o r x > 0
.
x
T h e t w o g r a p h s i n t e r s e c t a t C , a n d A a n d
B
a r e t h e p o i n t s o f i n t e r s e c t i o n o f y =
x
2
- 3
w i t h t h e x - a x i s . W r i t e d o w n t h e e x a c
t
c o o r d i n a t e s o f A a n d B .
S h o w t h a t t h e x - c o o r d i n a t e o f C i s g i v e
n b y t h e
e q u a t i o n x
3
- 3 x - 2 = 0 .
F a c t o r i s e x
3
- 3 x - 2 c o m p l e t e l y .
H e n c e
( a ) w r i t e d o w n t h e ~x-coordinate o f C ,
( b ) d e s c r i b e b r i e f l y t h e g e o m e t r i c a
l
r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e g r a p h o f
y = x
2
- 3 a n d t h e p a r t o f t h e g r a p h o f
y = ~ f o r w h i c h x < 0 .
x
( O C R )
' : C 1 7 T h e p o l y n o m i a l x
5
- 3 x
4
+ 2 x
3
- 2 x
2
+ 3 x + 1 i s d e n o t e d b y f ( x ) .
( a ) S h o w t h a t n e i t h e r ( x - 1 ) n o r ( x + 1 ) i
s a f a c t o r o f f ( x ) .
( b ) B y s u b s t i t u t i n g x = 1 a n d x = - 1 i n t h e
i d e n t i t y
f ( x ) = ( x
2
- l ) q ( x ) + a x + b ,
w h e r e q ( x ) i s a p o l y n o m i a l a n d a a n d b a r
e c o n s t a n t s , o r o t h e r w i s e , f i n d t h e
r e m a i n d e r w h e n f ( x ) i s d i v i d e d b y ( x
2
- 1 ) . .
( c ) S h o w , b y c a r r y i n g o u t t h e d i v i s i o n
, o r o t h e r w i s e , t h a t w h e n f ( x ) i s d i v i d e d
b y
( x
2
+ 1 ) , t h e r e m a i n d e r i s 2 x .
( O C R )
x
( d ) F i n d a l l t h e r e a l r o o t s o f t h e e q u a t
i o n f ( x ) = 2 x . ( O C R )
~~~~TETE aa~~-~~~~?~.'.~~iiE.~.~J::'lg.:~~~
. . ,
-
2 T h e m o d u l u s f u n c t i o n
' -
T h i s c h a p t e r i n t r o d u c e s t h e m o d u l u s f
u n c t i o n , w r i t t e n a s I x I W h e n y o u h a v e c o m
p l e t e d
i t , y o u s h o u l d
k n o w t h e d e f i n i t i o n o f m o d u l u s , a n d r e
c o g n i s e I x I a s a f u n c t i o n
k n o w h o w t o d r a w g r a p h s o f f u n c t i o n s i n
v o l v i n g m o d u l u s
k n o w h o w t o u s e m o d u l u s a l g e b r a i c a l l y
a n d g e o m e t r i c a l l y
b e a b l e t o s o l v e s i m p l e e q u a t i o n s a n d i
n e q u a l i t i e s i n v o l v i n g m o d u l u s .
2 . 1 T h e m o d u l u s f u n c t i o n a n d i t s g r a p
h
Y o u m e t t h e m o d u l u s n o t a t i o n b r i e f l y i
n P l S e c t i o n 3 . 4 , a n d h a v e u s e d i t f r o m t i m
e t o t i m e
s i n c e t h e n . S i n c e I x I i s d e f i n e d f o r a l
l r e a l n u m b e r s x ' i t i s a n o t h e r e x a m p l e o f
a f u n c t i o n o f
x . I t s d o m a i n i s t h e s e t o f r e a l n u m b e r s
, I R ( s e e P 1 S e c t i o n 1 1 . 3 ) , a n d i t s r a n g e i
s I R , y ; ; = : 0 .
T h e m o d u l u s o f x , d e n o t e d b y I x I i s d e f i
n e d b y
l x l = x
l x l = - x
ifx~ 0 ,
i f x < 0 .
O n s o m e c a l c u l a t o r s t h e m o d u l u s f u n c t
i o n i s [ m o d ] ; o n o t h e r s
i t i s [ a b s ] , s h o r t f o r ' t h e a b s o l u t e v a
l u e o f x ' . T h i s b o o k
a l w a y s u s e s t h e n o t a t i o n I x I
F i g . 2 . 1 s h o w s t h e g r a p h o f y = I x I T h e g r
a p h h a s a ' V '
s h a p e , w i t h b o t h b r a n c h e s m a k i n g a n a n
g l e o f 4 5 w i t h t h e
x - a x i s , p r o v i d e d t h a t t h e s c a l e s a r e t
h e s a m e o n b o t h a x e s .
2 . 2 G r a p h s o f f u n c t i o n s i n v o l v i n g m o d
u l u s
S u p p o s e t h a t y o u w a n t t o d r a w t h e g r a p h
o f y = I x - 2 1 . Y o u c a n
d o t h i s d i r e c t l y f r o m t h e d e f i n i t i o n o
f m o d u l u s . W h e n x ~ 2 ,
x - 2 ~ 0 , s o I x - 2 I = x - 2 . F o r t h e s e v a l u e s
o f x , t h e g r a p h s o f
y = I x - 2 I a n d y = x - 2 a r e t h e s a m e .
W h e n x < 2 , x - 2 < 0 , s o ! x - 2 I = - ( x - 2 ) =
2 - x . S o f o r
t h e s e v a l u e s o f x , t h e g r a p h o f y = I x - 2 I
i s t h e s a m e a s t h e
g r a p h o f y = 2 - x .
A n o t h e r w a y o f d e a l i n g w i t h t h e c a s e x
< 2 i s t o n o t e t h a t t h e
g r a p h o f y = - ( x - 2 ) i s t h e r e f l e c t i o n o f
y = x - 2 i n t h e . X - a x i s .
S o y o u c a n d r a w t h e g r a p h o f y = I x - 2 I b y f
i r s t d r a w i n g t h e
g r a p h o f y = x - 2 a n d t h e n r e f l e c t i n g i n t
h e x - a x i s t h a t p a r t o f
t h e l i n e w h i c h i s b e l o w t h e x - a x i s . T h i
s i s i l l u s t r a t e d i n F i g . 2 . 2 .
- 3 - 2 - 1 0 1 2 3 x
F i g . 2 . 1
-~l i . . . . . . . . ~ . . . . . . . . . 2 3 4 x
- 2 , . . y = x - 2
. .
F i g . 2 . 2
-
C H A P T E R 2 : T H E M O D U L U S F ' u N C T I O N
T h i s m e t h o d c a n a l w a y s b e u s e d t o g e t t h
e g r a p h o f y = I f ( x ) I f r o m t h e g r a p h o f
y = f ( x ) . I n t h e d e f i n i t i o n o f I x I . i n t h
e b o x o n p a g e 1 8 , y o u c a n w r i t e a n y e x p r e s s
i o n i n
p l a c e o f x . S o , r e p l a c i n g x b y f ( x ) ,
I f ( x ) I = f ( x ) i f f ( x ) ~ 0 , a n d I f ( x ) I = - f
( x ) i f f ( x ) < 0 .
I t f o l l o w s t h a t , f o r t h e p a r t s o f t h e g r
a p h y = f ( x ) w h i c h a r e o n o r a b o v e t h e x - a x i
s , t h e
g r a p h s o f y = f ( x ) a n d y = I f ( x ) I a r e t h e s
a m e . B u t f o r t h e p a r t s o f y = f ( x ) b e l o w t h
e
x - a x i s , y = I f ( x ) I = - f ( x ) i s o b t a i n e d f
r o m y = f ( x ) b y r e f l e c t i o n i n t h e x - a x i s
.
A n i c e w a y o f s h o w i n g t h i s i s t o d r a w t h e
g r a p h o f y = f ( x ) o n a t r a n s p a r e n t s h e e t
.
Y o u c a n t h e n g e t t h e g r a p h o f y = I f ( x ) r b
y f o l d i n g t h e s h e e t a l o n g t h e x - a x i s s o t h
a t
t h e n e g a t i v e p a r t o f t h e s h e e t l i e s o n t
o p o f t h e p o s i t i v e p a r t .
E x a m p l e 2 . 2 . 1
S k e t c h t h e g r a p h s o f ( a ) y = l 2 x - 3 1 , ( b )
y = l ( x - l ) ( x - 3 ) 1 .
F i g s . 2 . 3 a n d 2 . 4 s h o w t h e g r a p h s o f ( a )
y = 2 x - 3 a n d ( b ) y = ( x - l ) ( x - 3 ) w i t h
t h e p a r t b e l o w t h e x - a x i s ( d r a w n d o t t e
d ) r e f l e c t e d i n t h e x - a x i s t o g i v e t h e g r a
p h s
r e q u i r e d .
0 1 1 / 2
- 1 _ , /
- 2 _ , . . . .
/ y = 2 x - 3
- 3 ;
. .
F i g . 2 . 3
y
3 x
\,''
-
/
2 0
P u R E M A T H E M A T I C S 2 & 3
T h e g r a p h i s t h e r e f o r e i n t h r e e p a r t s ,
a s s h o w n i n F i g . 2 . 5 .
y
3
2
Y o u m a y s o m e t i m e s a l s o w a n t t o g e t t h e g
r a p h o f y = f G x I )
f r o m t h e g r a p h o f y = f ( x ) . F r o m t h e d e f i
n i t i o n , f G x I ) i s t h e
s a m e a s f ( x ) w h e n x~O,but f G x l ) = f ( - x ) w h e
n x < O . S o
t h e g r a p h o f y = f G x I ) i s t h e s a m e a s t h e g
r a p h o f y = f ( x ) t o
t h e r i g h t o f t h e y . - a x i s , b u t t o t h e l e f
t o f t h e y - a x i s i t i s t h e
r e f l e c t i o n i n t h e y - a x i s o f y = f ( x ) f o r
x > 0 .
- 1 0 1 . 2 3 4 x
F i g . 2 . 5
E x a m p l e 2 . 2 . 3
S k e t c h t h e g r a p h o f y = s i n I x 1 -
T o t h e r i g h t o f t h e y - a x i s , w h e r e x > 0 ,
t h e g r a p h i s t h e s a m e a s t h e g r a p h o f
y = s i n x . T h e g r a p h i s c o m p l e t e d t o t h e l
e f t o f t h e y - a x i s , w h e r e x < 0 , b y
r e f l e c t i n g i n t h e y - a x i s t h e g r a p h o f y
= s i n x f o r x > 0 . F i g . 2 . 6 s h o w s t h e r e s u l
t .
y
I
~~IDlI
-~ir
~ir
x
/~ir~
- 1
F i g . 2 . 6
2 . 3 S o m e a l g e b r a i c p r o p e r t i e s
L e t a a n d b b e t w o r e a l n u m b e r s . S i n c e I a
I i s a l w a y s e q u a l t o e i t h e r - a o r a , i t
f o l l o w s t h a t a i s a l w a y s e q u a l t o - I a I o
r I a \ . S i m i l a r l y , b i s a l w a y s e q u a l t o - I b
I o r
I b 1 - S o a x b i s a l w a y s e q u a l t o I a I x I b I o
r - I a I x I b I A n d s i n c e I a I x I b I i s p o s i t i v
e
o r z e r o , y o u c a n d e d u c e t h a t I a x b I = I a I
x I b 1 -
A s i m i l a r a r g u m e n t h o l d s f o r d i v i s i o n
.
I f a a n d b a r e r e a l n u m b e r s ,
l a x b l = l a l x l b l
a n d
1
~1-~
b - l b l
( p r o v i d e d t h a t b o f . 0 ) .
_ ,~, . . - " - ~:- _,..:'.o~.l~i-~~-- ; ; _
- . : -
E x a m p l e 2 . 3 . 1
S h o w t h a t ( a ) l 4 x + 6 l = 2 x l 2 x + 3 1 , ( b ) 1 3
- x l = l x - 3 1 .
( a ) I 4 x + 6 1 = I 2 ( 2 x + 3 ) I = I 2 l x l 2 x + 3 1 = 2
x l 2 x + 3 1 .
( b ) I 3 - x I = I ( - 1 ) x ( x - 3 ) I = 1 - 1 I x I x - 3 I
= l x I x - 3 I = I x - 3 I .
-
C H A P T E R 2 : T H E M O D U L U S F u N C T I O N
B u t b e w a r e ! S i m i l a r r u l e s d o n ' t h o l d f
o r a d d i t i o n a n d s u b t r a c t i o n . F o r e x a m p l
e , i f a = 2
a n d b = - 3 , l a + b l = l 2 + ( - 3 ) l = l - l l = l , b u
t l a l + l b l = 2 + 3 = 5 . S o , f o r t h e s e
v a l u e s o f a a n d b , I a + b I d o e s n o t e q u a l I
a I + I b I S e e E x e r c i s e 2 A Q u e s t i o n 5 .
2 . 4 M o d u l u s o n t h e n u m b e r l i n e
S o m e r e s u l t s a b o u t m o d u l u s c a n b e i l l u
s t r a t e d b y t h e d i s t a n c e b e t w e e n p o i n t s o
n a
n u m b e r l i n e . L e t A a n d B b e t w o p o i n t s o n
a l i n e w i t h
c o o r d i n a t e s a a n d b ( w h i c h c a n b e p o s i t
i v e , n e g a t i v e o r
z e r o ) r e l a t i v e t o a n o r i g i n 0 , a s i n F i g
. 2 . 7 . T h e n t h e
d i s t a n c e A B i s g i v e n b y b - a i f b ~a, o r b - a~
0 ;
a n d b y a - b , w h i c h i s - ( b - a ) , i f b < a , o r
b - a < O .
Y o u w i l l r e c o g n i s e t h i s a s t h e d e f i n i t
i o n o f I b - a I
0 A
a
F i g . 2 . 7
B
b
A s a s p e c i a l c a s e , i f a p o i n t X h a s c o o r d
i n a t e x , t h e n I x I i s t h e d i s t a n c e o f X f r o m
t h e
o r i g i n . T h i s i s u s e d i n t h e n e x t e x a m p l
e . ,
E x a m p l e 2 . 4 . 1
W h a t c a n y o u d e d u c e a b o u t x i f y o u k n o w t
h a t ( a ) I x I = 3 , ( b ) I x I : ; ; ; ; : 3 ?
( a ) I f I x I = 3 , X i s a p o i n t 3 u n i t s f r o m 0 .
B u t t h e o n l y t w o p o i n t s 3 u n i t s f r o m
0 a r e x = 3 o r x = - 3 , s o i f I x I = 3 , t h e n x = 3 o
r x = - 3 .
T h e c o n v e r s e i s a l s o t r u e : F o r i f x = 3 o r
x = - 3 , t h e n l x l = 3 .
T h e r e f o r e
l x l = 3 i s e q u i v a l e n t t o x = 3 o r x = - 3 .
( b ) I f I x I : ; ; ; ; : 3 , X i s a p o i n t 3 u n i t s o
r l e s s f r o m 0 . S o x i s b e t w e e n - 3 a n d 3
( i n c l u s i v e ) . I t f o l l o w s t h a t i f I x I : ;
; ; ; : 3 , t h e n - 3 : ; ; ; ; : x : ; ; ; ; : 3 .
I f - 3 : ; ; ; ; : x : ; ; ; ; : 3 , t h e n X i s 3 u n i t s
o r l e s s f r o m 0 , s o I x I : ; ; ; ; : 3 .
T h e r e f o r e
I x I : ; ; ; ; : 3 i s e q u i v a l e n t t o - 3 : ; ; ; ; :
x : ; ; ; ; : 3 .
, Y o u c a n p r o v e t h e r e s u l t i n E x a m p l e 2 .
4 . l ( b ) m o r e f o r m a l l y f r o m t h e d e f i n i t i o
n o f I x I
I f I x I : ; ; ; ; : 3 , t h e n e i t h e r x ~ 0 a n d x = I
x I : ; ; ; ; : 3 , s o 0 : ; ; ; ; : x : ; ; ; ; : 3 ; o r x <
0 a n d
x = - I x I~ - 3 , s o - 3 : ; ; ; ; : x < 0 . I n e i t h e
r c a s e , - 3 : ; ; ; ; : x : ; ; ; ; : 3 .
T h e c o n v e r s e k a l s o t r u e . F o r i f y o u k n o
w t h a t - 3 : ; ; ; ; : x : ; ; ; ; : 3 , y o u h a v e - 3 : ; ;
; ; : x a n d
x : ; ; ; ; : 3 . T h i s i s t h e s a m e a s - x : ; ; ; ; :
3 a n d x : ; ; ; ; : 3 . S i n c e I x I i s e q u a l t o e i t h
e r - x o r x , i t
f o l l o w s t h a t I x I : ; ; ; ; : 3 .
2 1
-
(
2 2
P u R E M A T H E M A T I C S 2 & 3
P u t t i n g t h e t w o r e s u l t s t o g e t h e r g i v e
s
I x I : : ; ; ; ; 3 i s e q u i v a l e n t t o - 3 : : ; ; ; ;
x : : ; ; ; ; 3 .
T h e p h r a s e ' i s e q u i v a l e n t t o ' c o n n e c t
i n g t w o s t a t e m e n t s m e a n s t h a t e a c h c a n b
e
d e d u c e d f r o m t h e o t h e r . I n a n y m a t h e m a
t i c a l a r g u m e n t y o u c a n t h e n r e p l a c e t h e f
i r s t
s t a t e m e n t b y t h e s e c o n d , o r t h e s e c o n d
b y t h e f i r s t .
Y o u c a n a l s o s a y t h a t t w o s t a t e m e n t s a r
e e q u i v a l e n t b y s a y i n g t h a t o n e s t a t e m e n
t i s t r u e
' i f a n d o n l y i f ' t h e o t h e r i s t r u e .
Y o u c a n u s e t h e a r g u m e n t i n E x a m p l e 2 . 4
. l ( b ) t o s h o w t h a t
i f a > 0 , t h e n I x I : : ; ; ; ; a i s e q u i v a l e n
t t o - a : : ; ; ; ; x : : ; ; ; ; a .
W h a t h a p p e n s i f a = 0 ? I n t h a t c a s e I x I : :
; ; ; ; a m e a n s t h a t I x I : : ; ; ; ; 0 , s o x = 0 , a n
d
' - a : : ; ; ; ; x : : ; ; ; ; a m e a n s t h a t - 0 : : ; ;
; ; x : : ; ; ; ; 0 , s o x = 0 . C o m b i n i n g t h i s r e s u
l t w i t h t h e p r e v i o u s
o n e g i v e s :
I f a ~ o , t h e n I x I : : ; ; ; ; a . i s e q u i v a l e n
t t o - a : : ; ; ; ; x : : ; ; ; ; a .
T a k i n g t h i s a l i t t l e f u r t h e r , y o u c a n d
e d u c e a u s e f u l g e n e r a l i s a t i o n a b o u t t h e
i n e q u a l i t y
I x - k I : : ; ; ; ; a . L e t y = x - k , s o t h a t I y I :
: ; ; ; ; a . T h e n - a : : ; ; ; ; y : : ; ; ; ; a , s o ~a : :
; ; ; ; x - k : : ; ; ; ; a a n d
k - a : s ; ; x : s ; ; k + a .
W o r k i n g i n r e v e r s e , i f k - a : : ; ; ; ; x : : ;
; ; ; k + a , t h e n - a : : ; ; ; ; x - k : : ; ; ; ; a a n d - a
: : ; ; ; ; y : : ; ; ; ; a , s o
I y I : : ; ; ; ; a , t h a t i s I x - k I : : ; ; ; ; a .
T h i s h a s p r o v e d t h a t :
I f a ~ 0 , t h e n I x - k I : : ; ; ; ; a i s e q u i v a l e
n t t o k - a : : ; ; ; ; x : : ; ; ; ; k + a .
T h i s k i n d o f i n e q u a l i t y i s i n v o l v e d w h
e n y o u g i v e a
n u m b e r c o r r e c t t o a c e r t a i n n u m b e r o f d
e c i m a l p l a c e s .
F o r e x a m p l e , t o s a y t h a t x = 3 . 8 7 ' c o r r e
c t t o 2 d e c i m a l
p l a c e s ' i s i n e f f e c t s a y i n g t h a t I x - 3 .
8 7 I : : ; ; ; ; 0 . 0 0 5 .
T h e s t a t e m e n t I x - 3 . 8 7 I : : ; ; ; ; 0 . 0 0 5 i
s e q u i v a l e n t t o
3 . 8 7 - 0 . 0 0 5 : : ; ; ; ; x : : ; ; ; ; 3 . 8 7 + 0 . 0 0
5 ,
o r 3 . 8 6 5 : : ; ; ; ; x : : ; ; ; ; 3 . 8 7 5 .
T h i s i s i l l u s t r a t e d i n F i g . 2 . 8 .
- 0 . 0 0 5 - - 0 . 0 0 5 -
3 . 8 6 5 x 3 . 8 7 3 . 8 7 5
F i g . 2 . 8
-
C H A P T E R 2 : T H E M O D U L U S F u N C T I O N
2 3
E l i t ~ E x e r c i s e 2 A
~1~t . . . . ~~.,,1~l:-r.~ ~~~~~\~~~~!g_l'~f. '>::J:,~"";'
:~"'~'-;,~"" ~ _ ) , , , . _ . . . ;
1 S k e t c h t h e f o l l o w i n g g r a p h s .
~Ca) y = I x + 3 I
( b ) y = I 3 x - 1 I ( c ) y = l x - 5 1
( d ) y = I 3 - 2 x I
( e ) y = 2 l x + l l ( f ) y = 3 l x - 2 1
, _ , ( g ) y = - 2 1 2 x - l l ( h ) y = 3 l 2 - 3 x l
( i ) y = I x + 4 l + l 3 - x I
U ) y = l 6 - x l + J l + x l
( k ) y = I x - 2 1 + I 2 x - 1 I v - - ( 1 ) y = 2 1 x - l I -
I 2 x + 3 I
2 S k e t c h e a c h o f t h e f o l l o w i n g s e t s o f g
r a p h s .
_ _ _ , { a ) y = x
2
- 2 a n d y = l x
2
- 2 I - ( b ) y = s i n x a n d y = l s i n x l
( c ) y = ( x - l ) ( x - 2 ) ( x - 3 ) a n d y =
![Pure Mathematics -1 [Advance Level Maths]](https://img.dokumen.tips/doc/110x75/55cf9363550346f57b9d6843/pure-mathematics-1-advance-level-maths.jpg)
