Upload
klukpatryk
View
240
Download
4
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Witkowski
Citation preview
Zastosowanie szybkiej transfomaty Fouriera (FFT)
Analiza Fouriera jest czsto stosowanym narzdziem w analizie sygnaw. Przebieg czasowy przechowywany w zbiorze jest przeksztacany za pomoc FFTw funkcj czstotliwooci. Jest to tzw. analiza spektralna. W zalenoci od zastosowanej procedury otrzymujemy widmo amplitudowe lub gsto widmow mocy. Wspczesne komputery dokonuj FFT rzeczywicie szybko, nawet z duej iloci prbek.
Przebieg czasowy otrzymany z przetwornika analogowo-cyfrowego jest zbiorem liczb, ktre po wymnoeniu przez wspczynniki kalibracji daj sygna w jednostkach fizycznych. Rysunek 1 przedstawia sum dwch sinusoid o rnych czstotliwociach. Poniej przedstawiono transformaty Fouriera tego sygnau. Na osi odcitych zaznaczono czstotliwo. Najwysza warto wynosi 200 Hz . Co wynika z zastosowanej czstotliwoci prbkowania rwnej 400 Hz.
Analiza Fouriera wybranych przebiegw czasowych
Szum losowy
Impuls Dirac'a
Skok jednostkowy
poznania natury sygnau.
Analiza Fourierowska
Aby przedstawi zarys teorii falek, naley powiedzie par sw o
analizie Fouriera.
Do roku 1930 do analizy czstotliwoci stosowane byy wzory Fouriera.
Wykaza on, e kada funkcja o okresie
moe by przedstawiona jako szereg
Wspczynniki
,
,
, wyznaczane s w nastpujcy sposb:
Fourierowska reprezentacja funkcji jako zoenia sinusw i kosinusw znalaza szerokie zastosowanie
(1)
(2)
(3)
(4)
Transformata Fouriera FT
Jest ona przydatna do analizowania czstotliwoci sygnau w pewnym
przedziale czasu. Transformata polega na zmianie funkcji z zalenoci
od czasu na funkcji zalec od czstotliwoci. Wtedy sygna moe by
analizowany ze wzgldu na swoj czstotliwo poniewa wtedy wspczynniki
Fouriera reprezentuj wkad kadej funkcji sinus i kosinus do
poszczeglnych czstotliwoci. Nastpnie stosuje si transformat
odwrotna aby z powrotem przeksztaci funkcje do pierwotnej
postaci.
Bardzo podobna jest dyskretna transformata Fouriera (Discrete
Fourier Transforms "DFT"). Szacuje transformat Fouriera na
podstawie skoczonej iloci punktw, ktre odwzorowuj zachowanie si
caej funkcji.
Windowed Fourier Transforms (WFT)
Jeeli funkcja
nie jest periodyczna, zoenie funkcji periodycznych nie odwzoruje
jej dokadnie. Moemy jednak tak rozoy sygna, aby jego poszczeglne
czci byy funkcjami okresowymi. WFT daje informacje jednoczenie o
dziedzinie czasu i czstotliwoci.
Algorytm WFT wejciowy sygna
dzieli na przedziay, a kady z nich jest oddzielnie analizowany ze wzgldu na czstotliwo. Jeeli sygna posiada ostre przejcia, to tak dobieramy podzia, aby w miejscu tego przejcia znalaz si koniec przedziau. Procedura koczy w ten sposb, e w sposb bardziej znaczcy jest analizowany rodek przedziau nie punkty znajdujce si w okolicy koca przedziau (traktowanie punktw z pewn wag). Ostatecznie otrzymujemy lokalizacj czasow sygnau.
Szybka transformata Fouriera (Fast Fourier Transforms FFT)
Wiadomo, e aproksymacja funkcji seriami punktw wymaga zastosowania w obliczeniach macierzy rzdu
, gdzie
jest iloci uytych punktw. Mnoenie macierzy
wymaga wykonania
operacji, co przy zwikszajcej si iloci punktw staje si kopotliwe. Jednake jeeli punkty rozoone s w pewien jednolity sposb, wtedy macierz taka moe zosta podzielona na kilka macierzy rzadkich, a ilo wykonywanych operacji arytmetycznych wynosi wtedy
. Zastosowanie takiego podziau znacznie przypiesza obliczenia, std te nazwa FFT.
Analiza Wavelet
W przeciwiestwie do analizy fourierowskiej, analiza falek nie
wyraa badanych funkcji poprzez wielomiany, ale poprzez pewne
specjalne funkcje - falki, ktre s tworzone ze staej funkcji zwanej
falk macierzyst, poddanej wielokrotnym translacjom. Uzyskane w ten
sposb falki maj szereg interesujcych skalowalnych waciwoci. Mona je
odnosi zarwno do czasu jak i do czstotliwoci, dopuszczajc blisze
zwizki pomidzy badan funkcj (funkcj reprezentowan), a jej
wspczynnikami. W ten sposb uzyskano wiksz numeryczna stabilno w
procesie odtwarzania funkcji.
W praktyce celem analizy falek jest znalezienie funkcji
macierzystych i sposobw ich uzyskania za pomoc metod numerycznych.
Pokazano, e kade zadanie posugujce si szybk transformat Fouriera
moe zosta sformuowane za pomoc falek, dajc przy tym wicej
informacji przestrzennej (o miejscu pooenia) jak i
czstotliwociowej. W ten sposb zamiast tworzy spektrum (natenie /
czstotliwo) mona otrzyma spektrum falkowe (frequency spectrum
versus wavelet spectrum). Analiza falek jest bardzo poytecznym
narzdziem w analizie zmiennych przebiegw (nonstationary signals),
sygnaw mocno zaszumionych (odtwarzanie oryginalnego sygnau,
usuwanie zanieczyszcze).
Falki s funkcjami, ktre zadowalaj z pewnoci matematyczne potrzeby i
s uywane do reprezentowania innych funkcji lub danych. Sama idea
aproksymacji nie jest przecie nowa. Na pocztku XIX w. Joseph
Fourier odkry, e za pomoc superpozycji sinusw i kosinusw moe
przedstawia inne funkcje. Jednak w analizie wavelet skala ktrej
uywamy przygldajc si danym (skalowanie funkcji i analiza z
odpowiednim dopasowaniem) gra gwn rol. Obrabiajc odpowiednie czci
danych z przypisan im rozdzielczoci czy skal moemy zauway due
szczegy (waciwoci) uywajc duej skali lub mae przy odpowiednio maej
skali.
Analiza wavelet polega na znalezieniu prototypu funkcji zwanej falk
macierzyst (mother wavelet). Chwilowa analiza wykonywana jest ze z
gry ustalon wysok czstotliwo wanie na tej funkcji prototypowej, gdy
rwnoczenie na tej samej funkcji odpowiednio przeskalowanej
wykonywana jest obrbka niskoczstotliwociowa. Jako, e funkcja lub
sygna oryginalny moe by przedstawiony jako kombinacja liniowa
wspczynnikw funkcji wavelet to w czasie wykonywania dziaa mog zosta
wykorzystane jedynie te wspczynniki. Jeeli pniej dokona si wyboru
najlepiej pasujcej funkcji do danych lub okroi si dane poniej
zadanego progu okazuje si, e reprezentacja macierzowa tego problemu
jest macierz rzadk. Ta wasno powoduje, e jest to wietne narzdzie
jeeli chodzi o kompresj danych.
Zastosowania analizy wavelet
Kompresja obrazw
Metoda analizy faletkowej w celu zmniejszenia objtoci przechowywania danych
daje bardzo dobre wyniki i dlatego jest stosowana tam, gdzie istnieje potrzeba du
ej
skali kompresji i dobrej jakoci rozpakowanych obrazw.
Niech jako przykad posuy tu FBI. Biuro to przechowuje w swoich archiwach okoo
30 milionw rnych odciskw palcw (a to przecie nie jedyne dane jakie
posiadaj!). Zakadajc, e chcc przech
owywa odciski palcw w komputerowej
bazie danych, kady po okoo 0.6 Mb (256 odcieni szaroci w rozdzielczoci 500 dpi)
to zajyby one 200 TB (!) rednio wic liczc koszt takiej przestrzeni dyskowej
wynosiby ok. 200 milionw dolarw. Po takim przedstaw
ieniu sprawy kompresja
faletkowa okazuje si zbawienna ze swoj moliwoci kompresji (w niektrych
przypadkach) 300:1. Wszystkie wic koszty i pojemnoci dyskw ulegaj znacznej
redukcji. W 1993 roku specjalny badawczy oddzia FBI rozwin i wprowadzi me
tod
kompresji graficznej z przeznaczeniem dla organw cigania.
Znacznie bardziej skomplikowane obrazy, a co za tym idzie i wiksze pod
wzgldem zajmowanej przestrzeni dyskowej take mog by zmniejszane za pomoc
waveletw. Wiele dziedzin ycia korzy
sta z tej zalety
-
medycyna, fizyka, geologia itd.
W wyniku kompresji drugiego czy czwartego stopnia otrzymujemy obrazy bardzo
dobrze oddajce prawdziwy obraz. Kolejne stopnie wprowadzaj ju pewne
zanieczyszczenia widoczne jako rozmycia.
Odszumianie sygn
aw
Jednym z wielu problemw jakimi zajmuj si naukowcy jest uzyskanie dobrej jakoci sygnau (wiarygodnego) na
podstawie sygnau niekompletnego, zaszumionego lub "uszkodzonego" w jakikolwiek inny sposb. I w tej dziedzinie
wavelety okazay si pomo
cne. Kilkuletnie wysiki Davida Donoho zostay zakoczone znalezieniem metody wavelet
shrinkage and tresholding.
Technika ta dziaa w nastpujcy sposb. Po rozoeniu funkcji za pomoc faletek, uywa si specjalnego filtru
"uredniajcego" i filtru tworz
cego szczegy. Niektre wspczynniki funkcji wavelet odpowiadaj elementom w danych
tworzcych sygna. Jeeli s one dostatecznie mae mog zosta pominite bez wikszych przeszkd i nie ma to
wpywu na oglne waciwoci badanego sygnau. Metoda progowa
polega na przyrwnaniu do zera wszystkich
wspczynnikw, ktre nie speniaj przyjtego warunku progowego. W wyniku dziaania algorytmu otrzymuje si sygna
oczyszczony z szumw przy jednoczesnym zachowaniu wszystkich charakterystycznych szczegw sygna
u (wysokie
lub blisko pooone piki).
(6)
gdzie:
jest funkcj skalujc dla funkcji podstawowej
-
wspczynniki falkowe (wavelet coefficie
nts)
Te wspczynniki musz spenia jednoczenie warunek
(7)
oraz
(8)
gdzie
jest funkcj delta a
indeksem lokalizacji funkcji.
Funkcje Bazowe
Funkcje bazowe (basis function) atwiej wytumaczy jest w przestrzeni wektorowej.
Kady wektor na paszczynie mona wyrazi przez kombinacj wektorw
el
ementarnych
i
-
s to wanie wektory bazowe, dlatego, e kady inny
wektor
mona przedstawi jako kombinacj liniow wektorw
i
oraz
i
. Dodatkow wasnoci wektorw bazowych jest to, e s one
ortogonalne.
Wracajc do przestrzeni funkcyjnych (zamiast wektora
mamy funkcj
)
wyobramy s
obie przykadowy ton muzyczny np. A w pewnej oktawie. Moemy ton A
skonstruowa skadajc ze sob sinusy i kosinusy uywajc rnych amplitud i
czstotliwoci, ktre w tym przypadku s bazowymi funkcjami, a jednoczenie s elementami
szeregu Fouriera. Dla
wybranych funkcji trygonometrycznych moemy dodatkowo postawi
warunek ortogonalnoci
-
jak?
-
wybierajc odpowiednie kombinacje tych funkcji, tak aby ich
iloczyn skalarny by rwny 0. Taki zestaw funkcji, ktre s i ortogonalne i skadaj si na
funkcj
s wanie ortogonalnymi funkcjami bazowymi w tym problemie.
Natomiast scale
-
varying basis function (funkcje bazowe rnej skali) s funkcjami
powstajcymi z analizy tego samego s
ygnau lecz w rnej skali. Na przykad pewien
odcinek
mona podzieli na dwa
i
lub podobnie na cztery czy wicej
czci. Nastpnie kady odcinek analizuje si z odpowiednio dobran skal. W ten sposb
dostaje si dokadniejsze informacje o caym sygnale.
Dyskretna
transformata wavelet (DWT Discrete Wavelet Transform)
Przeksztacenia funkcji
-
Mother Wavelet (skalowania i translacje) prowadz
do zdefiniowania bazy ortogonalnej
(5)
Zmienne
i
s liczbami cakowitymi ktre skaluj i rozszerzaj proporcjonalnie funkcj wyjciow
w ten
sposb, aby doprowadzi do wygenerowania falek. Indeks skalujcy
sygnalizuje szeroko falki, natomiast
wspczynnik
podaje jego pozycj. Zwrci naley uwag na to, e mothe
r functions s skalowane w drugiej potdze
i przesuwane o liczby rzeczywiste. Powoduje to, e podstawowe funkcje wavelet s interesujce ze wzgldu na swoje
samopodobiestwo tzn. jeeli wiemy co o funkcjach mother wiemy wszystko o funkcjach bazowych.
Aby
rozwin nasz dziedzin danych na inn przestrze uywa si rwnania skalujcego
Szybka transformata wavelet (The Fast Wavelet Tran
sform)
Macierz DWT nie jest w oglnoci macierz rzadk, wic w celu uzyskania tej waciwoci (tak jak poprzednio w
analizie fourierowskiej) tak jak uprzednio dzielimy macierz FFT, tak teraz dzielimy macierz DWT w celu uzyskania kilku
macierzy rzadkic
h, wykorzystujc do tego celu wasnoci samopodobiestwa. W wyniku otrzymujemy algorytm, ktry
wymaga wykonania jedynie
operacji do przeksztacenia
wymiarowego wektora. Taki algorytm nazywa si
szybkim DWT Mallata i Daubechies.
Pakiety Falkowe
Transformata wavelet jest tylko skadnikiem o wiele bardziej wszechstronnych pakietw waveletowych.
Wavelet packets to szczeglna kombinacja falek. Tworz one baz, ktra zachowuje wiele z ortogonalnoci, gadkoci i
waciwoci lokalizacji bazowej funkcji falkowej. Wspczynniki w liniowej kombinacji s wyliczane przez powtarzajcy
si algorytm, ktry
kady wyliczony wspczynnik pakietu falkowego zapamituje jako jedn z gazi swojego drzewa
analitycznego.
Baza Form Adaptacyjnych
Jako, e mamy do wyboru nieskoczon liczb funkcji bazowych, istnieje potrzeba znalezienia takiej funkcji, ktra
bd
zie najlepszym rozwizaniem w danym problemie. Do tego celu stosuje si baz form adaptacyjnych. Bazow
funkcj adaptacyjn waveform jest najlepsza funkcja bazowa dla danej reprezentacji sygnau. Istniej pewne
waciwoci okrelajce wybr tej funkcji:
1
. Szybkie obliczanie wewntrznych iloczynw z innymi funkcjami. bazowymi
2. Szybkie skadanie (superpozycja) z innymi funkcjami bazowymi.
3. Dobra lokalizacja przestrzenna sygnau, tzn. taka, ktra umoliwia zlokalizowanie badajcemu sygna kolejnych
prz
yczynkw majcych wpyw na cay sygna.
4. Dobra lokalizacja w dziedzinie czstotliwoci, tzn. taka, e badajcy ma moliwo identyfikacji poszczeglnych
oscylacji sygnau.
5. Niezaleno, co oznacza, e niewiele punktw prbkowych (bazowych) odpowiada
temu samemu fragmentowi
badanego sygnau.
Transformacja Fouriera
umoliwia nam przedstawienie
sygnau zmiennego w czasie w skali czstotliwoci.
Kady sygna analogowy mona przedstawi w postaci
skadowych sinusoidalnych o odpowiedniej amplitudzie,
fazie i czstotliwoci. Potrafimy to robi dziki
transformacji Fourie
ra. Wynikiem transformacji jest
transformata. Oczywicie w naszych przykadach
bdziemy mieli do czynienia ze skoczon liczb
skadowych czstotliwoci mierzon w rwnych
odstpach na osi czstotliwoci
-
tak operacj na
sygnale nazywamy dyskretn transf
ormat Fouriera
zwan DFT
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-2
-1
0
1
2
sygnal x(n)
0
2
4
6
8
10
12
14
0
0.5
1
czestotliwosc w Hz
unormowane widmo amplitudowe sygnalu x(n)
Rysunek przedstawia ten sam sygna w skali czasu (1
sekunda) i czstotliwoci. S to dwie sinusoidy o
czstotliwoci 2 i 4 Hz. Jako wynik uywamy tylko
pierwsz poow osi czstotliwoci 0
-
7 Hz. Wykres
jest symetryczny w 7 Hz (p
oowa czstotliwoci
prbkowania).
Jak wykona transformacj Fouriera?
Musimy okreli pewne zaoenia:
-
pasmo
-
zakres czstotliwoci
-
jest ono w
specjalny sposb ograniczone i dokonujc
transformacji musimy zna maksymaln skadow
czstotliwo w
sygnale wejciowym.
-
dugo transformaty (ilo skadowych
sinusoidalnych jak zamierzamy wydoby ze sygnau)
-
szybko prbkowania (w prbkach na sekund)
1. Musimy dokona prbkowania sygnau.
2. Nastpnie dla kadej skadowej generujemy sygna
cosin
usoidalny i sinusoidalny
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-2
0
2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-1
0
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-1
0
1
Skladowa urojona widma dla m=2
Ja
kie wystpuj ograniczenia?
Prbkowanie sygnau musimy wykona z odpowiedni
czstotliwoci, co najmniej dwa razy wiksz od
najwikszej skadowej. Jest to tzw. kryterium
Nyguista. Nieprzestrzeganie tego kryterium spowoduje
powstanie aliasingu. Jest to w
arunek konieczny
prawidowego funkcjonowania kadego przetwarzania
sygnau analogowego na cyfrowy. Dobrym przykadem
jest pyta CD na ktrej dwik prbkowany jest z
czstotliwoci 44,1 kHz, tak aby poprawnie mc
odtworzy sygna do 20 kHz. Przykad wyst
pienia
aliasingu w znanym nam sygnale:
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-2
0
2
sygnal x(n)
0
2
4
6
8
0
0.5
1
czestotliwosc w Hz
unormowane widmo amplitudowe sygnalu x(n)
Rysunek przedstawia wynik DFT sygnau 2 i 4 Hz dla
czstotliwoci prbkowania 8 Hz. Jeeli sygna, ktry
zamierzamy transformowa, zawiera wysze skadowe
sinusoidalne to musimy zastosowa filtry
antyaliasingowe.
S to ukady montowane np. w
telefonach cyfrowych. Dwiki przekazywane przez
telefon musz mieci si w pamie do 4 kHz i prba
wysania do naszego rozmwcy wyszych czstotliwoci
moe zakci przekaz.
Drugim istotnym parametrem transformacji jest il
o
skadowych sinusoidalnych, ktr chcemy policzy. Ta
ilo ma zasadniczy wpyw na zjawisko zwane
przeciekiem.
Sprbujmy wykona DFT dla maej iloci skadowych.
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-2
0
2
sygnal x(n)
0
5
10
15
0
0.5
1
czestotliwosc w Hz
unormowane widmo amplitudowe sygnalu x(n)
Wida e skadowe nie byy liczone dla czstotliwoci
2 i 4 Hz dlatego nie mogy si on
e znale na skali
czstotliwoci. Powoduje to e zostaj one
przeniesione do ssiednich wyliczanych skadowych.
Zjawisko to nazywamy przeciekiem.
Przeciek moemy zminimalizowa stosujc rne metody
np. zwikszajc ilo liczonych skadowych, dobieramy
zn
ane wystpujce w sygnale skadowe (np. warto
nuty w przypadku muzyki), czy stosujc tzw. okna.
Transformacja jest operacj czasochonn i
wykonywanie jej na przykad w czasie rzeczywistym dla
zoonych sygnaw (dwik Hi
-
Fi, obraz) wymaga duej
mocy o
bliczeniowej. Jest to zwizane z funkcj, ktra
wymaga wykonania duej iloci mnoe zespolonych.
Dokadnie ilo tych mnoe (dla DFT) wynosi N
2
, gdzie
N to liczba skadowych sinusoidalnych.
Istnieje jednak metoda pozwalajca zmniejszy liczb
mnoe w fu
nkcji. Metod t nazywamy szybk
transformacj Fouriera (FFT). Redukuje ona liczb
mnoe do NlogN. Jedynym ograniczeniem jest to e N
musi by naturaln potg liczby 2 (2, 4, 8, 16, 32,
64, 128, ...).
Wnioski:
Odkrycie Fouriera miao ogromne znaczenie d
la
dzisiejszej komunikacji i informatyki. Rozwj
technologii pozwalajcej na zamian sygnaw z osi
czasu na o czstotliwoci umoliwi powstanie
zaawansowanych ukadw przesyania i magazynowania
danych: kompresji, kodowania, korekty. Wpyno to
znaczc
o na rozwj dzisiejszej komunikacji cyfrowej i
miao decydujcy wpyw przy projektowaniu urzdze i
oprogramowania do: CD Audio, GSM, JPG, MP3, DVD.
Przesyanie i gromadzenie danych w obecnych czasach
byoby
-
bez tej metody
-
bardzo utrudnione czy wrcz
n
iewykonalne. Moliwo analizowania widma niektrych
sygnaw pozwala nam rwnie zrozumie ich fizyk i
zachowanie. Ma to niebagatelny wpyw w rnych
dziedzinach techniki wojskowej czy medycznej.
Transformacja Fouriera daje nam takie moliwoci jak
pryzm
at dla analizy widma wiata.
Przeksztalcenie
Z
Przeksztalcenie
Z
jest, w dziedzinie czasu dyskretnego, odpowiednikiem ciaglego przeksztacenia Laplacea.
Podczas, gdy przeksztalcenie Laplacea jast stosowane dla uproszczenia analizy ciaglych rwna
roz
niczkowych, przeksztalcenie
Z
ulatwia analiz dyskretnych rwna roznicowych. Przeksztalcenie
Z
dyskretnego cigu h(n) jest zdefiniowane jako:
-
=
-
=
n
n
z
n
h
z
H
)
(
)
(
gdzie z jest zmienna zespolona.
Transformata Fouriera
Transformata Fouriera jest oper
acja zamiany postaci czasowej sygnalu na postac
czastotliwosciowa. Jest to bardzo wazne narzedzie wykorzystywane przy analizie sygnalu. W
systemach z czasem dyskretnym wykorzystuje si
dyskretne przeksztalcenie Fouriera
(ang.
discrete Fourier transformatio
n
-
DFT
), ktre jest odpowiednikiem transformaty Fouriera dla
systemow ciaglych w czasie. Obliczanie prbek DFT odbywa si wedug nastepujacej
zaleznosci:
-
=
=
1
0
)
(
)
(
N
n
kn
N
W
n
x
k
X
przy czym k=0,1,2,...,N
-
1 oraz
N
j
N
e
W
P
-
=
2
.
Analogicznie do DF
T mozn zdefiniowac
odwrotne przeksztalcenie Fouriera
(ang. inverse
discrete Fourier transformation
-
IDFT
)
-
=
-
=
1
0
)
(
1
)
(
N
k
nk
N
W
k
X
N
n
x
przy czym n=0,1,...,N
-
1.
Dyskretne przeksztalcenie Fouriera jest przeksztalceniem
Z
obliczanym dla N punktw
oddalonych od
siebie o ten sam kat na okregu jednostkowym
paszczyzny
z
.
Na podstawie
2
2
/
2
2
2
2
N
N
j
N
j
N
W
e
e
W
=
=
=
P
-
P
-
poprzednie rwnanie mona zapisac w postaci:
-
=
-
=
+
+
=
1
2
0
2
1
2
0
2
)
1
2
(
)
2
(
)
(
N
r
kr
N
k
N
N
r
kr
N
W
r
x
W
W
r
x
k
X
A zatem
)
(
)
(
)
(
k
H
W
k
G
k
X
k
N
+
=
przy czym
2
)
(
N
k
G
-
-
punktowe przeksztalcenie DFT parzystych punktw cigu x(n),
2
)
(
N
k
H
-
-
punktowe przeksztalcenie DFT nieparzystych punktw cigu x(n),
N
j
N
e
W
P
-
=
2
.
FFT z po
dzialem czestotliwosciowym
W algorytmie FFT mona rwnie rozwazac podzia cigu wyjciowego X(k). Zapiszmy
rwnanie
-
=
=
1
0
)
(
)
(
N
n
kn
N
W
n
x
k
X
w postaci:
kn
N
N
n
k
N
N
N
n
kn
N
N
n
k
N
N
n
N
n
kn
N
N
N
n
kn
N
N
n
kn
N
W
N
n
x
W
W
n
x
W
N
n
x
W
n
x
W
n
x
W
n
x
k
X
)
2
(
)
(
)
2
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
2
0
2
1
2
0
)
2
(
1
0
1
2
0
1
2
1
2
0
-
=
-
=
+
-
=
-
=
-
=
-
=
+
+
=
+
+
=
+
=
Szybkie przeksztalcenie Fouriera (FFT)
Szybkie przeksztalcenie Fouriera (ang. Fast Fourier Transform) zostao przedstawione w
1965r jako bardzo wydajny algorytm implementujacy DFT. Obliczanie FFT jest o wiele
szybsze ni obliczanie klasyczn
ego DFT.
FFT z podzialem czasowym
Glowna idea na ktrej opiera si algorytm FFT, jest dekompozycja N
-
puktowego DFT na dwa
niezalene N/2
-
punktowe preksztalcenia DFT. Pierwsze z nich zawiera jedynie prbki
parzyste sygnalu wejsciowego, drugie natomiast
-
prbki nieparzyste:
+
=
e
nieparzyst
n
kn
N
parzyste
n
kn
N
W
n
x
W
n
x
k
X
_
_
)
(
)
(
)
(
Po podstawieniu n=2r dla n parzystych i n=2r+1 dla n nieparzystych otrzymujemy:
kr
N
r
N
k
N
kr
N
r
N
N
r
r
k
N
N
r
r
k
N
W
r
x
W
W
r
x
W
r
x
W
r
x
k
X
)
)(
1
2
(
)
)(
2
(
)
1
2
(
)
2
(
)
(
1
2
0
2
1
2
0
2
1
2
0
)
1
2
(
1
2
0
2
-
=
-
=
-
=
+
=
+
+
=
+
+
=
Otrzymano niestety dwa wyraenia, ktre nie sa
2
N
-
punktowym
i transformatami Fouriera,
poniewa wystpuj czynniki
kn
N
W
, a nie
kn
N
W
2
. Wiedzac jednak, ze
k
k
N
N
W
)
1
(
2
-
=
, moemy
poprzednie rwnanie zapisac w postaci:
kn
N
N
n
k
W
N
n
x
n
x
k
X
)]
2
(
)
1
(
)
(
[
)
(
1
2
0
-
=
+
-
+
=
Dla parzystych wskaznikow k=2
r otrzymujemy:
rn
N
N
n
W
N
n
x
n
x
r
X
2
1
2
0
)]
2
(
)
(
[
)
2
(
-
=
+
+
=
natomiast dla nieparzystych wskaznikow k=2r+1:
rn
N
n
N
N
n
W
W
N
n
x
n
x
r
X
2
1
2
0
)]
2
(
)
(
[
)
1
2
(
-
=
+
-
=
+
.
Pamietajac, ze
rn
N
rn
N
W
W
2
2
=
, rwnania przedostatnie i ostatnie mona odpowiednio
przedstawic w postaci:
kn
N
N
n
W
N
n
x
n
x
k
X
)]
2
(
)
(
[
)
(
1
2
0
-
=
+
+
=
dla k parzystego
kn
N
n
N
N
n
W
W
N
n
x
n
x
k
X
)]
2
(
)
(
[
)
(
1
2
0
-
=
+
-
=
dla k nieparzystego.
Zatem obliczanie FFT z podzialem czestotliwosci polega na wyznaczeniu cigu
)
2
(
)
(
N
n
x
n
x
+
+
oraz cigu
)
2
(
)
(
N
n
x
n
x
-
+
przemnozonego przez wspolczynnik
k
N
W
,
a
nastpnie obliczeniu N/2
-
punktowych transformat obu ciagow