Przepływ płynów i gazów - fuw.edu.pl wysmolek/Mechanika/  · Przyspieszenie elementu cieczy Równanie…

Embed Size (px)

Text of Przepływ płynów i gazów - fuw.edu.pl wysmolek/Mechanika/  · Przyspieszenie elementu cieczy...

Przepyw pynw i gazw

Opis przepywu cieczyIdealizacja cieczy rzeczywistej

nieciliwa

nie posiada lepkoci

Gazy gdy przepywaj powoli mona

nie bra pod uwag ich ciliwoci i

traktowa je jak nieciliwe ciecze.

Euler: znajomo prdkoci przepywu w kadym punkcie cieczy o wsprzdnych x, y, z

),,,(1

tzyxfx

= ),,,(2 tzyxfy = ),,,(3 tzyxfz =

Lagrange: znajomo losw okrelonej czstki cieczy

dt

dxx

=

dt

dyy

=

dt

dzz

=

rwnanie toru

dttzyxfdtdxx

),,,(1

==

dttzyxfdtdy y ),,,(2==

dttzyxfdtdzz

),,,(3

==

Linia prdu: krzywa w kadym punkcie styczna do

prdkoci cieczy przepywajcej przez ten punkt.

Przepyw stacjonarny ukad linii prdu nie zaley do czasu, a wiec

charakteryzuje rwnoczenie tory przebiegane przez poszczeglne czstki...

Wizka przylegajcych do siebie linii prdu tworzy rurk prdu

1

2

2S

1S

W przepywie stacjonarnym masa cieczy zawarta w pewnej objtoci jest staa, tzn. przez kady przekrj poprzeczny rurki prdu w jednostce czasu

przepywa taka sama masa cieczy:

constSm == gdzie S powierzchnia przekroju

poprzecznego rurki (w dowolnym miejscu),

- rednia szybko przepywu cieczy dla tego przekroju,

- gsto cieczy

Dla nieciliwej cieczy idealnej:

constS =Szybko stacjonarnego przepywu jest wiksza,

tam gdzie rurki skupiaj si za mniejsza, gdy si

rozszerzaj

Jeli podzieli cay przepyw cieczy na rurki o jednakowej

(np. jednostkowej) wartoci S.

Szybko przepywu (objto na jednostk czasu) proporcjonalna

do liczby rurek, przecinajcych jednostk powierzchni przekroju

prostopadego do przepywu.

x

y

z

x

z

y

Elementarny prostopadocian o krawdziach zyx , ,

W kierunku osi x przez tyln ciank prostopadocianu

przepywa w czasie t objto:

tzyxVx

= )(

Przez ciank przedni prostopadocianu

wypywa w czasie t objto:

tzyxx

xxV xx

+=+ )()(

Wypadkowy wypyw wzdu x:

tzyxx

V xx

=

Analogicznie wzdu kierunkw y i z dostaniemy:

tzyxy

Vy

y

=

tzyx

zV z

z

=

Dla cieczy nieciliwej objto cieczy wpywajcej do prostopadocianu,

musi by rwna objtoci cieczy wypywajcej z niego, zatem:

0=++zyx

VVV

0==

+

+

r

zyx

zyx

0)()()()( ==

+

+

r

zyxzyx

Analogicznie dla cieczy ciliwej byoby:

Hydrodynamicznerwnanie cigoci

Przyspieszenie elementu cieczyRwnanie Newtona dla elementu o jednostkowej objtoci mona

zapisa w postaci:

farr

=a przyspieszenie elementu cieczy

f - sia na jednostk objtoci

- gstoJakie siy mog dziaa na element cieczy?

pochodzce od cinienia, a waciwie zmiany cinienia na przestrzeni

elementu cieczy

xx

pp

+p

x

Biorc pod uwag trzy kierunki

gsto siy wyniesie:

zyxx

pF

x

=

zyxpxxpFx

+= )]()([

x

pf

V

F

zyx

Fx

xx

==

=

Wypadkowa sia wzdu x:

Sia wzdu x na jednostk

objtoci (gsto siy):

pz

p

y

p

x

pf =

=

rr,,

zewntrzne siy zachowawcze dziaajce na odlego

(sia grawitacji, sia Coulomba) - mona je opisa za pomoc

potencjau (x,y,z) na jednostk masy:

=

=

rr,

),,(,

),,(,

),,(

z

zyx

y

zyx

x

zyxf

zp

zewntrzne siy niezachowawcze

wewntrzne siy niezachowawcze np. sia lepkoci

(prowadzi do wystpowania napre cinajcych w

przepywajcej cieczy)

lepfr

Sumujc przyczynki od rnych czynnikw dostajemy:

lepfpa +=

Zajmijmy si teraz przyblieniem nielepkiej cieczy (sucha woda)

= pa

Sprbujmy znale przyspieszenie a elementu cieczy. Z pozoru jest to atwe

A Bt

r

),,,( tzyxr

rr+

tor czstki

t

r

- szybko z jak prdko zmienia si

w pewnym ustalonym punkcie przestrzeni (x,y,z)

),,,( tzyxr

Jak zmienia si prdko wybranej czstki cieczy?

Jeli element cieczy, w czasie t przesunie si od punktu A do punktu B,czyli przesunie si o xt w kierunku x, yt w kierunku y i zt w kierunku z.

Prdko czstki chwili t w punkcie (x,y,z) ),,,( tzyxr

Prdko czstki w chwili t+t ),,,( tttztytx zyx ++++ r

Z dokadnoci do

wyrazw

pierwszego rzdu: tt

tz

ty

tx

tzyx

tttztytx

zyx

zyx

+

+

+

+=

=++++

rrrr

r

r

),,,(

),,,(

Std zmiana prdkoci czstki przy przejciu z punktu A do B:

tzyxtzyx

+

+

+

=

rrrrr

Mona to zapisa w postaci:

tt

+=

r

rrr

)(

Zatem rwnanie ruchu czstki cieczy (przy pominiciu lepkoci) ma posta:

=+

p

t

rrr

)(

Jeli skorzystamy z

tosamoci wektorowej:2

2

1)()( +=

rrrr rr

=rotacja

wektora r

=++

p

t

2

2

1)(

rrr

++=+

p

t

2

2

1)(

rrr

Dla przepywu stacjonarnego (ustalonego) w kadym punkcie cieczy prdko si nie zmienia (w kadym punkcie ciecz zostaje zastpowana now ciecz, linie prdu s ustalone w czasie). Czyli:

0=

t

r

++=

p2

2

1)(

rrZatem rwnanie ruchuprzyjmie posta:

Pomnmy je skalarnie

(z lewej strony) przez wektor r

Poniewa wektor rr

)( jest prostopady do wektora r

to lewa strona rwnania (**) przyjmuje warto zero co oznacza, e dla

przepywu stacjonarnego

02

1 2 =

++

pr

Czyli dla maego przesunicia w kierunku ruchu cieczywielko w nawiasie nie ulega zmianie

(**)

++=+

p

t

2

2

1rrr

lub

Ale w przepywie stacjonarnym (ustalonym), wszystkie przesunicia zachodz

wzdu linii prdu! Zatem wzdu linii prdu zachodzi zwizek:

constp

=++

22

1Twierdzenie Bernoulliego

Jeli ruch jest bezwirowy,

to ju wczeniej

moglibymy napisa:

0)( == rrr

02

1 2 =

++

p

constp

=++

22

1zachodzi w caej cieczy!

Rwnanie Bernoulliego mona te wyprowadzi inaczej korzystajc z zasady

zachowania energii

Twierdzenie Bernoulliego przejaw zasady zachowania energii

1

2S

1S

m

mt1

t2

2

Rurka prdu

tStSm ==222111

Tyle ile cieczy ile wpyno

na jednym kocu

rurki musi wypyn

na drugim:

222111 SS =

Rozwamy przepyw

w rurce prdu

Masa cieczy przepywajca przez przekrj S1 w czasie t1p

2p

Praca wykonana przez cinienie

w cieczy (sia razy przesunicie):tSptSpW =

222111

Zmiana energii masy m przy przejciu z od powierzchni S1do powierzchni S2

)(12222111

EEmtSptSp =

gdzie, E1, E2 energia przypadajca na

jednostk masy, odpowiednio

na powierzchni S1 oraz S2.

Cakowit energi na jednostk masy cieczy mona przestawi w postaci sumy

energii kinetycznej, potencjalnej i pewnej energii wewntrznej cieczy U:

UE ++= 22

1

(*)

Korzystajc z tego zwizku wyraenie (*) mona zapasa w postaci

11

2

122

2

2222111

2

1

2

1UU

m

tSptSp++++=

ale tStSm ==222111

wic:

22

2

2

2

211

2

1

1

1

2

1

2

1U

pU

p+++=+++

constp

=++

2

2

1

Dla cieczy nieciliwej i bez lepkoci wyraz z energi wewntrzn jest

taki sam po obu stronach rwnania i wzdu rurki mamy:

Prawo Bernoulliego

Wypyw cieczy z naczynia

p0

p0

linia prdu

h

wyp

Na grze: 0 , ,0 0 === pp

Przy otworze: ghppwyp == , , 0

Zatem:ghpp

wyp += 2

002

1

Std:gh

wyp2=

Tak jak przy spadku swobodnym!

Ile wody wypywa ze zbiornika w jednostce czasu?

Zdziwiby si ten kto by myla, e wystarczy pomnoy prdko wypywu przez

czas i rzeczywist powierzchni otworu. Strumie cieczy zawa si i w efekcie

wypyw cieczy zmniejsza si - dla otworu o przekroju koowym do ok. 60%...

Dlaczego?

constp =++ 22

1

Rozwamy sytuacj, w ktrej do rodka naczynia wstawimy rurk

o pewnym (maym) przekroju S0

h

p0

p0

wyp

Co z zasad zachowania pdu?

Dotychczas korzystalimy z zasady

zachowania energii.

Wypywajca ciecz unosi pewien pd, a zatem

musi na ni dziaa pewna sia

Skd si bierze?

Sia pochodzi od cianek naczynia

Niech przekrj strumienia wyniesie: 0SSeff =

W czasie t z otworu wypnie masa m: tSm wy