Przepływ płynów i gazów

Opis przepływu cieczyIdealizacja cieczy rzeczywistej

• nieściśliwa

• nie posiada lepkości

Gazy – gdy przepływają powoli można

nie brać pod uwagę ich ściśliwości i

traktować je jak nieściśliwe ciecze.

Euler: znajomość prędkości przepływu w każdym punkcie cieczy

o współrzędnych x, y, z

),,,(1

tzyxfx

=υ ),,,(2 tzyxfy =υ ),,,(3

tzyxfz

=υ

Lagrange: znajomość losów określonej cząstki cieczy

dt

dxx

=υ

dt

dyy

=υ

dt

dzz

=υ

równanie toru

dttzyxfdtdxx

),,,(1

== υ

dttzyxfdtdy y ),,,(2== υ

dttzyxfdtdzz

),,,(3

== υ

Linia prądu: krzywa w każdym punkcie styczna do

prędkości cieczy przepływającej przez ten punkt.

Przepływ stacjonarny – układ linii prądu nie zależy do czasu, a wiec

charakteryzuje równocześnie tory przebiegane przez poszczególne cząstki...

Wiązka przylegających do siebie linii prądu tworzy „rurkę prądu”

1υ

2υ

2S

1S

W przepływie stacjonarnym masa cieczy zawarta w pewnej objętości jest

stała, tzn. przez każdy przekrój poprzeczny rurki prądu w jednostce czasu

przepływa taka sama masa cieczy:

constSm == υρgdzie S – powierzchnia przekroju

poprzecznego rurki (w dowolnym miejscu),

υ- średnia szybkość przepływu cieczy dla

tego przekroju,

ρ - gęstość cieczy

Dla nieściśliwej cieczy idealnej:

constS =υSzybkość stacjonarnego przepływu jest większa,

tam gdzie rurki skupiają się zaś mniejsza, gdy się

rozszerzają…

Jeśli podzielić cały przepływ cieczy na rurki o jednakowej

(np. jednostkowej) wartości Sυ.

Szybkość przepływu (objętość na jednostkę czasu) proporcjonalna

do liczby rurek, przecinających jednostkę powierzchni przekroju

prostopadłego do przepływu.

x∆

y∆

z∆

x

z

y

Elementarny prostopadłościan o krawędziach zyx ∆∆∆ , ,

W kierunku osi x przez tylną ściankę prostopadłościanu

przepływa w czasie ∆t objętość:

tzyxVx

∆∆∆= υ)(

Przez ściankę przednią prostopadłościanu

wypływa w czasie ∆t objętość:

tzyxx

xxV x

x∆∆∆∆

∂

∂+=∆+ )()(

υυ

Wypadkowy wypływ wzdłuż x:

tzyxx

V x

x∆∆∆∆

∂

∂=∆

υ

Analogicznie wzdłuż kierunków y i z dostaniemy:

tzyxy

Vy

y∆∆∆∆

∂

∂=∆

υtzyx

zV z

z∆∆∆∆

∂

∂=∆

υ

Dla cieczy nieściśliwej objętość cieczy wpływającej do prostopadłościanu,

musi być równa objętości cieczy wypływającej z niego, zatem:

0=∆+∆+∆zyx

VVV

0=∇=∂

∂+

∂

∂+

∂

∂υ

υυυ r

zyx

zyx

0)()()()( =∇=∂

∂+

∂

∂+

∂

∂υρρυρυρυr

zyxzyx

Analogicznie dla cieczy ściśliwej byłoby:

Hydrodynamicznerównanie ciągłości

Przyspieszenie elementu cieczyRównanie Newtona dla elementu o jednostkowej objętości można

zapisać w postaci:

farr

=⋅ρa – przyspieszenie elementu cieczy

f - siła na jednostkę objętości

ρ - gęstośćJakie siły mogą działać na element cieczy?

• pochodzące od ciśnienia, a właściwie zmiany ciśnienia na przestrzeni

elementu cieczy

xx

pp ∆

∂

∂+p

x∆

Biorąc pod uwagę trzy kierunki

gęstość siły wyniesie:

zyxx

pF

x∆∆∆

∂

∂−=∆

zyxpxxpFx

∆∆−∆+=∆ )]()([

x

pf

V

F

zyx

Fx

xx

∂

∂−==

∆

∆=

∆∆∆

∆

Wypadkowa siła wzdłuż x:

Siła wzdłuż x na jednostkę

objętości (gęstość siły):

pz

p

y

p

x

pf ∇−=

∂

∂−

∂

∂−

∂

∂−=

rr,,

• zewnętrzne siły zachowawcze działające na odległość

(siła grawitacji, siła Coulomba) - można je opisać za pomocą

potencjału ϕ(x,y,z) na jednostkę masy:

ϕρϕϕϕ

ρ ∇−=

∂

∂

∂

∂

∂

∂−=

rr,

),,(,

),,(,

),,(

z

zyx

y

zyx

x

zyxf

zp

• zewnętrzne siły niezachowawcze

• „wewnętrzne” siły niezachowawcze np. siła lepkości

(prowadzi do występowania naprężeń ścinających w

przepływającej cieczy)

lepfr

Sumując przyczynki od różnych czynników dostajemy:

lepfpa +∇−−∇= ϕρρ

Zajmijmy się teraz przybliżeniem nielepkiej cieczy („sucha woda”…)

ϕρρ ∇−−∇= pa

Spróbujmy znaleźć przyspieszenie a elementu cieczy. Z pozoru jest to łatwe…

A Bt∆υ

r

),,,( tzyxυr υυ

rr∆+

tor cząstki

t∂

∂υr

- szybkość z jaką prędkość zmienia się

w pewnym ustalonym punkcie przestrzeni (x,y,z)

),,,( tzyxυr

Jak zmienia się prędkość wybranej cząstki cieczy?

Jeśli element cieczy, w czasie ∆t przesunie się od punktu A do punktu B,

czyli przesunie się o υυυυx∆∆∆∆t w kierunku x, υυυυy∆∆∆∆t w kierunku y i υυυυz∆∆∆∆t w kierunku z.

Prędkość cząstki chwili t w punkcie (x,y,z) ),,,( tzyxυr

Prędkość cząstki w chwili t+∆∆∆∆t ),,,( tttztytxzyx

∆+∆+∆+∆+ υυυυr

Z dokładnością do

wyrazów

pierwszego rzędu: tt

tz

ty

tx

tzyx

tttztytx

zyx

zyx

∆∂

∂+∆

∂

∂+∆

∂

∂+∆

∂

∂+=

=∆+∆+∆+∆+

υυ

υυ

υυ

υυ

υυυυrrrr

r

r

),,,(

),,,(

Stąd zmiana prędkości cząstki przy przejściu z punktu A do B:

tzyxtzyx

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

∆

∆ υυυ

υυ

υυ

υrrrrr

Można to zapisać w postaci:

tt ∂

∂+∇=

∆

∆ υυυ

υr

rrr

)(

Zatem równanie ruchu cząstki cieczy (przy pominięciu lepkości) ma postać:

ϕρ

υυυ

∇−∇

−=∇+∂

∂ p

t

rrr

)(

Jeśli skorzystamy z

tożsamości wektorowej:2

2

1)()( υυυυυ ∇+××∇=∇

rrrr υrr

×∇=Ωrotacja

wektora υr

ϕρ

υυυυ

∇−∇

−=∇+××∇+∂

∂ p

t

2

2

1)(

rrr

++−∇=××∇+

∂

∂ϕ

ρυυυ

υ p

t

2

2

1)(

rrr

Dla przepływu stacjonarnego (ustalonego) – w każdym punkcie cieczy prędkość się nie zmienia (w każdym punkcie ciecz zostaje zastępowana nową cieczą, linie prądu

są ustalone w czasie). Czyli: 0=

∂

∂

t

υr

++−∇=××∇ ϕ

ρυυυ

p2

2

1)(

rrZatem równanie ruchu

przyjmie postać:

Pomnóżmy je skalarnie

(z lewej strony) przez wektor υr

Ponieważ wektor υυrr

××∇ )( jest prostopadły do wektora υr

to lewa strona równania (**) przyjmuje wartość zero co oznacza, że dla

przepływu stacjonarnego

02

1 2 =

++∇⋅ ϕ

ρυυ

pr

Czyli dla małego przesunięcia w kierunku ruchu cieczywielkość w nawiasie nie ulega zmianie…

(**)

++−∇=×Ω+

∂

∂ϕ

ρυυ

υ p

t

2

2

1rrr

lub

Ale w przepływie stacjonarnym (ustalonym), wszystkie przesunięcia zachodzą

wzdłuż linii prądu! Zatem wzdłuż linii prądu zachodzi związek:

constp

=++ ϕρ

υ 2

2

1Twierdzenie Bernoulliego

Jeśli ruch jest bezwirowy,

to już wcześniej

moglibyśmy napisać:

0)( =××∇=Ω υυrrr

02

1 2 =

++∇ ϕ

ρυ

p

constp

=++ ϕρ

υ 2

2

1zachodzi w całej cieczy!

Równanie Bernoulliego można też wyprowadzić inaczej korzystając z zasady

zachowania energii…

Twierdzenie Bernoulliego – przejaw zasady zachowania energii

1υ

2S

1S

∆m

∆mt∆1

υ

t∆2

υ

2υ

Rurka prądu

tStSm ∆=∆=∆222111

υρυρ

Tyle ile cieczy ile wpłynęło

na jednym końcu

rurki musi wypłynąć

na drugim:

222111υρυρ SS =

Rozważmy przepływ

w rurce prądu…

Masa cieczy przepływająca przez przekrój S1 w czasie ∆t…1p

2p

Praca wykonana przez ciśnienie

w cieczy (siła razy przesunięcie):tSptSpW ∆−∆=∆

222111υυ

Zmiana energii masy ∆m przy przejściu z od powierzchni S1

do powierzchni S2

)(12222111

EEmtSptSp −∆=∆−∆ υυ

gdzie, E1, E2 – energia przypadająca na

jednostkę masy, odpowiednio

na powierzchni S1 oraz S2.

Całkowitą energię na jednostkę masy cieczy można przestawić w postaci sumy

energii kinetycznej, potencjalnej ϕ i pewnej energii wewnętrznej cieczy U:

UE ++= ϕυ 2

2

1

(*)

Korzystając z tego związku wyrażenie (*) można zapasać w postaci

11

2

122

2

2222111

2

1

2

1UU

m

tSptSp++−++=

∆

∆−∆ϕυϕυ

υυ

ale tStSm ∆=∆=∆222111

υρυρ więc:

22

2

2

2

211

2

1

1

1

2

1

2

1U

pU

p+++=+++ ϕυ

ρϕυ

ρ

constp

=++ ϕυρ

2

2

1

Dla cieczy nieściśliwej i bez lepkości wyraz z energią wewnętrzną jest

taki sam po obu stronach równania i wzdłuż rurki mamy:

Prawo Bernoulliego

Wypływ cieczy z naczynia

p0

p0

linia prądu

h

υwyp

Na górze: 0 , ,00

=== ϕυ pp

Przy otworze: ghppwyp −== ϕυ , , 0

Zatem:ghpp

wypρρυ −+= 2

002

1

Stąd:gh

wyp2=υ

Tak jak przy spadku swobodnym!

Ile wody wypływa ze zbiornika w jednostce czasu?

Zdziwiłby się ten kto by myślał, że wystarczy pomnożyć prędkość wypływu przez

czas i rzeczywistą powierzchnię otworu. Strumień cieczy zawęża się i w efekcie

wypływ cieczy zmniejsza się - dla otworu o przekroju kołowym do ok. 60%...

Dlaczego?

constp =++ ρϕρυ 2

2

1

Rozważmy sytuację, w której do środka naczynia wstawimy rurkę

o pewnym (małym) przekroju S0…

h

p0

p0

υwyp

Co z zasadą zachowania pędu?

Dotychczas korzystaliśmy z zasady

zachowania energii.

Wypływająca ciecz unosi pewien pęd, a zatem

musi na nią działać pewna siła…

Skąd się bierze?

Siła pochodzi od ścianek naczynia…

Niech przekrój strumienia wyniesie: 0SSeff α=

W czasie ∆∆∆∆t z otworu

wypnie masa ∆m: tSm wyp∆=∆ ρυα 0

tStSpwypwypwyp

∆=∆=∆ 2

00)(~ ρυαυρυαUnoszony przez ciecz

pęd wyniesie:

2

0

~

wypS

t

pF ρυα=

∆

∆=

Zatem na element ścianki

naczynia naprzeciwko rurki

działa siła:

0S 0S

Siła reakcji działająca na strumień jest równa sile parcia jaki wywiera ciecz

na powierzchnię ścianki S0 naprzeciwko otworu (zakładamy, że przy

ściankach ciecz się praktycznie nie rusza):

ghSF ρ0

=

2

00 wypSghS ρυαρ =

Ale wiemy, że ghwyp 2=υ

ghSghS 200ραρ =

2

1=α

Zatem z takiego otworu wypłynie o połowę mniej cieczy, niż by się można spodziewać!

Ma to znaczenie, jeśli chce się wiedzieć ile wody może wypłynąć z beczkowozu

przez otwór o znanej średnicy…

Ciśnienie statyczne i dynamiczne

υυυυ1 υυυυ2

constp

=++ ϕυρ

2

2

1

2

22

2

112

1

2

1ρυρυ +=+ pp

Na tym samym poziomie mamy ten sam

potencjał …

)(2

1 2

1

2

221 υυρ −=− pp

2211SS υυ =Ale z równania

ciągłości:

−=− 1

2 2

2

2

12

121S

Spp υ

ρ

Trochę doświadczeń ilustrujących prawo Bernoulliego

• kuleczka ping-pongowa w strumieniu powietrza

• strumień powietrza pomiędzy kartkami powietrza

• wciąganie kulki przez lejek…

• efekt Magnusa…i lepkość

Jakościowe wyjaśnienie:Dzięki lepkości

obracający się walec „napędza”

cząsteczki powietrza po lewej stronie

i hamuje po prawej…

Po lewej stronie walca gaz ma

większą prędkość, niż po prawej,

to oznacza (zgodnie z prawem

Bernoulliego), że ciśnienie statyczne

po prawej stronie będzie większe niż

po lewej…

Wykorzystują to piłkarze, strzelając

bramki np. z rzutu rożnego…

12 υυ > 1υ

12 pp <21 pp >

F

walec

staczający się

po równi

D D

F Siła oporu proporcjonalna

do prędkości ruchu

Jeśli odstęp x od ścianek naczynia

jest większy od grubości D warstwy

granicznej, to można przyjąć, że

szybkość ruchu cieczy maleje liniowo

ze wzrostem odległości…

x

Sk η=

η- współczynnik lepkości

υrr

kF −=

1,7 ·10-5 N s/m2Powietrze (20 0C)

9,7 ·10-1 N s/m2Olej rycynowy (20 0C)

107 N s/m2Smoła (20 0C)

8,5 ·10-1 N s/m2Gliceryna (20 0C)

1,0 ·10-3 N s/m2Woda (20 0C)

Lepkość – tarcie wewnętrzne

xS

F0

υη=

Naprężenie

ścinania

η - współczynnik lepkości

υ

0υ

xpłyn

F

Jeśli rozważymy dwie bardzo bliskie warstwy w cieczy to wtedy siłę ścinającą

(siłę lepkości) możemy przedstawić w postaci

dx

dSF

υη=

dx

dυ- spadek szybkości

cieczy w kierunku

prostopadłym do

przepływuυ

υυ ∆+

dx

S

S

S - powierzchnia płytki

Rozważmy dwie (bliskie siebie) płaskie płytki

z cieczą lepką pomiędzy nimi…

Przepływ cieczy lepkiej przez (wąską) rurkę

p

l

r R

pp ∆+

Rozważmy rurkę (strugę) cieczy o promieniu r . Niech różnica ciśnień na końcach

elementu takiej rurki (o długości l) wynosi ∆p

Siła podtrzymująca przepływ stacjonarny w takiej rurce wynosi:

2rpF π∆=

Wartość siły oporu lepkiego, działająca rurkę (ścianki rurki) wynosi:

dr

dlrrF

l

υπη 2)( −=

Dla przepływu

stacjonarnegoFF

l=

dr

dlrrp

υπηπ 22 −=∆

rdrl

pd

ηυ

2

∆−=

To równanie określa

zależność szybkości

cieczy od odległości

od środka rurki r

∫∫∆

−==0

0

''2

')(R

drrl

pdr

ηυυ

υNa powierzchni rurki

r=R, υ(R)=0W środku rurki:

υ(0)= υ

( )22

4)( rR

l

pr −

∆=

ηυ

maxυ

2

max2

Rl

p

ηυ

∆=

Rozkład prędkości

ma kształt paraboli!

Objętość cieczy przepływającą przez rurkę w jednostce czasu można obliczyć

sumując przyczynki od pierścieni o grubości dr otaczających naszą strugę…

Wewnątrz pierścienia prędkość wynosi υ(r)

r

drrdrr

dt

dVdI πυ 2)(==

( )

−

∆=−

∆= ∫ ∫∫

R RR

drrrdrRl

prdrrR

l

pI

0 0

32

0

22

22

4 η

ππ

η

−

∆=

422

44RR

l

pI

η

π

l

RpI

η

π

8

4∆=

Wzór Poiseuille’a: pozwala określić wartość

współczynnika lepkości η z pomiaru ilości cieczywypływającej z rurki (kapilary)…

Naczynia krwionośne

- sieć kapilarna, przepływ

napędzany przez serce…

)(rυ