Przekształcenie Z - atol.am.gdynia.platol.am.gdynia.pl/~tomera/ts/transformata_z.pdf · Dla transformaty Z funkcji ( 1)(1 ) (1 ) ( ) T T z e e z F z (8.1) należy znaleźć odwrotną

Ostatnia aktualizacja: 2013-11-06 M. Tomera 1

Akademia Morska w Gdyni

Katedra Automatyki Okrętowej

Teoria sterowania

Przekształcenie Z

Mirosław Tomera

1. WPROWADZENIE

Coraz częściej w układach sterowania stosowane są regulatory cyfrowe i stąd konieczność określania

równań, które opisują sygnały cyfrowe i dyskretne. Tak jak równania różniczkowe stosowane są do

opisu układów z sygnałami analogowymi, tak równania różnicowe stosowane są dla układów

z sygnałami dyskretnymi lub cyfrowymi. Równania różnicowe używane są również do aproksymacji

równań różniczkowych w celu zapisania ich w programach komputerowych wykorzystywanych

w różnego rodzaju symulacjach.

Rachunek operatorowy Laplace’a może być stosowany do rozwiązywania liniowych równań

różniczkowych zwyczajnych, natomiast transformata Z jest metodą wykorzystywaną do

rozwiązywania liniowych równań różnicowych i układów liniowych z danymi dyskretnymi lub

cyfrowymi.

2. DEFINICJA TRANSFORMATY Z

W analizie układów ciągłych wykorzystywane jest przekształcenie operatorowe Laplace’a które

zdefiniowane jest przez następujący wzór całkowy

£ )}({ tf = )(sF =

0

)( dtetf st (1)

który w sposób bezpośredni prowadzi do bardzo ważnej własności (z niezerowymi zerowymi

warunkami początkowymi)

£dt

tdf )(= )0()( fssF (2)

Zależność (2) pozwala na łatwe znalezienie transmitancji dla liniowych układów ciągłych na

podstawie równania różniczkującego opisującego te układy.

Dla układów dyskretnych jest dostępna bardzo podobna procedura. Transformata Z, która

zdefiniowana jest przez następującą sumę

F(z) = Z )}({ kf = 0

)(

k

kzkf (3)

gdzie z jest zmienną zespoloną posiadającą część rzeczywistą i urojoną, f(k) jest dyskretną wersją

funkcji f(t), natomiast k = 0, 1, 2, ..., odpowiada dyskretnym chwilom czasu 0t , 1t , 2t , .... Zależność

(3) prowadzi do analogicznej własności jak (2) dla układów dyskretnych.

Z )}1({ kf = )0()( zfzzF (4)

Zależność ta (4) pozwala w łatwy sposób znaleźć transmitancję układu dyskretnego na podstawie

równania różnicowego opisującego ten układ.

Teoria sterowania Przekształcenie Z


Poniższe przykłady ilustrują wyprowadzenie transformat Z dla kilku prostych funkcji.

Przykład 1

Funkcja impulsowa jednostkowa (funkcja delta Diraca)

00

01

00

)(

k

k

k

k (1.1)

Transformata Z funkcji impulsowej

Z )}({ k = 11

)(0

0 zzk

k

k (1.2)

Przykład 2

Dyskretna funkcja skokowa

01

00)(1

k

kk (2.1)

Transformata Z funkcji skokowej jest wyznaczana jako suma następującego szeregu

Z )}(1{ k = ...111

11321

0 zzzz

k

k (2.2)

Korzystając z faktu, że dla szeregu geometrycznego suma wyznaczana jest z następującego

wzoru

x

x

k

k

1

1

0

, 1x (2.3)

wówczas

Z )}(1{ k = 1/11

11

00z

z

zzz

k

k

k

k , 11

z (2.4)

Przykład 3

Dyskretna funkcja wykładnicza. Próbkowana funkcja wykładnicza, zanikająca w czasie

kkTkT reekf )()( k = 0, 1, 2, ... (3.1)

gdzie T jest okresem próbkowania. Transformata Z funkcji (3.1) jest następująca

Z }{ kTe =

0k

kkT ze = 0

1

k

k

Tze =

Tze11

1 =

Tez

z (3.2)

Przez zdefiniowanie próbek funkcji wykładniczej jako

Ter (3.3)

wówczas na podstawie równania (3.2)

Z }{ kTe = Z }{ kr = rz

z (3.4)



Przykład 4

Dyskretna funkcja liniowo narastająca

0

00)(

kkT

kkf (4.1)

gdzie T jest okresem próbkowania. Transformata Z funkcji liniowo narastającej wyznaczana jest

następująco:

Z }{kT =

0k

kkTz = 0

)(

k

kzdz

dzT =

0k

kzdz

dTz =

1z

z

dz

dTz (4.2)

Ostatecznie

Z }{kT = 2)1(z

Tz (4.2)

Przykład 5

Funkcja sinusoidalna

0sin

00)(

kTk

kkf (5.1)

gdzie T jest okresem próbkowania, pulsacją. Funkcja Tksin może zostać zapisana

następująco:

)(2

1sin TjkTjk ee

jTk (5.2)

Stąd

Z }{sin Tk =

002

1

2

1

k

kTjk

k

kTjk zej

zej

= TjTj ez

jz

ez

jz 22 =

1)(

))(2(2 zeez

ezezjzTjTj

TjTj

=

12

2

2

2 zee

z

j

eez

TjTj

TjTj

= 1cos2

sin2 Tzz

Tz (5.3)

W bardzo podobny sposób wyznacza się transformatę Z funkcji tkcos

Z }{sin Tk =1cos2

)cos(2 Tzz

Tzz (5.4)

Przykład 6

Znajdź transformatę Z sygnału dyskretnego w czasie pokazanego na rysunku 6.1.

Rozwiązanie. Transformata Z funkcji f(k) z rysunku 6.1. wyznaczana jest jako suma

następującego szeregu

Z )}({ kf = 4321

4

0

111111

zzzzz

k

k (6.1)



1

0 1 2 3 4 k

f(k)

Rys. 6.1. Wykres funkcji dyskretnej w czasie o skończonej liczbie próbek

Korzystając z faktu, że suma szeregu potęgowego wyrażona jest wzorem

1

11

0 x

xx

kn

k

k (6.2)

wówczas

Z )}({ kf = )1(11

11 5

1

54

0

4

0

zz

z

z

z

zz

k

k

k

k (6.3)

3. ZALEŻNOŚĆ POMIĘDZY TRANSFORMATĄ LAPLACE'A I TRANSFORMATĄ Z

Dogodnie będzie rozważać funkcje y(kT), k = 0, 1, 2, ... jako ciąg impulsów oddzielonych od siebie o

przedział czasu T, definiowany jako okres próbkowania. Impuls w k tej chwili czasu, )( kTt

przenosi wartość y(kT). Sytuacja taka pojawia się często w cyfrowych lub próbkowanych układach

sterowania w których sygnał jest kwantowany lub próbkowany co T sekund do postaci sekwencji

czasowej która reprezentuje sygnał w chwilach próbkowania. Sekwencja sygnału próbkowanego może

być wyrażona jako

0

* )()()(

k

kTtkTyty (5)

Dokonując obustronnej transformaty Laplace'a równania (5) otrzymuje się

)(* sY = £ )}({ * ty =

0

)(

k

kTsekTy (6)

Porównując ostatnie równanie z równaniem (3), widać że transformata Z powiązana jest

z transformatą Laplace'a zależnością

Tsez (7)

Transformata Z zdefiniowana równaniem (3) może być traktowana jako specjalny przypadek gdy

T = 1. Definicja transformaty opisana wzorem (7) pozwala na przekształcanie opisu układów ciągłych

na układy próbkowane i wykonywanie na nich symulacji cyfrowych. Można streścić definicję

transformaty Z jako

)(zY = Z )}({ kTy = Z )}({ * ty = Z )}({ * sY = sTez

sY )(* (8)

lub zapisać

)(zY = Z )}({ ty = Z )}({ sY (9)

Pamiętając o tym, że funkcja y(t) jest najpierw próbkowana lub kwantowana w celu otrzymania

sygnału )(* ty przed wykonaniem transformaty Z.



4. WAŻNE TWIERDZENIA TRANSFORMATY Z

Podobnie jak w przypadku transformaty Laplace'a twierdzenia te są bardzo użyteczne w wielu

przypadkach prowadzonej analizy przy zastosowaniu transformaty Z. Ciąg liczb rzeczywistych

wyrażony został jako f(kT) i jeśli okres próbkowania T nie jest określony, wówczas przyjmuje się że

jest jednostkowy. W tabeli 1 zebrane zostały twierdzenia transformaty Z.

Tabela 1. Podstawowe twierdzenia transformaty Z

1. Dodawanie i odejmowanie

Z )({ 1 kTf )}(1 kTf = )(1 zaF )(2 zF

2. Mnożenie przez stałą

Z )}({ kTaf = aZ )}({ kTf = a )(zF

3. Przesunięcie w dziedzinie rzeczywistej

Z })({ Tnkf = nz )(zF (opóźnienie czasowe)

Z })({ Tnkf = 1

0

)()(n

k

kn zkTfzFz (wyprzedzenie czasowe)

gdzie: n = liczba całkowita.

3. Przesunięcie w dziedzinie zmiennej zespolonej

Z )}({ kTfe kT = )( TzeF

4. Twierdzenie o wartości początkowej

)(lim)(lim0

zFkTfzk

5. Twierdzenie o wartości końcowej

)()1(lim)(lim 1

1zFzkTf

zk,

pod warunkiem, że )()1( 1 zFz nie ma żadnych biegunów na zewnątrz ani na okręgu 1z

Przykład 7

(Twierdzenie o wartości końcowej) Mając daną funkcję

)208.0416.0)(1(

792.0)(

2

2

zzz

zzF (7.1)

określ wartość f(kT) gdy k dąży do nieskończoności.

Rozwiązanie: Najpierw należy sprawdzić, czy funkcja )()1( 1 zFz nie ma biegunów na lub

na zewnątrz okręgu o promieniu 1z . Mianownik funkcji )()1( 1 zFz ma dwa pierwiastki

sprzężone 4059.02080.02,1 jz i obydwa znajdują się wewnątrz okręgu o promieniu 1z ,

czyli może zostać zastosowane twierdzenie 5 z tabeli 1 .

208.0416.0

792.0lim)()1(lim)(lim

21

1

1 zz

zzFzkTf

zzk = 1 (7.2)



Tabela 2. Wybrane transformaty Z

F(s) f(kT) F(z)

1.

00

01

k

k 1

2.

o

o

0

1

kk

kk ok

z

3. s

1 )(1 kT

1z

z

4. 2

1

s kT

2)1(z

Tz

5. 3

1

s

2)(!2

1kT

3

2

)1(2

)1(

z

zzT

6. 1

1ns

nkTn

)(!

1

Tn

nn

ez

z

n!

)1(lim

0

7. s

1 kTe Tez

z

8. 2)(

1

s kTkTe 2)( T

T

ez

Tze

9. 3)(

1

s

kTekT 2)(2

1 3

2

)(

)(

2 T

TT

ez

ezze

T

10. 22s

kTsin 1cos2

sin2 Tzz

Tz

11. 22s

s kTcos

1cos2

)cos(2 Tzz

Tzz

12. 22)(s kTe kT sin tt

T

eTzez

Tze22 cos2

sin

13. 22)(s

s kTe kT cos tt

T

eTzez

Tzez22

2

cos2

cos

14.

js

Ae

js

Ae jj

2

1

2

1

)cos( kTAe kT

TjT

j

TjT

j

eez

zAe

eez

zAe2

1

2

1

4. ODWROTNE PRZEKSZATAŁCENIE Z

Podobnie jak w przypadku transformaty Laplace’a, wprowadzenie transformaty Z ma na celu

umożliwienie wykonywania matematycznych operacji algebraicznych co może być wykonywane

w dziedzinie zmiennej zespolonej z, ostateczna odpowiedź czasowa wyznaczana jest przez

zastosowanie odwrotnej transformaty Z. Odwrotna transformata Z funkcji Y(z) daje informacje tylko



o y(kT), a nie o y(t). Innymi słowy transformata z zachowuje informacje tylko w chwilach

próbkowania. Transformata odwrotna z może być przeprowadzona jedną z trzech poniższych metod:

1. przez rozkład na sumę ułamków zwykłych;

2. przez podział licznika przez mianownik;

3. przez zastosowanie całki odwrotnej.

4.1. METODA ROZKŁADU NA UŁAMKI

Najpierw funkcja F(z) jest rozkładana na sumę ułamków zwykłych, a następnie korzysta się z tablicy

transformat Z w celu określenia funkcji f(kT). Przy rozkładzie na sumę ułamków zwykłych występuje

niewielka różnica pomiędzy transformatami Z i transformatami Laplace'a. Przeglądając tabelę

transformat Z (tabela 2), można zauważyć, że praktycznie każda transformata Z funkcji jest

pomnożona w liczniku przez z. Dlatego też w celu uzyskania rozkładu w postaci

...)( 11

TT ez

zK

ez

zKzF (10)

można najpierw dokonać rozkładu funkcji zzF )( na sumę ułamków zwykłych, a następnie

pomnożyć je przez z w celu uzyskania końcowego wyrażenia. Poniższe przykłady ilustrują tę metodę.

Przykład 8

Dla transformaty Z funkcji

)1)(1(

)1()(

T

T

ez

zezF (8.1)

należy znaleźć odwrotną transformatę Z. Rozkładając zzF )( na sumę ułamków zwykłych

uzyskuje się

Tezz

zF

1

1

1

1)( (8.2)

Końcowe wyrażenie dla rozłożonej funkcji F(z)

Te

z

z

zzF

11)( (8.3)

Korzystając z tabeli 2 zawierającej transformaty Z najpopularniejszych funkcji znajduje się

odwrotną transformatę Z funkcji F(z).

kTekTf 1)( , k = 0, 1, 2, .... (8.4)

Jeśli funkcja F(z) nie zawiera żadnego mnożnika z w liczniku, wówczas zazwyczaj to oznacza, że

sekwencja czasowa ma czas opóźnienia i rozkład na sumę ułamków nie zaczyna się od podzielenia

przez z. Poniższy przykład ilustruję tę sytuację.

Przykład 9


)1)(1(

1)(

T

T

ez

ezF (9.1)



która nie zawiera żadnego mnożnika z w liczniku. W tym przypadku rozkład prowadzony jest

w sposób bezpośredni. Otrzymuje się

Tez

zF1

1

1

1)( (9.2)

Chociaż tablica transformat nie zawiera dokładnie takich elementów jak w równaniu (8.2) to

pierwszy składnik prawej strony może być zapisany jako

Z-11

1

z = Z-1

1

1

z

zz =

1

1

k

z = ])1[(1 Tk , k = 1, 2, .... (9.3)

W podobny sposób może być rozważony drugi składnik prawej strony równania (8.2) z czasem

opóźnienia o T sekund. Ostatecznie, odwrotna transformata Z funkcji F(z) może być zapisana

jako

])1[(1)1()( )1( TkekTf Tk, k = 1, 2, .... (9.4)

4.2. METODA POLEGAJĄCA NA DZIELENIU LICZNIKA PRZEZ MIANOWNIK

Wartości sekwencji czasowej f(kT) mogą być w sposób bezpośredni wyznaczane z funkcji F(z) przez

dzielenie wielomianu licznika przez wielomian mianownika. Poniższy przykład ilustruje tę metodę.

Przykład 10


5.0

4)(

2 zz

zzF (10.1)

W wyniku długiego dzielenia licznika przez mianownik uzyskuje się

...24405.0

4)( 3210

2zzzz

zz

zzF (10.2)

czyli

...)3(2)2(4)1(4)( kkkkf (10.3)

4.3. ZASTOSOWANIE CAŁKI ODWROTNEJ

Sekwencja czasowa f(kT) może być wyznaczona z F(z) przez zastosowanie całki odwrotnej

dzzzFj

kTf k 1)(2

1)( (11)

gdzie jest ścieżką konturu po której odbywa się całkowanie, jest to okrąg o promieniu cTez ,

którego środek znajduje się w początku układu płaszczyzny z, natomiast c jest taką wartością

wszystkie bieguny funkcji 1)( kzzF znajdują się wewnątrz tego okręgu. Całka odwrotna transformaty

Z jest podobna do tej z przekształcenia odwrotnego transformaty operatorowej Laplace'a.

5. ZASTOSOWANIE TRANSFORMATY Z DO ROZWIĄZYWANIA LINIOWYCH RÓWNAŃ RÓŻNICOWYCH

Transformata Z może być wykorzystana do rozwiązywania liniowych równań różnicowych. Jako

przykład rozważone zostanie równanie różnicowe pierwszego rzędu.



0)()1( kyky (12)

Aby rozwiązać to równanie wykonana zostanie obustronna transformata Z równania (7). Oznacza to,

że obie strony równania pomnożone zostaną przez kz i wykonane zostanie sumowanie od k = 0 do

k = . Otrzymuje się wówczas

0)()1(

00 k

k

k

k zkyzky (13)

Przez zastosowanie definicji dla Y(z) oraz przez zastosowanie twierdzenia o przesunięciu w dziedzinie

zmiennej rzeczywistej przy wyprzedzeniu czasowym, równanie (8) może zostać zapisane jako

0)()]0()([ zYyzYz (14)

Rozwiązując dla Y(z) otrzymuje się

)0(1

)( yz

zzY (15)

Odwrotna transformata Z równania (10) może być uzyskana przez rozkład Y(z) na szereg potęgowy 1z . Otrzymuje się

)0(...)1()( 4321 yzzzzzY (16)

Wobec tego y(k) może być zapisane jako

)0()1()( yky k, k = 0, 1, 2, .... (17)

Poniższy przykład ilustruje rozwiązanie transformaty Z dla równania różnicowego układu drugiego

rzędu.

Przykład 11

Rozważ następujące równanie różnicowe układu II rzędu

)2(ky + )1(ky + 0.5y(k) = 5 1(k) (11.1)

gdzie 1(k) jest jednostkową funkcją skokową. Warunki początkowe są następujące: )0(y = 1,

)1(y = 2. Dokonując obustronnego przekształcenia Z równania (10.1), otrzymuje się

)]1()0()([ 22 zyyzzYz + )]0()([ zyzzY + 0.5Y(z) = 51z

z (11.2)

Podstawiając wartości liczbowe warunków początkowych do równania (10.2) i wyznaczając

Y(z), otrzymuje się

)5.05.0)(5.05.0)(1(

82

)5.0)(1(

82)(

22

2

23

jzjzz

zzz

zzz

zzzzY (11.3)

Dokonując rozkładu równania (10.3) na sumę ułamków zwykłych otrzymuje się

5.05.0

5.55.1

5.05.0

5.55.1

1

2)(

jz

j

jz

j

zz

zY (11.4)

Wyrażając residua i bieguny zespolone w postaci wykładniczej otrzymuje się

356.2

837.1

356.2

837.1

707.0

7.5

707.0

7.5

1

2)(j

j

j

j

ezez

e

zz

zY (11.5)



gdzie wykładniki zmiennych zespolonych licznika i mianownika wyrażone są w radianach.

Dokonując odwrotnej transformaty Z funkcji Y(z) otrzymuje się

][)707.0(701.52)( )837.1356.2()837.1356.2( kjkjk eeky

)837.1356.2cos()707.0(402.112 kk (11.6)

Stosując do funkcji (10.3) twierdzenie o wartości końcowej otrzymuje się

25.0

82lim)()1(lim)(lim

2

2

1

1

1 zz

zzsYzkf

zzk (11.7)

przy czym aby uzyskać poprawne wyniki najpierw sprawdza się czy bieguny funkcji

)()1( 1 sYz znajdują się wewnątrz okręgu jednostkowego.

ZAGADNIENIA KONTROLNE

1. Zdefiniuj transformatę Z w zależności od operatora Laplace’a s.

2. Podaj transformatę Z jednostkowej funkcji skokowej 1(t).

3. Podaj transformatę Z jednostkowej funkcji liniowo narastającej )(1 tt .

4. Wyjaśnij dlaczego odwrotna transformata funkcji F(z) nie jest funkcją f(t).

5. Wymień wszystkie metody jakie znasz, które pozwalają na wyznaczenie odwrotnej

transformaty Z.

6. Jeśli funkcja F(z) ma przynajmniej jedno zero w punkcie z = 0, to jakie kroki muszą być

najpierw wykonane przed dokonaniem rozkładu na sumę ułamków zwykłych ?

7. Jaka jest różnica pomiędzy sekwencjami czasu odpowiadającym dwóm następującym

funkcjom ?

1)(1

z

zzF

1)(2

z

zzF

ĆWICZENIA

C1. Zajdź transformaty Z następujących

funkcji

a) kkekf 3)(

b) kkkf 2sin)(

c) kekf k 3sin)( 2

d) kekkf 22)(

e) 32)2(9)( 1 kkkkf

f) ...,7,5,3,11

...,6,4,2,01)(

k

kkf

C2. Wyznacz transformaty Z następują-

cych funkcji

a) 2)()( kTkTf

b) kTkTkTf sin)(

c) kTkTkTf cos)(

d) kTekTf kT sin)(



e) kTekTf kT cos)(

C3. Wyznacz transformatę Z sygnału

pokazanego na rysunku C3. Okres

próbkowania T [sec].

1

0 1 2 3 4 t

f(t)

5 6

Rys. C3. Wykres funkcji

C4. Dokonaj rozkładu na sumę ułamków

zwykłych następujących funkcji, jeśli to

możliwe to następnie znajdź odpowiadające

im transformaty Z przy użyciu tablicy

transformat.

a) )(sF = 3)5(

1

s

b) )(sF = )1(

13 ss

c) )(sF = 2)5(

1

ss

d) )(sF = )2(

52ss

C5. Znajdź odwrotne transformaty Z dla k 0,

poniższych funkcji

a) )(zF = 5.0

1

z

b) )(zF = 65

62

2

zz

zz

c) )(zF = 44

2342

2

zz

zz

d) )(zF = 102

32

2

zz

zz

C6. Znajdź odwrotne transformaty Z funkcji

f(k) dla poniższych funkcji. Zastosuj

rozkład na sumę ułamków zwykłych, a

następnie skorzystaj z tablicy transformat.

a) )(zF = )2.0)(1(

10

zz

z

b) )(zF = )1)(1( 2 zzz

z

c) )(zF = )85.0)(1( zz

z

d) )(zF = )5.0)(1(

10

zz

e) )(zF = )1.0)(1(

5

zz

z

f) )(zF = )8.0)(5.0)(1(

)2.0(10

zzz

zz

g) )(zF = 2)5.0)(1( zz

z

h) )(zF = )1)(1(

22 zzz

z

C7. Wiedząc, że Z )}({ kf = F(z), wyznacz

wartość f(k) gdy k dąży do

nieskończoności, bez rozkładu na sumę

ułamków zwykłych. Jeśli to możliwe to

zastosuj twierdzenie o wartości końcowej

transformaty Z.

a) )(zF = )732.0364.1)(1(

386.02 zzz

z

b) )(zF = )1)(1(

10

zz

z

c) )(zF = )5.0)(1(

2

zz

z

d) )(zF = )5.1)(1( zz

z

C8. Korzystając z metod transformaty Z,

rozwiąż następujące równania różnicowe

dla k 0 z uwzględnieniem warunków

początkowych:

a) )(1)(1.0)1()2( kkykyky

0)0(y

0)1(y

b) 0)()2( kyky

1)0(y



0)1(y

c) 3)(5.0)1( kyky

4)0(y

C9. Korzystając z metod transformaty Z, rozwiąż następujące równania różnicowe dla k 0

z uwzględnieniem warunków początkowych:

a) )(1016.0)(607.0)1(575.1)2( kkykyky

3)0(y

098.2)1(y

b) 0)(549.0)1(018.2)2(464.2)3( kykykyky

0)0(y

148.0)1(y

216.0)2(y

c) 0)(905.0)1(774.2)2(685.2)3( kykykyky

2)0(y

377.2)1(y

695.2)2(y

d) )(1025.0)(67.0)1(646.1)2( kkykyky

1)0(y

918.0)1(y

e) 0)(5.0)1(859.1)2(346.2)3( kykykyky

387.3)0(y

903.1)1(y

845.0)2(y

f) 0)(741.0)1(364.2)2(583.2)3( kykykyky

1)0(y

812.0)1(y

798.0)2(y

g) )(10082.0)(67.0)1(629.1)2( kkykyky

3)0(y

047.2)1(y

h) 0)(549.0)1(018.2)2(464.2)3( kykykyky

0)0(y

098.0)1(y

189.0)2(y



DPOWIEDZI DO WYBRANYCH ĆWICZEŃ

C4.

a) f(k) = 1)5.0( k

b) f(k) = k)2(13

k)3(19

c) f(k) = )(2

1k +

k)2(2

7 +

kk )2(6

d) f(k) = )418.089.1cos()10(28.3 kk

C8.

a) y(k) = 2)5.0(10)(8 kk

C9.

a) )(zY = 606.0182.2575.2

643.2628.5323

23

zzz

zzz=

2

1

1z

z 3

1

905.0z

z +

6

17

670.0z

z

)(ky = 2

1 k)905.0(

3

1 +

k)67.0(6

17

b) )(zY = 549.0018.2464.2

148.0148.023

2

zzz

zz=

905.0z

z

819.04

z

z

741.03

z

z

)(ky = k)905.0(

k)819.0(4 + k)741.0(3

c) )(zY = 905.0774.2865.2

433.1353.3223

23

zzz

zzz=

= 905.0

8.0z

z

2.098.0)2.16.0(

jz

zj

2.098.0)2.16.0(

jz

zj =

= 905.0

8.0z

z

2.0

176.5342.1j

j

ez

ze

2.0

176.5342.1j

j

ez

ze =

)(ky = k)905.0(8.0 )176.52.0cos(684.2 k

d) )(zY = 67.0316.2646.2

752.0728.123

23

zzz

zzz=

1z

z 2

1

905.0z

z +

2

1

741.0z

z

)(ky = 1 k)905.0(

2

1 +

k)741.0(2

1

e) )(zY = 497.0859.1346.2

678.2042.6387.323

23

zzz

zzz

z

zY )(=

741.0

2

z +

163.0802.0

126.2694.0

jz

j+

163.0802.0

126.2694.0

jz

j

z

zY )( =

741.0

2

z +

2.0

255.1

819.0

236.2j

j

ez

e+

2.0

255.1

819.0

236.2j

j

ez

e

)(ky = 2k)741.0( )255.12.0cos()819.0(472.4 kk

f) )(zY = 741.0364.2583.2

065.1771.123

23

zzz

zzz

z

zY )(=

741.0

64.1

z +

389.0921.0

24.032.0

jz

j+

389.0921.0

24.032.0

jz

j

z

zY )( =

741.0

64.1

z +

4.0

785.34.0j

j

ez

e+

4.0

785.34.0j

j

ez

e



)(ky = 1.64 k)741.0( )785.34.0cos(8.0 k

g) )(zY = 67.032.2629.2

832.2841.5323

23

zzz

zzz

z

zY )(=

1

2.0

z +

082.0815.0

2.26.1

jz

j+

082.0815.0

2.26.1

jz

j

z

zY )( =

1

2.0

z +

383.6

083.4

819.0

72.2j

j

ez

e+

383.6

083.4

819.0

72.2j

j

ez

e

)(ky = 0.2 )083.4383.6cos()819.0(441.5 kk

h) )(zY = 549.0018.2464.2

054.0098.023

2

zzz

zz

z

zY )(=

905.0

5.2

z +

819.0

4

z+

741.0

5.1

z

)(ky = kkk z )741.0(5.1)819.0(4)905.0(5.2

LITERATURA

1. Amborski K., Teoria sterowania. Podręcznik programowany. PWN, Warszawa, 1985. 2. Amborski K., A. Marusak, Teoria sterowania w ćwiczeniach, PWN, Warszawa, 1978.

3. Dorf R.C., R.H. Bishop, Modern Control Systems, Addison Wesley Longman, Inc., 1998.

4. Hostetter G.H., C.J. Savant, R.T. Stefani, Design of Feedback Control Systems, Saunders College

Publishing, 1989.

5. Kaczorek T., Teoria sterowania, PWN, Warszawa, 1974.

Documents

Przekształcenie Z - atol.am.gdynia.platol.am.gdynia.pl/~tomera/ts/transformata_z.pdf · Dla transformaty Z funkcji ( 1)(1 ) (1 ) ( ) T T z e e z F z (8.1) należy znaleźć odwrotną