Przejścia fazowe w modelu Isinga na sprzężonych sieciach złożonych

Krzysztof Suchecki

Janusz A. Hołyst

Politechnika WarszawskaWydział Fizyki

K.Suchecki, Przejścia fazowe modelu Isinga na sprzężonych sieciach złożonychWydział Fizyki, Politechnika Warszawska

EAB

połączeń międzysieciowych preferencyjnych (i~k

i)

2 sieci Barabasi-Albert, N węzłów, średni stopień <k>

Przybliżenie średniopolowe

jjj

ii sk

Nk

βJk=s tanh

jjiji sJβ=s tanh

i

ii skNk

=S1

Nk

kkJ=J ji

ij

G. Bianconi, “Mean field solution of the Ising model on a Barabasi-Albert network”, Physic Letters A 303, 166-168 (2002)

i

ii SβJkkNk

=S tanh1

Zwykłe równanie samouzgodnione dla modelu Isinga

Średnie połączenie i-j

Samouzgodnione równanie spinu

Spin ważony

Samouzgodnione równanie spinu ważonego

K.Suchecki, Przejścia fazowe modelu Isinga na sprzężonych sieciach złożonychWydział Fizyki, Politechnika Warszawska

Wpływ drugiej sieci

Zwykłe oddziaływania w sieci B-A

Połączone sieci - analogicznie

Analityczne rozwiązanie daje dwie temperatury krytyczne: TC-

i TC+

A BZałożenie:

kABi=pAkAAi ; kBAi=pBkBBi

iBBiB

BB

ABA

iBBi

BB

BBBB

iAAiA

AA

BAB

iAAi

AA

AAAA

kpE

βJS+k

E

βJS=S

kpE

βJS+k

E

βJS=S

22

22

K.Suchecki, Przejścia fazowe modelu Isinga na sprzężonych sieciach złożonychWydział Fizyki, Politechnika Warszawska

B

A

B

A

BBAB

BAAA

S

S

S

S

ΛΛ

ΛΛ

Połączone sieci

K.Suchecki, Przejścia fazowe modelu Isinga na sprzężonych sieciach złożonychWydział Fizyki, Politechnika Warszawska

B

A

B

A

BBAB

BAAA

S

S

S

S

ΛΛ

ΛΛ

2

42BAABBBAABBAA

CT

2

42BAABBBAABBAA

CT

cS

1

c

S1

Stabilne stany układu

K.Suchecki, Przejścia fazowe modelu Isinga na sprzężonych sieciach złożonychWydział Fizyki, Politechnika Warszawska

T

Tc+

Stan ferromagnetyczny antyrównoległy

Stan ferromagnetyczny równoległy

Stan paramagnetyczny

Tc- antyrównoległy-równoległy

ferromagnetyk-paramagnetyk

Przejścia fazowe na przykładzie sprzężonych grafów regularnych (<k>=const.)

K.Suchecki, Przejścia fazowe modelu Isinga na sprzężonych sieciach złożonychWydział Fizyki, Politechnika Warszawska

Nie sprzężone: Tc0

Ferromagnetyk-Paramagnetyk: Tc+

Antyrównoległy-Równoległy: Tc-

Antyrównoległy-Równoległy, przejście 1 rodzaju: Tc1

Przejście fazowe 1 rodzaju

SA

SA

SB

K.Suchecki, Przejścia fazowe modelu Isinga na sprzężonych sieciach złożonychWydział Fizyki, Politechnika Warszawska

ABiBBBii BB

BiB

BAiAAAii AA

AiA

SkpSkJE

k=S

SkpSkJE

k=S

tanh

tanh

ABBBB

BAAAA

SpSJk=S

SpSJk=S

tanh

tanh

grafy regularne (k=const.)

Przejście fazowe 1 rodzaju

SA

SA

SB

K.Suchecki, Przejścia fazowe modelu Isinga na sprzężonych sieciach złożonychWydział Fizyki, Politechnika Warszawska

tSptSJk=tS

tSptSJk=tS

ABBBB

BAAAA

tanh1

tanh1

Warunek niestabilności:

1tanh

1tanh

=S

SpSJk

=S

SpSJk

A

BAAA

A

BAAA

Jkb

b

bb

bbb

bbbp

1ln

11

11

Daje się wyznaczyć zależność p(T). Można odwrócić zależność graficznie, uzyskując wykres Tc1(p).

Założenie: takie same sieci (kA=kB=k)

Przejście fazowe 1 rodzaju

SA

SA

SB

K.Suchecki, Przejścia fazowe modelu Isinga na sprzężonych sieciach złożonychWydział Fizyki, Politechnika Warszawska

tSptSJk=tS

tSptSJk=tS

ABBBB

BAAAA

tanh1

tanh1

Mapa 2-wymiarowa

Po czasie przyjmujemy, że mapa osiągnęła stabilny punkt stały – rozwiązanie układu równań

Przejście fazowe 1 rodzaju

K.Suchecki, Przejścia fazowe modelu Isinga na sprzężonych sieciach złożonychWydział Fizyki, Politechnika Warszawska

Analityka zakładająca przejście 2 rodzaju

Analityka przejścia 1 rodzaju

Iteracje mapy

Pomiar temperatury krytycznej

Symulacje Monte-Carlo, przykład dla sieci B-A (N=2000, <k>=4)

Czas uśredniania =100

warunki początkowe t

K.Suchecki, Przejścia fazowe modelu Isinga na sprzężonych sieciach złożonychWydział Fizyki, Politechnika Warszawska

Czas uśredniania

=10-3000

2 sieci B-A (N=5000, <k>=10)=100

Wybrany czas – powolne zmiany dla wyższych czasówWystarczająco długi aby układ się ztermalizował, zbyt krótki by układ przeskakiwał do stanu równoległego

K.Suchecki, Przejścia fazowe modelu Isinga na sprzężonych sieciach złożonychWydział Fizyki, Politechnika Warszawska

Temperatury krytyczne

Czas uśredniania =100

Symulacje Monte-Carlo, 2 sieci B-A (N=5000, <k>=10)

Tc- - stan początkowy

antyrównoległybadanie <S>

Tc+

- stan początkowy

równoległybadanie podatności

K.Suchecki, Przejścia fazowe modelu Isinga na sprzężonych sieciach złożonychWydział Fizyki, Politechnika Warszawska

Temperatury krytyczne

Czas uśredniania =100

Symulacje Monte-Carlo, 2 sieci B-A (N=5000, <k>=10)

Tc1

- stan początkowy antyrównoległy

badanie <S> i <|S|>

K.Suchecki, Przejścia fazowe modelu Isinga na sprzężonych sieciach złożonychWydział Fizyki, Politechnika Warszawska

TC+

, przejście

fazowe 2 rodzajuOK

TC-

, założenie przejścia

2 rodzaju,ŹLE

K.Suchecki, Przejścia fazowe modelu Isinga na sprzężonych sieciach złożonychWydział Fizyki, Politechnika Warszawska

Temperatury krytyczne

dlaczego się zgadza ?

K.Suchecki, Przejścia fazowe modelu Isinga na sprzężonych sieciach złożonychWydział Fizyki, Politechnika Warszawska

Analityka zakładająca przejście 2 rodzajuIteracje mapy

Temperatury krytyczne

Symulacje Monte-Carlo

przeskalowane Monte-Carlo

numeryczne

eanalityczn

S

SSS

max

max

Dziękuję za uwagę

K.Suchecki, J.A.Hołyst, “Ising model on two connected Barabasi-Albert networks”, Phys. Rev. E 74: 011122 (2006)

K.Suchecki, J.A.Hołyst, “First order phase transition in Ising model on two connected Barabasi-Albert networks”, w przygotowaniu

K.Suchecki, Przejścia fazowe modelu Isinga na sprzężonych sieciach złożonychWydział Fizyki, Politechnika Warszawska