Prvo predavanje

Vladimir Dananić

28. veljače 2012.

ii

Sadržaj

1 Električne pojave i sile 11.1 Kratki povijesni pregled poznavanja fundamentalnih sila . . . . . 11.2 Sveprisutnost elektriciteta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Coulombov zakon 52.1 Električno polje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

iii

SADRŽAJ SADRŽAJ

iv

POGLAVLJE 1. ELEKTRIČNE POJAVE I SILE

Poglavlje 1

Električne pojave i sile

1.1 Kratki povijesni pregled poznavanja funda-mentalnih sila

Elektromagnetska sila je jedna od četiriju poznatih fundemantalnih sila.U nekimsvojim vidovima ta je sila jako slična gravitacijskoj sili, koja je također funda-mentalna sila. Povijesni razvitak znanosti svjedoči o toj činjenici jednostavnotako što su te dvije sile bile poznate od davnine, premda nisu bile matematičkiopisane. Ali i onda kada su obje bile opisane i uobličene u teorije, to značiNewtonov zakon gravitacije (17. stoljeće)1, kojega je naslijedila Einsteinova 2

teorija opće gravitacije, i Maxwellova 3teorija klasične elektrodinamike koja jeproizašla iz domišljatih pokusa Michaela Faradaya 4, te dvije teorije bile su prvekoje je ljudski um pokušao ujediniti u jedinstvenu teoriju sila. To je pokušaoEinstein 20.-tih godina 20. stoljeća, no bez uspjeha. Međutim, tijekom drugepolovice 20. stoljeća elektromagnetska sila bila je ujedinjena, ali ne s gravitacij-skom nego sa slabom nuklearnom silom. To je poznato kao Weinberg-Salamov56 standardni model. Gravitacijska sila ostala je po strani, tako da još uvijeknemamo općeprihvaćenu i pokusima potkrijepljenu ujedinjenu teoriju sila. Mise ovdje ne ćemo baviti ujedinjavanjem elektromagnetske sile s ostalim silama,ali ćemo se ipak baviti svojevrsnim ujedinjavanjem. Naime, elektricitet i mag-netizam bile su poznate kao dvije nezavisne i nepovezane sile. Tako je to bilosve dok Ørsted 7 nije slučajno otkrio da se magnetska igla pomiče u blizini žice

1Sir Isaac Newton, 1643.-1728., engleski prirodoslovac, utemeljitelj zakona dinamike i za-kona gravitacije. Za više potankosti vidjeti http://hr.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton

2Albert Einstein, 1879.-1955., njemački fizičar, utemeljitelj posebne i opće teorije relativ-nosti (gravitacije). Njegovo je ime postalo istoznačnicom za genija u modernoj fizici. Za višepotankosti vidjeti http://hr.wikipedia.org/wiki/Albert_Einstein

3James Clerk Maxwell, 1831.-1879., škotski fizičar, utemeljitelj klasične elektrodinamike.Za više potanksti vidjeti http://hr.wikipedia.org/wiki/James_Clerk_Maxwell

4Michael Faraday,1791.-1867., engleski fizičar, poznat po domišljatim pokusima. Za višepotankosti vidjeti http://hr.wikipedia.org/wiki/Michael_Faraday

5Steven Weinberg,rođen 1933., američki teorijski fizičar. Za više potankosti vidjeti http://en.wikipedia.org/wiki/Steven_Weinberg

6Mohammad Abdus Salam, 1926.-1996., pakistanski teorijski fizičar. Za više potankostividjeti http://en.wikipedia.org/wiki/Abdus_Salam

7Hans Christian Ørsted, 1777.-1851., danski fizičar i kemičar. Za više potankosti vidjetihttp://hr.wikipedia.org/wiki/Hans_Christian_\T1\Orsted

1

1.2. SVEPRISUTNOST.. POGLAVLJE 1. ELEKTRIČNE POJAVE I SILE

Slika 1.1: Statički elektricitet djeluje jednako na ljude i na ostala živa bića.

protjecane električnom strujom. Sam naziv elektromagnetska sila upućujena tu povijesnu činjenicu. Dakle, elektromagnetizam već je jedna teorija uje-dinjenja. A sada idemo vidjeti što ćemo ujediniti s čime, zašto i kako ćemo toučiniti.

1.2 Sveprisutnost elektriciteta

Moderno doba, u kojem smo se navikli rabiti elektricitet na bezbroj načina, nijedoba otkrića elektriciteta nego njegove primjene. Svakodnevno iskustvo nampokazuje postojanje elektriciteta i to se iskustvo ne bi jako promijenilo čak ikada bismo ostali bez ikakvih modernih naprava, poput televizora i računala,mikrovalnih pećnica i mobitela i svakovrsne umjetne rasvjete. Dovoljno je po-sjedovati i nositi vuneni dio odjeće pa da se vlastitim osjetilima uvjerimo dapostoji nekakva sila koja čini da nam kosa (ako ju imamo) strši zato što ju jenešto nevidljivo privuklo, ili da nam iz prstiju iskoči iskra pri dodiru s metal-nim predmetom. I sve to ako imamo sreće da nas nikada ne udari munja izoblaka. No, ono što je najuočljivije, toliko uočljivo da to ne možemo vidjeti,nego s pomoću toga vidimo, je sama svjetlost. Činjenica da je svjetlost elektro-magnetski val postala je poznatom tek u drugoj polovici 19. stoljeća. Svjetloje, dakle, najuočljivi primjer ujedinjenja dviju pojavnosti–elektriciteta i magne-tizma. Statički elektricitet može se proizvoditi jednostavnim postupkom. Na-primjer, obično trljanje jantarnog štapa vunenom krpom proizvodi električninaboj. No, postoje i živa bića koja mogu trenutno proizvesti toliko statičkogelektriciteta da se mogu obraniti od napadača. Primjeri navedeni u slikamazorno svjedoče o tome da je električni naboj svakodnevna i sveprisutna pojava.Sada tu pojavu trebamo opisati tako da ju apstrahiramo na sličan način kao štose apstrahira broj. Kad kažemo broj, onda ne moramo reći što brojimo.Takoćemo postupiti i s električnim nabojem. Kao prvo, jasno je da postoji količinanaboja. Ta veličina mora biti skalarna, jer nije uočeno da ona ovisi o smjeru.Dakle, električni je naboj veličina poput mase. No, s jednom bitnom razlikom.

2

POGLAVLJE 1. ELEKTRIČNE POJAVE I SILE 1.2.

Slika 1.2: Električna jegulja (Electrop-horus electricus) može proizvesti do-voljno veliku količinu naboja i dovoljnoveliki električni napon da ubije čovjeka.Za više potankosti vidjeti http://en.wikipedia.org/wiki/Electric_eel

Kad bismo masu htjeli “proizvoditi” na sličan način kao što to možemo činiti selektričnim nabojem, naprimjer trljanjem dvaju predmeta, možemo to učiniti.Ali znamo da smo tim procesom jednom tijelu oduzeli (“ostrugali”) nešto mase,tako da je masa tijela nakon toga manja. Dakle, imamo zakon očuvanja mase;nju ne možemo ni iz čega stvoriti ili ju u ništa pretvoriti. No, kad imamo elek-trični naboj, onda trljanjem dvaju tijela oba tijela dobiju naboj. Znači li toda električni naboj možemo stvoriti ni iz čega? Naravno da ne znači. Moramobiti sumnjičavi kada nam se prividno nudi mogućnost da nešto stvorimo ni izčega. Očiti izlaz iz ovog prividnog kršenja zakona očuvanja je vrlo jednostavan.Naime, postoje dvije vrste naboja: pozitivan i negativan. Zbroj svijunaboja u zatvorenu sustavu očuvan je. Ako je taj zbroj jednak 0, onda govorimoo električki neutralnom sustavu. Za razliku od mase, električki naboj može bitii pozitivan i negativan, a masa je samo pozitivna veličina. Ako je tako, a svipokusi pokazuju da je to istina, onda se moramo zapitati kako to da su mate-rijalna tijela uglavnom električki neutralna. Moramo zaključiti da tvar “teži” kelektričkoj neutralnosti, tj. da se pozitivni i negativni naboji “vole”. Preciznije,to nas navodi na zaključak da se pozitivni i negativni naboji međusobno priv-lače, da između njih postoji privlačna sila. Znamo da se mase uvijek privlače,ali sve su mase pozitivne. Ovdje smo naišli na sasvim drugačiju pojavu–privlačese naboji različitog predznaka, pa su tijela zato električki neutralna. Sljedećepitanje koje se nameće je kako međusobno djeluju naboji istoga predznaka?Ako bi i između njih, tj. između naboja istoga predznaka, djelovala takođerprivlačna sila, onda bismo u prirodi morali moći naći tijela koja su električkinabijena i koja se nastoje što više skupiti, upravo kao što se zbog gravitacijskogprivlačenja nastoje skupljati tijela koja “združuju” svoje mase. Međutim, većsam pogled na Sliku 1. govori nam da tu nije riječ o “skupljanju”, nego o me-đusobnom odbijanju. Dakle, naboji istoga predznaka međusobno se odbijaju.To je vrlo jednostavno pokazati pokusom. No, ta činjenica dovodi do sljedećegteškog pitanja, na koje još uvijek nemamo sasvim zadovoljavajući odgovor. A topitanje je sljedeće: ako se naboji istoga predznaka međusobno odbijaju i ako jeelektrički naboj kontinuirana veličina, kako to da uopće onda postoji bilošto što ima naboj jednog te istog predznaka? Naime, zbog odbijanja naboj bise morao “raspršiti”, potpuno nestati. Postoji li onda nekakva druga nepoznata,ne-električka, sila koja jedan te isti naboj uopće drži na okupu? Odgovor na topitanje je sasvim jednostavan i, zapravo, još uvijek neshvatljiv–električki nabojnije kontinuirana veličina, nego se pojavljuje u cjelobrojnim jedinicamaelementarnog naboja. U kemiji su naročito poznate te jedinice naboja: pro-

3

1.2. POGLAVLJE 1. ELEKTRIČNE POJAVE I SILE

ton i elektron, pozitivna i negativna jedinica električkog naboja. Pitanje štodrži na okupu tu jedinicu naboja preteško je za ovaj kolegij i zadire u najdub-lje teorije moderne fizike. Kvantiziranost naboja uzet ćemo kao datostza koju priznajemo da ju uopće ne razumijemo. Činjenicu kvantizira-nosti električkog naboja prvi je dokazao Millikan 8. No, jedno moguće teorijskoobjašnjenje za kvantiziranost električkog naboja dao je Dirac. 9. Međutim, toteorijsko objašnjenje pretpostavlja postojanje magnetskih naboja (mono-pola) i poznavanje kvantne mehanike. Ali magnetski monopoli nisu nikada bilisa sigurnošću ustanovljeni ni u kojem pokusu.

Na kraju ovoga kratkoga pregleda sakupimo osnovne činjenice o elektricitetu

• Električki naboj je skalarna veličina, koja može imati i pozitivne i nega-tivne vrijednosti.

• U zatvorenu sustavu ukupni električki naboj je očuvan. To znači da je uzatvorenu sustavu promjena količine naboja jednaka 0:

∆q = 0 (1.1)

• Naboji istoga predznaka međusobno se odbijaju, a naboji različitog pred-znaka međusobno se privlače.

• Količina naboja je kvantizirana, tj. pojavljuje se samo kao cjelobrojniumnožak osnovne količine naboja. To znači da za svaki naboj q vrijedi

q = Ne , N ∈ Z (1.2)

gdje je e neka elementarna količina naboja.

Elementarna količina naboja u SI sustavu mjernih jedinica iznosi e = 1, 6 ·10−19C.

8Robert Andrews Millikan, 1868.-1953., američki fizičar. Za više potankosti o njemu io čuvenom pokusu kojim je dokazao kvantiziranost električkog naboja vidjeti http://en.wikipedia.org/wiki/Robert_Andrews_Millikan

9Paul Adrien Maurice Dirac, 1902.-1984., engleski fizičar. Zaslužan je za razvoj kvantneteorije polja. Više o njemu i njegovim dubokim teorijskim uvidima vidjeti na http://en.wikipedia.org/wiki/Paul_Dirac

4

Poglavlje 2

Coulombov zakon

Slično kao i kod ustanovljenja Newtonovog zakona gravitacije, gdje smo govorilio zakonu privlačenja točkastih masa, tako ćemo i ovdje zamisliti naprije točkastenaboje. Zapravo ćemo zamisliti male kuglice koje na sebi imaju neku količinunaboja. Kuglice su tijela koja najviše sliče točci i zato ih uvijek uzimamo kadaželimo smanjiti utjecaj geometrijskog oblika na promatranu silu. Metalne ku-glice iste veličine imaju zgodno svojstvo: ako jednu nabijenu metalnu kuglicudodirnemo s nenabijenom metalnom kuglicom iste veličine, naboji će na te dvijekuglice biti isti nakon dodira. Zašto? Iskustvena je činjenica da se naboji lakogibaju po metalnim površinama, a po nekim drugim površinama se ne gibajuuopće. Metali su dobri vodiči električkog naboja, a ostali su materijali izolatori ipo njima se naboji teško, ako uopće, gibaju. Budući da su dvije metalne kugliceiste veličine, pri njihovu dodiru naboj će s jedne kuglice lako prelaziti na drugusve dok se ne postigne ravnoteža. Kuglice se ni po čemu ne razlikuju, pa prematome ne možemo tvrditi da se razlikuju po količini naboja ako su kuglice u jed-nom trenutku bile u dodiru. Zato što se naboji istoga predznaka međusobnoodbijaju i zato što se lako gibaju po metalnim površinama, intuitivno je jasnoda će se naboji po dvjema geometrijski jednakim kuglicama savršeno podjed-nako raspodijeliti kad se kuglice dodirnu. Taj je postupak sličan postupku ukojem pretačemo tekućinu iz jedne u drugu posudu sve dok se razine tekućine udvjema posudama ne izjednače. No, kod spojenih posuda imamo izjednačavanjehidrostatskog tlaka, a ne sile. Pitanje je, dakle, što se pri spajanju metalnih po-vršina izjednačava, što ima ulogu “hidrostatskog tlaka”? Ustvari, u 18. stoljeću,ljudi i jesu bili zamišljali električki naboj kao svojevrsni fluid. Isto su tako bilizamišljali i toplinu. Tok topline s jednoga tijela na drugo prestaje kada se tem-perature tijela izjednače. Slično je i s tokom naboja s jednog metalnog tijela nadrugo, ali tok naboja ne prestaje s izjednačavanjem temperature–temperaturemogu na samom početku biti iste, a naboj će i dalje teći dok se “to nešto”, štonije ni temperatura ni hidrostatski tlak, ne izjednači. “To nešto” se uspostavljadodirom metalnih površina. Postojanje “toga nečega” može se ustanoviti jednos-tavnim pokusom. Dakle, vrlo lako možemo dobiti dvije kuglice s istom, premdanepoznatom, količinom naboja q. Zapravo, zgodno je imati četiri takve jednakekuglice, od čega su dvije slobodne, a dvije su stavljene na torzijsku vagu. Pri-mičući slobodne kuglice kuglicama na vagi možemi izravno mjeriti silu kojomjedna kuglica djeluje na drugu istoga naboja. Upravo takav je pokus bio izvršio

5

2.1. ELEKTRIČNO POLJE POGLAVLJE 2. COULOMBOV ZAKON

Slika 2.1: Torzijska vaga–jakojednostavan i jako učinkovit na-čin mjerenja sile.

Coulomb 1 Taj je pokus bio izveden 10 godina prije Cavendishova 2 pokusa ukojem je mjerio gravitacijsku silu, također s pomoću torzijske vage. I što jeCoulomb bio ustanovio? Ustanovio je da je odbojna sila među kuglicama raz-mjerna količini naboja na njoj i obrnuto razmjerna kvadratu udaljenosti izmeđukuglica. Dakle, sila među nabojima istoga predznaka odbojna je. Naravno daje potrebno biti domišljat i smisliti način kako postići da na jednoj kuglici budekoličina naboja q, a na drugoj, naprimjer, količina naboja −q, da bsimo takomogli mjeriti privlačnu silu između naboja suprotnih predznaka. Matematičkije oblik Coulombova zakona sljedeći: sila ~F12 na točkasti naboj q1 u točci ~r1kojom na njega djeluje točkasti naboj q2, koji se nalazi u točci ~r2, jednaka je

~F12 = kq1q2

|~r1 − ~r2|3(~r1 − ~r2) (2.1)

Elektrostatska sila djeluje na spojnici naboja i za tu silu vrijedi treći Newto-nov zakon. U jednadžbi (2.1) konstanta k samo odražava sustav mjernih jedi-nica. Iz izraza za silu vidimo da ona jako naliči na gravitacijsku silu, pri čemubi naboji imali ulogu mase, a konstanta k ulogu gravitacijske konstante. Ko-liko danas znamo, ne postoje nabijene čestice bez mase. Naprimjer, elektron iproton imaju i masu i naboj. Zato se među elementarnim česticam može us-poređivati gravitacijska i elektrostatska sila. Naime, omjer tih dviju sila ne ćeovisiti o udaljenosti među česticama. Pokazuje se da je taj omjer takav da uzpostojanje elektrostatske sile gravitacijsku silu među česticama možemo posvezanemariti. Budući da je Coulombov zakon, opisan jednadžbom (2.1), matema-tički istovjetan s Newtonovim zakonom gravitacije, možemo odmah zaključitida za silu (2.1) postoji potencijalna energija

Epot = kq1q2|~r1 − ~r2|

(2.2)

2.1 Električno polje

Nastavljajući dalje sa sličnošću Newtonovog zakona gravitacije i Coulombovogzakona, uvest ćemo pojam električnog polja na sličan način kako smo uvelipojam gravitacijskom polja. Gravitacijsko polje je omjer sile na probnu masu

1Charles Augustin de Coulomb, 1736.-1806., francuski fizičar. Za više potankosti o njemuvidjeti na http://hr.wikipedia.org/wiki/Charles-Augustin_de_Coulomb

2Henry Cavendish, 1731.-1810., engleski fizičar. Više o njemu na http://hr.wikipedia.org/wiki/Henry_Cavendish

6

POGLAVLJE 2. COULOMBOV ZAKON 2.1. ELEKTRIČNO POLJE

Slika 2.2: Silnice električnog polja pozitivnog i negativnog točkastog naboja

i probne mase kada probna masa teži k 0. Na sličan način električno poljedefiniramo kao omjer električne sile na probni naboj i probnog naboja kadaprobni naboj teži k 0. Recimo da je u jednadžbi (2.1) naboj q2 probni naboj.Tada se on nalazi u električnom polju što ga stvara naboj q1. Recimo da smonaboj q1 smjestili u ishodište koordinatnog sustava, tako da imamo ~r1 = 0, apoložaj probnog naboja q2 označit ćemo jednostavno s ~r, tj. stavit ćemo ~r2 = ~r.Električno polje što ga stvara naboj q1 tada je jednako

~E1 (~r) = limq2→0

−~F12

q2= k

q1

|~r|3~r (2.3)

Grafički prikaz vektora električnog polja dan je na slici 2.2. Na nabijenu česticuq u električnom polju ~E djelovat će sila

~F = q ~E (2.4)

Pozitivni naboji “osjećat” će silu u smjeru električnog polja, a negativni na-boji suprotno smjeru električnog polja. Ta lako shvatljiva činjenica, što slijedi izjednadžbe (2.4), ima za posljedicu pojavu polarizacije. Naime, kada neutralnisustav naboja stavimo u električno polje, pozitni naboji će se pomaknuti usmjeru polja, a negativni suprotno njemu. Doći će do razmicanja naboja, takoda će jedan kraj sustava biti pozitivno nabijen, a drugi negativno, premda će ucjelini sustav ostati i dalje neutralan. Ta pojava u kemiji ima jako velike pos-ljedice. Jedna od najvažnijih posljedica polarizacije su van der Waalsove sile, 3

odgovorne za ukapljivanje plinova na niskim temperaturama. Ako stavimo me-talni predmet u električno polje, onda govorimo o električnoj influenciji zatošto se naboji lako gibaju po metalnim površinama. No, kakav god bio sustavkoji stavimo u električno polje, uvijek imamo razmicanje pozitivnog i negativ-nog naboja. Takav, “razmaknuti naboj”, kojemu je ukupna vrijednost jednaka0, zovemo električni dipol. Dakle, kada električno polje djeluje na neutralnisustav, ono u njemu inducira električni dipol. O tome malo više kasnije. Zaelektrično polje vrijedi zakon superpozicije, koji kaže da je električno polje

3Johannes Diderik van der Waals, 1837.-1923., nizozemski fizičar. Više o njemu na http://en.wikipedia.org/wiki/Johannes_Diderik_van_der_Waals

7

2.1. ELEKTRIČNO POLJE POGLAVLJE 2. COULOMBOV ZAKON

Slika 2.3: Silnice električnog polja i ekvipotencijalne plohe za neke nabijenesustave.

sustava točkastih naboja u svakoj točci jednako zbroju električnih po-lja od pojedinačnih naboja u toj točci. Dakle, ako imamo sustav točkastihnaboja qi , i = 1, 2, ..N . onda će ukupno električno polje biti jednako

~E (~r) =

N∑i=1

~Ei (~r) =

N∑i=1

kqi

|~r − ~ri|3(~r − ~ri) (2.5)

Nastavljajući prispodobu Newtonovog zakona gravitacije i Coulombovog za-kona za elektrostatsku silu, možemo lako definirati električni potencijal. Prisje-timo se: gravitacijski potencijal smo definirali kao omjer potencijalne energiječestice u gravitacijskom polju i njezine mase. Slično tomu, električni potencijaldefiniramo kao omjer potencijalne energije točkastog naboja u električnom poljui naboja:

Φ (~r) = limq2→0

Epot

q2= k

q1|~r|

(2.6)

To je električni potencijal što ga točkasti naboj q1 stvara u prostoru oko sebe.Ta je veličina skalarna. Električno se polje dobiva iz električnog potencijaladeriviranjem po prostornoj koordinati:

~E = −~∇Φ (~r) (2.7)

Čestica naboja q u polju električnog potencijala Φ ima potencijalnu energiju:

Epot = qΦ (2.8)

Točke u prostoru koje imaju istu vrijednost električnog potencijala čine ekvipo-tencijalnu plohu. Silnice električnog polja okomite su na ekvipotencijalneplohe. Orijentacija električnog polja uvijek je od područja (plohe) višeg poten-cijala prema području (plohi) nižeg potencijala. Električni potencijal je “ononešto” što se izjednačava pri dodiru metalnih ploha. Metalne su plohe ek-vipotencijalne plohe Zašto? Ako ne bi tako bilo, onda bi na metalnoj plohielektrično polje imalo sastavnicu tangencijalno na plohu. No, zato što se

8

POGLAVLJE 2. COULOMBOV ZAKON 2.1. ELEKTRIČNO POLJE

naboji lako gibaju po metalnoj plohi, takvo tangencijalno električno poljepomaknulo bi naboj na njoj. Dokle će ga pomicati? Kada će to pomicanjezavršiti? Pomicat će ga dotle dok se ne uspostavi upravo takva razdioba na-boja na plohi koja više ne će imati tangencijalno električno polje, tj. dotle dokmetalna ploha ne postane ekvipotencijalnom. Pomaci okomito na plohu nisumogući (barem ne u nekakvim “normalnim” situacijama) jer neke druge, recimokemijske, sile drže naboj “prikovanim” za plohu. Dakle, u statičkom slučajumetalna ploha je uvijek ekvipotencijalna. Slično kao što vrijedi za električnopolje, zakon superpozicije vrijedi i za električni potencijal:

Φ (~r) =

N∑i=1

Φi (~r) =

N∑i=1

kqi

|~r − ~ri|(2.9)

Skalarne veličine je uvijek jednostavnije zbrajati nego vektorske veličine.Zato je za sustav naboja uvijek bolje izračunati, ili izmjeriti, električni potencijali ekvipotencijalne plohe nego samo električno polje. Text

9