PrússiaCidade de Könisberg

Rio Pregele suas sete pontes

A origem do estudo dos Grafos.

GRAFOS - UMA APLICAÇÃO DA ÁLGEBRA DAS MATRIZES

A teoria dos grafos é uma área da Matemática Aplicada que envolve matrizes, principalmente na representação de circuitos e redes de comunicação.

Um grafo é um conjunto de pontos que são chamados de vértices ligados por segmentos ou curvas chamados arestas.

A

B

C

D

E

F

G

H

A, B, C, D, E, F, G, H vértices.

AB, BC, BF, CF, CD, DE, EF, EG, FG, GH sãoarestas (ligam dois vértices consecutivos)

Trajeto: qualquer caminho que sai deum vértice e chega a outro vértice.

GFBGED é um trajeto.

Quando uma aresta apresentauma seta, ela só pode serpercorrida na direção da seta.

Um vértice é chamado de vértice par se e somente se um número par de arestas partem desse vértice. Para um número ímpar de arestas partindo do vértice, o mesmo é chamado de vértice ímpar.

A

B

C

D

E

F

G

H

Note que do vértice C somente pode levar em conta o sentido CB.Isto é: ela sai do vértice C, mas não sai de B.

Vértice A é ímpar – sai somente a aresta AB.

Vértice B é ímpar – saem as arestas BA, BG e BF.

Vértice C é ímpar – saem as arestas CB, CF e CD.

Vértice D é ímpar – sai apenas a aresta DC.

Vértice E é ímpar – saem as arestas ED, EF e EG.

Vértice F é par – saem as arestas FE, FG, FB, FC.

Vértice G é par – saem as arestas GE, GF, GB, GH.

Vértice H é impar – sai apenas a aresta HG.

GRAFO AURELIANOÉ um grafo que admite um trajeto que percorra todos os vértices, sem repetir aresta, retornando ao vértice de partida.

Não é um grafo aureliano.

A

B

C

DE

É um grafo aureliano.

A

B

C

DE

No vértice C, por exemplo, existem duas saídas e uma

entrada ou uma saída e duas entradas.

Portanto, não é possível, no final, retornar a ele.

Em todos os vértices o número de saídas e de entradas são iguais.

Por isso é possível sair de um vértice e retornar a ele.

Um grafo é aureliano se todos os vértices forem pares.Um grafo é aureliano se todos os vértices forem pares.

Em todo grafo, o número

de vértices ímpares é par.

GRAFO HAMILTONIANOSão grafos que permitem percorrer todos os vértices e arestas semrepetição, mas não é possível retornar ao vértice de partida.

É um grafo hamiltoniano. É possívelsair de um vértice ímpar e terminar

o trajeto no outro vértice ímpar.Não é grafo Aureliano.

Não é grafo hamiltoniano. Não hátrajeto que permita percorrer

todas as arestas sem repetir aresta.

Não é grafo Aureliano.

Um grafo é hamiltoniano se apresentar apenasdois vértices ímpares.

Um grafo é hamiltoniano se apresentar apenasdois vértices ímpares.

COMPRIMENTO DE UM CAMINHO Considerando cada aresta como um caminho a percorrer, define-se o comprimento de um caminho como sendo onúmero de arestas a serem percorridas para se deslocar de um vértice a outro.

A

B

C

DF

E

Exemplo:

O caminho ou trajeto ABFCD tem comprimento 4 pois forampercorridas 4 arestas.

MATRIZ DE ADJACÊNCIA

A cada grafo de n vértices podemos associar uma matriz M de ordemn x n chamada matriz de adjacência, tal que M = [aij]n x n, de modo que aij = k se os vértices i e j são ligados por “k” arestas e aij = 0 se os vértices i e j não são ligados.

Temos, para o grafo ao lado:

A

B

C

DF

E

A B C D E FA 0 1 0 1 1 1B 1 0 2 0 0 1C 0 2 0 1 0 1D 0 0 1 0 1 1E 1 0 0 1 1 0F 1 1 1 1 0 0

M =

Número de arestas que ligam de B para C.

A seta indica que A liga D mas D não liga A.

PROPRIEDADE DA MATRIZ ADJACÊNCIA

Se A é a matriz de adjacência de um grafo e se bij é um elementoda matriz B = An, então bij é igual ao número de caminhos de comprimento "n" que ligam o vértice i ao vértice j.

Exemplo:

A

B

C

D

M =

A B C DA 0 1 0 1B 1 0 1 1C 0 1 0 1D 1 1 1 0

M2 =

A B C DA 2 1 2 1B 1 3 1 2C 2 1 2 1D 1 2 1 3

M3 =

A B C DA 2 5 2 5B 5 4 5 5C 2 5 2 5D 5 5 5 4

Um caminho de comprimento 1 ligando o vértice B ao vértice C.

Três caminhos de comprimento2 ligando o vértice B ao vértice B.

Cinco caminhos de comprimento 3Ligando o vértice B ao vértice C.

(BC)

(BDB – BCB – BAB)

(BADC, BDBC, BABC, BCDC, BCBC)

EXERCÍCIOS

01 – Considere o grafo ao lado:

A

EB

C

D

a) Determine a matriz de adjacência do grafo.

Solução: M =

A B C D EA 0 1 0 0 0B 1 0 1 1 0C 0 1 0 1 0D 0 1 1 0 1E 0 0 0 1 0

b) Calcule A2 e A3. Quantos caminhos de comprimento 2 ligam os vértices B e D?

c) Quantos caminhos de comprimento 3 ligam os vértices B e D?

M2 =

A B C D EA 1 0 1 1 0B 0 3 1 1 1C 1 1 2 1 1D 1 1 1 2 1E 0 0 0 0 1

Resposta: 4 (BABD, BCBD, BDED, BDCD)

M3 =

A B C D EA 0 3 1 1 1B 3 2 4 4 2C 1 4 2 3 2D 1 4 3 2 3E 0 0 0 0 1

2) A figura representa um rio que corta uma cidade. As regiões A e B são duas ilhas. Por meio de 7 pontes ligam-se as regiões C e D e as ilhas A e B. 

a) Pode-se ou não sair de uma região (ou ilha) e retornar à mesma região (ou ilha) passando por todas as pontes sem que uma mesma ponte seja repetida?

b) Justifique sua resposta usando uma das propriedades dos grafos.

A

pontes

B

C

D

Solução: Adotando as regiões como vértices e as pontes como arestas (passagens) tem-se o grafo:

A

B

D

C Ligando A até B – 1 ponte

Ligando A para C – 1 ponte

Ligando A para D – 2 pontes

Ligando B para C – 2 pontes

Ligando B para D – 1 ponte.

Respostas: Não. O grafo tem dois vértices ímpares. Portanto é um grafo hamiltoniano. Assim, é possível sair de um vértice ímpar (D), percorrer todas as arestas (pontes) e chegar ao outro vértice ímpar (C).Porém não é possível retornar ao vértice (região de partida), passando por todas as pontes e retornar ao vértice de partida. (O grafo não é Aureliano).

3 - Considere um pentágono e suas diagonais. É possível sair de um vértice, percorrer todos os lados e diagonais e retornar ao ponto de partida sem repetir caminho? Justifique.

Resposta: SIM. Todos os vértices são pares.

4 - Considere um hexágono e suas diagonais. É possível sair de um vértice, percorrer todos os lados e diagonais e retornar ao ponto de partida sem repetir caminho? Justifique.

Resposta: NÃO. Existem seis vérticesímpares que são os vértices do hexágono.

5 - Apostila Pitágoras - A empresa Linhas Aéreas Airways e a única operadora de vôos no remoto pais de lslands, um pequeno arquipélago composto por ilhas.Na matriz A definida abaixo cada elemento aij é igual a 0, se não há vôo da ilha i para a ilha j e é igual a 1, se existe tal vôo.

0 1 0 1 01 0 1 0 00 0 0 1 01 0 1 0 10 1 1 1 0

A =

e) Existe algum trajeto aéreo da ilha 3 para a ilha 2? Em caso afirmativo, qual seria esse trajeto?

a) Por que os elementos da diagonal principal são iguais a zero?

Resposta: não há linha de uma ilha para ela mesmo.

b) Existe vôo direto da ilha 5 para a ilha 2. Resposta: SIM. Pois a52 = 1.

c) E da ilha 2 para a ilha 5? Resposta: NÃO. Pois, a25 = 0.

d) Se um habitante de lslands tomasse um vôo da ilha 5 para a ilha 2, poderia ele retornar de avião para a ilha 5? Nesse ultimo caso considere que ele poderia retornar passando por outras ilhas.

1 2

3 4 5

Resposta: SIM. Usando a rota: 2345 ou 2145.

Resposta: SIM. 3412 ou 3452.

6 - Apostila Pitágoras - Uma rede de telefonia celular possui 5 estações transmissoras com potências diferentes. Considere a matriz abaixo: 

A =

0 1 1 1 11 0 1 1 00 1 0 1 00 0 1 0 10 1 0 1 0

c) Um sistema real de telefonia celular possui grande quantidade de transmissores. Você é capaz de perceber uma aplicação realmente prática para a multiplicação de matrizes quadradas de ordem elevadas?

Nela aij = 1 se a estação pode transmitir diretamente para a estação j caso contrario aij = 0. Observe que a diagonal principal é nula, porque uma estação não transmite diretamente para si mesma. 

a) Calcule A2 e A3.

1 2 2 3 1 0 2 2 2 2 0 2 1 1 00 2 0 2 0 1 0 2 1 1

A2 =

2 4 6 6 4 2 4 4 6 2 0 4 2 4 22 0 4 2 2 0 4 2 4 2

A3 =

b) Qual o significado da matriz A2? e da matriz A3?

Resposta: A2 - quantidade de caminhos de comprimento 2, que ligam o vértice i ao vértice j. A3 – caminhos de comprimento 3 que ligam o vértice ao vértice j.

Resposta: a partir da análise da matriz pode-se eliminar certas ligações.

7 - Caso Van Diamont

O cenário ao lado é aresidência do bilionárioCount Van Diamond, que acaba de ser assassinado.

Sherlock Gomes (umconhecido detetive que nas horas vagas é um estudioso da Teoria dos Grafos), foi chamado para investigar o caso. O mordomo alega ter visto o jardineiro entrar na sala da piscina (lugar onde ocorreu o assassinato) e logo em seguida sair daquela sala pela mesma porta que havia entrado.O jardineiro, contudo, afirma que  ele não poderia ser a pessoa vista pelo mordomo, pois ele havia entrado na casa, passado por todas as portas uma única vez e, em seguida, deixado a casa.

Sherlock Gomes avaliou a planta da residência (conforme figura acima) e em poucos minutos declarou solucionado o caso.

Quem poderia ser o suspeito indicado por Sherlock Gomes? Qual o raciocínio utilizado pelo detetive para apontar o suspeito?  

SOLUÇÃO: Considerando cada cômodo como um vértice e cada porta comoUma aresta de um grafo, temos:

Vértice 1 – Bar - 2 portas (par) Vértice Quarto principal – 4 portas (par)

Vértice 3 – Q. empregada – 2 portas (par) Vértice 4 – Adega – 2 portas (par)

Vértice 5 – Sala principal – 4 portas (par) Vértice 6 – Piscina – 6 portas (par)Vértice 7 – Dispensa – 4 portas (par) Vértice – S. Jogos – 2 portas (par)Vértice 9 – Cozinha – 2 portas (par) Vértice 10 – Área serviço – 2 portas (par)

Como todos os vértices são pares, o grafo é aureliano. Assim, é possível entrarpor uma porta e sair por ela mesmo. Assim, o trajeto descrito pelo jardineiro NÃO É CORRETO, ele, no final chegaria à porta de saída.

O jardineiro mente e o mordomo diz a verdade. O jardineiro é o suspeito.

PROMESSA DE CASAMENTO

(cidade onde morava Josefina)  às cidades da região. O trabalho iria começar em Santana e prosseguir em continuidade, estrada após estrada, terminando, segundo explicou Tertuliano, na própria Santana. A rede de estradas é dada pela tabela a seguir, na qual a cidade de Santana  do Caixa Prego é representada pelo número 1.

Tertuliano Gonçalves havia prometidocasamento a Josefina das Graças.O evento deveria ser realizado, segundo ele, assim que acabasse o contrato de trabalho recém assinado com uma empresa encarregada de pavimentar toda a rede de estradas que ligava Santana do Caixa Prego

Você que leu esta estória acha que Tertuliano estava sendo sincero com Josefina? Por quê?E se o itinerário 1-5-9-10 estivesse a cargo de outra empresa, estaria ele sendo sincero?

RESPOSTA: não há como começar e terminar na cidade 1 sem repetir Trajeto pois tem 4 vértices ímpares (1, 5, 9, 10).

Portanto, Tertuliano está enrolando Josefina.

Eliminado o itenerário 1-5-9-10, todos os vértices seriam pares e teríamosUm grafo aureliano. Poder-se-ia sair de um vértice e retornar a ele mesmo.