Pruebas de Hipótesis

Una prueba de hipótesis es una técnica

de Inferencia Estadística que permite

comprobar si la información que

proporciona una muestra observada

concuerda (o no) con la hipótesis

estadística formulada y, por lo tanto,

decidir si se debe aceptar o rechazar

dicha hipótesis.

Introducción • Ejemplos:

un investigador que pretende demostrar que la droga A es más efectiva para el tratamiento de cierta enfermedad que la droga B;

cuando un psicólogo desea comprobar si cierto formato de instrucción incrementará la eficiencia en el aprendizajes;

cuando un ingeniero agrónomo desea comprobar si una nueva distancia de siembra entre surcos, para un cultivo, produce mejores rendimientos que las distancias que se usaban comúnmente en la zona;

cuando el jefe de marketing asegura que determinado producto es aceptado por el 60% de la población consumidora, etc.

• En cada uno de los casos anteriores el responsable del estudio postula o conjetura algo acerca de un sistema.

• Se puede decir que se llaman decisiones estadísticas a las decisiones que deben tomarse con respecto a las poblaciones a partir de una información obtenida de una muestra de las mismas.

Hipótesis Estadística es cualquier afirmación o conjetura sobre una

o varias características de interés de la

población.

Paramétrica

No Paramétrica

:

Es una afirmación sobre

alguna característica

estadística de la población

en estudio.

Por ejemplo, las

observaciones son

independientes, la

distribución de la variable en

estudio es normal, la

distribución es simétrica, etc.

Es una afirmación sobre los valores de

los parámetros poblacionales

desconocidos.

Simple

la hipótesis

asigna valores

únicos a los

parámetros

Compuesta

la hipótesis

asigna un rango

de valores a los

parámetros

Identificación de las Hipótesis

Estadísticas Paramétricas

Hipótesis nula Ho

– Se plantea con el parámetro de interés usando alguno de los

símbolos

– La probabilidad de rechazar Ho es muy baja,

y se llama nivel de significación

porque Ho es la hipótesis que se considera cierta.

Hipótesis Alternativa H1

– Es contraria a la hipótesis nula. (Niega a H0). Se plantea usando

según el caso respectivo al planteo de Ho.

– Está muy relacionada con la hipótesis de investigación,

es coherente con los resultados obtenidos en la

muestra

La probabilidad de aceptación de H1 es

:H

:H

1

0

, ,

, >,<

Ejemplo 20 20

Observaciones

• El propósito de cualquier prueba de hipótesis es decidir cual hipótesis sería rechazada o cuál ha sido aceptada.

• Cualquier decisión estará basada sobre información parcial de una población, contenida en una muestra, por lo que habrá siempre una posibilidad de una decisión incorrecta.

• La siguiente tabla resume cuatro posibles situaciones que pueden surgir en un test de hipótesis.

Verdadero estado de la población

Decisión posible H0 es cierta H1 es cierta

Se rechazo H0 Error de tipo I Decisión correcta

No se rechaza H0

Decisión correcta Error de tipo II

Esquema para realizar una prueba

de hipótesis

Etapas:

1) Enunciado de la hipótesis nula y alternativa

2) Selección del estadístico de prueba (Considerar el parámetro poblacional utilizado en 1) y los datos del problema).

3)Gráfico de la distribución del estadístico de prueba para la determinación de la región crítica con el alfa dado y la búsqueda en tabla del valor crítico.

4) Cálculo del valor observado a partir del estadístico.

5) Comparación de valores.

6) Exposición de las conclusiones

Contrastes: unilateral y bilateral

La posición de la región crítica depende de la hipótesis alternativa

Unilateral Unilateral

Bilateral

H1: <20 H1: >20

H1: 20

20

20 20

Prueba para la media poblacional con

varianza poblacional conocida.

• Con frecuencia deseamos saber si

ha cambiado o no una media

poblacional. O podemos

interesarnos por determinar si una

media de una población es diferente

o no de un cierto valor supuesto.

Ejemplo Un establecimiento tambero tiene una producción

media diaria de 25,8 (lt en miles). El gerente del establecimiento pretende modificar ciertas maquinarias con el objetivo de aumentar la

producción. Se sabe que la dispersión general es de 0,3 (lt en miles) y no se espera que ese valor cambie

con las modificaciones. Se desea probar, con un nivel de significación del 1 %, que la producción

promedio no está afectada por el cambio. Para esto, se toma una muestra de 19 observaciones y se encuentra que la nueva media es de 26,1 (lt en

miles).¿El cambio afectó la producción media diaria ?

Prueba para la media poblacional

con varianza poblacional

desconocida

Ejemplo: Un auditor desea probar el supuesto de que el valor

medio de la totalidad de las cuentas por cobrar de

una empresa dada es de $260.000.

Toma una muestra n = 16 cuentas por cobrar y

obtiene una media muestral de $240.000, con una

dispersión de $43.000. Suponga un nivel de

significación del 5% para concluir si los datos

muestrales dan evidencia suficiente para contradecir

el supuesto del auditor.

Prueba de hipótesis sobre una

proporción

• En muchos problemas de Ingeniería

se debe tomar una decisión con

respecto a una proporción.

• Los supuestos para poder aplicar

este test son los mismos que se

necesitan para construir un intervalo

de confianza para una proporción

Ejemplo:

El director de la agencia de colocaciones de una universidad sostuvo que al menos

50% de los estudiantes a punto de graduarse habían cerrado un trato de empleo para el 1º

de Marzo. Supongamos que se reúne una muestra aleatoria de estudiantes (n=30) y

solo 10 de ellos indican haber cerrado trato de empleo. ¿Puede rechazarse el argumento

del director de la agencia al nivel de significación del 5%?

Prueba de hipótesis para

una varianza

En este problema debemos probar si la varianza poblacional es un valor

determinado.

Usamos los mismos supuestos que los utilizados para la realización del

intervalo de confianza para la varianza y el mismo estadístico de

prueba.

Ejemplo

Suponga que un fabricante esta produciendo pernos de 8 mm de diámetro, y que los diámetros de estas

piezas se distribuyen normalmente ; con propósitos de control de calidad, se obtuvo una muestra de 25 pernos de una línea de producción para estimar la varianza de todos los diámetros , la cual resultó ser

de 0.009 mm2. Con un nivel de significación de 0.05. ¿Se puede concluir que la varianza poblacional

es menor que 0.01 mm2?

Prueba de hipótesis acerca de dos

parámetros

• Otro problema que se presenta

frecuentemente en el trabajo experimental

es determinar si dos distribuciones de

probabilidad tienen algunos parámetros

que son los mismos, sin especificar los

valores comunes de esos parámetros.

• Tenemos pruebas para la igualdad de dos

medias y para la igualdad de dos

varianzas

Prueba para la comparación de

Medias (varianzas poblacionales

conocidas)

• Ejemplo: Se hace un test de eficiencia a 50 ingenieros industriales y 60 ingenieros civiles, obteniéndose los siguientes resultados:

a) Verificar con un nivel de significación del 5% si la diferencia se puede atribuir a la casualidad o no.

b) Ïdem a) pero suponiendo varianzas poblacionales desconocidas e iguales, sabiendo que se obtuvo una

dispersión muestral de 6 y 5,5 respectivamente.

5 87

7 89

22

11

X

X

Prueba de hipótesis para comparar

medias con varianzas poblacionales

desconocidas

Se espera que dos operadores produzcan, en promedio, el mismo

número de unidades terminadas en el mismo tiempo . Los datos son los

números de unidades terminadas para ambos en una semana de

trabajo:

Operador 1 Operador 2

12 14

11 18

18 18

16 17

13 16

Si se supone que el número de unidades terminadas diariamente por los

dos trabajadores son variables aleatorias independientes distribuidas

normalmente. ¿Se puede establecer diferencia entre las medias a un

nivel de significación del 0,1 ?

La comparación de medias para

muestras independientes requiere

igualdad de varianzas poblacionales

Debe hacerse un pre-test para comparar varianzas.

2 2

0 1 2

2 2

1 1 2

:

:

H

H

1) Plantear las hipótesis 2) Establecer el estadístico de prueba.

2

1

2

2

ob

SF

S

3) Definir el nivel de significación y la zona de rechazo de Ho, en el gráfico de la distribución del estadístico. Hallar los valores críticos. Si

1 2

2 1

1, 1,12

1, 1,2

1

n n

n n

FF

1 2

1 2

4,4;0,011, 1;

2

1, 1,14,4;0,012

15,977

1 10,0625

15,977

n n

n n

F F

FF

No siempre es el inverso

0,02

Continuación

4) Calcular el valor observado a partir del estadístico de prueba.

2

2

2,915 8,4973,03

1,673 2,7989obF

5) Comparar el valor observado con el valor crítico.

6) Conclusiones: Luego las varianzas son iguales.

0 3,03 0,0625;15,977bF

Pertenece a la zona de aceptación de Ho.

Comparación de medias para

muestras independientes

0 1 2 1 2

1 1 2 1 2

: 0

: 0

H ó

H ó

Se plantea una prueba para medias, para varianzas

desconocidas pero iguales, de los datos se obtiene

1 214 16,6x x

1) Plantear las hipótesis

2) Establecer el estadístico de prueba.

1 2 1 2

2 2

1 1 2 2

1 2 1 2

1 1 1 1

2

ob

x xt

n S n S

n n n n

Continuación

3) Definir el nivel de significación y la zona de rechazo de Ho, en el gráfico de la distribución del estadístico.

4) Calcular el valor observado a partir del estadístico de prueba.

1 2

8;0,012;

2

1.3968n n

t t

5) Comparar el valor observado con el valor crítico.

2 2

14 16,6 0 2,60,728

3,5724.2,915 4.1,673 1 1

5 5 2 5 5

obt

1,396;1,396obt Se acepta Ho

Conclusiones

Al aceptar Ho, la diferencia de medias muestrales no es significativa, se debe al

azar.

Luego las medias poblacionales son iguales, lo que se traduce en que los dos

operadores producen, en promedio, el mismo número de unidades terminadas en

el mismo tiempo