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UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN
Enrique Guzmán y Valle
Alma Máter del Magisterio Nacional
FACULTAD DE CIENCIAS
Escuela Profesional de Matemática e Informática
MONOGRAFÍA
MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Matrices.
Suma y producto de matrices. Operaciones elementales sobre filas y
columnas. Matriz reducida. Rango de una matriz. Inversas de matrices
cuadradas. Determinante de matrices cuadradas. Transformaciones
lineales y matrices. Sistema de ecuaciones lineales. Solución de sistemas
de ecuaciones lineales homogéneos y no homogéneos. Aplicaciones de los
sistemas de ecuaciones lineales. Didáctica de las Matrices y problemas de
regularidad, equivalencia y cambio.
Examen de Suficiencia Profesional Res. Nº 0721-2019-D-FAC
Presentada por:
Torres Diaz, César Augusto
Para optar al Título Profesional de Licenciado en Educación
Especialidad: Matemática e Informática
Lima, Perú
2019
ii
iii
Dedicatoria
A Dios, a mi esposa, a mi hijo y
a mis padres por ser quienes impulsan mi
vida para ser una persona de bien.
iv
Índice de contenidos
Portada ................................................................................................................................... i
Hoja de firmas de jurado ...................................................................................................... ii
Dedicatoria........................................................................................................................... iii
Índice de contenidos ............................................................................................................. iv
Lista de figuras .................................................................................................................. viii
Introducción .......................................................................................................................... ix
Capítulo I. Álgebra de matrices ....................................................................................... 12
1.1 Matrices ......................................................................................................................... 12
1.2 Suma y producto de matrices......................................................................................... 15
1.2.1 Suma de matrices .............................................................................................. 15
1.2.2 Producto de matrices ......................................................................................... 17
1.2.2.1 Multiplicación de un escalar por una matriz .................................................. 17
1.2.2.2 Multiplicación de dos matrices ...................................................................... 18
1.3 Operaciones elementales sobre filas y columnas .......................................................... 20
1.3.1 Intercambio de dos filas o columnas ................................................................. 21
1.3.2 Multiplicación de una fila o una columna por un escalar no nulo .................... 22
1.3.3 Sumar a una fila otra fila multiplicada por un escalar no nulo ......................... 22
1.3.4 Sumar a una columna otra columna multiplicada por un escalar no nulo ........ 23
1.4 Matriz reducida .............................................................................................................. 24
1.4.1 Matriz escalonada por filas ............................................................................... 24
1.4.2 Matrices equivalentes ........................................................................................ 24
1.4.3 Matriz escalonada reducida por filas................................................................. 25
1.5 Rango de una matriz ...................................................................................................... 27
v
1.6 Inversas de matrices cuadradas...................................................................................... 28
1.6.1 Matriz identidad ................................................................................................ 28
1.6.2 Matriz inversa……………………………………………………………........28
1.6.3 Obtención de la inversa de una matriz por el método Gauss-Jordan ................29
1.7 Determinante de matrices cuadradas ............................................................................. 30
1.7.1 Determinante de orden1×1 ................................................................................ 32
1.7.2 Determinante de orden 2×2 ............................................................................... 32
1.7.3 Determinante de orden 3×3 ............................................................................... 33
1.7.3.1 Regla de Sarrus .............................................................................................. 33
1.7.4 Determinante de orden β×β ............................................................................... 34
1.7.5 Matriz inversa por determinantes ...................................................................... 35
1.7.5.1 Matriz transpuesta .......................................................................................... 35
1.7.5.2 Adjunta de una matriz .................................................................................... 35
1.7.5.3 Teorema de la inversa de una matriz por determinantes ................................ 36
1.8 Transformaciones lineales y matrices............................................................................ 37
1.8.1 Matriz de una transformación lineal ................................................................. 38
Capítulo II. Sistema de ecuaciones lineales con matrices .............................................. 40
2.1 Sistema de ecuaciones lineales ...................................................................................... 40
2.1.1 Clasificación de los sistemas de ecuaciones ..................................................... 42
2.1.1.1 Sistema compatible o consistente................................................................... 42
2.1.1.2 Sistema incompatible o inconsistente ............................................................ 42
2.1.1.3 Sistemas lineales ............................................................................................ 42
2.1.1.4 Sistemas no lineales ....................................................................................... 43
2.1.2 Métodos para resolver un sistema lineal ........................................................... 44
2.1.2.1 Método de reducción de Gauss ...................................................................... 44
vi
2.1.2.2 Método de la matriz inversa de Arthur Cayley .............................................. 44
2.1.2.3 Método de Gabriel Cramer............................................................................. 46
2.1.2.4 Método matricial de Gauss – Jordan ............................................................. 48
2.1.2.5 Teorema de Rouché – Frobenius.................................................................... 49
2.2 Solución de sistemas de ecuaciones lineales homogéneos ............................................ 51
2.3 Solución de sistemas de ecuaciones lineales no homogéneos ....................................... 52
2.4 Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones lineales ..................................................... 55
2.4.1 Aplicación en la química ................................................................................... 55
2.4.2 Aplicación en la electricidad ............................................................................. 56
2.4.3 Aplicación en la metalurgia .............................................................................. 57
Capítulo III. Didáctica de las matrices y su competencia matemática ......................... 59
3.1 Didáctica de las matrices ............................................................................................... 59
3.1.1 Definición de competencia ................................................................................ 59
3.1.2 ¿Por qué aprender matrices? ............................................................................. 59
3.1.3 ¿Para qué aprender matrices? ............................................................................ 60
3.1.4 ¿Cómo aprender matrices? ................................................................................ 60
3.2 Competencia matemática ............................................................................................... 60
3.2.1 Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de regularidad,
equivalencia y cambio ............................................................................................. 60
3.2.2 Capacidades de la competencia matemática ..................................................... 61
3.2.2.1 Matematiza situaciones .................................................................................. 61
3.2.2.2 Comunica y representa ideas matemáticas ..................................................... 61
3.2.2.3 Razona y argumenta generando ideas matemáticas ....................................... 61
3.2.2.4 Elabora y usa estrategias ................................................................................ 61
3.3 Aplicación didáctica de las matrices usando la tecnología ............................................ 62
vii
3.3.1 MS Excel para la enseñanza de matrices .......................................................... 62
3.3.1.1 Suma de matrices con Excel .......................................................................... 62
3.3.1.2 Producto de matrices con Excel ..................................................................... 64
3.3.1.3 Determinante de una matriz cuadrada con Excel ........................................... 65
3.4 Problemas de regularidad, equivalencia y cambio ........................................................ 66
3.4.1 Caso I. Baños termales de Churín ..................................................................... 66
3.4.2 Caso II. El CO2 de los vehículos en mi comunidad .......................................... 67
Aplicación didáctica ............................................................................................................ 69
Síntesis ................................................................................................................................. 76
Apreciación crítica y sugerencias ........................................................................................ 78
Conclusiones ........................................................................................................................ 80
Referencias .......................................................................................................................... 81
viii
Lista de figuras
Figura 1. Circuito eléctrico con resistencias y baterías ....................................................... 56
Figura 2. Fórmula para la suma de dos matrices en Excel .................................................. 62
Figura 3. Función para la suma de dos matrices en Excel ................................................... 63
Figura 4. Resultado de la suma de dos matrices en Excel ................................................... 63
Figura 5. Fórmula del producto de dos matrices en Excel .................................................. 64
Figura 6. Resultado del producto de dos matrices en Excel ................................................ 64
Figura 7. Determinante de una matriz cuadrada en Excel ................................................... 65
Figura 8. Resultado del determinante de una matriz cuadrada en Excel ............................. 65
ix
Introducción
El hombre, desde sus inicios, se ha interrogado sobre todos los fenómenos naturales que
acaecían a su alrededor; observaba perplejo y ensayaba múltiples explicaciones,
pretendiendo entender una impredecible naturaleza. Pronto empezó a encontrar respuestas,
aparentemente válidas, en lo mágico y lo religioso; desprovisto de ciencia pretendió
explicar sus orígenes y creó mitos.
Pero ha sido capaz de superar dificultades y trascender gracias al lenguaje y a su
propia capacidad cognoscitiva. Entonces, ha creado otros lenguajes y, progresivamente, ha
encontrado explicaciones a sus incógnitas y ha comprobado sus hipótesis; surgieron así los
conocimientos, como las matemáticas y la lógica. Por esa razón, podemos decir que el
hombre ha accedido a un conocimiento de carácter exponencial; es decir, no ha
configurado límites para adquirir sabiduría; así ha conseguido que la humanidad se
desarrolle y, además, sea capaz de dominar su entorno.
Pronto debió urbanizar, hacer sus primeros estudios de carácter sociológico, decidir
cómo organizar y distribuir su economía y, sobre todo, acceder a la tecnología. Para ello,
se sirvió del álgebra lineal y de las matrices. Estas últimas han sido de gran utilidad en la
resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Conviene precisar que fue en la antigua
Babilonia donde se inició el estudio de los arreglos rectangulares o las matrices. Desde
entonces, el hombre se ha servido de ella para alcanzar un sostenido progreso en cuanto a
las matemáticas, las ciencias y la informática.
La investigación monográfica que proponemos tiene como propósito esclarecer
conceptos relevantes acerca de las matrices, como arreglos rectangulares, y su implicancia
en lo cotidiano. No olvidemos que la teoría de matrices, como arreglos rectangulares, tiene
aplicación en diferentes ramas de las matemáticas. Asimismo, tiene como prioridad lograr
x
que los estudiantes se apropien de destrezas, orientadas al desarrollo de problemas y sean
capaces de inferir las aplicaciones de los sistemas de ecuaciones lineales.
De otro lado, pretende dejar en claro los niveles de complejidad que implica la
enseñanza de matrices y alentar el pensamiento a través de la resolución de ejercicios que
reflejen situaciones propias del entorno social. También pretendemos, a través de esta
propuesta, lograr que los estudiantes obtengan conclusiones y, en una primera instancia,
resuelvan operaciones elementales con matrices; posteriormente, abordarán situaciones
más complejas. De esta forma, estaremos alentando el proceso de análisis y de creatividad.
La investigación que ponemos en consideración del magisterio nacional propone
tres capítulos, convenientemente delimitados: el primero aborda lo referido al Álgebra de
matrices; el segundo describe El sistema de ecuaciones con matrices, e incluimos ejemplos
prácticos seguidos de una adecuada secuencia didáctica; en el tercero presentamos la
Didáctica de las matrices y su competencia matemática.
Este último capítulo es gravitante porque de ninguna manera el estudiante debe ser
un mero receptor de un conocimiento, que otro, aparentemente un especialista, le
transmite. Se trata de hacer un aprendizaje significativo; es decir, reconocer los saberes
previos y las motivaciones del aprendiz; de igual forma, reconocer los estilos de
aprendizaje.
Quienes estamos inmersos en el quehacer educativo, conocemos diversas
estrategias y metodologías y, ciertamente, ponderamos su esencia, cual es, acceder al
conocimiento, involucrando necesariamente la imaginación, la discusión, el análisis, la
imprescindible reflexión, la observación o la experimentación, la crítica y la creatividad;
esto, sobre todo, cuando a la luz de los resultados vemos que nuestra educación aún
conserva viejos lastres y sigue apelando a metodologías desfasadas.
xi
Finalmente, tenemos la certeza de que la investigación no está necesariamente
finiquitada, y menos cuando el tema de estudio reviste tanta importancia a lo largo de los
años y ha permitido el progreso del hombre en muchas áreas concernientes a su desarrollo
científico, tecnológico y social. Por esta razón, nos reafirmamos en la idea de que todo
conocimiento se renueva y la discusión alturada sigue vigente. Solo nos queda renovar
nuestro viejo compromiso de impulsar nuestra educación junto a nuestros miles de colegas.
12
Capítulo I
Álgebra de matrices
1.1 Matrices
“Una matriz es un objeto matemático representado por un ordenamiento rectangular de
escalares organizados en filas y columnas” (Hernández, 2018, p. 28).
“El conjunto horizontal de escalares se llama fila y el conjunto vertical de escalares
se llama columna además el número total de filas por el número total de columnas se llama
tamaño de la matriz” (Hernández, 2018, p. 28).
Los ordenamientos rectangulares se indican con letras capitulares como P y sus
elementos en su interior con letras menores (Buitrago, 2009).
11 1β
α1 αβ α×β
p ....... p
P= .... ..... .....
p ...... p
El tamaño de un ordenamiento rectangular es el producto de conjuntos de escalares
horizontales por conjuntos de escalares verticales, así, este ordenamiento rectangular es de
magnitud α×β (Asociación Fondo de Investigadores y Editores [AFINED], 2013).
13
Entonces P es un ordenamiento rectangular de magnitud α×β donde pij es un
elemento del ordenamiento rectangular P (AFINED, 2013).
Sea P un ordenamiento cuadrado de escalares con una magnitud de tres por tres ya
que tiene tres conjuntos de escalares horizontales y tres conjuntos de escalares verticales
(Buitrago, 2009).
3×3
1 3 5
P= 2 4 6
7 8 9
Sea Q un ordenamiento rectangular de escalares con una magnitud de dos por tres
ya que tiene dos conjuntos de escalares horizontales y tres conjuntos de escalares verticales
(Buitrago, 2009).
2×3
1 -2 3Q=
5 0 -1
De acuerdo a la forma de los ordenamientos de sus elementos estos pueden ser
cuadrados o rectangulares, aquí veremos los más utilizados en el álgebra de ordenamientos
de escalares (AFINED, 2013).
“La matriz fila es un ordenamiento rectangular con un solo conjunto de escalares
horizontales y β conjuntos de escalares verticales” (Buitrago, 2009, p. 4).
Son ordenamientos rectangulares con un solo conjunto de escalares horizontales P,
Q , R y S (AFINED, 2013).
1×3
1×4
1×5
1×6
P = 1 5 6
Q = 4 9 7 5
R = 1 5 7 9 11
S = 1 5 7 9 11 13
14
“La matriz columna tiene un solo conjunto de escalares verticales y α conjuntos de
escalares horizontales” (Buitrago, 2009, p. 4).
Son ordenamientos rectangulares con un solo conjunto de escalares verticales P y Q
(AFINED, 2013).
3×1 3×1
1 6
P = 1 Q = 1
3 3
“La matriz triangular superior es un ordenamiento de escalares de tipo cuadrado, en
la que los elementos por debajo de la diagonal principal son ceros” (Buitrago, 2009, p. 5).
4×4 4×4
4 2 4 5 1 2 1 5
0 5 4 4 0 2 3 8P= Q=
0 0 4 5 0 0 4 5
0 0 0 5 0 0 0 1
“La matriz triangular inferior es un ordenamiento de escalares de tipo cuadrado, en
la que los elementos por encima de la diagonal principal son ceros” (Buitrago, 2009, p. 5).
4×4 4×4
5 0 0 0 2 0 0 0
2 4 0 0 1 1 0 0P= Q=
2 2 4 0 4 6 2 0
2 1 1 2 3 2 1 1
“La matriz escalar es un ordenamiento de tipo cuadrado diagonal, en la que los
elementos de la diagonal principal son iguales” (Buitrago, 2009, p. 5).
4×4 4×4
4 0 0 0 0 5 0 0 0
0 4 0 0 0 0 5 0 0P= Q=
0 0 4 0 0 0 0 5 0
0 0 0 4 0 0 0 0 5
15
“La matriz opuesta es aquella que es la opuesta de un ordenamiento rectangular
dado como P, y se denota por -P cuando tiene todos los términos iguales y contrarios”
(Buitrago, 2009, p. 6).
4×4 4×4
1 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0P= P=
0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0 0 1
“la matriz simétrica es un ordenamiento de escalares de tipo cuadrado que es igual
a su transpuesta y viceversa” (Buitrago, 2009, p. 6).
T
4×4 4×4
2 0 0 0 2 0 0 0
0 2 0 0 0 2 0 0P= P =
0 0 2 0 0 0 2 0
0 0 0 2 0 0 0 2
T
4×4 4×4
1 1 0 0 1 1 0 0
1 1 2 0 1 1 2 0Q= Q =
2 1 0 0 2 1 0 0
1 0 1 1 1 0 1 1
1.2 Suma y producto de matrices
1.2.1 Suma de matrices.
Es posible realizar la suma entre dos ordenamientos rectangulares P y Q; siempre y
cuando sean del mismo orden (P, Q)Mα×β (Gutiérrez y Ochoa, 2014).
Dados dos ordenamientos rectangulares P y Q se define la suma como otro
ordenamiento rectangular P+Q de la misma magnitud (Buitrago, 2009).
16
3×3 3×3
1 2 1 2 5 1
P= 2 1 2 ; Q= 1 2 2
3 1 3 1 1 1
3×3 3×3 3×3 3×3
1 2 1 2 5 1 1 2 2 5 1 1 3 7 2
P+Q= 2 1 2 1 2 2 2 1 1 2 2 2 = 3 3 4
3 1 3 1 1 1 3 1 1 1 3 1 4 2 4
Se tiene dos ordenamientos rectangulares R y S de la misma magnitud se define la
suma como otro ordenamiento rectangular R+S de la misma magnitud (Buitrago, 2009).
3×2 3×2
1 4 3 1
R= ; S=2 3 7 2
2 4 3 1
3 2 3 2 3 2 3 2
1 4 3 1 1+3 4+1 4 5
R+S= + = =2 3 7 2 2+7 3+2 9 5
2 4 3 1 2+3 4+1 5 5
La suma de los ordenamientos rectangulares presenta las siguientes propiedades:
“Cerradura. Se cumple (P+Q)Mα×β, la suma de dos matrices es otra matriz R”
(Gutiérrez y Ochoa, 2014, p. 8).
2×2 2×2 2×2 2×2
4 5 2 3 4+2 5+3 6 8P= Q= R
1 2 1 1 1+1 2+1 2 3
“Conmutativa. Se cumple P+Q=Q+P” (Gutiérrez y Ochoa, 2014, p. 8).
2×2 2×2 2×2 2×2
4 5 2 3 4+2 5+3 2+4 3+5P= Q=
1 2 1 1 1+1 2+1 1+1 1+2
“Asociativa. Se cumple P+(Q+R) = (P+Q)+R” (Gutiérrez y Ochoa, 2014, p. 8).
2×2 2×2 2×2 2×2
4 5 2 3 4+2 5+3 2+4 3+5P= Q=
1 2 1 1 1+1 2+1 1+1 1+2
17
“Existencia del neutro. Sea la matriz 0Mα×β llamado elemento neutro para la suma
tal que para todo PMα×β se cumple P+0 = P, 0 es una matriz donde sus componentes son
ceros” (Gutiérrez y Ochoa, 2014, p. 8).
4×2 4×2 4×2 4×2
4 5 0 0 4 0 5 0 4 5
1 2 0 0 1 0 2 0 1 2P= 0= P+0=
3 1 0 0 3 0 1 0 3 1
5 6 0 0 5 0 6 0 5 6
“Inverso aditivo. Para cada elemento de P existe un elemento - P, llamado inverso
aditivo de P, tal que P + (-P) = 0” (Gutiérrez y Ochoa, 2014, p. 8).
2×2 2×2 2×2 2×2
4 5 -4 -5 4-4 5-5 0 0P= -P=
1 2 -1 -2 1-1 2-2 0 0
1.2.2 Producto de matrices.
1.2.2.1 Multiplicación de un escalar por una matriz.
El producto de un escalar kR por un ordenamiento rectangular PMα×β está
definido como otro ordenamiento rectangular Mα×β (Gutiérrez y Ochoa, 2014).
Dado un ordenamiento rectangular P de magnitud α×β y una constante kR, se
define la multiplicación escalar de P por k como k×P (Buitrago, 2009).
Se dice que P, Q y R son múltiplos de 3P, 4Q y 5R (Buitrago, 2009).
5×1 5×1 5×1
15 3(15) 45
30 3(30) 90
P= 10 3P= 3(10) = 30
25 3(25) 75
20 3(20) 60
1×2 1×2 1×2
Q= 2 4 4Q= 4(2) 4(4) = 8 16
18
2 2 2 2 2 2
1 2 5(1) 5(2) 5 10R= 5R= =
3 4 5(3) 5(4) 15 20
1.2.2.2 Multiplicación de dos matrices.
La multiplicación de dos ordenamientos rectangulares P×Q se define en términos
del producto interno entre los conjuntos de escalares horizontales del ordenamiento P con
los conjuntos de escalares verticales del ordenamiento Q (Hernández, 2018).
2×1
2×2 2×1
3 2 3P= ; Q= R
4 1 2
11
3r = 3 2 =3×3+2×2=13
2
21
3r = 4 1 =4×3+1×2=14
2
Este producto está definido solo si el número de conjuntos de escalares verticales
del primer ordenamiento P es igual al número de conjuntos de escalares horizontales del
segundo ordenamiento Q (Hernández, 2018).
2×1
2×2 2×1
5 4 2P= ; Q= R
2 3 1
3×1
3×3 3×1
1 7 2 2
R= 7 2 1 ; S= 1 T
7 5 4 4
“Nótese que la cantidad de filas de la primera matriz y la cantidad de columnas de
la segunda, determinan la magnitud de la matriz resultado” (Hernández, 2018, p. 32).
3x3 3x1 3x1P Q R
19
4x4 4x2 4x2R S T
1X2 2x4 1x4U V T
El Producto de las matrices P×Q será una matriz R de magnitud 2x1 distinto a los
ordenamientos rectangulares originales (AFINED, 2013).
2×2 2×1
3 2 3P= ; Q=
4 1 2
11
21 2×2 2×12×1
r 3 2 3R= =
r 4 1 2
11
3r = 3 2 =3×3+2×2=13
2
21
3r = 4 1 =4×3+1×2=14
2
11
21 2×12×1
r 13R= =
r 14
El producto de los ordenamientos rectangulares U×V dará como resultado un
ordenamiento rectangular W de magnitud 2x1 (AFINED, 2013).
2×2 2×1
8 6 2U= ; V=
5 4 1
11
21 2×2 2×12×1
w 8 6 2W= = ×
w 5 4 1
11
2w = 8 6 × =8×2+6×1=22
1
21
2w = 5 4 × =5×2+4×1=14
1
20
11
21 2×12×1
w 22W= =
w 14
La multiplicación de ordenamientos rectangulares presenta las siguientes
propiedades:
“Asociativa. La propiedad asociativa se cumple, si P Mα×β, Q Mβ× y R M×,
entonces P × (Q × R) = (P × Q) × R” (Gutiérrez y Ochoa, 2014, p. 13).
2x3 3x1 1x3 2x3 3x1 1x3 2x3 3x3 2x1 1x3 2x3 2x3P × Q × R = P × Q × R P ×S =T × R V =U
“Distributiva. La propiedad distributiva se cumple, si P Mα×β, Q Mβ× y R
M×, entonces P × (Q + R) = (P × Q) + (P × R)” (Gutiérrez y Ochoa, 2014, p. 13).
2 2 2 3 2 3
3 1 2 8 4 -3 1 2P= ; Q= R=
1 0 1 3 1 1 -3 -2
2 3
3 1 2 8 4 -3 1 2 -1 -27 17P (Q+R)= +
1 0 1 3 1 1 -3 -2 -1 9 6
2 3
3 1 2 8 4 3 1 -3 1 2 -1 -27 17P Q+P R= +
1 0 1 3 1 1 0 1 -3 -2 -1 9 6
“Elemento neutro multiplicativo. Algunas matrices bajo ciertas condiciones del
orden entre matrices tienen un elemento identidad” (Gutiérrez y Ochoa, 2014, p. 13).
2 2 2 2 2 2
3 1 1 0 3 1 1 0 3 1P= I= P×I= =
1 0 0 1 1 0 0 1 1 0
1.3 Operaciones elementales sobre filas y columnas
Cuando se hace una manipulación por conjuntos de escalares verticales u horizontales de
un ordenamiento rectangular se está modificando el valor de uno o más elementos del
mismo (Hernández, 2018).
21
1.3.1 Intercambio de dos filas o columnas.
Dos conjuntos escalares horizontales diferentes del ordenamiento rectangular
intercambian de posición, igualmente que los conjuntos escalares verticales pueden hacerlo
(Hernández, 2018).
Si al primer conjunto de escalares horizontales lo intercambiamos por el tercer
conjunto de escalares horizontales y viceversa esto se representa por h1h3 (AFINED,
2013).
1 3h h
4 4 4 4
1 2 2 1 4 2 4 4
2 2 2 1 2 2 2 1
4 2 4 4 1 2 2 1
4 2 1 4 4 2 1 4
Si al segundo conjunto de escalares verticales lo intercambiamos por el primer
conjunto de escalares verticales y viceversa esto se representa por v1v3 (AFINED,
2013).
2 1v v
4 4 4 4
1 1 2 8 1 1 2 8
4 1 8 7 1 4 8 7
1 4 8 7 4 1 8 7
4 1 4 4 1 4 4 4
Si al segundo conjunto de escalares verticales lo intercambiamos por el tercer
conjunto de escalares verticales y viceversa esto se representa por v2v3 (AFINED,
2013).
2 3v v
4 4 4 4
1 2 3 4 1 3 2 4
2 4 6 8 2 6 4 8
1 3 5 7 1 5 3 7
3 5 7 9 3 7 5 9
22
1.3.2 Multiplicación de una fila o una columna por un escalar no nulo.
A un conjunto de escalares horizontales se le afecta por un escalar diferente de cero
produciendo un nuevo conjunto de escalares igualmente sucede con el conjunto de
escalares verticales (Hernández, 2018).
Si al segundo conjunto de escalares horizontales lo afectamos por un escalar /2 y
se representa por h2/2h2 (AFINED, 2013).
2 2
πh h
2
4 4 4 4
3 2 5 7 3 2 5 7
4 2 4 8 2π π 2π 4π
2 7 4 1 2 7 4 1
5 3 2 2 5 3 2 2
Si al segundo conjunto de escalares verticales lo afectamos por un escalar /2 y se
representa por v2/2v2 (AFINED, 2013).
2 2
πv v
2
4 4 4×4
3 8 5 7 3 4π 5 7
4 6 4 8 4 3π 4 8
2 2 4 1 2 π 4 1
5 4 2 2 5 2π 2 2
Si al tercer conjunto de escalares verticales lo afectamos por un escalar y se
representa por v3v3 (AFINED, 2013).
3 3v πv
3 3 3 3
2 2 3 2 2 3π
7 4 4 7 4 4π
3 8 5 3 8 5π
1.3.3 Sumar a una fila otra fila multiplicada por un escalar no nulo.
A un conjunto de escalares horizontales se le suma el múltiplo escalar de otro
conjunto, lo que produce un nuevo conjunto de escalares (Hernández, 2018).
23
Restarle al conjunto de escalares horizontales h1 otro conjunto de escalares
horizontales h2, h1h1-h2 (AFINED, 2013).
1 1 2h h -h
3 3 3 3
2 1 3 1 0 1
P= 1 1 2 1 1 2
1 1 2 1 1 2
Sumarle al conjunto de escalares horizontales h1 otro conjunto de escalares
horizontales h2, h1h1+h2 (AFINED, 2013).
1 1 2h h +h
3 3 3 3
4 5 3 5 6 5
P= 1 1 2 1 1 2
1 1 2 1 1 2
1.3.4 Sumar a una columna otra columna multiplicada por un escalar no nulo.
A un conjunto de escalares verticales se le suma el múltiplo escalar de otro
conjunto, lo que produce un nuevo conjunto de escalares (Hernández, 2018).
Restarle al conjunto de escalares verticales v1 otro conjunto de escalares verticales
v2, v1v1-v2 (AFINED, 2013).
1 1 2v v -v
3 3 3 3
2 1 3 1 1 3
P= 1 1 2 0 1 2
3 2 4 1 2 4
Sumarle al conjunto de escalares verticales v1 otro conjunto de escalares verticales
v2, v1v1+v2 (AFINED, 2013).
1 1 2v v +v
4 3 4 3
2 1 3 3 1 3
1 1 2 2 1 2Q=
1 4 3 5 4 3
1 5 6 6 5 6
24
1.4 Matriz reducida
1.4.1 Matriz escalonada por filas.
Un ordenamiento rectangular P es escalonado si el número de ceros aumenta de
conjunto de escalares horizontales en conjunto de escalares horizontales (AFINED, 2013).
Si existen conjuntos escalares horizontales nulos, son los últimos (Buitrago, 2009).
6 5
3 -2 7 5 1 2 -3 5 -1
0 0 -4 7 9 0
0 0 0 1 6P= Q=
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
5 5
0 0 0
0 -5 4 7
0 0 0 0
0 0 0 0
En cada conjunto de escalares verticales donde hay un elemento principal, los
elementos por debajo de este son ceros (Buitrago, 2009).
5 5
4 -8 6 -4
0 0 1 1
R= 0 0 0 1
0 0 0 0
0 0 0 0
1.4.2 Matrices equivalentes.
Se dice que un ordenamiento rectangular P es equivalente, por conjuntos de
escalares horizontales o por conjuntos de escalares verticales, a otro Q, si este último se ha
obtenido de la primera por medio de cálculos básicos (AFINED, 2013).
El ordenamiento rectangular P es equivalente por conjuntos de escalares
horizontales al nuevo ordenamiento rectangular, porque al primer conjunto de escalares
horizontales se le resto el segundo conjunto de escalares horizontales (AFINED, 2013).
25
1 1 2h h -h
4 3 4 3
2 1 3 1 0 1
1 1 2 1 1 2P=
1 1 2 1 1 2
1 1 2 1 1 2
El ordenamiento rectangular Q es equivalente por conjuntos de escalares
horizontales al nuevo ordenamiento rectangular, porque al primer conjunto de escalares
horizontales se le sumo el segundo conjunto de escalares horizontales (AFINED, 2013).
1 1 2h h +h
5 5 5 5
1 2 5 2 2 1 3 7 5 5
0 1 2 3 3 0 1 2 3 3
Q= 0 1 2 0 1 0 1 2 0 1
1 1 3 1 2 1 1 3 1 2
0 1 2 2 1 0 1 2 2 1
El ordenamiento rectangular R es equivalente por conjuntos de escalares
horizontales al nuevo ordenamiento rectangular, porque al primer conjunto de escalares
horizontales se le sumo el doble del segundo conjunto de escalares horizontales (AFINED,
2013).
1 1 2h h +2h
6 5 6 5
1 2 5 2 2 1 4 9 8 8
0 1 2 3 3 0 1 2 3 3
0 1 2 0 1 0 1 2 0 1R=
1 1 3 1 2 1 1 3 1 2
0 1 2 2 1 0 1 2 2 1
2 5 4 1 1 2 5 4 1 1
1.4.3 Matriz escalonada reducida por filas.
Aplique cálculos básicos a los conjuntos de escalares horizontales para transformar
el siguiente ordenamiento a su forma escalonada reducida (Lay, 2007).
26
1 1 2h h +h
4 5
3 0 1 2 -1 1 1 5 0 -1
-2 1 4 -2 0 -2 1 4 -2 0P=
4 1 6 2 -2 4 1 6 2 -
1 1 5 0 -1
2 2 1
3 3 1
4 4 1
h h +2hh h -4hh h -h
4 5
2
1 1 5 0 -1
3 3 2h h +h
4 5
1 1 5 0 -1 1 1 5 0 -1
0 3 14 -2 -2 0 3 14 -2 -2 P=
0 -3 -14 2 2 0 0
0 0 0 0 0
2 2
1h h
3
4 5
0 0 0
0 0 0 0 0
1 1 2h h -h
4×54×5
1 2 -11 1 5 0 -1 1 1
3 3 3
14 -2 -214 -2 -20 1
0 13 3 3 P= 3 3 3
0 0 0 0 00 0 0 0 0
0 0 0 0 00 0 0 0 0
Empiece con el conjunto de escalares verticales distinto de cero que se encuentra
más a la izquierda (Lay, 2007).
En este caso es conjunto de escalares verticales del elemento principal. La posición
del elemento principal está en la parte superior (Lay, 2007).
Seleccione como elemento principal una entrada distinta de cero del conjunto de
escalares verticales del elemento principal (Lay, 2007).
Si es necesario, intercambie conjuntos de escalares horizontales para mover esta
entrada a la posición del elemento principal (Lay, 2007).
Use cálculos de reemplazo a los conjuntos de escalares horizontales para crear
ceros en todas las posiciones ubicadas debajo del elemento principal (Lay, 2007).
Cubra el conjunto de escalares horizontales que contiene la posición del elemento
principal y cubra todos los conjuntos de escalares horizontales (Lay, 2007).
27
“Aplique los pasos anteriores realizados a la sub matriz restante. Repita el proceso
hasta que no haya más conjuntos de escalares horizontales distintos de cero por modificar”
(Lay, 2007, p. 18).
Comience con el elemento principal situado más a la diestra trabajando hacia lo
alto y a la siniestra, cree ceros arriba de cada elemento principal (Lay, 2007).
Si un elemento principal no es uno, hágalo uno mediante un cálculo escalonado
horizontal o vertical (Lay, 2007).
1.5 Rango de una matriz
El número máximo de conjuntos de escalares verticales se llama rango por conjunto de
escalares verticales (AFINED, 2013).
El número máximo de conjuntos de escalares horizontales se llama rango por
conjunto de escalares horizontales (AFINED, 2013).
“Se demuestra que el rango por filas es igual al rango por columnas además se
llama rango de una matriz al número de filas o columnas” (AFINED, 2013, p. 47).
“La submatriz cuadrada de mayor orden contenida en P, Q y R será el rango de P,
Q y R” (AFINED, 2013, p. 47).
1 1 2 2 2 1h h -h h h -h
2 3 2 3 2 3
2×3
2 1 3 1 0 1 1 0 1P=
1 1 2 1 1 2 0 1 1
1 0 1P= r(P)=2
0 1 1
1 2 2 2 1 1 1 2h h h h -2h h h -h
2 3 2 3 2 3 2 3
2 3 13 1 1 5 1 1 5 1 0 2Q=
1 1 5 2 3 13 0 1 3 0 1 3
2×3
1 0 2Q= r(Q)=2
0 1 3
28
1 1 21 2 2 2 1
1h h - h
h h h h -4h 2
2 3 2 3 2 3 2 3
4 6 8 1 1 2 1 1 2 1 0 2R=
1 1 2 4 6 8 0 2 0 0 2 0
2 2
1h h
2
2×3 2×3 2×3
1 0 2 1 0 2 1 0 2R= R= r(R)=2
0 2 0 0 1 0 0 1 0
1.6 Inversas de matrices cuadradas
1.6.1 Matriz identidad.
Es un ordenamiento cuadrado del tipo escalar en la cual la constante es uno
(Buitrago, 2009).
4 4
4×4
1 0 0 0
0 1 0 0P= = I
0 0 1 0
0 0 0 1
5 5
5×5
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
Q= = I0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
1.6.2 Matriz inversa.
Un ordenamiento de escalares de tipo cuadrado es invertible si se encontrase otro
ordenamiento tal que: P×P-1=I y viceversa (Hernández, 2018).
Encuentre el inverso del ordenamiento de escalares de tipo cuadrado P si existe
(Lay, 2007).
29
2 2 2 2
3 5 2 -5P= ; Q=
1 2 -1 3
2 2
3 5 2 -5 6-5 -15+15 1 0P Q= = =
1 2 -1 3 2-2 -5+6 0 1
2 2
2 -5 3 5 6-5 10-10 1 0Q P= = =
-1 3 1 2 -3+3 -5+6 0 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2P ×Q =Q ×P =I
1.6.3 Obtención de la inversa de una matriz por el método de Gauss-Jordan.
“Si el conjunto de todas las operaciones fila necesarias para convertir a un
ordenamiento de tipo cuadrado P en una identidad se aplican a un ordenamiento identidad,
esta se convierte en el ordenamiento inverso de P” (Hernández, 2018, p. 38).
“Si P e I se colocan lado a lado para formar un ordenamiento escalonado [P I],
entonces las operaciones de fila en este ordenamiento producen operaciones idénticas
sobre P e I” (Lay, 2007, p. 124).
2×2 2×2
1 5 1 0P= ; I=
3 2 0 1
2 2
2 2 1
-1h h
h h -3h 131 5 | 1 0 1 5 | 1 0P | I =
3 2 | 0 1 0 -13 | -3 1
1 1 2h h -5h
-1
2×2
-2 51 5 | 1 0 1 0 |
13 13P | I = 3 -1
3 -10 1 | 0 1 | 13 13
13 13
-2 5
13 13P =
3 -1
13 13
30
1.7 Determinante de matrices cuadradas
“Es una función tal que, al ser aplicada a un ordenamiento de escalares de tipo cuadrado, la
convierte en un escalar real o complejo” (AFINED, 2013, p. 32).
Sea P un ordenamiento de escalares del tipo cuadrado; el determinante de P se
representa por |P| o det(P) (AFINED, 2013)
La determinante de un ordenamiento de escalares de tipo cuadrado presenta las
siguientes propiedades generales:
Un ordenamiento de escalares de tipo cuadrado y su transpuesta tiene el mismo
determinante; es decir, |P|=|PT| (AFINED, 2013).
2×2
3 6P= P =3×2-6×1=0
1 2
T T
2×2
3 1P = P =3×2-6×1=0
6 2
Sean los ordenamientos de escalares cuadrados P y Q de la misma magnitud;
entonces, se cumple que: |P×Q|=|P|×|Q| (AFINED, 2013).
2 2
3 5P= P =3×2-5×1=1
1 2
2 2
2 -5Q= Q =2×3-5×1=1
-1 3
2 2
3 5 2 -5 6-5 -15+15 1 0P Q= = =
1 2 -1 3 2-2 -5+6 0 1
1 0P Q = =1×1-0×0=1
0 1
P× = P × Q|Q | | | 1=1×1 1=1
31
Si un ordenamiento de escalares de tipo cuadrado tiene los elementos de dos
conjuntos de escalares horizontales o dos verticales, respectivamente proporcionales entre
sí, entonces su determinante siempre será cero (AFINED, 2013).
2×2
3 6P= P =3×2-6×1=0
1 2
2×2
x 3xQ= Q =x×3y-3x×y=3xy-3xy=0
y 3y
Si se intercambian dos conjuntos de escalares horizontales o dos conjuntos de
escalares verticales de un ordenamiento de escalares del tipo cuadrado, su determinante
cambia de signo (AFINED, 2013).
2×2
3 6P= P =3×4-6×1=6
1 4
T
2×2
1 4Q= P =1×6-3×4=-6
3 6
El determinante de un ordenamiento de escalares del tipo cuadrado, triangular
inferior o triangular superior es igual a multiplicar los elementos de la diagonal principal
(AFINED, 2013).
1 3 1
P = 0 2 5 =1×2×3=6
0 0 3
4 1 2 1
0 2 1 2Q = =4×2×5 2=80
0 0 5 1
0 0 0 2
32
2 0 0 0
1 1 0 0R = =2 1 3 2=12
4 4 3 0
2 2 2 2
4 0 0
S = 0 4 0 =4 4 4=64
0 0 4
1.7.1 Determinante de orden 1×1.
Se llama determinante de un ordenamiento de escalares cuadrado de magnitud 1×1,
formada por el elemento p11, que da como resultado al propio elemento p11, entonces el
determinante será el mismo elemento del ordenamiento (AFINED, 2013).
1 × 1
P= 8 P =8
1 × 1
Q= -10 Q =-10
1 × 1
R= senθ R =senθ
1 × 1
S= 1+i S =1+i
1.7.2 Determinante de orden 2×2.
Sea el ordenamiento de escalares del tipo cuadrado de magnitud 2×2 con elementos
p11, p12, p21 y p22 entonces se define su determinante:|P|=p11×p22-p21×p12 (AFINED, 2013).
2×2
3 2P= P =3×4-2×1=10
1 4
2×2
x y2 2Q= Q =x×x-y×y=x -y
y x
33
2×2
9 3R= Q =9×2-3×6=18-18=0
6 2
1.7.3 Determinante de orden 3×3.
1.7.3.1 Regla de Sarrus.
Se emplea en el ordenamiento de escalares del tipo cuadrado de magnitud 3×3
trasladando los dos primeros conjuntos de escalares verticales a la parte final y se efectúan
multiplicaciones en dirección cruzada, como se indica (AFINED, 2013).
11 12 13
21 22 23
31 32 33 3×3
p p p
PSea: = p p p
p p p
Para estimar su determinante escribimos (AFINED, 2013).
11 12 13 11 12
21 22 23 21 22
31 32 33 31 32
p p p | p p
P = p p p | p p
p p p | p p
11 22 33 12 23 31 13 21 32 31 22 13 32 23 11 33 21 12P =(p p p +p p p +p p p )-(p p p +p p p +p p p )
Emplee este proceso para estimar el determinante de P (Lay, 2007).
3 × 3
1 2 3
P= -1 0 4
-2 1 5
1 2 3 | 1 2
P = -1 0 4 | -1 0
-2 1 5 | -2 1
P =(1×0×5+2×4×(-2)+3×(-1)×1)-((-2)×0×3+1×4×1+5×(-1)×2) = -19+6 = -13
34
1.7.4 Determinante de orden β×β.
“El determinante de un ordenamiento de escalares del tipo cuadrado P de orden
β×β es igual a la suma de los productos obtenidos de multiplicar a los elementos de
cualquier fila (o columna) por sus respectivos cofactores” (AFINED, 2013, p. 36).
“Si elegimos la fila i, tenemos” (AFINED, 2013, p. 36).
βi+jP = p P + p P +..........+ p P = (-1) p P
i1 i1 i2 i2 iβ iβ ij ijj=1
“Si elegimos la columna j, tenemos” (AFINED, 2013, p. 36).
βi+jP = p P + p P +..........+ p P = (-1) p P
1j 1j 2j 2j βj βj ij iji=1
“Use el desarrollo por cofactores a lo largo del primer conjunto de escalares
horizontales para calcular el determinante de P” (Lay, 2007, p. 188).
11 11 12 12 13 13
3×3
1 2 3
P= -1 0 4 P = p P - p P + p P
-2 1 5
Donde:
11
0 4P = =0 - 4= - 4
1 5
12
-1 4P = = - 5 + 8 = 3
-2 5
13
-1 0P = = - 1+ 0 = -1
-2 1
0 4 -1 4 -1 0P =1× -2× +3× =1×(0-4)-2×(-5+8)+3×(-1+0)= - 13
1 5 -2 5 -2 1
35
1.7.5 Matriz inversa por determinantes.
1.7.5.1 Matriz transpuesta.
Sea un ordenamiento de escalares del tipo cuadrado P, Se llama transpuesta de P a
lo denotado por PT y definida por PT=(pij)β×α (AFINED, 2013).
“Es decir, dado los ordenamientos P y Q, se determina su transpuesta denotada por
PT y QT permutando todas las filas por las columnas” (AFINED, 2013, p. 27).
T
3 × 3 3 × 3
5 7 8 5 3 7
P= 3 2 1 P = 7 2 8
7 8 9 8 1 9
T
3 × 3 3 × 3
1 2 3 1 4 7
Q= 4 5 6 Q = 2 5 8
7 8 9 3 6 9
Dados los ordenamientos de tipo cuadrado A, B y C indique el ordenamiento de
escalares de tipo cuadrado transpuesto en cada caso (AFINED, 2013).
2×3 2×2
3×2
5 74 3 2 5 7
A= ; B= ; C= 4 31 4 1 6 2
-1 9
T T T
2×2 2×3
3×2
4 15 6 5 4 1
A = 3 4 ; B = ; C =7 2 7 3 9
2 1
1.7.5.2 Adjunta de una matriz.
“Sea Q un ordenamiento de escalares del tipo cuadrado de cofactores de V; luego, a
la transpuesta de los ordenamientos de tipo cuadrado de cofactores, denotada por Adj(V),
se denomina adjunta del ordenamiento de tipo cuadrado de V” (AFINED, 2013, p. 40).
36
2 × 2
4 1Q=
1 2
i+j
ij ijLos cofactores son |: V = -1 M |
1+1
11
1+2
12
2+1
21
2+2
22
V =(-1) (2)=2
V =(-1) (1)=-1
V =(-1) (2)=-2
V =(-1) (4)=4
Luego, el ordenamiento de tipo cuadrado de cofactores de P es:
2 -1cof(V)=
-2 4
Entonces, la Adj V es:
2×2
2 -2Adj(V)=
-1 4
1.7.5.3 Teorema de la inversa de una matriz por determinantes.
Un ordenamiento de escalares del tipo cuadrado V tiene inversa si y solo si es una
matriz no singular; en tal caso, se dice que es invertible (AFINED, 2013).
Sea V un ordenamiento de escalares del tipo cuadrado invertible, entonces el
ordenamiento de escalares inverso está dada por V-1=(Adj(V)/|V|) (AFINED, 2013).
2 × 2
4 3V=
2 2
i+j
ij ijLos cofactores son |: V = -1 M |
1+1
11V =(-1) (2)=2
37
1+2
12
2+1
21
V =(-1) (2)=-2
V =(-1) (3)=-3
2+2
22V =(-1) (4)=4
2 2 2 × 2
2 -2 2 -3cof(V)= Adj(V)=
-3 4 -2 4
Hallando V :
2 × 2
4 3V= V =4×2-2×3=2
2 2
Entonces, el ordenamiento de escalares inverso será:
-1 Adj(V)V =
V
-1 -1
2 22 × 2
3 2 -3 -1-1
2V = V = 2 -2 4
1 2
1.8 Transformaciones lineales y matrices
“Las T.L se caracterizan porque conservan la estructura algebraica de los conjuntos entre
los que se define” (Buitrago, 2009, p. 303).
“Una T.L es una función T: VW que asigna a cada vector vV un único vector
uW denotado por T(v)” (Buitrago, 2009, p. 303).
“Para todo (u, v)V, T(u+v) =T(u)+T(v)” (Buitrago, 2009, p. 303).
1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2T(u+v)=k(x +x ,y +y ,z +z ) T(u+v)=k(x ,y ,z )+k(x ,y ,z )
T(u+v)=ku+kv T(u+v)=T(u)+T(v)
“Para todo uV y para todo R T(u)=T(u)” (Buitrago, 2009, p. 333).
38
1 1 1 1 1 1 1 1 1T( u) T( x , y , z ) k( x , y , z ) T( u) (kx ,ky ,kz )
T( u) T(u)
“Una T.L es una función entre espacios vectoriales que conservan su estructura”
(Buitrago, 2009, p. 335).
“El núcleo de una T.L es el conjunto de vectores que tienen como imagen al vector
nulo” (Buitrago, 2009, p. 335).
“La nulidad de una T.L de la función T es la dimensión del núcleo de la misma”
(Buitrago, 2009, p. 335).
“La imagen de una T.L es el conjunto de vectores, que son imagen de otro vector”
(Buitrago, 2009, p. 335).
“El rango de una T.L de la función T es la dimensión de la imagen de la misma”
(Buitrago, 2009, p. 335).
1.8.1 Matriz de una transformación lineal.
“Sea T: VW, T es lineal; donde v1, v2, ……, vn elementos de la base V y u1,
u2, …...,un son elementos de la base W” (Buitrago, 2009, p. 335).
1 11 1 21 2 31 3 α1 m
2 12 1 22 2 32 3 α2 m
n 1β 1 2β 2 3β 3 αβ m
T(v )=p u +p u +p u +……+p u
T(v )=p u +p u +p u +……+p u
.......................................................
T(v )=p u +p u +p u +……+p u
Ahora generamos el ordenamiento rectangular PT:
11 12 13 1β
21 22 23 2β
T
α1 α2 α3 αβ α×β
p p p .........p
p p p .........pP =
.......................................
p p p .........p
39
“Sea T:V(x)W(x); T(ax+bx+cx2)=ax+b+c; v=1; 1-x;1+x+x2; u=1-x; 1+x”
(Buitrago, 2009, p. 336).
T(1)=1.x+0+0=x
T(1-x)=1.x-1+0=x-1
2T(1+x+x )=1.x+1+1=x+2
11 21x=p (1-x)+p (1+x)
11 21 21 11x=(p +p )+x (p -p )
11 21
11 21
11 21
-1 1 (p = ; p = )
2 2
p +p =0
-p +p =1
12 22
12 22 22 12
x-1=p (1-x)+p (1+x)
x-1=(p +p )+x (p -p )
12 22
12 22
12 22
p +p =-1
-p +p =1(p =-1; p =0)
13 23
13 23 23 13
x+2=p (1-x)+p (1+x)
x+2=(p +p )+x (p -p )
13 23
13
13
2
2
3
3
p +p =2
-p +p =1
1 3(p = ; p = )
2 2
T
2×3
-1 1-1
2 2P =
1 3 0
2 2
40
Capítulo II
Sistema de ecuaciones lineales con matrices
2.1 Sistema de ecuaciones lineales
Es un agrupamiento de igualdades lineales o no lineales con diferentes interrogantes, que
provocan en forma sincronizada valores atribuidos a sus interrogantes de manera lógica
(AFINED, 2013).
Se tiene dos interrogantes en el sistema de dos igualdades y se cumplen
conjuntamente para x=3; y=1 (AFINED, 2013).
6x+10y=28
4x-10(x=3; y=
y1)
=2
Se tiene tres interrogantes en el sistema de tres igualdades y se cumplen
conjuntamente para x=2; y=2; z=2 (AFINED, 2013).
4x+2y-2z=8
x+y+z=6
6x-2
(x=2; y =2;
y
z=2)
=8
Se tiene dos interrogantes en el sistema de dos igualdades y cumplen
conjuntamente para x=5; y=-5 (AFINED, 2013).
41
4x - 4+ 16 - 4y=10
4 6+ =2
x=5; y = -5
x - 4 y + 2
Cuando en el sistema una igualdad no es lineal, se dice que no es lineal dicho
sistema (AFINED, 2013).
3x+3y=24
2 26
6 3 35
4x - 4+ 4y - 8=6
x y
x y
“Si existe, la solución de un sistema de igualdades, precisa del número de
interrogantes” (AFINED, 2013, p. 82).
(x=2 y=6) (x=5 y=3)
Si se tiene dos interrogantes en el sistema, una solución será (x0; y0), llamado par
ordenado (AFINED, 2013).
C.S= (2;6),(5;3)
Si se tiene tres interrogantes en el sistema, una solución será (x0; y0; z0), llamada
terna ordenada (AFINED, 2013).
0x+4y-5z=0
-4x+0y+7z=0
5x-7y+0z=0
Si se tiene n interrogantes, una solución será (x1; x2; …; xn) de n elementos,
llamada n-ada ordenada (AFINED, 2013).
“Es el C.S formado por todas las respuestas del sistema; en el caso de existir
solución, su conjunto solución es el conjunto ” (AFINED, 2013, p. 82).
42
2.1.1 Clasificación de los sistemas de ecuaciones.
“Se organizan de acuerdo a ciertas cualidades” (AFINED, 2013, p. 82).
2.1.1.1 Sistema compatible o consistente.
“Es aquel que tiene al menos una respuesta, es decir, su C.S tiene al menos un
elemento” (AFINED, 2013, p. 82).
6x-2y=18
(x=4; y=3) CS= (4;3)x+2y=10
3x-3y=27
(x=3;y=1) C.S= (3;1),......8x-8y=16
6x+2y=8
y=-3x+4 C.S= (-2;10),......3 yx+ =1
4 4
2.1.1.2 Sistema incompatible o inconsistente.
“Su cualidad es que no tiene respuesta; es decir, su conjunto solución es el ”
(AFINED, 2013, p. 83).
8x+4y=10
16x+8y=6
10=3, lo cual es absurdo C.S= .
2.1.1.3 Sistemas lineales.
“Se debe esta denominación a que, en el espacio euclideo, estas igualdades
determinan rectas, planos o hiperplanos” (AFINED, 2013, p. 84).
La forma general de un sistema de igualdades lineales es (AFINED, 2013).
43
11 1 12 2 1β n 1
21 1 22 2 2β n 2
31 1 32 2 3β n 3
m1 1 m2 2 αβ n m
p x +p x +........+p x =d
p x +p x +........+p x =d
p x +p x +........+p x =d
.
.
p x +p x +........+p x =d
La forma particular de un sistema de igualdades es (AFINED, 2013).
6x+12y-6z=8
2x+4y-2z=12
12x-6y+10z=2
2x-2y+4z=6
2x- 3y= 5
3x+4y=1
2.1.1.4 Sistemas no lineales.
“Son aquellos sistemas donde al menos una de las igualdades es no lineal; es decir,
puede ser polinomial de grado n ≥ 2, racional, irracional, etc” (AFINED, 2013, p. 84).
“Sistemas polinomiales de grado superior” (AFINED, 2013, p. 84).
3 2 2
2 2 4
x +xy+y=1 x +4y =25
x+y=3 ; x+2y=7
x +4y =25 x +xy+y=1
“Sistemas no algebraicos no polinomiales” (AFINED, 2013, p. 84).
3 x+y
3
x+y x+y x
log x-log x=1 3 -2y=5
x.logy=2 ; 3x+3y=1
2 - 5y =5 x.logy =2
44
2.1.2 Métodos para resolver un sistema lineal.
2.1.2.1 Método de reducción de Gauss.
Radica en ir reduciendo igualdades e interrogantes logrando presentar una sola
igualdad con la mínima cuantía de variables (AFINED, 2013).
6x+10y=28......(I)
4x-2y=10........(II)
De la ecuación II
y=2x-5...........(α)
Supliendo en la igualdad (I)
6x+10(2x-5)=28 6x+20x-50=28
26x=78 x=3
Supliendo en la igualdad ()
y=2(3)-5=1 CS= 3;1
2.1.2.2 Método de la matriz inversa de Arthur Cayley.
Se basa en el empleo de los ordenamientos rectangulares de tipo inverso para la
determinación de los sistemas lineales delimitados. Se emplea en sistemas lineales donde
el número de igualdades es idéntico al número de interrogantes (AFINED, 2013).
Para determinar el sistema lineal:
11 1 12 2 1β n 1
21 1 22 2 2β n 2
β1 1 β2 2 ββ n n
p x +p x +........+p x =d
p x +p x +........+p x =d
.
.
p x +p x +........+p x =d
45
Este sistema genérico de igualdades lineales es encaminado a una igualdad
matricial, de manera consecuente a: PX=D (AFINED, 2013).
11 12 13 1β 1
21 22 23 2β 2
31 32 33 3β 3
nβ1 β2 β3 ββ
p p p ....... p x
p p p ....... p x
p p p ....... p x
…........................................
xp p p ....... p
1
2
3
n
d
d
= d
…
d
Aislando la igualdad de ordenamientos rectangulares:
11 12 13 1β1
21 22 23 2β2
3 31 32 33 3β
n β1 β2 β3 ββ
p p p ....... px
p p p ....... px
x = p p p ....... p
… ........................................
x p p p ....... p
-1
1
2
3
n
d
d
d
…
d
-1X = P D
Este sistema particular de igualdades lineales es encaminado a una igualdad
matricial, de manera consecuente a: PX=D (AFINED, 2013).
6x-2y=18
x+2y=10
6 -2 x 18=
1 2 y 10
-1x 6 -2 18
=y 1 2 10
Averiguando el ordenamiento inverso de tipo cuadrado de 2×2:
1 2 2 2 1h × h h h -6h6 -2 | 1 0 1 2 | 0 1
1 2 | 0 1 6 -2 | 1 0
46
2 2 1 1 2
-1h h
h h -2h14
1 11 2 | 0 1 1 0 |
1 2 | 0 1 7 7
-1 30 -14 | 1 -6 -1 30 1 |
0 1 | 14 714 7
Operando el producto de ordenamientos rectangulares:
1 1 18 10 4x 18 + 7 7 7 7
= = = (x=4;y=3) C.S= (4;3)-1 3 -18 30
+ 3y 1014 7 14 7
2.1.2.3 Método de Gabriel Cramer.
La cantidad de igualdades de ciertas variables es idéntica a la cantidad de
interrogantes, encima de que el determinante de los coeficientes de las interrogantes es
diferente de cero (AFINED, 2013).
Aplicando el procedimiento de Cramer (AFINED, 2013).
11 1 12 2 1β n 1
21 1 22 2 2β n 2
β1 1 β2 2 ββ n n
p x +p x +........+p x =d
p x +p x +........+p x =d
...........................................
p x +p x +........+p x =d
Estimamos:
11 12 1β 11 12 1 1β
21 22 2β 21 22 2 2β
j
β1 β2 ββ β1β×β
p p ........…p p p .........d ......p
p p ........…p p p .........d ......pP = 0; P =
........................... .................................
p p ........…p p p
β2 n ββ β×β
.........d ......p
En seguida, el resultado viene asignado por (AFINED, 2013).
j
j
Px = ;j=1;2;.....;n
P
47
Donde P es el ordenamiento de escalares de tipo cuadrado del sistema de
igualdades (AFINED, 2013).
11 12 13 1β
21 22 23 2β
31 32 33 3β
β1 β2 β3 βββ×β
p p p ....... p
p p p ....... p
P= p p p ....... p
........................................
p p p ....... p
“Con determinante no nulo: | P | ≠ 0 y Pj es el ordenamiento que se obtiene a partir
del ordenamiento de escalares de tipo cuadrado P, cambiando los elementos de la columna
j por los términos independientes” (AFINED, 2013, p. 88).
Emplee el proceso de Cramer para cuantificar el sistema (Lay, 2007).
6x+10y=28
4x-2y=10
6 10P = = - 12 - 40= - 52
4 -2
1
28 10P = = -56 - 100= - 156
10 -2
2
6 28P = = 60 - 112 = -52
4 10
Determinando las interrogantes:
1
1
P -156x=x = = =3
P -52
2
2
P -52y=x = = =1 (x=3;y=1) C.S= (3;1)
P -52
48
2.1.2.4 Método matricial de Gauss – Jordan.
Este procedimiento es parecido al proceso de reducción y permite cuantificar un
sistema lineal de forma de ordenamientos rectangulares (AFINED, 2013).
Se aplica para sistemas lineales donde la cantidad de interrogantes es diferente a la
cantidad de igualdades (AFINED, 2013).
“Se basa en triangular un ordenamiento rectangular aumentado mediante algunas
operaciones elementales por filas para después obtener fácilmente las soluciones con solo
despejar las incógnitas desde la última ecuación hasta la primera” (AFINED, 2013, p. 89).
“Sea el sistema lineal” (AFINED, 2013, p. 89).
11 1 12 2 1β n 1
21 1 22 2 2β n 2
31 1 32 2 3β n 3
α1 1 α2 2
p x +p x +........+p x =d
p x +p x +........+p x =d
p x +p x +........+p x =d
...............................................
...............................................
p x +p x +..... αβ n m...+p x =d
Se llama ordenamiento rectangular aumentado al ordenamiento rectangular de la
forma (AFINED, 2013).
11 12 13 1β 1
21 22 23 2β 2
31 32 33 3β 3
α1 α2 α3 αβ m
p p p ....... p | d
p p p ....... p | d
p p p ....... p | d
........................................
p p p ....... p | d
Descubra el sistema (Poole, 2018).
6x+10y=28
4x-2y=10
3x+5y=14
2x-y=5
49
Redacte el ordenamiento rectangular aumentado del sistema de igualdades lineales
de dos interrogantes (Poole, 2011).
1 1 2 2 2 1h h -h h h -2h3 5 | 14 1 6 | 9 1 6 | 9
2 -1 | 5 2 -1 | 5 0 -13 | 5
Estime el sistema equivalente que corresponda al ordenamiento de escalares
reducido por conjuntos de escalares horizontales (Poole, 2018).
x+6y=9 (I)
0x-13y=-13 (II)
Supliendo en la igualdad (II)
-13y=-13 y=1
(II) en (I) : x+6(1)=9 x=3 (x=3;y=1) C.S= (3;1)
2.1.2.5 Teorema de Rouché – Frobenius.
Sean C el ordenamiento rectangular de los coeficientes de las incógnitas y B el
ordenamiento rectangular aumentado con los términos independientes como último
conjunto de escalares verticales (AFINED, 2013).
Del sistema de igualdades generamos los ordenamientos B y C (AFINED, 2013).
11 1 12 2 1β n 1
21 1 22 2 2β n 2
α1 1 α2 2 αβ n m
p x +p x +.........+p x =d
p x +p x +........+p x =d
.............................................
p x +p x +........+p x =d
11 12 13 1β
21 22 23 2β
α1 α2 α3 αβ α×β
p p p ........ p
p p p ........ pC=
.......................................
p p p ....... p
50
11 12 13 1β 1
21 22 23 2β 2
α1 α2 α3 αβ m
p p p ....... p | d
p p p ....... p | d B=
...............................................
p p p ....... p | d
La cualidad necesaria e idónea para que el sistema sea compatible, esto es, para que
tenga resultado, es que el rango de C sea idéntico al rango de B (AFINED, 2013).
“Si el r(C)=r(B)=n, el sistema tendrá solución única (compatible determinado)”
(AFINED, 2013, p. 90).
“Si el r(C)=r(B)=k<n, el sistema tendrá infinitas soluciones y dependerá
exactamente de (n-k) parámetros (compatible indeterminado)” (AFINED, 2013, p. 90).
“si el r(B)≠r(C), el sistema de ecuaciones no tendrá solución (sistema
incompatible)” (AFINED, 2013, p. 90).
Todo sistema con igual cantidad de igualdades que interrogantes tiene resolución o
es incompatible (AFINED, 2013).
x y 1
x y 2
Se tiene el ordenamiento rectangular aumentado (AFINED, 2013).
2 1h h1 1 | 1 1 1 | 1
1 1 | 2 0 0 | 1
Como el rango del ordenamiento rectangular de coeficientes es diferente al rango
del ordenamiento aumentado, en tal caso es incompatible (AFINED, 2013).
Todo sistema con más interrogantes que igualdades tiene respuesta o no tiene
respuesta (AFINED, 2013).
x 2y 4z 3
2x 4y 8z 2
51
Se tiene el ordenamiento rectangular aumentado de magnitud dos por cuatro y se
aplica cálculos básicos de intercambio (AFINED, 2013, p. 91).
2 1h 2h1 2 4 | 3 1 2 4 | 3
2 4 8 | 2 0 0 0 | 4
Como el rango del ordenamiento rectangular de coeficientes es distinto al rango del
ordenamiento aumentado, en tal caso no tiene respuesta (AFINED, 2013).
2.2 Solución de sistemas de ecuaciones lineales homogéneos
“Son aquellos sistemas lineales donde cada ecuación tiene termino independiente nulo”
(AFINED, 2013, p. 96).
“Todo sistema lineal homogéneo es compatible; al menos presenta una solución
trivial de la forma. (0; 0; ……;0)” (AFINED, 2013, p. 96).
“El estudio de los sistemas lineales homogéneos siempre se centrará en investigar
si existen otras soluciones aparte de la trivial” (AFINED, 2013, p. 96).
“El sistema lineal homogéneo” (AFINED, 2013, p. 97).
11 1 12 2 1β n
21 1 22 2 2β n
β1 1 β2 2 ββ n
p x +p x +........+p x =0
p x +p x +........+p x =0
.........................................
p x +p x +........+p x =0
11 12 1β
21 22 2β
β1 β2 ββ β×β
p p ........…p
p p ...........pP = =0
...........................
p p ............p
“En este caso, el sistema tendrá infinitas soluciones” (AFINED, 2013, p. 97).
52
“Un sistema de ecuaciones lineales se denomina homogéneo si el termino constante
en cada ecuación es cero"(Poole, 2011, p. 82).
12x+15y=0
20x+25y=0
12 15P = =12×25-15×20=0
20 25
“En otras palabras, un sistema homogéneo tiene un ordenamiento aumentado de la
forma [P|0] si su determinante es cero” (Poole, 2011, p. 82).
0x+4y-5z=0
-4x+0y+7z=0
5x-7y+0z=0
0 4 -5
P = -4 0 7 =0+4×(0-35)+5(28-0)=0
5 -7 0
2.3 Solución de sistemas de ecuaciones lineales no homogéneos
“Una igualdad típica del sistema representado por P” (Barrera, 2014, p. 21).
i1 1 i2 2 in n ip x + p x +..................p x = b ................(I)
“Presumimos que el sistema tiene respuesta y señalemos a una de estas por: C=c1,
c2, c3, ……, cn de la definición de la solución se tiene” (Barrera, 2014, p. 21).
i1 1 i2 2 in n ip c + p c +..................p c = b ................(II)
“Para todo i=1, 2, …, m” (Barrera, 2014, p. 22).
“Sea P1 la matriz que tiene sus primeras n columnas iguales a las de P, y la ultima
es cero. Podemos considerar que P1 es un sistema homogéneo” (Barrera, 2014, p. 22).
“La ecuación número i de este sistema es” (Barrera, 2014, p. 22).
i1 1 i2 2 in np x + p x +..................p x = 0................(III)
“Sea D=d1, d2, d3, ……, dn cualquier solución del sistema representado por P1”
(Barrera, 2014, p. 22).
Es decir, i1 1 i2 2 in np d + p d +..................p d = 0................(IV)
53
“Para todo i=1, 2, …, m” (Barrera, 2014, p. 22).
Adicionando (II) y (IV), se tiene que:
“C+D=(c1+d1, c2+d2, c3+d3,…..,cn+dn) es la solución del sistema representado por
P” (Barrera, 2014, p. 22).
“Si K=k1, k2, k3, ……, kn es otra solución del sistema representado por P”
(Barrera, 2014, p. 22). Entonces:
i1 1 i2 2 in np k + p k +..................p k = 0................(V).
“Para todo i=1, 2, …, m” (Barrera, 2014, p. 22).
Restando (II) de (V) y agrupando por afinidad se tiene que:
i1 1 1 i2 2 2 in n np (k -c ) + p (k -c ) +..................p (k - c ) = 0................(VI).
Es el resultado del sistema homogéneo referido por P1, es decir, K-C=(k1-c1, k2-c2,
k3-c3,…..,kn-cn) (Barrera, 2014).
La controversia antes planteada es la evidencia del siguiente postulado:
“Sea la matriz P de un sistema de m ecuaciones en n variables, y P1 la matriz cuyas
primeras n columnas coinciden con las de P, y la última es cero” (Barrera, 2014, p. 22).
“Si el sistema de P tiene una solución particular C=c1, c2, c3, …., cn y el sistema
homogéneo de P1 tiene por conjunto solución a W, entonces el conjunto solución del
sistema de P es: W+C=w+C/wW” (Barrera, 2014, p. 22).
Proceda a desarrollar el sistema lineal no homogéneo (Barrera, 2014).
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
x + 2x +3x + 4x +5x =10
2x + 4x + 6x +8x +10x = 20
-x - 2x - 2x - x +3x = 4
54
En caso afirmativo, obténgalas íntegramente si tiene solución, así el ordenamiento
de tipo aumentado es (Barrera, 2014).
1 2 3 4 5 10
2 4 6 8 10 20
-1 -2 -2 -1 3 4
Aplicando operaciones elementales se tiene:
1 2 3 4 5 10
2 4 6 8 10 20
-1 -2 -2 -1 3 4
h2 h2-2h1h3 h3+h1
1 2 3 4 5 10
0 0 0 0 0 0
0 0 1 3 8 14
h3 h2
1 2 3 4 5 10
0 0 1 3 8 14
0 0 0 0 0 0
h1 h1-3h2
1 2 0 -5 -19 -32
0 0 1 3 8 14
0 0 0 0 0 0
El ultimo ordenamiento rectangular de escalares representa el sistema:
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
x + 2x + 0x -5x -19x = -32
0x + 0x + x + 3x +8x = 14
0x + 0x + 0x + 0x + 0x = 0
Es próximo corroborar que: C= (-32, 0, 14, 0, 0) es la respuesta de este sistema
(Barrera, 2014).
En concordancia con el postulado, íntegramente las respuestas del sistema anterior
se generan adicionando C= (-32, 0, 14, 0, 0) a los resultados del sistema homogéneo dado
anticipadamente (Barrera, 2014).
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
0x + 0x + x + 3x +8x = 0
x + 2x + 0x -5x -19x = 0
Hay tres variables libres, x2; x4 y x5, en este último sistema, por lo que sus
soluciones están dadas por (Barrera, 2014).
55
2 2
4 4
5 5
1 2 4 5
3 4 5
x = x
x = x
x = x
x = -2x + 5x +19x
x = -3x -8x
A manera de agrupamiento, estas se indican a través de:
2 4 5 2 4 5 4 5 2 3 5W = -2x +5x +19x ,x ,-3x -8x ,x ,x | x ,x ,x R
Sintetizando, las soluciones del sistema:
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
x + 2x +3x + 4x +5x =10
2x + 4x + 6x +8x +10x = 20
-x - 2x - 2x - x +3x = 4
Están dadas por:
2 4 5 2 4 5 4 5 2 3 5W = -2x +5x +19x ,x ,-3x -8x ,x ,x 32, 0,/ x ,x ,x R 14, 0( , 0)
2 4 5 2 4 5 4 5 2 3 5W = -2x +5x +19x -32,x ,-3x -8x +14,x ,x / x ,x ,x R
2.4 Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones lineales
2.4.1 Aplicación en la química.
La ignición del gas de amonio (NH3) en oxigeno genera nitrógeno (N2) y agua.
Halle una igualdad química equilibrada para esta solución (Poole, 2011).
3 2 2 2wNH +xO yN +zH O
w=2y 3w=2z 2x=z
w 2y 0 1 0 2 0 | 0 1 0 0 -2/3 | 0
3w 2z 0 3 0 0 2 | 0 0 1 0 1/ 3 | 0
2x z 0 0 2 0 1 | 0 0 0 1 1/ 3 | 0
56
2 1 1w z, x= z y= z
3 2 3
w 4, x=3, y=2, z=6 w 8, x=6, y=4, z=12 w 12, x=9, y=6, z=18
3 2 2 24NH +3O 2N +6H O
3 2 2 28NH +6O 4N +12H O
3 2 2 212NH +9O 6N +18H O
2.4.2 Aplicación en la electricidad.
Los entramados eléctricos son un modelo tecnificado de malla que brindan
referencia respecto de semilleros de energía, como las pilas, y aparatos que funcionan por
dichos semilleros, como las lámparas eléctricas e impulsores (Poole, 2011).
El sumario de las inflexiones de corriente que circulan hacia cualquier nódulo es
idéntico al sumario de las inflexiones de corriente que salen de él” (Poole, 2011).
El sumario de las caídas de tensión en torno de cualquier placa eléctrica es idéntica
a la diferencia de potencial total en torno de ella (Poole, 2011).
Halle las inflexiones de corriente K1, K2 y K3 en el circuito eléctrico que se muestra
en la figura 1 (Poole, 2011).
Figura 1. Circuito eléctrico con resistencias y baterías. Fuente: Poole, 2011.
57
1 2 3
1 2 3
1 2 3
I +I -I =0
20I +0I +10I =21
0I +40I +10I =9
Aplicando el procedimiento de eliminación:
1 1 -1 | 0
20 0 10 | 21
0 40 10 | 9
1 1 -1 | 0
0 -20 30 | 21
0 40 10 | 9
1 1 -1 | 0
0 1 -1.5 | -1.05
0 40 10 | 9
1 0 0.5 | 1.05
0 1 -1.5 | -1.05
0 0 70 | 51
1 0 0.5 | 1.05
0 1 -1.5 | -1.05
51 0 0 1 |
70
24 1 0 0 |
35
3 0 1 0 |
70
51 0 0 1 |
70
1 2 3
24 3 51 (I = ,I = ;I = )
35 70 70
2.4.3 Aplicación en la metalurgia.
Compuesta por los metales P, Q y R de una ligación (Rico, 2010).
Los datos porcentuales de los metales vienen dados por el siguiente sistema de
igualdades (Rico, 2010).
P+Q+R=100 ....... (I)
P-2Q=0
-4P+R=0
58
Desenrollando el porcentaje para cada metal en la ligación (Rico, 2010).
4P=R ...... (II)
pP=2Q Q= ......(III)
2
Supliendo (II) y (III) en la igualdad (I):
PP+ +4P=100
2
11P=100
2
200P= .....(IV)
11
Supliendo (IV) en la igualdad (II):
200 800R=4( )=
11 11
Supliendo (IV) en la igualdad (III):
20010011Q= =
2 11
200 100 800 (P= ,Q= ;R= )
11 11 11
Conseguimos los datos porcentuales de los metales empleados en la ligación de los
metales P, Q y R (Rico, 2010).
200Met =18.18%
11al P:
100Met =9.09%
11al Q:
800=72.72%
1Met
1al R:
59
Capítulo III
Didáctica de las matrices y su competencia matemática
3.1 Didáctica de las matrices
3.1.1 Definición de competencia.
Designamos competencia a la adaptación que posee un individuo para proceder
conscientemente en la resolución de un conflicto o el cumplimiento de procesos complejos
(Ministerio de Educación del Perú [MINEDU], 2015).
La competencia es un aprendizaje complejo, que se da usando inconsistente y
creativamente sus conocimientos y experiencias adquiridas, así como sus valores y
actitudes (MINEDU, 2015).
3.1.2 ¿Por qué aprender matrices?
Pues habitamos en un ambiente de periódicos fenómenos e incertidumbres que
demandan de una instrucción lógica (MINEDU, 2015).
Están dados en distintos ambitos de la actividad del hombre, como son las
económicas, sociales, culturales y tecnológicas. La aplicación de los ordenamientos
rectangulares nos permite comprender el mundo que nos rodea (MINEDU, 2015).
60
La utilidad de estos ordenamientos rectangulares nos permite entender el orbe que
nos circunda, ya sea nativo o artificial (MINEDU, 2015).
3.1.3 ¿Para qué aprender matrices?
Para impulsar diversas maneras de conducirse y pensar lógicamente en distintas
posiciones que concedan al educando el poder proceder y cooperar en la realidad a
partir de la razón, proponiendo lenguajes algebraicos, efectuando suposiciones,
evidencias, diferentes maneras de manifestarse, así como apropiarse de
procedimientos y actitudes válidas para estimar, medir hechos y cambios de la
realidad, y colaborar conscientemente sobre estos (MINEDU, 2015).
3.1.4 ¿Cómo aprender matrices?
A través de la determinación de problemas y de la zona de dominio del educando,
ya que autoriza establecer significados, disponer de objetos matemáticos en ordenamientos
y fomentar nuevos aprendizajes (MINEDU, 2015).
3.2 Competencia matemática.
3.2.1 Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de regularidad,
equivalencia y cambio.
Supone desenrollar gradualmente la lectura y divulgación de modelos, El
conocimiento y el empleo de igualdades y desigualdades además del conocimiento y el
manejo de relaciones y funciones (MINEDU, 2015).
Esta habilidad se desenvuelve por medio de las cuatro facultades matemáticas, que
se intercomunican para presentar diversas maneras de proceder y pensar en el educando
(MINEDU, 2015).
61
Esto compromete desenrollar estándares manifestando un idioma algebraico,
aplicar gráficos de figuras para inspeccionar las conexiones con datos, de igual
manera declarar una norma de formación, disposición de igualdad o relaciones de
sujeción, aplicar procesos algebraicos con técnicas pragmáticas para solucionar
problemas, del mismo modo enunciar formas de pensamiento que generalicen
propiedades además de expresiones algebraicas (MINEDU, 2015).
3.2.2 Capacidades de la competencia matemática.
3.2.2.1 Matematiza situaciones.
Involucra patrones asociando problemas diversos de igualdades, desigualdades
además de relaciones (MINEDU, 2015).
3.2.2.2 Comunica y representa ideas matemáticas.
Emplea un lenguaje lógico para las diversos símbolos matemáticos formulando el
significado de modelos, igualdades, ordenamientos además de relaciones de forma verbal y
textual (MINEDU, 2015).
3.2.2.3 Razona y argumenta generando ideas matemáticas.
Partiendo de presunciones y supuestos demuestra y valida sus resultados que rigen
modelos respaldados por leyes, propiedades sobre correspondencia de igualdad y
desigualdad además de las relaciones (MINEDU, 2015).
3.2.2.4 Elabora y usa estrategias.
A partir de diversos recursos de la naturaleza proyecta, verifica y valora las tácticas
pragmáticas con procedimientos de cálculo y valoración, para solucionar problemas
cotidianos (MINEDU, 2015).
62
3.3 Aplicación didáctica de las matrices usando la tecnología.
3.3.1 MS Excel para la enseñanza de matrices.
Permite almacenar gran cantidad de información por su capacidad y memoria ya
que es una hoja de cálculo muy potente creada por la empresa Microsoft (Uribe, 2017).
Permiten crear tablas, efectuar cálculos, producir gráficos y analizar una base de
datos ya que el programa posee una gran variedad de herramientas rápidas y sencillas
(Uribe, 2017).
3.3.1.1 Suma de matrices con Excel.
Los operadores matemáticos, como son los aritméticos permiten ejecutar las
operaciones de suma devolviendo resultados de tipo numérico para ello es necesario
trabajar con fórmulas (Uribe, 2017).
Por consiguiente, la fórmula para la adición de ordenamientos rectangulares es:
D5=B1+F1=4
D6=B2+F2=9
E5=C1+G1=5
E6=C2+G2=5
Figura 2. Fórmula para la suma de dos matrices en Excel. Fuente: Autoría propia.
En seguida, la función para la adición de ordenamientos rectangulares es:
63
D5=SUMA B1;F1 =4
D6=SUMA B2;F2 =9
E5=SUMA C1;G1 =5
E6=SUMA C2;G2 =5
Figura 3. Función para la suma de dos matrices en Excel. Fuente: Autoría propia.
Figura 4. Resultado de la suma de dos matrices en Excel. Fuente: Autoría propia.
Verificamos que cumple, ya que los valores encontrados son los mismos:
2 × 2 2 × 2
2 × 2
2 × 2
1 4 3 1P+Q= +
2 3 7 2
1+3 4+1P+Q=
2+7 3+2
4 5P+Q=
9 5
64
3.3.1.2 Producto de matrices con Excel.
Se puede utilizar referencias ubicadas en celdas diferentes al elaborar una fórmula
(Uribe, 2017).
Por consiguiente, la fórmula para el producto de ordenamientos rectangulares es:
D5 B1*F1 C1*F2 13
D6 B2*F1 C2*F2 14
Figura 5. Fórmula del producto de dos matrices en Excel. Fuente: Autoría propia.
Figura 6. Resultado del producto de dos matrices en Excel. Fuente: Autoría propia.
Verificamos que cumple, ya que los valores encontrados son los mismos:
11
21 2×2 2×1 2×12×1
r 3 2 3 13R= = =
r 4 1 2 14
11
3r = 3 2 =3×3+2×2=13
2
21
3r = 4 1 =4×3+1×2=14
2
65
3.3.1.3 Determinante de una matriz cuadrada con Excel.
El conocimiento de los determinantes resulta útil en algunas aplicaciones del
álgebra lineal por ello las fórmulas para hallar los determinantes todavía proporcionan
información relevante acerca de los ordenamientos de escalares (Lay, 2007).
Luego, para hallar el determinante de un ordenamiento, realizamos lo siguiente: en
la celda H13 se destina la fórmula H13=MDETERM(D12:F14) y se consigue así el
resultado del determinante del ordenamiento de escalares de tipo cuadrado.
Figura 7. Determinante de una matriz cuadrada en Excel. Fuente: Autoría propia.
Figura 8. Resultado del determinante de una matriz cuadrada en Excel. Fuente: Autoría propia.
66
3.4 Problemas de regularidad, equivalencia y cambio
3.4.1 Caso I. Baños termales de Churín.
Los baños termales de Churín están ubicados a 210 km al noreste de la ciudad de
Lima y se caracterizan porque tiene sus aguas medicinales con temperaturas de 35°C. La
familia Torres viaja a la provincia de Oyón y quiere conocer los baños termales. En la
entrada del lugar, una familia les comentó que para ingresar pagó cincuenta y ocho soles
por seis adultos y cuatro niños. Otra señora les dijo que su familia pagó cincuenta y dos
soles por cuatro adultos y seis niños. La familia Torres quiere saber cuánto deberá pagar
por ingresar a una piscina de los baños termales de Churín, si se compone de dos adultos y
tres niños.
Desarrollo.
6p+4q=58
4p+6q=52
Simplificando el sistema de ecuaciones:
3p+2q=29
2p+3q=26
Utilizando el ordenamiento rectangular de tipo inverso:
-13 2 p 29 p 3 2 29
= =2 3 q 26 q 2 3 26
Aplicando la suma de conjuntos de escalares horizontales:
1 1 2 2 2 1h h -h h h -2h3 2 1 0 1 -1 1 -1
2 3 0 1 2 3 0 1
67
1 1 2
1h2 h2
h h +h5
3 -21 -1 1 -1 1 0
1 -1 1 -1 5 5
-2 30 5 -2 3 -2 30 1
0 1 5 5 5 5
3 -2 87 52 7p 29 - 5 5 5 5
= = = -2 3 -58 78
+ 4q 26 5 5 5 5
p=7; q=4 C.S= (7;4)
3.4.2 Caso II. El CO2 de los vehículos en mi comunidad.
“Juan y Pedro se trasladan a la capital de su región en su propio automóvil cada
uno, los que consumen un total de siete litros de gasolina por el recorrido realizado”
(Piñas, 2017, p. 06).
“Si el recorrido por litro de gasolina de cada auto, respectivamente, es de veinte
kilómetros y diecisiete kilómetros, y en total ambos hacen un recorrido de ciento treinta y
cuatro kilómetros” (Piñas, 2017, p. 06).
“¿Cuántos litros de gasolina consumió cada automóvil?, ¿Cuántos gramos de
dióxido de carbono se emiten por los ciento treinta y cuatro kilómetros recorridos durante
su viaje?” (Piñas, 2017, p. 06).
Desarrollo.
Conformando el sistema de igualdades:
p + q = 7
20p + 17q = 134
68
Convirtiendo el sistema de igualdades en una ecuación de ordenamientos
rectangulares:
1 1 p 7=
20 17 q 134
-1p 1 1 7
=q 20 17 134
Resolviendo el ordenamiento de tipo cuadrado inverso:
-1h h 2 2h h -20h 32 2 1 1 1 | 1 0 1 1 | 1 0
20 17 | 0 1 0 -3 | -20 1
h h - h1 1 2
-17 11 1 | 1 0 1 0 |
3 3
20 -120 -10 1 |
0 1 | 3 33 3
-17 1 -119 134 5p 7 + 3 3 3 3
= = = 20 -1 140 134
- 2q 134 3 3 3 3
p=5; q=2 C.S= (5;2)
69
Aplicación didáctica
Planificación de aprendizaje
Año y sección.
Quinto Año de Secundaria.
Duración.
Dos horas pedagógicas.
Título de la Sesión.
Empleando el ordenamiento rectangular inverso para dar respuesta a un sistema de
igualdades.
Aprendizajes esperados.
Competencia.
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de regularidad, de equivalencia y
de cambio.
Capacidades.
Elabora y usa estrategias.
Emplea procesos lógicos con apoyo del ordenamiento rectangular inverso para
resolver problemas de sistemas de igualdades lineales.
Razona y argumenta generando ideas matemáticas.
Resuelve un sistema de igualdades lineales con el ordenamiento rectangular inverso
analizando y explicando el razonamiento aplicado.
70
Secuencia didáctica.
Inicio (20 minutos).
El profesor da la bienvenida a los educandos y pregunta lo siguiente:
¿Qué tema abordamos la clase anterior?, ¿qué aprendimos?, ¿cuál era el objetivo?,
¿qué solución se dio?
El profesor selecciona los grupos de trabajo y brinda hojas de colores para que
coloquen sus resultados.
El profesor prepara la información y expone la siguiente problemática:
Un adolescente que padece de hemopenia sigue un régimen alimenticio peculiar. Se
sabe que si acumula la cantidad de unidades de energía que le brindan los glúcidos y los
aminoácidos que consume obtiene cuatro mil unidades de energía.
Si se adiciona la cuantía de unidades de energía que le brindan los aminoácidos y
los lípidos consumidos obtiene dos mil quinientas unidades de energía.
Si se adiciona la cuantía de unidades de energía que proceden de los glúcidos y
lípidos obtiene tres mil trescientas unidades de energía. ¿Cuántos gramos consume
diariamente de glúcidos, de aminoácidos y de lípidos?
Tener en cuenta que un gramo de glúcidos es equivalente a ocho unidades de
energía; un gramo de aminoácidos, a ocho unidades de energía y un gramo de lípidos a
dieciocho unidades de energía.
El profesor pregunta: ¿Cómo formularía las igualdades lineales que corresponden a
la problemática? ¿Existirá una manera práctica de dar respuesta al sistema de igualdades
lineales hallado? ¿Cuántas formas habrá?, ¿cómo se resolverá?
En las hojas de colores, los educandos indican sus resultados. El profesor prepara la
información en función al objetivo de la sesión.
71
El profesor da a conocer el logro del aprendizaje dentro de la sesión relacionándolo
con la situación significativa.
El profesor indica los puntos en los que pondrá mayor énfasis para lograr el
aprendizaje.
Se pondrá énfasis en la aplicación del ordenamiento inverso para la solución de un
sistema de igualdades lineales.
El profesor propone las siguientes pautas de trabajo, que serán acordados con los
educandos.
Se forman grupos de trabajo, y convienen en un procedimiento o en una técnica de
dar a conocer los resultados.
En cada actividad se debe respetar los convenios y los tiempos pactados, lo que
respalda un trabajo efectivo en el aprendizaje.
Se respetan las ideas y los aportes de cada educando con el fin de promover la
participación reflexiva.
Desarrollo (60 minutos).
El profesor pide a cada grupo de trabajo que haga una lectura reflexiva de la
problemática e identifique las igualdades que correspondan (usar las pautas anteriormente
dadas).
Estas se indicarán en las hojas de colores y se pondrán en la pizarra con ayuda de
un adhesivo.
El representante de cada grupo sustenta sus procedimientos en la pizarra.
El profesor, con el apoyo de los educandos, evalúa el correcto desarrollo de cada
una de las igualdades planteadas por cada grupo, concluye en un solo sistema de
igualdades.
72
8g+8a=4000
8a+18li=2500
8g+18li=3300
El profesor pregunta: ¿cómo se puede solucionar el sistema de igualdades de forma
pragmática?
Con la ayuda del método de Arthur Cayley (basado en el ordenamiento inverso) y
la intermediación del profesor se resuelve el sistema de igualdades y se halla los valores de
cada variable de las igualdades.
Cada grupo muestra sus resultados en papelógrafos y los coloca con algún adhesivo
en la pizarra.
El representante de cada grupo expone el proceso ejecutado en cada situación, y se
da respuesta a la interrogante. El adolescente debe consumir: trescientos gramos de
glúcidos, doscientos gramos de aminoácidos y cincuenta gramos de lípidos.
El profesor revisa los procesos, refuerza el conocimiento y consolida la
información.
Completamos y simplificamos el sistema de igualdades inicial para usar el
procedimiento del ordenamiento inverso de Cayley.
4g+4a+0li=2000
0g+4a+9li=1250
4g+0a+9li=1650
4 4 0 g 2000
0 4 9 =a 1250
4 0 9 li 1650
73
-14 4 0g 2000
= 0 4 9a 1250
4 0 9li 1650
Aplicar los diferentes procesos de resolución de un sistema de igualdades lineales.
1 1
3 3 1
1h h
4
h h -4h
4 4 0 | 1 0 0
0 4 9 | 0 1 0
4 0 9 | 0 0 1
11 1 0 | 0 0
4
0 4 9 | 0 1 0
4 0 9 | 0 0 1
2 2
3 3 2
1 1 2
1h h
4
h h +4hh h -h
11 1 0 | 0 0
4
0 4 9 | 0 1 0
0 -4 9 | -1 0 1
11 1 0 | 0 0
4
9 10 1 | 0 0
4 4
0 -4 9 | -1 0 1
3 3
1h h
18
-9 11 1 | 0 0
4 4
9 10 1 | 0 0
4 4
0 0 18 | -1 1 1
74
2 2 3
1 2 3
9h h - h
49
h h + h4
-9 11 1 | 0 0
4 4
9 10 1 | 0 0
4 4
-1 1 10 0 1 |
18 18 18
1 -1 11 1 0 |
8 8 8
1 1 -10 1 0 |
8 8 8
-1 1 10 0 1 |
18 18 18
20001 -1 1
8 8 8g
1 1 -1= a 1250
8 8 8
li-1 1 1
18 18 18 1650
1 1 1×2000- ×1250+ ×1650
8 8 8
g
1 1 1=a ×2000+ ×1250- ×1650
8 8 8
li
1 1 1- ×2000+ ×1250+ ×165018 18 18
g 300
=a 200
li 50
c=300; p=200;g=50 C.S= (300;200;50)
75
Cierre (10 minutos).
¿Qué hemos aprendido acerca de cómo utilizar el método del ordenamiento
rectangular inverso? ¿Qué dificultades tuviste para aplicar el método del ordenamiento
rectangular inverso? ¿En qué otras situaciones puedo utilizar lo aprendido? ¿Cómo me
sentí luego de compartir mi experiencia personal?
76
Síntesis
La investigación desarrollada en el primer capítulo deja en claro aspectos concernientes al
Álgebra de matrices. Incide en la definición de matrices con la intención de establecer la
importancia que tiene reconocer las filas y las columnas dentro de un arreglo rectangular.
Seguidamente, se muestran ejemplos apropiados en torno a las operaciones con matrices.
Así se detallan ejemplos acerca de suma y producto de estas matrices.
En este mismo capítulo se incluyen operaciones elementales sobre filas y
columnas: decimos que son operaciones básicas porque pretenden conducir al estudiante
para que posteriormente pueda desarrollar ejercicios de mayor complejidad, como es el
caso de la matriz inversa por el método de Gauss-Jordan.
De otro lado, es importante resaltar el estudio de la matriz reducida, donde
nuevamente hacemos referencia al estudio de las matrices escalonadas reducidas por filas.
Respecto a esto último, se presentan ejercicios desarrollados a través de una adecuada
secuencia metodológica. Es preciso dejar en claro que el docente debe estar
convenientemente preparado en cuanto al estudio de las matrices y sus diferentes aspectos.
En tal sentido, los ejercicios propuestos también son de utilidad para que el maestro
profundice en el tema y pueda llevar a cabo una exitosa sesión de aprendizaje.
En el segundo capítulo, referido al sistema de ecuaciones lineales con matrices,
detallamos una conveniente definición de sistemas de ecuaciones y damos los ejemplos
más adecuados para un estudio de la materia. Dependerá del docente plantear ejercicios de
mayor complejidad; esto se pondrá en ejecución cuando el maestro determine el nivel en el
que se encuentran los estudiantes. Además, se presenta la solución de un sistema y su
correspondiente clasificación. De esta forma, se incluyen ejemplos de sistema compatible
o consistente y un sistema incompatible o inconsistente.
77
En cuanto al tipo de ecuaciones, se presentan casos de sistemas lineales y de
sistemas no lineales, así como también los métodos de Arthur Cayley, Gabriel Cramer y
Gauss - Jordan para una correcta resolución de los sistemas de ecuaciones lineales. En este
segundo capítulo, no olvidamos destacar lo gravitante que resulta el estudio de los sistemas
de ecuaciones en diversas áreas del conocimiento humano, como son las ciencias fácticas
(química, física, electricidad), además de la metalurgia y la informática.
El último capítulo nos remite a la didáctica de las matrices y su competencia
matemática. Aquí presentamos una definición de competencia, de acuerdo con las
precisiones derivadas del Ministerio de Educación. Conviene aclarar que la competencia es
el cúmulo de capacidades que progresivamente adquiere el estudiante a lo largo de su vida.
Específicamente existen las capacidades matemáticas que permiten desarrollar habilidades
de razonamiento y de abstracción. Así incluimos, las siguientes capacidades: matematiza
situaciones, comunica y representa ideas matemáticas, razona y argumenta generando
ideas matemáticas y elabora y usa estrategias.
En cuanto a la didáctica, se incluye preguntas orientadas a desarrollar la
metacognición y a fortalecer la autonomía y las habilidades del estudiante, tanto de la
educación básica regular como de la educación superior. La metacognición no solo es
importante a lo largo de una sesión de aprendizaje, sino también debe ser una tarea
continua del docente. La didáctica de las matrices también comprende reconocer las
habilidades particulares del estudiante; es decir, aclaramos que cada quien tiene su propio
ritmo de aprendizaje. Finalizaremos el tercer capítulo con las aplicaciones didácticas que
nos ofrece el programa Excel para la enseñanza de las matrices, además plantearemos
problemas de regularidad, de equivalencia y de cambio, que permiten atraer al estudiante a
desarrollar situaciones cotidianas, propias de su entorno con ayuda de las matrices y de los
sistemas de ecuaciones lineales.
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Apreciación crítica y sugerencias
Esta investigación será de mucha utilidad para los estudiantes de la especialidad de
Matemática e informática de la Universidad Nacional de Educación “Enrique Guzmán y
Valle”. Asimismo, pretende coadyuvar al logro de los objetivos trazados por los docentes
de matemáticas de la educación básica regular. Esto conlleva la presencia de estudiantes
debidamente motivados a través de sesiones de aprendizaje adecuadas. En tal sentido,
busca promover otras investigaciones sobre las estrategias motivadoras y el aprendizaje de
las capacidades matemáticas y, a mediano plazo, conseguir que los docentes las pongan en
práctica al momento de realizar los procesos de enseñanza-aprendizaje.
Este es un problema serio en el desarrollo de nuestra educación porque sabemos
que el déficit en cuanto a la comprensión de las matemáticas en la educación básica es
alarmante. Justamente, si los docentes de matemáticas, hoy incorporados al área de
matemáticas, logran aprehender (hacer suyas) las bases teóricas de la presente
investigación, entonces las posibilidades de revertir las falencias descritas se multiplicarán,
más aún cuando se involucra un asunto complejo, como es el referido al álgebra de
matrices y el sistema de ecuaciones lineales.
De otro lado, los estudiantes podrán hacer una revisión reflexiva y coherente de las
estrategias propuestas y su relación con el estudio del álgebra de matrices. La
investigación permitirá a los docentes corregir y mejorar las metodologías de enseñanza-
aprendizaje de los sistemas de ecuaciones, esto teniendo en cuenta que aún se conservan
formas tradicionales de aprendizaje que empobrecen el desarrollo de las competencias y
las capacidades, tan necesarias en una sociedad que hoy adquiere de un alto nivel de
competitividad.
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Es por ello que, a modo de sugerencia toda investigación que involucre las ciencias
matemáticas debe alentar el aprender a aprender (esencia del paradigma constructivista) y
desterrar la enseñanza basada solo en la acumulación de información.
También debe constituirse en un aporte social porque las estrategias motivadoras y
el desarrollo de las capacidades matemáticas son, básicamente, instrumentales; es decir,
permiten la apropiación de múltiples conocimientos. En este caso, se sugiere destacar el
estudio del álgebra de matrices y el sistema de ecuaciones lineales, además de su
aplicabilidad en cuanto al progreso social del hombre.
Se propone desarrollar estas habilidades matemáticas en las escuelas con más
carencias metodológicas. Son estas escuelas en las que se debe poner mayor énfasis porque
aún subsisten grandes brechas en relación con la calidad de la educación pública y privada.
La enseñanza que se imparte sobre el álgebra de matrices y el sistema de ecuaciones
lineales en las escuelas públicas, creemos que aún presenta serias deficiencias.
De otro lado, los docentes del nivel superior tienen la responsabilidad de innovar, a
partir de esta investigación y de otras referidas al estudio del álgebra de matrices y sistema
de ecuaciones lineales para ponerse a la par con el crecimiento académico que
experimentan algunas universidades privadas; de no hacerlo, estarían actuando en
desmedro de la universidad pública. Además, no contribuirían con uno de los principales
objetivos de esta, cual es la proyección social y el crecimiento académico.
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Conclusiones
El estudio del álgebra de matrices y el sistema de ecuaciones lineales tiene un nivel de
complejidad, que el docente debe manejar adecuadamente a través de la aplicación de
diversas secuencias metodológicas. Para ello, se requiere conocer las habilidades
individuales de cada estudiante y profundizar en la evaluación metacognitiva.
El álgebra de matrices, junto con el estudio del sistema de ecuaciones lineales,
presenta una gran aplicabilidad en las distintas actividades humanas. Se deduce que
contribuyen al progreso social del hombre. Situemos, por ejemplo, el estudio de la
ingeniería y la informática.
Es indispensable contar con docentes capaces de apropiarse de los conocimientos y
habilidades propios de la enseñanza del álgebra de matrices y el sistema de ecuaciones
lineales. Esto, más una adecuada didáctica, asegura un aprendizaje eficaz.
En las escuelas públicas aún carecemos de docentes realmente innovadores y
creativos para llevar a cabo la enseñanza de competencias matemáticas. Esto puede
revertirse a medida que los maestros desplieguen todas sus habilidades en el salón de
clases. Sabemos que enseñar matemáticas requiere de constantes variantes metodológicas
y la aplicación de múltiples estrategias de aprendizaje.
En la enseñanza del álgebra de matrices y el sistema de ecuaciones lineales conviene
recurrir a las bondades que presentan hoy en día las Tic. Existen diversos programas que
contribuyen a que el estudiante desarrolle su aprendizaje de manera continua y sin la
imposición, que muchas veces representa la educación tradicional. De esta forma, no
experimentarán rechazo a las matemáticas, como suele ocurrir en la educación básica
regular.
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