UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRSFACULTAD DE INGENIERAINGENIERA CIVILAPLICACIN DEL MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOSALANLISIS DE ESTRUCTURAS TRIDIMENSIONALES Y DEDIFERENTES TIPOLOGASDaniel Saavedra MaldonadoTrabajo de Proyecto de Grado paraoptar al ttulo de Licenciado enIngeniera CivilTutor: Ing. Pastor Barrn LeitonLa Paz Bolivia, 2011DEDI CA DO A :Mi f ami l i ay aGabr i el aSossa, qui enesdur ant et odami vi da uni ver si t ar i a me han br i ndado su apoyoi ncondi ci onal , amor y pasi enci aconl acual he l ogr adot er mi nar l a car r er a adems del pr esent e t r abaj o, yespeci al ment e a mi s padr es Dani el Saavedr a yPal mi r a Mal donado,conamor yet er na gr at i t ud.A GRA DECI MI ENTOS:A t odos l os i ngeni er os y ami gos, que apor t ar on aest et r abaj o a t r avs de bi bl i ogr af a yval i osos consej os, per osobr et odoun agr adeci mi ent oespeci al al I ng. Past orBar r n L ei t on por t odal adedi caci n, guay el apoyobr i ndado en l a r eal i zaci n del pr esent e t r abaj o depr oyect o de gr ado.RESUMENEl presente trabajo de proyecto de grado estudia el elemento tridimensionalisoparamtrico de treinta y dos nodos mediante un anlisis elstico lineal,describiendoenformaresumidalosconceptosyteorasbsicasdel mtododeloselementos finitos aplicado a diferentes estructuras civiles. Para demostrar las virtudesyfacilidadesquebrindaestemtodoserealizounprogramadecomputacinenellenguajeVisual Basic, esteprogramafueescritoenformaclaray explicativaparafacilitar su futura edicin por el lector o el autor, adicionalmente el programa es capazde resolver estructuras tridimensionales y bidimensionales con lados curvos o rectos.La interfaz del Programa con el usuario es prctica y sencilla, utiliza y permite variasformasdeintroduccindedatos, cuentaademsconparmetrosdecontrol paraevitarerroresdurantelaejecucindel programa. El programacuentaconespaciosvaciosdispuestosparalaadicindeotrostiposdeelementos, tambintieneunarelacin con el ACCES y EXCEL lo cual permite manejar una base de datos para losmaterialesypermiteimportar datosoexportasresultadosenunahojaEXCEL. Elprogramapuederesolver distintosestadosdecarga, yactualmentecuentaconlascargaspuntualesnodales, cargas uniformementedistribuidas sobrelas carasdelelemento y fuerzas nodales equivalentes por el peso propio del mismo.El programahasidoutilizadoypuedeser utilizadopararesolver diferentetipodeproblemas como ser: Vigas gruesas rectas, vigas gruesas curvas, vigas pared, losasgruesas, losas con curvatura, losas con huecos, muros rectos, muros con curvatura, yla combinacin de los mismos, adems tambin se puede analizar presas degravedad, presas bveda, piezas de ingeniera mecnica.Se realizo ejemplos sencillos desde el punto de vista de comparacin, se comparo losresultados con el software SAP 2000 y ADINA SYSTEM, estos ejemplos presentaronresultados con diferencias o variaciones mnimas, estas diferencias entre el programadesarrolladoyel SAP2000ADINAsedebenavarios factores comoser: Laprecisin de almacenamiento de variable, mtodo de inversin de la matriz, capacidady velocidad del ordenador y mtodo de integracin numrica empleado. Por lo tanto,se concluyo que el programa desarrollado en el presente trabajo de proyecto de gradoda resultados aceptables y dentro del margen permitido de dispersin.ABSTRACTThis proyect work examines the three-dimensional isoparametric element of thirty-two nodes using a linear elastic analysis, describing briefly the basic concepts andtheories of finite element method applied to different civil structures. Todemonstrate the strengths and facilities offered by this method a computerprogram wasmadeinthe "Visual Basic" language, this programwaswritten inaclear and explanatory to facilitate future editing by the reader or the author, theprogram can further to solve two-dimensional and three-dimensional structures with curved or straight sides.Theinterface withtheuser program ispractical andeasy touseandallows variousforms of data entry, also has control parameters to avoid errors during programexecution. The program has empty spaces ready for the additionof other elements, also has a relationship with ACCESS and EXCEL which canhandle a database for materials and to import or export dataresults in an Excelspreadsheet. The program can solve various load states, and currentlyhas nodal point loads, uniformly distributed loads on the faces of the elementand nodal forces equivalent to the weight of it.The program has been used and can be used to solve different kinds ofproblems such as: straight thick beams, thick beams curved, wall beams,slabs thick, curved slabs, slabs withhollow, straight walls, curved walls, and thecombination of them, canalsobeanalyzed further gravitydams, archdam, parts ofmechanical engineering.It was performed simple examples to compare with the SAP 2000 software andADINA SYSTEM, the examples presented results with differences or slightvariations, this differences between the developed program and SAP 2000 or ADINAare due to several factors including: The accuracy of variable storage, methodof investment thematrix, capacity andspeedof computer and numerical integrationmethod used. Therefore, it was concluded that the program developed in this proyectwork gives acceptable results and within the allowable range of dispersin.CONTENIDOCAPTULO I................................................................................................................... 11.1 INTRODUCCIN................................................................................................. 11.2 ESTADO DE ARTE.............................................................................................. 21.3 OBJETIVOS......................................................................................................... 41.3.1 Objetivo general. ............................................................................................. 41.3.2 Objetivos especficos....................................................................................... 41.4 FINES. ................................................................................................................. 51.5 LIMITACIONES.................................................................................................... 5CAPTULO II.................................................................................................................. 72.1 ESTUDIO DEL PROBLEMA ................................................................................ 72.2 IDEALIZAR LA ESTRUCTURA............................................................................ 72.3 ESTUDIO DEL ELEMENTO................................................................................. 92.3.1 Tipos de elementos ......................................................................................... 92.3.2 Eleccin del elemento a ser estudiado .......................................................... 122.3.3 Funciones de forma....................................................................................... 152.4 DETERMINACIN DEL JACOBIANO................................................................ 212.5 PRINCIPIOS FUNDAMENTALES A SER CUMPLIDOS .................................... 292.5.1 Hacer cumplir la relacin geomtrica............................................................. 292.5.2 Hacer cumplir la relacin fsica...................................................................... 302.6 INTEGRACIN NUMRICA.............................................................................. 332.7 ENSAMBLE DE LA ESTRUCTURA................................................................... 362.8 APLICAR LAS CONDICIONES DE BORDE ...................................................... 372.9 CARGAS NODALES EQUIVALENTES.............................................................. 372.10 RESOLUCIN DEL SISTEMA........................................................................... 402.11 ANLISIS COMPLEMENTARIO........................................................................ 412.11.1 Calculo de tensiones. .................................................................................... 41CAPTULO III............................................................................................................... 433.1 PROGRAMA COMPUTACIONAL DE APLICACIN.......................................... 433.1.1 CARACTERISTICAS DEL PROGRAMA. ...................................................... 433.2 ORGANIZACIN GENERAL DEL PROGRAMA................................................ 453.2.1 Tipos de variables ......................................................................................... 463.2.2 Seleccin de los nombres de las variables .................................................... 483.2.3 Transmisin de informacin entre subrutinas ................................................ 483.2.4 Men principal: Men .................................................................................. 493.3 ENTRADA DE DATOS: PESTAA Datos........................................................ 503.3.1 Tipologa del problema: Tipologa ............................................................... 503.3.2 Propiedades del material: Materiales .......................................................... 513.3.3 Datos geomtricos: Geometra.................................................................... 523.3.4 Condiciones de contorno............................................................................... 523.4.1 Estados de carga........................................................................................... 533.4.2 Fuerza en los nodos...................................................................................... 543.4.3 Fuerzas distribuidas ...................................................................................... 543.5 VER DATOS Y CARGAS................................................................................... 553.6 CALCULAR........................................................................................................ 553.6.1 Listado de la Rutina principal CALCULAR.................................................. 553.6.2 Matriz De Rigidez: Subrutina RIGIMAT ....................................................... 563.6.3 Ensamble de la matriz de rigidez................................................................... 703.6.4 Calculo Del Vector De Fuerzas: Subrutina FUERZAS................................... 713.6.5 Listado de Funciones auxiliares..................................................................... 783.6.7 Calculo de reacciones. Subrutina REACCIONES........................................ 813.6.8 Calculo de las tensiones elementales. Subrutina TENSION........................ 813.7 VER RESULTADOS .......................................................................................... 84CAPTULO IV .............................................................................................................. 864. EJEMPLOS DE APLICACIN Y RESULTADOS.................................................... 864.1 VALIDACION DE LOS RESULTADOS .............................................................. 864.1.1 Solido ............................................................................................................ 874.1.2 Losa .............................................................................................................. 904.1.3 Muro arco...................................................................................................... 964.2 OTRAS APLICACIONES ................................................................................... 98CAPTULO V ............................................................................................................. 1005.1 CONCLUSIONES GENERALES...................................................................... 1005.2 CONCLUSIONES ESPECFICAS. ................................................................... 1015.3 RECOMENDACIONES.................................................................................... 102CAPTULO VI ............................................................................................................ 1046.1 BIBLIOGRAFIA................................................................................................ 1046.1.1 Mtodo De Los Elementos Finitos............................................................... 1046.1.2 Tesis de la U.M.S.A. .................................................................................... 1056.1.3 Anlisis Estructural ...................................................................................... 105CAPTULO VII ........................................................................................................... 1077.1 ANEXO 1: DEMOSTRACIONES...................................................................... 1077.1.1 Demostracin de la obtencin de las funciones de forma............................ 1077.1.2 Demostracin de las ecuaciones de equilibrio............................................. 1127.1.3 Demostracin de la relacin Fsica.............................................................. 1137.1.4 Demostracin de la relacin Geomtrica..................................................... 1157.1.5Demostracin del principio de los trabajos virtuales...................................... 1167.2 ANEXO 2: NOMBRE DE LAS VARIABLES UTILIZADAS ................................ 120CAPITULO I:CAPITULO INTRODUCTORIOCAPTULO INTRODUCTORIO1CAPTULO I1.1 INTRODUCCINUna de las ms importantes aplicaciones del mtodo de los elementos finitos, se vedesarrollada en el anlisis de estructuras civiles, y con el advenimiento de las computadorassea caracterizado como el mtodo ms utilizado por diferentes cualidades como ser:- El dominiocomplejoesdivididoensubdominiosdeformasgeomtricassencillasdenominadas elementos.- Considerando la idea bsica de que cualquier forma continua puede serrepresentada como una combinacin lineal de funciones algebraicas polinomiales, aser dividida en subdominios, estas funciones son ms sencillas o de menosparmetros.- Las relaciones algebraicas planteadas en funcin de los parmetros utilizados en lacombinacin lineal de funciones, debe satisfacer en forma aproximada lasecuaciones que gobiernan el problemaSegn estos criterios utilizaremos al Mtodo de los Elementos Finitos como un procedimientogeneral dediscretizacindelosproblemascontinuosplanteadosporexpresionesdefinidasmatemticamente, y se ve necesaria la implementacin de un programa de computacin parademostrar las virtudes y facilidades que brinda dicho mtodo.Los estudios desarrollados en la Universidad Mayor De San Andrs antes del 2005referentes al Mtodo de los Elementos Finitos trataban de reducir las variables del problemade tal forma de no ocupar demasiado espacio en el ordenador y no sobrepasar su capacidad,sin embargo, en los ltimos aos el desarrollo tecnolgico de los ordenadores ha idocreciendoinimaginablemente, locual permiteintroducir ms variables, paraas resolverproblemas ms grandes y complejos.Con excepcin de las estructuras de barras que corresponden a sistemas discretos, la mayorpartedelas estructuras eningenierasondenaturalezacontinuay, esencialmentenosconcentramos en el estudio de estructuras de orden continuo tridimensional, dada la mayorcomplejidad para analizarlas por procedimientos ms tradicionales. Como ejemplos podemosmencionar, estructuras con formas complejas o difciles de idealizar en elementos lineales ybidimensionales.CAPTULO INTRODUCTORIO2Desde luego que utilizar un elemento de ms de 20 nodos en los aos 90 era impensable.Portantoconel desarrollotecnolgicodelosordenadoreslasdificultadespresentadasenaos anteriores hoy en da ya no lo son, es por eso que en el presente proyecto de grado serealizo el estudio de Elemento Tridimensional Isoparamtrico De 32 Nodos, el cual nos va apermitir resolver cualquier tipo de estructura solida mediante un anlisis elstico lineal.1.2 ESTADO DE ARTE.- TeddyCuellar Muller, Calculodeplacaspor el mtododeelementosfinitosutilizandoelelemento rectangular, UMSA, La Paz BoliviaEste proyecto de grado proporciona una recopilacin y resumen, a dems de una detalladaexplicacindel mtododeloselementosfinitosylateoradelaelasticidadconejemplossimples y bsicos, presenta adems un programa aplicativo relativamente antiguo utilizandoun elemento bsico rectangular.- IbaezNacif Carlos Antonio, Calculodecascaras por el mtododeelementos finitos,UMSA, La Paz Bolivia, 1985Esteproyectodegradoexplicalateoraylashiptesisdecascaras, sinembargomsadelantesepresentaunproyectodegradomsrefinado,productode laevolucindelosordenadores.- FloresChavezMario, Anlisisdinmicodeestructurasmedianteel mtododeelementosfinitos, UMSA, La Paz Bolivia, 1993Esteproyectodegradopresentaunacompilacindel mtododeloselementosfinitos,enfocndoseen unanlisisdinmico el cual refuerzaalgunos conceptos fundamentales,yse ve claramente la diferencia frente a un anlisis esttico.- HaenkeVillegasEdwin,Elementosfinitosparalasolucindeplacasdelgadas,UMSA, LaPaz Bolivia, 1996Este proyecto de grado seria el complemento al presentado por Teddy Cuellar, adems seha desarrollado un programa aplicativo utilizandoelementos ms complejos.- MarcoAntonioAlayaArnez, Anlisisdeelementostridimensionalescurvosdevigasporelmtodo de elementos finitos, EMI, La Paz Bolivia, 1997CAPTULO INTRODUCTORIO3Esteproyectodegradocompilo losfundamentostericosdel mtododeelementosfinitos,desarrollo la aplicacin del mtodo de elementos finitos al anlisis tridimensional, mediante elestudio de elementos isoparamtricos, elaborando finalmenteun programa.- Seborga Pozo Julio Roberto, Estudio y comparacin de elementos finitos con funciones deinterpolacin lineal y cuadrticas, UMSA, La Paz Bolivia, 2009Esteproyectodegrado, comoel nombreloindicarealizounacomparacindeelementosfinitos con funciones de interpolacin lineal y cuadrticas- Quino Chuquimia Milton, Calculo de cascaras por el mtodo de elementos finitos utilizandoelementos isoparamtricos triangulares, UMSA, La Paz Bolivia, 2005Este proyecto de grado presenta una introduccin compacta, adems de un resumen de losmtodos analticos y MEF de anlisis de cascaras, y la programacin de las aplicaciones enMatLab, si bien este es uno de los programas ms modernos frente a todas los proyectos degrado consultados, la edicin delprograma se torna muy compleja, debido a que carece denotas o esquemas de ayuda que hagan ms amigable al programa.- Arturo MartinDehezaRossel,Anlisislineal de slidosporel mtododeelementosfinitos,EMI, La Paz Bolivia, 1999Los anteriores proyectos de grado se enfocaban en un anlisis bidimensional, este proyectode grado incursiono en el anlisis tridimensional de un elemento rectangular de 32 nodos, espor este motivo que se lo desarrolla con ms detalle.Esteproyectode grado es bastante extenso,debido a que en su primer captulo desarrollauna introduccin bsica del MEF, en el segundo captulo realiza una explicacin detallada yminuciosa de la teora de la elasticidad, en su tercer captulo desarrolla la formulacin de lafunciones prueba en forma global (considerando un anlisis bi o tridimensional) adems delas condiciones y criterios que debe cumplir aplicando el mtodo de Ritz, en el cuarto captulosemuestraunacompilacindeloselementostridimensionalestetradricos, hexadricosysus homlogos isoparamtricos, tambin se muestra la recopilacin de las familias deLagrange, Serindpitos y un detalle de todos los elementos ms comunes, tambin se detallala integracin numrica tanto para elementos unidimensionales, bidimensionales ytridimensionales. Finalmente presenta las coordenadas naturales del elementoisoparamtrico de 32 nodos y sus funciones prueba, lamentablemente desglosa unaCAPTULO INTRODUCTORIO4explicacin escasa del clculo de la matriz de rigidez, la integracin numrica y el clculo dedeformaciones y tensiones, as como la discretizacion yel ensamble de la estructura.Laprogramacindelasaplicacionesfueronen Visual Basic4.0, sinembargo,nopresentaimpreso el cdigo de programacin ni el programa en formato digital, por ende este se tornamuycomplejo, debidoaquecarecedenotasoesquemasdeayudaquemuestrencomoaplico el mtodo de los elementos finitos.1.3 OBJETIVOS1.3.1 Objetivo general.- Estudiar el elementotridimensional isoparamtricode32nodosmedianteunanlisiselstico lineal.- Realizar un programa en VISUAL ESTUDIO aplicando el mtodo de los elementos finitosa diferentes estructuras como caso de anlisis tridimensional en forma general.- Describir y desarrollar de forma clara la programacin utilizada, para posterioresmodificaciones por el autor o el lector.- Comparar los resultados del programadesarrolladoen visual estudio 2010 conunprograma del mercado.1.3.2 Objetivos especficos.- Describir enformaresumida, yhaciendoreferenciaalabibliografalosconceptosyteorasbsicasdel mtododeloselementosfinitosaplicadoadiferentesestructurasciviles.- Desarrollar un programa claro, fcil de usar, con varias opciones para ingresar y exportarlos resultados de cada elemento.- El programa debe ser capaz de resolver estructuras tridimensionales, y bidimensionalescomo losas y muro, ya sean estos conlados curvos rectos.CAPTULO INTRODUCTORIO51.4 FINES.Unodelosfinesmsimportantesdel proyectodegradoseenfocaenlageneralidadyreduccin de tiempo de clculo y adems de que el lector entienda como:- Aplicar el mtodo de los elementos finitos a estructuras civiles.- Se ha desarrollado el programa, adems de entender el lenguaje de programacin.- Una vez entendido el programa, el lector debe ser capaz de modificar el programa:1. Adicionando otros elementos de estudio.2. Adicionandootras tipologas, como por ejemplopodrautilizarselateoradelminas planas, laminas curvas o la teora de la elasticidad tridimensional y aplicarel mtodo de elementos finitos con las variaciones correspondientes a cada teora.1.5 LIMITACIONESEl presente proyecto de grado ha sido desarrollado en el marco del anlisis elstico lineal, laincursin de un anlisis no lineal geomtrico mecnico, un anlisis dinmico laconsideracindelavariacindel tiempoessujetodeunestudioposteriordepostgradoomaestra.El desarrollar una explicacin detallada de la teora de la elasticidad la teora del mtodo delos elementos finitos se sale de los objetivos del proyecto de grado, porque se considera quela bibliografa consultada desarrolla estos aspectos de forma clara y con ejemplos detallados.Sin embargo, durante el desarrollo del presente proyecto de grado se presentara un resumendelosconceptosylasformulasenlasqueseapoyarael trabajo, dandounaexplicacinbrevedel porquedelaseleccindealgunascualidadesespecificasdel estudio, todoestosustentado y referida a la bibliografa consultada.CAPITULO II:MARCO TEORICOCAPTULO II2.1 ESTUDIO DEL PROBLEMAPara resolver los problemas de estructuras civiles mediante el mtodo de los elementos finitos,se debe seguir un proceso general:2.2 IDEALIZAR LA ESTRUCTURAEn ingeniera una forma de prlos sistemas en componentes individuales (elementos), cuyo comportamiento se puede conocersin dificultad para posteriormente ensamblar el sistema original a partir de los elementosestudiados. De aqu es donde se generan los sistemas discretos y sistemas continuos, donde losIDEALIZAR LA ESTRUCTURAESTUDIO DEL ELEMENTOENSAMBLE DE LAESTRUCTURAAPLICAR LAS CONDICIONESDE BORDERESOLUCIN DEL SISTEMAANLISIS COMPLEMENTARIO7ESTUDIO DEL PROBLEMAresolver los problemas de estructuras civiles mediante el mtodo de los elementos finitos,se debe seguir un proceso general:Grafica No 1. Esquema de solucin por el M.E.F.Fuente: Elaboracin propiaIDEALIZAR LA ESTRUCTURAEn ingeniera una forma de proceder a la solucin de problemas complejos consiste en separarlos sistemas en componentes individuales (elementos), cuyo comportamiento se puede conocersin dificultad para posteriormente ensamblar el sistema original a partir de los elementos. De aqu es donde se generan los sistemas discretos y sistemas continuos, donde losDiscretizar la estructuraSistemas Discretos y Continuos IDEALIZAR LA ESTRUCTURAEleccion del tipo de elementoPlanteamiento de las Funciones de FormaRelacion Fisica y GeometricaCondiciones de EquilibrioESTUDIO DEL ELEMENTORequisitos para la ConvergenciaCondiciones sobre la Compatibilidady Equilibrio de la SolucionENSAMBLE DE LATipos de condiciones de bordeAPLICAR LAS CONDICIONESIntegracin numrica en tres dimensionesRESOLUCIN DEL SISTEMACalculo de las tensiones.Calculo de los DesplazamientosCalculo de las ReaccionesANLISIS COMPLEMENTARIOMARCO TEORICOresolver los problemas de estructuras civiles mediante el mtodo de los elementos finitos,oceder a la solucin de problemas complejos consiste en separarlos sistemas en componentes individuales (elementos), cuyo comportamiento se puede conocersin dificultad para posteriormente ensamblar el sistema original a partir de los elementos. De aqu es donde se generan los sistemas discretos y sistemas continuos, donde losPlanteamiento de las Funciones de FormaIntegracin numrica en tres dimensionesMARCO TEORICO8sistemas discretos estn definidos por la solucin de un numero finito de variables del problema,y los sistemas continuos son problemas de subdivisin indefinida y solo puede definirsehaciendo uso de la ficcin matemtica de infinitsimo.Imagen No 1 de elementos discretosFuente: Texto de Zienkiewic, V1Imagen No 2: Elementos continuosFuente: Texto de Zienkiewic, V1Algunas delasdificultades conlasqueseenfrentason: el poder identificar laformamsadecuada para discretizar la estructura, determinar el nmero de elementos y el ms importantela numeraciny el reporte de las coordenadas de cada uno de los elementos.MARCO TEORICO92.3 ESTUDIO DEL ELEMENTO2.3.1 Tipos de elementosUnadelasprimerasdecisionesenel clculodeunaestructurapor elementosfinitosesseleccionar el elementoquesevaautilizar parael anlisis. Estadecisinespropiadelcalculista que tiene que pronunciarse en base a: 1) Las caractersticas propias de laestructura a analizar. 2) los tipos de elementos, programas y capacidad de ordenadordisponible y 3) la experiencia acumulada en la solucin de estructuras similares por el mtododeelementos finitos. Acontinuacinsepresentaunabreverecopilacindelas normasmnimas que pueden tenerse en cuenta a la hora de seleccionar un elemento finito.- En caso de que se tenga una cierta idea de la forma polinomica de la solucin, convieneutilizar elementos con funciones de forma del mismo grado que la solucin conocida. Estono solo favorece la obtencin de la solucin exacta en los nodos, si no tambin garantizaque la obtencin de los desplazamientos en el interior de cada elemento es la correcta.Desafortunadamente, esta situacin no ocurre en la mayor parte de los casos de intersprctico.- Enzonasdondeseintuyaquepuedenexistir gradientesdetensinelevadosesmsadecuadoutilizar elementosdemayor orden. Por el contrario, enzonasdondedichavariacinseamsuniformepuedeobtenerseunabuenaaproximacinconelementosmenos precisos.- Dadas las crecientes posibilidades de rapidez de clculo y de capacidad dealmacenamiento de los ordenadores actuales, puede ser recomendable utilizar elementosfinitos sencillos (pocos nodos) frente a elementos ms complejos (muchos nodos)Paraobtener unabuenaaproximacinenciertoscasossernecesarioutilizar unmayornmero de elementos que si se emplearan directamente elementos de rdenes superiores esdeciren la prcticasuele serpreferibleobtener laprecisindeseada utilizando mallas mastupidas de elementos sencillos que mallas groseras de elementos ms complejos, sinembargoexistenmuchasestructurascuyascaractersticasgeomtricas, mecnicasodecargas no permiten la utilizacin de modelos de clculo simplificados.Unavezidentificadoel tipodeproblemaaencarar, el siguientepasoesseleccionar unelemento. Estos elementos continuos se subdividen de acuerdo al tipo de anlisis, que puedeser bidimensional otridimensional, adicionalmenteexisteungrupodenominadoslidosdeMARCO TEORICO10revolucin. Acontinuacinsedesarrollaunresumendeloselementosmsimportantesdecada grupo.ANALSIS UNIDIMENSIONAL- Elemento lineal de dos nodos- Elementos lineales de varios nodosANALSIS BIDIMENSIONAL- Elemento triangular de tres nodos- Elemento rectangular de cuatro nodos- Elementos triangulares:o Lineal de tres nodoso Cuadrtico de seis nodoso Cubico de diez nodos- Elementos rectangulares Lagrangianos:o De cuatro nodoso De nueve nodoso Cubico de diecisis nodoso Otros.- Elementos rectangulares Serindpitos:o Cuadrtico de ocho nodoso Cubico de docenodoso De cuarto grado de diecisiete nodosImagen No3. Elementos linealesFuente: Texto de Zienkiewic, V1Imagen No4. Elementos triangularesFuente: Texto de Zienkiewic, V1Imagen No5. Elementos rectangulares LagrangianosFuente: Texto de Zienkiewic, V1Imagen No6. Elementos rectangulares SerndipitosFuente: Texto de Zienkiewic, V1MARCO TEORICO11- Elementos isoparamtricos bidimensionales:o Elementos cuadrticoso Elementos triangularesSOLIDOS DE REVOLUCIN- Elementos triangulares o rectangulares de lados rectos.- Elementos slidos de revolucin isoparamtricosANLISIS TRIDIMENSIONAL- Elemento tetradrico de cuatro nudos.- Elementos hexadricos rectos:o Lineal de ocho nodoso Cuadrtico de veintisiete nodoso Otros de orden superior- Elementos hexadricos rectos Serindpitos:o De vente nodoso De treinta y dos nodosImagen No7. Elementos isoparamtricosbidimensionalesFuente: Texto de Zienkiewic, V1Imagen No8. Slidos de revolucinFuente: Texto de Zienkiewic, V1Imagen No9. Elementos hexadricosRectos SerindpitosFuente: Texto de Zienkiewic, V1MARCO TEORICO12- Elementos tetradricos de lados rectos:o Lineal de cuatro nodoso Cuadrtico de diez nodoso Cubico de vente nodos- Elementos tridimensionales isoparamtricos2.3.2 Eleccin del elemento a ser estudiadoPararealizarlaeleccindel elementoqueseestudio,setomaronencuentalossiguientescriterios:a) El elemento triangular de tres nodos es el ms sencillo para el anlisis bidimensional, suequivalenciatridimensional esel tetraedro, sinembargoestetetraedropresentalassiguientes dificultades:- Ordenar la numeracin de los nodos- Representar adecuadamente un cuerpo dividido en este tipo de elementos.- El numerodetetraedrosnecesariosparaobtenerunordendeaproximacindeterminado ha de ser muy grande lo que con lleva a un nmero elevado deecuaciones- Limita gravemente la aplicacin prctica del mtodo- Requiere un ancho de banda grande por tanto exige ordenadores con mayorcapacidad.ImagenNo10.ElementostetradricosrectoFuente: Texto de Zienkiewic, V1Imagen No11. Elementos tridimensionalesisoparamtricos.Fuente: Texto de Zienkiewic, V1MARCO TEORICO13Sin embargo, un hexaedro es equivalente a cinco tetraedros. Y es por estas dificultadesque se opta por un elemento hexadrico.b) Existen dos caminos para generar las funciones de forma, un elemento serindpito y otroLagrangiano1, dentro de las principales diferencias se destaca:- Para elementos Serindpitos son ms laboriosas las funciones de forma.- Los elementos Serindpitos precisan un menor nmero de variables nodales quelos Lagrangianos para definir un polinomio completo de determinado grado.- Desdeel puntodevistacomparativodenmerodenodossegnel grado(verCuadroNo1), loselementosdeLagrangenoresultancompetitivosfrenteasusanlogos Serindpitos por utilizar un mayor nmero de variablesGrado Lagrange SerindipticoLineal8 8Cuadrtico27 20Cubico64 (4 nodos/arista) 32Cuartico125 (5nodos/arista)-Cuadro No 1. Cuadro comparativo de nmero de nodos para elementosde Lagrange y Serindpitos segn el grado. Fuente: Elaboracion propiaPor lo tanto se opto por elementos Serindpitos.c) Como se detalla en el cudro No 1, la familia serindpita solo produce polinomios completoshastael tercer grado(cubico) por loqueelementos demayor gradonoproduciranmejorassignificativasenlavelocidaddeconvergencia, sepuededecirqueel elementotridimensional serindpito de tercer grado de 32 nodos es el elemento de mxima potenciade la familia indicada.Es por estas razones la eleccin del elemento de treinta y dos nodos.d) Como se muestra en la imagen No 12, si la geometra y la variacin de la funcin vienendefinidas por los mismos puntos (N=N), se llamaentonces isoparamtricos, podramosutilizarsinembargoloscuatropuntosdelosvrticesparadefinirlavariacindeu, nos1Para profundizar, revisar Cap. 7 Eugenio OateMARCO TEORICO14referimos a tal elemento como sper-paramtrico, similarmente si para definir uintroducimos mas nodos que los empleados para definir la geometra al elementoresultantelollamaremos Sub-paramtrico. Acontinuacinsedetallanalgunasdelasventajas ms relevantes de la formulacin isoparamtrica:- Laformulacinisoparamtricapermiteutilizarelementos tetradricosyhexadricosirregulares y con lados curvos.- La principal idea enlaformulacinde los elementos finitos isoparamtricos engeneral es lograr la relacin entre los desplazamientos de cualquier punto delelemento y los desplazamientos nodales del elemento, directamente a travs del usode funciones de interpolacin tambin llamadas funciones de forma.- Para asegurar que un nmero pequeo de elementos pueda representar una formarelativamente complicada como las que aparecen en los problemas reales, ya no sonsuficientes simples rectngulos o tringulos.--Cabe recordar que los dos principales conceptos que permitieron el desarrollo del mtodo deloselementosfinitossonlaformulacinparamtricaylaintegracinnumrica. Delaexperiencia deducimos que a menos que utilicemos una aproximacin geomtrica correcta seproducirerroresdeaproximacindegeometraqueconvieneevitar o, comomal menor,minimizar.Por consiguiente, se realizara la transformacin de estas formas sencillas en otrasconfiguraciones ms arbitrarias. En la prctica es usual utilizar la formulacin isoparamtrica.No obstante conviene tener claros los conceptos anteriores ya que en determinadassituacionesdegeometraexcesivamentecomplejasencillapuedeser msconvenientehacer uso de las otras dos opciones.Finalmenteunavezconocidaslasrazoneslascualesnosllevaronaelegir el ELEMENTOTRIDIMENSIONALISOPARAMETRICODE32NODOS, acontinuacin presentaremos suscoordenadas naturales.Imagen No 12. O punto donde la coordenada es especificada, ?~puntos donde la funcinparamtrica es especificada. a) Isoparamtrico, b) superparametrico, c) subparametricoMARCO TEORICO15Grafica No2. Coordenadas naturalesFuente: Elaboracin propiaNodos de vrtice Nodos de aristaCuadro No2: Cuadro de coordenadas naturales del elementoFuente: Elaboracin propia2.3.3 Funciones de forma2El procedimiento para una solucin numrica aproximada est caracterizado por tresoperaciones principales:2Captulo 2, texto de Zienkiewic, V1Nudo ?< ?: ?:1 -1 -1 -14 1 -1 -19 -1 1 -112 1 1 -121 -1 -1 124 1 -1 129 -1 1 132 1 1 1Nudo ? ? ? Nudo ? ? ?2 - 1/ 3 -1 -1 13 -1 -1 - 1/ 33 1/ 3 -1 -1 14 1 -1 - 1/ 35 -1 - 1/ 3 -1 15 -1 1 - 1/ 36 1 - 1/ 3 -1 16 1 1 - 1/ 37 -1 1/ 3 -1 17 -1 -1 1/ 38 1 1/ 3 -1 18 1 -1 1/ 310 - 1/ 3 1 -1 19 -1 1 1/ 311 1/ 3 1 -1 20 1 1 1/ 322 - 1/ 3 -1 123 1/ 3 -1 125 -1 - 1/ 3 126 1 - 1/ 3 127 -1 1/ 3 128 1 1/ 3 130 - 1/ 3 1 131 1/ 3 1 1MARCO TEORICO16Grafica no 3. Esquema de solucin por el M.E.F.Fuente: Elaboracin propiaEn esta seccin describiremos la construccin de la funcin prueba tambin llamada funcinde forma, esta primera operacin involucra la construccin de la funcin de forma, como unasuma finita de funciones) ( ...... ) ( ) ( ) ( ) ; (2 2 1 1x a x a x a x a x UN N o + + + + Donde:x = las variables independientes del problema y las funcionesf = las funciones de formaa= los coeficientes parmetros indeterminados llamados tambin grados delibertad o coordenadas generalizadas.Las funciones de forma utilizadas al formular problemas de elasticidad por el mtodo de losdesplazamientostienenquesatisfacerloscriteriosdeconvergencia, dondelascondicionesesenciales para la convergencia de elementos finitos son las siguientes:- Condicin de continuidad.- Las incgnitas han de presentar continuidad entre elementos(Co), esta condicin se satisface al utilizar aproximaciones polinmicas para el campo dedesplazamientos.- Condicindederivabilidad.- Lafuncinhadepermitir larepresentacindecualquierformalineal, demaneraquesatisfagael criteriodedeformacinconstante(primeraderivada constante)- Condicin de integrabilidad.- La derivada m de una funcin es integrable si son continuassus m-1 primeras derivadas.- Criterio de la parcelao Condicin de deformacin constanteConstruccionde la funcionpreuba UAplicacion del criteriode optimizacion para UEstimacion de lapresicion de UMARCO TEORICO17o Condicin de solido rgido (deformacin nula)Previamente a la construccin de las funciones de forma debemos recordar que existen dostipos de funciones de forma, los Estndar y Jerrquicos3. Cul elegir? y Por qu?Nos referimos a las funciones de forma as definidas como estndar, ya que son la base dela mayora de los programas de elementos finitos, estas funciones de forma estndar tienenunaseriadesventajacuando se hace unrefinamientode elementos,estorequieregenerarfunciones de forma totalmente nuevas, y por lo tanto rehacer todos los clculos, por lo cual esmsventajosoutilizar unafuncindeformajerrquica, sinembargo, el refinamientodelamallaconllevaaunanlisismsprofundoyfueradel alcancedel presentetrabajodeproyecto de grado, por lo tanto se utilizo las funciones de forma estndar.2.3.3.1 Planteamiento de las funciones de forma.El elementotridimensional isoparamtricode32nodostiene8nodosenlosvrticesy24nodosrepartidosaunterciodecadaarista. Esfcil observar quelasfuncionesdeformadefinenunavariacinpolinmicacubicasobrecadaunadelascarasdel elemento. Lasfunciones de forma de los nodos intermedios en las aristas se obtienen por multiplicacin deun polinomio de Lagrange cubico por otro de primer grado en las coordenadas naturales.Por otra parte, para los nodos en los vrtices se parte de las funciones de forma lineales delelementodeochonodosalasqueserestansucesivamentelasfuncionesdeformadelosnodos situados en las aristas adyacentes al vrtice en cuestin, ponderadas adecuadamentede maneraquela funcinde forma resultanteseanule endichos nodos,como seveen elgrafico siguiente.3Captulo 7, texto de Zienkiewic, V1MARCO TEORICO18Imagen No13. Funciones de forma de los elementosFuente: Texto de Zienkiewic, V12.3.3.2 Resumen de las funciones de forma- Nodos de vrtice4( )( )( ) ( ) [ ] 19 9 1 1 16412 2 2 + + + + + o o o iN(1)Donde: i o; i o; i o( ?$i, ?$i, ?$i son las coordenadas normalizadas del nodo)- Nodos de aristaa) Para 3 / 1 t i 1 t i 1 t i( )( )( )( )o o o iN + + + 1 1 9 1 16492(2)b) Para 1 t i 3 / 1 t i 1 t i( )( )( )( )o o o iN + + + 1 9 1 1 16492(3)c) Para 1 t i 1 t i 3 / 1 t i( )( )( )( )o o o iN + + + 9 1 1 1 16492(4)4Para ver la demostracin de las funciones de forma vase en anexos Cap. VIIMARCO TEORICO19Remplazandolascoordenadasnaturalesenlasecuacionesanteriores(1), (2), (3) y(4)obtendremos las ecuaciones siguientes del tipo (5), (6), (7) y (8).- Nodos de vrtice( )( )( ) ( ) [ ] 19 9 1 1 16412 2 21 + + N(5a)( )( )( ) ( ) [ ] 19 9 1 1 16412 2 24 + + + N(5b)( )( )( ) ( ) [ ] 19 9 1 1 16412 2 29 + + + N(5c)( )( )( ) ( ) [ ] 19 9 1 1 16412 2 212 + + + + N(5d)( )( )( ) ( ) [ ] 19 9 1 1 16412 2 221 + + + N(5e)( )( )( ) ( ) [ ] 19 9 1 1 16412 2 224 + + + + N(5f)( )( )( ) ( ) [ ] 19 9 1 1 16412 2 229 + + + + N(5g)( )( )( ) ( ) [ ] 19 9 1 1 16412 2 232 + + + + + N(5h)- Nodos de aristaa) ( )( )( )( ) 1 1 3 1 164922N(6a)( )( )( )( ) + 1 1 3 1 164923N(6b)( )( )( )( ) 1 1 3 1 164925N(6c)( )( )( )( ) + 1 1 3 1 164926N(6d)( )( )( )( ) + 1 1 3 1 164927N(6e)( )( )( )( ) + + 1 1 3 1 164928N(6f)( )( )( )( ) + 1 1 3 1 1649210N(6g)( )( )( )( ) + + 1 1 3 1 1649211N(6h)MARCO TEORICO20b) ( )( )( )( ) + 1 1 3 1 1649222N(7a)( )( )( )( ) + + 1 1 3 1 1649223N(7b)( )( )( )( ) + 1 1 3 1 1649225N(7c)( )( )( )( ) + + 1 1 3 1 1649226N(7d)( )( )( )( ) + + 1 1 3 1 1649227N(7e)( )( )( )( ) + + + 1 1 3 1 1649228N(7f)( )( )( )( ) + + 1 1 3 1 1649230N(7g)( )( )( )( ) + + + 1 1 3 1 1649231N(7h)c) ( )( )( )( ) 1 1 3 1 1649213N(8a)( )( )( )( ) + 1 1 3 1 1649214N(8b)( )( )( )( ) + 1 1 3 1 1649215N(8c)( )( )( )( ) + + 1 1 3 1 1649216N(8d)( )( )( )( ) + 1 1 3 1 1649217N(8e)( )( )( )( ) + + 1 1 3 1 1649218N(8f)( )( )( )( ) + + 1 1 3 1 1649219N(8g)( )( )( )( ) + + + 1 1 3 1 1649220N(8h)Una vez determinado el elemento y las funciones de forma correspondientes las operacionessub-siguientes siguen una pauta general ya establecida.MARCO TEORICO212.4 DETERMINACIN DEL JACOBIANOPara entender la importancia delclculo del Jacobiano se debe hacer referencia a la ecuacin(20) que representa la matriz [B], dicha matriz est compuesta por las funciones de forma Niderivadas en funcin de las coordenadas cartesianas x, y, z. Sin embargo las funciones de forma(planteadas en la seccin 2.3.3.2 o bien definidas por las ecuaciones (5), (6), (7) y (8)) estn enfuncin de las coordenadas naturales ?e , ?e, ?e , por lo que se requiere realizar una transformacindelas coordenadas, por tanto, obtendremosprimeramentelas derivadas cartesianas delafuncindeformaNi necesariasparacomponer lamatriz [B]. Recordemosqueel trminoisoparamtrico surga al utilizar las mismas funciones de forma para interpolar la geometra y losdesplazamientos.) (1eniiiiiiiiX NzyxNzyxX ;' ;'(9)Donde:111]1

iiiiNNNN ; ( ) , , f NiPara:[ ]nN N N N ,......., ,2 1La ecuacin (9) se expresa en relacin entre las coordenadas cartesianas y las naturales. Dicharelacin es biunvoca si se cumple que el determinante del Jacobiano de la transformacin x, y, z?$?$ , ?$, ?$es positiva. En general Ni vendr expresada en las coordenadas naturales, por lo que laregla de derivacin en cadena permite escribir: ++ zzN yyN xxN Ni i i i(10a) ++ zzN yyN xxN Ni i i i(10b) ++ zzN yyN xxN Ni i i i(10c)MARCO TEORICO22O en forma matricial:;';'1111111]1

;'zNyNxNJzNyNxNz y xz y xz y xNNNiiieiiiiii) ( (11)Invirtiendo:[ ];';'iiieiiiNNNJzNyNxN1) ((12)En la ecuacin (12)essencillodeterminar iN, iNy iN,solo sedebederivarlas funcionesde forma representadas por las ecuaciones (6), (7) y (8) lo cual se desarrolla ms adelante. Lapreguntaquesurgeescmodeterminar el Jacobiano5?, el Jacobianosepuededeterminarmediantelaecuacin(13)enlacual comoyasemencion,lasfuncionesdeinterpolacindegeometra satisfacen los mismos requisitos que las funciones de forma utilizadas para interpolarel campodedesplazamientos, esdecir, queseutilizaralasmismasfuncionesdeformayaplanteadas.111]1

1111111]1

niiiii i ii i ii i iezyxN N NN N NN N NJ1) ( (13)Un diferencial de volumen se expresa por: ) (eJ z y x(14)5Para profundizar ver Cap.3 Texto C.E. por el M.E.F. Eugenio OateMARCO TEORICO23A continuacin se presenta las derivadas de cada una de las funciones de forma con respecto alas coordenadas naturales.- Nodos de vrtice( )( ) ( ) [ ] 19 18 27 9 1 16412 2 2 1+ + + N(15a)( )( ) ( ) [ ] 19 18 27 9 1 16412 2 2 1+ + + N( )( ) ( ) [ ] 19 18 27 9 1 16412 2 2 1+ + + N( )( ) ( ) [ ] 19 18 27 9 1 16412 2 2 4 + + + N(15b)( )( ) ( ) [ ] 19 18 27 9 1 16412 2 2 4+ + + + N( )( ) ( ) [ ] 19 18 27 9 1 16412 2 2 4+ + + + N( )( ) ( ) [ ] 19 18 27 9 1 16412 2 2 9+ + + + N(15c)( )( ) ( ) [ ] 19 18 27 9 1 16412 2 2 9 + + + N( )( ) ( ) [ ] 19 18 27 9 1 16412 2 2 9+ + + + N( )( ) ( ) [ ] 19 18 27 9 1 16412 2 2 12 + + + + N(15d)( )( ) ( ) [ ] 19 18 27 9 1 16412 2 2 12 + + + + N( )( ) ( ) [ ] 19 18 27 9 1 16412 2 2 12+ + + + + N( )( ) ( ) [ ] 19 18 27 9 1 16412 2 2 21+ + + + N(15e)( )( ) ( ) [ ] 19 18 27 9 1 16412 2 2 21+ + + + N( )( ) ( ) [ ] 19 18 27 9 1 16412 2 2 21 + + + NMARCO TEORICO24( )( ) ( ) [ ] 19 18 27 9 1 16412 2 2 24 + + + + N(15f)( )( ) ( ) [ ] 19 18 27 9 1 16412 2 2 24+ + + + + N( )( ) ( ) [ ] 19 18 27 9 1 16412 2 2 24 + + + + N( )( ) ( ) [ ] 19 18 27 9 1 16412 2 2 29+ + + + + N(15g)( )( ) ( ) [ ] 19 18 27 9 1 16412 2 2 29 + + + + N( )( ) ( ) [ ] 19 18 27 9 1 16412 2 2 29 + + + + N( )( ) ( ) [ ] 19 18 27 9 1 16412 2 2 32 + + + + + N(15h)( )( ) ( ) [ ] 19 18 27 9 1 16412 2 2 32 + + + + + N( )( ) ( ) [ ] 19 18 27 9 1 16412 2 2 32 + + + + + N- Nodos de aristaa)( )( )( ) 3 2 9 1 16492 2 N(16a)( )( )( ) 1 3 1 16492 2N( )( )( ) 1 3 1 16492 2N( )( )( ) 3 2 9 1 16492 3+ N(16b)( )( )( ) + 1 3 1 16492 3N( )( )( ) + 1 3 1 16492 3N( )( )( ) 3 1 1 16492 5N(16c)( )( )( ) 3 2 9 1 16492 5 N( )( )( ) 3 1 1 16492 5NMARCO TEORICO25( )( )( ) 3 1 1 16492 6N(16d)( )( )( ) 3 2 9 1 16492 6 + N( )( )( ) + 3 1 1 16492 6N( )( )( ) + 3 1 1 16492 7N(16e)( )( )( ) 3 2 9 1 16492 7+ N( )( )( ) + 3 1 1 16492 7N( )( )( ) + 3 1 1 16492 8N(16f)( )( )( ) 3 2 9 1 16492 8+ + N( )( )( ) + + 3 1 1 16492 8N( )( )( ) 3 2 9 1 16492 10 + N(16g)( )( )( ) 1 3 1 16492 10N( )( )( ) + 1 3 1 16492 10N( )( )( ) 3 2 9 1 16492 11+ + N(16h)( )( )( ) + 1 3 1 16492 11N( )( )( ) + + 1 3 1 16492 11Nb) ( )( )( ) 3 2 9 1 16492 22 + N(17a)( )( )( ) + 1 3 1 16492 22N( )( )( ) 1 3 1 16492 22NMARCO TEORICO26( )( )( ) 3 2 9 1 16492 23+ + N(17b)( )( )( ) + + 1 3 1 16492 23N( )( )( ) + 1 3 1 16492 23N( )( )( ) + 3 1 1 16492 25N(17c)( )( )( ) 3 2 9 1 16492 25 + N( )( )( ) 3 1 1 16492 25N( )( )( ) + 3 1 1 16492 26N(17d)( )( )( ) 3 2 9 1 16492 26 + + N( )( )( ) + 3 1 1 16492 26N( )( )( ) + + 3 1 1 16492 27N(17e)( )( )( ) 3 2 9 1 16492 27+ + N( )( )( ) + 3 1 1 16492 27N( )( )( ) + + 3 1 1 16492 28N(17f)( )( )( ) 3 2 9 1 16492 28+ + + N( )( )( ) + + 3 1 1 16492 28N( )( )( ) 3 2 9 1 16492 30 + + N(17g)( )( )( ) + 1 3 1 16492 30N( )( )( ) + 1 3 1 16492 30NMARCO TEORICO27( )( )( ) 3 2 9 1 16492 31+ + + N(17h)( )( )( ) + + 1 3 1 16492 31N( )( )( ) + + 1 3 1 16492 31Nc)( )( )( ) 3 1 1 16492 13N(18a)( )( )( ) 3 1 1 16492 13N( )( )( ) 3 2 9 1 16492 13 N( )( )( ) 3 1 1 16492 14N(18b)( )( )( ) + 3 1 1 16492 14N( )( )( ) 3 2 9 1 16492 14 + N( )( )( ) + 3 1 1 16492 15N(18c)( )( )( ) 3 1 1 16492 15N( )( )( ) 3 2 9 1 16492 15 + N( )( )( ) + 3 1 1 16492 16N(18d)( )( )( ) + 3 1 1 16492 16N( )( )( ) 3 2 9 1 16492 16 + + N( )( )( ) + 3 1 1 16492 17N(18e)( )( )( ) + 3 1 1 16492 17N( )( )( ) 3 2 9 1 16492 17+ NMARCO TEORICO28( )( )( ) + 3 1 1 16492 18N(18f)( )( )( ) + + 3 1 1 16492 18N( )( )( ) 3 2 9 1 16492 18+ + N( )( )( ) + + 3 1 1 16492 19N(18g)( )( )( ) + 3 1 1 16492 19N( )( )( ) 3 2 9 1 16492 19+ + N( )( )( ) + + 3 1 1 16492 20N(18h)( )( )( ) + + 3 1 1 16492 20N( )( )( ) 3 2 9 1 16492 20+ + + NPor ejemplo para un elemento paraleleppedo, remplazando las ecuaciones (15), (16), (17) y (18)en la ecuacin (13) y operando se obtiene que el Jacobiano es:111]1

1111111]1

niiiii i ii i ii i iezyxN N NN N NN N NJ1) ( 111]1

cbaJe0 00 00 0) (Donde:, 2 , 2 , 2 c b a Son las dimensiones del elemento en las direcciones x, y, zrespectivamente.Sin embargo para elementos isoparamtricos, es necesario realizar una integracin numrica.MARCO TEORICO292.5 PRINCIPIOS FUNDAMENTALES A SER CUMPLIDOSComoreglabsica, todosloselementosdebencumplirconlasrelacionesquesedescribenacontinuacin.2.5.1 Hacer cumplir la relacin geomtricaEn el elemento tridimensional elegido, el desplazamiento de un punto queda definido por trescomponentes u, v, w en las direcciones x, y, z. Por tanto:; ; (19a, b,c)En un anlisis tridimensional completo y siguiendo la clsica teora de elasticidadtridimensional dondeel elementoinfinitesimal enestudio, al sersometidoaunestadodetensiones, sedeformacambiandosuforma, estecambiodeformaesrepresentadopor elvector de deformacin, el cual en un punto tiene seis componentes como se ve en la ecuacin(20)6donde?x, ?y, ?zsonlasdeformacionesnormalesy?xy, ?yz, ?zxsonlasdeformacionestangenciales.[ ][ ][ ][ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ] 111111111111]1

11111111111111]1

11111111111111]1

+++11111111]1

32132132132 1 32 132 1 32 132 1 32 132 132 132 1:::......0............ ......00...... ............0 00......00 0......wwvvuuxN NzN NyN NzN NxN NyN NzN NyN NxN Nxwzuywzvxvyuzwyvxuxzyzxyzyx(20)Siendo en forma general:(21)6Para Profundizar ms vase Cap. VII Anexos[ ] [ ]) 1 96 ( ) 96 6 ( ) 1 6 ( x x xa B [ ]111]1

32132 1: ......uuN N u [ ]111]1

32132 1: ......vvN N v[ ]111]1

32132 1: ......wwN N wMARCO TEORICO30Como se menciono anteriormente, la matriz [B] requiere una transformacin de coordenadas,es aqu entonces donde se multiplicara por la inversa del Jacobiano.2.5.2 Hacer cumplir la relacin fsicaAplicando la ley de Hooke la matriz [D]7representa las propiedades mecnicas del materialdecadaelemento, enel presente proyectodegradoseconsideraran solouncaso; laisotropa del material; y la anisotropa se deja para un estudio posterior. Es por consiguienteque si el material del elemento en estudio es istropo se deber usar la ecuacin (23) y si porel contrario es aniso trpico se usara la ecuacin (24).(23)Donde:E = Modulo de elasticidad volumtrico del material?v= Coeficiente de Poisson;(24)7Para Profundizar ms vase Cap. VII Anexos) 1 ( 2 + EG( )( )( )( )( )( )11111111]1

11111111111111]1

+ 11111111]1

xzyzxyzyxxzyzxyzyxE 1 22 10 0 0 0 001 22 10 0 0 00 01 22 10 0 00 0 0 11 10 0 01110 0 01 112 1 1111111111]1

11111111111111]1

11111111]1

xzyzxyzyxZXZX YZZX YZ XYZX YZ XY ZZX YZ XY Z YZX YZ XY Z Y XxzyzxyzyxGG GSi mtr i caG G GG G G EG G G E EG G G E E E 1111111514 1013 9 612 8 5 311 7 4 2 1MARCO TEORICO31Donde:Ex, Ey, Ez = Mdulos de elasticidad, uno por cada direccin de los ejescoordenados.?1, ?2, ?3,. ?15 = Quince coeficientes de PoissonGxy, Gyz, Gzx = Mdulos de elasticidad transversal, uno por cada plano coordenado.Para expresar las tensiones en funcin de las deformaciones, se debe invertir la matriz quedetermina las deformaciones en funcin de las tensiones y seguir un procedimiento matricialsimilaral queserealizopara identificarel Jacobiano.Laoperacinanalticade laecuacin(23)fuesencilla,sinembargolainversinanalticadela matrizdelaecuacin(24)resultamuycomplejaportantosedeberealizar lainversindelamatrizatravsdeunatcnicanumrica.En forma general y sustituyendo la ecuacin (21) se puede expresar:(25)Comoyasemencionoenlaseccinanterior, sepuedepresentar tambindeformacionesincialesdebidosa cambiosdetemperatura,retraccindel material,cristalizacin,etc.si sepresentan dichas deformaciones la forma ms general estar dada por:(26)2.5.3 Hacer cumplir las condiciones de equilibrioLaecuacinquerepresentael equilibrioentrelasfuerzasnodalesdeequilibrio, lacargarepartida sobre el elemento y los desplazamientos nodales puede escribirse como:) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 (q f u K (27)Donde:K(1)= matriz de rigidez.u(1)= vector de desplazamientos nodales (representados por , ?, ?)f(1)=vector de fuerzas nodales equivalentes.q(1)= vector de fuerzas nodales de equilibrio del elemento.[ ] [ ] [ ] [ ]) 1 96 ( ) 96 6 ( ) 6 6 ( ) 1 6 ( x x x xa B D [ ] [ ] [ ]) 1 6 ( ) 6 6 ( ) 1 6 ( x x xD [ ] [ ] [ ] [ ]O OD + MARCO TEORICO32Operando cuidadosamente es fcil llegar al sistema de ecuaciones global que, puedeescribirse en forma matricial como:[ ] [] [ ] u K F (28)Enestaseccinesimportanterecordar losTeoremasEnergticos. Laaplicacindelosteoremasenergticossefundamentaenel hechodesimplificar el modelomatemtico, esdecir cambiar las ecuaciones de equilibrio (gobernadas por ecuaciones diferenciales) por lasecuaciones de energa, esto por la complejidad de hacer cumplir las ecuaciones de equilibrio.Ver grafico No 4.Grafica No 4. Esquema teoremas energticosFuente: Elaboracin propiaEn resumen podemos definir al principio de los trabajos virtuales8(PTV) cuando unaestructura bajo efectos externos esta en equilibrio, y si partimos de una configuracincompatible se da un desplazamiento virtual y se encuentra que el trabajo virtual es igual a laenerga de deformacin virtual, entonces la estructura esta en equilibrio. Ver grafico No5.Grafica No 5. Esquema teoremas energticosFuente: Elaboracin propia8La demostracin del PTV est bien ilustrada en el Cap. VII AnexosEner gi aExt er naF * uEner gi aInt er nas* ?ATAJOCambio de las Ecc. de Equ. por las Ecc.Energeticas(para no plantear las ecuaciones diferenciales)SOLUCION (funcinprueba que cumpla las 3"F, G, E")Relaciones fisicasRelaciones geometricasEcuaciones de equilibrioMARCO TEORICO33Paralaobtencindelas ecuaciones deequilibrio, deladiscretizacinpartiremos delaexpresin del principio de los trabajos virtuales aplicada al equilibrio de un elemento aislado.[ ]) 96 6 ( ) 6 6 ( ) 6 96 ( ) 96 96 ( x x x xdV B D B KVT (29)La ecuacin genrica de la matriz de rigidez de un elemento tridimensionalen coordenadasnaturales, es por tanto:[ ] +++) (111111) () , , ( ) , , (ejTi jVTiei jJ B D B dV B D B K +++) , , (111111i jG(30)EnlamatrizGintervienenexpresionesracionalespor loquesuintegracinanalticaessumamente complicada y hay que recurrir a la integracin numrica.2.6 INTEGRACIN NUMRICAEn la mayorpartede loselementosbi otridimensionalesisoparamtricosel clculo directo dedichas integrales es inabordable, salvo algunas excepciones, y es imprescindible hacer uso de laintegracin numrica9.Entrar en detalle en todos los fundamentos matemticos relacionados con la integracinnumrica se sale de los objetivos del presente proyecto de grado. A efectos de simplificar ideaspresentaremos aqu nicamentelaintegracinnumricadeGauss-Legendre, quefueelmtodo que se utilizo en este estudio,por ser este el procedimiento ms popular y utilizado enrelacin con el mtodo de los elementos finitos. +) (11f I(31)9La demostracin de la integracin numrica est bien ilustrada en el Cap. VII AnexosMARCO TEORICO34La regla de la integracin de Gauss-Legendre expresa el valor de dicha integral como suma delproductodelosvaloresdel integrandoenunaseriedepuntosconocidosenel interior delintervalo por unos coeficientes (pesos W) determinados. Es decir para una cuadratura de ordenp se obtiene que:i ipiW f I ) (1(32)Donde:Wi = peso correspondiente al punto de integracin ip = el numero de dichos puntosEs importante destacar quela cuadratura de Gauss-Legendre deorden n integraexactamenteun polinomino de grado 2n -1 o menor. Ver cuadro No3.n ?S i Wi1 0. 0 2. 02 0. 577 3502 692 1. 00. 774 5966 97 0. 5555 5555 60. 0 0. 8888 8888 90. 861 1363 116 0. 3478 5484 510. 339 9810 436 0. 6521 4515 490. 906 1798 459 0. 2369 2688 510. 538 4693 101 0. 4786 2867 050. 0 0. 5688 8888 890. 932 4695 142 0. 1713 2449 240. 661 2093 865 0. 3607 6157 300. 238 6191 861 0. 4679 1393 460. 949 1079 123 0. 1294 8496 620. 741 5311 856 0. 2797 0539 150. 405 8451 514 0. 3818 3005 050. 0 0. 4179 5918 370. 960 2898 565 0. 1012 2853 630. 796 6664 774 0. 2223 8103 450. 525 5324 099 0. 3137 0664 590. 183 4346 425 0. 3626 8378 34387654Cuadro No 3 Coordenadas y pesos de cuadratura de Gauss-Legendre(n, son los puntos de integracin)Fuente: Texto C.E. por el M.E.F. Eugenio OateEn el caso de las funciones de forma del elemento de treinta y dos nodos se tiene tres variables,por tanto la integracin numrica ser de la siguiente forma:MARCO TEORICO35k j i k j ipiqjrkW W W f I ) , , (1 1 1 (32)Por lo tanto, de acuerdo con la ecuacin (30), el clculo de la matriz de rigidez de un elementohexadrico isoparamtrico seria: +++ 111111) ( ) ( d d d J B D B dz dy dx B D B KejTjVejTjei j[ ] [ ] p qrp qrnpnqnrr q pr q pi jnpnqnrr q pr q pejTjW W W G W W W J B D B1 1 1, ,1 1 1, ,) ((35)Donde:np, nq, nr= nmero de puntos de integracin en cada una de las direcciones ? , ? , ??p, ?q, ?r= coordenadas del punto de integracin (p, q, r)Wp, Wq, Wr=Pesoscorrespondientesacadadireccinnatural asociadosadichopuntoGij =Se dio en la ecuacin (30)Deacuerdoal cuadroNo3lascoordenadasdelospuntosdeintegracion paran=3 enunelemento de treinta y dos nodos seria el mostrado en el grafico No6.Grafica No 6. Puntos de integracionFuente: Elaboracin propiaMARCO TEORICO362.7 ENSAMBLE DE LA ESTRUCTURAPara tener la solucin completa se han de satisfacer en toda ella dos condiciones de:- Compatibilidad de los desplazamientos- Equilibrio en los nodos.Como las condiciones generales de equilibrio ya son satisfechas dentro de cada elemento, solonos queda establecer las condiciones de equilibrio en los nodos de la estructura. Lasecuaciones que resulten contendrn los desplazamientos como incgnitas y una vez calculadosestosel problemaquedaracompletamente resuelto.El ensambledelaestructuraseexplicaracon mayor claridad con el siguiente ejemplosencillo de una cercha.En la grafica No7 se muestra una cercha con elementos barras de dos nodos y en cada nodo setienedosgradosdelibertad, unoencadadireccin, seguidamentesepresentalamatrizderigidez de el elemento 1 y 2, y se indicara con flechas como se realiza el ensamble utilizando elcuadro No4.1111]1

11111]1

11111]1

11111]1

43211413121114414314214113413313213112412312212111411311211114131211*K K K KK K K KK K K KK K K KLiAi EiFFFF1111]1

11111]1

11111]1

11111]1

65432423222124424324224123423323223122422322222121421321221122 24232221K K K KK K K KK K K KK K K KLA EFFFFGrafica No 7. Esquema cerchaFuente: Elaboracin propiaSe realiza el ensamble de la matriz de rigidezdel elemento 2, su sub valor K213:123652143yxyx yx123(x ,y )3 3(x ,y )1 1(x ,y )2 2MARCO TEORICO37K213Cuadro No 4. Ensamble de matriz de rigidez cerchaFuente: Texto C.E. por el M.E.F. Eugenio Oate1111111]1

11111111]1

+ ++ ++ ++ ++ ++ +1111111]1

654321244344243343242241342341234334233333232231332331224223222144221143142141214213212134211133132131324323124123122322121321314313114113112312111311654321K K K K K K K KK K K K K K K KK K K K K K K KK K K K K K K KK K K K K K K KK K K K K K K KEARRRRRRDe forma anloga se realizo el ensamble en el programa desarrollado.2.8 APLICAR LAS CONDICIONES DE BORDEElsistema de ecuaciones que resulta de la ecuacin (28) puede resolverse una vez sustituidoslos desplazamientos impuestos enlos apoyos, locual reduceindirectamenteel nmerodeecuacionesdeequilibrio. Esobvioquesinsustituir unnmeromnimodedesplazamientos,obligados para impedir que la estructura se mueva como un slido rgido, pues losdesplazamientos no pueden quedar unvocamente determinados por las fuerzas y habr infinitassoluciones para un sistema de fuerzas dado. Este hecho, fsicamente evidente, debeinterpretarse matemticamente en razn de que la matriz K, al ser singular, carece de inversa.2.9 CARGAS NODALES EQUIVALENTESComo ya se menciono anteriormente, se pueden considerar efectos de distintos tipos de accionesen el anlisis, estas acciones estn asociadas en cada elemento y se incluyen en el clculo pormedio de cargas concentradas aplicadas en los nodos del mismo.a) Peso propioEl clculo de los vectores de fuerzas nodales equivalentes est dado por la ecuacin (36), yel procesodeintegracinnumricasobreel volumendel elementoseefectademaneraidntica a la matriz de rigidez K gobernada por la ecuacin (35)1 2 31 1 3 12 2 4 23 3 5 54 4 6 6Elem ent osDireccionesMARCO TEORICO38 +++ 111111) ( ) ( d d d J b N dz dy dx b N fe TiVeTiei[ ] p qrnpnqnrr q pr q pe TiW W W J b N1 1 1, ,) ((36)b) Cargas uniformes distribuidasEl caso de las fuerzas actuando sobre una de las caras del elemento es algo mscomplicado. Para expresar el proceso consideremos que acta una fuerza tn ortogonal a lacara situada (ver imagen No 14) ?= +1 y definida por los nodos 5 al 8, para el clculo delvector de fuerzas de superficie precisamos conocer el termino t dA (ver ecc. 39), donde dAes el diferencial de rea en dicha cara,y t el vector de fuerzas en ejes globales actuantessobre la superficie en cuestin. As, si nx, ny, nz son los cosenos de la forma a la superficie,se tiene que: t= tn n con n = [nx, ny, nz]El vectornormal nseobtienecomoproductovectorial dedosvectorestangencialesalaslneas ?2= ctte y ?2= ctte contenidas en la superficie. As:

,_

+++ 11kzjyixV

v v(37)

,_

+++ 12kzjyixV

v v(38)Imagen No 14. Fuerza de superficie normal a una cara de un elemento hexadricoFuente: Texto C.E. por el M.E.F. Eugenio OateMARCO TEORICO39Se deducede lasecuaciones (38y 37)quelas componentesde V1,V2 seobtienende laprimera y segunda fila de la matriz del Jacobiano, donde el vector normal unitario es:(39)Y recordando que2 1V x V dA

, se t i ene que: ;') () (12 21 32 1123 11 13 2113 22 23 121 1eejdAJ J J JJ J J JJ J J JdAn(40)Por consiguiente, la expresin final del vector de fuerzas de superficie es: ++ d d J n t N dA n t N f Ren iAn ietieA) (1111) ([ ] p qnpnqq p q p ne TiW W t J N1 1,) ((41)Las expresiones (35), (36) y (41) son la base para la elaboracin de las subrutinascorrespondientes a un programa de ordenador de elementos tridimensionales.Adicionalmenteysi el lectorloconsideranecesariopuedeaplicarlossiguientestiposdecargas:a) Fuerzas inerciales o de volumen[ ] d d d J f dV f Re evTVe vTVe ev ) det((42)96x1 96x3 3x1b) Fuerzas por deformacin inciales[ ] d d d J D B dV D B ReTVe eTVe eD ) det(0 0(43)96x1 96x6 6x66x1c) Fuerzas por tensin inciales[ ] d d d J B dV B ReTVe eTVeT ) det(0 0(44)96x1 96x6 6x12 12 1V x VV x Vn

MARCO TEORICO40Paraevaluar estasecuacionesseutilizarantcnicasdeintegracinnumrica, por loquefuenecesarioexpresar lasdiferencialesdevolumenysuperficieentrminosdelascoordenadasnormalizadas a travs del determinante del Jacobiano.2.10 RESOLUCIN DEL SISTEMAExisten muchas tcnicas para resolver el sistema de ecuaciones K u = f resultante delensamblaje de las ecuaciones de equilibrio de los diferentes elementos, entre los procedimientosms importantes podemos citar:Mtodos directos, como: Eliminacin Gaussiana Mtodo frontal Reduccin de Choleski Reduccin de Crout Mtodo del perfil.Mtodos iterativos Mtodo iterativo de Gauss-Seidel Mtodos de gradiente conjugado Mtodos de relajacinLa descripcin detallada de estos mtodos puede encontrarse en la mayora de libros de clculonumrico, aqu seempleoel mtodoquesedescribeacontinuacin, por ser quizsel mssencillo y fcil de implementar en un programa de elementos finitos.El mtodo desarrollado se basa principalmente en adicionar elementos ficticios muy rgidos, y aladicionarlos estamos colocando un valor infinito en la diagonal principal. Ver grafica No 8Grafica No8. Esquema solucin del sistemaFuente: Elaboracin propia213456elementosficticiosMARCO TEORICO41La matriz de rigidez original [K] por ser una matriz singular no tiene inversa, sin embargo, en elmomentoqueestamosadicionandoloselementosficticiosenlosapoyos, losvaloresenlosnodosdeapoyodeladiagonal principal delamatrizderigidezseloscambiapor valoresrelativamente muy grandes con el fin de representar el infinito, esta accin resulta en una nuevamatriz [KX] la cual si se puede invertir. Por tanto podemos seguir el proceso que se presenta acontinuacin.[K] [Kx] (45)[u] = [K*]-1* [F] (46)[Fx] = [K] * [u] (47)Con la ecuacin (46) se determina una de las tres principales incgnitas, que son losdesplazamientos, y para el clculo de las reacciones se debe aplicar primeramente la ecuacin(47)enla que seobtienentodas las fuerzasqueactansobreel elemento,sinembargoa eneste punto solo nos interesa las reacciones, es por eso que se debe aplicar la ecuacin (48) parala obtencin de las reacciones.[R] = [Fx] - [F] (48)2.11 ANLISIS COMPLEMENTARIO2.11.1Calculo de tensiones.Lastensionessecalculaninicialmenteenlospuntosdeintegracinyapartir dedichosvalores se procede a su extrapolacin a los nodos. As, las tensiones en el punto de Gauss pse obtiene por:( )nii p i pa DB1(49)Recordemos que durante el clculo de la matriz de rigidez K se evala el punto (D*B) en cadapunto de Gauss, almacenando la matriz resultante en un fichero, juntamente con lascoordenadas cartesianas de los puntos de Gauss. Por lo tanto, para efectuar las operacionesde la ecuacin (45)basta con leer para cada elemento la informacin almacenada en dichofichero, evitando el clculo repetitivo de las matrices B y D en cada punto de Gauss.CAPITULO III:MARCO PRACTICOCAPTULO III3.1 PROGRAMA COMPUTACIONAL DE APLICACINUna de las etapas ms importantes del mtodo de los elementos finitos es la aplicacin al clculode las estructuras, implementando la teora en un programa de ordenador.mercado existe una variedad de programas que con los aos han ieficaciaparaobtener solucionesdeformamseconmicaycompetitiva.conocidosenel mercadoson: CYPEingenieros, SAP2000IntegratedSoftware, ROBOTStructural Analysis, ADINA SYSTEMen la grafica No 9.3.1.1 CARACTERISTICAS DEL PROGRAMA.En este captulo se presenta una descripcin del programa para clculo de slidos ypor el mtodo de los elementos finitos con detalles de las subrutinas ms relevantes del mismo.El programa est escrito encaractersticas generales:Etapa 1. CaracteristicasPrograma (seleccion delEtapa 2. Discretizacionestructura en E. F.Etapa 3. Entrada de datosEtapa4. CalculodeRigidez de los elementosEtapa 5. Calculo delfuerzas nodalesEtapa6. Soluciondelecuaciones global.Etapa 7. Calculo de las43PROGRAMA COMPUTACIONAL DE APLICACINUna de las etapas ms importantes del mtodo de los elementos finitos es la aplicacin al clculode las estructuras, implementando la teora en un programa de ordenador.mercado existe una variedad de programas que con los aos han ido adquiriendo versatilidad yeficaciaparaobtener solucionesdeformamseconmicaycompetitiva.conocidosenel mercadoson: CYPEingenieros, SAP2000IntegratedSoftware, ROBOTADINA SYSTEM. El mtodo consta de las etapas bsicasGrafica No9: Esquema general de las etapas bsicasFuente: Elaboracin propiaCARACTERISTICAS DEL PROGRAMA.En este captulo se presenta una descripcin del programa para clculo de slidos ypor el mtodo de los elementos finitos con detalles de las subrutinas ms relevantes del mismo.El programa est escrito en el lenguaje VISUAL-BASIC2010 Tipologia de la estructura - Caracteristicas del material Presicin buscada - Tipos de CargasCaracteristicas deldel elemento) Numeracin de los nodos de la malla Numeracin de los elementosDiscretizacion de la Parametros de Control - Condiciones de contorno Datos geometricos - Propiedades del materialdatos Calcular la Matriz de Rigidez K(e)laMatrizdeelementos Cargas exteriores consideradas - Fuerzas nodales equivalentes y repartidasdel vector de Ensamblaje Reducciondel sistemade Puntos de integracion Extrapolacion a los nodoslas tensiones.MARCO PRCTICOUna de las etapas ms importantes del mtodo de los elementos finitos es la aplicacin al clculode las estructuras, implementando la teora en un programa de ordenador. Cabe recordar que endo adquiriendo versatilidad yeficaciaparaobtener solucionesdeformamseconmicaycompetitiva. Losprogramasmsconocidosenel mercadoson: CYPEingenieros, SAP2000IntegratedSoftware, ROBOTsta de las etapas bsicas que se muestraEsquema general de las etapas bsicasEn este captulo se presenta una descripcin del programa para clculo de slidos y estructuraspor el mtodo de los elementos finitos con detalles de las subrutinas ms relevantes del mismo.y presenta las siguientesCaracteristicas del materialTipos de CargasNumeracin de los nodos de la mallaCondiciones de contornoPropiedades del material- Fuerzas distribuidasFuerzas nodales equivalentes y repartidasMARCO PRCTICO44Caractersticas del material.- Material elstico lineal istropo.Tipologas de estructuras abordables.- Slidos tridimensionales (Cdigo programado)- Estructuras en deformacin plana (Cdigoa ser programado por el lector)- Estructuras en tensin plana (Cdigoa ser programado por el lector)- Slidos de revolucin (Cdigoa ser programado por el lector)- Placas (teora de Reissner-Mindlin) (Cdigoa ser programado por el lector)- Laminas de revolucin (Cdigoa ser programado por el lector)Elementos utilizablesEnestepuntocabeaclarar queel programaactualmentecuentasolamenteconel elementotridimensional isoparamtricoserendpitodetreintaydosnodos, sinembargoel lector podradicionar al programa los elementos isoparamtricos siguientes:Tipologia ElementoTensionydeformacinplana:Slidosderevolucin:Solidostridimensionales:Placas:Laminasderevolucion:ElementotroncocnicodedosnodosdeReissner-Mindiln-ElementostriangularesdetresyseisnodosElementoscuadrilateroslagrangianosde4y9nodosElementocuadrilateroserendpitode8nodosLosmismosqueparatensionydeformacionplanaElementohexagonalserendpitode20nodosElementocuadrilaterode4nodosCLLLTipo de cargasPara los problemas se admiten cargas estticas de los tipos siguientes:MARCO PRCTICO45Problema Tiposde cargasTension ydeformacion plana CargaspuntualesnodalesSlidosde revolucin Peso propioSolidostridimensionales CargaspuntualesnodalesPeso propioPlacasylminasde revolucin CargaspuntualesnodalesPeso propioCargasuniformemente repartidassobre losladosde loselementosCargasuniformemente repartidassobre lascarasde loselementosCargasuniformemente repartidassobre un lado delelementoLoselementosy cargas consideradas sonplanteadasporser las ms sencillas y eficaces,sinembargo, una vez familiarizado el lector con los detalles del programa podr modificarlofcilmente para poder incluir otros tipos de elementos y cargas.3.2 ORGANIZACIN GENERAL DEL PROGRAMAComo se ilustro en el grafico No 9, la organizacin general del programa cuenta con 6 etapas, lascuales se detallan a continuacin, pero previamente y para centrar los conceptos el grafico No10muestra el diagrama de flujo principal del programa.Grafico No10: Diagrama de flujo principal del programa.Fuent e: El abor aci n pr opi aDATOSRIGIDEZ [ K]BUCLE SOBRE LOS ESTADOS DE CARGAFUERZASSOLUCIONTENSIONESMARCO PRCTICO46Etapa 1: Seleccin del tipo del elemento.La seleccin del elemento es funcin de la tipologa de la estructura y la precisin buscada.Una vez escogido el elemento que se ajustea las necesidades del problema, quedandefinidas sus funciones de forma.Etapa 2: Discretizacin de la estructura en elementos finitos.Esta etapa puede presentar un porcentaje alto del esfuerzo total de clculo si la geometra dela estructura es compleja. En ella hay que definir las coordenadas de los nodos, laspropiedades de cada elemento y las condiciones de contorno, cabe mencionar la importanciade la correcta numeracin de los nodos de la malla y la numeracin de los elementos.Etapa 3: Entrada de datos.Esta etapa consiste en realizar una lectura de los datos necesarios para resolver el problema.Etapa 4: Calculo de la matriz de rigidez de los elementos.En la etapa siguiente se calculan las matrices de rigidez [K] de cada uno de los elementos dela malla.Etapa 5: Calculo del vector de fuerzas nodales equivalentes.Esta etapa calcula el vector de fuerzas nodales equivalentes [F] para cada elementoEtapa 6: Solucin del sistema de ecuaciones global.Una vez determinada la matriz de rigidez y el vector de fuerza nodales equivalentes la etapasiguiente es el ensamble de dichas matrices y vectores f = K*u, y su solucin para obtener losdesplazamientos y las reacciones.Etapa 7: Anlisis complementario.La etapa final consiste en calcular las tensiones en los diferentes elementos en cada punto deintegracin, a partir de los valores de los movimientos nodales.3.2.1 Tipos de variablesAntes de desarrollar los tipos de variables, es conveniente indicar la metodologa con la quesetrabajoal realizarel programaconel lenguajeVisual Basic 2010.Bsicamente para laintroduccin de datos en Visual Basic 2010 se utilizan diferentes formularios, la cantidad delos mismos depender de los grupos de datos necesarios para resolver el problema, ademsMARCO PRCTICO47se utiliza un formulario principal (formulario men) a travs delcual se puede accedera losdiferentesformularios. Entonces, dentrodel cdigodeprogramacindeunformulariosellaman a diferentes sub rutinas funciones las cuales estn almacenadas en mdulos, parauna mejor comprensin. Ver grafica No 11.Grafico No11: Esquema de interaccin de formularios y mdulosFuent e: El abor aci n pr opi aLas variables utilizadas en elprograma, pueden ser clasificadas de varias formas. Para unamejor lectura del cdigo de programacin se los clasifica de la siguiente manera: Variables pblicas, semi-privadas y privadas.Sonaquellasqueseutilizanenvariosformulariosymdulos, ysondeclaradascomoPublic.Denominaremoscomovariablessemi-privadasaaquellasquesonreconocidasentodaslas sub rutinas o funciones de un formulario un modulo, y se las declara como Dim alinicio.Definiremos como privadas a las variables que solamente son reconocidas dentro de unasubrutinaounafuncin, yaseasi la funcinosubrutinaestaenel formulariooenunmodulo, estas son declaradas comoDim por la sub rutina o funcin con un Byval. Variables por el tipo de dato a almacenar.En el programa los tipos de datos que se almacenan son: Valores constantes o variablesdel tipoenteroydoble, matricesyvectorescondimensionesdefinidas, yObjetos, loscuales normalmente almacenan matrices de dimensiones desconocidas. Variables auxiliares temporales.Formulario MenFormulario AModulo 1Modulo 2Formulario BFormulario CModulo 3MARCO PRCTICO48Estas variables nosern explicadas a detalledebidoaquerealizan operaciones deinteraccin con el usuario, como la exportacin importacin de datos.3.2.2 Seleccin de los nombres de las variablesPara obteneruna buena programacin se mantuvoun criterio para escoger los nombres delas variables del programa, salvo algunas excepciones. En el presente programa se trat queel nombre de cada una de estas variables este lo ms relacionado posible con su funcin enel programa, por otra parte todas las variables que empiezan con la letra:- n indica nmero de- m indica matriz de- vindica vector de (es unvector, serefierequesonlos valoresde unelementoespecifico)- i, j, k indica un valor determinado de la variable- c indica constante de parmetro de- M indica matriz resultado deAdicionalmente todas las variables que terminen con la letra:- S indica Sub rutina- F indica Funcin- B indica Valor de entradaEstasnormas pueden resultaralgo tediosas,noobstante,suestricto cumplimientoser deutilidad para el estudio, utilizacin y posterior modificacin por el lector.3.2.3 Transmisin de informacin entre subrutinasEnel presenteprogramasedisetreceformulariosysietemdulosparaoperar todalainformacin. AcontinuacinsepresentaundiagramaenlagraficoNo12, el cual indicalainteraccin de las pestaas del men principal con los formularios de dialogo.MARCO PRCTICO49Grafico No12: Diagrama de interaccin de formularios y acciones a realizar.Fuente: Elaboracin propia3.2.4 Men principal: MenEn el formulario Men, se desgloso unas pestaas, las que permiten seleccionar el tipo deaccinarealizar, abriendounnuevoformulariodedialogooelementosdeseleccinparavisualizar los datos ya introducidos visualizar los resultados. Ver grafico No 13.Grafico No13: Formulario principal Men.Fuente: Elaboracin propiaM ENUDATOSPr opi edades del m at er i alTi pol ogaDat os geom et r i cosCondi ci ones de cont or noCARGASEst ados de Car gaCar gas Nodal esCar gas Di st r i bui dasVERVer Dat osVer Car gasCALCULOS Cal cul arVERRESULTADOSTensi ones,Despl azam i ent os,Reacci ones y Coor pt osi nt egr aci onMARCO PRCTICO50El cdigo de programacin desarrollado en el formulario Men, se enfoco principalmente enlas siguientes acciones:- Llamar a otros formularios de dialogo- Controlar la habilitacin inhabilitacin de los formularios de dialogo, es decir, si losdatosdeunformulariodedialogoestnincompletosentoncesnosehabilitaralautilizacin del siguiente formulario.- Muestradatos o resultados en una tabla y adems permite exportar los resultados.3.3 ENTRADA DE DATOS: PESTAA DatosLapestaaDATOS sediseodetal formaqueleatodalainformacinrelacionadaconlageometradelamallaylaspropiedadesdelosmateriales. Losformulariosylosmdulosutilizados para realizarlasoperaciones de lectura de datos estnorganizadosde manera quesirva para cualquier problema de estructuras ya sea analizado con elementos bi tridimensionales, adems, el cdigo de programacin desarrollado en cada uno de losformularios de dialogo para la introduccin de datos, se basa fundamentalmente en laordenacin de los datos y su posterior almacenamiento en variables o matrices para su posterioroperacin.3.3.1 Tipologa del problema: TipologaEl formulariodedialogopermiteseleccionarel tipodeproblemaquesevaaresolveryelelementoaser usado, peroenel presenteproyectodegradosolosehadesarrolladoelelementotridimensional isoparamtricode32nodos, sinembargo, dentrodel cdigodeprogramacinsehadejadoespaciosparalaadicindeotroselementos, ademsdeunaexplicacindetalladaparaunamejorimplementacindelosnuevoselementos. VergraficoNo14.Esteformularioleerel tipodeproblemayelemento aseranalizado,porconsiguientelosdatosaleer son: nTiPro/ nDime/ nTens/ nGdln/ nNodo/ nNeva, estasvariablessondefinidas como pblicas.MARCO PRCTICO51Grafico No14: Formulario de dialogo. TipologasFuente: Elaboracin propia3.3.2 Propiedades del material: MaterialesEnesteformularioseleernlosdatosnecesariosparaconformarlamatrizconstitutiva[D].Estas propiedades se ingresan atreves de un formulario de dialogo, el cualesta enlazado auna base de datos donde se tiene almacenado algunos de los materiales ms comunes, sinembargo, el usuario puede eliminar y adicionar nuevos materiales. Ver grafico No 15.Grafico No15: Formulario de dialogo. Base de datos de los materialesFuente: Elaboracin propiaMARCO PRCTICO523.3.3 Datos geomtricos: GeometraLaintroduccindelageometradel problemaaresolver sepuederealizar mediantetresopciones:- La primera es introducir los datos de forma manual.- La segunda opcin es introducir los datos importndolos de una hoja Excel.- La tercera es introduciendo los datos de manera automtica.Si bienunadelasgrandesventajasdelaterceraopcineslareduccindel tiempodeintroduccin de datos, su desventaja radica en que solamente genera elementosparaleleppedos, y todos los elementos tienen la misma dimensin. Ver grafico No 15.a) Introduccin manual y por importacin b) Generacin automtica de la mallaGrafico No16: Formulario de dialogo de la geometra.Fuente: Elaboracin propia3.3.4 Condiciones de contornoLas condiciones de contorno se ingresan a travs de un formulario de dialogo, en el cual paralosnodosrequeridossedebeindicarsi presentaonorestriccionesenx, y, z. VergraficoNo17.MARCO PRCTICO53Grafico No17: Formulario de dialogo. Condiciones de contornoFuente: Elaboracin propia3.4 ENTRADA DE CARGAS: SUB-MENU CARGAS3.4.1 Estados de cargaEn este formulario de dialogo se introduce el numero de estados de carga del problema, y siestos van a considerar o no el peso propio. De la misma manera que las sub-rutinas DATOSestas subrutinas son de lectura de informacin, por tanto su cdigo se enfoca en elordenamientoy almacenamientode losdatosenvariablesparasuposterioroperacin. Vergrafico No 18.Grafico No18: Formulario de dialogo. Estados de carga.Fuente: Elaboracin propiaMARCO PRCTICO543.4.2 Fuerza en los nodosEnesteformulariodedialogoseseleccionael estadodecargaenel queseaplicanlascargas. Los datos se pueden introducir en forma manual o importarlos desde una hoja Excel.Su cdigo de programacin es de ordenamiento y almacenamiento, este proceso se lo realizacon la ayuda de una sub-Funcin fPuntF almacenada en el modulo moDatos. Ver graficoNo19Grafico No19. Formulario de dialogo. Fuerzas puntuales en los nodos.Fuente: Elaboracin propia3.4.3 Fuerzas distribuidasDe la misma manera que en las fuerzas nodales, en este formulario se realiza un proceso delectura y almacenamiento de las variables para su posterior operacin. Ver grafico No 20.Grafico No20: Formulario de dialogo. Fuerzas distribuidas sobre las caras del elemento.Fuente: Elaboracin propiaMARCO PRCTICO553.5 VER DATOS Y CARGASEnestaspestaassepuedenobservarlosdatosycargasingresadas. Estaaccinselohadispuesto con el fin de mostrar los datos y poder detectar cualquier error o incongruencia antesde proceder al clculo. Por lo tanto se recomiendo al lector revisar los datos ingresados antes deproceder con el clculo del problema.3.6 CALCULARLa accin calcular realiza las operaciones ms importantes del programa. Todos los conceptosvistos en el capitulo II y el proceso de la grafica No9, esta desarrollado a continuacin.3.6.1 Listado de la Rutina principal CALCULAR222Private Sub CalcularToolStripMenuItem_Click(ByVal sender AsSystem.Object, ByVal e As System.EventArgs) HandlesCalcularToolStripMenuItem.Click224If MessageBox.Show("Desea calcular", "CALCULAR",MessageBoxButtons.YesNo, _225MessageBoxIcon.Question) = Windows.Forms.DialogResult.YesThen227 MsgBox("Este proceso puede tardar varios minutos")228 ReDim MReacE(nEsCar)229 ReDim MDespE(nEsCar)230 ReDim MTensE(nEsCar)231 'CALCULA LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE CADA ELEMENTO232 Call RigiMatS()234 'ENSAMBLA LAS MATRICES DE RIGIDEZ235 Call EnsamblaKS()237 'BUCLE PARA RESOLVER LOS DISTINTOS ESTADOS DE CARGA238 For iEsCar = 1 To nEsCar239 Call FuerzaS(iEsCar)240 Call EnsamblaFS(iEsCar)241 Call ResolverS(iEsCar)243 MReacE(iEsCar) = MReacT244 MDespE(iEsCar) = MDespT245 Next iEsCar246 MsgBox("Calculo terminado")247 End If249 End SubMARCO PRCTICO563.6.2 Matriz De Rigidez: Subrutina RIGIMATEstasubrutinasiguelosprocesosindicadosenel diagramadeflujomostradoenlagraficaNo21,representando bsicamente la expresin de la matriz de rigidez dada por la ecuacin (35).[ ] p qrnpnqnrr q pr q pi jVejTjei jW W W G dz dy dx B D B K1 1 1, ,) ((35)Grafico No21: Diagrama de flujo del programa.Fuente: Elaboracin propiaRecuper a pr opi edades geom et r i cas y mecani cas de cada el em ent o- Cal cul a mat r i z D DM at SCal cul a l as f unci ones de f or m a Ni y sus der i vadas nat ur al esen cada punt o de i nt egr aci on FFormaFCal cul a l as coor denadas car t esi anas, J(e),[ J](e),[ J(e)]-1y l as der i vadasen cada punt o de i nt egr aci on JacobSCal cul a l a m at r i z de def or m aci on [ B] en c/ pt o de i nt egr aci n BM at Scal cul a el pr oduct o DB en cada punt o de i nt egr aci on BM at Scal cul a Ki j(e)= Ki j(e)+ BT(DB) det J( e)W p W q W rdef i ne S(e)= DB par a post er i or eval uaci on de t ensi ones en l ospunt os de i nt egr aci nAl m acena K(e)y S(e)en una var i abl e par a uso post er i or en l assubr ut i nas SOLUCION Y TENSIONESr espect i vam ent eBucle sobre todos los elementosBucle sobre los puntos de integracin3 ; ; 13 ; ; 13 ; ; 1 rqpn to rn to qn to p i i iN N N, ,zNyNxNi i i, ,MARCO PRCTICO573.6.2.1 Listado de subrutina RIGIMATEn esta seccin se presentara la lista de la programacin en Visual estudio con comentarios yexplicaciones que facilitan su implementacin y posterior edicin.1 Module moRigiMat2 '***********************************************3 '* Calcula Matriz de Rigidez de cada elemento*4 '***********************************************6 Dim DMatZ(,) 'Matriz D7 Dim BMatz(,) 'Matriz B8 Dim DBMatz(,) 'Multiplicacin de laMatriz D*B9 Dim mDCart(,) 'Derivadas cartesianasde las funciones deforma10 Dim mCorpg(,) 'Matriz de coordenadasde los puntos de integracin1112 Sub RigiMatS()13 DimmRigid(nNeva, nNeva)14 DimmTenz(nTens, nNeva, nGauss ^3) 'Tensiones elementales15 'encada punto de integracin16 DimKpGaussAs Integer 'es un contador17 DimeXisp AsDouble18 DimeNasp AsDouble19 DimeGasp AsDouble20 DimdVolu AsDouble21 DimfForma,dfForma22 ReDim mCoRel(nNodo, nDime)23 ReDim oKelem(nElem)24 ReDim oTenEl(nElem)2526 '* BUCLE SOBRE CADA ELEMENTO27 ForiElem =1 To nElem28 KpGauss= 029 'MATERIAL30 For i = 1To 331 vMaEl(1, i) = mTMaEl(iElem, i + 2)32 Next i3334 'COORDENADAS DE LOS PUNTOS NODALES DELELEMENTO35 For iNodo= 1 To nNodo36 lNodo= iNodo + nNodo * (iElem - 1)37 ForiDime = 1 To nDime38 mCoRel(iNodo, iDime)= mCoRelT(lNodo, iDime + 1)MARCO PRCTICO5839 NextiDime40 Next iNodo42 ' CALCULA LA MATRIZ CONSTITUTIVA D43 Call DMatS()4445 'INICIALIZA LA MATRIZ DE RIGIDEZ ELEMENTAL46 For iNeva= 1 To nNeva47 ForjNeva = 1 To nNeva48 mRigid(iNeva, jNeva)= 049 NextjNeva50 Next iNeva5152 'BUCLE PARA LA INTEGRACION NUMERICA53 'realizar un select case55 For iGauss = 1 To nGauss56 ForjGauss = 1 To nGauss57 For kGauss = 1 To nGauss5859 KpGauss= KpGauss + 161 eXisp =CuGaLe3(1, iGauss)62 eNasp =CuGaLe3(1, jGauss)63 eGasp =CuGaLe3(1, kGauss)65 fForma = FFormaF(eXisp, eNasp, eGasp)66 dfForma= dFFormaF(eXisp, eNasp, eGasp)6768 Call JacobS(iElem, KpGauss, fForma,dfForma)70 dVolu =dJacb * CuGaLe3(2,iGauss) *_71 CuGaLe3(2,jGauss) *CuGaLe3(2,kGauss)73 Call BMatS()74 Call DBMatS()7576 For iEvab = 1 TonNeva77 ForjEvab =iEvab To nNeva78 For iTens = 1 To nTens79 mRigid(iEvab,jEvab) = mRigid(iEvab,jEvab) + _80 BMatz(iTens,iEvab)* DBMatz(iTens,jEvab)* dVolu81 Next iTens82 Next jEvab83 Next iEvab8486 For iTens = 1 TonTens87 ForiEvab =1 To nNevaMARCO PRCTICO5988 mTenz(iTens, iEvab, KpGauss)= DBMatz(iTens, iEvab)89 Next iEvab90 Next iTens9192 Next kGauss93 NextjGauss94 Next iGauss9596 'CALCULODE LA PARTE TRIANGULAR INFERIOR DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ97 For iEvab= 1 To nNeva98 ForjEvab = iEvab To nNeva99 mRigid(jEvab, iEvab)= mRigid(iEvab, jEvab)100 NextjEvab101 Next iEvab102103 'ALMACENA LA MATRIZ DE RIGIDEZ ELEMENTAL104 oKelem(iElem) = mRigid105 oTenEl(iElem) = mTenz106 Next iElem107 End Sub3.6.2.2 Listado de las subrutinas auxiliaresEnestaseccinsedetallalalistadelaprogramacinenVisual estudioconcomentariosyexplicaciones que facilitaran su implementacin y posterior edicin.109 #Region "OPERACIONES AUXILIARES RIGIMAT"A) Funcin de cuadraturas de Gauss Legendre.Los valores de la cuadratura estn detallados en el cuadro No 3 del captulo II. La integracinenel presenteproyectodegradoselorealizocontres puntos deintegracinencadadireccin (n=3).111 #Region "CUADRATURASDE GAUSS LEGENDRE"113 '******************************************************114 '* ESTAS FUNCIONES PROPORCIONAN LOS PESOS Y ABSCISAS *115 '* PARA PRISMAS RECTANGULARES DE GAUSS *120 '******************************************************122 Function CuGaLe4()123 DimMatrizGa(2, 4)125 'Fila 1 = Xi(abscisa)MARCO PRCTICO60126 'Fila 2 = Wi(peso)128 MatrizGa(1, 1) = 0.861136311594053129 MatrizGa(1, 2) = -0.861136311594053130 MatrizGa(1, 3) = 0.33998104384856131 MatrizGa(1, 4) = -0.33998104384856133 MatrizGa(2, 1) = 0.347854845137454134 MatrizGa(2, 2) = 0.347854845137454135 MatrizGa(2, 3) = 0.652145154862546136 MatrizGa(2, 4) = 0.652145154862546138 CuGaLe4 = MatrizGa139 End Function140 Function CuGaLe3()141 DimMatrizGa(2, 3)142 'Fila 1 = Xi: 'Fila 2 = Wi144 MatrizGa(1, 1) = 0.774596669241483145 MatrizGa(1, 2) = -0.774596669241483146 MatrizGa(1, 3) = 0.0149 MatrizGa(2, 1) = 0.555555555555556150 MatrizGa(2, 2) = 0.555555555555556151 MatrizGa(2, 3) = 0.888888888888889153 CuGaLe3 = MatrizGa154 End Function155 Function CuGaLe2()156 DimMatrizGa(2, 2)157 'Fila 1 = Xi: 'Fila 2 = Wi159 MatrizGa(1, 1) = 0.577350269189626160 MatrizGa(1, 2) = -0.577350269189626162 MatrizGa(2, 1) = 1.0163 MatrizGa(2, 2) = 1.0165 CuGaLe2 = MatrizGa166 End Function167 Function CuGaLe1()168 DimMatrizGa(2, 1)169 'Fila 1 = Xi: 'Fila 2 = Wi170 MatrizGa(1, 1) = 0.0171 MatrizGa(2, 1) = 2.0172 CuGaLe1 = MatrizGa184 SubDMatS()185 Dim Fact1, Fact2, Fact3 As DoubleMARCO PRCTICO61186 Dim Young, Poiss AsDouble187 ReDim DMatZ(nTens,nTens)188189 Poiss = vMaEl(1, 1)190 Young = vMaEl(1, 2)191192 For iTens = 1 To nTens193 For jTens = 1 TonTens194 DMatZ(iTens, jTens) = 0195 Next jTens196 Next iTens197198 Select Case nTiPro199 Case 1 'TensinPlana200 Case 2 'Deformacin Plana201 Case 3 'Slidosde Revolucin202 Case 4 'SlidosTridimensionales203 Fact1 = Young * (1 - Poiss) / ((1 + Poiss) * (1 - 2* Poiss))204 Fact2 = Fact1 * Poiss / (1 - Poiss)205 Fact3 = Fact1 * (1 - 2 * Poiss) / (2 - 2 * Poiss)207 DMatZ(1, 1)= Fact1208 DMatZ(1, 2)= Fact2209 DMatZ(1, 3)= Fact2210 DMatZ(2, 1)= Fact2211 DMatZ(2, 2)= Fact1212 DMatZ(2, 3)= Fact2213 DMatZ(3, 1)= Fact2214 DMatZ(3, 2)= Fact2215 DMatZ(3, 3)= Fact1216 DMatZ(4, 4)= Fact3217 DMatZ(5, 5)= Fact3218 DMatZ(6, 6)= Fact3219 Case 5 'Placas220 Case 6 'Laminasde revolucin221 End Select222 EndSub182 #End RegionB) Sub rutina D relacin fsica.En el programa se utilizo la ecuacin (23) para el elemento tridimensional, sin embargo,en el capituloVII deanexos sepresentalademostracinde laobtencindeestaecuacin matricial.MARCO PRCTICO62( )( )( )( )( )( )11111111]1

11111111111111]1

+ 11111111]1

xzyzxyzyxxzyzxyzyxE 1 22 10 0 0 0 001 22 10 0 0 00 01 22 10 0 00 0 0 11 10 0 01110 0 01 112 1 11(23)C) Funcin de formaLas funciones de forma estn dadas en el captulo II por las ecuaciones (5a) hasta la (8h).224 FunctionFFormaF(ByVal f, ByVal n, ByVal c)225 '************************************************************************226 '* NOTA: ACA SE DE INGRESAR MANUALMENTE LOSTERMINOS DEL Vector [N] *228 '* Byval (datos de entrada): f = ?~; n = ?~; c = ?~ *229 '* *230 '* Debido a la repeticin de las ecuaciones de cada elemento de la *231 '* matriz, y para ahorrar en espacio de memoria solo se almacena las *232 '* ecuaciones necesariasen una matriz de (1x32) *234 '************************************************************************235 DimFN(nNodo,1)237 FN(1, 1) = 1 / (64) * (1- f) * (1 - n) * (1- c) * _238 (9 * (f ^ 2 + n ^ 2 + c ^2) - 19)239 FN(4, 1) = 1 / (64) * (1+ f) * (1 - n) * (1- c) * _240 (9 * (f ^ 2 + n^ 2 + c ^ 2) - 19)241 FN(9, 1) = 1 / (64) * (1- f) * (1 + n) * (1- c) * _242 (9 * (f ^ 2 + n^ 2 + c ^ 2) - 19)243 FN(12, 1) = 1 / (64) * (1 + f) * (1 + n) * (1 - c) * _244 (9 * (f ^ 2 + n^ 2 + c ^ 2) - 19)245 FN(21, 1) = 1 / (64) * (1 - f) * (1 - n) * (1 + c) * _246 (9 * (f ^ 2 + n^ 2 + c ^ 2) - 19)247 FN(24, 1) = 1 / (64) * (1 + f) * (1 - n) * (1 + c) * _248 (9 * (f ^ 2 + n^ 2 + c ^ 2) - 19)249 FN(29, 1) = 1 / (64) * (1 - f) * (1 + n) * (1 + c) * _250 (9 * (f ^ 2 + n^ 2 + c ^ 2) - 19)251 FN(32, 1) = 1 / (64) * (1 + f) * (1 + n) * (1 + c) * _252 (9 * (f ^ 2 + n^ 2 + c ^ 2) - 19)253254 FN(2, 1) = 9 / (64) * (1- f ^ 2) *(1 - 3 *f) * (1 - n) * (1 - c)255 FN(3, 1) = 9 / (64) * (1- f ^ 2) *(1 + 3 *f) * (1 - n) * (1 - c)MARCO PRCTICO63256 FN(10, 1) = 9 / (64) * (1 - f ^ 2) * (1 - 3* f) * (1 + n) * (1 - c)257 FN(11, 1) = 9 / (64) * (1 - f ^ 2) * (1 + 3* f) * (1 + n) * (1 - c)258 FN(22, 1) = 9 / (64) * (1 - f ^ 2) * (1 - 3* f) * (1 - n) * (1 + c)259 FN(23, 1) = 9 / (64) * (1 - f ^ 2) * (1 + 3* f) * (1 - n