Programa de Pos-Graduacao em Matematica - UFRGSProva de Selecao - Mestrado

02/07/2013

Nome:

Questao 1. Sejam

n=1 an uma serie absolutamente convergente e C > 0.

(a) Prove que a serie

n=1C an e absolutamente convergente.

(b) Prove que se f : R R e uma funcao que satisfaz |f(x)| C|x| para x R, entao a serien=1 f(an) e absolutamente convergente.

(c) Mostre que a serie

n=1 sen (an) e absolutamente convergente.

Questao 2. Sejam f , g e h funcoes definidas no intervalo [0, b), satisfazendo

f(0) = g(0) = h(0) e f(x) g(x) h(x) para x [0, b).

(a) Prove que se f , g e h sao derivaveis em 0, entao

f (0) g(0) h(0)

(b) Prove que se f e h sao derivaveis em 0 e f (0) = h(0), entao g e derivavel em 0 eg(0) = f (0) = h(0).(c) Seja g : [0,+) R a funcao definida por

g(x) =

0 se x = 0

x2 sen

(1

x

)se x > 0

g e derivavel em x = 0? Em caso afirmativo, qual e a sua derivada? A derivada e contnuano zero? Justifique cada resposta.

Questao 3. Seja f : [a, b] R uma funcao limitada.

(a) Defina o conceito de Integrabilidade a Riemann para f .(b) Mostre que a funcao g : [0, 1] R dada por

g(x) =

{1 se x e racional

0 se x nao e racional

nao e integravel. Mencione uma condicao suficiente para que uma funcao seja integravel.(c) Prove que se f e integravel, entao a funcao F : [a, b] R dada por F (x) = x

af(t) dt

e uniformemente contnua.

Programa de Pos-Graduacao em Matematica - UFRGSProva de Selecao - Mestrado

10/12/2012

Nome:

Questao 4. Sejam K um corpo, V um K-espaco vetorial de dimensao finita e u, v V . Mostre quese f(u) = f(v), para todo funcional linear f V , entao necessaraimente temos u = v.

Questao 5. Sejam V um espaco finito-dimensional sobre um corpo K e T : V V um operadorlinear. Mostre que:

(i) Se T e invertvel e V = W1 W2, entao temos T (V ) = T (W1) T (W2).(ii) Reciprocamente, se para todos subespacos W1 e W2 de V tais que V = W1 W2, temos

T (V ) = T (W1) T (W2), entao T e invertvel.

Questao 6. Seja V um espaco vetorial finito-dimensional sobre um corpo K. Dizemos que umaforma bilinear f : V V K e simetrica, se f(u, v) = f(v, u), para todos u, v V . Mostre que sef e uma forma simetrica tal que f(v, v) = 0, v V , entao f = 0 (forma simetrica nula).