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PROVA DE MATEMÁTICA - TURMAS DO 3O ANO DO ENSINO MÉDIO COLÉGIO ANCHIETA-BA - ABRIL DE 2010.

ELABORAÇÃO: PROFESSORES OCTAMAR MARQUES E ADRIANO CARIBÉ.

RESOLUÇÃO: PROFESSORA MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA

QUESTÕES DE 01 A 08.

Assinale as proposições verdadeiras, some os valores obtidos e marque os resultados na Folha de Respostas.

01. Considere o círculo abaixo de centro O.

É verdade que:

(01) Se os ângulos EÂB e DCE são congruentes, então as cordas AB e CD são, também, congruentes.

(02) A medida do ângulo AÊB é igual à metade da medida do ângulo AÔB. (04) Se a corda CD é congruente ao raio do círculo, então o ângulo CÊD mede 30°.

(08) Os ângulos DCA e AÊD são suplementares. (16) Se AB e BC são os respectivos lados do hexágono regular e quadrado inscritos no círculo,

então AÊC mede 65°. (32) Na hipótese da proposição anterior, o ângulo agudo formado pelas cordas AC e BD mede 65° RESOLUÇÃO: (01) VERDADEIRA. Arcos congruentes determinam no círculo cordas congruentes. (02) FALSA. Pela figura ao lado vê-se que ângulo inscrito AÊB determina

o mesmo arco determinado pelo ângulo central AÔB, logo eles são congruentes.

(04) VERDADEIRA. Se a corda CD é congruente ao raio do círculo, o triângulo

CDO é equilátero e o arco CD mede 60°, logo o ângulo CÊD mede 30°.

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(08) VERDADEIRA. O quadrilátero determinado pelas cordas AC , CD , DE e EA é

inscritível, logo os ângulos opostos DCA e AÊD são suplementares.

(16) FALSA.

Conforme figura ao lado.

(32) FALSA. Se AB e BC são os respectivos lados do hexágono regular e quadrado

inscritos no círculo, o ângulo agudo β formado pelas cordas AC e BD somente medirá 65° quando o arco CD medir 70°.

02. (UFBA2010/modificada) Os dados a seguir referem-se aos alunos matriculados nas três termos turmas de um curso de

Inglês.

Turma A

Turma B

Turma C

Número de meninos

17 18 15

Número de meninas

23 22 25

Com base nesses dados, é correto afirmar: (01) Em cada turma, a razão entre o número de meninos e o número de meninas é menor que 75%. (02) O número de meninos do curso é igual a 40% do total de alunos matriculados. (04) A média do número de meninas por turma é maior que 23. (08) O número de duplas que podem ser formadas apenas com meninos é igual a 1225. (16) O número de comissões com 3 alunos da turma C, sendo 2 meninas e um menino, é igual a

4500.

RESOLUÇÃO:

(01) FALSA. Turma A Turma B Turma C Número de meninos

17 18 15

Número de meninas

23 22 25

meninas número

meninos númeror = ..739,0

23

17r ==

..818,022

18r ==

60,025

15r ==

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(02) FALSA.

Turma A

Turma B

Turma C

TOTAL

Número de meninos

17 18 15 50

Número de meninas

23 22 25 70

TOTAL 40 40 40 120

alunos de Total

meninos Totalr = ...41666,0

120

50r ==

(04) VERDADEIRA.

.333,233

70

turmasde Número

meninas Totalma ===

(08) VERDADEIRA.

12252

4950C50,2 =

×=

(16) VERDADEIRA.

5004512

4252CC 15,125,2 =×

×=×

03. Sobre triângulos e quadriláteros é verdade que:

(01) Todo paralelogramo é inscritível num círculo. (02) Em todo triângulo isósceles o ortocentro e o baricentro

coincidem. (04) Se ABCD é um quadrilátero circunscrito a um círculo e 10cmCDAB =+ , então o

perímetro desse quadrilátero é igual a 20cm. (08) O circuncentro de um triângulo retângulo coincide com o ponto médio da hipotenusa. (16) Se a diferença entre os raios dos círculos circunscrito e inscrito de um triângulo equilátero

é igual a 2cm, então a altura desse triângulo é igual a 8cm. (32) Considere um círculo de diâmetro BC = R circunscrito ao triângulo ABC.

Se o ângulo CBA mede 30°, então o comprimento do arco é igual a 3

Rπ

RESOLUÇÃO:

(01) FALSA. Pois, para um quadrilátero ser inscritível é necessário e suficiente que dois ângulos opostos

sejam suplementares. Em relação ao paralelogramo isso somente acontece quando os seus ângulos são retos.

(02) FALSA. O triângulo ao lado é um contra-exemplo. O ponto O é o

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ortocentro e o ponto B é o baricentro.

(04) VERDADEIRA. Se ABCD é um quadrilátero circunscrito a um círculo, a soma das medidas de seus lados opostos são iguais e 10cmACBCCDAB =+=+ , então o seu perímetro é igual a 20cm.

(08) VERDADEIRA. Todo triângulo retângulo é inscritível numa semicircunferência e tem como raio o próprio do

círculo. (16) FALSA. A altura do triângulo equilátero ABC em função do raio é 3R. No triângulo retângulo BCO:

6.AH2R2R2R2R

R

2

1

2R

Rsen30 =⇒=⇒+=⇒

+=⇒

+=°

(32) VERDADEIRA. Como o triângulo ABC possui como um de seus lados o diâmetro AB , ele é retângulo. Se o ângulo CBA mede 30°,

o ângulo BCA mede 60° e o arco tem comprimento

3

R2R2

360

120 ππ =×

°

° .

04. (CESPE/Adaptada) Dica de segurança: saiba mais sobre o código de acesso

O código de acesso consiste em uma sequência de três letras distintas do alfabeto, gerada automaticamente pelo sistema e informada ao cliente. Para efetuar transações a partir de um terminal de auto-atendimento, esse código de acesso é exigido do cliente pessoa física, conforme explicado a seguir. É apresentada ao cliente uma tela em que as 24 primeiras letras do alfabeto estão agrupadas em 6 conjuntos disjuntos de 4 letras cada. Para entrar com a primeira letra do seu código de acesso, o cliente deve selecionar na tela apresentada o único conjunto de letras que a contém. Após essa escolha, um novo agrupamento das 24 primeiras letras do alfabeto em 6 novos conjuntos é mostrado ao cliente, que deve então selecionar o único conjunto que inclui a segunda letra do seu código. Esse processo é repetido para a entrada da terceira letra do código de acesso do

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cliente. A figura abaixo ilustra um exemplo de uma tela com um possível agrupamento das 24 primeiras letras do alfabeto em 6 conjuntos.

Com base nessas informações, julgue os itens a seguir:

(01)Considerando que o BB tenha 15,6 milhões de clientes pessoa física e que todos possuam um código de acesso como descrito acima, conclui-se que mais de 1.000 clientes do BB possuem o mesmo código de acesso.

(02) Utilizando-se as 24 primeiras letras do alfabeto, é possível formar um conjunto de 4 letras distintas de mais de 10.000 maneiras diferentes.

(04)Para um cliente do BB chamado Carlos, o número de códigos de acesso em que todas as letras sejam diferentes das letras que compõem o seu nome é inferior a 8000.

(08)Para um cliente do BB chamado Carlos, o número de códigos de acesso em que todas as letras estejam incluídas no conjunto das letras que formam o seu nome é superior a 100.

(16)Suponha que uma pessoa observe atentamente um cliente do BB enquanto este digita o seu código de acesso. Suponha ainda que ela observe que os três conjuntos de letras em que aparecem o código do cliente são disjuntos(não tem elementos em comum) e, tendo memorizado esses três conjuntos de letras, na ordem em que foram escolhidos, faça um palpite de qual seria o código de acesso do cliente. Nessas condições, o número de palpites possíveis é 64.

RESOLUÇÃO:

(01) VERDADEIRA. 24 × 23 × 22 = 12.144 15.600.000 ÷ 12.144 ≈ 1284,58 (02) VERDADEIRA. 24 × 23 × 22 × 21 = 255.024. (04) VERDADEIRA. 18 × 17 × 16 = 4896 (08) VERDADEIRA. 6 × 5 × 4= 120. (16) VERDADEIRA. 4 × 4 × 4 = 64 05. Sobre polígonos regulares pode-se afirmar que:

(01) Os ângulos internos de um octógono regular medem 115°. (02) O lado de um triângulo equilátero de raio R é 3R=l

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(04) O lado de um octógono regular de raio R é 22R −=l .

(08) A área de um dodecágono regular de raio R é 33S = R².

(16) Se ABCDE é um pentágono regular o ângulo agudo formado pelas diagonais AC e BD é menor que 70°.

(32).Ligando-se os pontos médios dos lados de um hexágono regular obtem-se outro hexágono regular. A razão entre as áreas desses hexágonos é 4/3.

RESOLUÇÃO: (01) FALSA.

Cada ângulo interno de um octógono regular mede: °=°

=−°

= 1358

1080

8

)28(180a i .

(02) VERDADEIRA. O triângulo equilátero ABC está inscrito num círculo de centro O e raio

R. No triângulo retângulo BHO: 32R2

3

R230cos R=⇒=⇒=° l

l

l

.

(04) Considerando o triângulo isósceles AOB e aplicando a lei dos cossenos em relação ao lado AB:

22R2R2Rcos45RR2RR 22222 −=⇒−=°×××−+= ll .

(08) FALSA. Na figura ao lado vê-se um dodecágono regular dividido em 12

triângulos congruentes ao triângulo AOB. Logo, sua área é:

222 3R2

16Rsen30R

2

112S =×=°×××= .

(16) FALSA. Seja o pentágono regular ABCDE. O ângulo interno CBA mede 108°. O triângulo ABC é isósceles, então os ângulos da base medem 36°. O triângulo BCF também é isósceles e o ângulo BFA é externo a ele, logo a sua medida é 36° + 36° = 72° > 70°.

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(32) VERDADEIRA. G, H, I, J, L e M são os pontos médios do hexágono regular ABCDEF.

OH é a altura do triângulo equilátero AOB e ao mesmo tempo lado do hexágono regular GHIJLM.

OH = 2

3AO ⇒ a razão entre os lados dos hexágonos ABCDEF

e GHIJLM é 3

2 . Então a razão entre suas áreas é 3

4

3

22

=

06. Sobre análise combinatória, pode-se afirmar:

(01) Utilizando uma vez o algarismo 0, duas vezes o algarismo 3 e duas vezes o algarismo 7 é

possível escrever exatamente 24 números inteiros positivos de 5 algarismos. (02) Se num campeonato de futebol com doze times todos os times enfrentam cada um dos outros

uma única vez, então o número de partidas realizadas neste campeonato é inferior a 70. (04) Se num hospital trabalham 6 cardiologistas e 5 anestesistas, então o número de equipes médicas

que podemos formar com 3 cardiologistas e 2 anestesistas é 30. (08) Com vértices nos pontos A, B, C, D, E, F, G, H e I da figura abaixo, o número de triângulos que

podemos formar é superior a 34 .

(16) Há exatamente 495 maneiras diferentes de se distribuírem 12 funcionários de um banco em 3 agências, de modo que cada agência receba 4 funcionários.

(32) Ao tomar conhecimento de que o placar de uma partida de futebol entre Bahia e Vitória foi 4 a

2 para o Bahia, um torcedor tricolor ficou curioso para saber como foi a sequência dos 6 gols marcados ao longo da partida, não importando nesta sequencia qual jogador marcou cada gol, mas apenas o time. Sendo assim existem exatamente 15 possibilidades para esta sequência.

RESOLUÇÃO:

(01) VERDADEIRA. DM UM C D U Total de possibilidades para as

quatro primeiras ordens

7 3 3 7 0 12!2

!4=

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3 7 7 3 0 12!2

!4=

TOTAL 24 (02) FALSA.

662

1112

2

1)n(nN =

×=

−=

(04) FALSA. Cardiologistas Anestesistas Número de equipes

2023

456C6,3 =

×

××= 10

2

45C5,2 =

×= 20 × 10 = 200

(08) FALSA.

8180484423

789CC 4,39,3 <=−=−

×

××=−

(16) FALSA.

.207900346506704956234

5678

234

90111216CCC3! 4,48,412,4 =×=××=

××

××××

××

××××=×××

Existem 207900 maneiras diferentes de se distribuírem 12 funcionários de um banco em 3 agências, de modo que cada

agência receba 4 funcionários. (32) VERDADEIRA.

Representando os seis gols por :B B B B V V , existem 152

56

2! 4!

!6=

×=

× possibilidades para a

sequência.

07.

O triângulo na figura acima, é retângulo em A e tal que BC = 6cm e AC = 3cm. O setor circular CAD tem centro em C.

É verdade que: (01) AB = 33 cm.

(02) A altura relativa à hipotenusa mede 23 cm.

(04) A área do triângulo ABC é igual a 2

39 cm².

(08) O raio do círculo inscrito nesse triângulo é igual ( )2

133 − cm.

(16) O raio do círculo circunscrito a esse triângulo é igual a 32 cm.

(32) A área da região hachurada é igual a ( )2

333 π− cm².

RESOLUÇÃO:

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(01) VERDADEIRA.

Como o 2

1

6

3CBsenA == , °=°= 60BCA e 30CBA , AB = 33

2

36BCsen60 =×=° cm.

(02) FALSA.

No triângulo retângulo AHB, AH = 2

33

2

133ABsen30 =×=° cm.

(04) VERDADEIRA.

A área do triângulo ABC é igual a 2

39

2

333

2

ABAC=

×=

× cm².

(08) VERDADEIRA. Sendo CE = CF e BG = BE, tem-se: CE + BE = BC ⇒

( )2

133r3332r6r33r3

−=⇒−=⇒=−+− cm.

(16) FALSA. O medida do raio do círculo circunscrito a um triângulo retângulo é igual à metade da hipotenusa.

Logo R = 3cm.

(32) VERDADEIRA.

A área da região hachurada é igual a ( )2

π3339π

6

1

2

39SS ACBcircular setor ABC

−=×−=− cm².

08. Sobre polinômios é verdade que:

(01) 3 é um dos zeros do polinômio p(x) = 374xx³ −+ .

(02) p(x) = ( ) ( )2424 1x1x −−+ é um polinômio de grau 8. (04) A soma dos coeficientes do polinômio p(x) = (x³ + x + 1)³ 3(x + 2) é um múltiplo de 9. (08) O termo independente de x do polinômio p(x) = (x + 1)n+1 (x² + x + )n + 2; n ∈ N*, independe

de n.

(16) Se a igualdade 1x

b

1x

a

1x

13x2 +

+−

=−

+ é uma identidade, então a + b = 2.

(32) Se o polinômio p(x) = (a + 1)x³ + (x + b)(c – x)+ dx² + 4ª, com b> 0, é idêntico a zero, então a + b + c + d = 4.

RESOLUÇÃO:

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(01) VERDADEIRA. Pois, p( 3 ) = ( ) 033333734³3 =−=−+ . (02) FALSA.

p(x) = ( ) ( ) 44221)x11)(xx1x(1x1x 444442424xx ==+−+−++=−−+

é um polinômio de grau 4.

(04) VERDADEIRA. Sendo p(x) = (x³ + x + 1)³ 3(x + 2) , p(1) = 3³ × 9 . (08) VERDADEIRA. Pois todos os termos do polinômio p(x) = (x + 1)n+1 (x² + x + 1)n + 2; n ∈ N*, são positivos. (16) FALSA.

( )1ba

1x

baxba

1x

13x

1x

bbxaax

1x

13x

1x

b

1x

a

1x

13x22222

=+⇒−

++−=

−

+⇒

−

+−+=

−

+⇒

++

−=

−

+ .

(32) VERDADEIRA. Se o polinômio, com b> 0, é idêntico a zero, então a + b + c + d = 4. p(x) = (a + 1)x³ + (x + b)(c – x)+ dx² + 4a ⇒ p(x) = (a + 1)x³ + (d – 1)x² + (c – b)x + bc + 4a ⇒

( 4 dcba2 c 2, b 1, d 1,a

2b4b

bc

1 d e 1a

04abc

0bc

01d

01a

2

=+++⇒===−=⇒

=⇒=

=

=−=

⇒

=+

=−

=−

=+

09 A figura representa um trecho de um loteamento ao qual pertence o lote ABC com

a forma de um setor circular de raio 12m e centro no ponto A. A metade da área do lote é igual a área do triângulo ACD que deve

ser incorporada a um lote vizinho. Determine a parte inteira da medida, em metros, de CD ,

considerando π = 3 e 7,13 = .

RESOLUÇÃO:

FIGURA 1

FIGURA 2

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a) (Figura 1) Área do setor de 30°: S = ππ 1214412

1=× =36.

b) Área do triângulo ACD (figura 2): Como a área do triângulo ACD é a metade da área do

setor:SACD = 18 ⇒ 6AD182

112AD

2

118sen30ADAC

2

1=⇒=××⇒=°××× .

c) Aplicando a Lei dos Cossenos ao triângulo ACD (figura 2):

⇒×××−+=⇒°××−+=2

3612236144CDADcos30AC2ADACCD 2222

7,56CD57,6122,4180CD372180CD 22 =⇒=−=⇒−= RESPOSTA: 7,56

10. Escrevendo-se todos os números inteiros de 1 a 1111, o algarismo 1 é escrito exatamente x

vezes. Calcule x/8. RESOLUÇÃO:

De 1 a 9 U Total de “algarismo 1” 1 1

De 10 a 99

D U Total de “algarismo 1” 1 a ≠1 9 1 1 2 a

≠1 1 8

TOTAL 19

De 100 a 999 C D U Total de “algarismo 1” 1 a ≠1 a ≠1 9 × 9 = 81 1 a ≠1 1 2 × 9 = 18 1 1 a ≠1 2 × 9 = 18 1 1 1 3

a ≠1 e a ≠0 1 1 2 × 8 = 16 a ≠1 e a ≠0 1 a ≠1 8 × 9 = 72 a ≠1 e a ≠0 a ≠1 1 8 × 9 = 72

TOTAL 280

De 1000 a 1111 UM C D U Total de “algarismo 1”

1 0 a ≠1 a ≠1 9 × 9 = 81 1 0 a ≠1 1 2 × 9 = 18 1 0 1 a ≠1 9 × 2 = 18 1 0 1 1 3 1 1 0 1 3 1 1 0 a ≠1 9 × 2 = 18

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1 1 1 0 3 1 1 1 1 4

TOTAL 148 Então, escrevendo-se todos os números inteiros de 1 a 1111, o algarismo 1 é escrito exatamente x =

(1 + 19 + 280 + 148) = 448 vezes.

Logo 568

448

8

x== .

RESPOSTA: 56