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EFOMM 2014-2015 resolvida
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Resolues elaboradas pelo Prof. Renato Madeira para madematica.blogspot.com.
madematica.blogspot.com Pgina 1 de 22
PROVA DE MATEMTICA EFOMM 2014-2015 (BRANCA)
DATA 17/08/2014 (ENUNCIADOS)
1) O conjunto de todos os nmeros reais q 1 ,
para os quais 1a , 2a e 3a formam, nessa
ordem, uma progresso geomtrica de razo q
, com primeiro termo 2 e representam as
medidas dos lados de um tringulo,
a) 1 5
1,2
.
b) 1 5
1,2
.
c) 1 5
1,5
.
d) 1 5
1,4
.
e) 1,1 5
.
2) Sabendo-se que
x
x
x 1a lim
x 1
, pode-se
afirmar que o ngulo , em radianos, tal que tg ln a 1 , pode ser
a) 4
b) 2
c) 3
4
d) 4
e) 2
3) Considere o nmero complexo 1z 1 , tal
que 1z seja soluo da equao 6z 1 , com
menor argumento positivo. A soluo 2z da
mesma equao, cujo argumento o triplo do
argumento de 1z , igual a
a) 1 3
i2 2
b) 1 3
i2 2
c) 1
d) 1 3
i2 2
e) 1 3
i2 2
4) Considerando os pontos A 1,1 , B 3,4 ,
C 1,5 , D 3,2 e P como a interseo dos segmentos AB e CD , a expresso 3a 6b , onde a a rea do tringulo APC e b a rea do tringulo BPD , igual a
a) 24
b) 20
c) 10
d) 16 e) 12
5) Uma turma de alunos do 1 ano da
EFOMM tem aulas s segundas, quartas e
sextas, de 8h40 s 10h20 e de 10h30 s 12h . As matrias so Arquitetura Naval, Ingls e
Clculo, cada uma com duas aulas semanais,
em dias diferentes. De quantos modos pode
ser feito o horrio dessa turma?
a) 9
b) 18
c) 36
d) 48
e) 54
6) Sejam as funes f : e g : .
Sabendo que f bijetora e g sobrejetora,
considere as sentenas a seguir:
I - g f injetora;
II - f g bijetora;
III - g f sobrejetora.
Assinalando com verdadeiro (V) ou falso (F) a
cada sentena, obtm-se
a) V V V b) V V F c) F V F
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d) F F V e) V F V
7) Sabendo-se que 1
3e 2 3 1
2 3 4 5 6det a
1 2 3 4 5
0 1 3 5 12
3 1 2 0 4
, calcule, em
funo de a ,
1
32e 2 8 24 2
1 2 3 4 5det
2 3 4 5 6
0 1 3 5 12
3 0 5 5 16
.
a) 2a
b) 2a c) a
d) a e) 3a
8) Deseja-se construir uma janela que,
possuindo a forma de um retngulo sob um
semicrculo, conforme figura abaixo, permita
o mximo de passagem de luz possvel.
Sabe-se que: o vidro do retngulo ser
transparente; o vidro do semicrculo ser
colorido, transmitindo, por unidade de rea,
apenas metade da luz incidente em relao ao
vidro transparente; o permetro total da janela
fixo p .
Nessas condies, determine as medidas da
parte retangular da janela, em funo do
permetro p .
Obs.: Ignore a espessura do caixilho.
a) 4
p3 8
e
4p
2 3 8
b) 2
p3 8
e
4p
4 3 8
c) 8
p3 8
e 4
p3 8
d) 6
p3 8
e
3 4p
4 3 8
e) 4
p3 8
e 8
p3 8
9) Um juiz de futebol trapalho tem no bolso
um carto amarelo, um carto vermelho e um
carto com uma face amarela e uma outro face
vermelha. Depois de uma jogada violenta, o
juiz mostra um carto, retirado do bolso ao
acaso, para um atleta. Se a face que o jogador
v amarela, a probabilidade de a face voltada
para o juiz ser vermelha ser
a) 1
6.
b) 1
3.
c) 2
3.
d) 1
2.
e) 3
2.
10) Assinale a alternativa que apresenta
equaes paramtricas da reta r , sabendo-se
que o ponto A , cujas coordenadas so
2, 3,4 , pertence a r e que r ortogonal s
retas 1
x 2 t
r : y t
z 3
e 2y x 1
r :z 3
.
a) x 2 y 3
r : 4 z6 6
b)
x 2 6t
r : y 3 5t
z 4
c) y x 5
r :z 6 x
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d)
x 2 6t
r : y 3 3t
z 4
e)
x 2 6t
r : y 3 6t
z 4 t
11) Assinale a alternativa que apresenta o
polinmio P de grau mnimo, com
coeficientes reais, de modo que P i 2 e
P 1 i 0 .
a) 3 21
2x 3x 2x 25
b) 3 22
2x 3x 2x 25
c) 3 22
2x 3x 2x 25
d) 3 21
2x 3x 2x 25
e) 3 22
x x 2x 33
12) Dada uma funo F: , sabe-se que:
i) F' x sen 3x cos 5x , onde F' x a derivada da funo F , em relao varivel
independente x ;
ii) F 0 0 .
O valor de F16
a) 1 2 2 3
4 2 4
b) 1 2 2 3
4 2 4
c) 1 2 2 3
4 2 4
d) 1 2 2 3
4 2 4
e) 1 2 2 3
4 2 4
13) Os nmeros reais positivos 1 2 na ,a , ,a
formam, nessa ordem, uma progresso
geomtrica de razo q . Nesse caso, correto
afirmar que a sequncia
1 2 nloga ,loga , , loga forma
a) uma progresso geomtrica crescente, se
q 1 .
b) uma progresso aritmtica crescente, se
q 1 .
c) uma progresso geomtrica decrescente, se
0 q 1 .
d) uma progresso aritmtica crescente, se
0 q 1 .
e) uma progresso aritmtica crescente, desde
que q 0 .
14) Um tanque em forma de cone circular de
altura h encontra-se com vrtice para baixo e
com eixo na vertical. Esse tanque, quando
completamente cheio, comporta 6000 litros de gua. O volume de gua, quando o nvel
est a 1
4 da altura, igual a
a) 1500 litros.
b) 150 litros.
c) 93,75 litros.
d) 30 litros.
e) 125 litros.
15) Um astronauta, em sua nave espacial,
consegue observar em certo momento
exatamente 1
6 da superfcie de um planeta.
Determine a que distncia ele est da
superfcie desse planeta. Considere o raio do
planeta igual a 12800 km .
a) 1300 km
b) 1500 km
c) 1600 km
d) 3200 km
e) 6400 km
16) O valor da integral 2xxe dx
a) 2x1 e c
4
b) 2xx e c
2
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c) 2x1 e c
2
d) x1
e c2
e) x1
e c4
17) O valor da expresso
1
36
4
3
2710
64
8
a) 25
3
b) 3
5
c) 6
25
d) 6
5
e) 3
25
18) Sabe-se que uma partcula move-se
segundo a equao 3 21 1
S t t t t 23 2
,
onde t o tempo em segundos e S a posio em metros. Pode-se afirmar que a
acelerao da partcula, quando t 2 s ,
a) 23 m s
b) 25 m s
c) 27 m s
d) 28 m s
e) 210 m s
19) Seja ij 3 3A a uma matriz quadrada de ordem 3, onde cada termo dado pela lei
ij
i j, se i j para
i j, se i j mpar
. Pode-se afirmar
que o valor de det A
a) 0 b) 12 c) 12
d) 4
e) 4
20) Seja C uma circunferncia de raio 2
centrada na origem do plano xy . Um ponto P
do 1 quadrante fixado sobre C determina um
segmento OP , onde O a origem, que forma
um ngulo de 4
radianos com o eixo das
abscissas. Pode-se afirmar que a reta tangente
ao grfico de C passando por P dada por
a) x y 2 0
b) 2x y 1 0
c) 2x y 2 0
d) x y 2 2 0
e) x y 2 2 0
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PROVA DE MATEMTICA EFOMM 2014-2015 (BRANCA)
DATA 17/08/2014 (RESPOSTAS E RESOLUO)
RESPOSTAS E QUADRO RESUMO DOS ASSUNTOS ABORDADOS
QUESTO RESPOSTA ASSUNTO
1 b Progresso geomtrica e tringulos.
2 d Limites e equao trigonomtrica
3 c Nmeros complexos
4 e Geometria Analtica coordenadas no plano
5 d Anlise combinatria
6 d Funes
7 b Determinantes
8 a Geometria plana e funo quadrtica
9 b Probabilidade
10 e Geometria analtica no espao
11 c (*) Polinmios
12 c Integral
13 b Progresses
14 c (*) Geometria Espacial
15 e Geometria Espacial
16 c Integral
17 e Potncias e razes
18 b Derivada
19 a Matrizes e determinantes
20 d Geometria analtica - reta
(*) Enunciado adaptado, pois a questo proposta originalmente foi anulada.
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RESOLUO
1) O conjunto de todos os nmeros reais q 1 , para os quais 1a , 2a e 3a formam, nessa ordem, uma
progresso geomtrica de razo q , com primeiro termo 2 e representam as medidas dos lados de um
tringulo,
a) 1 5
1,2
.
b) 1 5
1,2
.
c) 1 5
1,5
.
d) 1 5
1,4
.
e) 1,1 5
.
RESPOSTA: b
RESOLUO:
Os termos da progresso geomtrica so 1a 2 , 2a 2q e 2
3a 2q .
Como q 1 , a progresso geomtrica crescente.
Os termos da P.G. representam as medidas dos lados de um tringulo, ento devem satisfazer a
desigualdade triangular. Assim, devemos ter:
2 23 1 2
1 5 1 5a a a 2q 2 2q q q 1 0 q
2 2
.
Fazendo a interseo da desigualdade acima com a condio q 1 estabelecida no enunciado,
obtemos 1 5
1,2
.
2) Sabendo-se que
x
x
x 1a lim
x 1
, pode-se afirmar que o ngulo , em radianos, tal que
tg ln a 1 , pode ser
a) 4
b) 2
c) 3
4
d) 4
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e) 2
RESPOSTA: d
RESOLUO: (O enunciado dessa questo foi alterado, pois a mesma estava incorreta da forma
como foi proposta.)
1 SOLUO:
x
x
2x 2xlim
x 1 x 1x 1 x 1x2 2
x x x
2lim
x 1 11
2 x 2
x
x 1 2 2a lim lim 1 lim 1
x 1 x 1 x 1
2lim 1 e
x 1
2tg ln a 1 ln e 1 2 1 1 k , k4
Para k 0 , temos 4
.
2 SOLUO DO LIMITE:
x x 1 1 x 1 1
x x x
2x 1
x 1 1 12
x x x x
x
x 1 2 2 2a lim lim 1 lim 1 1
x 1 x 1 x 1 x 1
2 2 2 2lim 1 lim 1 lim 1 lim 1
x 1 x 1 x 1 x 1
2lim 1
x 1
2x 1
12 2 2
x
2lim 1 e 1 e
x 1
3 SOLUO DO LIMITE:
x x *
x x x x
22
2 2 2x x x x
2
2
x 1ln
x 1 x 1 x 1 x 1ln a ln lim lim ln lim x ln lim1x 1 x 1 x 1
x
x 1 1 x 1 x 1 1 2
x 1 2x 2x 1 x 1 x 1lim lim lim lim 21x x x 1 1x
ln a 2 a e
(*) Aplicou-se o teorema de LHpital na indeterminao 0
0.
4 SOLUO DO LIMITE:
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2xx 1 x 1x2
x x
2xx 1 x 1x 12 2
x x
x 1
2
x x
x 1 2a lim lim 1
x 1 x 1
2 2x 2ln a lim ln 1 lim ln 1
x 1 x 1 x 1
2x 2lim ln lim 1 2 ln
x 1 x 1
2
e 2
ln a 2 a e
5 SOLUO DO LIMITE:
xx
x
xx x x
x
x 2
1 1x
x
1x 11
x 1 xxa lim lim limx 1x 1 1
1x x
1lim 1
ex ee
1lim 1
x
3) Considere o nmero complexo 1z 1 , tal que 1z seja soluo da equao 6z 1 , com menor
argumento positivo. A soluo 2z da mesma equao, cujo argumento o triplo do argumento de 1z ,
igual a
a) 1 3
i2 2
b) 1 3
i2 2
c) 1
d) 1 3
i2 2
e) 1 3
i2 2
RESPOSTA: c
RESOLUO:
Pela segunda frmula de De Moivre, temos:
6 6 0 2k kz 1 1 cis0 z 1 cis 1 cis , k 0,1,2, ,56 3
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Assim, as solues da equao so: 1 cis0 1 , 1 3
1 cis i3 2 2
,
2 1 31 cis i
3 2 2
,
31 cis 1
3
,
4 1 31 cis i
3 2 2
e
5 1 31 cis i
3 2 2
.
Como 1z 1 a soluo de menor argumento positivo, ento 11 3
z 1cis i3 2 2
.
Como 2z soluo dessa mesma equao e possui argumento igual do triplo do argumento de 1z ,
ento o argumento de 2z 33
e 2z 1 cis 1 .
4) Considerando os pontos A 1,1 , B 3,4 , C 1,5 , D 3,2 e P como a interseo dos segmentos AB e CD , a expresso 3a 6b , onde a a rea do tringulo APC e b a rea do tringulo BPD , igual a
a) 24
b) 20
c) 10
d) 16 e) 12
RESPOSTA: e
RESOLUO:
A reta que passa por A 1,1 e B 3,4 tem equao dada por
y 1 4 1 3 3 1
y 1 x 1 y xx 1 3 1 2 2 2
.
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A reta que passa por C 1,5 e D 3,2 tem equao dada por
y 5 5 2 3 3 13
y 5 x 1 y xx 1 1 3 2 2 2
.
O ponto P a interseo das retas 3 1
AB: y x2 2
e 3 13
CD : y x2 2
. Assim, suas coordenadas
so 3 1 3 13 7
x x 3x 7 x2 2 2 2 3
e 3 7 1
y 32 3 2
. Portanto, 7
P ,33
.
A rea do tringulo APC APC
1 1 11 1 16 8
a S 1 7 3 12 2 3 3
1 3 5
e a rea do tringulo BPD
BPD
1 1 11 1 4 2
b S 3 7 3 32 2 3 3
4 3 2
. Portanto, 8 2
3a 6b 3 6 123 3
.
5) Uma turma de alunos do 1 ano da EFOMM tem aulas s segundas, quartas e sextas, de 8h40 s
10h20 e de 10h30 s 12h . As matrias so Arquitetura Naval, Ingls e Clculo, cada uma com duas aulas semanais, em dias diferentes. De quantos modos pode ser feito o horrio dessa turma?
a) 9
b) 18
c) 36
d) 48
e) 54
RESPOSTA: d
RESOLUO:
Inicialmente, vamos contar o nmero de maneiras de marcar as aulas de Arquitetura Naval. Temos
que escolher 2 dentre os 3 dias e, em cada dia, temos 2 possibilidades de horrio. Assim, o nmero
de maneiras de marcar essas aulas 3
2 2 3 2 2 122
.
Vamos agora contar o nmero de maneiras de marcar as aulas de Ingls. Uma das aulas deve ocorrer
em um dos 2 dias j ocupados pela aula de Arquitetura Naval e a outra em um dos 2 horrios no dia
que est livre. Assim, o nmero de maneiras de marcar essas aulas 2 2 4 . As aulas de Clculo ocorrero necessariamente nos dois horrios restantes, ou seja, h uma nica
maneira de marc-las.
Pelo princpio multiplicativo, o nmero de modos que pode ser feito o horrio 12 4 1 48 .
6) Sejam as funes f : e g : . Sabendo que f bijetora e g sobrejetora, considere
as sentenas a seguir:
I - g f injetora;
II - f g bijetora;
III - g f sobrejetora.
Assinalando com verdadeiro (V) ou falso (F) a cada sentena, obtm-se
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a) V V V b) V V F c) F V F d) F F V e) V F V
RESPOSTA: d
RESOLUO:
I FALSA
Contra-exemplo: Se f x x que uma funo bijetora, ento g f x g f x g x que no necessariamente injetora.
II FALSA
Como no foi afirmado que g injetora, ento podemos supor que existam 1 2x , x , com 1 2x x
, tais que 1 2g x g x . Aplicando a funo f nos dois lados dessa igualdade, temos
1 2 1 2f g x f g x f g x f g x , com 1 2x x , o que implica que a funo f g no injetora e, consequentemente, no bijetora.
III VERDADEIRA
Devemos provar que y , existe x tal que g f x y . Como g sobrejetora, ento
y , existe z tal que g z y . Como f bijetora, ento existe 1f a funo inversa de f .
Assim, basta tomar 1f x z x f z . Dessa forma, temos y , existe z tal que
g z y e 1x f z tais que 1g f x g f x g f f z g z y . Portanto, g f sobrejetora.
7) Sabendo-se que
1
3e 2 3 1
2 3 4 5 6det a
1 2 3 4 5
0 1 3 5 12
3 1 2 0 4
, calcule, em funo de a ,
1
32e 2 8 24 2
1 2 3 4 5det
2 3 4 5 6
0 1 3 5 12
3 0 5 5 16
.
a) 2a
b) 2a c) a
d) a e) 3a
RESPOSTA: b
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RESOLUO:
1 1 1
3 3 3
1
1
3
2
2e 2 8 24 2 2e 2 2 2 2 3 2 1 e 2 3 1
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5det det 2 det
2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6
0 1 3 5 12 0 1 3 5 12 0 1 3 5 12
3 0 5 5 16 3 0 5 5 16 3 0 5 5 16
e 2 3 1
2 3 4 5 62 det
1 2 3
1
3
3
e 2 3 1
2 3 4 5 62 det 2a
4 5 1 2 3 4 5
0 1 3 5 12 0 1 3 5 12
3 0 5 5 16 3 1 2 0 4
1 Colocamos o 2 em evidncia na primeira linha do determinante, o que implica que o determinante fica multiplicado por 2 .
2 Invertemos a segunda linha com a terceira, o que implica o que determinante fica multiplicado por 1 .
3 Substitumos a quinta linha pela diferena entre a quinta e a quarta linha, o que no altera o determinante (teorema de Jacobi).
8) Deseja-se construir uma janela que, possuindo a forma de um retngulo sob um semicrculo,
conforme figura abaixo, permita o mximo de passagem de luz possvel.
Sabe-se que: o vidro do retngulo ser transparente; o vidro do semicrculo ser colorido,
transmitindo, por unidade de rea, apenas metade da luz incidente em relao ao vidro transparente;
o permetro total da janela fixo p .
Nessas condies, determine as medidas da parte retangular da janela, em funo do permetro p .
Obs.: Ignore a espessura do caixilho.
a) 4
p3 8
e
4p
2 3 8
b) 2
p3 8
e
4p
4 3 8
c) 8
p3 8
e 4
p3 8
Resolues elaboradas pelo Prof. Renato Madeira para madematica.blogspot.com.
madematica.blogspot.com Pgina 13 de 22
d) 6
p3 8
e
3 4p
4 3 8
e) 4
p3 8
e 8
p3 8
RESPOSTA: a
RESOLUO:
Seja 2r a base do retngulo, ento a sua altura ser dada por:
p r p 2p 2r 2h r h r r
2 2 2 2
.
Seja a incidncia de luz igual k por unidade de rea, ento a luz transmitida pelo retngulo
p 2k 2r r k r p r 22 2
e a luz transmitida pelo semicrculo 2 21 r r
k k2 2 4
.
Assim, a passagem de luz total 2 23 8 32 r pr k r pr k
4 4
que uma funo
do 2 grau em r e assume seu valor mximo quando p 2p
r8 3 8 3
24
.
Portanto, as medidas do retngulo so:
4p2r
8 3
e
p 2 2p 1 2 4h p p
2 2 3 8 2 3 8 2 3 8
.
Note que o valor de r foi obtido utilizando que uma funo quadrtica da forma 2y ax bx c
possui um vrtice de coordenadas Vb
x2a
e Vy4a
, onde
2b 4ac , e que esse vrtice um
ponto de mximo, se a 0 , ou um ponto de mnimo, se a 0 .
9) Um juiz de futebol trapalho tem no bolso um carto amarelo, um carto vermelho e um carto
com uma face amarela e uma outro face vermelha. Depois de uma jogada violenta, o juiz mostra um
carto, retirado do bolso ao acaso, para um atleta. Se a face que o jogador v amarela, a
probabilidade de a face voltada para o juiz ser vermelha ser
a) 1
6.
b) 1
3.
c) 2
3.
d) 1
2.
e) 3
2.
RESPOSTA: b
Resolues elaboradas pelo Prof. Renato Madeira para madematica.blogspot.com.
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RESOLUO:
Considere os cartes 1 2A ,A , 1 2V ,V e 3 3A ,V identificados pela cor de suas faces. Vamos analisar o experimento no qual o juiz retira o carto e mostra uma das faces para o jogador
aleatoriamente. Se a face que o jogador v amarela, ou seja, 1A , 2A ou 3A , ento esse o nosso
espao amostral. Assim, n 3 .
Para que a face voltada para o juiz seja vermelha, o jogador deve estar vendo a face 3A . Assim, h
um nico caso favorvel e n A 1 .
Logo, a probabilidade pedida
n A 1P A
n 3
.
Esse problema pode ser feito tambm com auxlio do diagrama de rvore a seguir, onde foi adotada a
mesma nomenclatura para os cartes e suas faces.
Se a face que o jogador v amarela, ento ele v uma das trs faces marcadas por retngulos no
diagrama. Para que a face voltada para o juiz ser vermelha, ento o jogador deve estar vendo a face
3A . Portanto, a probabilidade pedida
3
1 2 3
P A 1 6 1P
P A P A P A 1 6 1 6 1 6 3
.
10) Assinale a alternativa que apresenta equaes paramtricas da reta r , sabendo-se que o ponto A ,
cujas coordenadas so 2, 3,4 , pertence a r e que r ortogonal s retas 1
x 2 t
r : y t
z 3
e
2
y x 1r :
z 3
.
a) x 2 y 3
r : 4 z6 6
b)
x 2 6t
r : y 3 5t
z 4
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c) y x 5
r :z 6 x
d)
x 2 6t
r : y 3 3t
z 4
e)
x 2 6t
r : y 3 6t
z 4 t
RESPOSTA: e
RESOLUO:
Sejam 1d , 2d e 0 0 0 0d x , y ,z os vetores diretores das retas 1r , 2r e r , respectivamente.
1 1
x 2 t
r : y t d 1, 1,0
z 3
2 2 2
x ty x 1
r : r : y 1 x d 1, 1,0z 3
z 3
1 2 1 2d d r r
1 2 0 1 0 0 0r r r r d d 0 x y 0 d a,a,b ; a,b
x 2 at
2, 3,4 r r : y 3 at
z 4 bt
Fazendo, a 6 e b 1 , temos a reta da alternativa e). Note que a reta da alternativa e) a mesma da alternativa b), mas em b) apresentada a equao simtrica da reta e em e) a equao paramtrica
pedida.
11) Assinale a alternativa que apresenta o polinmio P de grau mnimo, com coeficientes reais, de
modo que P i 2 e P 1 i 0 .
a) 3 21
2x 3x 2x 25
b) 3 22
2x 3x 2x 25
c) 3 22
2x 3x 2x 25
d) 3 21
2x 3x 2x 25
e) 3 22
x x 2x 33
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RESPOSTA: c
RESOLUO: (As alternativas foram alteradas, pois no havia resposta correta)
Inicialmente, lembremos que se um nmero complexo (no real) raiz de multiplicidade m de um
polinmio de coeficientes reais, ento o seu conjugado tambm raiz de multiplicidade m desse
polinmio.
Se P x possui coeficientes reais e P 1 i 0 , ento P 1 i 0 .
Logo, P x tem um fator 2x 1 i x 1 i x 2x 2 e pode ser escrito como
2P x x 2x 2 q x .
22 2 1 2i 2
P i i 2i 2 q i 2 1 2i q i 2 q i 1 2i1 2i 1 4 5
Para que P x tenha coeficientes reais e grau mnimo, q x deve possuir coeficientes reais e ser do
primeiro grau.
Fazendo q x ax b , com a,b , temos:
2 4 4 2 2
q i a i b i a b q x 2x 15 5 5 5 5
.
Portanto, 2 3 22 2
P x 2x 1 x 2x 2 2x 3x 2x 25 5
.
12) Dada uma funo F: , sabe-se que:
i) F' x sen 3x cos 5x , onde F' x a derivada da funo F , em relao varivel independente x ;
ii) F 0 0 .
O valor de F16
a) 1 2 2 3
4 2 4
b) 1 2 2 3
4 2 4
c) 1 2 2 3
4 2 4
d) 1 2 2 3
4 2 4
e) 1 2 2 3
4 2 4
RESPOSTA: c
RESOLUO:
Aplicando a transformao de produto em soma, temos: 1
sen 3x cos 5x sen 8x sen 2x2
.
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Vamos recordar a integral cos kx
sen kx dx ck
.
1 cos 8x cos 2x
F x F' x dx c sen 8x sen 2x dx c c2 16 4
cos 8 0 cos 2 0 3
F 0 c 0 c16 4 16
cos 8x cos 2x 3
F x16 4 16
cos 8 cos 2 coscos3 3 1 2 2 316 16 82F
16 16 4 16 16 4 16 4 2 4
2 2
21
2 2 2 22cos 2cos 1 cos cos4 8 8 2 4 8 2
13) Os nmeros reais positivos 1 2 na ,a , ,a formam, nessa ordem, uma progresso geomtrica de
razo q . Nesse caso, correto afirmar que a sequncia 1 2 nloga ,loga , , loga forma
a) uma progresso geomtrica crescente, se q 1 .
b) uma progresso aritmtica crescente, se q 1 .
c) uma progresso geomtrica decrescente, se 0 q 1 .
d) uma progresso aritmtica crescente, se 0 q 1 .
e) uma progresso aritmtica crescente, desde que q 0 .
RESPOSTA: b
RESOLUO:
k 1 k 11 2 n k 1 k
k k
a aPG : a ,a , ,a q log logq loga loga logq
a a
Portanto, a sequncia 1 2 nloga ,loga , , loga uma progresso aritmtica de razo r logq .
Se 0 q 1 , ento r logq 0 e a PA decrescente.
Se q 1 , ento r logq 0 e a PA crescente.
14) Um tanque em forma de cone circular de altura h encontra-se com vrtice para baixo e com eixo
na vertical. Esse tanque, quando completamente cheio, comporta 6000 litros de gua. O volume de
gua, quando o nvel est a 1
4 da altura, igual a
a) 1500 litros.
b) 150 litros.
c) 93,75 litros.
d) 30 litros.
e) 125 litros.
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RESPOSTA: c
RESOLUO: (As alternativas foram alteradas, pois no havia resposta correta)
O tanque cheio e o tanque com gua a 1
4 da altura so representados por dois cones semelhantes. A
relao entre seus volumes igual ao cubo da razo de semelhana. Assim, temos: 3
1 4 1 41 4
cheio
V Vh 4 1V 93,75
V h 6000 64
.
15) Um astronauta, em sua nave espacial, consegue observar em certo momento exatamente 1
6 da
superfcie de um planeta. Determine a que distncia ele est da superfcie desse planeta. Considere o
raio do planeta igual a 12800 km .
a) 1300 km
b) 1500 km
c) 1600 km
d) 3200 km
e) 6400 km
RESPOSTA: e
RESOLUO:
A figura abaixo representa a situao descrita no enunciado e o ponto A representa o astronauta.
Observe que a superfcie da Terra foi considerada uma superfcie esfrica.
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A rea CS que o astronauta consegue observar a rea de uma calota esfrica em uma esfera de raio
r 12800 e altura h PM .
A superfcie da esfera 2
eS 4 r , ento a rea que o astronauta observa 2
c e
1 4 rS S
6 6
.
A rea da calota esfrica de raio r e altura h cS 2 rh .
Igualando as duas expresses para a rea da calota, temos: 24 r r
2 rh h6 3
.
r 2rOM OP PM r
3 3
No tringulo retngulo 2AOT , temos:
2 22
2r 3r 3OT AO OM r AO AO 12800 19200
3 2 2
A distncia do astronauta superfcie da Terra d AP AO OP 19200 12800 6400 km .
16) O valor da integral 2xxe dx
a) 2x1 e c
4
b) 2xx e c
2
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c) 2x1 e c
2
d) x1
e c2
e) x1
e c4
RESPOSTA: c
RESOLUO: 2x u 2xdx du
2 2x u u u xdu 1 1 1xe dx e e du e c e c2 2 2 2
17) O valor da expresso
1
36
4
3
2710
64
8
a) 25
3
b) 3
5
c) 6
25
d) 6
5
e) 3
25
RESPOSTA: e
RESOLUO:
13 11 631
33 363 16 23 4 43 3
4 4 4 2 2 2 24333 3 3
310327 31010 10
3 2 3 2 364 4 4 4
4 252 10 2 2 528 2
18) Sabe-se que uma partcula move-se segundo a equao 3 21 1
S t t t t 23 2
, onde t o
tempo em segundos e S a posio em metros. Pode-se afirmar que a acelerao da partcula,
quando t 2 s ,
a) 23 m s
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b) 25 m s
c) 27 m s
d) 28 m s
e) 210 m s
RESPOSTA: b
RESOLUO:
3 21 1
S t t t t 23 2
2dS
v t t t t 1dt
dv
a t t 2t 1dt
2t 2 s a 2 2 2 1 5 m s
19) Seja ij 3 3A a uma matriz quadrada de ordem 3, onde cada termo dado pela lei
ij
i j, se i j para
i j, se i j mpar
. Pode-se afirmar que o valor de det A
a) 0 b) 12 c) 12
d) 4
e) 4
RESPOSTA: a
RESOLUO:
11a 1 1 0
12a 1 2 1
13a 1 3 2
21a 2 1 1
22a 2 2 0
23a 2 3 1
31a 3 1 2
32a 3 2 1
33a 3 3 0
0 1 2
det A 1 0 1 2 2 0
2 1 0
20) Seja C uma circunferncia de raio 2 centrada na origem do plano xy . Um ponto P do 1
quadrante fixado sobre C determina um segmento OP , onde O a origem, que forma um ngulo de
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4
radianos com o eixo das abscissas. Pode-se afirmar que a reta tangente ao grfico de C passando
por P dada por
a) x y 2 0
b) 2x y 1 0
c) 2x y 2 0
d) x y 2 2 0
e) x y 2 2 0
RESPOSTA: d
RESOLUO:
Seja t a reta tangente circunferncia em P e sejam A e B os pontos onde t corta o eixo das
abscissas e das ordenadas, respectivamente.
Como AOP rad 454
, ento AOB um tringulo retngulo issceles. Assim, temos:
OP 2OA OB 2 2
2 2cos 45 .
A equao segmentria de t dada por x y x y
1 1 x y 2 2 0OA OB 2 2 2 2
.