Proses Transfer - Momentum.docx

BAHAN AJAR

MATA KULIAH

PROSES TRANSFER

oleh:Rahmawati, ST., MSc.

Nurul Hidayati Fithriyah, ST., MSc., Ph.D

Jurusan Teknik KimiaFakultas Teknik

Universitas Muhammadiyah Jakarta2012

ModulPembelajaran Proses Transfer 2

SILABUS MATA KULIAHPROSES TRANSFER

BAHAN UTS (30%):I. TRANSFER MOMENTUM

1. Viskositas dan Mekanisme Transfer Momentum ┐a. Hukum Newton tentang viskositas │b. Fluida Newtonian dan non-Newtonian ├ Pertemuan ke-1c. Viskositas sebagai fungsi suhu dan tekanan ┘

2. Distribusi Kecepatan dalam Aliran Laminar ┐a. Neraca momentum dan syarat batas ├ Pertemuan ke-2b. Aliran jatuh lapisan tipis fluida (falling film) ┘c. Aliran melalui pipa silinder (cylinder tube) ├ Pertemuan ke-3d. Aliran dalam annulus (celah antara 2 silinder konsentris) ├ Pertemuan ke-4

3. Persamaan Perubahan untukSistem Isotermal – Tunak ├ Pertemuan ke-54. Latihan soal dan pembahasan tugas ├ Pertemuan ke-6

BAHAN UAS (50%):II. TRANSFER PANAS

1. Konduktivitas dan Mekanisme Transfer Panas ┐a. Hukum Fourier tentang konduksi panas │b. Pengaruh suhu dan tekanan terhadap konduktivitas ├ Pertemuan ke-7

2. Distribusi Suhu dalam Padatan dan Aliran Laminar │a. Neraca energi dan syarat batas ┘b. Konduksi panas (melalui dinding komposit) ┐c. Konveksi alamiah dan paksa ├ Pertemuan ke-8d. Transfer panas melalui radiasi ┘

3. Persamaan Perubahaan untuk Sistem Non-Isotermal - Tunak├ Pertemuan ke-9III. TRANSFER MASSA

1. Difusivitas dan Mekanisme Transfer Massa ┐a. Hukum Fick tentang difusi massa biner (molekular) │b. Pengaruh suhu dan tekanan terhadap difusi ├ Pertemuan ke-10

2. Distribusi Massa dalam Aliran Laminar │a. Neraca massa dan syarat batas ┘b. Difusi massa melalui lapisan gas tidak mengalir ┐ Pertemuan ke-11c. Difusi massa dengan reaksi kimia homogen ┘

3. Persamaan Perubahaan untuk Sistem Tunak ├ Pertemuan ke-12

TUGAS 2× (20%): 1. T. Momentum; 2. T.Panas


Pertemuan ke-1TIU (Tujuan Instruksional Umum) : Mahasiswa memahami mekanisme transfer momentum yang terjadi pada aliran fluida laminar tunak

TIK (Tujuan Instruksional Khusus) : 1. Mahasiswa memahami pengaruh viskositas pada mekanisme transfer momentum2. Mahasiswa mampu menuliskan rumus Hukum Newton untuk viskositas

BAB IVISKOSITAS DAN MEKANISME TRANSPORT MOMENTUM

Bagian pertama dari mata kuliah ini adalah tertuju kepada masalah aliran fluida yang viscous (viscous fluids). Dalam bahasa Indonesia, padanan kata viscous menurut pengertian awam adalah kental, dan viscous menyatakan derajat kekentalan. Akan tetapi dalam pembahasan transport phenomena (Proses Transfer), istilah ‘viscous fluid’ diartikan sebagai fluida yang mempunyai ‘viscosity’> 0, atau dapat diterjemahkan mempunyai viskositas yang lebih besar dari nol.

Istilah viskositas seara eksplisit digunakan untuk menyatakan sifat fluida yang merefleksikan besarnya hambatan di dalam fluida terhadap gerak aliran fluida. Hambatan ini digagaskan terjadi karena adanya gesekan di antara molekul-molekul fluida yang saling bersinggungan atau berbenturan. Dengan demikian, apakah suatu fluida kental atau tidak kental (‘encer’), selama terjadi gesekan atau benturan antar molekul bilamana fluida mengalir, dan efek gesekan dan benturan tersebut mempengaruhi kemudahannya untuk mengalir, maka fluidanya disebut fluida yang ‘viscous’, dan viskositasnya > 0. Bila viskositas suatu fluida berharga nol, maka fluida itu disebut fluida ‘invicid’.

I.1 Hukum Newton tentang ViskositasKita tinjau suatu eksperimen maya (imajiner), dengan mengimajinasikan sistem yang skemanya ditunjukkan di Gambar 1. Fluida ada diantara dua pelat (atau lempeng) paralel berjarak Y satu sama lain dan mempunyai dimensi L (panjang). Luas masing-masing pelat adalah A yang mempunyai dimensi L2. Dalam tinjauan terhadap sistem aliran termaksud, luas permukaan pelat yang bersinggungan dengan fluidanya yaitu A, diasumsikan sangat besar harganya. Dengan ketentuan itu, efek keadaan di sisi-sisi ujung pelat, yang menumpu aliran fluida, diabaikan.

Skema (a) di gambar tersebut menunjukkan gambaran sistem secara menyeluruh. Skema (b) menunjukkan penampang tampak samping arah memanjang saat semua bagian sistem ada dalam keadaan tak bergerak, dan ditunjukkan juga sistem koordinat x-y-z. Skema


(c) menunjukkan keadaan awal saat pelat bawah digerakkan secara mendadak dengan kecepatan V dalam arah x, sedang pelat atas ditahan dalam keadaan tak bergerak. Karena adanya hambatan dari fluida, untuk mempertahankan gerak pelat tersebut diperlukan gaya tetap sebesar F. Akibat gerak pelat yang di bawah, fluida yang tepat bersinggungan dengan permukaan pelat tersebut ikut bergerak. Diasumsikan bahwa molekul-molekul fluida yang tepat bersinggungan dengan permukaan pelat tersebut melekat (berpegang kuat) pada permukaan. Maka kecepatan geraknya sama dengan kecepatan gerak pelat, yaitu V.

Gambar 1. Skema percobaan maya (imaginer) untuk menunjukkan perpindahan momentum yang disertai pembentukan aliran fluida akibat adanya ‘shear stress’

Gerak lapisan fluida yang bersinggungan dengan permukaan pelat tersebut mengimbas ke molekul-molekul fluida yang ada di lapisan lebih atas, dan terjadilah aliran fluida dalam arah


x. Gerak yang terjadi pada saat-saat awal masih belum sempurna terbentuk, dan dalam keadaan transient (transient state) ini distribusi kecepatan fluida dalam arah y ditunjukkan di skema (d) dari gambar I; gerak fluida hanya teramati di daerah yang tak jauh dari permukaan bawah, dan makin ke atas makin kecil kecepatannya.

Setelah cukup lama aliran fluida terbentuk sempurna, dan tercapai keadaan tunak (steady state). Profil kecepatan tidak berubah dengan waktu, sebagaimana ditunjukkan di skema (e). Dalam sketsa ditunjukkan bahwa kecepatan fluida mengecil secara linear dengan kenaikan dari harga y. Hubungan antara berbagai besaran sistem yang digambarkan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan yang diberikan sebagai persamaan 1.

FA

=μ(VY )

................................ (1)

Persamaan 1 menyatakan bahwa gaya persatuan luas permukaan bidang selang antara pelat dan fluida berbanding lurus dengan penurunan kecepatan fluida dalam arah y. Konstanta pembandingnya μ didefinisikan sebagai viskositas dari fluida. F/A disebut ‘shear stress’.‘Shear stress’ tersebut terimbas ke fluida, dan karenanya di dalam fluida terasakan juga adanya ‘shear stress’ dalam arah y karena adanya gaya F yang bekerja pada arah x.

Bila digunakan lambang τ yx untuk menyatakan ‘shear stress’ di dalam fluida yang bekerja

dalam arah x terhadap lapisan fluida pada jarak y dari permukaan bidang selang antar pelat dan fluida, oleh fluida yang ada pada kedudukan kurang dari y, dan untuk menyatakan kecepatan fluida dalam arah x digunakan lambang vx , maka hubungan yang dinyatakan dalam persaman 1 dapat dinyatakan secara eksplisit sebagai berikut:

τ yx=−μ( dvx

dy ) ……………….. (2)

Seperti halnya dengan persamaan 1, persamaan diatas juga menyatakan bahwa: ‘shear stress’ berbanding lurus dengan ‘shear rate’ yaitu (dvx/dy). Pernyataan yang diberikan sebagai Persamaan 2 disebut ‘Newton’s law of viscosity’ atau Hukum Newton tentang viskositas. Fluida yang pola laku alirannya berkelakuan sebagaimana dinyatakan oleh Hukum Newton tentang viskositas lazim disebut sebagai fluida Newtonian (Newtonian Fluid). Semua gas, dan banyak cairan berkelakuan sebagai fluida Newtonian. Lumpur, pasta gigi, aspal, larutan polimer menunjukkan kelakukan yang berbeda dan dikategorikan sebagai fluida non-Newtonian (non-Newtonian Fluid).

Cara pandang lain untuk memahami makna pernyataan Persamaan (2) adalah dengan mengartikan pengimbasan gerak fluida karena adanya ‘shear stress’ sebagai perpindahan momentum. Lapisan fluida yang bersebelahan dengan permukaan pelat yang bergerak, yaitu pada kedudukan y=0, memperoleh momentum dalam arah x dan karenanya ikut bergerak


dalam arah x. Momentum yang diperoleh tersebut sebagian dipindahkan ke lapisan di atasnya, menyebabkan lapisan yang ada di atasnya ini memperoleh momentum juga, dan karenanya ikut bergerak kearah x. Kejadian ini berimbas terus ke atas. Jadi terjadilah propagasi momentum yang berarah x kearah y. Untuk menyingkat, momentum yang berarah x selanjutnya disebut x-momentum, yaitu komponen x dari vector momentum. Komponen lainnya adalah y-momentum dan z-momentum. Kedua komponen momentum yang disebutkan terakhir ini tidak terdapat dalam peristiwa yang ditelaah dalam eksperimen imaginer disini.

Dengan menggunakan cara pandang tersebut, maka τ yx dapat diartikan sebagai flux x-momentum dalam arah y, akibat adanya gerak dalam arah x, yang terimbas kearah y dengan mekanisme interaksi antar molekul fluida. Perpindahan momentum dengan mekanisme tersebut lazim disebut sebagai ‘viscous momentum transfer’. Istilah flux momentum berarti

laju perpindahan momentum per satuan luas [(momentum)/(waktu)(luas)]. Jadi τ yx menyatakan laju perpindahan x-momentum dalam arah y perluas permukaan yang tegak lurus terhadap y. Flux momentum yang terjadi dengan mekanisme molekuler lazim disebut ‘viscous flux’.

Selain dengan mekanisme molekuler, model perpindahan momentum dapat juga terjadi karena sejumlah massa fluida berpindah tempat, atau mengalir dari satu kedudukan ke kedudukan lain, dan karenanya momentumnya terbawa pindah ke tempat barunya. Moda perpindahan momentum semacam ini disebut ‘convective momentum transfer (transport)’.

Perhatikan kembali persamaan (2). Rumusan yang diungkapkan persamaan tersebut menyatakan bahwa ‘viscous momentum transfer’ terjadi dalam arah gradient kecepatan negatif, artinya momentum bergerak dari kedudukan dengan kecepatan yang lebih tinggi ke kedudukan dengan kecepatan yang lebih rendah. Dengan demikian gradient kecepatan dapat dipandang sebagai gaya gerak (‘driving force’) bagi perpindahan momentum.

‘Shear stress’ dan ‘ flux momentum’

Uraian yang diberikan terdahulu menyatakan bahwa τ yx dapat dipandang sebagai proses perpindahan momentum, dan dapat juga dipandang sebagai tegangan geser (‘shear stress’) dalam peristiwa mekanik tentang efek gaya geser, yang bekerja di suatu bidang permukaan suatu fluida terhadap pola pergeseran antara satu bagian fluida dengan bagian lainnya.

Dimensi dan satuan τ yx dan µ dan definisi viskositas kinematik

τ yx - ‘shear stress’: gaya per satuan luas, maka dimensinya adalah gaya/luas. Satuan

τ yx dalam system satuan cgs:


τ yx [=] dyne/cm2 = (gram-cm/sec2) [=] dibaca sebagai ‘mempunyai dimensi’ atau ‘mempunyai satuan

μ - viskositas

Karena μ = -[τ yx ]/[dvx/dy] maka dimensi dari μ adalah (gaya/luas)/(laju/jarak).µ [=] gr/cm/sec = poise

1. 2 Fluida NewtonianHukum Newton tentang viskositas menyatakan:

τ yx=−μ( dvx

dy ) ……………… (3)

Untuk fluida Newtonian, pada (T,P) tetap, μ berharga tetap, sehingga bila dibuat grafik

hubungan ‘shear stress’ (τ yx ) dengan -( dv x

dy ) atau harga-harga negative dari ‘shear rate’

akan diperoleh garis lurus, seperti ditunjukkan di Gambar 2.

Gambar 2

Hubungan seperti yang ditunjukkan di Gambar 2 berlaku untuk semua gas dan sebagian besar zat cair homogen dan ‘non-polymeric’. Akan tetapi banyak cairan atau fluida yang mempunyai hubungan ‘shear stress’ dan ‘shear rate’ yang tidak linear seperti halnya fluida Newtonian.

1.3 Fluida Non-Newtonian


Fluida yang menunjukkan sifat bahwa hubungan antara ‘shear stress’ dan ‘shear rate’ tidak linier, karena itu mempunyai hubungan ‘shear stress’ dan ‘shear rate’ yang berbeda dari fluida Newtonian, disebut fluida ‘non-Newtonian’. Contoh fluida ini dalam industri maupun kehidupan sehari-hari adalah seperti ‘tapal gigi’, lumpur, lelehan polimer, polimer cair, larutan polimer, aspal, lem dan masih banyak lagi.

Pola alir dari fluida ‘non-Newtonian’ dinyatakan dengan istilah pola alir ‘non-Newtonian’.Ilmu mengenai, dan yang arah kajiannya tertuju kepada pola alir ‘non-Newtonian’, merupakan bagian dari bidang ilmu yang disebut ‘rheology’. Lazimnya dapat dinyatakan bahwa ‘rheology is the science of flow and deformation’. Rheology mencakup aliran Newtonian, aliran ‘non-Newtonian’, sampai kepada deformasi elastis dari zat padat.

Berbagai bentuk hubungan ‘shear stress’ vs ‘shear rate’ fluida ‘non-Newtonian’ secara skematik diberikan di Gambar 3, yang menunjukkan bahwa pada dasarnya ada empat macam pola hubungan ‘shear stress’ dan ‘shear rate’: (a) linier (Newtonian), (b) dilatant, (c) pseudoplastic, dan (d) Bingham plastic.

Gambar 3

Bentuk umum hubungan antara ‘shear stress’ vs ‘shear rate’ fluida ‘non-Newtonian’ adalah:

τ yx=−η( dvx

dy ) …………….. (4)

dan η merupakan fungsi atau dinyatakan sebagai fungsi dari τ yx atau ( dv x

dy )


Viskositas yang dipengaruhi oleh perubahan laju geser (shear rate) dilambangkan dengan η (eta). Jika η tidak dipengaruhi laju geser, maka fluida bersifat Newtonian di mana η = µ. Fluida dikatakan bersifat pseudoplastic jika η menurun dengan peningkatan laju geser. Fluida yang mengalami penurunan η selama waktu tertentu disebut bersifat thixotropic. Fluida dikatakan bersifat dilatant jika η meningkat dengan penurunan laju geser. Fluida yang mengalami peningkatan ηdalam kurun waktu tertentu disebut bersifat rheopectic. Fluida yang sebagiannya kembali ke bentuk semula setelah tegangan geser dihilangkan disebut bersifat visco-elastic.


Pertemuan ke-2TIU (Tujuan Instruksional Umum) : Mahasiswa mampu melakukan perhitungan analitik terhadap permasalahan transfer momentum pada aliran fluida laminar tunak

TIK (Tujuan Instruksional Khusus) : 1. Mahasiswa mampu menuliskan persamaan neraca momentum shell pada sistem fluida

laminar 2. Mahasiswa mampu menyebutkan syarat batas (boundary conditions) yang digunakan

dalam penyelesaian kasus transfer momentum3. Mahasiswa mampu melakukan perhitungan analitik terhadap permasalahan transfer

momentum pada aliran fluida laminar tunak dengan studi kasus aliran falling film.

BAB 2Distribusi Kecepatan pada Aliran Laminar

Pada bab ini, kita akan mempelajari bagaimana menghitung profil kecepatan laminar untuk beberapa sistem aliran geometri sederhana. Perhitungan ini menggunakan definisi viskositas dan konsep neraca momentum. Pada kenyataannya, pengetahuan mengenai distribusi kecepatan secara lengkap biasanya tidak dibutuhkan pada permasalahan engineering. Tetapi kita lebih perlu untuk mengetahui kecepatan maksimum, kecepatan rata-rata atau shear stress pada permukaan. Besaran-besaran ini dapat diketahui secara mudah jika profil kecepatan telah diketahui.

Pada bagian pertama, kita akan membahas beberapa pernyataan umum mengenai neraca momentum diferensial. Selanjutnya, kita akan mengerjakan beberapa kasus klasik untuk contoh aliran viscous. Contoh-contoh kasus ini harus sepenuhnya dimengerti, karena akan berulang kali dirujuk pada bahasan-bahasan mendatang. Kita mungkin akan merasakan bahwa sistem-sistem tersebut adalah terlalu sederhana untuk menjadi sebuah permasalahanengineering. Ini benar, karena sistem-sistem tersebut merepresentasikan situasi yang sangat ideal, akan tetapi hasilnya dirasakan cukup berguna dalam pengembangan berbagai macam topik pada permasalahan mekanika fluida.

Metode serta contoh kasus yang diberikan pada bab ini hanya mencakup aliran tunak (steady-state) saja. Dari term tunak (steady state) berarti bahwa kondisi pada setiap titik pada aliran tersebut tidak berubah terhadap waktu. Yaitu, perekaman gambar pada sistem aliran pada waktu t terlihat benar-benar sama dengan perekaman gambar yang diambil pada beberapa waktu kemudian , t + ∆t.

Pada bagian ini diterangkan analisa untuk memahami struktur dan pola laku fenomena aliran fluida dengan menggunakan pendekatan neraca mikroskopik. Penggunaan dan pendekatan neraca mikroskopik dipilih dan diperlukan karena:


a) Variabel keadaan dalam medan medan aliran yang ingin diketahui pola lakunya merupakan fungsi kedudukan.

b) Ingin diketahui bagaimana variabel keadaan tersebut terdistribusi di dalam ruang medan aliran

Dalam masalah transport phenomena, variabel keadaan yang menjadi fokus perhatian adalah kecepatan fluida, tekanan, dan fluks momentum di dalam aliran.

Neraca mikroskopik untuk melakukan analisis proses perpindahan momentum (energi dan massa) lazim juga disebut ‘shell momentum balance’.

Inti permasalahan yang dipelajari:

‘Bagaimana pendekatan yang dilakukan untuk merumuskan neraca mikroskopik hingga diperoleh rumusan matematik(=model matematik) yang dapat menjelaskan struktur dan pola laku aliran fluida?’

Untuk memudahkan permasalahan, di bab ini pembahasan dilakukan terhadap aliran fluida laminar untuk system-sistem dengan geometri sederhana. Secara khusus akan ditinjau:a) Aliran fluida pada bidang datar yang dimiringkanb) Aliran fluida melalui saluran berbentuk silinderc) Aliran fluida melalui celah yang dibatasi dua silinder konsentrik

2.1 Neraca Momentum Shell ; Penetapan Syarat Batas (Boundary Conditions)Contoh-contoh kasus yang akan dibahas pada sub bab ini didekati dengan

merumuskan neraca momentum pada sebuah shell fluida yang sangat tipis. Untuk aliran tunak, neraca momentum dapat dirumuskan sebagai berikut:

{Laju Momentum masuk} – {Laju Momentum keluar} + {Jumlah gaya yang bekerja pada sistem} = {Akumulasi Momentum}(persamaan

1)

Momentum dapat masuk kedalam sistem melalui transport momentum berdasarkan peristiwa Newtonian (atau non Newtonian) untuk flux momentum. Momentum juga dapat masuk melalui pergerakan aliran fluida keseluruhan. Gaya-gaya yang kita perhatikan adalah gaya tekanan (yang bekerja pada permukaan) serta gaya gravitasi (yang bekerja pada volume fluida secara keseluruhan atau disebut gaya badan).

Secara umum, prosedur untuk merumuskan serta menyelesaikan permasalahan aliran viscous adalah sebagai berikut: pertama, kita menuliskan neraca momentum seperti diatas untuk sebuah shell dengan ketebalan terbatas, kemudian kita biarkan ketebalan ini mencapai nol lalu kita gunakan penurunan pertama untuk memperoleh persamaan diferesial yang menggambarkan distribusi flux momentum. Pengintegrasian dari persamaan diferensial ini akan menghasilkan flux momentum dan distribusi kecepatan pada sistem.


Pada proses pengintegrasian ini, akan muncul beberapa konstanta integrasi, yang dapat dievaluasi dengan menggunakan “syarat batas” atau boundary conditions. Yaitu, beberapa pernyataan dari fakta fisik pada nilai-nilai spesifik dari variabel bebas. Berikut ini adalah beberapa ketentuan dalam menentukan syarat batas:

a. Pada interface fluida-padat, kecepatan fluida sama dengan kecepatan dimana permukaannya sendiri sedang bergerak; yaitu fluida diasumsikan melekat pada suatu permukaan padat yang berhubungan dengannya

b. Pada interface cair-gas, momentum perubahan terus menerus (dalam hal ini gradien kecepatan) pada tahap cair adalah sangat mendekati nol dan dapat diasumsikan nol dalam banyak / sebagian besar penghitungan.

c. Pada interface cair-cair, momentum perubahan terus menerus tegaklurus dengan lapisan interfasa (permukaan kontak), dan kecepatannya kontinyu menembus permukaan kontak.

Ketiga tipe dari batasan kodisi tersebut akan ditemui dalam contoh-contoh studi kasus sistem aliran sederhana.

Kasus 1: Aliran Falling Film

Sebagai contoh pertama, Kami memperrtimbangkan arus dari fluida sepanjang permukaan datar yang menurun, seperti ditunjukkan pada gambar 2-1. Kasus falling film ini bisa kita jumpai pada peristiwa menara dinding basah (wetted wall towers), percobaan-percobaan penguapan dan penyerapan gas, dan aplikasi dari coating menjadi gulungan kertas. Kita asumsikanviskositas dan kepadatan fluida adalah konstan.

Gambar 2.1 Skema diagram kasus falling film yang menggambarkanend effect.


Fokus kita adalah pada area sepanjang L, cukup jauh dari ujung dinding yang gangguan keluar-masuknya tidak dimasukkan pada L. Pada area ini, komponen kecepatan vz tidak bergantung pada z.

Kita memulai analisa dengan menetapkanneraca momentum-z melalui sistem dengan ketebalan ∆x, dibatasi oleh panjang sistem z = 0 dan z = L, dan lebar W pada arah-y.(lihat gambar 2-2). Aneka komponen pada saat keseimbangan momentum adalah :

Laju momentum-z masuk pada permukaan sepanjang x: (LW)(τxz)|x

Laju momentum-z keluar pada permukaan sepanjang x + ∆x: (LW)(τxz)|x+∆x

Laju momentum-z masuk pada permukaan di titik z = 0: (W∆xvz)(ρvz) |z=0

Laju momentum-z keluar pada permukaan di titik z = L: (W∆xvz)(ρvz)|z=L

Gaya grafitasi yang ada pada fluida : (LW ∆x)(ρg cosβ)

Gambar 2.2 Aliran film isotermal dibawah pengaruh gravitasi, tanpa riak. Sumbu y tegak lurus bidang gambar dan neraca momentum dibuat untuk ketebalan fluida Δx.

Catatan bahwa kita selalu menggunakan arah masuk dan keluar pada arah positif sumbu x dan z (Hal ini terjadi berbarengan dengan arah dari transfer momentum). Notasi |x+∆x

berarti dievaluasi pada x+∆x.

Ketika persamaan-persamaan ini disubstitusikan ke dalam keseimbangan momentum dari persamaan 1, kita dapatkan


(LW)(τxz)|x - (LW)(τxz)|x+∆ + (W∆x ρvz2) |z=0 - (W∆x ρvz

2) |z=L + (LW ∆x)(ρg cosβ) = 0

Karena vz adalah sama pada z = 0 dan pada z = L pada setiap nilai x, persamaan ketiga dan keempat akan saling meniadakan satu sama lain. Sekarang kita bagi persamaan diatas dengan LW∆x dan ambil limit ∆x mendekati nol :

limΔr→0

τ xz|x+Δx−τxz|x

Δx=ρg cos β

Hasil persamaan pada sebelah kiri dapat didefinisikan sebagai turunan pertama dari τ xz terhadap x. Sehingga persamaan diatas dapat dituliskan kembali sebagai:

ddx

τ xz= ρg cos β

Hasil pengintegrasiannya menghasilkan:

τ xz= ρ gxcos β + C1 (3)Konstanta integrasi (C1) dapat dievaluasi dengan menggunakan syarat batas (boundary conditions) pada interfasa cair-gas.

B.C 1: saat x = 0 τ xz = 0Substitusi nilai syarat batas ini pada persamaan (3) menghasilkan C1= 0, sehingga distribusi flux momentumnya diperoleh:

τ xz= ρ gxcos β (4)

Jika fluida tersebut merupakan fluida Newtonian, maka kita ketahui bahwa hubungan antara flux momentum dengan gradien kecepatan ditunjukkan oleh

τ xz=−μ( dv z

dv x)

Substitusi ekspresi diatas ke persamaan (4) menghasilkan persamaan diferensial dibawah ini yang merupakan distribusi kecepatan:

dvz

dx=−( ρgcos β

μ ) x

Persamaan diatas dengan mudah diintegrasi untuk menghasilkan:

vz=−( ρgcos β2 μ )x2+C2

(5)Konstanta integrasi (C2) dapat dievaluasi dengan menggunakan syarat batas:B.C 2: saat x=δ vz= 0Substitusi nilai batas ini ke persamaan (5) akan menghasilkan :


C2=( ρg cos β2 μ )δ2

Sehingga distribusi kecepatan dapat dirumuskan sebagai:

vz=( ρgδ 2cos β2 μ )[1−( x

δ )2]



TIK (Tujuan Instruksional Khusus) : Mahasiswa mampu melakukan perhitungan analitik terhadap permasalahan transfer momentum pada aliran fluida laminar tunak dengan studi kasus aliran pada pipa sirkular

Kasus 2. Aliran melalui pipa sirkular (circular tube)Aliran melalui pipasirkular sering dijumpai pada kasus fisika, kimia, biologi dan persoalan engineering. Aliran fluida laminar pada pipa sirkular dapat dianalisa dengan menggunakan neraca momentum, dimana koordinat yang digunakan adalah koordinat silindris yang merupakan koordinat awal untuk menjelaskan posisi pada pipa sirkular.

Kita tinjau sebuah aliran laminar steady sebuah fluida dengan densitas konstan ρ pada pipa yang “sangat panjang” dengan panjang L, dan jari jari R; kita asumsikan pipa tersebut sangatlah panjang karena kita ingin mengasumsikan bahwa tidak ada end effects yang terjadi, bahwa kita mengabaikan fakta bahwa pada jalur masuk dan keluar aliran mungkin tidak paralel terhadap permukaan pipa.

Gambar 2.3 Skema irisan Shell silindris dari fluida


Kita pilih sebagai sistem kita sebuah shell silindris dengan tebal ∆r dan panjang L dan kita mulai dengan menyusun berbagai kontribusi terhadap neraca momentum arah x:

Laju momentum masuk sepanjang permukaan silindris pada r: (2 π rLτ rz )|r

Laju momentum keluar sepanjang permukaan silindris pada r+∆r: (2 π rLτ rz )|r+ Δr

Laju momentum masuk sepanjang permukaan annular pada z=0: (2 πrΔ rv z )( ρvz )|z=0

Laju momentum keluar sepanjang permukaan annular pada z=L: (2 πrΔ rv z )( ρv z )|z=L

Gaya gravitasi yang bekerja pada shell silindris: (2 πrΔ rL) ρg

Gaya tekanan yang bekerja pada permukaan annular pada z=0: (2 πrΔr ) p0

Gaya tekanan yang bekerja pada permukaan annular pada z=L: (2 πrΔr ) pL

Ingat, bahwa kita ambil arah “masuk” dan keluar” sebagai arah positif terhadap sumbu.

Maka kita masukkan kontribusi-kontribusi diatas kedalam persamaan neraca momentum:

(2 π rLτ rz )|r - (2 π rLτ rz )|r+ Δr + (2 πrΔ rv z )( ρvz )|z=0 - (2 πrΔ rv z )( ρv z )|z=L+ (2 πrΔ rL) ρg +

(2 πrΔr ) p0 - (2 πrΔr ) pL=0 (1)Karena fluida diasumsikan sebagai fluida incompressible, maka vz pada saat z=0 adalah sama dengan pada saat z=L, sehingga ruas ketiga dan keempat saling meniadakan.

Kita kemudian bagi persamaan (1) dengan 2 πLΔr dan ambil limit ∆r mendekati nol, didapat:

limΔr→ 0

( rτrz|r+ Δr−rτ rz|r

Δr )=( p0−pL

L+ ρg)r

Ekspresi pada ruas kiri merupakan turunan pertama. Sehingga persamaan diatas dapat dituliskan kembali sebagai berikut:

ddr (rτrz )=

{(P0 - PL ) / L}r (2)

DimanaP = p - ρgz

Persamaan (2) diintegrasi untuk menghasilkan

τrz = {(P0 - PL ) /2L}r +

C1

r

Konstanta integrasi C1 haruslah bernilai nol agar flux momentum bernilai terhingga pada saat r=0. Sehingga distribusi flux momentum :

τrz = {(P0 - PL ) /2L}r (3)

Hukum Newton untuk viskositas pada situasi ini adalah:

τ rz=−μ( dv z

dvr)


Distribusi ini ditunjukkan oleh gambar 2.4 berikut ini

Gambar 2.4 Distribusi flux momentum dan distribusi kecepatan pada aliran dalam pipa silindris

Substitusi persamaan diatas dengan persamaan (3) menghasilkan persamaan diferensial berikut ini:dvz

dr = -{(P0 - PL ) /2μL}r

vz = -{(P0 - PL ) /4μL}r2 + C2

Karena syarat batas menyatakan bahwa vz = 0 saat r=R, konstanta C2 memiliki nilai

= {(P0 - PL ) R2/4μL}

Sehingga distribusi kecepatan :

vz = {(P0 - PL ) R2/4μL}[1−( r

R )2]




TIK (Tujuan Instruksional Khusus) : Mahasiswa mampu melakukan perhitungan analitik terhadap permasalahan transfer momentum pada aliran fluida laminar tunak dengan studi kasus aliran pada anulus Kasus 3: Aliran pada AnulusMari kita tinjau kasus aliran lain pada koordinat silindris tetapi kali ini memiliki syarat batas (boundary conditions) yang berbeda. Sebuah fluida incompressible mengalir tunak pada area annular diantara tabung ko-aksial dengan jari-jari қR dan R.

Gambar 2.4 Aliran keatas melalui silindris annular

Kita mulai dengan merumuskan neraca momentum pada shell tipis dari silindris ini dan menghasilkan persamaan yang sama dengan kasus aliran tube sirkular, yaitu:

ddr (rτrz )=

{(P0 - PL ) / L}r (1)

DimanaP = p + ρgz

Persamaan (1) diintegrasi untuk menghasilkan persamaan (2) berikut ini:


τ rz=( P0−PL

2 L )r+ C1

r

Konstanta C1 tidak dapat ditentukan secara langsung, karena kita tidak memiliki informasi mengenai flux momentum pada permukaan r = қR ataupun r = R. Yang dapat kita ketahui adalah bahwa kecepatan maksimum adalah pada tempat r = λR dimana flux momentumnya adalah nol. Jika kita menggunakan pernyataan ini, maka C1 dapat diganti dengan

- (P0 - PL ) (λR 2)/2L, dan menghasilkan persamaan:

τ rz=( P0−PL) R

2 L [( rR )− λ2(R

r )]Perhatikan bahwa λ masih merupakan konstanta yang belum diketahui. Satu-satunya alasan kita menggunakan λ adalah bahwa kita mengetahui purgensi fisik dari λ. Selanjutnya kita substitusi persamaan Newton untuk viskositas menjadi persamaan (4) berikut.

dvz

dr=

−( P0−PL ) R2 μL [( r

R )−λ2(Rr )]

Integrasi terhadap r menghasilkan:

vz=−( P0−PL ) R2

4 μL [( rR )

2

−2 λ2 ln( rR )+C2]

Kemudian kita evaluasi dua konstanta integrasi λ dan C2 dengan menggunakan boundary conditions berikut ini:BC1: pada r = κR, vz = 0BC2: pada r = R, vz = 0

Substitusi dari syarat batas tsb akan menghasilkan dua persamaan simultan.

Dengan demikian, nilai C2 dan λ adalah:

Substitusi kedua nilai ini akan menghasilkan persamaan berikut ini.

Documents

Proses Transfer - Momentum.docx