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Propuesta pedagógica: La pregunta pedagógica como mediador en el aprendizaje
de la variación lineal en el grado séptimo de la Institución Educativa Gabriela
Mistral del municipio de Copacabana Antioquia
Trabajo de grado presentado como requisito para optar el título de:
Magíster en enseñanza de las ciencias exactas y naturales
Roger Arleby Sáez Bustamante
Asesor:
José Alberto Rúa Vásquez
Maestría en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales
Facultad de Ciencias
Universidad Nacional de Colombia
Sede Medellín
2014
Agradecimientos
“Dando siempre gracias por todo al Dios y Padre, en el nombre de nuestro señor
Jesucristo.” Efesios 5, 20.
A mi esposa Paula Andrea Jaramillo por su amor y apoyo.
Al maestro José Alberto Rúa Vásquez, orientador de la propuesta.
Tabla de contenido
Agradecimientos ......................................................................................................................................... 2
Resumen ..................................................................................................................................................... 5
Abstract ........................................................................................................................................................ 6
Introducción ................................................................................................................................................. 7
1. Tema .................................................................................................................................................... 8
2. Planteamiento del problema ............................................................................................................. 8
3. Justificación ....................................................................................................................................... 10
4. Antecedentes ........................................................................................................................................ 12
4.1 Horizonte y estructura de la pregunta pedagógica .................................................................. 12
4.2 Diseño de estrategias de enseñanza para el concepto de variación en áreas de ingeniería .. 13
4.3 Estudio de la primera representación gráfica de ecuaciones algebraicas en contexto ...... 15
4.4 El surgimiento de la “nueva matemática” o “matemática moderna” de los años 60 y 70. 16
4.5 Otros aspectos ............................................................................................................................... 17
5. Objetivos ............................................................................................................................................... 18
5.1 Objetivo general ............................................................................................................................. 18
5.2 Objetivos específicos .................................................................................................................... 18
6. Marco referencial ................................................................................................................................. 19
6.1 Marco contextual ........................................................................................................................... 19
6.3 Marco teórico .................................................................................................................................. 19
6.3.1 El aprendizaje significativo.................................................................................................... 19
6.3.2 Aprendizaje basado en problemas ABP ............................................................................. 21
6.3.3 La pedagogía liberadora de Freire ...................................................................................... 24
6.3.4 El método de Polya ................................................................................................................ 26
6.4 Marco Conceptual y Disciplinar ................................................................................................... 28
6.5 Marco Legal .................................................................................................................................... 31
7. Importancia de la pregunta como mediador del aprendizaje ........................................................ 35
7.1 ¿Qué significa preguntar? ............................................................................................................ 35
7.2 ¿Para qué preguntar? ................................................................................................................... 36
7.3 ¿Cómo preguntar? ........................................................................................................................ 37
7.3.1 Intencionalidad ........................................................................................................................ 37
7.3.2 Trascendencia ........................................................................................................................ 38
7.3.3 Significado ............................................................................................................................... 38
7.3.4 Sentimiento de capacidad ..................................................................................................... 38
7.3.5 Control del comportamiento.................................................................................................. 39
7.3.6 Reconocimiento de las diferencias ...................................................................................... 39
7.3.7 Mediación sobre la búsqueda, planificación y logro de objetivos ................................... 39
7.3.8 Adaptación a situaciones nuevas ........................................................................................ 39
8. Metodología .......................................................................................................................................... 40
9. Propuesta .............................................................................................................................................. 41
9.1 Diagnóstico de conceptos previos .............................................................................................. 41
9.1.1 Prueba diagnóstica ................................................................................................................ 41
9.1.2 Prueba piloto ........................................................................................................................... 43
9.1.3 Resultados ............................................................................................................................... 43
9.2 Experimento ................................................................................................................................... 49
9.2.1 Indicaciones de la experimentación .................................................................................... 50
9.2.2 Materiales ................................................................................................................................ 51
9.2.3 Manejo del multímetro ........................................................................................................... 51
9.2.4 Situación 1 ............................................................................................................................... 52
9.2.5 Situación 2 ............................................................................................................................... 53
9.2.6 Situación 3 ............................................................................................................................... 56
9.2.7 Actividad extraclase ............................................................................................................... 58
9.3 Propuesta de evaluación .............................................................................................................. 58
9.4 Recomendaciones ......................................................................................................................... 59
Anexo ..................................................................................................................................................... 61
10. Bibliografía .......................................................................................................................................... 69
Resumen
Existen una variedad de fenómenos cuyo comportamiento se pueden aproximar a una
variación lineal, y que pueden ser utilizados para la enseñanza de las matemáticas.
En la presente propuesta se toman algunos elementos de la teoría del
aprendizaje significativo de Ausubel, el aprendizaje basado en problemas (ABP), la
pedagogía liberadora de Freire y el método de Polya, para usar la pregunta como
mediador en el acercamiento al concepto de variación lineal en el grado séptimo de la
Institución Educativa Gabriela Mistral, a partir de la ley de Ohm.
La metodología que se utiliza es de naturaleza cualitativa y de tipo estudio de
caso. Para su implementación se requiere un grupo experimental de estudiantes y otro
de control, que servirá para el contraste de los resultados.
Palabras clave: situaciones problema, verificación, ley de Ohm, resolución de
problemas, conceptos previos, necesidad real.
Abstract
There are a variety of phenomena whose behavior can be approximated to a linear
variation, and can be used for the teaching of mathematics.
In this proposal, some elements of meaningful learning theory of Ausubel, problem-
based learning (PBL), Freire's liberating pedagogy and method of Polya are taken to
use the question as a mediator in bringing the concept of variation linear in the seventh
grade of School Gabriela Mistral, using the Ohm's law.
The methodology used is qualitative and case study type. To implement it, an
experimental group of students and a control, is required and a control, which serve to
contrast the results.
Keywords: Problem situations, verification, Ohm's law, solving problems,
preconceptions, real need.
Introducción
Pretender abordar un tema cualquiera de las matemáticas sin presentarlo en contexto,
puede constituirse en un riesgo de fracaso, si se tiene en cuenta que en el medio
escolar circulan frases como: “las matemáticas las hizo algún desocupado”, “las
matemáticas se hicieron para castigar o atormentar a la humanidad”. Tales frases
desconocen la belleza del pensamiento matemático y el origen de cada concepto que
hoy se conoce.
La práctica docente que plantea las matemáticas como una cosa de alguien y como
un fenómeno ausente de la realidad ha generado múltiples apatías durante largos
años, que se ha constituido como un paradigma difícil de cambiar.
Sobre este aspecto, los lineamientos curriculares argumentan que es necesario
tomar como punto de partida en la enseñanza de las ciencias, el mundo de la vida. Tal
argumento está fundamentado en que son precisamente los diversos fenómenos que
han ocurrido a lo largo de la vida de la humanidad, los que la han conducido a generar
el conjunto de los conocimientos existentes.
Por razón de lo anterior, se presenta un diseño como una propuesta pedagógica
basada en la pregunta que sirva como mediador en el aprendizaje de la variación lineal
a partir de la ley de Ohm. La ley en mención, es un fenómeno que puede modelarse
mediante una variación lineal directa o inversa, dependiendo de la variable que se
desee analizar. Así mismo le permite al estudiante relacionar lo que va a aprender con
un objeto real del conocimiento, lo que se constituye en una posibilidad de obtener un
aprendizaje significativo.
1. Tema
La pregunta pedagógica como mediador en el aprendizaje de la variación lineal en el
grado séptimo de la Institución Educativa Gabriela Mistral del municipio de Copacabana
Antioquia.
2. Planteamiento del problema
Rabindranath Tagore expresó: “Hacer preguntas es prueba de que se piensa”. Por lo
tanto cuando se hace referencia a los niños se puede decir que el hecho de que ellos
pregunten indica que su aprendizaje se ha iniciado. Sin embargo a medida que estos
crecen y se ponen en contacto con la escuela ésta curiosidad parece desaparecer poco
a poco, hasta llegar a ser casi nula cuando los estudiantes están en la básica
secundaria y en ciclos posteriores. En el contexto de la Institución Educativa Gabriela
Mistral del municipio de Copacabana Antioquia, dicho paradigma se evidencia
constantemente.
La pregunta encierra el deseo de descubrir lo que no se conoce. Con ella puede
generarse el conocimiento que se necesita, no sólo para dar respuesta a los asuntos
académicos, sino para comprender el mundo que rodea al hombre.
Antonio Faundez; en conversación con Freire expresa: “Creo que tienes
razón cuando dices que la primera cosa que debería aprender aquél que
enseña es a saber preguntar. Saber preguntarse, saber cuáles son las
preguntas qué nos estimulan y estimulan a la sociedad.”( Freire, 1986
p.5).1
En el mismo sentido, parafraseando a Martínez Arévalo2, se puede decir que la
pregunta es un estilo de mediación que facilita interacciones dialogizadas que dan
cabida a la empatía con el docente y la enseñanza, lo cual permite que los estudiantes
se sientan confiados y desarrollen un sentido de pertenencia por el aprendizaje. Pero
no cualquier pregunta debe hacerse dentro del aula de clases una vez definida la
intención de aprendizaje. El docente ha de buscar elementos de su entorno para
seleccionarlos, organizarlos y transformarlos, en función de un objetivo planeado.
De lo anteriormente expuesto se plantea ¿Cómo se relaciona la pregunta
pedagógica con el proceso del aprendizaje del concepto de variación lineal en el grado
séptimo de la Institución Educativa Gabriela Mistral del municipio de Copacabana
Antioquia?
1 Freire, P (1986). Hacia una pedagogía de la pregunta.
2 Martínez Arévalo, L. El arte de la pregunta como mediación en el campo de las matemáticas.
3. Justificación
El Ministerio de Educación Nacional desde los lineamientos curriculares en
matemáticas, le plantea al docente la necesidad de preguntarse y reflexionar, sobre las
siguientes preguntas:
¿Qué son las matemáticas? ¿En qué consiste la actividad matemática en
la escuela? ¿Para qué y cómo se enseñan las matemáticas? ¿Qué
relación se establece entre las matemáticas y la cultura? ¿Cómo se puede
organizar el currículo de matemáticas? ¿Qué énfasis es necesario hacer?
¿Qué principios, estrategias y criterios orientarían la evaluación del
desempeño matemático de los alumnos? (MEN, 1998, p.9).3
Los planteamientos anteriores dejan ver que la pregunta debería ser el punto de
inicio que oriente al docente en su labor. Sin embargo al dar una mirada a la situación
actual de la escuela se puede ver que la pregunta pedagógica como parte importante
en el proceso de adquisición de conocimientos ha sido desvinculada de la escuela y se
continúa en los mismos rezagos. Por lo tanto, el horizonte planteado por el ministerio
está siendo desvirtuado y el proceso de formación de los estudiantes, no está
respondiendo a sus necesidades.
Es menester entonces que el docente de matemáticas replantee y adecue los
procesos académicos. Para ello se requiere que el docente se apropie de la pregunta
pedagógica como una herramienta que media en la enseñanza y el aprendizaje de la
3 MEN, (1998). Lineamientos curriculares de matemáticas.
matemática, y que se transforma en un elemento significativo tanto para él como para
sus estudiantes.
Dentro de este contexto, es conveniente mencionar que los lineamientos
curriculares de ciencias naturales y educación ambiental tienen como parte de su
referente filosófico el concepto del mundo de la vida de Husserl, del cual vale destacar
que:
Partimos pues del Mundo de la Vida y, es importante no olvidarlo,
volvemos a él desde las teorías científicas. Olvidar ese retorno es
eliminar el sentido que tiene el conocimiento científico. Pero, y de aquí la
importancia de esta reflexión, a menudo la escuela no solamente olvida el
retorno al Mundo de la Vida, sino que lo ignora como origen de todo
conocimiento. (MEN, 1998, p.6)4
Se puede adicionar que los estudiantes llegan a las instituciones con métodos
informales de razonar acordes con sus niveles de desarrollo influenciadas por sus
experiencias y el contexto cultural. Así pues, cuando el docente realiza una mediación
por medio de preguntas intencionadas ubicadas dentro de las experiencias y
conocimientos previos de los estudiantes, el aprendizaje de las matemáticas pueden
constituirse en una forma agradable y significativa, que le muestra al estudiante unas
matemáticas como el producto de la construcción social en pos de responder a las
necesidades humanas y como la búsqueda por explicar los diversos fenómenos del
universo.
4 MEN, (1998). Lineamientos curriculares de ciencias naturales y educación ambiental.
4. Antecedentes
Se encontraron algunas investigaciones relacionadas con la pregunta pedagógica, y
que son soporte a esta investigación, se enuncian las siguientes:
4.1 Horizonte y estructura de la pregunta pedagógica
Un estudio de Arturo Rillo y otros y que se encuentra como artículo en la Revista
Electrónica Actualidades Investigativas en Educación, vol. 11, núm. 1, enero-abril,
2011, pp. 1-18 de la Universidad de Costa Rica. La investigación usa como método la
investigación filosófica desde la perspectiva de la hermenéutica desarrollada por Hans-
Georg Gadamer, quien considera la hermenéutica como la posibilidad que tiene el ser
de comprender de forma diferente la vida.
El resultado del estudio señala que al confrontar el pensamiento de Heidegger,
Gadamer y Freire en relación con sus concepciones de la pregunta, según Rillo:
Se destaca la actitud interrogativa del ser humano que se refleja en la
tarea hermenéutica de reconstruir la pregunta a la que responde el
ejercicio de la libertad cuando se trata de comprender la cotidianeidad y
medianía de su estar en el mundo. Esta confrontación resulta ser más
bien una complementación, pues en cada uno de ellos se desvela como
esencia de la pregunta pedagógica la posibilidad de abrir diferentes
horizontes de comprensión durante el proceso que realiza el ser humano
cuando construye socialmente la realidad de su mundo de la vida ya sea
al desocultar la verdad del ser (hermenéutica de la facticidad), para
establecer el diálogo con la tradición (hermenéutica filosófica) o posibilitar
una vida en libertad (pedagogía liberadora).(Rillo, Pimentel, Arceo, Ocaña,
García, Hernández, 2011, p.7)5
4.2 Diseño de estrategias de enseñanza para el concepto de variación en áreas de
ingeniería
Un estudio de Elena Fabiola Ruiz Ledesma y que se encuentra como artículo en la
Revista Innovación Educativa, vol. 9, núm. 46, enero-marzo, 2009, p. 27- 40. La
orientación metodológica de la investigación se ubica en una perspectiva cualitativa del
proceso experimental, que se llevó a cabo en las siguientes fases:
1. Diagnóstico mediante un cuestionario.
2. Análisis general del cuestionario.
3. Análisis particular del cuestionario.
4. Propuesta de estrategias que coadyuven al docente a mejorar la calidad del
ingeniero en formación.
A modo de resumen Ruiz Ledesma expresa que es:
Una investigación sobre el concepto de variación mediante una propuesta
de diseño de estrategias de enseñanza para docentes, como resultado de
la aplicación de un cuestionario diagnóstico a una muestra de maestros
pertenecientes a cinco unidades académicas del Instituto Politécnico
Nacional (IPN). Se obtuvo que los profesores emplean un tipo de
estrategia de enseñanza que no promueve el aprendizaje del concepto ni
5 Rillo, A. et al, (2011). Horizonte y estructura de la pregunta pedagógica.
el desarrollo de habilidades, por lo cual se propone trabajar problemas en
contexto para promover el desarrollo conceptual del tema de variación y
las habilidades que los estudiantes deben utilizar para resolver problemas
relacionados con el mismo tema. El marco teórico-metodológico se basa
en la matemática en el contexto de las ciencias. (Ruiz, 2009, p.27)6
Los resultados con base en la pregunta de investigación según Ruiz Ledesma
fueron:
Cuando el docente únicamente usa la estrategia expositiva el aprendizaje
se torna mecánico, mientras que si emplea otras como los problemas le
permite tener elementos cognitivos, comunicativos, técnicos y valorales
que le ayudan en su labor académica. Resultados que coinciden con
Camarena (2006a, 2006b, 2004, 2001), Echeverría (2002), y con Oulton,
Dillon y Grace (2004). Mediante el uso de problemas en el contexto de las
ciencias con apoyo de la tecnología, en este caso de las simulaciones, se
considera que los docentes pueden comprenden la variedad de
estrategias de enseñanza factibles de emplearse en el aula, con el
objetivo de que el alumno le dé sentido al tema que trabaja y abandone el
uso mecánico de las fórmulas. (Ruiz, 2009, p.36)7
6 Ruiz Ledesma, E. (2009). Diseño de estrategias de enseñanza para el concepto de variación en áreas de ingeniería.
7 Ibíd. 6.
4.3 Estudio de la primera representación gráfica de ecuaciones algebraicas en
contexto
Un estudio de Alma Alicia Benítez Pérez y que se encuentra como artículo en la
Revista Innovación Educativa, vol. 9, núm. 46, enero-marzo, 2009, p. 41- 50. La
metodología de la investigación según Benítez Pérez, estuvo basada en:
Proporcionar al estudiante diversas situaciones asociadas a la
representación gráfica, empleando tratamientos que evidencian su
riqueza, impulsando la formulación de problemas. La actividad se realizó
en el contexto de la química en un curso de álgebra. Con anterioridad los
alumnos no habían participado en esta forma de trabajo, es decir, se
modificó la práctica en el salón de clase, se impulsó la comunicación de
ideas y la continua participación activa. La experiencia contó con un grupo
de 40 alumnos del nivel medio superior del CECyT 11 Wilfrido Massieu
Pérez, de primer semestre del ciclo escolar, con una duración de 18
semanas. Las edades de los participantes fluctuaban entre 15 y 16 años.
(Benítez, 2009, p.43)8
Los resultados del estudio según Benítez Pérez en cuanto a los estudiantes fueron:
1. Se enfocaron en sus primeras interacciones a situaciones o elementos
parciales omitiendo otros de carácter relevante durante el análisis del
problema.
8 Benítez, A. (2009). Estudio de la primera representación gráfica de ecuaciones algebraicas en contexto.
2. Ante una situación atendieron algunos aspectos mientras
desatendieron otros –variabilidad en la interacción– lo que determinó que
en esta actividad se requiere que tengan la vivencia con la finalidad de
fortalecer su percepción frente a las preguntas planteadas.
3. Pretendieron reproducir la actividad en otras diferentes, lo cual sugiere
que tienden a examinar datos o relaciones siguiendo las reglas
presentadas por el maestro.
4. En el trabajo en equipo se superó la tendencia calculista. No obstante
cuando el trabajo a desarrollar fue individual se regresó al uso de
tratamientos cuantitativos, mientras que por equipo exploraron las
situaciones con métodos cualitativos.
5. Las discusiones en plenaria les permitieron debatir sus argumentos en
un ambiente de análisis y de razonamiento. (Benítez, 2009, p.48)9.
4.4 El surgimiento de la “nueva matemática” o “matemática moderna” de los
años 60 y 70.
Se encuentra dentro del marco de los lineamientos curriculares y se cita como un
antecedente que produjo una transformación en la enseñanza. La nueva matemática
enfatizó en estructuras abstractas y el rigor lógico, lo que no tuvo mayor incidencia en
los cambios que se querían. Después en los años 80 se generó un debate entre los
que querían continuar con la matemática moderan y los que querían volver a lo básico:
9 Ibíd. 8.
las cuatro operaciones con enteros, fraccionarios y decimales. Sin embargo este nuevo
enfoque tampoco dio el resultado esperado.
Tras una serie de intentos se llegó a la creación de la Ley General de Educación, la
cual implica que se logre la conceptualización de los logros curriculares y de sus
indicadores también en el área de matemáticas y que se aúnen lo esfuerzos para que
se consoliden procedimientos que faciliten un trabajo sistemático, serio y útil para los
docentes y estudiantes.
4.5 Otros aspectos
Compartiendo este mismo sentir se puede citar la preocupación que se tiene por el
anquilosamiento de la educación y de los pocos cambios efectivos que se han hecho.
Dentro de esta perspectiva se encuentra quienes argumentan que la pregunta
pedagógica debe constituir la esencia misma de los procesos de la enseñanza y
aprendizaje. Es amplia la documentación que existe al respecto sobre la pregunta
pedagógica. A modo de ejemplo se citan: Atreverse a preguntar, conjeturar, comparar y
sustentar una respuesta, Hacia una pedagogía de la pregunta, Horizonte y estructura
de la pregunta pedagógica y Cartas a quien pretende enseñar, entre muchos otros.
5. Objetivos
5.1 Objetivo general
Diseñar una propuesta pedagógica basada en la pregunta como mediador en el
aprendizaje de la variación lineal a partir de la ley de Ohm en el grado séptimo de la
Institución Educativa Gabriela Mistral del municipio de Copacabana Antioquia.
5.2 Objetivos específicos
Elaborar una herramienta que permita realizar un diagnóstico de los conceptos previos
que poseen los estudiantes.
Diseñar y formular un grupo de preguntas centradas en la variación lineal, que
relacionen la ley de Ohm, los conceptos previos de los estudiantes y situaciones
cotidianas relacionadas con la luz producida por una fuente de luz.
Generar un experimento relacionado con la ley de Ohm, basada en situaciones
problema reales, para establecer las relaciones existentes entre las variables que
intervienen en él.
6. Marco referencial
6.1 Marco contextual
La Institución Educativa “Gabriela Mistral” es de carácter público y mixto. Su domicilio
principal está ubicado en la Carrera 28 Nº 43-199, Barrio San Juan de la tasajera del
municipio de Copacabana, Departamento de Antioquia. Cuenta con tres Sedes
Rurales: Divino Niño, Sabaneta y Quebrada Arriba. Existe vía de acceso por carretera
hasta cada una de las sedes. Sus estudiantes se ubican en su mayoría entre los
estratos 1 y 2 y niveles del SISBEN I y II. Su población en su gran mayoría proviene del
sector rural.
En cuanto al rendimiento académico, se tiene que los resultados en las pruebas
internas y externas en general, han sido bajos, a lo largo de su trayectoria académica lo
que se ha constituido en un asunto de discusión en los consejos académicos. A pesar
de los esfuerzos no se ha logrado un avance significativo permanente en los
resultados. Tal es el caso de las últimas pruebas externas, las cuales situaron a la
institución en los últimos lugares a nivel municipal.
En la institución no se registra que se haya hecho algún trabajo o investigación
basado en situaciones reales y aplicadas desde el área de las matemáticas.
6.2 Marco teórico
6.2.1 El aprendizaje significativo
Ausubel construyó una teoría psicológica en torno a los diferentes procesos que se dan
durante el aprendizaje de un individuo. La finalidad de la teoría es establecer cuáles
son las condiciones que se necesitan para que el estudiante aprenda y pueda dar los
resultados que se esperan.
Según Moreira:
Aprendizaje significativo es aquel en que ideas expresadas
simbólicamente interactúan de manera sustantiva y no arbitraria con lo
que el aprendiz ya sabe. Sustantiva quiere decir no literal, que no es al pie
de la letra, y no arbitraria significa que la interacción no se produce con
cualquier idea previa, sino con algún conocimiento específicamente
relevante, ya existente en la estructura cognitiva del sujeto que aprende.
(Moreira, 2012, p.30)10
A estas ideas previas, Ausubel las llamó subsunsores o ideas anclas cuyo fin es
permitir que le sirva de anclaje para el nuevo conocimiento que se le presenta al
individuo y por tanto tenga un significado.
En otras palabras, el aprendizaje es significativo, cuando las ideas preexistentes en
la estructura cognitiva se usan para aprender nuevas ideas o conceptos. No obstante,
se debe precisar que las ideas previas deben estar claras, de otra forma no podrían
utilizarse para desempeñar la función que Ausubel propone.
Ahora bien, ¿qué pasa con los subsunsores cuando se confrontan con las nuevas
ideas o conceptos? Desde el punto de vista del aprendizaje significativo, las ideas
previas deberán sufrir alguna modificación importante debido a la interacción con el
nuevo material, es decir, cuando se genera un aprendizaje con significado, el nuevo
10
Moreira, M.A. (2012). ¿Al final, qué es aprendizaje significativo?
material se asimila y se incorpora y al mismo tiempo las ideas preexistentes se
transforman.
Hasta este punto se ha supuesto que los estudiantes poseen las ideas previas
suficientes y necesarias que sirven como punto de partida para el aprendizaje, pero
¿qué hacer cuando no existen subsunsores?, según Moreira:
Precisamente ahí es donde entra, según Ausubel, la utilización de
organizadores previos que sirvan de “ancladero provisional” para el nuevo
aprendizaje y lleven al desarrollo de conceptos, ideas y proposiciones
relevantes que faciliten el aprendizaje subsiguiente. El uso de
organizadores previos es una estrategia propuesta por Ausubel para,
deliberadamente, manipular la estructura cognitiva con el fin de facilitar el
aprendizaje significativo. (Moreira, 2008, p. 2)11
Dicho de otra manera, los organizadores previos sirven de puente entre lo que el
que aprende ya sabe y lo que debe saber, para poder aprender de forma significativa el
nuevo material que se le presenta.
6.2.2 Aprendizaje basado en problemas ABP
El ABP es un sistema didáctico orientado hacia una participación activa de los
estudiantes en su aprendizaje. En su mejor caso se busca que sean los mismos
estudiantes quienes emprendan la iniciativa en la búsqueda de la solución de los
problemas.
11
Moreira, M.A. (2008). Organizadores previos y aprendizaje significativo.
Barrows define al ABP como “un método de aprendizaje basado en el principio de
usar problemas como punto de partida para la adquisición e integración de los nuevos
conocimientos” (Barrows, 1986). Las características de su método fueron aplicadas en
la Facultad de Ciencias de la Salud de la Universidad de McMaster de Canadá. Entre
ellas se pueden citar: El aprendizaje está centrado en el alumno, los profesores son
facilitadores del proceso y los problemas desarrollan habilidades para la resolución de
problemas.
Algo semejante ocurre dentro del ámbito de las matemáticas donde es común hablar
de situaciones problemas. Según Mesa citado por Rúa y Bedoya:
… una situación problemas es un espacio de interrogantes frente a los
cuales el sujeto está convocado a responder. En el campo de las
matemáticas, una situación problema se interpreta como un espacio
pedagógico que posibilita tanto la conceptualización como la simbolización
y la aplicación comprensiva de algoritmos, para plantear y resolver
problemas de tipo matemático. (Rúa, Bedoya, 1998, p. 168)12
Como se ha dicho, los problemas pueden usarse para generar un aprendizaje y ha
sido tal su éxito que las tanto las instituciones de educación básica como las de
educación han aplicado este método obteniendo buenos resultados. Tal es el caso de
la propuesta de Rúa y Bedoya en la cual se sugiere que un docente debe seleccionar
un problema de la vida real y preferiblemente de su entorno. Se busca con este método
que los estudiantes resuelvan una situación problema, preferiblemente que sea real y
12
Rúa, Bedoya (1998). Modelos de situaciones problema para la movilización y evaluación de competencias matemáticas en la formación básica universitaria.
de su entorno. Pero no toda situación problema puede resultar adecuada para el fin
que se persigue. Desde la mirada de Rúa & Bedoya, se requiere “una situación
problema que motive y desencadene razonamientos de orden matemático, que
incorpore el planteamiento de preguntas abiertas y cerradas y que finalmente
contribuya al desarrollo de las competencias lógico-matemáticas”13 (Rúa, Bedoya,
2010, p. 9).
Rúa y Bedoya sugieren que el docente debe tener en cuenta lo siguiente:
Definición de una red conceptual. Esta red debe tener a disposición un referente
de algún saber que se ajuste a las condiciones sociales e individuales de los
estudiantes.
Escoger un motivo. En una situación del contexto que sea capaz de facilitar
actividades y el planteamiento de preguntas abiertas y cerradas.
Fijar varios estados de complejidad. Este estado de complejidad va encaminado
a regular las actividades y el grado de dificultad de las preguntas que el
estudiante debe enfrentar.
Proponer una estrategia. Aquí son importantes la didáctica y los momentos de
enseñanza y aprendizaje para que afloren las propuestas creativas.
Ejercitación. Escoger ejercicios adecuados, es decir, prototipos que deben
comprender los estudiantes.
Ampliación, cualificación y desarrollo de los conceptos tratados. Una situación
problema que se diga interesante tiene que ofrecer esta opción a los
estudiantes.
13
Ibíd. 12.
Implementar una estrategia de evaluación de las competencias. Esta es tal vez
la actividad más difícil de implementar; la evaluación de competencias a través
de logros de las mismas requiere la implementación de una forma de evaluar
muy seria y cuidadosa.14
6.2.3 La pedagogía liberadora de Freire
La propuesta liberadora de Paulo Freire orienta hacia la formación de seres humanos
pensantes, comprometidos consigo mismos y con la sociedad en la que se encuentran.
Preguntarse sobre lo que pasa alrededor convierte a los seres humanos en seres
libres, seres que opinan, critican, proponen y crean en la búsqueda de determinar cuál
es su lugar en el mundo.
Bajo la perspectiva de Freire la educación no puede ser de tipo bancario, es decir,
organizada como un gran volumen de conocimiento que no posee alguna correlación
con la realidad del estudiante, ni con sus intereses. Tampoco se puede considerar que
los programas deban cumplirse dentro de unos plazos fijados en los que el estudiante
deberá dar razón de lo expuesto por los docentes. Por lo contrario, Freire considera
como fundamental que los docentes y estudiantes adopten una postura abierta,
indagadora y propositiva mientras interactúan.
Si lo que se espera es que la educación humanice al hombre, entonces la educación
bancaria no tiene cabida. A propósito, dice Freire citado por Paiva:
Un educador humanista, revolucionario, no puede esperar esta
posibilidad. Su acción, al identificarse, desde luego, con la de los
14
Ibíd. 12
educandos, debe orientarse en el sentido de la liberación de ambos. En el
sentido del pensamiento auténtico y no en el de la donación, el de la
entrega de conocimientos. Su acción debe estar empapada de una
profunda creencia en los hombres. Creencia en su poder creador. (Paiva,
2005, p. 138)15
Así mismo, desarrollar un pensamiento liberador requiere que los seres humanos se
piensen como parte y solución de los diversos problemas, y esto sólo es posible si los
ciudadanos se incorporan activamente en los mismos. El devenir de la sociedad
depende de los sujetos que actúan en ella, esto es, son los mismos ciudadanos
quienes velan por su propio bienestar. En este sentido, Bentley (1999) citado por Paiva
destaca lo siguiente:
La pedagogía de Freire de la educación alfabetizadora implica no
solamente leer la “palabra”, sino también leer el “mundo”. Esto implica el
desarrollo del conocimiento crítico (un proceso conocido en portugués
como conscientizaçao). La formación de un conocimiento crítico le permite
a la gente cuestionar la naturaleza de su situación histórica y social –para
leer su mundo– con el propósito de actuar como sujetos en la creación de
una sociedad democrática...Para la educación, Freire denota un
intercambio dialogal entre profesores y estudiantes, en la cual ambos
aprenden, ambos cuestionan, ambos reflexionan, y ambos participan en
buscar significados. (Paiva, 2005, p.135).16
15
Paiva, A. (2005). La educación liberadora de Paulo Freire y el desarrollo del pensamiento. 16
Ibíd.15
Con relación a lo anterior, la libertad de los sujetos se da conforme al fruto de su
pensamiento. A medida que el ser humano es crítico, participativo y propone soluciones
a situaciones problemáticas, se convierte en un transformador de su mundo. En este
sentido, Freire propone que la mejor manera de pensar, es pensar en la práctica.
Por tanto, el ser humano debe ejercitarse, desde niño, en el uso de los procesos del
pensamiento de forma tal, que comprenda su realidad, dentro de la cual se encuentran
sus semejantes, y todas las expresiones sociales tales como la economía, la política y
la educación.
6.2.4 El método de Polya
En el año de 1957 el húngaro George Polya desarrolló un método con el fin de resolver
problemas y que fuese aplicable al aprendizaje de las matemáticas. Su idea apuntaba a
que los estudiantes se involucraran en la resolución de los problemas, más que en
desarrollar simples ejercicios. En su libro How to solve it, propone cuatro pasos:
entender el problema, configurar un plan, ejecutar el plan y mirar hacia atrás.
Entender el problema implica comprenderlo de una forma total. Se necesita
determinar cuáles son los datos y si son suficientes, las condiciones que impone la
situación y las contradicciones (si existen). Una incompleta comprensión del problema,
que puede ser ocasionada por una falta de concentración, conduce a acciones erradas.
Para intentar comprender el problema es necesario que el estudiante se haga
algunas preguntas (tomadas del documento George Polya17: estrategias para la
solución de problemas) como: ¿Entiendes todo lo que dice? ¿Puedes replantear el
17
George Polya: estrategias para la solución de problemas. Recuperado el 12 de noviembre de 2014.
problema en tus propias palabras? ¿Distingues cuáles son los datos? ¿Sabes a qué
quieres llegar? ¿Hay suficiente información? ¿Hay información extraña? ¿Es este
problema similar a algún otro que hayas resuelto antes?
Configurar un plan es relacionar adecuadamente todos los datos que están en la
situación con el dato o datos a buscar (incógnita). Si se llega a la conclusión de que no
es posible establecer una relación, es necesario reorientar los procesos de búsqueda
de información con el fin de establecer si se han empleados todos los datos.
Polya indica que empezar a realizar cálculos sin haberse concebido un plan
conduce a resultados erróneos. No generar un plan es reflejo de la negligencia de
quien enfrenta la situación, quizás porque quiere llegar a una respuesta de forma
rápida, sin antes haberse fijado en todos los detalles que encierra el problema.
En la configuración del plan se pueden tomar en cuenta algunas de las siguientes
estrategias tomadas del documento George Polya: estrategias para la solución de
problemas: ensayo y error (conjeturar y probar la conjetura), usar una variable, buscar
un patrón, hacer una lista, resolver un problema similar más simple, hacer una figura,
hacer un diagrama, usar razonamiento directo, usar razonamiento indirecto, usar las
propiedades de los números, resolver un problema equivalente, trabajar hacia atrás,
usar casos, resolver una ecuación, buscar una fórmula, usar un modelo, usar análisis
dimensional, identificar sub-metas, usar coordenadas y usar simetría.
Ejecutar el plan hace alusión de llevar a cabo cada uno de los pasos planificados,
que debe culminar en una solución, es decir, se logra determinar el valor de la
incógnita.
La ejecución del plan no siempre puede conducir a una solución, por lo tanto es
necesario retomar las acciones planeadas en otra dirección y aplicar una nueva
estrategia, puede ocurrir que se obtenga el éxito.
Mirar hacia atrás es verificar que la solución encontrada se ajuste a cada una de las
condiciones del problema. En este sentido Polya manifiesta que reexaminar el
resultado y los razonamientos que condujeron a él, ayudan a consolidar los
conocimientos y aptitudes para la resolución de problemas.
Conviene además, una vez solucionada la situación, preguntarse: ¿Existirá acaso
otra solución? ¿Habrá otra más simple? ¿Puede generalizarse para todo tipo de
situaciones? ¿Qué otra variación podría tener y qué planteamientos sería necesario
considerar?
6.3 Marco Conceptual y Disciplinar
En la vida práctica la variación es observable y se encuentra en varios contextos. Aquí
se puede citar por ejemplo, la competencia en las ventas. Cuando el precio de un
artículo necesario para la canasta familiar baja su precio, las ventas aumentan, y
cuando el mismo aumenta su precio, las ventas disminuyen.
Situaciones como la anterior, pueden promover en el estudiante actitudes de
observación, registro y utilización de las matemáticas. Se puede partir con una simple
descripción verbal, para dar cabida a elementos más completos tales como las tablas y
representaciones gráficas en el plano cartesiano.
De acuerdo con los lineamientos curriculares:
El estudio de la variación puede ser iniciado pronto en el currículo de
matemáticas. El significado y sentido acerca de la variación puede
establecerse a partir de las situaciones problemáticas cuyos escenarios
sean los referidos a fenómenos de cambio y variación de la vida práctica.
La organización de la variación en tablas, puede usarse para iniciar en los
estudiantes el desarrollo del pensamiento variacional por cuanto la
solución de tareas que involucren procesos aritméticos, inicia también la
comprensión de la variable y de las fórmulas. En estos problemas los
números usados deben ser controlados y los procesos aritméticos
también se deben ajustar a la aritmética que se estudia. Igualmente, la
aproximación numérica y la estimación deben ser argumentos usados en
la solución de los problemas. La calculadora numérica se convierte en una
herramienta necesaria en la iniciación del estudio de la variación. (MEN,
1998, p.51)18
Hay que tener en cuenta que en el grado séptimo el concepto de continuidad no
hace parte de su currículo, por lo tanto, si se puede decir, la variación se estudia como
variación numérica discreta, pero se puede ir formando la idea de variación numérica
continua.
Para conseguir tal fin se pueden usar las tablas como una herramienta para la
comprensión de los conceptos de variable e infinito. De la misma manera, la tabla sirve
como apoyo para comprender la fórmula que describe la variación o el cambio, y
posteriormente proponer la elaboración de la gráfica respectiva en el plano cartesiano.
18
Ibíd. 3.
Otros puntos adicionales lo constituyen el trabajo sobre el concepto de variable y su
clasificación en variable dependiente e independiente, y la aproximación lineal de un
conjunto de datos. Sobre este último tópico se hace necesario resaltar que las fórmulas
no representan exactamente el fenómeno sino que se constituye en una buena
aproximación para fines específicos.
Se definen ahora algunos conceptos que se tendrán en cuenta durante el desarrollo
de la propuesta. Según Palmer:
Constante: un número cuyo valor no varía. Algunas constantes tienen siempre el
mismo valor en Matemáticas o en otras ciencias. (Palmer, Bibb , Jarbis, Mrachek,
2003, p.255)19
Variable: es un número que puede tomar una cantidad ilimitada de valores. Por ejemplo
f en la ley de Hooke puede ser 5 kg, 26 kg, 127 kg, 1 000 000 kg o cualquier otro
número. (Palmer et al, 2003, p.255)20
Variación: Es el cambio que sufre una variable. La variación puede hacer que aumenta
o que disminuya. A la variación también se le suele llamar cambio.
Variación lineal: es la variación que puede ser representada de la forma y = kx + b,
donde k es la constante de variación y b es el valor para “y” cuando la variable
independiente “x” tiene un valor igual a cero.
Variación directa: cuando dos variables están relacionadas de tal forma que su razón
es constante, y entonces si una de las dos aumenta la otra también; o si una disminuye
19
Palmer, Bibb , Jarbis, Mrachek(2003). Matemáticas prácticas. 20
Ibíd., 19.
la otra también. La ley de Ohm es un ejemplo de variación directa. Esta ley puede
escribirse de la forma E=kl, donde E es el voltaje, I es la corriente y k es una constante,
la resistencia del circuito. (Palmer et al, 2003, p.255)21
Variación inversa: cuando dos variables están relacionadas de tal forma que su razón
es constante, y entonces si una de las dos aumenta la otra disminuye. (Palmer et al,
2003, p.255)22
6.4 Marco Legal
Los lineamientos curriculares plantean: ¿Qué relación se establece entre las
matemáticas y la cultura? ¿Cómo se puede organizar el currículo de matemáticas?
Sobre los aspectos mencionados se puede decir que la matemática no es un tema
desligado de la cultura, por el contrario ha sido producto de su misma actividad. En
cuanto al segundo aspecto, es competencia del docente constituirse en un generador
de ambientes favorables para los estudiantes.
Luego el trabajo del profesor es contextualizar los conocimientos que van a ser
parte del estudiante, y que deben tener sentido para él. En otras palabras, los
conocimientos a adquirir nacen de una necesidad propia de su contexto.
Una de las mejores formas la constituye la resolución de problemas que ha sido
considerada como un elemento sustancial en el desarrollo del conocimiento
matemático. Sobre este punto el MEN en los lineamientos curriculares señalan:
21
Ibíd., 19. 22
Ibíd., 19.
En diferentes propuestas curriculares recientes se afirma que la
resolución de problemas debe ser eje central del currículo de
matemáticas, y como tal, debe ser un objetivo primario de la enseñanza y
parte integral de la actividad matemática. Pero esto no significa que se
constituya en un tópico aparte del currículo, deberá permearlo en su
totalidad y proveer un contexto en el cual los conceptos y herramientas
sean aprendidos.
En la medida en que los estudiantes van resolviendo problemas van
ganando confianza en el uso de las matemáticas, van desarrollando una
mente inquisitiva y perseverante, van aumentando su capacidad de
comunicarse matemáticamente y su capacidad para utilizar procesos de
pensamiento de más alto nivel. (MEN, 1998, p. 52)23
Vale destacar que no se trata de cualquier tipo de problemas, el MEN en los
lineamientos es claro cuando expone:
El acercamiento de los estudiantes a las matemáticas, a través de
situaciones problema procedentes de la cotidianidad, de las matemáticas
y de las otras ciencias es el contexto más propicio para poner en práctica
el aprendizaje activo, la inmersión de las matemáticas en la cultura, el
desarrollo de procesos de pensamiento y para contribuir
23
Ibid, 3.
significativamente tanto al sentido como a la utilidad de las
matemáticas.(MEN, 1998, p.24)24
Queda claro que cada situación problema a resolver plantea preguntas interesantes
tanto para estudiantes como para profesores que se convierten en una herramienta
para el aprendizaje de las matemáticas.
Por lo que se refiere al MEN en los estándares básicos de competencias en
matemáticas considera que:
Formular, plantear, transformar y resolver problemas a partir de
situaciones de la vida cotidiana, de las otras ciencias y de las
matemáticas mismas. Ello requiere analizar la situación; identificar lo
relevante en ella; establecer relaciones entre sus componentes y con
situaciones semejantes; formarse modelos mentales de ella y
representarlos externamente en distintos registros; formular distintos
problemas, posibles preguntas y posibles respuestas que surjan a partir
de ella.(MEN, 2003, p.51)25
Se considera pues, que es productivo plantear problemas adecuados, ya que los
estudiantes deberán formularse preguntas sobre cómo resolverlos. Esto se logra
cuando los estudiantes desarrollan una actitud mental perseverante que se pone de
manifiesto al formular una serie de estrategias para resolverlos, encontrar y verificar
resultados, e interpretar si son razonables.
24
Ibid, 3. 25
MEN (2003). Estándares básicos de competencias en matemáticas.
Por otra parte, la variación lineal hace parte de los conocimientos que debe adquirir
el estudiante en el grado ´séptimo y que se relacionan con los problemas cotidianos. A
continuación se enuncian los estándares en matemáticas planteados por el MEN.
Reconozco el conjunto de valores de cada una de las cantidades
variables ligadas entre sí en situaciones concretas de cambio (variación).
Analizo las propiedades de correlación positiva y negativa entre variables,
de variación lineal o de proporcionalidad directa y de proporcionalidad
inversa en contextos aritméticos y geométricos. (MEN, 2003, p.85)26
Para finalizar, es menester citar La ley general de educación de 1994 en su artículo
5°, numerales 5 y 9.
Numeral 5: La adquisición y generación de los conocimientos científicos y
técnicos más avanzados, humanísticos, históricos, sociales, geográficos y
estéticos, mediante la apropiación de hábitos intelectuales adecuados
para el desarrollo del saber. (MEN, 1994, p. 3)27
Numeral 9: El desarrollo de la capacidad crítica, reflexiva y analítica que
fortalezca el avance científico y tecnológico nacional, orientado con
prioridad al mejoramiento cultural y de la calidad de la vida de la
población, a la participación en la búsqueda de alternativas de solución a
26
Ibíd. 25. 27
MEN, (1194). Ley general de Educación (Ley 115 de1994).
los problemas y al progreso social y económico del país. (MEN, 1994, p.
3)28
7. Importancia de la pregunta como mediador del aprendizaje
El aprendizaje está cruzado por varios interrogantes que el docente necesita saber:
¿Cómo aprenden sus estudiantes? ¿Por qué deben aprender lo que se les enseña?
¿Cómo se les ayuda para que lo aprendan? ¿Qué habilidades desarrollar en la escuela
para para que puedan aprender por sí mismos? ¿Podrán aplicarlo a su vida? Quizás no
se puede dar respuesta a todas las preguntas que surgen dentro de la escuela, pero
vale la pena resaltar que “Las preguntas actúan como generadores y organizadoras del
saber escolar. Así, éstas despiertan nuestro deseo de conocer cosas nuevas, nos
ayudan a reflexionar sobre el propio saber y el proceso de aprendizaje. Las preguntas,
en definitiva, dan sentido a la educación escolar.” (Autores varios, p.73) 29 En este
orden de ideas se puede poner en escena los siguientes aspectos.
7.1 ¿Qué significa preguntar?
Tomando las ideas de Freire, preguntar conlleva a la experiencia de descubrir,
esclarecer una duda, calmar la curiosidad o dar una explicación a lo que se tiene frente
a los sentidos, en síntesis, la pregunta conduce al conocimiento en forma de un juego
del intelecto.
La vida misma está llena de preguntas, algunas son de respuesta casi
inmediata, otras en cambio pueden ser respondidas a lo largo del tiempo, en el cual se
pueden originar muchas más preguntas. Es por ello que Zuleta Araujo expresa: 28
Ibíd. 27. 29
Autores varios. La importancia de las preguntas.
La pregunta debe acompañar y, de hecho, acompaña al ser humano
durante todo el desarrollo de su vida. Vivir, podríamos decir, es preguntar,
es estar preguntando constantemente. Para Gadamer, por ejemplo, quien
no se hace preguntas no es porque se haya vuelto tonto sino porque no
necesita saber. Para poder preguntar hay que querer saber, esto es,
saber que no se sabe. Esto significa tener una postura humilde frente al
saber. (Zuleta, 2005, p.117)30
Por tanto, preguntar es un acto que bien orientado conduce a nuevos conocimientos.
7.2 ¿Para qué preguntar?
Freire citado por Zuleta Araujo: “el origen del conocimiento está en la pregunta, o en las
preguntas, o en el mismo acto de preguntar…” (Zuleta, 2005, p.117)31. Lo que Freire
expresa en sus ideas es que es de vital importancia que el docente genere el hábito de
la pregunta tanto en él como en sus estudiantes. Dicho hábito debe empezar con el
docente, siendo él un modelo a seguir. También precisa que no existen preguntas
bobas ni que tampoco existen respuestas definitivas. En este punto la atención se
centra en que el docente debe ser cuidadoso en su actuar para que no se transforme
en un castrador de la curiosidad que como se expresó anteriormente conduce al
conocimiento.
En otro sentido, Araujo señala que la pregunta trae consigo una enorme
importancia dentro del aula, y no sólo esto, se debe enseñar a preguntar y a
preguntarse. Zuleta Araujo expresa: “Los docentes en el aula podemos orientar a los
30
Zuleta Araujo, O. (2005).La pedagogía de la pregunta. Una contribución para el aprendizaje. 31
Ibíd. 30.
alumnos por medio de talleres en el necesario pero difícil arte de preguntar. Es
significativo que el alumnado aprenda a formular sus propias preguntas.” (Zuleta, 2005,
p.116)32
Casi cualquier situación puede servir de escenario para generar preguntas, por
ejemplo un texto, una noticia, una experimento, una salida pedagógica, un suceso
escolar, entre otros. Araujo propone que la pregunta se convierte en un elemento
central del proceso de aprendizaje, pues no sólo facilita el aprendizaje, si no que
favorece la expresión oral y escrita, lo que genera un enriquecimiento en la
comunicación escolar.
7.3 ¿Cómo preguntar?
Si bien un estudiante puede preguntar cualquier cosa, no así debe suceder con el
docente. La pregunta debe estar cimentada en una serie de características
pedagógicas que conduzcan a un ideal.
A continuación se plantean una serie de modelos de preguntas tomadas de: El
arte de la pregunta como mediación en el campo de las matemáticas.
7.3.1 Intencionalidad
Buscan que los estudiantes intenten descubrir qué tipo de actividades ha de elegir el
docente. La intención de este tipo de preguntas busca despertar la observación, la
participación activa y la selección de datos. Un ejemplo de este tipo de pregunta es:
Aquí tenemos varias fichas, alguien puede decirnos ¿Qué vamos a hacer?
32
Ibíd. 30.
7.3.2 Trascendencia
Una pregunta no debe limitarse a las exigencias presentes de los estudiantes, deberá ir
más allá, para generar nuevas expectativas o necesidades, en otras palabras, la
pregunta busca la trascendencia. Ejemplo: ¿Cómo hicieron para llegar a la solución?
¿Existirá otra forma de hacerlo?
7.3.3 Significado
El significado pretende indagar las causas en las que está basado el razonamiento o
justificación que dan los estudiantes. Debe entenderse que las cosas van
acompañadas de significados más profundos de los que un estudiante acostumbra dar,
debido a que una respuesta suele estar fundamentada en su necesidad o experiencia.
Algunos preguntas que tienen esta característica son: ¿Podrías explicar el por qué?
¿Puedes precisar lo que acabas de decir? ¿Acaso lo que acabas de decir, tiene otro
significado?
7.3.4 Sentimiento de capacidad
Generar preguntas que afirmen la capacidad de los estudiantes, es bien importante en
el proceso educativo, debido a que uno o varios errores pueden crear un sentimiento
de incapacidad que de no ser intervenido se podría convertir en una sensación
progresiva. Conviene entonces, reafirmar la sensación de capacidad. Algunos ejemplos
sobre este tipo de preguntas son: ¿Podrían revisar sus respuestas (hay diversas
respuestas)? ¿Cuál consideras que es la respuesta correcta?
7.3.5 Control del comportamiento
Algunas repuestas exigen anticipación de eventos, otras por el contrario requieren de
analizar una totalidad de datos, no sólo una, sino varias veces. El dar respuestas
apresuradas puede ser el común de ciertos estudiantes, al igual que la tardanza. Se
busca en lo posible mostrar el momento más adecuado para emitir un juicio, haciendo
preguntas como ¿Por qué diste esa respuesta? Exactamente ¿Qué quisiste decir?
¿Se puede tomar lo que acabas de decir como una conclusión?
7.3.6 Reconocimiento de las diferencias
Una pregunta como ¿pueden proponer otra forma de hacerlo? , da cabida a la
diferencia. Cada persona concibe un planteamiento desde su propia perspectiva y por
ende acompañado de sus propias estrategias y razonamientos.
7.3.7 Mediación sobre la búsqueda, planificación y logro de objetivos
Una actividad responde a un objetivo del docente, pero es necesario que el estudiante
también lo conozca para que tenga un mayor valor. Por ende es bueno habituar a los
estudiantes a que descubran cual es el propósito de las actividades. Se puede pensar
en una pregunta como ¿Para qué vamos a hacer esto hoy?
7.3.8 Adaptación a situaciones nuevas
Uno de los fines del aprendizaje está orientado a que el estudiante sea capaz de
aplicar lo aprendido a nuevas situaciones. Un caso particular puede ser la aplicación de
los conceptos académicos a la vida misma. Otra forma es replantear lo que está
construido mediante supuestos como: si no existiesen los números, ¿Cómo podríamos
expresar las cantidades? ¿Qué pasaría con el comercio?
8. Metodología
La presente propuesta es de naturaleza cualitativa y de tipo estudio de caso. Para su
desarrollo se requieren de las siguientes etapas:
Primera: Indagación en diversas fuentes sobre el tema expuesto.
Segunda: Diseño de la herramienta para establecer cuáles son los conceptos previos
que poseen los estudiantes.
Tercera: Elaboración de las preguntas mediadoras.
Cuarta: Diseño del experimento basado en la ley de Ohm y orientado a los fines de la
propuesta.
Quinta: Para su futura implementación se requiere un grupo experimental de
estudiantes y otro de control, que servirá para el contraste de los resultados.
9. Propuesta
9.1 Diagnóstico de conceptos previos
La presente prueba pretende indagar en el estudiante, los siguientes conceptos:
elaboración e interpretación de tablas y ubicación de parejas ordenadas en el plano
cartesiano.
9.1.1 Prueba diagnóstica
Institución Educativa Gabriela Mistral de Copacabana
Nombre: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Grupo: _ _ _ _ _ Fecha: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Tiempo estimado: 50 minutos.
Lee cuidadosamente cada una de las siguientes proposiciones y escribe la respuesta que mejor crees que se ajusta a cada una.
1. Se pide a 30 personas que lancen un dado y que se anote el resultado obtenido. Los resultados de los lanzamientos fueron: 1, 3, 4, 5, 5, 6, 3, 5, 4, 3, 4, 5, 2, 4, 3, 3, 6, 4, 5, 6, 4, 3, 2, 2, 3, 6, 1, 1, 1, 4.
La tabla que mejor representa los resultados de la situación anterior es:
Imagen procesada en Excel y Recortes. Creación propia.
¿Por qué consideras que la tabla que has elegido representa mejor los resultados y no otra? __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _
De acuerdo con la siguiente situación, responde los planteamientos del 2, 3 y 4.
El grupo de bienestar de la institución La Tablita, ha decido preguntar al grupo octavo sobre cuántas veces se cepillan los dientes. Las respuestas se consignan en la siguiente tabla.
Imagen creada en Excel. Creación propia.
2. Completa. El total de estudiantes que contestaron la encuesta fue: _____
¿Cuál fue el procedimiento que empleaste para llegar a tu respuesta? _ _ __ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
3. Responde falso o verdadero y justifica. La mayor parte de los estudiantes se cepillan al menos 2 veces al día.
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
4. Completa. El porcentaje de estudiantes que se cepilla como máximo 3 veces al día es: ______
Se tiene la siguiente figura formada a partir de puntos cartesianos.
Imagen creada con Power Point. Creación propia.
5. Las coordenadas de los puntos B, F, H y E son: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
6. Describe el sentido, propósito o fin para el cual se hace este cuestionario. _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
9.1.2 Prueba piloto
Se realizó una prueba piloto con un grupo de 18 estudiantes del grupo 7.2 y se le aplicó
la prueba diagnóstica propuesta. Se adjuntan las fotos de algunas de las pruebas (ver
Anexo) y se describen a continuación los resultados.
9.1.3 Resultados
Pregunta 1. Opción correcta C.
Argumentación
Respuestas Total de Estudiantes
Porque está mejor ordenada (organizada) 11
Por concordancia entre los datos y cantidades 3
Porque sí 1
Estaba adivinando 1
Me pareció la más explícita 1
Porque las personas lanzaron en diferente orden 1
TOTAL 18
Análisis de resultados
Aunque 13 personas que representan el 72,22%, acertaron la respuesta, sólo 11 de
ellas dieron una argumentación acertada, es decir, su respuesta está basada en el
orden, que suele ser de menor a mayor. Ello significa que si la selección debe ir acorde
con la respuesta, sólo el 61,11%, respondieron bien la pregunta.
Pregunta 2. Respuesta correcta 35.
Argumentación
Respuestas Respuesta correcta
Respuesta incorrecta
Suma de cantidades de estudiantes 11
Suma de las veces de cepillado 1
Suma hasta obtener el resultado 1
Suma de cantidades de estudiantes 3
Incoherente 1
Multiplicando los números en cada columna y luego sumando los resultados
1
TOTAL 11 7
Análisis de resultados
11 personas que representan el 61,1% acertaron la respuesta y su explicación está
acorde con la forma en que se debe hallar el resultado, es decir, contar la cantidad de
estudiantes. 7 personas que representan el 38,9% no hicieron una correcta
interpretación de la tabla. Por lo tanto, hay una estrecha relación entre la selección de
las opciones y la argumentación.
Pregunta 3. Respuesta correcta: verdadero.
Argumentación
Respuestas Respuesta correcta
Respuesta incorrecta
Muy cochinos si no cepillan al menos 1 vez 1
Se cepillan 4 veces 11
Son 5 estudiantes 3
Son más los que cepillan 4 veces 2
Al menos 3 veces, si se calcula el promedio 1
TOTAL 1 17
Análisis de resultados
11 personas que representan el 61,11% confunden la expresión: la mayor parte, con
la mayor cantidad. De igual manera, se relacionan las expresiones, al menos, con 2
veces, cuya respuesta es 5 estudiantes que representan el 27,78%. En términos
generales se puede decir que no se tiene claro la expresión: “al menos”.
Pregunta 4. Respuesta correcta 31,4 %.
Respuestas Respuesta correcta
Respuesta incorrecta
Respuestas con números enteros 0 3
Respuestas con porcentajes 0 13
Respuestas en blanco 2 2
TOTAL 0 18
Análisis de resultados
No se sabe cómo calcular el porcentaje que representa una parte de un grupo a partir
del total del mismo.
Pregunta 5. Respuestas B: (-1,2), F: (0,-1), H: (1,0), E: (-3,-2)
Análisis de resultados
Como se puede observar en el gráfico no existe una completa claridad de cómo
graficar en el plano. La mayor dificultad se presenta cuando se tiene que interpretar la
información con puntos que están sobre los ejes. Se encontró que también hay
confusión en el orden de las coordenadas, es decir, escriben primero el valor vertical y
luego el horizontal.
Pregunta 6.
Respuestas Total de personas
Para mejorar los aprendizajes 1
Para determinar cuánto aprendimos 12
Para la medición de las cosas 1
Para medir las capacidades 1
Cómo invitación a que hay que aprender para la vida 1
Para determinar el nivel de higiene bucal de La tablita 2
TOTAL 18
Análisis de resultados
Se encuentra que 14 estudiantes plantean que una prueba sirve para medir cuánto se
ha aprendido sobre un tema tratado. Hay un estudiante que relaciona el aprendizaje
con la vida. Dos estudiantes no reconocen la situación planteada en la evaluación
como una situación hipotética, así mismo, no se tiene claro que la evaluación contiene
varios temas.
9.2 Experimento
Se propone un experimento que facilita espacios para la participación activa de los
estudiantes para construir su aprendizaje. No se trata simplemente de experimentar, se
pretende generar un espacio de reflexión sobre lo que se realiza y para que se realiza.
En la misma dirección se espera que los conceptos preexistentes marquen una pauta
importante dentro del desarrollo de las actividades, con la firme intención de alcanzar
un aprendizaje significativo.
Lo que se realiza y para que se realiza, enmarca el experimento dentro de un
propósito encaminado a la formación de sujetos pensantes y propositivos. Para el
logro de tal fin se plantean una serie de preguntas que impliquen entender la situación
en una forma completa. Se trata pues, de establecer relaciones entre las diferentes
variables que intervienen en la experimentación. Para ejemplificar lo expuesto, se
tienen las preguntas: ¿Qué le sucede a la corriente conforme disminuye el voltaje?
¿Qué sucede con la intensidad luminosa del bombillo? ¿Qué le sucede a la corriente
conforme aumenta el voltaje? ¿Qué sucede con la intensidad luminosa del bombillo?
¿Qué puedo decir de la relación entre el voltaje y la corriente?
De igual manera, es conveniente recordar que cada situación en el contexto
escolar ha de estar cargada de una intencionalidad y dirigida de tal forma que los
significados encontrados por los estudiantes vayan más allá de aquellos que
acostumbran dar.
Por otro lado, los aprendizajes no se limitan al contexto escolar, si no que
abarcan los otros contextos, es decir, los aprendizajes deberían generar actitudes y
compromisos que se vean reflejados en la sociedad en que se encuentran. La anterior
intención se encuentra plasmada en las preguntas: ¿Cuál de las tres bombillas
requiere menos corriente? ¿Cuál alumbra más? ¿Cuál calienta menos? De acuerdo
con lo anterior, ¿Por qué se recomienda usar bombillas ahorradoras como parte del
compromiso que tiene la humanidad con la conservación del medio ambiente? ¿Qué
relación guardan las bombillas con el calentamiento global?
Por último preguntas como: ¿Qué significa kWh? y una tarea como: cuente
cuántos bombillos de luz amarilla se usan en su casa y cuál es su potencia. Con base
en el punto anterior determine cuánto le cuesta el consumo de cada bombillo por hora,
conduce a los estudiantes a establecer una relación entre lo que se le muestra en la
escuela y lo que acontece en su casa. Además se orienta al estudiante para que
aplique lo aprendido a situaciones nuevas.
9.2.1 Indicaciones de la experimentación
La ley de Ohm se puede enunciar como: La corriente que circula por un conductor es
directamente proporcional al voltaje e inversamente proporcional a la resistencia. En su
forma más simple, su enunciado matemático es
.
Mediante el siguiente experimento se pretende que el estudiante establezca como
varía la corriente que circula por un circuito si:
a. Se fija la resistencia y se varía el voltaje aplicado.
b. Se fija el voltaje y se varía la resistencia.
9.2.2 Materiales
1 Multímetro
1 Protoboard
1 Termómetro
1 Fuente de voltaje variable o batería de 9V con montaje para variar
1 Resistencia de 100Ω
1 Potenciómetro de 1 K
1 Bombillo de luz amarilla de 60W y 100W (bombillas comerciales)
1 Bombillo “ahorrador”
1 Enchufe con plafón para bombillos
2 Bombillas LED
9.2.3 Manejo del multímetro
Medición de corriente y de voltaje
Para medir la corriente se hace como lo indica la figura 1 y para medir el voltaje se
ubica las puntas de acuerdo con la figura 2. La corriente se mide en miliamperios (mA)
y el voltaje en voltios (V).
Figura 1. Tomada de Google Figura 2. Tomada de Google
9.2.4 Situación 1
Se fija la resistencia y se varía el voltaje aplicado.
Se realiza el montaje de la figura 3, con una resistencia de 100 Ω, y se llenan las tablas
1 y 2.
Figura 3. Tomada de Google
Para la tabla 1, empiece con el máximo valor que tiene la fuente de voltaje y vaya
disminuyendo hasta obtener 10 resultados diferentes. En cada caso mida la corriente
que circula por el circuito y observe la intensidad con que brilla el bombillo.
Muestra 1 2 3 4 5 6 7 9 10
Voltaje (V)
Corriente (mA)
Tabla 1
Para la tabla 2, empiece con un mínimo valor de voltaje y vaya aumentando hasta
obtener 10 resultados diferentes a los anteriores. En cada caso mida la corriente que
circula por el circuito y observe la intensidad con que brilla el bombillo.
Muestra 1 2 3 4 5 6 7 9 10
Voltaje (V)
Corriente (mA)
Tabla 2
Preguntas de acuerdo con la tabla 1 y 2.
1. ¿Qué le sucede a la corriente conforme disminuye el voltaje?
2. ¿Qué sucede con la intensidad luminosa del bombillo?
3. ¿Qué le sucede a la corriente conforme aumenta el voltaje?
4. ¿Qué sucede con la intensidad luminosa del bombillo?
5. ¿Qué puedo decir de la relación entre el voltaje y la corriente?
9.2.5 Situación 2
Se fija el voltaje y se varía la resistencia.
Se requiere ahora el análisis entre la resistencia y el voltaje aplicado. Para ello es
necesario que en el montaje anterior se sustituya la resistencia por un potenciómetro o
resistencia variable, y se llenen las tablas 3 y 4.
Para la tabla 3, empiece con el máximo valor que tiene el potenciómetro y vaya
disminuyendo la resistencia hasta obtener 10 resultados diferentes. En cada caso mida
la resistencia y la corriente que circula por el circuito.
Muestra 1 2 3 4 5 6 7 9 10
Resistencia (Ω)
Corriente (mA)
Tabla 3
Para la tabla 4, empiece con un mínimo valor de resistencia y vaya aumentando hasta
obtener 10 resultados diferentes a los anteriores. En cada caso mida la resistencia y la
corriente que circula por el circuito.
Muestra 1 2 3 4 5 6 7 9 10
Resistencia (Ω)
Corriente (mA)
Tabla 4
Preguntas de acuerdo con las tablas 3 y 4
1. ¿Qué le sucede a la corriente conforme disminuye la resistencia?
2. ¿Qué sucede con la intensidad luminosa del bombillo?
3. ¿Qué le sucede a la corriente conforme aumenta la resistencia?
4. ¿Qué sucede con la intensidad luminosa del bombillo?
5. ¿Qué puedo decir de la relación entre la resistencia y la corriente?
Análisis desde el punto gráfico
Para elaborar la gráfica de los datos se recurre al programa Excel, el cual es una
poderosa herramienta para cálculos y elaboración de gráficos.
Pasos
1. Haciendo uso del programa Excel, abra un archivo y escriba la información de
las tablas 1, 2, 3 y 4. Para tener una idea vea la figura 4. Recomendación: se
puede entregar el archivo listo para que los estudiantes sólo escriban la
información o bien puede aprovecharse para enseñar esta magnífica
herramienta.
Figura 4. Elaboración propia usando Excel
2. Después de escribir los datos usted tendrá una gráfica como la figura 4.
Figura 4. Elaboración propia usando Excel
Preguntas de acuerdo con la gráfica de las tablas 1y 2
a. ¿Cuál es el valor de la corriente cuando el voltaje es igual a 6V?
b. ¿Cuál es el valor de la corriente cuando el voltaje es igual a 2V?
c. ¿Qué le sucede a la corriente conforme aumenta o disminuye el voltaje?
d. ¿Qué diferencias y/o semejanzas existen entre las gráficas de las tablas 1 y 2?
Preguntas de acuerdo con la gráfica de las tablas 3 y 4
a. ¿Qué le sucede a la corriente conforme aumenta o disminuye la resistencia?
b. ¿Qué diferencias y/o semejanzas existen entre las gráficas de las tablas 3 y 4?
Preguntas sobre el gráfico
a. ¿Todos los puntos están sobre la línea?
b. ¿Cómo crees que hace el computador para trazar ésta línea recta?
c. ¿Qué significado tiene la palabra ecuación?
d. ¿Para qué se usa?
9.2.6 Situación 3
Análisis del consumo de una bombilla de luz amarilla y una bombilla “ahorradora”.
Llene la siguiente tabla de acuerdo con la información pedida.
Bombillo Temperatura antes Corriente en Amperios Temperatura después
60W
100W
Ahorradora
1. Haga uso del termómetro y mida la temperatura ambiente.
2. Haga el montaje de la figura 5 usando la bombilla de luz amarilla de 60W. Conecte al
tomacorrientes y escribe el valor de la corriente.
Figura 5. Creación propia usando Power Point
3. Una vez hayan transcurrido alrededor de unos 5 minutos vuelve a tomar la medida
de la temperatura.
4. Espere unos 5 minutos a que la bombilla se enfría. Mida la temperatura ambiente y
cambie la bombilla por una de 100W, enchufe y anote el valor de la corriente.
5. Una vez hayan transcurrido alrededor de unos 5 minutos vuelve a tomar la medida
de la temperatura.
6. Espere unos 5 minutos a que la bombilla se enfría. Mida la temperatura ambiente y
cambie la bombilla por una ahorradora, enchufe y anote el valor de la corriente.
7. Una vez hayan transcurrido alrededor de unos 5 minutos vuelve a tomar la medida
de la temperatura.
Análisis de la situación 3
1. ¿Cuál de las tres bombillas requiere menos corriente?
2. ¿Cuál alumbra más?
3. ¿Cuál calienta menos?
4. De acuerdo con lo anterior, ¿Por qué se recomienda usar bombillas ahorradoras
como parte del compromiso que tiene la humanidad con la conservación del
medio ambiente?
5. ¿Qué relación guardan las bombillas con el calentamiento global?
9.2.7 Actividad extraclase
1. Un bombillo de 60W consume 0,06 kWh, y una de 100W consume 0,1 kWh,
¿Qué significa kWh?
2. Cuente cuántos bombillos de luz amarilla se usan en su casa y cuál es su
potencia. Con base en el punto anterior determine cuánto le cuesta el consumo
de cada bombillo por hora. Para determinar el precio del consumo consulte la
factura de servicios públicos.
9.3 Propuesta de evaluación
Acorde con los avances y la característica de la población se sugiere como parte
adicional de evaluación:
1. Elaborar un mapa conceptual sobre el tema.
2. Consultar si la luminosidad y la temperatura son modelos lineales y proponer la
elaboración de un sistema (preferiblemente un circuito) para medir la
temperatura y la luminosidad.
3. ¿Qué otras ideas propones?
4. Cuestionario para determinar el impacto de la propuesta.
9.4 Conclusiones
9.4.1 La pregunta se encuentra estrechamente ligada al conocimiento en cuanto a que
conduce a dos situaciones a saber: por un lado manifiesta el deseo de aprender sobre
un asunto en particular, y por el otro, porque señala un camino a seguir o una situación
que resolver. Ambas situaciones propician un ambiente beneficioso para el proceso de
enseñanza y aprendizaje.
Preguntar direcciona el sentido de las acciones que se realizan en el aula porque
dejan ver cuál es el significado que tiene cada una de ellas, lo cual es importante tanto
para el que enseña como para el que aprende.
De igual forma la pregunta ayuda a establecer diferencias, similitudes, controlar
el comportamiento, revisar las respuestas dadas, establecer puntos de partida o de
final, plantearse y plantear nuevas preguntas, y pensar en nuevas situaciones con
base en lo que se sabe.
9.4.2 La prueba piloto muestra que no existen los conceptos previos suficientes para
empezar a ejecutar la propuesta, por lo tanto se hace necesario, implementar uno o
varios organizadores previos, para que sirvan de puente entre lo que el estudiante sabe
y lo que debe saber, con el fin de proveer todos las condiciones suficientes en la
búsqueda de que su aprendizaje sea significativo.
9.4.3 El experimento diseñado, direcciona la intención de cada momento con preguntas
que proponen claramente cuál es su propósito. Existen preguntas que intentan
establecer relaciones entre las diferentes variables que intervienen en la
experimentación, y existen otras, que buscan generar aprendizajes con significado y
sentido que vayan más allá de aquellas repuestas que los estudiantes suelen dar.
Además, hay preguntas que vinculan los aprendizajes del contexto escolar con los
sucesos sociales.
9.5 Recomendaciones
9.5.1 Se espera implementar la propuesta porque constituye una posibilidad de
acercamiento al aprendizaje significativo. Desde esta perspectiva, se convierte en una
ayuda en la labor docente porque permite replantearla y adecuarla. La propuesta puede
servir como una herramienta mediadora entre el enseñar y el aprender matemáticas,
transformándose en un elemento significativo tanto para el docente como para los
estudiantes.
9.5.2 Como ya se citó, las ideas previas marcan una pauta importante la adquisición de
los nuevos conceptos. Por tanto es conveniente que una vez se haya establecido el
punto de partida mediante la prueba diagnóstica, se determine si se hace necesario el
uso de algún organizador previo. Es bueno resaltar que las ideas previas deben estar
claras para que el aprendizaje sea significativo.
Anexo
10. Bibliografía
Autores varios. La importancia de las preguntas. Cuadernos de Pedagogía Enero No.
243. Tomado el 24 de octubre de 2014 desde:
http://didac.unizar.es/jlbernal/enlaces/pdf/04_aprendpreguntas .PDF
Benítez Pérez, A. (2009). Estudio de la primera representación gráfica de ecuaciones
algebraicas en contexto. Revista Innovación Educativa, vol. 9, núm. 46, enero-marzo,
2009, p. 41- 50. Recuperado el 4 de junio de 2014 desde http://www.oei.es/ipn/46.pdf.
Chacón Ramírez, S. La pregunta pedagógica como instrumento de mediación en la
elaboración de mapas conceptuales. Recuperado el 23 de octubre de 2013 desde
http://cmc.ihmc.us/cmc2006Papers/cmc2006-p102.pdf
Clements, K. (1999). Planteamiento y resolución de problemas: ¿Es relevante Polya
para las matemáticas escolares del siglo XXI? Revista Suma 30 febrero. pp. 27-36.
Recuperado el 27 de octubre de 2013 desde http://revistasuma.es/IMG/pdf/30/027-
036.pdf
Freire, P. (1994). Cartas a quien pretende enseñar. Recuperado el 4 de noviembre de
2013 desde http://baseddp.mec.gub.uy/Documentos/Bibliodigi/cartas%20a%20quien%
20 pretende% 20ensenar.pdf
Freire, P (1986). Hacia una pedagogía de la pregunta. Recuperado el 23 de Octubre de
2013 desde http://abacoenred.com/IMG/pdf/paulo_freire_-
_pedagogia_de_la_pregunta.pdf
Hernández Sampieri, R. (1997). Metodología de la investigación. Recuperado el 1 de
noviembre de 2013 desde http://www.upsin.edu.mx/mec/digital/metod_invest.pdf
Martínez Arévalo, Lulys. El arte de la pregunta como mediación en el campo de las
matemáticas. Recuperado el 5 de mayo de 2104 desde:
http://www.escuelasqueaprenden.org/imagesup/El%20arte%20de%20la%20pregunta%20como
%20mediaci%F3n%20en%20el%20campo%20de%20las%20matem%E1ticas.pdf
MEN (2003). Estándares básicos de competencias en matemáticas. Recuperado el 16
de mayo desde http://www.colombiaaprende.edu.co/html/mediateca/1607/articles-
167733_archivo.pdf.
MEN. (1998). Lineamientos curriculares de matemáticas. Recuperado el 23 de octubre
de 2013 desde http://www.mineducacion.gov.co/cvn/1665/articles-
89869_archivo_pdf9.pdf.
MEN. (1998). Lineamientos curriculares de ciencias naturales y educación ambiental.
Recuperado el 5 de mayo de 2014 desde:
http://www.mineducacion.gov.co/1621/articles-339975_recurso_5.pdf
MEN, (1998). Ley general de Educación (Ley 115 de1994). Recuperado el 28 de
octubre de 2013 desde http://www.unal.edu.co/secretaria/normas/ex/L0115_94.pdf.
Montenegro Aldana, I. Preguntas cognitivas y metacognitivas en el proceso de
aprendizaje. Recuperado el 31 de octubre de 2013 desde
http://www.pedagogica.edu.co/storage/ted/articulos/ted11_06arti.pdf
Morerira, M.A. (2008). Organizadores previos y aprendizaje significativo. Revista
Chilena de Educación Científica Vol. 7, Nº. 2, 2008, p. 23-30.
Moreira, M.A.(2010). Aprendizaje significativo crítico. Actas del III Encuentro
Internacional sobre Aprendizaje Significativo, pp. 33-45 con el título original de
Aprendizaje Significativo Subversivo. Recuperado el 6 de mayo de 2014 desde
http://www.if.ufrgs.br/~moreira/apsigcritesp.pdf
Moreira, M.A. (2012). ¿Al final, qué es aprendizaje significativo? Revista Curriculum 25
marzo 2012. pp. 29-56. Recuperado el 6 de mayo de 2014 desde:
http://publica.webs.ull.es/upload/REV%20QURRICULUM/25%20-%202012/02.pdf
Murillo, F. Estudio de casos. Recuperado el 24 de octubre desde
http://www.uam.es/personal_pdi/stmaria/jmurillo/InvestigacionEE/Presentaciones/Curso
_10/EstCasos_Trabajo.pdf.
Paiva, A. (2005). La educación liberadora de Paulo Freire y el desarrollo del
pensamiento. Revista Ciencias de la educación, Año 5 l Vol. 2 l Nº 26, Julio-
Diciembre 2005. pp. 133-142. Recuperado el 9 de mayo desde:
http://servicio.bc.uc.edu.ve/educacion/revista/a5n26/5-26-8.pdf
Palmer, Bibb , Jarbis y Mrachek(2003). Matemáticas prácticas. P. 255.
Consultado el 10 de mayo de 2014 en:
http://books.google.com.co/books?id=svzuB4pZKjkC&pg=PA255&dq=conce
pto+de+variaci%C3%B3n&hl=es&sa=X&ei=YJ9uU6mVI5W0sQS9mYGYAQ&v
ed=0CEwQ6wEwBg#v=onepage&q=concepto%20de%20variaci%C3%B3n&f
=false
Plan decenal de educación 2010-2016. Recuperado el 22 de octubre de 2013 desde
http://www.sedbogota.edu.co/archivos/Nuestra_Entidad/VERSION_FINAL_PNDE_INTE
RACTIVA.pdf
Polanco Hernández A. (2204). La pregunta pedagógica en el nivel inicial. Revista
Electrónica Actualidades Investigativas en Educación, vol. 4, núm. 2, julio-diciembre,
2004. pp. 1-12. Recuperado el 23 de octubre de 2013 desde
http://www.redalyc.org/pdf/447/44740213.pdf
Polya, G. Estrategias para la solución de problemas. Recuperado el 2 de noviembre de
2013 desde http://www.eui.upm.es/~rafami/MD/Estrategias%20de%20Polya-
IES%20RosaChacel.pdf.
Rillo, A. y otros. (2011). Horizonte y estructura de la pregunta pedagógica. Revista
Electrónica Actualidades Investigativas en Educación, vol. 11, núm. 1, enero-abril. pp.
1-18. Recuperado el 23 de octubre de 2013 desde
http://miguelangel13.files.wordpress.com/2012/08/la-pregunta-pedagc3b3gica1.pdf
Ruiz Ledesma, E. (2009). Diseño de estrategias de enseñanza para el concepto de
variación en áreas de ingeniería. Revista Innovación Educativa, vol. 9, núm. 46, enero-
marzo, 2009, p. 27- 40. Recuperado el 4 de junio de 2014 desde
http://www.oei.es/ipn/46.pdf
Vargas Guillén G. (2012). La pregunta como dispositivo pedagógico. Revista Itinerario
Educativo. N° 60 enero-junio. pp. 173-191. Recuperado el 30 de octubre desde
http://profesorvargasguillen.files.wordpress.com/2012/11/la-pregunta-como-dispositivo-
pedagc3b3gico.pdf.
Zuleta Araujo, O. (2005).La pedagogía de la pregunta. Una contribución para el
aprendizaje. Revista Educere, vol. 9, núm. 28, enero-marzo, pp. 115-119. Recuperado
el 27 de octubre del 2013 desde http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=35602822.
